最新-山东省舜耕中学2018届高三数学一轮复习资料 第十四编 系列4选讲141 矩阵与变换作业 理 精品
山东省舜耕中学高三数学一轮复习资料 第四编 三角函数及三角恒等变换 4.3 三角函数的图像与性质(教师)理
高三数学（理）一轮复习教案 第四编 三角函数及三角恒等变换总第18期§4.3 三角函数的图像与性质基础自测 1. ①在(0,2π)上递减；②以2π为周期；③是奇函数. 写出一个同时满足上述条件的函数 （写出一个你认为正确的即可）. 答案 y=-sinx2.（2009·东海高级中学高三调研）将函数y=sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32πx 的图象先向左平移3π,然后将所得图象上所有的点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应的函数解析式为 .答案 y=sin ⎪⎭⎫⎝⎛+3πx3.设函数y=acosx+b （a 、b 为常数)的最大值是1，最小值是-7，那么acosx+bsinx 的最大值是 . 答案 54.函数y=|sinx|的一个单调增区间是 （写出一个即可）. 答案 ⎪⎭⎫ ⎝⎛23,ππ 5.（2008·全国Ⅱ理）若动直线x=a 与函数f(x)=sinx 和g(x)=cosx 的图象分别交于M 、N 两点，则|MN|的最大值为 . 答案 2例题精讲例1 求下列函数的定义域：（1）y=lgsin(cosx);(2)y=x x cos sin -.解 （1）要使函数有意义，必须使sin(cosx)＞0.∵-1≤cosx ≤1,∴0＜cosx ≤1.方法一 利用余弦函数的简图得知定义域为{x|-2π+2k π＜x ＜2π+2k π,k ∈Z }. 方法二 利用单位圆中的余弦线OM ，依题意知0＜OM ≤1, ∴OM 只能在x 轴的正半轴上，∴其定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧Z ∈+≤≤+-k k x k x ,2222|ππππ.（2）要使函数有意义，必须使sinx-cosx ≥0.方法一 利用图象.在同一坐标系中画出［0,2π］上 y=sinx 和y=cosx 的图象，如图所示. 在［0，2π］内，满足sinx=cosx 的x 为4π，45π， 再结合正弦、余弦函数的周期是2π, 所以定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧Z ∈+≤≤+k k x k x ,24524|ππππ.方法二 利用三角函数线，如图MN 为正弦线，OM 为余弦线， 要使sinx ≥cosx,即MN ≥OM ，则4π≤x ≤45π（在［0，2π］内）. ∴定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Ζk k x k x ,24524|ππππ方法三 sinx-cosx=2sin ⎪⎭⎫⎝⎛-4πx ≥0，将x-4π视为一个整体，由正弦函数y=sinx 的图象和性质，可知2k π≤x-4π≤π+2k π, 解得2k π+4π≤x ≤45π+2k π,k ∈Z ，所以定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Ζk k x kx x ,24542|πππ. 例2 求下列函数的值域： （1）y=xxx cos 1sin 2sin -;(2)y=sinx+cosx+sinxcosx;(3)y=2cos ⎪⎭⎫⎝⎛+ππ3+2cosx. 解 （1）y=x x x x cos 1sin cos sin 2-=x x x cos 1)cos 1(cos 22--=2cos 2x+2cosx=2221cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-21.于是当且仅当cosx=1时取得y max =4,但cosx ≠1,∴y ＜4，且y min =-21,当且仅当cosx=-21时取得，故函数值域为⎪⎭⎫⎢⎣⎡-4,21. （2）令t=sinx+cosx,则有t 2=1+2sinxcosx,即sinxcosx=212-t .有y=f(t)=t+212-t =1)1(212-+t .又t=sinx+cosx=2sin ⎪⎭⎫⎝⎛+4πx ，∴-2≤t ≤2，故y=f(t)= 1)1(212-+t (-2≤t ≤2),从而知：f(-1)≤y ≤f(2),即-1≤y ≤2+21，即函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-212,1.（3）y=2cos ⎪⎭⎫⎝⎛+x 3π+2cosx=2cos3πcosx-2sin 3πsinx+2cosx=3cosx-3sinx=23⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x sin 21cos 23=23cos ⎪⎭⎫⎝⎛+6πx . ∵⎪⎭⎫⎝⎛+6cos πx ≤1，∴该函数值域为［-23，23］.例3求函数y=2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 4π的单调区间.解 方法一 y=2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 4π化成y=-2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-4πx .∵y=sinu(u ∈R )的递增、递减区间分别为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-22,22ππππk k （k ∈Z ),⎥⎦⎤⎢⎣⎡++232,22ππππk k (k ∈Z ) ∴函数y=-2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-4πx 的递增、递减区间分别由下面的不等式确定2k π+2π≤x-4π≤2k π+23π（k ∈Z ),即2k π+43π≤x ≤2k π+47π（k ∈Z )， 2k π-2π≤x-4π≤2k π+2π（k ∈Z ),即2k π-4π≤x ≤2k π+43π（k ∈Z ) ∴函数y=2sin ⎪⎭⎫⎝⎛-x 4π的单调递减区间、单调递增区间分别为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-432,42ππππk k （k ∈Z ),⎥⎦⎤⎢⎣⎡++472,432ππππk k （k ∈Z ) 方法二 y=2sin ⎪⎭⎫⎝⎛-x 4π可看作是由y=2sinu 与u=x -4π复合而成的.又∵u=x -4π为减函数，∴由2k π-2π≤u ≤2k π+2π（k ∈Z ), -2k π-4π≤x ≤-2k π+43π(k ∈Z ). 即⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---432,42ππππk k （k ∈Z ）为y=2sin ⎪⎭⎫⎝⎛-x 4π的递减区间. 由2k π+2π≤u ≤2k π+23π (k ∈Z ),即2k π+2π≤4π-x ≤2k π+23π(k ∈Z )得 -2k π-45π≤x ≤-2k π-4π (k ∈Z ),即⎥⎦⎤⎢⎣⎡----42,452ππππk k （k ∈Z )为y=2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 4π的递增区间综上可知：y=2sin ⎪⎭⎫⎝⎛-x 4π的递增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡----42,452ππππk k （k ∈Z ）；递减区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---432,42ππππk k （k ∈Z ）巩固练习1.求f(x)=)2cos(21x --π的定义域和值域.解 由函数1-2cos ⎪⎭⎫⎝⎛-x 2π≥0,得sinx ≤22,利用单位圆或三角函数的图象，易得所求函数的定义域是⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤-k k x k x ,42452|ππππ. 当sinx=cos ⎪⎭⎫⎝⎛-x 2π=22时，y min =0; 当sinx=cos ⎪⎭⎫⎝⎛-x 2π=-1时，y max =21+.所以函数的值域为［0，21+］.2.已知函数f(x)=xx x 2cos 1cos 3cos 224+-,求它的定义域和值域，并判断它的奇偶性.解 由题意知cos2x ≠0，得2x ≠k π+2π，解得x ≠42ππ+k （k ∈Z ）. 所以f(x ）的定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠∈k k x x x ,42ππ且,. 又f （x)= x x x 2cos 1cos 3cos 224+-=xx x 2cos 1cos )1cos 2(22--=cos 2x-1=-sin 2x.又定义域关于原点对称，∴f （x ）是偶函数. 显然-sin 2x ∈［-1，0］，但∵x ≠42ππ+k ,k ∈Z .∴-sin 2x ≠-21. 所以原函数的值域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<--<≤-021211|y y y 或.3.（1）求函数y=sin ⎪⎭⎫⎝⎛-x 23π的单调递减区间；（2）求y=3tan ⎪⎭⎫⎝⎛-46x π的周期及单调区间. 解 （1）方法一 令u=⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 23π,y=sinu ，利用复合函数单调性， 由2k π-2π≤-2x+3π≤2k π+2π(k ∈Z ),得2k π-65π≤-2x ≤2k π+6π（k ∈Z ), -k π-12π≤x ≤-k π+125π (k ∈Z ),即k π-12π≤x ≤k π+125π（k ∈Z ).Z Z R∴原函数的单调递减区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-125,12ππππk k (k ∈Z ). 方法二 由已知函数y=-sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32πx ,欲求函数的单调递减区间，只需求y=sin ⎪⎭⎫⎝⎛-32πx 的单调递增区间.由2k π-2π≤2x-3π≤2k π+2π（k ∈Z ),解得k π-12π≤x ≤k π+125π（k ∈Z ).∴原函数的单调递减区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-125,12ππππk k （k ∈Z ）. （2）y=3tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛-46x π=-3tan ⎪⎭⎫⎝⎛-64πx ,∴T=ωπ=4π,∴y=3tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛-46x π的周期为4π. 由k π-2π＜64π-x ＜k π+2π，得4k π-34π＜x ＜4k π+38π(k ∈Z ),y=3tan ⎪⎭⎫⎝⎛-64πx的单调增区间是⎪⎭⎫ ⎝⎛+-384,344ππππk k (k ∈Z ） ∴y=3tan ⎪⎭⎫⎝⎛-46x π的单调递减区间是⎪⎭⎫ ⎝⎛+-384,344ππππk k (k ∈Z ).回顾总结知识 方法 思想课后作业 一、填空题1.已知函数y=tan ωx 在⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ内是减函数,则ω的范围是 .答案 -1≤ω＜02.（2009·徐州模拟）函数f(x)=sinx-3cosx (x ∈［-π，0］)的单调递增区间是 . 答案 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,6π3.函数f(x)=tan ωx (ω＞0)的图象的相邻的两支截直线y=4π所得线段长为4π,则f （4π）的值是 . 答案 0 4.函数y=2sin （6π-2x ）(x ∈［0，π］)为增函数的区间是 . 答案 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡65,3ππ5.函数f(x)=lg(sin2x+3cos2x-1)的定义域是 . 答案 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧Z ∈+<<-k k x k x ,412|ππππ 6.给出下列命题：①函数y=cos ⎪⎭⎫⎝⎛+232πx 是奇函数；②存在实数α,使得sin α+cos α=23;③若α、β是第一象限角且α＜β,则tan α＜tan β; ④x=8π是函数y=sin ⎪⎭⎫⎝⎛+452πx 的一条对称轴方程；⑤函数y=sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πx 的图象关于点⎪⎭⎫⎝⎛0,12π成中心对称图形.其中命题正确的是 （填序号）. 答案 ①④7.（2008·江苏，1）f(x)=cos(ωx-6π)最小正周期为5π，其中ω＞0，则ω= . 答案 108.（2009·东海高级中学高三调研）定义在R 上的函数f(x):当sinx ≤cosx 时，f(x)=cosx;当sinx ＞cosx 时，f(x)=sinx.给出以下结论： ①f(x)是周期函数 ②f(x)的最小值为-1③当且仅当x=2k π (k ∈Z )时，f(x)取最大值 ④当且仅当2k π-2π＜x ＜(2k+1)π(k ∈Z )时，f(x)＞0 ⑤f(x)的图象上相邻最低点的距离是2π.其中正确命题的序号是 .(把你认为正确命题的序号都填上) 答案 ①④⑤ 二、解答题9.已知x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3,6ππ，若方程mcosx-1=cosx+m 有解，试求参数m 的取值范围. 解 由mcosx-1=cosx+m 得cosx=11-+m m ,作出函数y=cosx 的图象（如图所示）， 由图象可得21≤11-+m m ≤1,解得m ≤-3. 10.设a =⎪⎭⎫⎝⎛++x x xsin cos ,42sin2π,b =(4sinx,cosx-sinx),f(x)=a ·b .（1）求函数f(x)的解析式；（2）已知常数ω＞0，若y=f(ωx)在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-32,2ππ上是增函数，求ω的取值范围；（3）设集合A=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤ππ326x x，B={x||f(x)-m|＜2},若A ⊆B ，求实数m 的取值范围.解 （1）f(x)=sin 242x +π·4sinx+(cosx+sinx)·(cosx-sinx)=4sinx ·22cos 1⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x π+cos2x=2sinx(1+sinx)+1-2sin 2x=2sinx+1,∴f(x)=2sinx+1.（2）∵f(ωx)=2sin ωx+1,ω＞0.由2k π-2π≤ωx ≤2k π+2π,得f(ωx)的增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ωπωπωπωπ22,22k k ,k ∈Z . ∵f （ωx ）在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-32,2ππ上是增函数，∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡-32,2ππ⊆⎥⎦⎤⎢⎣⎡-ωπωπ2,2. ∴-2π≥ωπ2-且32π≤ωπ2,∴ω∈ ⎝⎛⎥⎦⎤43,0. （3）由|f(x)-m|＜2,得-2＜f(x)-m ＜2,即f(x)-2＜m ＜f(x)+2. ∵A ⊆B ，∴当6π≤x ≤π32时，不等式f(x)-2＜m ＜f(x)+2恒成立. ∴f （x ）max -2＜m ＜f(x)min +2,∵f(x)max =f(2π)=3,f(x)min =f(6π)=2,∴m ∈（1，4）. 11.定义在R 上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π,且当x∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π时，f （x ）=sinx.（1）求当x ∈［-π，0］时，f(x)的解析式； （2）画出函数f(x)在［-π，π］上的函数简图； （3）求当f(x)≥21时，x 的取值范围.解 （1）∵f(x)是偶函数，∴f （-x ）=f （x ）.而当x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π时，f(x)=sinx.∴当x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,2π时，f(x)=f(-x)=sin(-x)=-sinx. 又当x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2,ππ时，x+π∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π，∵f （x ）的周期为π， ∴f （x ）=f(π+x)=sin(π+x)=-sinx.∴当x ∈［-π,0］时，f(x)=-sinx. （2）如图：（3）由于f(x ）的最小正周期为π,因此先在［-π，0］上来研究f(x)≥21, 即-sinx ≥21,∴sinx ≤-21,∴-65π≤x ≤-6π. 由周期性知，当x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡--6,65ππππk k ,k ∈Z 时，f(x)≥21. 12.已知a ＞0，函数f(x)=-2asin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+62πx +2a+b,当x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π时，-5≤f(x)≤1.（1）求常数a,b 的值；(2)设g(x)=f ⎪⎭⎫ ⎝⎛+2πx 且lg g(x)＞0,求g(x)的单调区间.解 （1）∵x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π，∴2x+6π∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ67,6.∴sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+62πx ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,21， ∴-2asin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+62πx ∈［-2a,a ］.∴f(x)∈［b,3a+b ］,又∵-5≤f(x)≤1,因此可得b=-5,3a+b=1,因此a=2,b=-5.（2）由（1）知a=2,b=-5,∴f （x ）=-4sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+62πx -1,g(x)=f ⎪⎭⎫ ⎝⎛+2πx =-4sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+672πx -1=4sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+62πx -1.又由lg g(x)＞0得g(x)＞1,∴4sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+62πx -1＞1,∴sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+62πx ＞21,∴2k π+6π＜2x+6π＜2k π+65π,k ∈Z .由2k π+6π＜2x+6π≤2k π+2π(k ∈Z ),得g(x)的单调增区间为：⎥⎦⎤⎝⎛+6,πππk k （k ∈Z ）由2k π+2π≤2x+6π＜2k π+65π,得g(x)的单调减区间为⎪⎭⎫⎢⎣⎡++3,6ππππk k （k ∈Z ）.。
山东省舜耕中学高三数学一轮复习资料 第十四编 系列4选讲14.1 矩阵与变换教案 理
高三数学（理）一轮复习 教案 第十四编 系列4选讲总第69期 §14.1 矩阵与变换基础自测 1.⎥⎦⎤⎢⎣⎡4321 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-14= . 答案 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡82 2. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0211⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x = . 答案 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-x y x 2 3.设a,b ∈R ,若矩阵A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡b a 01把直线l ：x+y-1=0变成为直线m:x-y-2=0，则a= ，b= .答案 2 -14.先将平面图形作关于直线y=x 的反射变换，再将它的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的三分之一，则整个变换可以用矩阵表示为 .答案 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡031205.设A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡4321，B=⎥⎦⎤⎢⎣⎡724k ，若AB=BA ，则k= . 答案 3例题精讲例1 已知变换T 把平面上的点A （2，0），B （3，1）分别变换成点A ′(2,1),B ′(3,2)，试求变换T 对应的矩阵M.解 设M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a ，则有M ： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡02→⎥⎦⎤⎢⎣⎡''y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a ·⎥⎦⎤⎢⎣⎡02=⎥⎦⎤⎢⎣⎡c a 22=⎥⎦⎤⎢⎣⎡12，解得⎪⎩⎪⎨⎧==211c a ； M ：⎥⎦⎤⎢⎣⎡13→⎥⎦⎤⎢⎣⎡''y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a ·⎥⎦⎤⎢⎣⎡13=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++d c b a 33=⎥⎦⎤⎢⎣⎡23，解得⎪⎩⎪⎨⎧==;21,0d b 综上，M=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡212101. 例2 已知O （0，0），A （2，1），O ，A ，B ，C 依逆时针方向构成正方形的四个顶点.（1）求B ，C 两点的坐标； （2）把正方形OABC 绕点A 按顺时针方向旋转45°得到正方形AB ′C ′O ′，求B ′，C ′，O ′三点的坐标.解 （1）显然向量OA 绕O 点逆时针方向旋转90°得向量OC ，变换矩阵M =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0110. 所以有⎥⎦⎤⎢⎣⎡c c y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0110·⎥⎦⎤⎢⎣⎡12=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21，即OC =（-1，2），C 点坐标是（-1，2）. 又OB =OA +OC =（2，1）+（-1，2）=（1，3），所以B 点坐标是（1，3）.（2）变换矩阵是N =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-22222222， AO =（-2，-1），AC =（-3，1），AB =（-1，2）.⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-22222222·⎥⎦⎤⎢⎣⎡----211132=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--2232222222223.即O A '=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-22,223，C A '=(-2,22),AB ′=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛223,22∴O O '=OA +O A '=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-222,4234，点O ′的坐标是（222,2234+-）, 同理，点C ′的坐标是(2-2,1+22),点B ′的坐标是⎪⎪⎭⎫⎝⎛++2232,224. 例3 试从几何变换的角度求AB 的逆矩阵. （1）A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1002，B=⎥⎦⎤⎢⎣⎡4001；（2）A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0110，B=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--0110. 解 （1）矩阵A 对应的是伸压变换，它将平面内的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍，因此它的逆矩阵是A -1=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡10021； 同理，矩阵B 对应的也是伸压变换，它将平面内的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的4倍，因此它的逆矩阵是B -1=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡41001；所以（AB ）-1=B -1A -1=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡41001·⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡10021=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡410021. （2）矩阵A 对应的是反射变换，它将平面内的点变为该点关于直线x-y=0的对称点，所以该变换的逆变换为其自身，A -1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0110；矩阵B 对应的也是反射变换，它将平面内的点变换为与其关于原点对称的点，所以B -1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--0110； 所以，（AB ）-1=B -1A -1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--0110⎥⎦⎤⎢⎣⎡0110=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1001. 例4 （14分）已知二阶矩阵M 有特征值λ=8及对应的一个特征向量e 1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡11，并且矩阵M 对应的变换将点（-1，2）变换成（-2，4）. （1）求矩阵M ； （2）求矩阵M 的另一个特征值及对应的一个特征向量e 2的坐标之间的关系. 解 （1）设M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡d cb a，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡d cb a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡11=8⎥⎦⎤⎢⎣⎡11=⎥⎦⎤⎢⎣⎡88，故⎩⎨⎧=+=+.8,8d c b a 2分⎥⎦⎤⎢⎣⎡d cb a⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-42，故⎩⎨⎧=+--=+-.42,22d c b a 4分联立以上两方程组解得a=6,b=2,c=4,d=4,故M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡4426. 6分（2）由（1）知，矩阵M 的特征多项式为f （λ）=（λ-6）（λ-4）-8=λ2-10λ+16， 故其另一个特征值为λ=2. 9分设矩阵M 的另一个特征向量是e 2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x ，则M e 2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++y x y x 4426=2⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x ，所以⎩⎨⎧=+=+y y x xy x 244226, 12分 所以矩阵M 的另一个特征值对应的特征向量的坐标之间的关系是2x+y=0. 14分巩固练习1.（2008·南京质检）二阶矩阵M 对应的变换将点（1，-1）与（-2，1）分别变换成点（-1，-1） 与（0，-2）. （1）求矩阵M ；（2）设直线l 在变换M 作用下得到了直线m:x-y=4,求l 的方程.解 （1）设M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡d cb a ，则有⎥⎦⎤⎢⎣⎡d cb a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--11,⎥⎦⎤⎢⎣⎡d cb a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-12=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-20 所以⎩⎨⎧-=--=-11d c b a ,且⎩⎨⎧-=+-=+-2202d c b a ,解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====4321d c b a ，所以M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡4321. （2）因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡''y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡4321⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡++y x y x 432且m ：x ′-y ′=4,所以(x+2y)-(3x+4y)=4,整理得x+y+2=0，所以直线l 的方程为x+y+2=0.2.将双曲线C ：x 2-y 2=1上点绕原点逆时针旋转45°，得到新图形C ′，试求C ′的方程.解 由题意，得旋转变换矩阵M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡︒︒︒-︒45cos 45sin 45sin 45cos =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-22222222， 任意选取双曲线x 2-y 2=1上的一点P （x 0,y 0），它在变换T M 作用下变为P ′(x ′0,y ′0),则有M ⎥⎦⎤⎢⎣⎡00y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡''00y x ，故⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+='-=')(22)(22000000y x y y x x ,∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'-'='+'=)(22)(22000000x y y y x x ，又因为点P 在曲线x 2-y 2=1上，所以20x -20y =1,即有20x '0y '=1.∴所求的C ′方程为xy=21.3.（2008·徐州模拟）已知M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--7321. （1）求逆矩阵M -1；（2）若矩阵X 满足MX=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11，试求矩阵X.解 （1）设M -1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡d cb a，依题意有⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--7321=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1001，即⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+--+d c d c b a b a 723723=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1001， 则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=+=--=+,172,03,072,13d c d c b a b a ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==-==1327d c b a ∴M -1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1327. （2）∵矩阵X 满足MX=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11，∴矩阵X=M -1⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1327⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11=⎥⎦⎤⎢⎣⎡49. 4.（2008·苏州信息卷）已知矩阵M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--3113，求M 的特征值及属于各特征值的一个特征向量. 解 由3113--λλ=（λ-3）2-1=0，解得λ1=2, λ2=4.设矩阵M 的特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡yx .当λ1=2时,由M ⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x =2⎥⎦⎤⎢⎣⎡yx 可得⎩⎨⎧=-=+-00y x y x ,可见，α1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡11是M 的属于λ1=2的特征向量.当λ2=4时，由M ⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x =4⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x 可得,⎩⎨⎧=+=+00y x y x ,可见，α2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11是M 的属于λ2=4的特征向量. 回顾总结 知识 方法 思想课后作业 一、填空题1.下列矩阵是二阶单位矩阵的是 . ①⎥⎦⎤⎢⎣⎡1001 ②⎥⎦⎤⎢⎣⎡0110 ③⎥⎦⎤⎢⎣⎡0001 ④⎥⎦⎤⎢⎣⎡1000 答案 ①2.将圆x 2+y 2=1在矩阵A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡b a 00对应的伸压变换下变成一个椭圆x 2+42y =1，则a+b= .答案 33.在矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡1201对应的变换下，点A （2，1）将会转换成 . 答案 （2，5）4.若直线x-y-4=0在矩阵M =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-b a11对应的变换作用下，把自己变为自己，则a,b 的值分别为 . 答案 0，25.将点（2，4）先经矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡2001变换后，再绕原点逆时针旋转90°角所得的点坐标为 .答案 （-8，2）6.将坐标平面上的一个图形先将其横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标变为原来的一半，然后对它做关于y 轴对称的变换，再将它做关于直线y=x 对称的变换，则此平面变换所对应的二阶变换矩阵为 .答案 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-022107.若矩阵A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡133b a 把直线l:2x+y-7=0变换成另一直线l ′:9x+y-91=0,则a= ,b= . 答案 0 -1 8.矩阵M =⎥⎦⎤⎢⎣⎡2321的所有特征向量为 . 答案 k ⎥⎦⎤⎢⎣⎡32和k ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11，（k ≠0） 二、解答题9.试求曲线y=sinx 在矩阵MN 变换下的函数解析式，其中M =⎥⎦⎤⎢⎣⎡2001，N =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡10021. 解 MN =⎥⎦⎤⎢⎣⎡2001⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡10021=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡20021，即在矩阵MN 变换下⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x →⎥⎦⎤⎢⎣⎡''y x =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡y x 221，则21y ′=sin2x ′,即曲线y=sinx 在矩阵MN 变换下的函数解析式为y=2sin2x.10.已知二阶矩阵M 有特征值λ=8及对应的一个特征向量e 1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡11，并且矩阵M 对应的变换将点（-1，2）变换成（-2，4）.求直线l:x-y+1=0在矩阵M 的变换下的直线l ′的方程. 解 设M =⎥⎦⎤⎢⎣⎡d cb a ，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡d cb a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡11=8⎥⎦⎤⎢⎣⎡11=⎥⎦⎤⎢⎣⎡88，故⎩⎨⎧=+=+.8,8d c b a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡d cb a⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-42，故⎩⎨⎧=+--=+-.42,22d c b a联立以上两方程组解得a=6,b=2,c=4,d=4,故M =⎥⎦⎤⎢⎣⎡4426. 设点（x ，y ）是直线l 上的任一点，其在矩阵M 的变换下对应的点的坐标为（x ′,y ′）， 则⎥⎦⎤⎢⎣⎡''y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡4426⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡++y x y x 4426，即x=41x ′-81y ′,y=-41x ′+83y ′,代入直线l 的方程后并化简得x ′-y ′+2=0,即x-y+2=0.所以变换后的直线方程为x-y+2=0.11.（2008·如东质检）已知矩阵A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-111a ，其中a ∈R ，若点P （1，1）在矩阵A 的变换下得到点P ′（0，-3）. （1）求实数a 的值；（2）求矩阵A 的特征值及特征向量. 解（1）由⎥⎦⎤⎢⎣⎡-111a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡11=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-30得a+1=-3⇒a=-4. （2）由（1）知A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1411则矩阵A 的特征多项式为f （λ）=1411--λλ=（λ-1）2-4=λ2-2λ-3令f(λ)=0,得矩阵A 的特征值为-1或3.设矩阵A 的特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x ，当λ=-1时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1411⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x =(-1) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x ，即⎩⎨⎧-=+--=-y y x xy x 4,所以y=2x. ∴矩阵A 的属于特征值-1的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡21. 当λ=3时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1411⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x =3⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x ,即⎩⎨⎧=+-=-y y x xy x 343,所以2x+y=0. ∴矩阵A 的属于特征值3的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21.12.（2008·江苏）在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆4x 2+y 2=1在矩阵A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1002对应的变换下得到曲线F ，求F 的方程.解 设P （x 0,y 0）是椭圆上任意一点，点P （x 0，y 0）在矩阵A 对应的变换下变为点P ′(0x ',0y '),则有 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡''00y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡1002⎥⎦⎤⎢⎣⎡00y x ，即⎩⎨⎧='=',,20000y y x x 所以⎪⎩⎪⎨⎧'='=.,20000y y x x 又因为点P 在椭圆上，故420x +20y =1,从而(0x ')2+(0y ')2=1.所以曲线F 的方程为x 2+y 2=1. 13.已知矩阵A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡3421，求特征值及特征向量. 解 矩阵A 的特征多项式为f(λ)=3421----λλ.令f(λ)=0,即λ2-4λ-5=0,得λ1=-1, λ2=5,所以矩阵A 的特征值为λ1=-1, λ2=5. 将λ1=-1代入二元一次方程组⎩⎨⎧=-+-=-+-0)3()4(0)2()1(y x y x λλ. ①，即⎩⎨⎧=--=--044022y x y x ,得x=y,它有无穷多个非零解⎥⎦⎤⎢⎣⎡x x ,其中x ≠0,故⎥⎦⎤⎢⎣⎡11为矩阵属于特征值λ=-1的特征向量. 同样，将λ1=5代入二元一次方程组①，则⎩⎨⎧=+-=-024,024y x y x 得y=2x,它有无穷多个非零解⎥⎦⎤⎢⎣⎡xx 2，其中x ≠0,故⎥⎦⎤⎢⎣⎡21为矩阵属于特征值λ=5的特征向量.14.已知矩阵M 有特征值λ1=4及对应的一个特征向量e 1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡32，并有特征值λ2=-1及对应的一个特征向量e 2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11. （1）求矩阵M ；（2）求M 2 008e 2.解 （1）设M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡d cb a，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡d cb a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡32=4⎥⎦⎤⎢⎣⎡32=⎥⎦⎤⎢⎣⎡128，故⎩⎨⎧=+=+1232832d c b a .又⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11=（-1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11，故⎩⎨⎧=--=-11d c b a . 联立以上两个方程组， 解得a=1,b=2,c=3,d=2,故M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2321. （2）M2 008e 2=λ20082e 2=（-1）2 008⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11.。
山东省舜耕中学2012届高三数学一轮复习资料 第四编 三角函数及三角恒等变换 4.4 函数y=Asi
高三数学（理）一轮复习作业 第四编 三角函数及三角恒等变换总第19期§4.4 函数y=Asin(ωx+ϕ)的图象及三角函数模型的简单应用班级 姓名 等第一、填空题1.某三角函数图象的一部分如下图所示，则该三角函数为 .2.（2008·全国Ⅰ理，8）为得到函数y=cos ⎪⎭⎫⎝⎛+32πx 的图象，只需将函数y=sin2x 的图象向 平移 个单位长度.3.（2008·湖南理，6）函数f(x)=sin 2x+3sinxcosx 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,4ππ上的最大值是 .4.（2008·四川理，10）设f （x ）=sin （ωx+ϕ），其中ω＞0,则f(x)是偶函数的充要条件是 .5.函数y=3sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+321πx 的周期、振幅依次是 6.若函数f(x)=2sin(ϕω+x )对任意x 都有f ⎪⎭⎫ ⎝⎛+x 6π=f ⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 6π，则f ⎪⎭⎫ ⎝⎛6π= . 7.（2008·辽宁理，16）已知f(x)=sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+3πωx (ω＞0),f ⎪⎭⎫ ⎝⎛6π=f ⎪⎭⎫ ⎝⎛3π,且f(x)在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛3,6ππ上有最小值，无最大值，则ω= . 8.函数y=|sinx|cosx-1的最小正周期与最大值的和为 .二、解答题9.是否存在实数a ，使得函数y=sin 2x+acosx+85a-23在闭区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的最大值是1？若存在，求出对应的a 值；若不存在，说明理由.10.已知函数f(x)=sin （ωx+6π）+sin （ωx-6π）-2cos 22x ω,x ∈R (其中ω＞0). (1)求函数f(x)的值域；(2)若对任意的a ∈R ，函数y=f(x),x ∈(a,a+π］的图象与直线y=-1有且仅有两个不同的交点，试确定ω的值（不必证明），并求函数y=f(x),x ∈R 的单调增区间.11.（2008·安徽理，17）已知函数f(x)=cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32πx +2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-4πx ·sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πx . (1)求函数f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程;(2)求函数f(x)在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,12ππ上的值域.12.（2008·湖北理，16）已知函数f(t)=t t +-11，g(x)=cosx ·f(sinx)+sinx ·f(cosx),x ∈⎥⎦⎤ ⎝⎛1217,ππ. （1）将函数g(x)化简成Asin(ωx+ϕ)+B(A ＞0, ω＞０, ϕ∈［0，2π)）的形式；（2）求函数g(x)的值域.。
山东省济南市舜耕中学高三数学文下学期期末试题含解析
山东省济南市舜耕中学高三数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知奇函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（）A． B． C． D．参考答案：D略2. 函数的零点个数是(A)0 (B)l (C)2 (D)4参考答案：C略3. 函数（a>0且）的反函数是A. B.C. D.参考答案：A略4. 函数的图象大致是（）参考答案：D5. 如图，在△ABC的边AB、AC上分别取点M、N，使，BN与CM交于点P，若，，则的值为A．Ｂ．Ｃ．Ｄ．12参考答案：D略6. 设等差数列{a n}的前n项和为S n，若2a6＝6+a7，则S9的值是（）A．27 B．36 C．45 D．54参考答案：D【解答】解：在等差数列{a n}中，∵2a6＝a5+a7，又由已知2a6＝6+a7，得a5＝6，∴S9＝9a5＝54．7. 如果复数（其中i为虚数单位，b为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b等于（）A、－B、C、D、2参考答案：D8. 已知向量，若为实数，∥，则=A．2 B．1 C．D．参考答案：C略9. 若复数，在复平面内对应的点关于y轴对称，且，则复数（）A．－1 B．1 C．D．参考答案：C，所以，故选C.10. 在△ABC中，，，若，则（）A. B. C. D.参考答案：D【分析】由可知，点是的中点，由，可以确定点是的中点，以为基底，表示出，最后确定的关系.【详解】因为，所以点是的中点，又因为，所以点是的中点，所以有：，因此，故本题选D.【点睛】本题考查了向量加法的几何意义、平面向量基本定理.解题的关键是对向量式的理解、对向量加法的几何意义的理解.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设两直线与，若，则▲；若，则▲．参考答案：【知识点】两直线的位置关系H2由则（3+m ）（5+m ）-42=0,得m=-1或m=-7,当m=-1时重合，舍去。
山东省舜耕中学高三数学一轮复习资料 第三编 导数及其应用 3.2 导数的应用(教师)理
高三数学（理）一轮复习 教案 第三编 导数及其应用 总第13期 §3.2 导数的应用基础自测1.函数y=f(x)的图象过原点且它的导函数g=f ′(x)的图象是如图所示的一条直线，则y=f(x)图象的顶点在第 象限. 答案 一2.已知对任意实数x,有f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),且x ＞0时，f ′(x)＞0,g ′(x)＞0，则x ＜0时，f ′(x) 0,g ′(x) 0.(用“＞”, “=”,“＜”填空) 答案 ＞ ＜3.（·广东理，7）设a ∈R ,若函数y=e ax+3x,x ∈R 有大于零的极值点,则a 的取值范围是 . 答案 a ＜-34.函数y=3x 2-2lnx 的单调增区间为 ，单调减区间为 . 答案 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞,33 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛33,0 5.（·江苏，14）f(x)=ax 3-3x+1对于x ∈［-1,1］总有f(x)≥0成立，则a= .答案 4例题精讲例1 已知f(x)=e x-ax-1.（1）求f(x)的单调增区间；（2）若f(x ）在定义域R 内单调递增，求a 的取值范围；（3）是否存在a,使f(x)在（-∞，0］上单调递减，在［0，+∞）上单调递增？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.解 f ′(x)= e x-a.(1)若a ≤0，f ′(x)= e x-a ≥0恒成立，即f(x)在R 上递增.若a ＞0, e x -a ≥0,∴e x≥a,x ≥lna. ∴f(x)的递增区间为（lna ，+∞）.（2）∵f （x ）在R 内单调递增，∴f ′(x)≥0在R 上恒成立. ∴e x -a ≥0，即a ≤e x在R 上恒成立.∴a ≤（e x ）min ，又∵e x＞0,∴a ≤0.（3）方法一 由题意知e x-a ≤0在（-∞，0］上恒成立.∴a ≥e x在（-∞，0］上恒成立. ∵e x在（-∞，0］上为增函数.∴x=0时，e x最大为1.∴a ≥1.同理可知e x-a ≥0在［0，+∞）上恒成立.∴a ≤e x在［0，+∞）上恒成立.∴a ≤1，∴a=1.方法二 由题意知，x=0为f(x)的极小值点.∴f ′(0)=0,即e 0-a=0,∴a=1.例2 已知函数f(x)=x 3+ax 2+bx+c,曲线y=f(x ）在点x=1处的切线为l:3x-y+1=0，若x=32时，y=f(x ）有极值.（1）求a,b,c 的值；（2）求y=f(x ）在［-3，1］上的最大值和最小值.解 （1）由f （x)=x 3+ax 2+bx+c,得f ′(x)=3x 2+2ax+b,当x=1时，切线l 的斜率为3，可得2a+b=0 ①当x=32时，y=f(x)有极值，则f ′（32）=0, 可得4a+3b+4=0 ②由①②解得a=2,b=-4.由于切点的横坐标为x=1,∴f(1)=4. ∴1+a+b+c=4.∴c=5.（2）由（1）可得f(x)=x 3+2x 2-4x+5,∴f ′(x)=3x 2+4x-4, 令f ′(x)=0,得x=-2,x=32.∴ y=f(x)在[-3，1]上的最大值为13，最小值为2795例3 （14分）已知函数f(x)=x 2e -ax(a ＞0),求函数在［1，2］上的最大值.解 ∵f （x ）=x 2e -ax（a ＞0）,∴f ′(x)=2xe -ax +x 2·（-a)e -ax =e -ax (-ax 2+2x). 3分 令f ′(x)＞0,即e -ax(-ax 2+2x)＞0,得0＜x ＜a2. ∴f(x)在（-∞,0),⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,2a上是减函数，在⎪⎭⎫ ⎝⎛a 2,0上是增函数.①当0＜a2＜1,即a ＞2时,f(x ）在（1，2）上是减函数, ∴f （x ）max =f （1）=e -a. 8分②当1≤a2≤2,即1≤a ≤2时， f(x)在（1,a 2）上是增函数，在（a 2,2）上是减函数， ∴f(x)max =f （a2）=4a -2e -2. 12分③当a2＞2时，即0＜a ＜1时，f(x)在（1，2）上是增函数， ∴f （x ）max =f （2）=4e -2a.综上所述，当0＜a ＜1时，f(x)的最大值为4e -2a,当1≤a ≤2时，f(x)的最大值为4a -2e -2,当a ＞2时，f(x)的最大值为e -a. 14分 例4 某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a 元（3≤a ≤5）的管理费，预计当每件产品的售价为x 元（9≤x ≤11）时，一年的销售量为（12-x ）2万件.（1）求分公司一年的利润L （万元）与每件产品的售价x 的函数关系式；（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L 最大，并求出L 的最大值Q （a ）.解 （1）分公司一年的利润L （万元）与售价x 的函数关系式为：L=(x-3-a)(12-x)2,x ∈［9,11］.(2)L ′(x)=(12-x)2-2(x-3-a)(12-x) =(12-x)(18+2a-3x). 令L ′=0得x=6+32a 或x=12（不合题意，舍去）. ∵3≤a ≤5,∴8≤6+32a ≤328. 在x=6+32a 两侧L ′的值由正变负. 所以①当8≤6+32a ＜9即3≤a ＜29时， L max =L(9)=(9-3-a)(12-9)2=9(6-a). ②当9≤6+32a ≤328即29≤a ≤5时， L max =L(6+32a)=(6+32a-3-a)［12-(6+32a)］2=4(3-31a)3.所以Q(a)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-<≤-.529,)313(4,293),6(93a a a a答 若3≤a ＜29，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L 最大，最大值Q （a ）=9(6-a)（万元）；若29≤a ≤5，则当每件售价为(6+32a)元时，分公司一年的利润L 最大，最大值Q(a)=4（3-31a ）3(万元).巩固练习1.已知函数f(x)=x 3-ax-1.（1）若f(x)在实数集R 上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）是否存在实数a,使f(x)在（-1，1）上单调递减？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由；（3）证明：f(x)=x 3-ax-1的图象不可能总在直线y=a 的上方.（1）解 由已知f ′(x)=3x 2-a,∵f(x)在（-∞,+∞）上是单调增函数，∴f ′(x)=3x 2-a ≥0在（-∞,+∞）上恒成立，即a ≤3x 2对x ∈R 恒成立.∵3x 2≥0,∴只需a ≤0,又a=0时，f ′(x)=3x 2≥0,故f(x)=x 3-1在R 上是增函数，则a ≤0.（2）解 由f ′(x)=3x 2-a ≤0在(-1,1)上恒成立，得a ≥3x 2,x ∈(-1,1)恒成立.∵-1＜x ＜1,∴3x 2＜3,∴只需a ≥3.当a=3时，f ′(x)=3(x 2-1), 在x ∈(-1,1)上，f ′(x)＜0,即f(x)在（-1，1）上为减函数，∴a ≥3.故存在实数a ≥3,使f(x)在（-1，1）上单调递减. （3）证明 ∵f(-1)=a-2＜a,∴f(x)的图象不可能总在直线y=a 的上方.2.求函数y=x 4-2x 2+5在区间［-2,2］上的最大值与最小值.解 先求导数,得y ′=4x 3-4x令y ′=0,即4x 3-4x=0. 解得xx 2=0,x 3=1.导数y ′的正负以及f(-2),f(2)如下表:从上表知,当x=±2时,函数有最大值13, 当x=±1时,函数有最小值4. 3.（·山东理，21）已知函数f(x)=nx )1(1-+aln(x-1),其中n ∈N *,a 为常数.(1)当n=2时,求函数f(x)的极值;(2)当a=1时,证明:对任意的正整数n,当x ≥2时,有f(x)≤x-1. (1)解 由已知得函数f(x)的定义域为{x|x ＞1}, 当n=2时,f(x)=2)1(1x -+aln(x-1), 所以f ′(x)=32)1()1(2x x a ---.①当a ＞0时,由f ′(x)=0,得 x 1=1+a 2＞1,x 2=1-a2＜1,此时f ′(x)=321)1())((x x x x x a ----.当x ∈(1,x 1)时,f ′(x)＜0,f(x)单调递减;当x ∈(x 1,+∞)时,f ′(x)＞0,f(x)单调递增.②当a ≤0时,f ′(x)＜0恒成立,所以f(x)无极值. 综上所述,n=2时, 当a ＞0时,f(x)在x=1+a2处取得极小值, 极小值为f （1+a2）=2a （1+ln a 2）.当a ≤0时,f(x)无极值.(2)证明 方法一 因为a=1, 所以f(x)=nx )1(1-+ln(x-1).当n 为偶数时, 令g(x)=x-1-nx )1(1--ln(x-1), 则g ′(x)=1+1)1(1+-n x -11-x=12--x x +1)1(+-n x n＞0 (x ≥2). 所以,当x ∈［2,+∞)时,g(x)单调递增,又g(2)=0, 因此,g(x)=x-1-nx )1(1--ln(x-1)≥g(2)=0恒成立,所以f(x)≤x-1成立.当n 为奇数时,要证f(x)≤x-1,由于nx )1(1-＜0,所以只需证ln(x-1)≤x-1, 令h(x)=x-1-ln(x-1), 则h ′(x)=1-11-x =12--x x ≥0(x ≥2), 所以,当x ∈［2,+∞)时,h(x)=x-1-ln(x-1)单调递增, 又h(2)=1＞0,所以当x ≥2时,恒有h(x)＞0, 即ln(x-1)＜x-1命题成立. 综上所述,结论成立. 方法二 当a=1时,f(x)=nx )1(1-+ln(x-1).当x ≥2时,对任意的正整数n,恒有nx )1(1-≤1,故只需证明1+ln(x-1)≤x-1. 令h(x)=x-1-(1+ln(x-1)) =x-2-ln(x-1),x ∈［2,+∞). 则h ′(x)=1-11-x =12--x x , 当x ≥2时,h ′(x)≥0,故h(x)在［2,+∞)上单调递增, 因此,当x ≥2时,h(x)≥h(2)=0, 即1+ln(x-1)≤x-1成立. 故当x ≥2时,有nx )1(1-+ln(x-1)≤x-1.即f(x)≤x-1.4.某造船公司年造船量是已知造船x 艘的产值函数为R （x ）=3 700x+45x 2-10x 3（单位：万元），成本函数为C （x ）=460x+5 000（单位：万元），又在经济学中，函数f （x ）的边际函数Mf （x ）定义为Mf （x ）=f （x+1）-f （x ）. （1）求利润函数P （x ）及边际利润函数MP （x ）；（提示：利润=产值-成本） （2）问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？（3）求边际利润函数MP （x ）的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？解 （1）P （x ）=R （x ）-C （x ）=-10x 3+45x 2+3 240x-5 000（x ∈N *，且1≤x ≤MP(x)=P(x+1)-P(x)=-30x 2+60x+3 275 (x ∈N *,且1≤x ≤19).（2）P ′(x)=-30x 2+90x+3 240=-30(x-12)(x+9), ∵x ＞0,∴P ′(x)=0时,x=12，∴当0＜x ＜12时，P ′(x)＞0,当x ＞12时，P ′(x)＜0, ∴x=12时，P(x)有最大值.即年造船量安排12艘时，可使公司造船的年利润最大.（3）MP （x ）=-30x 2+60x+3 275=-30（x-1）2+3 305. 所以，当x ≥1时，MP(x)单调递减，所以单调减区间为［1，19］，且x ∈N *.MP （x ）是减函数的实际意义是：随着产量的增加，每艘利润与前一艘比较，利润在减少.回固总结 知识 方法 思想课后作业 一、填空题1.已知f （x ）的定义域为R ，f （x ）的导函数f ′（x ）的图象如图所示，则下列说法中错误的有 （填序号）.①f(x)在x=1处取得极小值②f （x ）在x=1处取得极大值 ③f （x ）是R 上的增函数④f （x ）是（-∞，1）上的减函数，（1，+∞）上的增函数 答案 ①②④2.函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f ′(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内极小值点有 个. 答案 13.函数f(x)=x 2-2ax+a 在区间（-∞，1）上有最小值，则函数g(x)=xx f )(在区间（1，+∞）上一定是 函数.（用“增”、“减”填空） 答案 增4.用边长为48 cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊接成铁盒，所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为 cm. 答案 85.已知f(x)=2x 3-6x 2+a (a 是常数）在［-2，2］上有最大值3，那么在［-2，2］上f(x ）的最小值是 . 答案 -37 6.已知函数f(x)=21x 4-2x 3+3m,x ∈R ,若f(x)+9≥0恒成立,则实数m 的取值范围是 . 答案 m ≥237.已知函数f(x)=x 3-12x+8在区间［-3，3］上的最大值与最小值分别为M ，m ，则M-m= . 答案 328.已知函数f(x)的导数f ′(x)=a(x+1)·(x-a),若f(x)在x=a 处取到极大值，则a 的取值范围是 . 答案 （-1，0） 二、解答题 9.设a ＞0,函数f(x)=12++x b ax ,b 为常数.（1）证明：函数f(x)的极大值点和极小值点各有一个； （2）若函数f(x ）的极大值为1，极小值为-1，试求a 的值. （1）证明 f ′(x)=222)1(2++--x a bx ax ,令f ′(x)=0,得ax 2+2bx-a=0(*)∵Δ=4b 2+4a 2＞0,∴方程（*)有两个不相等的实根，记为x 1,x 2(x 1＜x 2), 则f ′(x)=2221)1())((+---x x x x x a ,当x 变化时，f ′(x ）与f(x ）的变化情况如下表：f(x)的极大值点和极小值点各有一个.（2）解 由（1）得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=-=++=11)(11)(22222111x b ax x f x b ax x f即⎪⎩⎪⎨⎧+=+--=+②1①1222211x b ax x b ax两式相加，得a(x 1+x 2)+2b=x 22-x 21.∵x 1+x 2=-ab 2,∴x 22-x 21=0, 即(x 2+x 1)(x 2-x 1)=0, 又x 1＜x 2,∴x 1+x 2=0,从而b=0,∴a （x 2-1）=0，得xx 2=1, 由②得a=2.10.（·徐州模拟）已知函数f(x)=3342+x x ,x ∈［0，2］.（1）求f(x)的值域；（2）设a ≠0,函数g(x)=31ax 3-a 2x,x ∈［0，2］.若对任意x 1∈［0，2］，总存在x 2∈［0，2］，使f(x 1)-g(x 2)=0.求实数a 的取值范围.解 （1）方法一 对函数f(x)求导，f ′(x)=34·222)1(1+-x x .令f ′(x)=0,得x=1或x=-1.当x ∈(0,1)时，f ′(x)＞0,f(x)在(0,1）上单调递增；当x ∈(1,2)时，f ′(x)＜0,f(x)在（1，2）上单调递减.又f(0)=0,f(1)=32,f(2)=158, ∴当x ∈［0，2］时，f(x)的值域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,0.方法二 当x=0时，f(x)=0; 当x ∈(0，2］时，f(x)＞0且 f(x)=34·xx 11+≤34·xx 121⋅=32，当且仅当x=x1,即x=1时，“=”成立. ∴当x ∈［0，2］时，f(x)的值域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,0.(2)设函数g(x)在［0，2］上的值域是A. ∵对任意x 1∈［0，2］，总存在x 0∈［0，2］，使f(x 1)-g(x 0)=0,∴⊆⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,0 A.对函数g(x)求导，g ′(x)=ax 2-a 2. ①当x ∈(0,2),a ＜0时，g ′(x)＜0, ∴函数g(x)在（0，2）上单调递减. ∵g(0)=0,g(2)=38a-2a 2＜0,∴当x ∈［0，2］时，不满足⊆⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,0A ；②当a ＞0时，g ′(x)=a(x-a )(x+a )，令g ′(x)=0，得x=a 或x=-a （舍去）. （ⅰ)当x ∈［0，2］，0＜a ＜2时，列表：∵g(0)=0,g(a )＜0,又∵⊆⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,0A ，∴g （2）=2238a a -≥32. 解得31≤a ≤1.(ⅱ)当x ∈(0,2),a ≥2时，g ′(x)＜0, ∴函数在（0，2）上单调递减， ∵g （0）=0，g （2）=2238a a -＜0,∴当x ∈［0，2］时，不满足⊆⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,0 A.综上，实数a 的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,31. 11.已知函数f （x ）=x 3-ax 2-3x.（1）若f （x ）在区间［1，+∞）上是增函数，求实数a 的取值范围； （2）若x=-31是f （x ）的极值点，求f （x ）在［1，a ］上的最大值；（3）在（2）的条件下，是否存在实数b ，使得函数g （x ）=bx 的图象与函数f （x ）的图象恰有3个交点，若存在，请求出实数b 的取值范围；若不存在，试说明理由.解 （1）f ′(x)=3x 2-2ax-3∵f(x)在［1，+∞）上是增函数,∴f ′(x)在［1，+∞）上恒有f ′(x)≥0，即3x 2-2ax-3≥0在［1，+∞）上恒成立 则必有3a≤1且f ′(1)=-2a ≥0,∴a ≤0. (2）依题意，f ′(-31)=0,即31+32a-3=0∴a=4,∴f （x ）=x 3-4x 2-3x令f ′（x ）=3x 2-8x-3=0， 得x 1=-31，x 2=3.则当x 变化时，f ′(x),f(x)的变化情况如下表：∴f （x ）在［1，4］上的最大值是f （1）=-6.（3）函数g （x ）=bx 的图象与函数f （x ）的图象恰有3个交点，即方程x 3-4x 2-3x=bx 恰有3个不等实根∴x 3-4x 2-3x-bx=0， ∴x=0是其中一个根，∴方程x 2-4x-3-b=0有两个非零不等实根， ∴⎩⎨⎧≠-->++=∆030)3(416b b ,∴b ＞-7且b ≠-3.∴存在符合条件的实数b ，b 的范围为b ＞-7且b ≠- 3. 12.(·安徽理，函数f （x ）=xx ln 1（x ＞0且x ≠1）. （1）求函数f （x ）的单调区间；（2）已知2x1＞x a对任意x ∈（0，1）成立，求实数a 的取值范围. 解 （1）f ′(x)=-xx x 22ln 1ln +，若f ′(x)=0,则x=e1.所以f(x)的单调增区间为（0, e1）， 单调减区间为（e1,1）和（1，+∞）. （2）在2x1＞x a两边取对数，得x1ln2＞alnx. 由于x ∈(0,1)，所以2ln a ＞xx ln 1. ①由（1）的结果知，当x ∈(0,1)时，f(x)≤f （e1）=-e. 为使①式对所有x ∈(0,1)成立，当且仅当2ln a＞-e, 即a ＞-eln2.。
山东省舜耕中学高三数学一轮复习资料 第四编 三角函数及三角恒等变换 4.4 函数y=Asin(
高三数学（理）一轮复习教案 第四编 三角函数及三角恒等变换总第19期§4.4 函数y=Asin(ωx+ϕ)的图象及三角函数模型的简单应用基础自测1.（2008·天津理，3）设函数f （x ）=sin ⎪⎭⎫⎝⎛-22πx ，x ∈R ，则f （x ）是 （填序号）.①最小正周期为π的奇函数 ②最小正周期为π的偶函数 ③最小正周期为2π的奇函数 ④最小正周期为2π的偶函数 答案 ②2.（2008· 浙江理，5）在同一平面直角坐标系中,函数y=cos ⎪⎭⎫⎝⎛+232πx(x ∈[0,2π])的图象和直线y=21的交点个数是 个. 答案 23.为了得到函数y=2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+63πx ，x ∈R 的图象，只需把函数y=2sinx ，x ∈R 的图象上所有的点向 平移 单位，再把所有各点的横坐标变为原来的 倍. 答案 左6π3 4.下面有五个命题：①函数y=sin 4x-cos 4x 的最小正周期是π.②终边在y 轴上的角的集合是{α|α=2πk ,k ∈Z }.③在同一坐标系中，函数y=sinx 的图象和函数y=x 的图象有三个公共点. ④把函数y=3sin(2x+3π)的图象向右平移6π得到y=3sin2x 的图象. ⑤函数y=sin(x-2π)在［0,π］上是减函数，其中，真命题的编号是 . 答案 ①④5.已知函数f(x)=2sin ωx (ω＞0)在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,3ππ上的最小值是-2，则ω的最小值等于 . 答案 23例题精讲例1 已知函数y=2sin ⎪⎭⎫⎝⎛+32πx ,(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；(3)说明y=2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πx 的图象可由y=sinx 的图象经过怎样的变换而得到.解 （1）y=2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πx 的振幅A=2,周期T=22π=π，初相ϕ=3π. （2）令X=2x+3π,则y=2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πx =2sinX ，列表，并描点画出图象：（3）方法一 把y=sinx 的图象上所有的点向左平移3π个单位，得到y=sin ⎪⎭⎫⎝⎛+3πx 的图象，再把y=sin ⎪⎭⎫⎝⎛+3πx 的图象上的点的横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），得到y=sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πx 的图象，最后把y=sin ⎪⎭⎫⎝⎛+32πx 上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），即可得到y=2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πx 的图象.方法二 将y=sinx 的图象上每一点的横坐标x 缩短为原来的21倍，纵坐标不变，得到y=sin2x 的图象；再将y=sin2x 的图象向左平移6π个单位；得到y=sin2⎪⎭⎫ ⎝⎛+6πx =sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πx 的图象；再将y=sin ⎪⎭⎫⎝⎛+32πx 的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到y=2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πx 的图象.例2 如图为y=Asin （ωx+ϕ）的图象的一段，求其解析式. 解 方法一 以N 为第一个零点，则A=-3，T=2⎪⎭⎫⎝⎛-365ππ=π，∴ω=2，此时解析式为y=-3sin （2x+ϕ）.∵点N ⎪⎭⎫⎝⎛-0,6π，∴-6π×2+ϕ=0，∴ϕ=3π， 所求解析式为y=-3sin ⎪⎭⎫⎝⎛+32πx 。
2018版高考数学(理)一轮复习文档：选修系列第十四章14.2第2课时含解析
第2课时不等式的证明1．不等式证明的方法（1）比较法:①作差比较法：知道a〉b⇔a－b〉0，a<b⇔a－b<0,因此要证明a〉b只要证明a－b〉0即可，这种方法称为作差比较法．②作商比较法：由a〉b〉0⇔错误!>1且a>0，b>0，因此当a>0，b〉0时,要证明a>b,只要证明错误!>1即可,这种方法称为作商比较法．(2)综合法：从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，最终推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫综合法．即“由因导果”的方法．（3)分析法：从待证不等式出发,逐步寻求使它成立的充分条件，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等)，从而得出要证的不等式成立，这种证明方法叫分析法．即“执果索因”的方法．（4）反证法和放缩法：①先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件,应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件（或已证明的定理、性质、明显成立的事实等）矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，这种方法叫做反证法．②在证明不等式时,有时要把所证不等式的一边适当地放大或缩小，此利于化简并使它与不等式的另一边的关系更为明显，从而得出原不等式成立，这种方法称为放缩法．(5)数学归纳法:一般地,当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时,可以用以下两个步骤：①证明当n＝n0时命题成立；②假设当n＝k（k∈N＊，且k≥n0)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立．在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳法．2．几个常用基本不等式（1）柯西不等式：①柯西不等式的代数形式：设a，b,c，d都是实数,则（a2＋b2）（c2＋d2）≥（ac＋bd)2（当且仅当ad＝bc时，等号成立)．②柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则|α|｜β｜≥|α·β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．③柯西不等式的三角不等式：设x1，y1，x2，y2，x3，y3∈R,则x1－x22＋y1－y22＋错误!≥错误!.④柯西不等式的一般形式：设a1,a2,a3，…，a n，b1，b2，b3，…，b n 是实数，则(a错误!＋a错误!＋…＋a错误!)（b错误!＋b错误!＋…＋b错误!)≥（a1b1＋a2b2＋…＋a n b n）2，当且仅当b i＝0 （i＝1,2，…,n)或存在一个数k，使得a i＝kb i (i＝1,2，…，n）时，等号成立．(2）算术—几何平均不等式若a1，a2,…,a n为正数，则错误!≥错误!,当且仅当a1＝a2＝…＝a n时，等号成立．1．设a,b，m,n∈R，且a2＋b2＝5,ma＋nb＝5,求错误!的最小值．解根据柯西不等式(ma＋nb）2≤(a2＋b2）(m2＋n2），得25≤5(m2＋n2)，m2＋n2≥5，m2＋n2的最小值为错误!.2．若a，b，c∈(0,＋∞),且a＋b＋c＝1,求错误!＋错误!＋错误!的最大值．解（错误!＋错误!＋错误!)2＝（1×错误!＋1×错误!＋1×错误!)2≤(12＋12＋12)(a＋b＋c)＝3.当且仅当a＝b＝c＝错误!时，等号成立．∴（错误!＋错误!＋错误!）2≤3。
2018版高考数学(理)一轮复习题库：选修系列选修4-1第1讲相似三角形的判定及有关性质含解析
选修4—1 几何证明选讲第1讲相似三角形的判定及有关性质一、填空题1．如图，已知M是▱ABCD的边AB的中点，CM交BD于E，图中阴影部分面积与▱ABCD的面积之比为________．解析S△BMD＝错误!S△ABD＝错误!S▱ABCD,由BM∥CD，得△DCE∽△BME,则DE∶BE＝CD∶BM＝2∶1，所以S△DME∶S△BMD＝DE∶BD＝2∶3,即S△DME＝错误!S△BMD，又S△DME＝S△BCE，所以S阴影＝2S△DME＝错误!S△BMD＝错误!×错误!S▱ABCD＝错误!S▱ABCD，即S阴影∶S▱ABCD＝1∶3.答案1∶32．梯形ABCD中，AD∥BC，AD∶BC＝a∶b。
中位线EF＝m，则MN的长是________．解析易知EF＝错误!(AD＋BC)，EM＝错误!AD.FN＝错误!AD。
又AD∶BC＝a∶b，设AD＝ak。
则BC＝bk。
∵EF＝错误!（AD＋BC）,∴m＝错误!(a＋b)，∴k＝错误!。
∴MN＝EF－EM－NF＝m－错误!ak－错误!ak＝m－ak＝错误!.答案错误!3. 如图，已知AB∥EF∥CD，若AB＝4，CD＝12，则EF＝________。
解析∵AB∥CD∥EF,∴错误!＝错误!，错误!＝错误!，∴错误!＝错误!,错误!＝错误!，∴4（BC－BF)＝12BF，∴BC＝4BF，∴错误!＝错误!＝错误!，∴EF＝3。
答案 34. 如图,在△ABC中，D是AC的中点,E是BD的中点，AE交于BC于F，则错误!＝________。
解析如图，过点D作DG∥AF，交BC于点G，易得FG＝GC,又在三角形BDG中，BE＝DE，即EF为三角形BDG的中位线，故BF＝FG,因此错误!＝错误!.答案错误!5。
如图,∠C＝90°,∠A＝30°，E是AB中点,DE⊥AB于E，则△ADE与△ABC 的相似比是________．解析∵E为AB中点，∴错误!＝错误!，即AE＝错误!AB,在Rt△ABC中，∠A＝30°,AC＝错误!AB,又∵Rt△AED∽Rt△ACB，∴相似比为错误!＝错误!.故△ADE与△ABC的相似比为1∶错误!。
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高三数学（理）一轮复习 作业 第十四编 系列4选讲总第69
期 §14.1 矩阵与变换
班级 姓名
等第
一、填空题
1.下列矩阵是二阶单位矩阵的是 .
①⎥⎦⎤⎢⎣⎡1001 ②⎥⎦⎤⎢⎣⎡0110 ③⎥⎦⎤⎢⎣⎡0001 ④⎥⎦
⎤⎢⎣⎡1000 2.将圆x 2+y 2=1在矩阵A =⎥⎦
⎤⎢⎣⎡b a 00对应的伸压变换下变成一个椭圆x 2+42y =1，则a+b= .
3.在矩阵⎥⎦
⎤⎢⎣⎡1201对应的变换下，点A （2，1）将会转换成 . 4.若直线x-y-4=0在矩阵M =⎥⎦⎤⎢
⎣⎡-b a 11对应的变换作用下，把自己变为自己，则a,b 的值分别为 .
5.将点（2，4）先经矩阵⎥⎦
⎤⎢⎣⎡2001变换后，再绕原点逆时针旋转90°角所得的点坐标为 .
6.将坐标平面上的一个图形先将其横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标变为原来的一半，然后对它做关于y 轴对称的变换，再将它做关于直线y=x 对称的变换，则此平面变换所对应的二阶变换矩阵为 .
7.若矩阵A =⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡133b a 把直线l:2x+y-7=0变换成另一直线l ′:9x+y-91=0,则a= ,b= .
8.矩阵M =⎥⎦⎤⎢⎣⎡2321的所有特征向量为 . 二、解答题
9.试求曲线y=sinx 在矩阵MN 变换下的函数解析式，其中M =⎥⎦⎤⎢⎣⎡2001，N =⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡10021.
10.已知二阶矩阵M 有特征值λ=8及对应的一个特征向量e 1=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡11，并且矩阵M 对应的变换将点（-1，2）变换成（-2，4）.求直线l:x-y+1=0在矩阵M 的变换下的直线l ′的方程.
11.已知矩阵A =⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-111a ，
其中a ∈R ，若点P （1，1）在矩阵A 的变换下得到点P ′（0，-3）. （1）求实数a 的值；
（2）求矩阵A 的特征值及特征向量.
12.在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆4x 2+y 2=1在矩阵A=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡1002对应的变换下得到曲线F ，求F 的方程.
13.已知矩阵A =⎥⎦⎤⎢
⎣⎡3421，求特征值及特征向量.
14.已知矩阵M 有特征值λ1=4及对应的一个特征向量e 1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡32，并有特征值λ2=-1及对应的一个特征向量e 2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11. （1）求矩阵M ；（2）求M
2 018e 2.。