《坡度、坡角》
坡度与坡角
年级段
九年级
学科
生物
主备人
许红利
课题
坡度与坡角
课时
1
课前准备
电子白板
教
学
目
标
1、巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决坡度问题．
2、逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法．
新课讲解:
1、坡度与坡角
如图25．3．5，坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i，即 ．
坡度通常写成1∶m的形式，如i＝1∶6．
坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有
＝tanα．
显然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡．
例4如图25．3．6，一段路基的横断面是梯形，高为4．2米，上底的宽是12．51米，路基的坡面与地面的倾角分别是32°和28°．求路基下底的宽．（精确到0．1米）
解作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为E、F．由题意可知
DE＝CF＝4．2（米），
CD＝EF＝12．51（米）．
增删、点评
教
学
过
程
在Rt△ADE中，
∵i＝ ＝tan32°，
∴AE＝ ≈6．72（米）．
在Rt△BCF中，同理可得
BF＝ ≈7．90（米）．
∴AB＝AE＋EF＋BF
≈6．72＋12．51＋7．90≈27．1（米）．
答： 路基下底的宽约为27．1米．
练习
一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶宽6．2米，坝高23．5米，斜坡
AB的坡度 ＝1∶3，斜坡CD的坡度 ＝1∶2．5．求：
（1） 斜坡AB与坝底AD的长度；（精确到0．1米）
坡度坡角
上述问题可以归结为： 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5.5， ∠A=24°，求AB． 解：在Rt△ABC中， AC ∴ cos A AB
AC 5.5 AB 6.0(米 ) cos A 0.9135
答：斜坡上相邻两树的坡面距离是6米．
小练习
（2）如图 ，水库大坝的横断面是梯形，坝顶 宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD 的坡度i=1:2.5，求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD 和斜坡AB的长（精确到0.1m）． 坝底AD的宽为 132.5m，斜坡AB的 长为72.7m．
坡度、坡角
坡面的铅直高度h和水平宽度的比叫做坡 度（或叫做坡比），一般用i表示．把坡面与 水平面的夹角α叫做坡角．
h
i ( h tan 坡角)
【例6 】（1）如图，温州某公园入口处原有 三级台阶，每级台阶高为30cm，深为30cm．为方 便残废人士，现拟将台阶改为斜坡，设台阶的起 始点为A，斜坡的起始点为C，现将斜坡的坡角 ∠BCA设计为12°，求AC的长度． （sin12°≈ 0.2079）
归纳
利用解直角三角形的知识解决实际问 题的一般过程是： （1）将实际问题抽象为数学问题（画出平 面图形，转化为解直角三角形的问题）； （2）根据条件的特点，适当选用锐角三角 函数等去解直角三角形；
（3）得到数学问题的答案；
（4）得到实际问题的答案．
6．我军某部在一次野外训练中，有一辆坦克 准备通过一座小山，已知山脚和山顶的水平距离为 1000米，山高为580米，如果这辆坦克能够爬30° B 的斜坡，试问：它能不能通过这座小山？
570米 A C
1000米
解：∵ BC⊥AC ， BC=570米 ， AC=1000米 ∴tanA =
2534坡度坡角及其应用PPT课件
i1:3B
C
i=1:2.5
α
23
EF D
（2）垂线BE、CF将梯形分割成Rt△ABE，Rt△CFD和 矩形BEFC，则AD=AE+EF+FD， EF=BC=6m，AE、DF可结 合坡度,通过解Rt△ABE和Rt△CDF求出.
（3）斜坡AB的长度以及斜坡CD的坡角的问题实质上 就是解Rt△ ABE和Rt△ CDF.
结束语
当你尽了自己的最大努力时，失败也是伟大的， 所以不要放弃，坚持就是正确的。
When You Do Your Best, Failure Is Great, So Don'T Give Up, Stick To The End
感谢聆听
不足之处请大家批评指导
Please Criticize And Guide The Shortcomings
C
1.2
1.2
30°
A
B
为了增加抗洪能力，现将横断面如图所示的 大坝加高，加高部分的横断面为梯形DCGH， GH∥CD，点G、H分别在AD、BC的延长线上, 当新大坝坝顶宽为4.8米时，大坝加高了几米？
H
G
D M 6米 N C
A
E
F
B
思考：如图是某公路路基的设计简图,等腰梯形 ABCD表示它的横断面,原计划设计的坡角为 A=22°37′,坡长AD=6. 5米,现考虑到在短期内车流 量会增加,需增加路面宽度,故改变设计方案,将图中 1,2两部分分别补到3,4的位置,使横断面EFGH为等 腰梯形,重新设计后路基的坡角为32°,全部工程的 用土量不变,问:路面宽将增加多少?
1.解直角三角形
在直角三角形中,除直角外,由已知两元素 (必有一边)
坡度 坡角分析
2.8米
C
A
D
一段河坝的断面为梯形ABCD，BC=4.5米， 。 4米，试根据图中的数据，求出坝底宽 高为 AD。
B i=1：2 A F C
i=1：3
E
D
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 、
达标测试
1、斜坡的坡比是1: 3 ， 则坡角α=______度。 2、如图，梯形 ABCD是拦水坝的横断面图（图中的i 1 : 3是指坡面 的铅垂高度DE与水平宽度CE的比），B 60° ， AB 6，AD 4， 求拦水坝的横断面 ABCD 的面积。
解直角三角形（2）
---------坡度 坡角
学习目标：
1、理解坡度（坡比）、坡角的概念。 2、会运用解直角三角形有关知识解决与坡度、 坡角有关的实际问题。
理解概念
坡面的铅垂高度（ h）和水平长度（l ）的比值。 坡度（坡比）：
记作i
h 即i = l
坡角： 坡面与水平面的夹角，记作α ，
h i tan l
α
L
h
1、斜坡的坡比是1:1 ，则坡角α=______度。
2、斜坡的坡角是600 ，则坡比是 _______。 3、传送带和地面所成的斜坡的坡比为1：2，把物体 从地面送到离地面9米高的地方，则物体通过的路 程为 _______米。
一段铁路路基的横断面为等腰梯形ABCD，路基顶宽 BC为2.8米，路基高为1.2米，斜坡AB的坡度i=1：1.6 , 求(1)路基的下底宽 （2）坡角；
A D
i 1: 3
B
C
F E (2题图)
本节课你有什么收获？ 课堂小结：
（1）内容总结：
坡角和坡度的概念: 坡角与坡度之间的关系是：
h i tan l
仰角俯角;坡度坡角
山？
B
565m A 1000m C
练习1
一个公共房屋门前的台阶共高出地面1.2米.台阶被 拆除后，换成供轮椅行走的斜坡．根据这个城市的 规定，轮椅行走斜坡的倾斜角不得超过30°．从斜 坡的起点至楼门的最短的水平距离该是多少？（精 确到0.1米）
C
1.2
1.2
30°
A
B
练习2
为了增加抗洪能力，现将横断面如图所示的 大坝加高，加高部分的横断面为梯形DCGH， GH∥CD，点G、H分别在AD、BC的延长线上, 当新大坝坝顶宽为4.8米时，大坝加高了几米？
3、斜坡长是12米,坡高6米,则坡比是_______。
h α
L
例1.水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高
23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度
i=1∶2.5，求： （1）坝底AD与斜坡AB的长度。（精确到0.1m ）
（2）斜坡CD的坡角α。（精确到 1 0）
分析：（1）由坡度i会想到产
A
BD
C
2、能根据直角三角形的知识解决与仰角、俯角、 方位角有关的实际问题。
自学指导1
请同学们认真看课本113--114页练习以上内容。
思考：什么是仰角、俯角？
仰角和俯角
铅 垂
线
在进行测量时， 从下向上看，视 线与水平线的夹 角叫做仰角；
从上往下看，视 线与水平线的夹 角叫做俯角.
视线
仰角 俯角
水平线
视线
=69+6+57.5
=132.5m
一段路基的横断面是梯形，高为4米，上底 的宽是12米，路基的坡面与地面的倾角分别 是45°和30°，求路基下底的宽．（精确 到0.1,米, 3 1.732 ，2 1.414 ）
三角函数学习方位角坡度坡角
三⾓函数学习⽅位⾓坡度坡⾓
3.解直⾓三⾓形★★★
解直⾓三⾓形在直⾓三⾓形中，由已知元素求出所有未知元素的过程，叫做解直⾓三⾓形.
⽔平线与⽔平⾯平⾏的直线.
铅垂线与⽔平⾯垂直的直线.
视线由观测点为端点引出的，通过观测⽬标的射线.
视⾓从观测点发出的两条视线的夹⾓.
⽅位⾓以正北⽅向为始边，按顺时针⽅向旋转到观测⽬标的⽅向线的⾓.它的数值在0o与360o之间，如图，A点的⽅位⾓为30o，B点的⽅位⾓为250o.
⽅向⾓★★以正北或正南⽅向为始边，旋转到观测⽬标的⽅向线的锐⾓称为⽅向⾓（或象限⾓）.如图，⽬标⽅向线OA、OB、OC、OD的⽅向⾓分别为北偏东60o、北偏西30o、南偏
西45o、南偏东15o.
仰⾓★★在视线与⽔平线所成的⾓中，视线在⽔平线上⽅的⾓叫做仰⾓，
俯⾓★★在视线与⽔平线所成的⾓中，视线在⽔平线下⽅的⾓叫做俯⾓.
坡度★★坡⾯的铅垂⾼度h和⽔平宽度l的⽐叫做坡⾯的坡度（或坡⽐），记作i，即i=h/l.坡度通常写成的形式，如.
坡⾓★★坡⾯与⽔平⾯的夹⾓叫做坡⾓.
坡度i与坡⾓α之间的关系：i=h/l=tanα.
要点解析
1.直⾓三⾓形中的边⾓关系
①三边之间的关系：a2+b2=c2
②锐⾓之间的关系：∠A+∠B=90o.
③边⾓之间的关系：。
最新人教版初中数学九年级下册28.2《方位角、坡度、坡角》教案
最新⼈教版初中数学九年级下册28.2《⽅位⾓、坡度、坡⾓》教案⽅位⾓、坡度、坡⾓掌握⽅位⾓的定义及表⽰⽅法教学⽬标：重点：理解坡度、坡⽐等相关概念在实际问题中的含义难点：与⽅位⾓有关的实际问题1.掌握⽅位⾓的定义及表⽰⽅法指或指⽅向线与⽬标⽅向线所成的⼩于90°的⽔平⾓,叫⽅位⾓,如图,⽬标⽅向线OA、OB、OC、OD的⽅位⾓分别表⽰, , , .2.理解坡度、坡⽐等相关概念在实际问题中的含义(1)坡度、坡⽐①如图,我们把坡⾯的⾼度h和宽度l的⽐叫做坡度(或叫做坡⽐),⽤字母i表⽰,即i=.坡度⼀般写成1∶m的形式.②坡⾯与的夹⾓α叫做坡⾓,坡⾓与坡度之间的关系为i==tanα.(2)⽔平距离、垂直距离(铅直⾼度)、坡⾯距离如图, 代表⽔平距离, 代表铅直⾼度, 代表坡⾯距离.重点⼀:与⽅位⾓有关的实际问题解答与⽅位⾓有关的实际问题的⽅法(1)弄清航⾏中⽅位⾓的含义,根据题意画出图形,画图时要先确定⽅向标,把实际问题转化为数学问题是解题的关键所在.(2)船在海上航⾏,在平⾯上标出船的位置、灯塔或岸上某⽬标的位置,关键在于确定基准点.当船在航⾏时,基准点在转移,画图时要特别注意.1. (2013河北)如图,⼀艘海轮位于灯塔P的南偏东70°⽅向的M处,它以每⼩时40海⾥的速度向正北⽅向航⾏,2⼩时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处,则N处与灯塔P的距离为( )(A)40海⾥(B)60海⾥ (C)70海⾥(D)80海⾥2.(2013荆门)A、B两市相距150千⽶,分别从A、B处测得国家级风景区中⼼C处的⽅位⾓如图所⽰,风景区区域是以C为圆⼼,45千⽶为半径的圆,tan α=1.627,tan β=1.373.为了开发旅游,有关部门设计修建连接AB两市的⾼速公路.问连接AB的⾼速公路是否穿过风景区,请说明理由.3. 如图,A、B、C分别是三个岛上的点,点C在点A的北偏东47°⽅向,点B在点A的南偏东79°⽅向,且A、B两点的距离约为5.5 km;同时,点B在点C的南偏西36°⽅向.若⼀艘渔船以30 km/h的速度从点A驶向点C捕鱼,需要多长时间到达(结果保留⼩数点后两位)?(参考数据:sin 54°≈0.81,cos 54°≈0.59,tan 47°≈1.07,tan 36°≈0.73,tan 11°≈0.19)重点⼆:与坡度、坡⾓有关的实际问题(1)坡度是坡⾓的正切值,坡度越⼤,坡⾓也越⼤.(2)与坡度有关的问题常与⽔坝有关,即梯形问题,常⽤的⽅法⼀般是过上底的顶点作下底的垂线,构造直⾓三⾓形和矩形来求解.4.(2014丽⽔)如图,河坝横断⾯迎⽔坡AB的坡⽐是1∶(坡⽐是坡⾯的铅直⾼度BC与⽔平宽度AC之⽐),坝⾼BC=3 m,则坡⾯AB的长度是( )(A)9 m (B)6 m (C)6 m (D)3 m5. (2013安徽)如图,防洪⼤堤的横断⾯是梯形ABCD,其中AD∥BC,坡⾓α=60°.汛期来临前对其进⾏了加固,改造后的背⽔⾯坡⾓β=45°.若原坡长AB=20 m,求改造后的坡长AE.(结果保留根号)6.如图所⽰,某防洪指挥部发现长江边⼀处长500⽶,⾼10⽶,背⽔坡的坡⾓为45°的防洪⼤堤(横断⾯为梯形ABCD)急需加固.经调查论证,防洪指挥部专家组制定的加固⽅案是:沿背⽔坡⾯⽤⼟⽯进⾏加固,并使上底加宽3⽶,加固后背⽔坡EF的坡⽐i=1∶.(1)求加固后坝底增加的宽度AF;(2)求共需多少⽴⽅⽶⼟⽯进⾏加固.1. 河堤横断⾯如图所⽰,迎⽔坡AB的坡⽐为1∶(坡⽐是坡⾯的铅直⾼度BC与⽔平宽度AC之⽐),则坡⾓α为( )(A)30° (B)45° (C)50° (D)60°2.王英同学从A地沿北偏西60°⽅向⾛100 m 到B地,再从B地向正南⽅向⾛200 m到C地,此时王英同学离A地( )(A)150 m(B)50 m (C)100 m (D)100 m3.如图,先锋村准备在坡⾓为α的⼭坡上栽树,要求相邻两树之间的⽔平距离为5⽶,那么这两树在坡⾯上的距离AB为( )(A)5cos α(B)(C)5sin α(D)4.如图,将⼀个Rt△ABC形状的楔⼦从⽊桩的底端点P处沿⽔平⽅向打⼊⽊桩底下,使⽊桩向上运动,已知楔⼦斜⾯的倾斜⾓为20°,若楔⼦沿⽔平⽅向前移8 cm(如箭头所⽰),则⽊桩上升了( )(A)8tan 20° cm (B) cm(C)8sin 20° cm (D)8cos 20° cm5. (2013潍坊)如图,⼀渔船在海岛A南偏东20°⽅向的B处遇险,测得海岛A与B的距离为20海⾥,渔船将险情报告给位于A处的救援船后,沿北偏西80°⽅向向海岛C靠近.同时,从A处出发的救援船沿南偏西10°⽅向匀速航⾏.20分钟后,救援船在海岛C处恰好追上渔船,那么救援船航⾏的速度为( )(A)10海⾥/⼩时 (B)30海⾥/⼩时 (C)20海⾥/⼩时(D)30海⾥/⼩时6.在⼀次⾃助夏令营活动中,⼩明同学从营地A出发,要到A地的北偏东60°⽅向的C处,他先沿正东⽅向⾛了200 m到达B地,再沿北偏东30°⽅向⾛,恰能到达⽬的地C(如图),那么由此可知,B,C两地相距m.7. 如图所⽰,某公园⼊⼝处原有三级台阶,每级台阶⾼为18 cm,深为30 cm,为⽅便残疾⼈⼠,拟将台阶改为斜坡,设台阶的起点为A,斜坡的起始点为C,现设计斜坡BC的坡度i=1∶5,则AC的长度是cm.8. 如图所⽰,⼀渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东60°⽅向,这艘船以28海⾥/时的速度向正东航⾏,半⼩时到B处,在B处看见灯塔M在北偏东15°⽅向,此时灯塔与渔船的距离是海⾥.9. (2013湘西州)钓鱼岛⾃古以来就是中国的神圣领⼟,为宣誓主权,我海监船编队奉命在钓鱼岛附近海域进⾏维权活动,如图,⼀艘海监船以30海⾥/⼩时的速度向正北⽅向航⾏,海监船在A处时,测得钓鱼岛C在该船的北偏东30°⽅向上,航⾏半⼩时后,该船到达点B处,发现此时钓鱼岛C与该船距离最短.(1)请在图中作出该船在点B处的位置;(2)求钓鱼岛C到B处距离(结果保留根号).10.(2013新疆)如图所⽰,⼀条⾃西向东的观光⼤道l上有A、B两个景点,A、B相距2 km,在A处测得另⼀景点C位于点A的北偏东60°⽅向,在B处测得景点C位于景点B的北偏东45°⽅向,求景点C到观光⼤道l的距离(结果精确到0.1 km).11.(2013烟台)如图,⼀艘海上巡逻船在A地巡航,这时接到B地海上指挥中⼼紧急通知:在指挥中⼼北偏西60°⽅向的C地,有⼀艘渔船遇险,要求马上前去救援.此时C地位于A地北偏西30°⽅向上,A地位于B地北偏西75°⽅向上,A、B两地之间的距离为12海⾥.求A、C两地之间的距离(参考数据:≈1.41,≈1.73,≈2.45,结果精确到0.1).12.如图,马路的两边CF、DE互相平⾏,线段CD为⼈⾏横道,马路两侧的A、B两点分别表⽰车站和超市.CD与AB所在直线互相平⾏,且都与马路两边垂直,马路宽20⽶,A,B相距62⽶,∠A=67°,∠B=37°(1)求CD与AB之间的距离;(2)某⼈从车站A出发,沿折线A→D→C→B去超市B,求他沿折线A→D→C→B到达超市⽐直接横穿马路多⾛多少⽶参考数据:sin 67°≈,cos 67°≈,tan67°≈,si n 37°≈,cos 37°≈,tan 37°≈. 13.如图,公路AB为东西⾛向,在点A北偏东36.5°⽅向上,距离5千⽶处是村庄M;在点A北偏东53.5°⽅向上,距离10千⽶处是村庄N(参考数据:sin 36.5°=0.6,cos 36.5°=0.8, tan 36.5°=0.75).(1)求M,N两村之间的距离;(2)要在公路AB旁修建⼀个⼟特产收购站P,使得M,N两村到P站的距离之和最短,求这个最短距离.教学反思：。
坡度与坡角 - 定稿
解直角三角形的应用——坡度与坡角两座山中，哪一座山更陡一些？预习检测(抢答)•（1）坡度就是坡角（）•（2）坡度越大，坡角就越大，坡面越陡（）•（3）一段坡面的坡角为45°，则坡度i=________预习检测•（4）如下图，斜坡AB 的坡角为45°，水平距离AE 为m ，则坡高BE=_____•（5）上题中，斜坡CD 的水平距离DF 为20m ，则坡角β=______320A DB CE αβF例题讲解3•庞亮和李强相约周六去登我们学校后面的凤凰山，庞亮从北坡山脚C处出发，以24米/分钟的速度攀登，同时李强从南坡山脚B处出发．如图，已知此山北坡的坡度i＝1：，坡面AC长240米，南坡的坡角是45°．问李强以什么速度攀登才能和庞亮同时到达山顶A？（将山路AB 、AC看成线段，结果保留根号）庞亮同时到达顶端。
分钟的速度攀登才能和米答：李强以分米，则李强的速度为若李强和庞亮同时到达分钟。
庞亮用的时间为：，中，。
，：中，于作解：过点/212/2121021201024240.212045sin 45t m 120213031i tan .D BC AD A =÷=÷=︒÷=∴︒=∠∆==︒=∠∴==∆⊥AD AB ABD ABD R AC AD ACD C ACD Rt合作交流•如图,某水坝的横断面为梯形ABCD ，坝顶BC宽为63米，坝高为20米，斜坡AB的坡度i＝1：，斜坡CD的坡角为45°．•求（1）斜坡AB的坡角；•（2）坝底宽AD.33A tan 31i =∠∴=，：Θ米。
为，坝底宽的坡角为答：斜坡中在中，在)26320(30.)26320(20.4545,.m 320,33AH BH A tan +︒+=++=∴==∴︒=∠=∠∴︒=∠∆=∴==∠∆AD AB m GD HG AH AD mGD CG DCG D D CGD Rt AH AHB Rt ΘΘ•解：（1）过点B 作BH ⊥AD 于H,斜坡AB 的坡角是∠A ，即tan ∠A=i ．•∴∠A=30°．•（2）过点C 作CG ⊥AD ，垂足为点G ．•由题意可知：BH=CG=20m ，BC=HG=6m ．拓展延伸3•如图是株洲市某街道的一座人行天桥的示意图，天桥的高度是10米，坡面的坡角为45°.为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度（不改变天桥高度），使新坡面的坡度为1：，若新坡脚下需留3米的人行道，问离原坡脚A 处10米的建筑物EF 是否需要拆除？•（参考数据：≈1.414，≈1.732 ）23解析：课堂检测1.某山坡的坡度i=1∶ 小明沿山坡行走20米，则他上升的高度为( )(A)10米(B)20米(C)40米(D) 米3，32.路基横断面是一个等腰梯形，若腰的坡度为2∶3，上底宽是3米，路基高为4米，则路基的下底宽为( )(A)15米(B)12米(C)9米(D)7米课堂检测3. 如图，沿江堤坝的横断面是梯形ABCD ，坝顶AD=4m ，坝高AE=6 m ，斜坡AB 的坡度，∠C=60°，求斜坡AB 、CD 的长。
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解直角三角形(坡度、坡角)说课稿
一、教学目标
1. 了解解直角三角形在测量及几何问题中的应用。
2. 掌握坡度、坡角等概念，并会解有关问题。
3. 会用直角三角形的有关知识解决某些简单实际问题。
二、学情分析
1、学生对解直角三角形的类型已有了一个初步的认识。
会运用仰角俯角的知识解决简单的实际问题。
2. 坡度、坡角的概念
坡面的铅直高度h和水平宽度L的比叫做坡度（或叫坡比），用字母i表示，即i=1:
如果把坡面与水平面的夹角记作α（叫做坡角）。
3. 直角三角形在实际问题中的应用
在解决实际问题时，解直角三角形有着广泛的作用。
具体来说，要求我们善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三
角形的边，角之间的关系，这样就可运用解直角三角形的方法了。
三、重点难点
运用解直角三角形的知识，结合实际问题示意图，正确选择边角关系，解决实际问题
四、教学方法
采用合作交流、练习为主
五、教学手段
采用多媒体辅助教学，利用投影展示交流
六、教学程序
本节课分四步完成，情境导入，合作探究，拓展延伸，小结与思考。