课后练习8 一元二次方程及其应用
一元二次方程概念及解法(教师版)
一元二次方程概念与解法课首小测解下列方程：（1）2x-3=4 （2）3x+6=11 （3）242532-=-=+y x y x （4）1831552-=+=+y x y x参考答案：（1）x=3.5 (2)x=53(3) {11==X Y (4){12547=-=x y1知识梳理 1、一元二次方程的概念只含有 个未知数，并且未知数的最高次数是 ，这样的 方程叫一元二次方程。
一元二次方程的一般形式是20ax bx c ++=（a 、b 、c 是已知数且a ≠0），其中ax 2叫做 ，bx 叫做 ，a 叫做 系数，b 叫做 系数，c 叫做 。
2、一元二次方程的常用解法(1) 形如)0(2≥=a a x 或)0()(2≥=-a a b x 的一元二次方程，可用 方法. (2) 配方法：用配方法解一元二次方程的一般步骤：①化二次项系数为1；②移项,使方程左边．．为二次项和一次项,右边．．为常数项； ③方程两边都加上一次项系数一半．．．．．．．的平方．．；④把原方程变为2()x m n +=的形式；⑤如果方程右边是非负数，就可以直接用开平方法求出方程的解. (3)公式法：求根公式为=x （ ≥0） (4)因式分解法：因式分解法的步骤： ①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解。
3、根的判别式:一元二次方程02=++c bx ax )0(≠a 根的情况（ac b 42-=∆）(1)当Δ＞0时，方程有 实数根； (2)当 时，方程有两个相等的实数根； (3)当Δ＜0时，方程 .※※易错知识辨析（1般形式中0≠a（2（3（4）用直接开平方的方法时要记得取正、负.2经典例题例题1：（1）关于x 的方程5)3(72=---x x m m是一元二次方程，则m =__-3______.（2）将方程（x+1）2+（x -2）（x+2）= 1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项．参考答案：04222=-+x x ， 22x ， 2， 2x, -4【变式练习】1、方程化为一般形式为 011732=-+x x ，它的二次项系数是 3 ，一次项系数是 17 ，常数项是 -1 。
8.3实际问题与二元一次方程组课后练习2020-2021学年 人教版七年级下册
2020-2021学年初中数学人教版七年级下册第八章二元一次方程组8.3实际问题与二元一次方程组课后练习一、单选题1.我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清洒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗.今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清酒、醑酒各几斗？如果设清酒x 斗，醑酒y 斗，那么可列方程组为（ ）A. {x +y =510x +3y =30B. {x +y =53x +10y =30C. {x +y =30x 10+y 3=5D. {x +y =30x 3+y 10=5 2.《九章算术》中有问题：1亩好田是300元，7亩坏田是500元，一人买了好田坏田一共是100亩，花费了10000元，问他买了多少亩好田和坏田？设一亩好田为x 元，一亩坏田为y 元，根据题意列方程组得（ ）A. {x +y =100300x +7500y =10000B. {x +y =100300x +5007y =10000C. {x +y =1007500x +300y =10000D. {x +y =1005007x +300y =10000 3.某班学生分组搞活动，若每组7人，则余下4人；若每组8人，则有一组少3人，设全班有学生 x 人，分成 y 个小组，则可得到方程组为（ ）A. {7x +4=y 8x −3=yB. {7y =x +48x +3=xC. {7y =x −48y =x +3D. {7y =x +4，8y =x +34.王老师的数学课采用小组合作学习方式,把班上40名学生分成若干小组,如果要求每小组只能是5人或6人,则有几种分组方案A. 4B. 3C. 2D. 15.李老师一次购买单价分别为5元/瓶、8元/瓶的消毒液共用了90元，购买两种（两种都买）消毒液的数量和最多是（ ）A. 18瓶B. 17瓶C. 16瓶D. 15瓶6.校运动会期间，甲、乙、丙、丁四位班长一起到学校小卖部购买相同单价的棒冰和相同单价的矿泉水，四位班长购买的数量及总价如表所示，若其中一人的总价算错了，则此人是（ ）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁7.在平面直角坐标系中，我们把横纵坐标均为整数的点称为格点，若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形.例如：图中 △ABC 的与四边形 DEFG 均为格点多边形.格点多边形的面积记为 S ，其内部的格点数记为 N ，边界上的格点记为 L ，已知格点多边形的面积可表示为 S =N +aL +b （ a ， b 为常数），若某格点多边形对应的 N =14 ， L =7 ，则 S = （ ）A. 16.5B. 17C. 17.5D. 188.已知关于x ，y 的方程组 {x +3y =4−a x −y =3a，其中 −3≤a ≤1 ，给出下列结论： ① {x =5y =−1是方程组的解； ②当 a =−2 时，x ，y 的值互为相反数；③当 a =1 时，方程组的解也是方程 x +y =4−a 的解；其中正确的是（ ）A. ①②B. ①③C. ②③D. 无法确定9.小明、小颖、小亮玩飞镖游戏，他们每人投靶 5 次，中靶情况如图所示．规定投中同一圆环得分相同，若小明得分 21 分，小亮得分 17 分，则小颖得分为（ ）A. 19 分B. 20 分C. 21 分D. 22 分10.《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作.在它的“方程”这一章里，二元一次方程组是由算筹（算筹是中国古代用来记数、列式和进行演算的一种工具）来记录的.在算筹记数法中，以“立”“卧”两种排列方式来表示单位数目，表示两位数时，个位用立式，十位用卧式.如图（1），从左到右列出的算筹数分别表示 x 、 y 的系数与相应的常数项，根据图（1）可列出方程组 {3x +y =177x +4y =23，则根据图（2）列出的方程组是（ ）A. {x +5y =32x +2y =14B. {x +5y =112x +4y =9C. {x +5y =212x +2y =9D. {x +5y =12x +2y =911.如图，三个天平的托盘中形状相同的物体质量相等，图①②所示的两个天平处于平衡状态，要使第3个天平也保持平衡，则需在它的右盘中放置（）个球．A. 5B. 6C. 7D. 812.根据图中提供的信息，可知每个杯子的价格是()A. 51元B. 35元C. 8元D. 7.5元二、填空题13.《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”其大意是：“今有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其23的钱给乙，则乙的钱数也为50．问甲、乙各有多少钱？”设甲的钱数为x，乙的钱数为y，根据题意，可列方程组为________．14.两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在木桶中加入水后，一根露出水面的长度是它的总长度的13，另一根露出水面的长度是它的总长度的15，两根铁棒长度之和为220cm，此时木桶中水的深度是________ cm．15.关于x，y的方程组{3x−5y=2a2x+7y=a−18，有下列三种说法：其中说法正确的有________.（填序号）①当a＝8时，x，y互为相反数；②x，y都是负整数的解只有1组；③ {x=21y=−3是该方程组的解.16.声音在空气中的传播速度v（m/s）随温度t（℃）的变化而变化，且v＝at+b（a，b是常数）．若当t＝10时，v＝336；当t＝20时，v＝342．则当v＝324时，t＝________．17.“众志成城，抗击疫情”，帅童到药店购买了两种物品，分别是单价为20元一盒的医用口罩和单价为10元一瓶的75%酒精，共花50元，则帅童购买的口罩盒数是________18.小慧带着妈妈给的现金去蛋糕店买蛋糕。
(名师整理)最新数学中考《一元二次方程的解法》专题复习精讲精练
例题解析
练习 已知关于x的一元二次方程（a﹣1） x2﹣2x+a2﹣1＝0有一个根为x＝0，则a的值为 （） A．0 B．±1 C．1 D．﹣1 【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a﹣1） x2﹣2x+a2﹣1＝0有一个根为x＝0， ∴a2﹣1＝0，a﹣1≠0， 则a的值为：a＝﹣1． 故选：D．
③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，然后解这个一 元一次方程，求这个方程的解
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1 解下列方程 （1）2x2＝8； （2）x2﹣x﹣6＝0．
【考点】解一元二次方程﹣直接开平方法；解一元二次方程 ﹣因式分解法． 【解答】解：（1）x2＝4， x＝±2， 所以x1＝2，x2＝﹣2； （2）（x﹣3）（x+2）＝0， x﹣3＝0或x+2＝0， 所以x1＝3，x2＝﹣2．
知识点点解读
3 公式法
用求根公式解一元二次方程的方法，它是解一元二次方程的一
般方法
- b b2 - 4ac
一元二次方程ax²+bx+c=0的求根公式2a ：x=
公式法的一般步骤
①指出方程中a，b，c的值
②求出b²-4ac的值
③若b²-4ac≥0.则用求根公式求解，若b²-4ac＜0，则方程无解
4 因式分解法 一般步骤：①使方程的右边化为0 ②使方程左边化为两个一次 因式的积
【解答】A．
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4.方程（m－1)x2＋mx＋1=0为关于x的一元二次方程则m的值 为（ ） A 任何实数 B m≠0 C m≠1 D m≠0 且m≠1 答案 C
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5.关于x的方程中一定是一元二次方程的是 ( ) A ax2＋bx＋c＝0 B mx2＋x－m2＝0 C (m＋1)x2＝(m＋1)2 D （m2＋1) x2－m2＝0 答案 D
北师大版数学初三上册利用一元二次方程解决几何问题同步课时练习题及解析
北师大版数学初三上册22.6.1 利用一元二次方程解决几何问题同步课时练习题1. 用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一边长为x米，则依照题意可列出关于x的方程为( ) A．x(5＋x)＝6 B．x(5－x)＝6C．x(10－x)＝6 D．x(10－2x)＝62. 公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花(如图)，原空地一边减少了1 m，另一边减少了2 m，剩余空地的面积为18 m2，求原正方形空地的边长．设原正方形空地的边长为x m，则可列方程为( )A．(x＋1)(x＋2)＝18 B．x2－3x＋16＝0C．(x－1)(x－2)＝18 D．x2＋3x＋16＝03. 如图，AB⊥BC，AB＝10 cm，BC＝8 cm，一只蝉从C沿CB的方向以每秒1 cm的速度爬行，蝉开始爬行的同时，一只螳螂由A点沿AB方向以每秒2 cm的速度爬行，当螳螂和蝉爬行x秒后，它们分别到达了M，N的位置，现在△MNB的面积恰好为24 cm2，由题意可列方程( ) A．2x·x＝24 B．(10－2x)(8－x)＝24C．(10－x)(8－2x)＝24 D．(10－2x)(8－x)＝484. 小明把一张边长为10 cm的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子(如图)．假如那个无盖的长方体底面积为81 cm2，那么剪去的正方形边长为( )A．2 cm B．1 cm C．0.5 cm D．0.5 cm或9.5 cm5. 一块矩形菜地的面积是120 cm2，假如它的长减少2 cm，那么菜地就变成正方形，则原菜地的长是____cm.6. 已知小明与小亮两人在同一地点，若小明向北直走160 m，再向东直走80 m，可到购物中心，则小亮向西直走____m后，他与购物中心的距离为340 m.7. 现有一块长80 cm，宽60 cm的矩形钢片，将它的四个角各剪去一个边长为x cm的小正方形，做成一个底面积为1 500 cm2的无盖的长方体盒子，依照题意列方程，化简可得______________________________．8. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm，点P 从A点开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC 边向点C以2 cm/s的速度移动，则点P，Q分别从点A，B同时动身，通过_______秒钟，使△PBQ的面积等于8 cm2.9. 已知菱形的周长为40，两对角线之比为3∶4，则两对角线的长分别为________________．10. 如图，用两段等长的铁丝恰好能够分别围成一个正五边形和一个正六边形，其中正五边形的边长为(x2＋17)cm，正六边形的边长为(x2＋2x)c m(其中x>0)．求这两段铁丝的总长．11. 为响应市委市政府提出的建设“绿色都市”的号召，我市某单位预备将院内一块长30 m，宽20 m的长方形空地，建成一个矩形花园．要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地点种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为532 m2，那么小道进出口的宽度应为多少米？(注：所有小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形)12. 如图，两艘船同时从A点动身，一艘船以15海里/时的速度向东北方向航行，另一艘船以20海里/时的速度向东南方向航行，那么几小时后两船正好相距100海里？13. 如图，要建筑一个四边形花圃ABCD，要求AD边靠墙，CD⊥AD，AD∥BC，AB∶CD＝5∶4，且三边的总长为20 m．设AB的长为5x m.(1)要求AD的长；(用含字母x的式子表示)(2)若该花圃的面积为50 m2，且周长不大于30 m，求AB的长．14. 要在一块长52 m，宽48 m的矩形绿地上，修建同样宽的两条互相垂直的甬路，下面分别是小亮和小颖的设计方案．小亮设计的方案如图①所示，甬路宽度均为x m，剩余的四块绿地面积共2300 m2.小颖设计的方案如图②所示，BC＝HE＝x，AB∥CD，HG∥EF，AB ⊥EF，∠1＝60°.(1)求小亮设计方案中甬路的宽度x；(2)求小颖设计方案中四块绿地的总面积．(友情提示：小颖设计方案中的x与小亮设计方案中的x取值相同)15. 某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池(如图所示)．由于地势限制，三级污水处理池的长、宽都不能超过1 6米．假如池的外围墙的建筑单价为每米400元，中间两条隔墙的建筑单价为每米300元，池底的建筑单价为每平方米80元(墙的厚度忽略不计)．当三级污水处理池的总造价为47 200元时，求池长x.16. 小明和同桌小聪在课后复习时，对练习册“目标与评定”中的一道摸索题，进行了认真地探究．【摸索题】如图，一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这时B到墙C的距离为0.7米，假如梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么点B 将向外移动多少米？(1)请你将小明对“摸索题”的解答补充完整：解：设点B将向外移动x米，即BB1＝x，则A1B1＝2.5，在Rt△A1B1C中，由B1C2＋A1C2＝A1B12，得方程___________________，解方程，得x1＝____，x2＝_________ _____，∴点B将向外移动____米．(2)解完“摸索题”后，小聪提出了如下两个问题：【问题一】在“摸索题”中，将“下滑0.4米”改为“下滑0.9米”，那么该题的答案会是0.9米吗？什么缘故？【问题二】在“摸索题”中，梯子的顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等吗？什么缘故？请你解答小聪提出的这两个问题．参考答案：1---4 BCDC5. 126. 2207. x2－70x ＋825＝08. 2或49. 12和1610. 解：∵用两段等长的铁丝恰好能够分别围成一个正五边形和一个正六边形，∴5(x2＋17)＝6(x2＋2x)，整理，得x2＋12x －85＝0，(x ＋6)2＝121，解得x1＝5，x2＝－17(不合题意，舍去).5×(52＋17)×2＝420(c m)．答：这两段铁丝的总长为420 cm11. 解：设小道进出口的宽度为x 米，依题意得(30－2x)(20－x)＝532.整理，得x2－35x ＋34＝0.解得x1＝1，x2＝34.∴34＞30(不合题意，舍去)，∴x ＝1.答：小道进出口的宽度应为1米12. 解：设x 小时后两船相距100海里，依照题意，得(15x)2＋(20x)2＝1002，解得x1＝4，x2＝－4(舍去)．答：4小时后两船相距100海里13. (1)作BH ⊥AD 于点H ，则AH ＝3x ，由BC ＝DH ＝20－9x 得AD ＝20－6x(2)由2(20－9x)＋3x ＋9x ≤30得x ≥53，由12[(20－9x)＋(20－6x)]×4x ＝50得3x2－8x ＋5＝0，∴x1＝53，x2＝1(舍去)，∴5x ＝253.答：AB 的长为253m14. (1)依照小亮的设计方案列方程得(52－x)(48－x)＝2 300，解得x1＝2，x2＝98(舍去)，∴小亮设计方案中甬路的宽度为2 m(2)易证四边形ADCB 为平行四边形，由(1)得x ＝2，∴BC ＝HE ＝2＝A D ，过点A 作AI ⊥CD 于点I ，则ID ＝12AD ＝1，∴AI ＝3，∴小颖设计方案中四块绿地的总面积＝52×48－52×2－48×2＋(3)2＝2 299(m2)15. (2x ＋200x ×2)·400＋200x ×2×300＋200×80＝47 200，整理得x2－39x ＋350＝0，解得x1＝25(舍去)，x2＝1416. (1) (x ＋0.7)2＋22＝2.52 0.8 －2.2(舍去) 0.8（2） 【问题一】可不能是0.9米．若AA1＝BB1＝0.9，则A1C ＝2.4－0.9＝1.5，B1C ＝0.7＋0.9＝1.6, 1.52＋1.62＝4.81，2.52＝6.25，∵A1C2＋B1C2≠A1B12，∴该题的答案可不能是0.9米 【问题二】有可能．设梯子顶端从A处下滑x米，点B向外也移动x米，则有(x＋0.7)2＋(2.4－x) 2＝2.52，解得x＝1.7或x＝0(舍去)．∴当梯子顶端从A处下滑1.7米时，点B向外也移动1.7米，即梯子顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离有可能相等。
初中数学重点梳理：一元二次方程
一元二次方程知识定位一元二次方程是数学竞赛中经常出现的一些特殊形式的方程中的一种。
要熟练掌握一元二次方程的定义及定理以及解法和根的判别。
同时一元二次方程的实际应用题，本节我们通过一些实例的求解，旨在介绍数学竞赛中一元二次方程相关问题的常见题型及其求解方法。
本讲将通过例题来说明这些方法的运用。
知识梳理1、一元二次方程的一般式：20 (0)ax bx c a ++=≠，a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。
2、一元二次方程的解法（1）直接开平方法 （也可以使用因式分解法）①2(0)x a a =≥ 解为：x a =②2()(0)x a b b +=≥ 解为：x a b +=③2()(0)ax b c c +=≥ 解为：ax b c +=±④22()()()ax b cx d a c +=+≠ 解为：()ax b cx d +=±+ （2）因式分解法：提公因式分，平方公式，平方差，十字相乘法如：20(,0)()0ax bx a b x ax b +=≠⇔+=此类方程适合用提供因此，而且其中一个根为0290(3)(3)0x x x -=⇔+-= 230(3)0x x x x -=⇔-= 3(21)5(21)0(35)(21)0x x x x x ---=⇔--=22694(3)4x x x -+=⇔-= 2241290(23)0x x x -+=⇔-=24120(6)(2)0x x x x --=⇔-+= 225120(23)(4)0x x x x +-=⇔-+=（3）配方法①二次项的系数为“1”的时候：直接将一次项的系数除于2进行配方，如下所示：2220()()022P P x Px q x q ++=⇔+-+= 示例：22233310()()1022x x x -+=⇔--+=②二次项的系数不为“1”的时候：先提取二次项的系数，之后的方法同上：22220 (0)()0 ()()022b b bax bx c a a x x c a x a c a a a++=≠++=⇒-⇒++= 222224()()2424b b b b aca x c x a a a a -⇒+=-⇒+=示例：22221111210(4)10(2)2102222x x x x x --=⇔--=⇔--⨯-= （4）公式法：一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b acx a a -+=①当240b ac ∆=->时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：21,24b b acx -±-=② 当240b ac ∆=-=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：1,22b x a=- ③ 当240b ac ∆=-<时，右端是负数．因此，方程没有实根。
一元二次方程及答案
22.1 一元二次方程(1)班级 姓名 座号 月 日主要内容:一元二次方程有关概念及一元二次方程一般式一、课堂练习:1.在下列方程中,一元二次方程的个数是( )①2370x +=, ②20ax bx c ++=, ③2(2)(5)1x x x -+=-, ④2530x x-=. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2.(课本32页)将下列方程化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项:(1)2514x x -= (2)2481x =(3)4(2)25x x += (4)(32)(1)83x x x -+=-3.(课本32页)根据下列问题,列出关于x 的方程,并将其化成一元二次方程的一般形式:(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25,求正方形的边长x ； (2)一个矩形的长比宽多2,面积是100,求矩形的长x ；(3)把长为1的木条分成两段,使较短一段的长与全长的积,等于较长一段的长的平方,求较短一段的长x ；(4)一个直角三角形的斜边长10,两条直角边相差2,求较长的直角边长x .二、课后作业:1.2230px x p q -+-=是关于x 的一元二次方程,则( )A.p =1B.p ＞0C.p ≠0D.p 为任意实数2.(课本34页)将下列方程化成一元二次方程的一般形式,并写出它们的二次项系数、一次项系数及常数项:(1)2316x x += (2)24581x x +=(3)(5)0x x += (4)(22)(1)0x x --=(5)(5)510x x x +=- (6)(32)(1)(21)x x x x -+=-3.(课本34页)根据下列问题列方程,并将其化成一元二次方程的一般形式:(1)一个圆的面积是6.282m ,求半径.( 3.14π≈) (2)一个直角三角形的两条直角边相差3cm ,面积是92cm ,求较长的直角边的长.(3)一个矩形的长比宽多1cm ,对角线长5 cm ,矩形的长和宽各是多少？ (4)有一根1m 长的铁丝,怎样用它围成一个面积为0.062m 的矩形？(5)参加一次聚会的每两人都握了一次手,所有人共握手10次,有多少人参加聚会？三、新课预习:1.下列各数中,是方程(1)2x x -=根的有 .-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3.2.写一个以-2为根的一元二次方程: .3.方程2810x -=的两个根是1x = ,2x = ．参考答案一、课堂练习:1.在下列方程中,一元二次方程的个数是( A )①2370x +=, ②20ax bx c ++=, ③2(2)(5)1x x x -+=-, ④2530x x-=. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2.(课本32页)将下列方程化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项:(1)2514x x -= (2)2481x =解:移项,得一元二次方程的一般形式 25410x x --= 其中二次项系数为5,一次项系数为-4, 常数项为-1 解:移项,得一元二次方程的一般形式24810x -=其中二次项系数为4,一次项系数为0, 常数项为-81(3)4(2)25x x += (4)(32)(1)83x x x -+=-解:去括号,得24825x x += 移项,得一元二次方程的一般形式 248250x x +-= 其中二次项系数为4,一次项系数为8, 常数项为-25 解:去括号,得2332283x x x x +--=-. 移项,合并同类项,得一元二次方程的 一般形式 23710x x -+=其中二次项系数为3,一次项系数为-7, 常数项为13.(课本32页)根据下列问题,列出关于x 的方程,并将其化成一元二次方程的一般形式:(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25,求正方形的边长x ； (2)一个矩形的长比宽多2,面积是100,求矩形的长x ；解:列方程,得2425x =移项,得一元二次方程的一般形式 24250x -= 解:列方程,得(2)100x x -= 去括号,得22100x x -=移项,得一元二次方程的一般形式221000x x --=(3)把长为1的木条分成两段,使较短一段的长与全长的积,等于较长一段的长的平方,求较短一段的长x ； 解:列方程,得21(1)x x ⨯=- 去括号,得212x x x =-+ 移项,合并同类项,得一元二次方程的 一般形式2310x x -+= (4)一个直角三角形的斜边长10,两条直角边相差2,求较长的直角边长x .解:列方程,得22(2)100x x +-=去括号,得2244100x x x +-+= 移项,合并同类项,得224960x x --= 化简,得一元二次方程的一般形式22480x x --=二、课后作业:1.2230px x p q -+-=是关于x 的一元二次方程,则( C )A.p =1B.p ＞0C.p ≠0D.p 为任意实数2.(课本34页)将下列方程化成一元二次方程的一般形式,并写出它们的二次项系数、一次项系数及常数项:(1)2316x x += (2)24581x x +=解:移项,得一元二次方程的一般形式 23610x x -+= 其中二次项系数为3,一次项系数为-6, 常数项为1 解:移项,得一元二次方程的一般形式 245810x x +-=其中二次项系数为4,一次项系数为5, 常数项为-81(3)(5)0x x += (4)(22)(1)0x x --=解:去括号,得一元二次方程的一般形式 250x x += 其中二次项系数为1,一次项系数为5, 常数项为0 解:化简,得一元二次方程的一般形式 2210x x -+=其中二次项系数为1,一次项系数为-2, 常数项为1(5)(5)510x x x +=- (6)(32)(1)(21)x x x x -+=-解:去括号,得25510x x x +=- 移项,合并同类项,得一元二次方程的 一般形式2100x += 其中二次项系数为1,一次项系数为0, 常数项为10 解:去括号,得2233222x x x x x +--=- 移项,合并同类项,得一元二次方程的一般形式2220x x +-=其中二次项系数为1,一次项系数为2, 常数项为-23.(课本34页)根据下列问题列方程,并将其化成一元二次方程的一般形式:(1)一个圆的面积是6.282m ,求半径.( 3.14π≈) (2)一个直角三角形的两条直角边相差3cm ,面积是92cm ,求较长的直角边的长. 解:设圆的半径为x m ,由题意,得 23.14 6.28x = 化简,得一元二次方程的一般形式220x -=解:设较长的直角边的长为xcm ,由题意,得 1(3)92x x -= 化简,得一元二次方程的一般形式 23180x x --=(3)一个矩形的长比宽多1cm ,对角线长5 cm ,矩形的长和宽各是多少？ (4)有一根1m 长的铁丝,怎样用它围成一个面积为0.062m 的矩形？解:设矩形的宽为x cm ,由题意,得 222(1)5x x ++=化简,得一元二次方程的一般形式2120x x +-=解:设矩形的长为x m ,由题意,得(0.5)0.06x x -= 化简,得一元二次方程的一般形式 20.50.060x x -+= (5)参加一次聚会的每两人都握了一次手,所有人共握手10次,有多少人参加聚会？解:设有x 人参加聚会,由题意,得1(1)102x x -= 化简,得一元二次方程的一般形式2200x x --=三、新课预习:1.下列各数中,是方程(1)2x x -=根的有 -1,2 .-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3.2.写一个以-2为根的一元二次方程:220x x +-= (答案不唯一).3.方程2810x -=的两个根是1x = 9 ,2x = -9 ．。
一元二次方程的解法综合练习题及答案
一元二次方程之概念
．在下列方程中，一元二次方程的个数是（ ）． ①3x2+7=0 ②ax2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x2-1 A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
一元二次方程之根的判别
一、选择题 1.一元二次方程 x2-ax+1=0 的两实数根相等，则 a 的值为（ ）． A．a=0 B．a=2 或 a=-2 C．a=2 D．a=2 或 a=0 2．已知 k≠1，一元二次方程（k-1）x2+kx+1=0 有根，则 k 的取值范围是（ ）． A．k≠2 B．k>2 C．k<2 且 k≠1 D．k 为一切实数
A、 1 -x2+5=0 x
B、x（x+1）=x2-3 C、3x2+y-1=0
3x 1 5
10、方程 x2-8x+5=0 的左边配成完全平方式后所得的方程是（ ）
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电，力根通保据过护生管高产线中工敷资艺设料高技试中术卷资0配不料置仅试技可卷术以要是解求指决，机吊对组顶电在层气进配设行置备继不进电规行保范空护高载高中与中资带资料负料试荷试卷下卷问高总题中体2资2配，料置而试时且卷，可调需保控要障试在各验最类；大管对限路设度习备内题进来到行确位调保。整机在使组管其高路在中敷正资设常料过工试程况卷中下安，与全要过，加度并强工且看作尽护下可关都能于可地管以缩路正小高常故中工障资作高料；中试对资卷于料连继试接电卷管保破口护坏处进范理行围高整，中核或资对者料定对试值某卷，些弯审异扁核常度与高固校中定对资盒图料位纸试置，卷.编保工写护况复层进杂防行设腐自备跨动与接处装地理置线，高弯尤中曲其资半要料径避试标免卷高错调等误试，高方要中案求资，技料编术试写5交、卷重底电保要。气护设管设装备线备置4高敷、调动中设电试作资技气高，料术课中并3试中、件资且卷包管中料拒试含路调试绝验线敷试卷动方槽设技作案、技术，以管术来及架避系等免统多不启项必动方要方式高案，中；为资对解料整决试套高卷启中突动语然过文停程电机中气。高课因中件此资中，料管电试壁力卷薄高电、中气接资设口料备不试进严卷行等保调问护试题装工，置作合调并理试且利技进用术行管，过线要关敷求运设电行技力高术保中。护资线装料缆置试敷做卷设到技原准术则确指：灵导在活。分。对线对于盒于调处差试，动过当保程不护中同装高电置中压高资回中料路资试交料卷叉试技时卷术，调问应试题采技，用术作金是为属指调隔发试板电人进机员行一，隔变需开压要处器在理组事；在前同发掌一生握线内图槽部纸内故资，障料强时、电，设回需备路要制须进造同行厂时外家切部出断电具习源高题高中电中资源资料，料试线试卷缆卷试敷切验设除报完从告毕而与，采相要用关进高技行中术检资资查料料和试，检卷并测主且处要了理保解。护现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
中考数学复习之一元二次方程与应用题,概念与应用练习题
9. 一元二次方程知识过关1. 一元二次方程的概念及一般形式：只含有一个未知数，未知数的高最次数是2的___方程.一元二次方程的一般开式是_______________2. 一元二次方程的解的概念：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的根.3. 一元二次方程的解法：(1)直接开平方法：c b ax a x =+=22)(、(2)配方法：(3)公式法：aac b b x 2422,1-±-= (4)因式分解法：4.一元二次方程根的判别式：__________叫做一元二次方程02=++c bx ax 的根的判别式,用“∆”表示.(1))0(00≠=++⇔>∆a c bx ax 有两个________实数根.(2))0(00≠=++⇔>∆a c bx ax 有两个________实数根.(3))0(00≠=++⇔>∆a c bx ax 有两个________实数根.(4))0(00≠=++⇔>∆a c bx ax 有两个________实数根.5.列一元二次方程解应用题的一般步骤审题—设_____列出一元二次方程—解一元二次方程—检验—写出答案6. 应用题中常见的数量关系(1) 平均增长率、降低率问题若基数为a ，平均增长率为x ，则一次增长后的值为a (1+x )，两次增长后的值为a (1+x )2(2) 利润问题利润=售价-______；利润率=%100⨯-进价进价售价 打折后的价格=原价⨯打折数×101 (3) 利息问题利息=本金利率期数本息和=本金+利息=本金(1+利率⨯期数)利息税=利息⨯____贷款利息=贷款数额⨯____⨯期数(4) 面积问题、传染病问题、握手问题、面积问题等.考点分类考点1 一元二次方程的相关概念例1 (1)下列方程中是关于x 的一元二次方程是( )A. 0122=+xx B.02=++c bx ax C.1)2)(1(=+-x x D.052322=--y xy x(2) 关于x 的一元二次方程01||)1(2=-++-a x x a 的一个根为0，则实数a 的值为( )A. -1B.0C.1D.-1或1考点2 一元二次方程的解法例2 (1)方程1)2)(1(+=-+x x x 的解是( )A.2B.3C.-1,2D.-1,3(2)解方程：0142=+-x x考点3 一元二次方程的判别式例3 已知关于x 的一元二次方程012)1(2=+--x x a 有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是( )A. a <2B.a >2C.a <2且a ≠1D.a <-2考点4 一元二次方程的应用例4 为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建立力度，2018年市政府共投资了2亿人民币建设了廉租房8万平方米，预计到2020年底三年共累计投资9.5亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同(1)求每年市政府投资的增长率；(2)若这两年内的建设成本不变，求到2020年底共建设了多少万平方米的廉租房.真题演练1．设α、β是方程x2+2019x﹣2＝0的两根，则（α2+2022α﹣1）（β2+2022β﹣1）的值为（）A．6076B．﹣6074C．6040D．﹣60402．有两个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了x个人，则两轮传染后患流感的人数共有（）A．x（x+2）人B．（x+1）2人C．（x+2）2人D．2（x+1）2人3．若m，n是方程2x2﹣4x﹣3＝0的两个根，则2m2﹣5m﹣n的值为（）A．9B．1C．﹣1D．54．一元二次方程x2﹣6x﹣5＝0配方可变形为（）A．（x﹣3）2＝14B．（x﹣3）2＝4C．（x+3）2＝14D．（x+3）2＝4 5．如果关于x的方程x2﹣x﹣m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．m≥−14B．m＜−14C．m＞−14D．m≤−146．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则b2−4ac=(2ax0+b)2其中正确的（）A．只有①②B．只有①②④C．①②③④D．只有①②③7．若一个等腰三角形的一边为4，另外两边为x2﹣12x+m＝0的两根，则m的值为（）A．32B．36C．32或36D．不存在8．如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644平方米，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为（）A．100×80﹣100x﹣80x＝7644B．（100﹣x）（80﹣x）+x2＝7644C．（100﹣x）（80﹣x）＝7644D．100x+80x＝3569．某玩具商店出售一种“小猪佩奇”玩具，平均每天可销售50个，每个盈利36元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，若每个玩具降价1元，平均每天可多售出5个，商店要想平均每天销售这种玩具盈利2400元，则每个玩具应降价多少元？设每个玩具应降价x 元，可列方程为 ．10．如图，在△ABC 中，AB ＝3cm ，BC ＝6cm ，AC ＝5cm ，蚂蚁甲从点A 出发，以2.5cm /s 的速度沿着三角形的边按A →B →C →A 的方向行走，甲出发1s 后蚂蚁乙从点A 出发，以2cm /s 的速度沿着三角形的边按A →C →B →A 的方向行走，那么甲出发 s 后，甲乙第一次相距2.5cm ．10. 由于新冠疫情的影响，口罩需求量急剧上升，但在有关部门大力调控下，口罩价格没有上涨．经调查发现，某社区药店把口罩定价为每包10元时，一天可以卖出30包，每降价1元，可以多卖出5包．如果该药店想一天获得315元口罩销售额，并且尽可能让顾客获得更大的优惠，应该降价多少元？课后作业1．下列一元二次方程中，两实数根之和为2的是（ ）A ．x 2+2x +1＝0B ．x 2﹣2＝0C ．﹣x 2+2x ﹣3＝0D ．12x 2﹣x −32=02．设a ，b 是方程x 2+x ﹣2020＝0的两个实数根，则（a ﹣1）（b ﹣1）的值为（ ）A ．﹣2022B ．2018C ．﹣2018D ．20223．关于x的一元二次方程x2﹣4x+1＝2k有两个不相等的实数根，则k的取值范围为（）A．k＞32B．k＞1C．k＜1D．k＞−324．方程x（x﹣1）＝x的解是（）A．x＝0B．x＝2C．x1＝0，x2＝2D．x1＝0，x2＝1 5．如图，在一个长为60m，宽为40m的矩形场地内修筑两条等宽的道路，剩余部分为绿化用地，如果绿化用地的面积为2204m2，那么道路的宽为m．6．某水果店以相同的进价购进两批车厘子，第一批80千克，每斤16元出售；第二批60千克，每斤18运出售，两批车厘子全部售完，店主共获利960元．（1）求车厘子的进价是每千克多少元？（2）该水果店一相同的进价购进第三批车厘子若干，第一天将车厘子涨价到每千克20元出售，结果仅售出40千克；为了尽快售完第三批车厘子，第二天店主决定在第一天售价的基础上降价促销，若在第一天售价基础上每降价1元，第二天的销售量就在第一天的基础上增加10千克．到第二天晚上关店时车厘子售完，店主销售第三批车厘子获得的利润为850元，求第二天车厘子的售价是每千克多少元？7．已知k为实数，关于x的方程为x2﹣kx＝3（k+3）．（1）请证明不论k取何值，这个方程总有两个实数根；（2）若方程的两个根分别记为x1，x2，且满足x12+x22＝9，求k值．冲击A+已知，在菱形ABCD中，∠BCD＝60°，将边CD绕点C顺时针旋转α（0＜α＜120°），得到线段CE，连接ED、ED或其延长线交∠BCE的角平分线于点F．（1）如图1，若α＝20°，直接写出∠E与∠CFE的度数；（2）如图2，若60°＜α＜120°．求证：EF﹣DF＝CF；（3）如图3，若AB＝6，点G为AF的中点，连接BG，则DC旋转过程中，BG的最大值为．。
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14．(2013· 北京)已知关于x的一元二次方程x2＋2x＋ 2k－4＝0有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k值． 【答案】(1)Δ＝4－4(2k－4)＝20－8k.
5 ∴k＜ . 2
(2)∵k为正整数，
5 ∴0＜k＜ 2 ，即k＝1或2，x1、2＝－1± 5 2k .
2 4 2×3＝－2， ＝(－2)×5－4×3＝－22. 按照这 3 5 个 x 1 2x -1 x 1 2 x 3
规定，计算当x2－4x＋4＝0时 的值___．
7．观察下面的图形，它们是按一定规律排列的，依 15 个图形共有120个 照此规律，第______ .
8．解方程(1)(2013· 滨州)2x2－3x＋1＝0； (2)(2012· 荷泽)(x＋1)(x－1)＋2(x＋3)＝8
得－≤k＜且k≠0.
2 m 11．(2014· 贺州)已知关于x的方程x2＋(1－m)x＋ 4
＝ 0 ． 0有两个不相等的实数根，则m的最大整数值是___ 12．解方程(x－1)2－5(x－1)＋4＝0时，我们可以将x －1看成一个整体，设x－1＝y，则原方程可化为y2－ 5y＋4＝0，解得y1＝1，y2＝4.当y＝1时，即x－1＝1， 解得x＝2；当y＝4时，即x－1＝4，解得x＝5，所以 原方程的解为：x1＝2，x2＝5.则利用这种方法求得方 程(2x＋5)2－4(2x＋5)＋3＝0的解为 ( D ) A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝－2，x2＝3 C．x1＝－3，x2＝－1 D．x1＝－1，x2＝－2
3．(2013· 达州)若方程3x2－6x＋m＝0有两个不相等的 实数根，则m的取值范围在数轴上表示正确的是 ( B )
4．(2013· 河南)方程(x－2)(x＋3)＝0的解是 ( A．x＝2 B．x＝－3 C．x1＝－2，x2＝3 D．x1＝2，x2＝－3
D )
5．(2013· 潍坊)已知关于x的方程kx2＋(1－k)x－1＝0， 下列说法正确的是 ( C ) A．当k＝0时，方程无解 B．当k＝1时，方程有一个实数解 C．当k＝－1时，方程有两个相等的实数解 D．当k≠0时，方程总有两个不相等的实数解 a b 6．阅读材料：对于任何实数，我们规定符号 c d a b 12 ，其意义是 c d ＝ad－bc.例如： 3 4 ＝1×4－
x 1 3x 3 13．(2013· 杭州)当x满足条件 1 时，求 1 ( x 4) ( x 4) 3 2 出方程x2－2x－4＝0的根．
【答案】2＜x＜4. 解方程x2－2x－4＝0可得
x1 1 5, x2 1 5, x 1 5.
课后练习8
一元二次方程及其应用
A组
第1课时 一元二次方程 (学用P9页)
1．(2014· 菏泽)已知关于x的一元二次方程x2＋ax＋b ＝0有一个非零根－b，则a－b的值为 ( A ) A．1 B．－1 C．0 D．－2 2．(2012· 临沂)用配方法解一元二次方程x2－4x＝5 时，此方程可变形为 ( D ) A．(x＋2)2＝1 B．(x－2)2＝1 C．(x＋2)2＝9 D．(x－2)2＝9
.
1 【答案】(1)x1＝ ，x2＝1， 2
(2)x1＝1，x2＝－3.
B组 9．(2013· 台湾)若一元二次方程式a(x－b)2＝7的两根
1 1 为 2 2 5 A. 2
7 ，其中a、b为两数，则a＋b之值为
9 B. 2
C．3
( B ) D．5
【解析】a(x－b)2＝7，
7 x＝± ＋b， a 1 ∴a＝4，b＝ 2 ， 9 ∴a＋b＝ . 2
10．(2012· 襄阳)如果关于x的一元二次方程
kx 2k 1x 1 0
2
有两个不相等的要从三方面综合考虑，一是由 “一元二次方程”知k≠0，二是由二次根式的意义知 2k＋1≥0，三是由原方程有两个不相等的实数根知
( 2k 1)2 4k 0,