数值分析简明教程讲义
数值分析第一讲
实际上由于x*不知道，用上式无法确定εr ，常用x代x*作分 母，此时：
r
| x|
13
结束
2 量级，当 ε 较小时，可以忽略 可见此时产生的影响是 r r
不计，以后我们就用
|x|
表示相对误差限.
例 5 在刚才测量的例子中，若测得跑道长为 100±0.1m ，课桌长为120±1cm ，则 1 0.1 ( 2) (1) 0.83% r 0.1% r 120 100 显然后者比前者相对误差大. 1.2.3 有效数字 定义 1.3 如果近似值 x 的误差限 ε 是它某一数位的半个 单位，我们就说 x 准确到该位，从这一位起直到前面第一个 非零数字为止的所有数字称x的有效数字. 如： x=±0.a1a2an×10m ，其中 a1 ， a2 ， ， an 是 0 ～ 9 之 中的整数，且a1≠0，如e=|x-x*|≤ε=0.5×10m-l，1≤ l≤n，则称 x有 l 位有效数字. 14 结束
可见此法收敛速度很快，只算三次得到8位精确数字. 迭代法应用时要考虑是否收敛、收敛条件及收敛速度等 问题，今后课程将进一步讨论. 9 结束
§1.2
1.2.1
差.
误 差
误差的来源
在运用数学方法解决实际问题的过程中，每一步都可能带来误
1 、模型误差 在建立数学模型时，往往要忽视很多次要因素，把 模型“简单化”，”理想化”，这时模型就与真实背景有了差距，即带 入了误差. 2、测量误差 数学模型中的已知参数，多数是通过测量得到.而测 量过程受工具、方法、观察者的主观因素、不可预料的随机干扰等影响 必然带入误差. 3、截断误差 数学模型常难于直接求解，往往要近似替代，简化为 易于求解的问题，这种简化带入误差称为方法误差或截断误差. 4、舍入误差 计算机只能处理有限数位的小数运算，初始参数或中 间结果都必须进行四舍五入运算，这必然产生舍入误差.
《数值分析简明教程》讲义
例2：取节点 ， ， 对函数 建立线性插值公式。
3、一般情形
现在考虑一般的插值问题：设函数在区间［a,b］上n+1个互异节点 上的函数值分别为 ，求n次插值多项式 ，满足条件
， j=0，1，…，n
令
——拉格朗日插值公式。
其中 为以 为节点的n次插值基函数，其公式为：
则称 为近似数x的相对误差限。
三、有效数字
1、有效数字
如果近似值 的误差限是某一位的半个单位，该位到 的第一位非零数字共有 位，则我们称 有 位有效数字。
例如， 取 时，
所以， 作为 的近似值时，就有3位有效数字。
2、误差限与有效数字的关系
定理1 设有一数x，其近似值
若 具有 位有效数字，则其相对误差限为
可表示为下列点斜式：
令
则
——线性插值公式
其中：
例1：已知 ， ，求 。（10.714）
例2：取节点 ， 对函数 建立线性插值公式。
2、抛物插值
问题：求作二次式 ，使满足条件：
几何解释就是通过三点 ， ， 的抛物线，因而称为抛物插值。
根据插值基函数所满足的条件，可得抛物插值的基函数为：
最终得： ——抛物插值公式。
运算过程中舍入误差不增长的计算公式——数值稳定的，否则为不稳定的。
2、要避免两个相近数相减。
3、要防止大数“吃掉”小数。（数量级相差很大的数，措施：调整运算次序。）
4、注意简化计算步骤。
第2章插值方法
在生产实践和科学研究所遇到的大量函数中，相当一部分是通过测量或实验得到的，并不知道它的表达式，只能通过观察、测量或实验得到函数在区间［a，b］上一些离散点上的函数值、导数值等。还有些函数，虽然有明确的解析表达式，但却过于复杂而不便于进行理论分析和数值计算，同样希望构造一个既能反映函数的特性又便于计算的简单函数，近似代替原来的函数。插值法就是寻求近似函数的方法之一。
《数值分析》完整版讲义
2.1.3 多项式插值 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.1.4 基函数插值法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1.1 为什么要插值 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.2 什么是插值 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.1.2 数值分析的研究内容 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.3 学习建议 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
i
· ii ·
目录
2.2 Lagrange 插值 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2.1 Lagrange 基函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2.2 Lagrange 插值多项式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2.3 插值余项 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2.4 Lagrange 基函数性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
数值分析1.1讲义.
方程求根问题
在科学计算中常要遇到求解各种方程， 例如：
高次代数方程
超越方程
x 5－ 3 x ＋ 7 ＝ 0
x e cos 0 3
x
高次线性方程和超越方程看似简 单，但难于求其精确解。对于高次 代数方程，由代数基本定理知多项 式根的数目和方程的阶相同，但对 超越方程就复杂的多，如果有解， 其解可能是一个或几个，也可能是 无穷多个。
用计算机解决科学计算问题通常经历以 下过程
应 用 数 学 计 算 数 学
实际问题
数值计算方法
程序设计
数学模型
上机计算结果
2.数值分析研究的内容 — 函数的数值逼近(插值与拟合)
— 数值积分与数值微分
— 非线性方程数值解 — 数值线性代数
— 常微和偏微数值解，……
数值分析实质上是以数学问题为研 究对象，不像纯数学那样只研究数 学本身的理论，而是把理论与计算 紧密结合，着重研究数学问题的数 值方法及理论。
y ' 1 2 xy y (0) 0
常微分方程的一般解(解析解) 对一些典型的微分方程 ( 可分离变 量方程，一阶线性方程等等 ) ，有可 能找出它们的一般解表达式，然后 用初始条件确定表达式中的任意常 数，这样解即能确定。
y ' 2 x 例如 求解 y (0) 0
数值分析
Numerical Analysis
教
《数值分析》(第2版)
材 朱晓临 主编
中国科学技术大学出版社
《数值分析》（第5版） 李庆阳，王能超，易大义编著 清华大学大学出版社
参 考 书 目
《数值分析》（第3版） 颜庆津著， 北京航空航天大学 出版社 《Numerical Analysis》(Ninth ed.)
数值分析简明教程0-1 (14)
• 对于欧拉格式， 对于欧拉格式，假设 y n = y ( xn ) ，则有： 则有：
' y n +1 = y ( x n ) + hf ( xn , y ( x n )) = y ( x n ) + h y ( xn )
• 按泰勒展开有： 按泰勒展开有：
y ( x n +1) = y ( xn ) + h y ( xn ) +
第三章 常微分方程的差分法
第三章 常微分方程数值解
3.1 欧拉方法 § 3.2 龙格-库塔方法 § 3.3 亚当姆斯方法 § 3.4 收敛性与稳定性 § 3.5 方程组和高阶方程 §
2
本章要点： 本章要点 本章主要研究常微分方程的定解问题。 本章主要研究常微分方程的定解问题。 这类问#39; h2 2
y
''
(ξ )
x n < ξ < x n +1
• 从而有： 从而有：
y ( x n +1) − y n +1 =
h2 2
y
''
(ξ )
• 这说明欧拉格式是一阶方法。 这说明欧拉格式是一阶方法。
11
二、 隐式欧拉格式
y ( x n +1 ) − y ( x n ) 若用向后差商 h
' y 代替方程 ( xn +1) = f ( xn +1 , y ( x n +1))
-----------(3)
(1),(2)式称为初值问题,(3)式称为边值问题 另外,在实际应用中还经常需要求解常微分方程组:
′ = f 1 ( x , y1 , y2 ) y1 ′ = f 2 ( x , y1 , y 2 ) y2 y1 ( x0 ) = y10 y2 ( x0 ) = y20
数值分析(交通类)讲义_第五章
（2）回代过程
( n) 若 ann 0, 则
( n) a ( n) xn bn nn
(k ) n ( k ) ( k ) xk bk akj x j akk , (k n 1,,1) j k 1
BJTU
说明: 若线性方程组的系数矩阵非奇异，则它总可 以通过带行交换的高斯消去法进行求解。
1.00 105 x 1.00 y 1.00 5 5 1.00 10 y 1.00 10
BJTU
x 0.00, y 1.00
解法2：
5 1 . 00 10 x 1.00 y 1.00 1.00 x 1.00 y 2.00 5 5 ( 1 . 00 1 . 00 10 ) y ( 1 . 00 2 . 00 10 ) 1.00 x 1.00 y 2.00 1.00 y 1.00
(1) x b (1) a1 1 n 1 ( 2) ( 2) ( 2) x2 b a22 a2 n 2 . ( n) ( n) x 0 ann bn n (1) a12
其中
( 2) (1) (1) aij aij mi1 a1 j , (i, j 2,3,, n)
(1) bi( 2) bi(1) mi1 b1 , (i 2,3,, n)
第2步：若 „ „
BJTU
( 2) a22 0,
用„ „.
Байду номын сангаас
第k步：若
(k ) akk 0,
例1（见板书）
一般地,顺序高斯消去法:
BJTU
数值分析讲义
第1章数值分析中的误差一、重点内容误差设精确值x* 的近似值x，差e＝x－x* 称为近似值x 的误差(绝对误差)。
误差限近似值x 的误差限 是误差e 的一个上界，即|e|＝|x－x*|≤ε。
相对误差e r是误差e 与精确值x* 的比值，。
常用计算。
相对误差限是相对误差的最大限度，，常用计算相对误差限。
绝对误差的运算：ε(x1±x2)＝ε(x1)＋ε(x2)ε(x1x2)≈|x1|ε(x2)＋|x2|ε(x1)有效数字如果近似值x 的误差限ε 是它某一个数位的半个单位，我们就说x 准确到该位。
从这一位起到前面第一个非0 数字为止的所有数字称为x 的有效数字。
关于有效数字：(1) 设精确值x* 的近似值x，x＝±0.a1a2…a n×10ma1，a2，…，a n是0～9 之中的自然数，且a1≠0，|x－x*|≤ε＝0.5×10m－l，1≤l≤n则x 有l位有效数字.(2) 设近似值x＝±0.a1a2…a n×10m有n 位有效数字，则其相对误差限(3) 设近似值x＝±0.a1a2…a n×10m的相对误差限不大于则它至少有n 位有效数字。
(4) 要求精确到10－3，取该数的近似值应保留4 位小数。
一个近似值的相对误差是与准确数字有关系的，准确数字是从一个数的第一位有效数字一直数到它的绝对误差的第一位有效数字的前一位，例如具有绝对误差e＝0.0926 的数x＝20.7426 只有三位准确数字2，0，7。
一般粗略地说，具有一位准确数字，相对于其相对误差为10% 的量级；有二位准确数字，相对于其相对误差为1% 的量级；有三位准确数字，相对于其相对误差为0.1% 的量级。
二、实例例1 设x*＝ ＝3.1415926…近似值x＝3.14＝0.314×101，即m＝1，它的误差是0.001526…，有|x－x*|＝0.001526…≤0.5×101－3即l＝3，故x＝3.14 有 3 位有效数字。
数值分析简明教程讲义
eXL2(x)1 0.9417568X
0.3096362x2
3、
一般情形
现在考虑一般的插值问题：设函数在区间［
a,b］上n+1个互异节点
函数值分别为，yo,y1,...yn，求n次插值多项式
Ln(x)，满足条件
Ln(Xj)yj,j=0,
1,…，n
令
Ln(x) y°l0(x) y1〔1(X)... ynln(x)
设函数y=f(x)在区间［a,b］上有n+1个互异点X0，X1 ,...Xn，对应的函数值分别为,y0,y1,...yn，若存在一个简单函数y=p(x)，使其经过y=f(x)上的 这n+1个已知点(X0,y0),(X1, y1),…，(xn,yn)，即
/P(xi)=yi, i=0,1,…,n
那么，函数p(x)称为插值函数，点x0,x1,...Xn称为插值节点，包含插值节点的区间
一、 误差的来源
1、 模型误差
用计算机解决科学计算问题首先要建立数学模型，它是对被描述的实际问题进行抽 象，简化而得到的，因而是近似的，数学模型与实际问题之间出现的这种误差称为 模型误
差。这种误差可忽略不计，在数值计算方法中不予讨论。
2、 观测误差
在数学模型中往往还有一些根据观测得到的物理量，如温度， 长度，电压等等，测量
的结果不可能绝对正确， 由此产生的误差称为 观测误差。观测误差在数值计算方法中也不
予讨论。
3、 截断误差（方法误差）
在数学模型不能得到精确解时，通常要用数值方法求它的近似解，其近似解与精确 解之间的误差称为截断误差或方法误差。
4、 舍入误差
在计算过程中，由于计算机的字长有限， 采用计算机数系中和实际数据比较接近的数来表 示，由此产生的误差以及计算过程又可能产生新的误差，这些误差称为 舍入误差。。
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第1章 绪论数值计算方法是一门与计算机使用密切结合的实用性很强的数学课程，其特点如下: 第一，面向计算机，要根据计算机特点提供实际可行的有效算法，即算法只能包括加、减、 乘、除运算和逻辑运算，是计算机能直接处理的。
第二，有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精度要求，对近似算法要保证收敛性和数值稳 定性，还要对误差进行分析，这些都建立在相应数学理论基础上。
第三，要有好的计算复杂性，时间复杂性好是指节省时间，空间复杂性好是指节省存储量， 这也是建立算法要研究的问题，它关系到算法能否在计算机上实现。
第四，要有数值实验，即任何一个算法除了从理论上要满足上述三点外，还要通过数值试验 证明是行之有效的。
误差的基本概念除了极个别的情况外，数值计算总是近似计算，实际计算结果与理论结果之间存在着误差。
数值分析的任务之一是将误差控制在一定的容许范围内或者至少对误差有所估计。
一、误差的来源 1、模型误差用计算机解决科学计算问题首先要建立数学模型，它是对被描述的实际问题进行抽象，简化而得到的，因而是近似的，数学模型与实际问题之间出现的这种误差称为模型误差。
这种误差可忽略不计，在数值计算方法中不予讨论。
2、观测误差在数学模型中往往还有一些根据观测得到的物理量，如温度，长度，电压等等，测量的结果不可能绝对正确，由此产生的误差称为观测误差。
观测误差在数值计算方法中也不予讨论。
3、截断误差（方法误差）在数学模型不能得到精确解时，通常要用数值方法求它的近似解，其近似解与精确解之间的误差称为截断误差或方法误差。
4、舍入误差在计算过程中，由于计算机的字长有限，采用计算机数系中和实际数据比较接近的数来表示，由此产生的误差以及计算过程又可能产生新的误差，这些误差称为舍入误差。
二、绝对误差和相对误差1、绝对误差秘绝对误差限设数x (精确值)有一个近似值为*x ，记*)(x x x e -=称e(x)为近似值*x 的绝对误差，简称误差。
当e(x)为正时，近似值*x 偏大，叫做强近似值 ；当它为负时，近似值*x 偏小，叫作弱近似值。
准确值x 一般是未知的，因而绝对误差)(*x e 也是未知的，但往往可以估计出绝对误差的一个上界，即可以找出一个正数η，使η≤*)(x e称η为*x 的绝对误差限(或误差限)。
显然，误差限η总是正数，且η≤-||*x x ，在应用上常常采用如下写法：η±=*x x例：用毫米刻度的米尺测量一长度x 时，如果该长度接近某一刻度*x ，则*x 作为x 的近似值时21)(≤-=**x x x e(毫米)=(毫米)绝对误差还不足以刻划近似数的精确程度，例如，有两个量=±=y x ,110101000±，2、相对误差及相对误差限我们把近似值的误差)(*x e 与准确值x 的比值，记作x xx x x e x e r -=∧***)()(称为近似值*x 的相对误差。
实际计算中，由于真值总是未知的，与绝对误差限类似，可以找到一个正数ε，使得：ε≤-||||*x x x 则称ε为近似数x 的相对误差限。
三、有效数字1、有效数字如果近似值*x 的误差限是某一位的半个单位，该位到*x 的第一位非零数字共有n 位，则我们称*x 有n 位有效数字。
例如，,81415926535.3 ==πx 取14.3=*x 时，005.0002.0≤≤-*x x所以，14.3=*x 作为π的近似值时，就有3位有效数字。
2、误差限与有效数字的关系 定理1 设有一数x ，其近似值mn x x x x x 10)....(321*⨯•±=若*x 具有n 位有效数字，则其相对误差限为)1(1*1021|)(|--⨯≤n r x x e 例1：当有来表示π的近似值时，它的相对误差是多少？（41061-⨯） 定理2 如上形式的近似数*x ，若满足)1(1*10121|)(|--⨯+≤n r x x e ）（则*x 至少有n 位有效数字。
例2 已知2的近似数*x 的相对误差限为，最坏情况*x 是何数？(2=…)—— *x =数值计算中应注意的若干原则1、要使用数值稳定的计算公式。
运算过程中舍入误差不增长的计算公式——数值稳定的，否则为不稳定的。
2、要避免两个相近数相减。
3、要防止大数“吃掉”小数。
（数量级相差很大的数，措施：调整运算次序。
）4、注意简化计算步骤。
第2章 插值方法在生产实践和科学研究所遇到的大量函数中，相当一部分是通过测量或实验得到的，并不知道它的表达式，只能通过观察、测量或实验得到函数在区间［a ，b ］上一些离散点上的函数值、导数值等。
还有些函数，虽然有明确的解析表达式，但却过于复杂而不便于进行理论分析和数值计算，同样希望构造一个既能反映函数的特性又便于计算的简单函数，近似代替原来的函数。
插值法就是寻求近似函数的方法之一。
引言设函数y=f(x)在区间［a,b ］上有n+1个互异点n x x x ,...,10，对应的函数值分别为n y y y ,...,,10，若存在一个简单函数y=p(x )，使其经过y=f(x)上的 这n+1个已知点(00,y x ),(11,y x ),…，(n n y x ,)，即p(i x )= i y , i=0,1,…,n那么，函数p(x)称为插值函数，点n xx x ,...,10称为插值节点，包含插值节点的区间［a,b ］称为插值区间,求p (x)的方法称为插值法，f(x)称为被插函数。
若p(x)是次数不超过n 的多项式,用Pn(x)表示，即n n n x a x a x a a x p ++++=...)(2210则称)(x p n 为n 次插值多项式，相应的插值法称为多项式插值。
插值多项式的存在唯一性定理：设节点n x x x ,...,10互异，则在次数不超过n 的多项式集合n H 中，满足插值条件的插值多项式)(x p n 存在且唯一。
拉格朗日插值多项式1、线性插值问题：求作一次式)(L 1x ，使满足条件 001)(L y x =， 111)(L y x = 从几何图形上看，)(L 1x y =表示通过两点()00y x ，，()11y x ，的直线，因此，一次插值亦称线性插值。
)(L 1x 可表示为下列点斜式：)()(L 0010101x x x x y y y x ---+=令,)(1010x x x x x l --=0101)(x x x x x l --=则)()()(L 11001x l y x l y x += ——线性插值公式 其中：1)(00=x l 0)(10=x l 0)(01=x l 1)(11=x l例1：已知10100=，11121=，求115=y 。
（）例2：取节点00=x ，11=x 对函数xe y -=建立线性插值公式。
x x e x 632.01)(L 1-=≈-2、抛物插值问题：求作二次式)(L 2x ，使满足条件：002)(L y x = 112)(L y x = 222)(L y x =几何解释就是通过三点()00y x ，，()11y x ，，()22y x ，的抛物线，因而称为抛物插值。
根据插值基函数所满足的条件，可得抛物插值的基函数为：))(())(()())(())(()())(())(()(120210221012012010210x x x x x x x x x l x x x x x x x x x l x x x x x x x x x l ----=----=----=最终得：2211002)()()()(L y x l y x l y x l x ++= ——抛物插值公式。
例1：已知10100=，11121=，12144=求115=y 。
（） 例2：取节点00=x ，/211=x ，12=x 对函数xey -=建立线性插值公式。
223096362.09417568.01)(L x x x e x +-=≈-3、一般情形现在考虑一般的插值问题：设函数在区间［a,b ］上n+1个互异节点n x x x ,...,10上的函数值分别为n y y y ,...,,10，求n 次插值多项式)(x L n ，满足条件jj n y x L =)(， j=0，1，…，n令∑==+++=ni i i n n n x l y x l y x l y x l y x L 01100)()(...)()()(——拉格朗日插值公式。
其中)(),...,(),(10x l x l x l n 为以n x x x ,...,10为节点的n 次插值基函数，其公式为：))...()()...()(())...()()...()(()(11101110n i i i i i i i n i i i x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x l ----------=+-+-4、 插值余项插值多项式的余项)()()(x L x f x R n n -=，也就是插值的截断误差或方法误差。
定理：设区间［a ，b ］含有节点n x x x ,....,,10，而)(x f 在［a ，b ］内有连续的直到n+1阶导数，且)....,2,1,0()(n i y x f i i ==已给，则当],[b a x ∈时，对于)(x R n ，成立：∏=+-+=nk k n n x x n f x R 0)1()()!1()()(ξ ],[b a ∈ξ例：已知10100=，11121=，12144=，分别用线性插值及抛物插值求115=y 时的误差各是多少？（|R 1（x ）|≤，|R 2（x ）|≤）拉格朗日插值的优点是插值多项式特别容易建立，缺点是增加节点时原有多项式不能利用，必须重新建立，即所有基函数都要重新计算，这就造成计算量的浪费。
牛顿插值多项式牛顿(Newton )插值多项式是代数插值的另一种表现形式，当增加节点时它具有所谓的“承袭性”，这要用到差商的概念。
差商的定义与性质 1、差商的定义定义：对于给定的函数)(x f ，记),....,,(10n x x x f 表示关于节点n x x x ,....,,10的n 阶差商。
一阶差商定义为：10110)()(),(x x x f x f x x f --=二阶差商定义为：21021210),(),(),(x x x x f x x f x x x f --=，一般地，n 阶差商递推定义为：11021210),...,,(),....,,()...,,,(x x x x x f x x x f x x x x f n n n n --=-为统一起见，补充定义函数值)(i x f 为零阶差商。