九年级下册《三角函数的应用》综合练习2(坡度、坡角)
新北师版九年下册 三角函数的应用及解直角三角形辅导培训卷
三角函数的应用【知识要点】实际应用中的几个主要概念 （1）仰角和俯角从下往上看，视线与水平线的夹角角做仰角。
从上往下看，视线与水平线的夹角角做俯角。
（两者的范围都是0°到180°）(2)坡度与坡角坡面的铅垂高度与水平宽度的比叫坡比，记作i ，i=h:l 。
坡面与水平面的夹角较坡角，记作！ 坡比等于坡角的正切值。
（3）方向角1。
定义:一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成北（南）偏东（西）××度。
2。
度量：方向角系分由南北起算，角度值在零度及九十度之间。
（注意：方位角和方向角的区别）【经典例题】例1、 甲、乙两楼相距45米,从甲楼顶部观测乙楼顶部的俯角为30°,观测乙楼的底部的俯角为45°,试求两楼的高.i=h:lhl坡角300450AE D练习1、如图，直升飞机在跨河大桥AB 的上方点P 处，此时飞机离地面的高度PO ＝450 m ，且A ，B ，O 三点在一条直线上，测得∠α＝30°，∠β＝45°，求大桥AB 的长．例2、从A 处观测铁塔顶部的仰角是30°,向前走100米到达B 处,观测铁塔的顶部的仰角是45°,求铁塔高.练习2、如图，为测得峰顶A 到河面B 的高度h ，当游船行至C 处时测得峰顶A 的仰角为α，前进m 米至D 处时测得峰顶A 的仰角为β(此时C 、D 、B 三点在同一直线上). (1)用含α、β和m 的式子表示h ；(2)当α=45°，β=60°，m=50米时，求h 的值. （精确到0.1m ，2≈1.41，3≈1.73）300450DCBA例3、. 如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD ，坝高23米，坝面宽BC ＝6米，根据条件求：坝底宽AD 和斜坡AB 的长。
练习3、如图1-34，沿水库拦水坝的背水坡将坝面加宽2米，坡度由原来的1︰2改成1︰2.5，已知坝高6米，坝长50米.（1）求加宽部分横断面AFEB 的面积； （2）完成这一工程需要多少方土？例4、如图,一艘海轮位于灯塔P 的北偏东60°方向上, 它沿正南方向航行70海里,到达位于灯塔P 的南偏东30°方向的B 处,问此时,海轮距离灯塔P 多远?N东北BAP练习4、如图，海岛A 四周20海里范围内是暗礁区，一艘货轮由东向西航行，在B 处见岛A 在北偏西︒60，航行20海里后到C 处，见岛A 在北偏西︒30，货轮继续向西航行，有无触礁危险？ABC 3060【巩固练习】一、相信你一定能选对！1、如图1-32，沿AC 方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工. 从AC 上的一点B ，取∠ABD= 145°，BD = 500米，∠D = 55°. 要使A 、C 、E 在同一条直线上，则开挖点E 离点D 的距离是（ ）.A. 500·sin55°B. 500·cos55°C. 500·tan55°D. 500·cos35°2、如图，已知正方形ABCD 的边长为2，如果将线段BD 绕着点B 旋转后，点D 落在CB 的延长线上 的D ′处，那么tan ∠BAD ′等于（ ） A.1 B.2 C.22 D.22(第2题图) (第3题图) (第4题图)3、如图，CD 是平面镜，光线从A 出发经CD 上点E 发射后照射到B 点。
九年级数学下册综合算式专项练习题三角函数运算
九年级数学下册综合算式专项练习题三角函数运算在九年级数学下册中，我们经常会遇到综合算式的题目，其中也包括了三角函数运算的题目。
三角函数是三角学中的重要概念，涉及到了角的概念和三角比的计算。
通过练习这些综合算式专项练习题，我们可以更好地理解和掌握三角函数的相关知识，提高数学解题的能力。
一、已知三角函数的值求角的大小1. 已知正弦函数sin(x) = 0.5，其中x为锐角，求x的大小。
解析：根据正弦函数的定义可知，sin(x) = 对边/斜边。
已知sin(x) = 0.5，代入得对边/斜边 = 0.5，假设斜边为2，那么对边就是1。
根据勾股定理可计算出邻边的长度，再利用三角函数的定义计算出角的大小。
2. 已知余弦函数cos(y) = 0.8，其中y为钝角，求y的大小。
解析：与上一题类似，根据余弦函数的定义可知，cos(y) = 邻边/斜边。
已知cos(y) = 0.8，代入得邻边/斜边 = 0.8，假设斜边为5，那么邻边就是4。
根据勾股定理可计算出对边的长度，再利用三角函数的定义计算出角的大小。
二、已知角的大小求三角函数的值1. 已知角A的大小为30°，求sin(A)的值。
解析：根据三角函数的定义可知，sin(A) = 对边/斜边。
已知角A的大小为30°，可通过构造一个30-60-90的特殊三角形，根据比例关系计算出对边与斜边的比值，进而计算出sin(A)的值。
2. 已知角B的大小为45°，求tan(B)的值。
解析：根据三角函数的定义可知，tan(B) = 对边/邻边。
已知角B的大小为45°，可通过构造一个45-45-90的特殊三角形，根据比例关系计算出对边与邻边的比值，进而计算出tan(B)的值。
三、综合运算题1. 若sin(x) = 0.6，cos(y) = 0.8，求sin(x+y)的值。
解析：根据三角函数的和差公式，sin(x+y) = sin(x)·cos(y) +cos(x)·sin(y)。
北师大版九年级数学下册 1.5 三角函数的应用 同步测试题(有答案)
故答案为．
14.
【答案】
【解答】
解：∵，，米，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴米∴学校要购买米的草皮才能正好铺满空地．
故答案为：．
15.
【答案】
【解答】
解：由于山路的坡角为度，则坡角的正弦值，
∴他在竖直方向上上升的高度（米）．
16.
【答案】
【解答】
解：在中，（米）．
17.
【答案】
【解答】
解：由已知得，
则斜坡的坡度．
故选.
10.
【答案】
A
【解答】
故选：．
二、
11.
【答案】
【解答】
解：在中
，
∴．
故答案为：．
12.
【答案】
海里/分
【解答】
解：作，
∵，，
∴海里，则海里，
在中，，
则，
解得，
在中，海里，
海里/分．
故答案为：海里/分．
13.
【答案】
【解答】
解：如图，在直角中，，，，
∴，．
在直角中，，，，
∴，
∴，
（参考数据：，，，．）
26.某区域平面示意图如图，点在河的一侧，和表示两条互相垂直的公路．甲勘测员在处测得点位于北偏东，乙勘测员在处测得点位于南偏西，测得，．请求出点到的距离．
参考数据：，，
参考答案
一、
1.
【答案】
B
【解答】
解：如图，
由已知得：，，米．
∵，
∴ (米)．
故选．
2.
【答案】
D
【解答】
解：根据题意得：，
25.某市为了创建绿色生态城市，在城东建了“东州湖”景区，小明和小亮想测量“东州湖”东西两端、间的距离．于是，他们去了湖边，如图，在湖的南岸的水平地面上，选取了可直接到达点的一点，并测得＝米，点位于点的北偏西方向，点位于点的北偏东方向．
九年级数学下册《30°,45°,60°角的三角函数值》综合练习2(含答案)
30°，45°，60°角的三角函数值一、请准确填空(每小题3分，共24分)1.如图1，在平面直角坐标系中，P 是∠α的边OA 上一点，且P 点坐标为(4，3)则sin α=______，cos α=______.2.已知α是锐角，且2cos α=1，则α=______；若tan(α+15°)=1，则tan α=______.3.如图2，B 、C 是河岸边两点，A 是对岸岸边一点，测得∠ABC=45°，∠ACB=45°，BC=60 m ，则点A 到对岸BC 的距离是_____m.ABC30ABC o图1图2 图34.要把5米长的梯子上端放在距地面3米高的阳台边沿上，猜想一下梯子摆放坡度最小为______.5.已知tan α·tan30°=1，且α为锐角，则α=______.6.设β为锐角，且x 2+2x+sin β=0的两根之差为2，则β=______.7.在△ABC 中，∠C=90°.若3AC=3BC ，则∠A 的度数是______，cosB 的值是______.8.如图3，某建筑物BC 直立于水平地面，AC=9米，要建造阶梯AB ，使每阶高不超过20 cm ，则此阶梯最少要建_____阶.(最后一阶的高度不足20 cm 时，按一阶算，3取1.732)二、相信你的选择(每小题3分，共24分)9.在△ABC 中，AB=AC=4，BC=2，则4cosB 等于（ ） A.1B.2C.15D.41510.△ABC 中，∠A 、∠B 都是锐角，且sinA=21，cosB=23，则△ABC 的形状是（ ）A.直角三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.不能确定11.令a=sin60°，b=cos45°，c=tan30°，则它们之间的大小关系是（ ） A.c<b<a B.b<c<a C.b<a<cD.a<c<b12.在Rt △ABC 中，∠C=90°，下列式子中不一定成立的是（ ） A.tanA=AAcos sin B.sin 2A+sin 2B=1 C.sin 2A+cos 2A=1D.sinA=sinB13.在△ABC 中，若|sinA －23|+(1－tanB)2=0，则∠C 的度数是（ ） A.45°B.60°C.75°D.105°14.已知△ABC 中，∠C=90°，∠A=60°，BC+AC=3+3，则BC 等于（ ） A.3B.3C.23D. 3+115.若等腰三角形腰长为4，面积是4，则这个等腰三角形顶角的度数为（ ） A.30° B.30°或150° C.60° D.60°或120°16.某人沿着坡度为1∶3的山坡前进了1000 m ，则这个人所在的位置升高了（ ）A.1000 mB.500 mC.5003 mD.331000 m 三、考查你的基本功(共24分) 17.(16分)计算或化简： (1)sin45°·cos60°－cos45°·sin30°; (2)5tan30°－2(cos60°－sin60°). (3)(23tan30°)2005·(22sin45°)2004; (4)2(2cos45°－tan45°)－(tan60°+sin30°)0－(2sin45°－1)－1.18.(8分)已知△ABC 中，∠C=90°，AC=m ，∠BAC=α(如图4),求△ABC 的面积.(用α的三角函数及m 表示)ABCm图4图5四、生活中的数学(共18分)19.(9分)“郑集中学”有一块三角形形状的花圃ABC ，现可直接测量到∠A=30°，AC= 40 m ，BC=25 m ，请求出这块花圃的面积.20.(9分)如图5，某货船以20海里/小时的速度将一批重要的物资由A 处运往正西方向的B 处，经16小时的航行到达，到达后便接到气象部门通知，一台风中心正由A 向北偏西60°方向移动，距台风中心200海里的圆形区域(包括边界)均会受到影响.在B 处的货船是否会受到台风的侵袭？说明理由.五、探究拓展与应用(共10分)21.(10分)(1)如图6中①、②，锐角的正弦值和余弦值都是随着锐角的确定而确定，变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值及余弦值的变化规律.123(注:AB 1 =AB 2=AB 3 )① B 1B 2B 3 AC②图6(2)根据你探索到的规律，试分别比较18°、34°、50°、62°、88°这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小.参考答案一、1.53 54 2.60° 33 3.30 4.435.60°6.30°7.60° 238.26二、9.A 10.B 11.A 12.D 13.C 14.B 15.B 16.B 三、17.(1)0;(2)3338-;(3)21;(4)－22. 18.解：∵tan α=ACBC ， ∴BC=AC·tan α=m·tan α.S △ABC =21AC·BC=21m 2tan α.四、19.解：作CD ⊥AB. ∵∠A=30°,∴CD=21AC=21×40=20(m),AD=22CD AC -=203(m), BD=22CD BC -=15(m).(1)当∠ACB 为钝角时，AB=AD+BD=203+15,∴S △ABC =21AB·CD=21(203+15)×20=(2003+150)(m 2).(2)当∠ACB 为锐角时，AB=AD －BD=203－15.∴S △ABC =21AB·CD=21(203－15)×20=(2003－150)(m 2).20.解：AB=16×20=320(海里), 作BD ⊥AC 垂足为D. ∵∠BAC=30°,∴sin30°=ABBD，BD=AB·sin30°=160. ∵160<200,∴B 处的货船会受到影响. 五、21.(1)由图①知 sinB 1AC 1=111AB C B ，sinB 2AC 2=222AB CB ，sinB 3AC 3=333AB C B . ∵AB 1=AB 2=AB 3且B 1C 1>B 2C 2>B 3C 3, ∴111AB C B >222AB C B >333AB C B . ∴sinB 1AC 1>sinB 2AC 2>sinB 3AC 3. 而∠B 1AC 1>∠B 2AC 2>∠B 3AC 3, 而对于cosB 1AC 1=11AB AC , cosB 2AC 2=22AB AC , cosB 3AC 3=33AB AC . ∵AC 1<AC 2<AC 3,∴cosB 1AC 1<cosB 2AC 2<cosB 3AC 3. 而∠B 1AC 1>∠B 2AC 2>∠B 3AC 3. 由图②知sinB 3AC=33AB CB , ∴sin 2B 3AC=2323AB C B . ∴1－sin 2B 3AC=1－2323AB C B =232323AB C B AB =232AB AC . 同理,sinB 2AC=22AB C B ，1－sin 2B 2AC=222AB AC ， sinB 1AC=21AB C B ，1－sin 2B 1AC=212AB AC . ∵AB 3>AB 2>AB 1,∴232AB AC <222AB AC <212AB AC .∴1－sin 2B 3AC<1－sin 2B 2AC<1－sin 2B 1AC. ∴sin 2B 3AC>sin 2B 2AC>sin 2B 1AC. ∵∠B 3AC ，∠B 2AC ，∠B 1AC 均为锐角, ∴sinB 3AC>sinB 2AC>sinB 1AC. 而∠B 3AC>∠B 2AC>∠B 1AC. 而对于cosB 3AC=3AB AC, cosB 2AC=2AB AC, cosB 1AC=1AB AC. ∵AB 3>AB 2>AB 1,∴3AB AC <2AB AC <1AB AC. ∴cosB 3AC<cosB 2AC<cosB 1AC. 而∠B 3AC>∠B 2AC>∠B 1AC.结论：锐角的正弦值随角度的增大而增大，锐角的余弦值随角度的增大而减小.(2)由(1)知sin18°<sin34°<sin50°<sin62°<sin88°, cos18°>cos34°>cos50°>cos62°>cos88°.。
北师大版初三数学9年级下册 第1章 1.5三角函数的应用 解答题专题训练 (含答案)
北师大版九年级数学下册《1.5三角函数的应用》解答题专题训练（附答案）1．如图是矗立在公路边水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据AM＝4米，AB＝8米，∠MBC＝30°，∠MAD＝45°，则警示牌的高CD为多少米？（结果精确到米，参考数据：≈1.41，≈1.73）2．如图是一座人行天桥的示意图，天桥的高度是10米，CB⊥DB，坡面AC的倾斜角为45°．为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面DC的坡度为i＝：2．若新坡角下留3米宽的人行道，问离原坡角（A点处）10米的建筑物是否需要拆除？（参考数据：≈1.414，≈1.732）3．我国南水北调中线工程的起点是丹江水库，按照工程计划，需对原水库大坝进行混凝土培厚加高，使坝高由原来的162米增加到176.6米，以抬高蓄水位．如图是某一段坝体加高工程的截面示意图，其中原坝体的高为BE，背水坡坡角∠BAE＝68°，新坝体的高为DE，背水坡CD的坡度为：1．求工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度AC．（结果精确到0.1米．参考数据：sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.50，≈1.73）．4．图1是一辆吊车的实物图，图2是其工作示意图，AC是可以伸缩的起重臂，其转动点A 离地面BD的高度AH为3.5米．当起重臂AC长度为8米，张角∠HAC为118°时，求操作平台C离地面的高度（结果保留小数点后一位）【参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53】5．某小区为了安全起见，决定将小区内的滑滑板的倾斜角由45°调为30°，如图，已知原滑滑板AB的长为4米，点D，B，C在同一水平地面上，调整后滑滑板会加长多少米？（结果精确到0.01米，参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.449）6．如图，1号楼在2号楼的南侧，两楼高度均为90m，楼间距为AB．冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为32.3°，1号楼在2号楼墙面上的影高为CA；春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为55.7°，1号楼在2号楼墙面上的影高为DA．已知CD＝42m．（1）求楼间距AB；（2）若2号楼共30层，层高均为3m，则点C位于第几层？（参考数据：sin32.3°≈0.53，cos32.3°≈0.85，tan32.3°≈0.63，sin55.7°≈0.83，cos55.7°≈0.56，tan55.7°≈1.47）7．如图，宿豫区某校教学楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，教学楼在建筑物的墙上留下高3米的影子CE，而当光线与地面夹角是45°时，教学楼顶A在地面上的影子F与墙角C有30米的距离（B、F、C在一条直线上）．（1）求教学楼AB的高度；（2）若要在A、E之间挂一些彩旗，请你求出A、E之间的距离．（结果精确到1m）（参考数据：sin22°，cos22°≈，tan22°≈）8．如图，某市为方便行人过马路，打算修建一座高为4x（m）的过街天桥．已知天桥的斜面坡度i＝1：0.75是指坡面的铅直高度DE（CF）与水平宽度AE（BF）的比，其中DC∥AB，CD＝8x（m）．（1）请求出天桥总长和马路宽度AB的比；（2）若某人从A地出发，横过马路直行（A→E→F→B）到达B地，平均速度是2.5m/s；返回时从天桥由BC→CD→DA到达A地，平均速度是1.5m/s，结果比去时多用了12.8s，请求出马路宽度AB的长．9．缆车，不仅提高了景点接待游客的能力，而且解决了登山困难者的难题．如图，当缆车经过点A到达点B时，它走过了700米．由B到达山顶D时，它又走过了700米．已知线路AB与水平线的夹角α为16°，线路BD与水平线的夹角β为20°，点A的海拔是126米．求山顶D的海拔高度（画出设计图，写出解题思路即可）．10．如图所示是小强洗漱时的侧面示意图，洗漱台（矩形ABCD）靠墙摆放，宽AB＝48cm，小强身高166cm，下半身FG＝100cm，洗漱时下半身与地面成80°（∠FGK＝80°），身体前倾成125°（∠EFG＝125°），脚与洗漱台距离GC＝15cm（点D、C、G、K在同一直线上）．小强希望他的头部E恰好在洗漱盆AB的中点O的正上方，他应当前进或后退多少？（sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，≈1.41，结果精确到0.1）11．一扇窗户如图1所示，窗框和窗扇用“滑块铰链”连接，如图2是图1中“滑块铰链”的平面示意图，滑轨MN安装在窗框上，托悬臂DE安装在窗扇上，支点A处装有滑块，滑块可以左右滑动，支点B，C，D在一条直线上，延长DE交MN于点F．已知AC＝DE ＝20cm，AE＝CD＝10cm，BD＝40cm．（1）当∠CAB＝35°时，求窗扇与窗框的夹角∠DFB的度数．（2）当窗扇关闭时，图中点E，A，D，C，B都在滑轨MN上，求此时点A与点B之间的距离．（3）在（2）的前提下，将窗户推开至四边形ACDE为矩形时，求点A处的滑块移动的距离．12．如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知底座BC的长为0.60米，底座BC 与支架AC所成的角∠ACB＝75°，点A、H、F在同一条直线上，支架AH段的长为1米，HF段的长为1.50米，篮板底部支架HE的长为0.75米．（1）求篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE的度数．（2）求篮板顶端F到地面的距离．（结果精确到0.1米；参考数据：cos75°≈0.2588，sin75°≈0.9659，tan75°≈3.732，≈1.732，≈1.414）13．为做好防汛工作，防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，专家提供的方案是：水坝加高2米（即CD＝2米），背水坡DE的坡度i＝1：1（即DB：EB＝1：1，如图所示，已知AE＝4米，∠EAC＝130°，求水坝原来的高度BC．（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2）14．如图，一辆摩托单车放在水平的地面上，车把头下方A处与坐垫下方B处在平行于底面的水平线上，A、B之间的距离约为49cm，现测得AC、BC与AB的夹角分别为45°与68°，若点C到地面的距离CD为28cm，坐垫中轴E处与点B的距离BE为4cm，求点E到地面的距离（结果保留一位小数）．（参考数据：sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，cot68°≈0.40）15．停车难已成为合肥城市病之一，主要表现在居住停车位不足，停车资源结构性失衡，中心城区供需差距大等等．如图是张老师的车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8米，已知小汽车车门宽AO为1.2米，当车门打开角度∠AOB为40°时，车门是否会碰到墙？请说明理由．（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）16．自行车因其便捷环保深受人们喜爱，成为日常短途代步与健身运动首选．如图1是某品牌自行车的实物图，图2是它的简化示意图．经测量，车轮的直径为66cm，车座B到地面的距离BE为90cm，中轴轴心C到地面的距离CF为33cm，车架中立管BC的长为60cm，后轮切地面L于点D．（参考数据：sin72≈0.95，cos18°≈0.95，tan43.5°≈0.9 5）（1）求∠ACB的大小（精确到1°）（2）如果希望车座B到地面的距离B'E′为96.8cm，车架中立管BC拉长的长度BB′应是多少？（结果取整数）17．为营造“安全出行”的良好交通氛围，实时监控道路交通，某市交管部门在路口安装的高清摄像头如图所示，立杆MA与地面AB垂直，斜拉杆CD与AM交于点C，横杆DE∥AB，摄像头EF⊥DE于点E，AC＝5.5米，CD＝3米，EF＝0.4米，∠CDE＝162°．（1）求∠MCD的度数；（2）求摄像头下端点F到地面AB的距离．（精确到百分位）（参考数据；sin72°＝0.95，cos72°≈0.31，tan72°＝3.08，sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32）18．如图（1）是一种简易台灯，在其结构图（2）中灯座为△ABC（BC伸出部分不计），A、C、D在同一直线上．量得∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝16cm，∠ADE＝135°，灯杆CD长为40cm，灯管DE长为15cm．（1）求DE与水平桌面（AB所在直线）所成的角；（2）求台灯的高（点E到桌面的距离，结果精确到0.1cm）．（参考数据：sin15°＝0.26，cos15°＝0.97，tan15°＝0.27，sin30°＝0.5，cos30°＝0.87，tan30°＝0.58．）19．图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图．已知屋面AE的倾斜角∠EAD为22°，长为2米的真空管AB与水平线AD的夹角为37°，安装热水器的铁架竖直管CE的长度为0.5米．（1）真空管上端B到水平线AD的距离．（2）求安装热水器的铁架水平横管BC的长度（结果精确到0.1米）参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈20．如图，BC是路边坡角为30°，长为10米的一道斜坡，在坡顶灯杆CD的顶端D处有一探射灯，射出的边缘光线DA和DB与水平路面AB所成的夹角∠DAN和∠DBN分别是37°和60°（图中的点A、B、C、D、M、N均在同一平面内，CM∥AN）．（1）求灯杆CD的高度；（2）求AB的长度（结果精确到0.1米）．（参考数据：＝1.73．sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）21．如图，在某校图书馆门前一段笔直的内部道路AB上，过往车辆限速3米/秒在点B的正上方距其7米高的C处有一个探测仪．一辆轿车从点A匀速向点B行驶5秒后此轿车到达D点，探测仪测得∠CAB＝18°，∠CDB＝45°，求AD之间的距离，并判断此轿车是否超速，（结果精确到0.01米）【参考数据：sin l8°＝0.309，cos l8°＝0.951，tan l8°＝0.325】22．如图1是儿童写字支架示意图，由一面黑板，一面白板和一块固定支架的托盘组成，图2是它的一个左侧截面图，该支架是个轴对称图形，∠BAC是可以转动的角，B，C、D，E和F，G是支架腰上的三对对称点，是用来卡住托盘以固定支架的．已知AB＝AC＝60cm，BD＝CE＝DF＝EG＝10cm．（1）当托盘固定在BC处时，∠BAC＝32°，求托盘BC的长；（精确到0.1）（2）当托盘固定在DE处时，这是儿童看支架的最佳角度，求此时∠BAC的度数．（参考数据：sin32°＝0.53，cos32°＝0.85，sin16°＝0.28，sin20°＝0.34，sin25°＝0.42．）23．如图是在写字台上放置一本摊开的数学书和一个折叠式台灯时的截面示意图，已知摊开的数学书AB长20cm，台灯上半节DE长40cm，下半节DC长50cm．当台灯灯泡E恰好在数学书AB的中点O的正上方时，台灯上、下半节的夹角即∠EDC＝120°，下半节DC与写字台FG的夹角即∠DCG＝75°，求BC的长．（书的厚度和台灯底座的宽度、高度都忽略不计，F、A、O、B、C、G在同一条直线上．参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，≈1.41，结果精确到0.1）24．如图，一架梯子底端放在一处斜坡上，顶端靠在墙上，已知梯子与坡面的夹角α＝75°，斜坡CD与地面的夹角β＝30°，BC＝1米，CD＝2米，求梯子顶端到地面的距离AB．25．据城市速递报道，我市一辆高为2.5米的客车，卡在快速路引桥上高为2.55米的限高杆的上端，已知引桥的坡角∠ABC为14°，请结合示意图，用你学过的知识通过数据说明客车不能通过的原因．【参考数据：sin14°＝0.24，cos14°＝0.97，tan14°＝0.25】26．如图是菏泽银座地下停车场入口的设计图，请根据图中数据计算CE的长度．（结果精确到0.01m，参考数据：sin22°≈0.3746，cos22°≈0.9272，tan22°≈0.4040）27．如图是小红在一次放风筝活动中某时段的示意图，她在A处时的风筝线（整个过程中风筝线近似地看作直线）与水平线构成30°角，线段AA1表示小红身高1.5米．（1）当风筝的水平距离AC＝18米时，求此时风筝线AD的长度；（2）当她从点A跑动9米到达点B处时，风筝线与水平线构成45°角，此时风筝到达点E处，风筝的水平移动距离CF＝10米，这一过程中风筝线的长度保持不变，求风筝原来的高度C1D．参考答案1．解：在Rt△AMD中，∠MAD＝45°，∴DM＝AM⋅tan45°＝4（m），在Rt△BMC中，∠MBC＝30°，∴CM＝BM⋅tan30°，∵BM＝AM+AB＝4+8＝12（m），∴CM＝12×≈6.92（m），∴CD＝CM﹣DM＝6.92﹣4≈3（米），答：警示牌的高CD为3米．2．解：在Rt△ABC中，∵∠CAB＝45°，∴AB＝BC＝10，∵坡面DC的坡度为i＝：2，∴tan∠CDB＝，在Rt△BCD中，＝，∴BD＝×10＝14.14，∵10+10﹣14.14＝5.86＞3，∴离原坡角（A点处）10米的建筑物不需要拆除．3．解：在Rt△BAE中，tan∠BAE＝，即＝2.5，解得，AE＝64.8，在Rt△DCE中，tan∠DCE＝，即＝，解得，CE＝102.08，AC＝CE﹣AE＝102.08﹣64.8≈37.3（米），答：工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度AC约为37.3米．4．解：作CE⊥BD于E，AF⊥CE于F，如图2，易得四边形AHEF为矩形，∴EF＝AH＝3.5m，∠HAF＝90°，∴∠CAF＝∠CAH﹣∠HAF＝118°﹣90°＝28°，在Rt△ACF中，∵sin∠CAF＝，∴CF＝8sin28°＝8×0.47＝3.76，∴CE＝CF+EF＝3.76+3.5≈7.3（m），答：操作平台C离地面的高度为7.3m．5．解答：在Rt△ABC中，AC＝AB•sin45°＝4×＝2，∵∠ABC＝45°，∴AC＝BC＝2，在Rt△ADC中，AD＝2AC＝4，AD﹣AB＝4﹣4≈1.66．答：改善后滑板会加长1.66米．6．解：（1）过点C作CE⊥PB，垂足为E，过点D作DF⊥PB，垂足为F，则∠CEP＝∠PFD＝90°，由题意可知：设AB＝x，在Rt△PCE中，tan32.3°＝，∴PE＝x•tan32.3°，同理可得：在Rt△PDF中，tan55.7°＝，∴PF＝x•tan55.7°，由PF﹣PE＝EF＝CD＝42，可得x•tan55.7°﹣x•tan32.3°＝42，解得：x＝50∴楼间距AB＝50m，（2）由（1）可得：PE＝50•tan32.3°＝31.5m，∴CA＝EB＝90﹣31.5＝58.5m由于2号楼每层3米，可知点C位于20层．7．解：（1）过点EE作EM⊥AB于点M，设AB＝x，在Rt△ABF中，∵∠AFB＝45°，∴BF＝AB＝x，∴BC＝BF+FC＝x+30，在Rt△AEM中，∵∠AEM＝22°，AM＝AB﹣CE＝x﹣3，，∴，解得x＝25，∴办公楼AB的高度为25m．（2）在Rt△AEM中，∵，∴＝≈59m，答：A，E之间的距离约为59m．8．解：（1）∵DE⊥AB，CF⊥AB，∴∠DEF＝∠CFE＝90°，∴DE∥CF，∵DC∥AB，∴四边形CDEF是矩形，∴EF＝DC＝8x，∵＝＝，∴EA＝BF＝3x，∴AD＝BC＝5x，∴AB＝AE+EF+BF＝14x，∴天桥总长和马路宽度AB的比＝18x：14x＝9：7．（2）由（1）可知，AB＝14x，AD+CD+BC＝18x，由题意：＝﹣12.8，解得x＝2，∴14x＝28，答：马路宽度AB的长为28m，9．解：如图，作DH⊥水平线于H，AG⊥水平线于G，BE⊥DH于E，AC⊥DH于F．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠α＝16°，AB＝700，由sinα＝，可求BC的长．即BC＝AB•sinα＝700sin16°，在Rt△BDE中，∠DBE＝90°，∠β＝16°，BD＝AB＝700，由sinβ，可求DE的长．即DE＝BD•sinβ＝700sin20°，由矩形性质，可知EF＝BC＝700sin16°，FH＝AG＝126．从而，可求得DH的长．即DH＝DE+EF+FH＝700sin20°+700sin16°+126．10．解：过点F作FH⊥DK于H，过点E作EL⊥FH于L，在Rt△FGH中，cos∠FGH＝．∴GH＝GF•cos∠FGH＝100×0.17＝17，在Rt△EFL中，∠EFL＝180°﹣125°﹣10°＝45°，EF＝166﹣100＝66cm，∴EL＝≈46.5cm，DH＝DC+CG+GH＝48+15+17＝80，∴小强的头距墙：80﹣46.5＝33.5，而洗漱盆的中心距墙48÷2＝24，小强应该向前移动：33.5﹣24≈9.5（cm）．11．解：（1）∵AC＝DE＝20cm，AE＝CD＝10cm，∴四边形DEAC是平行四边形，∴DF∥AC，∴∠DFB＝∠CAB＝35°．（2）由题意AB＝AC+BC＝20+30＝50（cm），（3）当四边形DEAC是矩形时，AB＝＝10（cm），∴点A处的滑块移动的距离＝（50﹣10）cm．12．解：（1）由题意可得：cos∠FHE＝＝，则∠FHE＝60°；（2）延长FE交CB的延长线于M，过A作AG⊥FM于G，在Rt△ABC中，tan∠ACB＝，∴AB＝BC•tan75°＝0.60×3.732＝2.2392，∴GM＝AB＝2.2392，在Rt△AGF中，∵∠FAG＝∠FHE＝60°，sin∠FAG＝，∴sin60°＝＝，∴FG≈2.17（m），∴FM＝FG+GM≈4.4（米），答：篮板顶端F到地面的距离是4.4米．13．解：设BC＝x米，在Rt△ABC中，∠CAB＝180°﹣∠EAC＝50°，AB＝≈＝＝x，在Rt△EBD中，∵i＝DB：EB＝1：1，∴BD＝BE，∴CD+BC＝AE+AB，即2+x＝4+x，解得x＝12，即BC＝12，答：水坝原来的高度为12米．14．解：过点C作CH⊥AB于点H，过点E作EF垂直于AB延长线于点F，设CH＝x，则AH＝CH＝x，BH＝CH cot68°＝0.4x，由AB＝49 知x+0.4x＝49，解得：x＝35，∵BE＝4，∴EF＝BE sin68°＝3.72，则点E到地面的距离为CH+CD+EF＝35+28+3.72≈66.7（cm），答：点E到地面的距离约为66.7cm．15．过点A作OB的垂线AC，垂足是C，在Rt△ACO，AO＝1.2，∠AOC＝40°∵sin40°＝，∴AE＝OA sin40°≈0.64×1.2＝0.768＜0.8，∵汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8米，∴车门不会碰到墙．16．解：（1）∵AD⊥l，CF⊥l，HE⊥l∴AD∥CF∥HE，∵AD＝33cm，CF＝33cm，∴AD＝CF，∴四边形ADFC是平行四边形，∵∠ADF＝90°，∴四边形ADFC是矩形，∴HE＝AD＝33cm，∵BE＝90cm，∴BH＝57cm，在Rt△HCB中，sin∠BCH＝＝＝＝0.95，∴∠ACB＝72°．（2）如图所示，B'E'＝96.8cm，设B'E'与AC交于点H'，则有B'H'∥BH，∴△B'H'C∽△BHC，得＝．即＝，∴B'C＝67cm．故BB'＝B'C﹣BC＝67﹣60＝7（cm）．∴车架中立管BC拉长的长度BB'应是7cm．17．（1）如图，延长ED，AM交于点P，∵DE∥AB，MA⊥AB∴EP⊥MA，即∠MPD＝90°∵∠CDE＝162°∴∠MCD＝162°﹣90°＝72°；（2）如图，在Rt△PCD中，CD＝3米，∠MCD＝72°，∴PC＝CD•cos∠MCD＝3×cos72°≈3×0.31＝﹣0.93米∵AC＝5.5米，EF＝0.4米，∴PC+AC﹣EF＝0.93+5.5﹣0.4＝6.03米答：摄像头下端点F到地面AB的距离为6.03米．18．解：（1）如图所示：过点D作DF∥AB，过点D作DN⊥AB于点N，EF⊥AB于点M，由题意可得，四边形DNMF是矩形，则∠NDF＝90°，∵∠A＝60°，∠AND＝90°，∴∠ADN＝30°，∴∠EDF＝135°﹣90°﹣30°＝15°，即DE与水平桌面（AB所在直线）所成的角为15°；（2）如图所示：∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝16cm，∴∠ABC＝30°，则AC＝AB＝8cm，∵灯杆CD长为40cm，∴AD＝48cm，∴DN＝AD•cos30°≈41.76cm，则FM＝41.76cm，∵灯管DE长为15cm，∴sin15°＝＝＝0.26，解得：EF＝3.9，故台灯的高为：3.9+41.76≈45.7（cm）．19．解：（1）过B作BF⊥AD于F．在Rt△ABF中，∵sin∠BAF＝，∴BF＝AB sin∠BAF＝2sin37°≈＝1.2．∴真空管上端B到AD的距离约为1.2米．（2）在Rt△ABF中，∵cos∠BAF＝，∴AF＝AB cos∠BAF＝2cos37°≈1.6，∵BF⊥AD，CD⊥AD，又BC∥FD，∴四边形BFDC是矩形．∴BF＝CD，BC＝FD，∵EC＝0.5米，∴DE＝CD﹣CE＝0.7米，在Rt△EAD中，∵tan∠EAD＝，∴＝，∴AD＝1.75米，∴BC＝DF＝AD﹣AF＝1.75﹣1.6＝0.15≈0.2∴安装热水器的铁架水平横管BC的长度约为0.2米．20．解：（1）延长DC交AN于H．∵∠DBH＝60°，∠DHB＝90°，∴∠BDH＝30°，∵∠CBH＝30°，∴∠CBD＝∠BDC＝30°，∴BC＝CD＝10（米）．（2）在Rt△BCH中，CH＝BC＝5米，BH＝5≈8.65（米），∴DH＝15（米），在Rt△ADH中，AH＝≈＝20（米），∴AB＝AH﹣BH＝20﹣8.65≈11.4（米）．答：AB的长度约为11.4米．21．解：由题意可得：在Rt△BCD中，∠CBD＝90°，∠CDB＝45°，∴∠DCB＝∠CDB＝45°，∴BC＝BD＝7，在Rt△ABC中，∠BAC＝18°，BC＝7，tan∠BAC＝，∴，∴AD＝21.538﹣7＝14.538≈14.54，14.54÷5≈2.91＜3，答：AD之间的距离约为14.54米，此轿车没有超速．22．解：（1）如图，过A作AH⊥BC于H，∵AB＝AC＝60cm，∴∠CAH＝∠BAC＝16°，∴Rt△ACH中，CH＝sin16°×AC，∴BC＝2CH＝2×sin16°×60≈33.6cm；（2）如图，连接DE，过A作AP⊥DE于P，∵AD＝AE＝60﹣10＝50，∴PE＝DE＝×33.6＝16.8，∠BAC＝2∠CAP，∴Rt△APE中，sin∠PAG＝＝≈0.34，又∵sin20°＝0.34，∴∠PAE＝20°，∴∠BAC＝40°．23．解：如图作DM⊥OE于M，DN⊥FG于N．则四边形DMON是矩形．∴DM∥ON，∴∠DCN＝∠CDM＝75°，∴∠EDM＝120°﹣75°＝45°，∵DE＝40cm，∴EM＝DM＝ON＝20≈28.2（cm），在Rt△DCN中，CN＝CD•cos75°≈13（cm），∵OB＝10，∴BC＝ON﹣OB﹣CN＝28.2﹣10﹣13＝5.2（cm）．24．解：作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F．则四边形DEBF是矩形．在Rt△DCF中，DF＝EB＝CD•sin30°＝1，CF＝CD•cos30°＝，∴DE＝BF＝1+，在Rt△ADE中，∠ADE＝75°﹣30°＝45°，∴AE＝DE＝1+，∴AB＝AE+EB＝2+．25．解：∵DE⊥BC，DF⊥AB，∴∠EDF＝∠ABC＝14°．在Rt△EDF中，∠DFE＝90°，∵cos∠EDF＝，∴DF＝DE•cos∠EDF＝2.55×cos14°≈2.55×0.97≈2.47．∵限高杆顶端到桥面的距离DF为2.47米，小于客车高2.5米，∴客车不能通过限高杆．26．解：由已知有：∠BAE＝22°，∠ABC＝90°，∠CED＝∠AEC＝90°∴∠BCE＝158°，∴∠DCE＝22°，又∵tan∠BAE＝，∴BD＝AB•tan∠BAE，又∵cos∠BAE＝cos∠DCE＝，∴CE＝CD•cos∠BAE＝（BD﹣BC）•cos∠BAE＝（AB•tan∠BAE﹣BC）•cos∠BAE＝（10×0.4040﹣0.5）×0.9272≈3.28（m），答：CE的长度为3.28m．27．解：（1）∵在Rt△ACD中，cos∠CAD＝，AC＝18、∠CAD＝30°，∴AD＝＝＝＝12（米），答：此时风筝线AD的长度为12米；（2）设AF＝x米，则BF＝AB+AF＝9+x（米），在Rt△BEF中，BE＝＝＝18+x（米），由题意知AD＝BE＝18+x（米），∵CF＝10，∴AC＝AF+CF＝10+x，由cos∠CAD＝可得＝，解得：x＝3+2，则AD＝18+（3+2）＝24+2，∴CD＝AD sin∠CAD＝（24+2）×＝12+，则C1D＝CD+C1C＝12++＝+；方法二：设CD＝x，∵∠CAD＝30°，∴BE＝AD＝2CD＝2x，AC＝＝＝x，∵CF＝10，∴AF＝AC﹣CF＝x﹣10，∵AB＝9，∴BF＝AB+AF＝9+x﹣10，∵∠EBF＝45°，∴由cos∠EBF＝可得＝，解得：x＝12+，即CD＝12+，则C1D＝CD+C1C＝12++＝+．答：风筝原来的高度C1D为（+）米。
九年级数学下册三角函数的综合练习题
九年级数学下册三角函数的综合练习题（正文开始）本篇文章为九年级数学下册三角函数的综合练习题，旨在帮助同学们巩固和应用所学的三角函数知识。
请同学们认真阅读题目，并按要求进行解答。
题目一：已知∠A 是一个锐角，且sinA = 0.6，求cosA、tanA 的值。
解答：根据三角函数的定义可知，sinA = 对边/斜边。
设对边为x，斜边为1，那么根据题意可得 x/1 = 0.6，解得 x = 0.6。
根据勾股定理可得，邻边为√(1^2 - 0.6^2) = √0.64 = 0.8。
所以，cosA = 邻边/斜边 = 0.8/1 = 0.8。
tanA = 对边/邻边 = 0.6/0.8 = 0.75。
题目二：已知∠B 是一个钝角，且cosB = 0.3，求sinB、cotB 的值。
解答：根据三角函数的定义可知，cosB = 邻边/斜边。
设邻边为x，斜边为1，那么根据题意可得 x/1 = 0.3，解得 x = 0.3。
根据勾股定理可得，对边为√(1^2 - 0.3^2) = √0.91 ≈ 0.953。
所以，sinB = 对边/斜边 = 0.953/1 = 0.953。
cotB = 斜边/对边= 1/0.953 ≈ 1.049。
题目三：已知∠C 是一个直角，且tanC = 2，求sinC、cosC 的值。
解答：根据三角函数的定义可知，tanC = 对边/邻边。
设对边为x，邻边为1，那么根据题意可得 x/1 = 2，解得 x = 2。
根据勾股定理可得，斜边为√(2^2 + 1^2) = √5 ≈ 2.236。
所以，sinC = 对边/斜边= 2/2.236 ≈ 0.894。
cosC = 邻边/斜边= 1/2.236 ≈ 0.447。
题目四：已知∠D 是一个钝角，且sinD = 0.4，求cosD、cotD 的值。
解答：根据三角函数的定义可知，sinD = 对边/斜边。
设对边为x，斜边为1，那么根据题意可得 x/1 = 0.4，解得 x = 0.4。
最新北师大版九年级数学下册《三角函数的应用》专项练习2(解答)
三角函数的应用解答题 A 组1.（2011年黄冈中考调研六）池塘中竖着一块碑，在高于水面1米的地方观测，测得碑顶的仰角为︒20，测得碑顶在水中倒影的俯角为︒30（研究问题时可把碑顶及其在水中的倒影所在的直线与水平线垂直），求水面到碑顶的高度（精确到0.01米，747.270tan ≈︒）.解：如图，DE 表示水面，A 表示观测点， B 为碑顶，B '在水中的倒影，由题意：()m 13020=︒='∠︒=∠，AD AC B ，BAC︒='∠︒=∠∴60,70B B设x BE =,则.1,1+='-=x C B x BC在Rt △ABC 中，()︒-=⋅=70tan 1tan x B BC AC ○1 在Rt △A B 'C 中，()︒+='⋅'=60tan 1tan x B C B AC ○2 由○1、○2得()()︒+=︒-60tan 170tan 1x x ()︒+︒=︒-︒∴60tan 70tan 60tan 70tan x 41.4479.4015.1≈∴=x x 米答：水面到碑顶的高度4.41米.2. （2011年江苏盐都中考模拟）（本题10分）青海玉树地震发生后，一支专业搜救队驱车前往灾区救援.如图，汽车在一条南北走向的公路上向北行驶，当在A 处时，车载GPS （全球卫星定位系统）显示村庄C 在北偏西26°方向，汽车以35km/h 的速度前行2h 到达B 处，GPS 显示村庄C 在北偏西52°方向. （1）求B 处到村庄C 的距离；（2）求村庄C 到该公路的距离.（结果精确到0.1km ） （参考数据：，，，） 解：过作，交于.（1），，，，即处到村庄的距离为70km.（4分） （2）在中，B 'EABC D（5分）.即村庄到该公路的距离约为55.2km.（1分）3.（2011年北京四中中考模拟18）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力.如图，据气象观测，距沿海某城市A 的正南方向220千米B 处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米／时的速度沿北偏东30°方向往C 移动，且台风中心风力不变.若城市所受风力达到或超过四级，则称为受台风影响. （1）该城市是否会受到这次台风的影响?请说明理由. （2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长?（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级?解：（1）如图，由点A 作AD ⊥BC ，垂足为D.∵AB ＝220，∠B ＝30°∴AD ＝110（千米）.由题意，当A 点距台风中心不超过160千米时，将会受到台风的影响.故该城市会受到这次台风的影响.（2）由题意，当A 点距台风中心不超过160千米时，将会受到台风的影响.则AE ＝AF ＝160.当台风中心从E 处移到F 处时，该城市都会受到这次台风的影响.由勾股定理得：530502701101602222=⨯=-=-=AD AE DE .∴EF ＝6015（千米）.∵该台风中心以15千米／时的速度移动.∴这次台风影响该城市的持续时间为154151560=（小时）.（3）当台风中心位于D 处时，A 市所受这次台风的风力最大，其最大风力为12－20110＝6.5（级）.4.（2011年浙江省杭州市模拟23）为打击索马里海盗，保护各国商船的顺利通行，我海军某部奉命前往该海域执行护航任务.某天我护航舰正在某小岛A 北偏西45︒并距该岛20海里的B 处待命.位于该岛正西方向C 处的某外国商船遭到海盗袭击，船长发现在其北偏东60︒的方向有我军护航舰（如图9所示），便发出紧急求救信号.我护航舰接警后，立即沿BC 航线以每小时60海里的速度前去救援.问我护航舰需多少分钟可以到达该商船所在的位置C处？（结果C AB60°45°北北精确到个位.参考数据：2 1.43 1.7≈，≈）答案：解：由图可知，3045ACB BAC=︒=︒∠，∠ ·····2分作BD AC⊥于D（如图），在Rt ADB△中，20AB=∴2sin45201022BD AB==⨯=° ························4分在Rt BDC△中，30ACB=︒∠∴210220228BC=⨯=≈·································6分∴280.4760≈8分∴0.476028.228⨯=≈（分钟）9分答：我护航舰约需28分钟就可到达该商船所在的位置C．10分5.（2011年北京四中模拟26）如图，已知灯塔A的周围7海里的范围内有暗礁，一艘渔轮在B处测得灯塔A在北偏东60°的方向，向正东航行8海里到C处后，又测得该灯塔在北偏东30°方向，渔轮不改变航向，继续向东航行，有没有触礁危险？请通过计算说明理由（参考数据3≈1.732）.答案：作AD⊥BC交BC延长线于D，设AD=x，在Rt△ACD中，∠CAD=30°∴CD=3tan303x x︒=.在Rt△ABD中，∠ABD=30°∴BD= 3x∵BC=83383x x∴-=436.9287x=≈∴有触礁危险.6.（北京四中模拟）李攀家居住在某居民小区，在距他房前24米的地方有一幢26层的电梯公寓，刘卉家就住在这幢公寓里，刘卉的奶奶每天上午都能在她家的阳台上晒到太阳.已知太阳光与水平线的夹角为32°，李攀家所住的楼高40米，电梯公寓每层高2.5米，问刘卉家住的楼层至少是几楼？C AB60°45°北北D（计算结果保留整数，参考数据1065sin 320.53\cos32\tan 321258≈≈≈）解：过E 作EF ⊥AB 于F ∵AB ⊥BC ，DC ⊥BC ∴四边形BCEF 是矩形，EF=BC=24，∠AEF=32°∵tan ∠AEF=AF EF ∴AF=EF tan ∠AEF=24×58=15 ∴EC=BF=40-15=25，25÷25=10，故刘卉家住的楼层至少是10层.7.(2011湖北省天门市一模)安装在屋顶的太阳能热水器的横截面示意图如图所示.已知集热管AE 与支架BF 所在直线相交与水箱横截面⊙O 的圆心O,⊙O 的半径为0.2m,AO 与屋面AB 的夹角为32°，与铅垂线OD 的夹角为40°，BF ⊥AB 于B ，OD ⊥AD 于D ，AB ＝2m,求屋面AB 的坡度和支架BF 的长.(参考数据：13121tan18,tan 32,tan 4035025≈≈≈)∵OD ⊥AD∴∠AOD+∠OAC+∠CAD=90° ∵∠OAC=32°，∠AOD=40° ∴∠CAD=18° ∴i=ADCD=tan18°=1：3 在Rt △OAB 中，ABOB=tan32° ∴OB=AB·tan32°=2×5031=1.24∴BF=OB-OF=1.24-0.2=1.04(m)8.（2011年江苏连云港）（本小题满分8分）如图，大楼AB 的高为16米，远处有一塔CD ，小李在楼底A 处测得塔顶D 处的仰角为60°，在楼顶B 处测得塔顶D 处的仰角为45°.其中A C 、两点分别位于B D 、两点正下方，且AC 、两点在同一水平线上，求塔CD 的高度. 解：作BE CD ⊥于E ，F EO DCB AC可得Rt BED △和矩形ACEB ，则有16CE AB AC BE ===，，… …… …… ……… ……… … （2分） 在Rt BED △中，45DBE DE BE AC ∠===°，… …… …… ……（4分） 在Rt DAC △中，60tan 603DAC DC AC AC ∠==︒=°，，… …… ……（5分）16163DE DC AC AC +=∴+=，，解得：838AC =+，… …… ……（7分）所以塔CD 的高度为(8324)+米.… …… …… 8分9.（2011年浙江仙居）（10分）如图，李明同学在东西方向的滨海路A 处，测得海中灯塔P 在北偏东60°方向上，他向东走400米至B 处，测得灯塔P 在北偏东30°方向上，求灯塔P 到滨海路的距离.（结果保留根号） 解：过点P 作PC ⊥AB ，垂足为C.……………1分 由题意, 得∠PAB ＝30°，∠PBC ＝60°. ∵ ∠PBC 是△APB 的一个外角，∴ ∠APB ＝∠PBC-∠PAB=30°. …………………3分 ∴ ∠PAB ＝∠APB. …………………4分 故 AB=PB=400米. …………………………6分 在Rt △PBC 中，∠PCB ＝90°，∠PBC ＝60°，PB=400， ∴ PC=PB sin 60︒⋅ …………………………8分 =400×23=3200（米）.…………………10分 B 组1.（2011浙江慈吉 模拟）在数学活动课上，九年级（1）班数学兴趣小组的同学们测量校园内一棵大树的高度，设计的方案及测量数据如下：(1)在大树前的平地上选择一点A ，测得由点A 看大树顶端C 的仰角为35°； (2)在点A 和大树之间选择一点B （A 、B 、D 在同一直线上），测得由点 B 看大树顶端C 的仰角恰好为45°； (3)量出A 、B 两点间的距离为4.5米.请你根据以上数据求出大树CD 的高度.(结果保留3个有效数字) 答案： ∠CDB=90°, ∠CBD=45°∴CD=BD AB=4.5 ∴AD=BD+4.5PA B C 30°60°北东设高CD=x则BD=x ，AD=x +4.5∠CAD=35° ∴tan ∠CAD=tan35°=5.4+x x整理后得35tan 135tan 5.4-⨯=x ≈10.5故大树CD 的高约为10.5米2.（2011年三门峡实验中学3月模拟）如图，热气球的探测器显示，从热气球A 看一栋大楼顶部B 的俯角为30°，看这栋大楼底部C 的俯角为60°，热气球A 的高度为240米，求这栋大楼的高度. 答案：解：过点A 作直线BC 的垂线，垂足为D .则∠CDA =90°，∠CAD =60°，∠BAD =30°，CD =240米 在Rt △ACD 中，tan ∠CAD =CDAD， ∴AD =240803tan 603CD ==︒在Rt △ABD 中，tan ∠BAD =BDAD， ∴BD =AD ·tan30°=8033803⨯= ∴BC=CD －BD =240－80=160 答：这栋大楼的高为160米.3.（2011年杭州市西湖区模拟）（本题6分）如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，°90D ∠=，4CD =,ACB D ∠=∠，32tan =∠B ，求梯形ABCD 的面积. 答案：（本题6分）在梯形ABCD 中，AB ∥CD ， ∴∠1＝∠2.∵∠ACB ＝∠D ＝90°. ∴∠3＝∠B.BDCA∴32tan 3tan =∠=∠B …………………………………………… 1分 在Rt △ACD 中，CD ＝4， ∴63tan =∠=CDAD ……………………………………………………………… 3分 ∴13222=+=CD AD AC .在Rt △ACB 中，32tan =B ， ∴132sin =B ，∴13sin ==B AC AB …………………………………………… 5分∴51)(21=⋅+=AD CD AB S ABCD 梯形……………………………………… 6分4.（2011年安徽省巢湖市七中模拟）.下图是一座人行天桥的示意图，天桥的高是10米，坡面的倾斜角为︒45.为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面的倾斜角为︒30，若新坡角下需留3米的人行道，问离原坡角10米的建筑物是否需要拆除？ (参考数据：2≈1.414，3≈1.732 )解：在Rt ABC ∆中，∵10=BC ，︒=∠45CAB ，∴AB=45tan 10=10(米) …2分 在Rt DBC ∆中，∵︒=∠30CDB ∴30tan 10=DB =310米 ……4分则DA=DB-AB=10310-≈10×1.73210-= 7.32米. ……5分 ∵3 + DA 10>，所以离原坡角10米的建筑物应拆除. ……6分 答：离原坡角10米的建筑物应拆除. ……7分 5.（2011安徽中考模拟）某风景管理区，为提高游客到某景点的安全性，决定将到达该景点的步行台阶进行改善，把倾角由45°减至30°，已知原台阶坡面AB 的长为5m （BC 所在地面为水平面）.（1）改善后的台阶坡面会加长多少？（2）改善后的台阶多占多长一段水平地面？（结果精确到0.1m ，参考数据：2 1.41≈，3 1.73≈）DCBA 3 10BCA45º45º30º解：（1）如图，在Rt ABC △中，52sin 452AC AB ==(m).……2分 在Rt ACD △中，521525 1.417.05sin 3022AC AD ==÷=≈⨯≈(m)，……………4分 7.055 2.1AD AB ∴-=-≈m. ………………………………5分 即改善后的台阶坡面会加长2.1 m.（2）如图，在Rt ABC △中，53.322545cos ≈=︒⋅=AB BC (m).………6分 在Rt ACD △中，52 6.10tan 302AC CD ==÷≈33(m)，……………………………8分6.10 3.53 2.6BD CD BC ∴=-=-≈(m).………………………9分 即改善后的台阶多占2.6.长的一段水平地面. ……………………10分 6.（浙江杭州金山学校2011模拟）（8分）（根据九年级数学一诊试题改编） 如图，一艘渔船位于海洋观测站P 的北偏东60°方向，渔船在A 处与海洋观测站P 的距离为60海里，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于海洋观测站P的南偏东45°方向上的B 处.求此时渔船所在的B 处与海洋观测站P 的距离（结果保留根号）.解：过点P 作PC ⊥AB ，垂足为C.∠APC=30°，∠BPC=45°，AP=60……2分 在Rt △APC 中，cos ∠APC=PAPC， PC=PA·cos ∠APC=303…………………………………2分在Rt △PCB 中，PB PC BPC =∠cos ………………………1分63045cos 330cos =︒=∠=BPC PC PB ……………………………2分Ｃ答：当渔船位于P 南偏东45°方向时，渔船与P 的距离是306海里. 7.路边有一根电线杆AB 和一块正方形广告牌. 有一天，小明突然发现，在太阳光照射下，电线杆顶端A 的影子刚好落在正方形广告牌的上边中点G 处， 而正方形广告牌的影子刚好落在地面上E 点（如图）， 已知BC=5米，正方形边长为3米，•DE=4米. （1）求电线杆落在广告牌上的影长； （2）求电线杆的高度（精确到0.1米）.解：（1）电线杆落在广告牌上的影长为3+1.5=4.5（米）…………（2分） （2）作GH ⊥AB 于H ，依题意得：HG=BC+0.5CD=5+1.5=6.5…………（3分） 因为：DEFD HGAH =,DF=3,DE=4. …………（4分）所以：AH=435.6⨯=4.875…………（5分）所以：电线杆的高度为:AB=AH+BH=AH+DF=3+4.875=7.875≈7.9.…………（6分）答：（1）广告牌上的影长为4.5米；（2）电线杆的高度为7.9米.…………（7分）EABCDG F EABC DG FH。
三角函数专练-坡角问题
三角函数应用专练-坡角问题1．有一斜坡AC，其坡度为i＝1：2，顶部A处的高AB为5m，B，C在同一水平地面上．（1）求斜坡AC的水平宽度BC的长；（2）矩形DEFG为长方体货柜的侧面图，其中DE＝3m，EF＝2m．将该货柜沿斜坡向上运送，当CF＝4m，求点D离地面的高．（结果精确到0.1m）2．如图所示，台阶CD为某校运动场观赛台，台阶每层高0.3米，AB为运动场外的一幢竖直居民楼，且AC＝51.7米，设太阳光线与水平地面的夹角为α，当α＝60°时，测得居民楼在地面上的影长AE＝30米．（参考数据：≈1.73）（1）求居民楼的高度约为多少米？（2）当α＝45°时，请问在台阶的MN这层上观看比赛的学生是否还晒到太阳？请说明理由．3．如图是投影仪安装截面图．教室高EF＝3.5m，投影仪A发出的光线夹角∠BAC＝30°，投影屏幕高BC＝1.2m．固定投影仪的吊臂AD＝0.5m，且AD⊥DE，AD∥EF，∠ACB＝45°．求屏幕下边沿离地面的高度CF（结果精确到0.1m）．（参考数据：tan15°≈0.27，tan30°≈0.58）4．小明在参加学校组织的重走长征路的活动中，发现了一个山坡上的亭子，为了测得亭子的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长是0.5米，此时，亭子AB的影子落在斜坡坡面上的点F处．经测量山坡的坡比为1：，坡顶C与亭子底部B的距离为4米，与点F的距离为2米，坡脚D与点F的距离为1米，且亭子底部所在平面BC与地面DE平行．求亭子AB的高度．（结果保留根号）5．2013年9月23日强台风“天兔”登陆深圳，伴随着就是狂风暴雨．梧桐山山坡上有一棵与水平面垂直的大树，台风过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面（如图所示）．已知山坡的坡角∠AEF＝23°，量得树干的倾斜角为∠BAC＝38°，大树被折断部分和坡面所成的角∠ADC＝60°，AD＝3m．求这棵大树折断前的高度．（结果保留根号）6．某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地，如图所示，BC∥AD，BE⊥AD，斜坡AB长为26米，坡角∠BAD＝68°．为了减缓坡面防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该斜坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡．（1）求改造前坡顶到地面的距离BE的长（精确到0.1米）；（2）如果改造时保持坡脚A不动，坡顶B沿BC向左移11米到F点处，问这样改造能确保安全吗？（参考数据：sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.48，sin58°12′≈0.85，tan49°30′≈1.17）。
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三角函数的应用（坡度、坡角）
◆随堂检测
1、某斜坡的坡度为i=1______度．
2、以下对坡度的描述正确的是（ ）． A ．坡度是指斜坡与水平线夹角的度数; B ．坡度是指斜坡的铅直高度与水平宽度的比; C ．坡度是指斜坡的水平宽度与铅直高度的比; D ．坡度是指倾斜角的度数
3、某人沿坡度为i=1：
3
的山路行了20m ，则该人升高了（ ）．
A ．20
B ．
40
.3
3
m C D 4、斜坡长为100m ，它的垂直高度为60m ，则坡度i 等于（ ）．
A ．35
B ．4
5
C ．1：43
D ．1：0.75
5、在坡度为1：1.5的山坡上植树，要求相邻两树间的水平距离为6m ，•则斜坡上相邻两树间的坡面距离为（ ）．
A ．4m
B ．2
C ．3m
D ．◆典例分析
水库拦水坝的横断面为梯形ABCD ，背水坡CD 的坡比i=1，•已知背水坡的坡长CD=24m ，求背水坡的坡角α及拦水坝的高度．
解：过D 作DE ⊥BC 于E ．
∵该斜边的坡度为1 则
，∴α=30°， 在Rt △DCE 中，DE ⊥BC ，DC=24m ． ∴∠DCE=30°，∴DE=12（m ）．
故背水坡的坡角为30°，拦水坝的高度为12m．
点评：本题的关键是弄清坡度、坡角的概念，坡度和坡角的关系：坡度就是坡角的正切值，通过做高构造直角三角形，再利用三角函数值求出坡角即可.
◆课下作业
●拓展提高
1、如图，沿倾斜角为30°的山坡植树，•要求相邻两棵树间的水平距离AC为2m，
那么相邻两棵树的斜坡距离AB约为_______m（精确到0．1m）．（•可能用
≈1.41）
1题图2题图
2、如图，防洪大堤的横断面是梯形，坝高AC=6米，背水坡AB的坡度i=1：2，
则斜坡AB的长为_______米．
3、如图，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地砖，•地毯的长度至少需________
米（精确到0.1米）．
3题图4题图
4、如图，梯形护坡石坝的斜坡AB的坡度i=1：3，坡高BC为2米，则斜坡AB 的长是（）
A．2B．C．D．6米
5、为了灌溉农田，某乡利用一土堤修筑一条渠道，在堤中间挖出深为1.2m，下底宽为2m，坡度为1：0.6的渠道（其横断面为等腰梯形），并把挖出的土堆在两旁，使土堤的高度比原来增加了0.6m，如图所示，求：（1）渠面宽EF；（2）
修400m 长的渠道需挖的土方数．
6、一勘测人员从A 点出发，沿坡角为30°的坡面以5km/h 的速度行到点D ，•用了10min ，然后沿坡角为45°的坡面以2.5km/h 的速度到达山顶C ，用了12min ，•求山高及A ，B 两点间的距离（精确到0.1km ）．
7、某村计划开挖一条长为1600m 的水渠，渠道的横断面为等腰梯形，渠道深0.8m ，下底宽1.2m ，坡度为1：1．实际开挖渠道时，每天比原计划多挖土方20m 3，结果比原计划提前4天完工，求原计划每天挖土多少立方米．（精确到0.1m 3）
●体验中考
1、（衢州）为测量如图所示上山坡道的倾斜度，小明测得图中所示的数据(单位：米)，则该坡道倾斜角α的正切值是（ ） A ．1
4
B ．4 C
D
2、（益阳市）如图，先锋村准备在坡角为 的山坡上栽树，要求相邻两树之间的
水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB 为（ ） A. αcos 5 B. αcos 5 C. αsin 5 D. α
sin 5
3、（台州市）如图，有一段斜坡BC 长为10米，坡角12CBD ︒∠=，为方便残疾人的轮椅车通行，现准备把坡角降为5°． （1）求坡高CD ;
（2）求斜坡新起点A 与原起点B 的距离（精确到0.1米）．
4、（山西省）有一水库大坝的横截面是梯形ABCD ，AD BC EF ∥，为水库的水面，点E 在DC 上，某课题小组在老师的带领下想测量水的深度，他们测得背水坡AB 的长为12米，迎水坡上DE 的长为2米，135120BAD ADC ∠=∠=°，°，求水深．（精确到0.1
1.73==）
A
D
C
B A
5°
12°
参考答案
1．30°点拨：坡度是斜边铅直高度与水平宽度的比，坡角的正切值等于坡度．2．B 点拨：理解概念很关键．
3．C 点拨：
∴∠α=60°，∴h=20×sin60°
．
4．C 点拨：由题意可知，该坡的水平宽度为80，
∴tanα=60
80
=
3
4
．
5．B 点拨：坡度是指铅直高度与水平宽度的比拓展提高：
1、2.3
2、
3、5.5
4、B
5、（1）过B作BM⊥AD．
∵i=1：0.6，BM=1.2m，
∴AM=0.72m．
再过A作AN⊥EF，同理得EN=0.36m．
∴EF=2+2×0.72+2×0.36=4.16m．
（2）根据题意V土=1
2
（AD+BC）×BM×400=
1
2
（2+3.44）×1.2×400=1 305.6m3．
故渠面宽EF为4.16m，修400m长的渠道需挖1 305.6m3的土．6、过D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，
由题意可知，AD≈0.83km，
在Rt△ADE中，
AD=0.83km，∠DAE=30°，
∴
，DE=0.415km．
在Rt△DCF中，DC=0.5km，
∠CDF=45°，∴≈0.35km ，
∴， BC=CF+BF=CF+DE=0.35+0.415≈0.8km ，
故山高为0.8km ，A ，B 两点之间的距离为1.1km ．
7、如图．
过A 作AM ⊥CD ，垂足为M ． ∵坡度为1：1，渠道深为0.8m ． ∴DM=0.8m ，即CD=1.2+2×0.8=2.8m ． 挖渠道共挖出的土方数为
1
2
（AB+CD ）·AM×1600=2 560m 3． 设原计划每天挖xm 3的土，则实际每天挖（x+20）m 3， 根据题意得
25602560
20
x x =
++4． 解得x≈103.5m 3，x≈-123.5m 3（不符合题意，舍去）． 经检验x=103.5m 3是原方程的根．
故原计划每天挖土约103.5m 3． 体验中考： 1、A 2、B
3、解：（1）在BCD Rt ∆中，︒=12sin BC CD 1.221.010=⨯≈（米）． （2）在BCD Rt ∆中，︒=12cos BC BD
8.998.010=⨯≈（米）； 在ACD Rt ∆中，︒=
5tan CD AD 2.1
23.330.09
≈≈（米）， 23.339.813.5313.5AB AD BD =-≈-=≈（米）． 答：坡高2.1米，斜坡新起点与原起点的距离为13.5米
4、解：分别过A D 、作AM BC ⊥于M DG BC ⊥，于G ．过E 作EH DG ⊥于H ，则四边形AMGD 为矩形．
,135120AD BC BAD ADC ∠=∠=∥°，°． ∴456030B DCG GDC ∠=∠=∠=°，°，°．
在Rt ABM △
中，sin 12AM AB
B ===·
∴DG =
在Rt DHE △
中，cos 2DH DE
EDH =∠==·
∴ 1.41 1.73HG DG DH =-=⨯-6≈6.7． 答：水深约为6.7米．。