周3(对数化简的复习及换底公式的推导)
《对数》运算性质与换底公式
《对数》运算性质与重要公式1、对数运算性质如果0010>>≠>N M a a ，，，且，那么（1）N M N M a a a log log )(log +=⋅ （真数相乘⇔同底对数相加）（2）N M NM a a a log log log -= （真数相乘⇔同底对数相加） （3）M n M a n a log log ⋅=（R n ∈） （真数乘方⇔n 乘以同底对数）例如：计算化简 920log 3 解：233333log )522(log 9log 20log -⨯⨯=-=原式25log 2log 23log 25log 2log 2log 333333-+=-++= （这就是计算后的最简结果）2、换底公式及其推论（1）换底公式：a bb c c a log log log = （01010>≠>≠>b c c a a ，，且，，且） （2）四个推论：①1l o g l o g =⋅a b b a ② d d c b a c b a l o g l o g l o g l o g =⋅⋅③ b mn b a n a m l o g l o g = ④ b ba na n l o g l o g = 注意：这里换底公式是比较重要的公式，它的推论都是由换底公式推导出来的，所以，大家要熟悉掌握换底公式。
例如：采用换底公式来计算 45log 8，那么可以取任意不为1的正数作为新的底数，如：取以5为底的对数，则为8log 45log 45log 558=。
最常见的是取以10或e为底的对数，也可以写成：8lg 45lg 45log 8=或8log 45log 45log 8e e =，要根据题目中的所给的已知条件，灵活选择底数进行换底公式的计算。
3、对数恒等式：N aN a =log （010>≠>N a a ，，且） 例如：（1）323log 2= （2）9)2()2()2(29log 23log 3log 23log 2222====4、常用结论：01log =a ，1log =a a例如：（1）01log 3=；（2）2125log 25log 25log 5255=⨯===重点补充说明：（1）15lg 2lg =+，这个作为结论使用并不具有代表性，它其实只是结论1log =a a 中的一个而已，只不过是15lg 2lg =+，练习中比较常见。
对数运算时换底公式课件
在某些情况下，使用换底公式可能会导致数值计算的精度损失。因此，在进行 数值计算时，需要谨慎使用换底公式，并注意检查计算结果的精度。
避免使用换底公式的场景
需要精确计算时
在需要精确计算的情况下，尽量避免使用换底公式。因为换底公式可能导致数值 计算的精度损失，从而影响结果的准确性。
对数底数难以确定时
在数学算过程。
换底公式在物理中的应用
换底公式在热力学中的应用
在热力学中，温度、压力等物理量常常用对数表示，换底 公式可以用来推导热力学中的一些重要公式，如理想气体 状态方程等。
换底公式在电磁学中的应用 在电磁学中，电流、电压等物理量常常用对数表示，换底 公式可以用来推导电磁学中的一些重要公式，如欧姆定律 等。
对数的基本性质
总结词
对数具有一些基本的数学性质，这些 性质在对数运算中非常重要。
详细描述
对数具有一些基本的数学性质，如对 数的乘积性质、对数的除法性质、对 数的指数性质等。这些性质可以帮助 我们更方便地进行对数运算。
对数的换底公式
总结词
换底公式是一种重要的对数运算公式， 它允许我们在不同的底数之间进行转换。
换底公式的应用场景
换底公式在解决实际问题时具有广泛的应用，如科学计算、工程技术和 金融等领域。
在不同领域中，换底公式可以用于转换不同底数的对数，以便更好地处 理数据和计算结果。
通过以上扩展，我们详细介绍了换底公式的推导过程、证明和应用场景。 在数学学习和实际应用中，掌握换底公式对于处理对数运算和解决实际 问题具有重要的意义。
换底公式在天文学中的应用
在天文学中，星体的距离、质量等物理量常常用对数表示， 换底公式可以用来推导天文学中的一些重要公式，如哈勃 定律等。
高一数学对数的换底公式及其推论
复习
对数的运算法则
如果 a > 0，a 1，M > 0， N > 0 有：
loga (MN) loga M loga N (1) M loga loga M loga N (2) N n loga M nloga M(n R) (3)
对数换底公式
logm N loga N logm a
( a > 0 ,a 1 ，m > 0 ,m 1,N>0) 如何证明呢?
两个推论:
设 a, b > 0且均不为1,则
1) loga b logb a 1
n 2) log am b log a b m
n
你能证明吗?
例题与练习
例1、计算：
1)
log8 9 log27 32
1log0.2 3
4
2) 5
3)
log4 3 log9 2 log1 32
2
例2．已知
log2 3 a, log3 7 b
用a, b 表示 log42 56
例3 生物机体内碳14的半衰期为
5730年,湖南长沙马王堆汉墓
女尸出土时碳14的残余量约 占原始含量的76.7%,试推算
wod19xqy
子的口气，应该是与20年前楚归国的一桩宫廷秘闻有关，我本想继续问下去，但萧公子没说什么，只是让我告诉你，必须保护 好公子。”“初月，我实话告诉你吧，我从萧煜痕那偷到一粒灵芝草配置的解毒丸，让玉瑶带回去了，只怕这会哥哥已经服下 了。”“这灵芝丸虽能解毒不假，但是60你这么做太冒险了。你知道萧煜痕为什么明明知道公子中了壮阳丸的毒，却迟迟不给 我们解药吗？”“难道不是他居心叵测，意图染指我们雪城吗？”“并非，初月之前就说过是有人故意为之栽赃给萧公子的， 您想想，萧公子平日呆在天香楼里，连我们素日都不知道雪城有这么一号人物，为什么在公子中毒后处处有关联。第二，公子 在进天香楼前已经是迷迷糊糊的状态，又是什么人能从天香楼给一个不省人事的人喂进这壮阳丸的呢？其次，我在萧煜痕处翻 了不少古籍资料，这壮阳丸之毒不是一两日就能积累成如此，想必自然是有府里的人在给公子服这种药，以达到不可告人的目 的。”“初月，你是不是已经知道是谁下的毒了？”“60，初月不敢妄加预言，60七窍玲珑心自然想得到是谁，只是若是处置 不当，势必会让雪城处在一个内忧外患的境地。”“初月，没想到我纪雪芙聪明一世，关键时候竟然还不如你想的透彻，我知 道是谁了，待我回雪城府，一定想个法子好好治治他。”第022章 还恩君莫急 “60，这灵芝丸的解药一旦给公子服下，就得 三个月药不能停，这是以毒攻毒的法子，只是60不知其药理仓促给公子服下，那下一丸药60又要如何取？”“什么？萧煜痕竟 如此卑鄙？”“60，这些日子在萧公子身边懂了很多，我们雪城之所以能任人鱼肉完全是因为我们太封闭的活在自己的世界里， 所以奴婢恳求60，让初月去萧公子的暗卫营里历练，强大自己再来保护60。”“初月，你这又是何苦？你我自幼一起长大，你 当我不知你对哥哥的心意吗？如今哥哥正在病中，你舍得就这么放下吗？”“60，初月自小就知道与公子60的身份差距，老太 爷公子和60都对初月极好，今生都无以为报，怎么还能肖想和公子在一起呢？初月的心意已决，还望60成全。”“唉，你当真 想好了？那萧煜痕又可愿意收你？”“60，且不论初月一心为雪城的赤胆忠心，连初月都能看出来萧公子对60的上心程度，若 是60肯去说，萧公子自然是不会拒绝的，只是60，萧公子真的不是您想的那种人，不论他对别人如何，对60怎样60自然是比奴 才清楚，能因为60你还能爱惜60您身边的丫鬟初月我，这种爱屋及乌的深情，60还是要早些明白才是。”“初月你不必再说了， 你知道我的命运的，我不论嫁给谁都是带有家族利益的，我是没有权利选择自己嫁给谁而不嫁给谁的，所以此话日后
对数的运算法则及公式换底
对数的运算法则及公式换底
对数是一种数学运算，用来描述幂运算的指数。
对数运算有一些特殊的法则和公式，其中包括换底公式。
以下是对数的运算法则和公式：
1. 对数的定义
对数是指一个数在某个基数下的指数。
例如，2的以10为底的对数是0.30103，这意味着10的0.30103次方等于2。
2. 对数的性质
对数具有以下几个性质：
a. 对数是一个实数。
b. 对于任何正实数a和b，loga(ab) = loga a + loga b。
c. 对于任何正实数a、b和c，loga (b/c) = loga b - loga c。
d. 对于任何正实数a、b和c，loga b^c = c loga b。
e. 对于任何正实数a和b，loga b = ln b/ln a，其中ln表示以e为底的自然对数。
3. 换底公式
换底公式是指将一个对数的底数改变为另一个底数时使用的公式。
换底公式如下：
loga b = logc b / logc a
其中a、b、c都是正实数，且a、c不等于1。
这个公式可以用于计算任何底数的对数。
例如，要计算以2为底数的对数，可以使用换底公式将其转换为以10为底数的对数计算。
以上是对数的运算法则及公式换底的相关内容。
对数是数学中的基础概念，掌握好对数的性质和运算法则，对于解决数学问题会有很大的帮助。
6周3(对数化简的复习及换底公式的推导)
5 ①lg15 ②lg45 ③ lg 3
3.化简各式 3.化简各式 ①lg900 ②lg12 4.计算 4.计算
③lg20
n
指数变系数 公式容易错误记忆，要特别注意： 公式容易错误记忆，要特别注意：
loga (M ) ≠ loga M⋅ loga N N
loga (M ± N) ≠ loga M ± loga N.
说 明： 简易语言表达： ①简易语言表达： 乘变加，除变减， 乘变加，除变减，指数变系数 ②有时逆向运用公式： 有时逆向运用公式：
④lg50
① log 2 6 − log 2 3 ② lg 5＋lg 2 ③ log 3 5 − log 3 15 ④ 2 log 5 10 + log 5 0.25
探究:计算下列两组对数的值，请你总结规律： 探究 计算下列两组对数的值，请你总结规律： 计算下列两组对数的值
① log 4 16 = __ log 3 16 log 2 16 ② = __ = __ log 2 4 log 3 4 log 5 16 log c 16 = __ = __ log 5 4 log c 4
二、两类特殊的对数
1．常用对数： ．常用对数： 以10为底的对数叫做常用对数 为底的对数叫做常用对数. 为底的对数叫做常用对数 为了方便, 为了方便
log10 N
简记为:lgN. 简记为
2．自然对数： ．自然对数：
为底的对数叫做自然对数. 以e为底的对数叫做自然对数 为底的对数叫做自然对数
（e为无理数， e = 2.71828…… ） 为无理数，
对数的运算性质及换底公式
8 2 ( ) 4 9 log3 ( ) 3
(3) lg 100 lg 10
100 lg ( ) 10
归纳猜想： M log a ( ) log a M log a N N （a 0且a 1, M , N 0）
3.计算观察： 3 (1) log 2 (2 )
1 1 （2） 3 36, 求 2 m n
m n
【变式训练】
1 (1) log 3 7 log 2 9 log 49 x log 1 , 求x 4 2
(2) log18 9 a,18 5, 用a, b表示log36 45.
b
总结：
• 1.对数的运算性质
• 2.换底公式
(2) log5 125
(4) log 1 27 log 1 9
3 3
(3) log 2 (2 4 )
3 5
【变式训练】求下列各式的值
(1)3 log 7 2 log 7 9 2 log 7 (
2 2
3 2 2
)
(2)(lg 2) (lg 5) 2 lg 5 lg 2
log 2 (4 8)
log3 (3 9)
(3) lg 10 lg 100
lg (10 100 )
归纳猜想： log a (M N) log a M log a N （a 0且a 1, M , N 0）
2.计算观察：
(1) log 2 8 log 2 4
M (2)log a ( ) log a M log a N N
（a 0且a 1, M , N 0）
(3)log a ( M ) n log a M
对数 换底公式
对数换底公式摘要：1.对数的定义与概念2.换底公式的定义与概念3.换底公式的推导过程4.换底公式的应用实例5.换底公式的优点与意义正文：1.对数的定义与概念对数是一种数学运算，用于表示一个数的幂次。
对数可以分为自然对数、常用对数和线性对数等类型。
其中，自然对数表示一个数的自然幂次，常用对数表示一个数的以10 为底的对数，线性对数表示一个数的以e 为底的对数。
对数在数学、物理、化学等科学领域中具有广泛的应用。
2.换底公式的定义与概念换底公式是一种对数运算公式，用于将一个数的不同底数的对数相互转换。
换底公式的定义为：若y = log_a(x)，则log_b(y) = (log_a(x)) /log_a(b)。
换底公式在实际运算中具有重要意义，它可以简化对数的计算过程，提高计算效率。
3.换底公式的推导过程为了更好地理解换底公式，我们可以通过实际举例进行推导。
假设y = log_a(x)，我们需要求log_b(y)，根据对数的定义，我们有x = a^y。
接下来，我们将x 和y 分别取以b 为底的对数，得到x = b^(log_b(x))，y = b^(log_b(y))。
将x 和y 的对数式子代入原式，得到log_b(y) = (log_a(x)) / log_a(b)。
4.换底公式的应用实例例如，已知log_2(8) = 3，我们需要求log_4(6)，根据换底公式，我们有log_4(6) = (log_2(8)) / log_2(4) = 3 / 2 = 1.5。
通过换底公式，我们可以将已知的对数转换为所需的对数，从而简化计算过程。
5.换底公式的优点与意义换底公式在实际运算中具有以下优点与意义：(1) 简化对数计算：换底公式可以将不同底数的对数相互转换，从而简化对数计算过程。
(2) 提高计算效率：通过换底公式，可以避免多次对数运算，减少计算量，提高计算效率。
(3) 便于比较与分析：换底公式有助于将不同底数的对数转换为同一底数，便于进行比较与分析。
对数的换底公式及其推论(含参考答案)
一、复习引入： 对数的运算法则 如果 a>0，a 1，M>0， N>0有：
二、新授内容： 1. 对数换底公式 ： log a N log m N (a>0,a 1， m>0,m 1,N>0) log m a
证明 ：设 log a N=x,则 a x =N
两边取以 m为底的对数： log m a x log m N
2
3=a，则
1 a
log3 2 , 又∵ log 3 7=b,
∴ log 42 56 log 356 log 3 7 3 log 3 2
ab 3
log 3 42 log 3 7 log 3 2 1 ab b 1
5 例 2 计算：① 1 log 0.2 3 ② log 4 3 log 9 2 log 1 4 32
1．证明： log a x 1 log a b log ab x
证法 1：设 log a x p ， log ab x q ， log a b r
则： x a p x (ab) q a qb q b a r
∴ a p ( ab) q a q(1 r ) 从而 p q(1 r )
∵ q 0 ∴ p 1 r 即： log a x 1 log a b （获证）
x log m a log m N
从而得： x log m N ∴ log a N log m N
log m a
log m a
2. 两个常用的推论 :
① log a b log b a 1， log a b log b c log c a 1
② log am b n
n m
log
a
b
（a,b>0
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运算叫对数运算。
ax N loga N x
(a ＞0且a≠1，N＞0)
二、两类特殊的对数
1．常用对数： 以10为底的对数叫做常用对数.
为了方便, log10 N 简记为:lgN.
2．自然对数：
以e为底的对数叫做自然对数.
（e为无理数， e = 2.71828…… ）
loga (MN ) loga M loga N
loga (M N ) loga M loga N .
Байду номын сангаас 1.计算：
① log5 125 __3_
② log2
1 4
_－__2
③ lg100 _2__ ④ lg 0.001 _－__3
⑤ ln e __1__ ⑥ log3 1 __0 _
loga (MN ) loga M loga N
loga (M N ) loga M loga N .
说 明： ①简易语言表达：
乘变加，除变减，指数变系数 ②有时逆向运用公式：
log10 5 log10 2 log(5 2）＝log10 10 1.
③对公式容易错误记忆，要特别注意：
log2 3
log4 3
log5 27 __ logc 27 __
log5 3
logc 3
换底公式:
loga
b
logc logc
b a
1.从左往右看
一个对数可表示成两个同底对数的商.
2.从右往左看
两个同底对数的商可转化成一个对数.
1.把下列对数换成以2为的对数，并化简：
① log4 9 ② log8 5
2.已知lg3=a,lg5=b.用a或b表示下列各式
①lg15 ②lg45 ③ lg 5 3
④lg300
⑤lg2
3.化简各式 ①lg900 ②lg12
4.计算
③lg20
④lg50
① log2 6 log2 3 ② lg 5＋lg 2
③ log3 5 log3 15 ④2 log5 10 log5 0.25
log e N 简记为： ln N
二、三个常用的对数化简公式
log a 1 0
log a a 1
loga an n
四、对数的运算性质 log a (MN ) log a M log a N 乘变加
M log a N log a M log a N
除变减
log a M n n log a M(n R) 指数变系数 公式容易错误记忆，要特别注意：
③ log1 7
2
④ lg 1 8
2.把下列同底两对数的商化成同一对数
① log2 5 ____ ② log3 4 ____
log2 3
log3 2
③ log8 9 ____ ④ log2 7 ____
log8 10
log2 e
探究:计算下列两组对数的值，请你总结规律：
① log4 16 __
② log2 16 __ log3 16 __
log2 4
log3 4
log5 16 __ logc 16 __
log5 4
logc 4
① log3 27 __
② log2 27 __ log4 27 __