最新指数和指数幂的运算教案和课后习题汇编
初中指数幂教案
初中指数幂教案教学目标：1. 理解指数幂的概念和性质。
2. 学会运用指数幂的运算法则进行计算。
3. 能够应用指数幂解决实际问题。
教学重点：1. 指数幂的概念和性质。
2. 指数幂的运算法则。
教学难点：1. 指数幂的概念和性质的理解。
2. 指数幂的运算法则的应用。
教学准备：1. 教学课件或黑板。
2. 练习题。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入指数幂的概念，通过举例说明指数幂的意义。
2. 引导学生思考指数幂与整数幂的关系。
二、新课讲解（20分钟）1. 讲解指数幂的定义和性质，包括指数幂的运算规则。
2. 通过示例和练习，让学生掌握指数幂的运算法则。
3. 讲解指数幂的实际应用，如科学研究、经济学等。
三、课堂练习（15分钟）1. 让学生独立完成练习题，巩固指数幂的概念和运算法则。
2. 引导学生思考练习题中的实际应用，培养学生的应用能力。
四、总结与反思（5分钟）1. 让学生回顾本节课所学的内容，总结指数幂的概念和运算法则。
2. 引导学生思考指数幂在实际生活中的应用，激发学生的学习兴趣。
教学延伸：1. 进一步学习指数函数和指数方程。
2. 探索指数幂在其他领域的应用，如概率论、数论等。
教学反思：本节课通过导入、新课讲解、课堂练习和总结与反思等环节，让学生掌握了指数幂的概念和运算法则。
在教学过程中，注意引导学生思考和练习，提高学生的理解和应用能力。
同时，结合实际情况，让学生了解指数幂在科学研究和经济学等领域的应用，激发学生的学习兴趣。
在教学延伸部分，可以进一步拓展学生的知识面，培养学生的综合素质。
在教学过程中，注意关注学生的学习情况，及时调整教学方法和节奏，确保学生能够更好地掌握指数幂的相关知识。
总体来说，本节课的教学效果较好，学生对指数幂的概念和运算法有了较为深入的理解。
在今后的教学中，将继续关注学生的学习情况，进一步提高教学质量，培养学生的数学素养。
指数与指数幂的运算优秀教案
2.1.1 指数与指数幂的运算（2课时）第一课时 根式教案目标：1.理解n 次方根、根式、分数指数幂的概念；2.正确运用根式运算性质和有理指数幂的运算性质；3.培养学生认识、接受新事物和用联系观点看问题的能力。
教案重点：根式的概念、分数指数幂的概念和运算性质教案难点：根式概念和分数指数幂概念的理解教案方法：学导式教案过程：（I ）复习回顾引例：填空 *)n a a a n N ⋅∈个（； m n a += (m,n ∈Z)； _____=； （II ）讲授新课1.引入：（1）填空（1），（2）复习了整数指数幂的概念和运算性质（其中：因为m na a ÷可看作m n a a -⋅,所以m n m n a a a -÷=可以归入性质m n m n a a a +⋅=；又因为n ba )(可看作m na a -⋅，所以n nn b a b a =)(可以归入性质()n n n ab a b =⋅(n ∈Z)）,这是为下面学习分数指数幂的概念和性质做准备。
为了学习分数指数幂，先要学习n 次根式（*N n ∈）的概念。
（2）填空（3），（4）复习了平方根、立方根这两个概念。
如：分析：若22=4，则2叫4的平方根；若23=8，2叫做8的立方根；若25=32，则2叫做32的5次方根，类似地，若2n =a ，则2叫a 的n 次方根。
由此，可有：2.n 次方根的定义：（板书）问题1：n 次方根的定义给出了，x 如何用a 表示呢？n a x =是否正确？ 分析过程：解：因为33=27，所以3是27的3次方根；因为5)2(-=-32，所以-2是-32的5次方根；因为632a )a (=，所以a 2是a 6的3次方根。
结论1：当n 为奇数时（跟立方根一样），有下列性质：正数的n 次方根是正数，负数的n 次方根是负数,任何一个数的方根都是唯一的。
此时，a 的n 次方根可表示为n a x =。
从而有：3273=，2325-=-，236a a =解：因为4216=，16)2(4=-，所以2和-2是16的4次方根；因为任何实数的4次方都是非负数，不会等于-81，所以-81没有4次方根。
最新人教版高中数学必修1第二章《指数与指数幂的运算》教案1
《指数与指数幂的运算》教案1
教学目标：
1. 理解根式的概念；运用根式的性质进行简单的化简、求值;
2. 掌握由特殊到一般的归纳方法，培养学生观察、分析、抽象等认知能力.通过与初中所学的知识进行类比，理解根式的概念，培养学生观察分析，抽象的能力，渗透“转化”的数学思想；
3. 通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯，让学生体验数学的简洁美和统一美.
教学重点难点：
1．重点：根式的概念 .
2．难点：根式的概念的理解.
教法与学法：
1．教法选择：讲授法、类比分析法.
2．学法指导：讨论法、发现法.
教学过程：
【设置情境，激发探索】
【作法总结，变式演练】
【思维拓展，课堂交流】
【归纳小结，课堂延展】
教学设计说明
1．教材地位分析：学生在初中已学习了数的开平方、开立方以及二次根式的概念，学习了正整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂的概念，以及整数指数幂的运算法则.现是在此基础上，将平方根与立方根的概念扩充到n次方根，将二次根式的概念扩充到一般根式的概念，将整数指数幂扩充到有理指数幂，进一步将指数的取值范围扩充到实数.“根式”是“指数与指数幂的运算”第一课时，主要学习根式的概念和性质.根式是后面学习所必备的.
2．学生现实分析：学生在初中已经学习了二次、三次方根的概念和性质，根式的内容是这些内容的推广，方根和根式的概念和性质难以理解.所以要结合已学内容，列举具体实例，设计大量的类比和练习题目加以理解.。
指数与指数幂的运算教案
指数与指数幂的运算教案一、知识点概述指数是数学中的一个重要概念，它表示一个数的幂次。
指数幂是指一个数的指数次幂，例如a b表示a的b次幂。
指数与指数幂的运算是数学中的基本运算之一，掌握这一知识点对于学习高中数学和大学数学都非常重要。
本教案将介绍指数与指数幂的基本概念、运算规律和解题方法，帮助学生掌握这一知识点。
二、基本概念1. 指数的定义指数是表示一个数的幂次的数，通常用字母a和n表示，a表示底数，n表示指数。
指数的一般形式为a n，读作“a的n次幂”。
2. 指数幂的定义指数幂是指一个数的指数次幂，例如a n表示a的n次幂。
指数幂的一般形式为a n，读作“a的n次幂”。
3. 底数和指数的关系底数和指数是指数幂的两个基本要素，它们之间的关系非常密切。
底数表示被乘数，指数表示乘数，指数越大，指数幂的值就越大。
三、运算规律1. 同底数幂的乘法同底数幂的乘法是指，当两个指数幂的底数相同时，它们的指数相加，底数不变。
即a m×a n=a m+n。
例如：23×24=23+4=27。
2. 同底数幂的除法同底数幂的除法是指，当两个指数幂的底数相同时，它们的指数相减，底数不变。
即a ma n=a m−n。
例如：2523=25−3=22。
3. 幂的乘方幂的乘方是指，当一个指数幂的底数是另一个指数幂的指数时，它们的值相乘，底数不变。
即 (a m )n =a mn 。
例如：(23)4=23×4=212。
4. 幂的除方幂的除方是指，当一个指数幂的底数是另一个指数幂的指数时，它们的值相除，底数不变。
即(a m )n a p =a mn−p 。
例如：(23)422=23×4−2=210。
5. 指数幂的乘方指数幂的乘方是指，当两个指数幂的指数相乘时，它们的底数不变，指数相乘。
即 (a m )n =a mn 。
例如：(23)4=23×4=212。
6. 指数幂的除方指数幂的除方是指，当两个指数幂的指数相除时，它们的底数不变，指数相除。
高中数学指数与指数幂的运算教案
高中数学指数与指数幂的运算教案一、教学目标•理解指数幂的基本概念，掌握指数幂运算法则。
•掌握指数幂运算中的乘方运算法则、除法运算法则、幂运算法则等基本准则。
•掌握如何进行数学题目的化简与计算。
二、教学重点•理解指数幂的概念，掌握乘方运算、除法运算和幂运算的基本法则。
•熟练掌握指数幂的运算方法，能够灵活运用到数学题目计算及求解中。
三、教学内容1. 指数幂的基本概念•定义：指数是乘积的简写，指数幂就是一个数自乘的多次运算。
例如 aⁿ，其中 a 是底数，n 是指数。
•概念：底数与指数是幂的构成要素。
•特征：指数幂的幂次表示底数连续乘法的次数，指数为 0 的指数幂表示为 1。
•记忆技巧：底数 a 和指数 n 都可以从“按次数”这个概念入手去记。
2. 指数幂运算法则2.1 乘法运算法则指数相加，底数不变。
aⁿ × aⁿʸ = aⁿ⁺ʸ。
例如：2² × 2³ = 2⁵2.2 除法运算法则指数相减，底数不变。
aⁿ ÷ aⁿʸ = aⁿ⁻ʸ，其中 n 〉y。
例如：5⁴ ÷ 5² = 5²2.3 幂运算法则底数相同，指数相加。
aⁿ⁺ʸ = (aⁿ)ⁿʸ。
例如：2³⁺² = (2³)² = 8² = 643. 题目解析题目1$0.5^6 \\times 0.5^3 = 0.5^{6+3} = 0.5^9$题目2$4^3 \\div 4^2 = 4^{3-2} = 4^1 = 4$题目3$(3^4)^3 = (3^{4\\times3}) = 3^{12}$四、教学方法1.以练习为主，通过大量的例题和训练来加深学生对指数幂的认识。
2.实践与归纳相结合，提高学生思维水平与解题能力。
五、教学过程1.复习知识点和概念。
2.讲解指数幂运算法则，通过例题讲解并学生操作，带领学生掌握基本的指数幂运算方法。
指数与指数幂的运算教案
指数与指数幂的运算教案一、教学目标：知识与技能目标：1. 理解指数与指数幂的概念。
2. 掌握指数幂的运算性质和运算法则。
3. 能够运用指数幂的运算性质解决实际问题。
过程与方法目标：1. 通过观察、分析和归纳，培养学生发现和提出问题的能力。
2. 利用同底数幂的乘法、除法、乘方和积的乘方等运算法则，提高学生的逻辑思维能力。
情感态度与价值观目标：1. 培养学生对数学的兴趣和好奇心。
2. 培养学生勇于探索、合作的科学精神。
二、教学重点与难点：重点：1. 指数与指数幂的概念。
2. 指数幂的运算性质和运算法则。
难点：1. 理解指数幂的运算性质和运算法则。
2. 运用指数幂的运算性质解决实际问题。
三、教学准备：教师准备：1. 指数与指数幂的相关教学素材。
2. 教学课件或板书设计。
学生准备：1. 预习指数与指数幂的相关知识。
2. 准备好笔记本，用于记录重点知识和练习。
四、教学过程：1. 导入：教师通过引入日常生活中的实际问题，如“银行的复利计算”，引导学生思考指数与指数幂的概念。
2. 新课讲解：教师讲解指数与指数幂的概念，通过示例和图示，帮助学生理解指数幂的运算性质和运算法则。
3. 课堂练习：教师给出一些指数幂的运算题目，要求学生独立完成，并及时给予指导和反馈。
4. 应用拓展：教师提出一些实际问题，引导学生运用指数幂的运算性质解决，培养学生的应用能力。
五、课后作业：教师布置一些有关指数与指数幂的练习题目，要求学生在课后完成，巩固所学知识。
教学反思：教师在课后对自己的教学进行反思，了解学生的学习情况，针对存在的问题，调整教学方法和策略，以提高教学效果。
六、教学评估1. 课堂提问：教师通过提问了解学生对指数与指数幂概念的理解程度，以及学生对指数幂运算性质和运算法则的掌握情况。
2. 课堂练习：教师观察学生在练习过程中的表现，评估学生对指数幂运算的熟练程度。
3. 课后作业：教师批改课后作业，了解学生对课堂所学知识的掌握情况，发现问题及时给予反馈。
高中数学2_1指数与指数幂的运算教案版
黑龙江省鸡西市高中数学 2.1.1 指数与指数幂的运算教案新人教版必修1课题：§2.1.1指数及指数幂的运算模式与方法启发式教学目的使学生理根式的概念，掌握n次方根的性质。
重点指数的运算难点指数的运算教学内容师生活动及时间分配一，引入课题为了讲解指数函数，需要把指数的概念扩充到实数指数幂，本小节主要学习分数指数幂的概念和运算性质，并给出了无理数指数幂的概念和性质。
2．为了学习分数指数的概念，首先要介绍根式的概念，学生在初中已学习了数的开平方、开立方和二次根式，根式的内容是这些已学内容的推广。
因此要结合这些已学内容引入根式的概念和n次方根的性质。
二、探索新知（一）引出根式的概念。
需要注意的是，当n 是奇数时，表示a的n次方根；当n是偶数时，a≥0，表示正的n次方根或0。
在两种情况下，根据n次方根的概念，都有。
也就是.教师引导学生复习初中所学的公式及相关知识引导讨论x的范围加深对于公式的理解及应用说，先开方，再乘方（同次），结果为被开方数，如果先乘方，再开方（同次），结果是什么呢？可让学生分别求出的结果，然后指出，一般地，当n 为奇数时，，当n为偶数时，。
可向学生说明，当n 是偶数时。
的结果为|a|，是因为≥0时，而则是根据绝对值的意义得出的。
课堂练习：1、填空： （1）25的平方根是 （2）27的立方根是（3）－32的五次方根为 （4）16的四次方根是2、若244(),a a a -=-则a 的取值范围是3、求下列各式的值（1）2(5) （2）33(2)- （3）44(2)- （4）2(3)π-.四，小结：教师引导学生总结并补充五、课后作业教科书P 59 4选做：练习册。
高中数学2.1.1指数与指数幂的运算(1)教案新人教版必修1
2.1.1 (1)指数与指数幕的运算(教学设计)内容：根式教学目标1、知识与技能：理解根式的概念及性质，能进行根式的运算，提高根式的运算能力。
2、过程与方法：通过由特殊到一般，由平方根、立方根，采用类比的方法过渡到n次方根；通过对“当n是偶数时，n a n |a| a (a 0)”的理解，培养学生分类讨论的意识。
a (a 0)3、态度情感价值关：通过运算训练，培养学生严谨的思维，一丝不苟的学习习惯。
教学重点：对根式概念、性质的理解，运用根式的性质化简、运算。
教学难点：当n是偶数时，n a n | a | a (a的得出及运用a (a 0)教学过程一、创设情境，新课引入：问题1 (课本P48问题1):从2000年起的未来20年，我国国内生产总值年平均增长率可达到7.3%.那么，在2001 ―― 2020年，各年的国内生产总值可望为2000年的多少倍？引导学生逐年计算，并得出规律：设x年后我国的国内生产总值为2000年的y倍，那么y 1.073x(x N*, x 20).问题2 (课本P58问题2)：当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.1-L根据此规律，人们获得了生物体内碳14含量P与死亡年数t之间的关系P (-)5730.21 1 1当生物死亡了5730, 2 5730, 3 5730 ,…年后，它体内碳14的含量P分别为?,(才2, (?)3，….是正整数1 1 1指数幕.它们的值分别为1 1 1，….2 4 8一6000 一10000 一1000001 ----- 1 ----------- 1 ------------当生物死亡600 0年，10000年，100000年后，它体内碳14的含量P分别为(―)5730,(_) 5730,(_) 5730，这些式子的意义又是什么呢？这些正是本节课要学习的内容.二、师生互动，新课讲解：1、问题引入：(1)若x2a，则x叫a的_」如：2是4的平方根一个正数的平方根有—个，它们互为____________ 数；负数没有平方根；零的平方根是一(2)若x3a，则x叫a的.女口：2是8的立方根，一2是一8的立方根。
指数与指数幂的运算教案
2.1.1 指数与指数幂的运算（2课时）第一课时 根式教学目标：1.理解n 次方根、根式、分数指数幂的概念；2.正确运用根式运算性质和有理指数幂的运算性质；3.培养学生认识、接受新事物和用联系观点看问题的能力。
教学重点：根式的概念、分数指数幂的概念和运算性质教学难点：根式概念和分数指数幂概念的理解教学方法：学导式教学过程：（I ）复习回顾引例：填空 *)n a a a n N ⋅∈个（； m n a += (m,n ∈Z)； _____=； （II ）讲授新课1.引入：（1）填空（1），（2）复习了整数指数幂的概念和运算性质（其中：因为m na a ÷可看作m n a a -⋅,所以m n m n a a a -÷=可以归入性质m n m n a a a +⋅=；又因为n ba )(可看作m na a -⋅，所以n nn b a b a =)(可以归入性质()n n n ab a b =⋅(n ∈Z)）,这是为下面学习分数指数幂的概念和性质做准备。
为了学习分数指数幂，先要学习n 次根式（*N n ∈）的概念。
（2）填空（3），（4）复习了平方根、立方根这两个概念。
如：分析：若22=4，则2叫4的平方根；若23=8，2叫做8的立方根；若25=32，则2叫做32的5次方根，类似地，若2n =a ，则2叫a 的n 次方根。
由此，可有：2.n 次方根的定义：（板书）问题1：n 次方根的定义给出了，x 如何用a 表示呢？n a x =是否正确？ 分析过程：解：因为33=27，所以3是27的3次方根；因为5)2(-=-32，所以-2是-32的5次方根；因为632a )a (=，所以a 2是a 6的3次方根。
结论1：当n 为奇数时（跟立方根一样），有下列性质：正数的n 次方根是正数，负数的n 次方根是负数,任何一个数的方根都是唯一的。
此时，a 的n 次方根可表示为n a x =。
从而有：3273=，2325-=-，236a a =解：因为4216=，16)2(4=-，所以2和-2是16的4次方根；因为任何实数的4次方都是非负数，不会等于-81，所以-81没有4次方根。
必修1教案2.1.1指数与指数幂的运算(二)
必修1教案2.1.1指数与指数幂的运算（二）2.1.1 指数与指数幂的运算（二）（一）教学目标1．知识与技能（1）理解分数指数幂的概念；（2）掌握分数指数幂和根式之间的互化；（3）掌握分数指数幂的运算性质；（4）培养学生观察分析、抽象等的能力.2．过程与方法通过与初中所学的知识进行类比，得出分数指数幂的概念，和指数幂的性质.3．情感、态度与价值观（1）培养学生观察分析，抽象的能力，渗透“转化”的数学思想；（2）通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯；（3）让学生体验数学的简洁美和统一美.（二）教学重点、难点1．教学重点：（1）分数指数幂的理解；（2）掌握并运用分数指数幂的运算性质；2．教学难点：分数指数幂概念的理解（三）教学方法发现教学法1．经历由利用根式的运算性质对根式的化简，注意发现并归纳其变形特点，进而由特殊情形归纳出一般规律.2.在学生掌握了有理指数幂的运算性质后，进一步推广到实数范围内.由此让学生体会发现规律，并由特殊推广到一般的研究方法.（四）教学过程教学教学内容师生互动设计意图环节提出回顾初中时的整数指数幂及运算性质.老师提问，学生回答. 学习新知前的an?a?a?a???a,a0?1(a?0),问题 00无意义a?n简单复1?na(a?0)习，不仅能唤起学am?an?am?n;(am)n?amn(an)m?amn,(ab)n?anbn什么叫实数？有理数，无理数统称实数.生的记忆，而且为学习新课作好了知识上的准备. 复习观察以下式子，并总结出规律：a＞0① 5 老师引导学生“当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根数学中引进一a?5(a)?a?a a8?(a4)2?a4?a8210252105引入② ③ 54式可以写成分数作为指数的形式，个新的概（分数指数幂形式）”联想“根式的念或法则时，总希望它与已有的概念或法则是相容的. a?(a)?a?a 41012343124被开方数不能被根指数整除时，根式是否也可以写成分数指数幂的形④a?(a)?a?a5252105小结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式，（分数指数幂形式）.式.”.从而推广到正数的分数指数幂的意义. 根式的被开方数不能被根指数整除时，根式是否也可以写成分数指数幂的形式.如：3a?a?(a?0)b?b?(b?0)122234c?c?(c?0)nmmn554即：a?a(a?0,n?N,n?1) 形成*为此，我们规定正数的分数指数幂的意义为：学生计算、构造、猜想，允许交流讨论，汇报结论．教师巡视指导．让学生经历从概念a?a(a?0,m,n?N) 正数的定负分数指数幂的意义与负整mnnm*“特殊一一般”，“归纳一数幂的意义相同. 即：a?mn?1amn猜想”，(a?0,m,n?N*) 是培养学生“合情推理”能力的有效方式，同时学生也经历了指数幂的再发现过程，有利于培养学生的创造能力．规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义. 说明：规定好分数指数幂后，根式与分数指数幂是可以互换的，分数指数幂只是根式的一种新的写法，而不是 a?a?a???a(a?0) nm1m1m1m深化由于整数指数幂，分数指数幂都有意让学生讨论、研究，教师引导．通过本环节的教学，进一步体会上概念义，因此，有理数指数幂是有意义的，整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：（1）a?a?arSrsr?s(a?0,r,s?Q) 一环节的设计意图．）（2）(a)?a(a?0,r,s?Q) （3rs(a?b)r?arbr(Q?0,b?0,r?Q) 若a＞0，P是一个无理数，则P该如何理解？为了解决这个问题，引导学生先阅读课本P57――P58. 即：2的不足近似值，从由小于2的方向逼近2，2的过剩近似值从大于2的方向逼近2. 所以，当2不足近似值从小于2的方向逼近时，5向逼近52. 当2的过剩似值从大于2的方向逼近2时，522的近似值从小于52的方的近似值从大于52的方向逼近52，(如课本图所示) 所以，52是一个确定的实数. 一般来说，无理数指数幂 ap(a?0,p是一个无理数)是一个确定的实数，有理数指数幂的性质同样适用于无理数指数幂.无理指数幂的意义，是用有理指数幂的不足近似值和过剩近似值无限地逼近以确定大小. 思考：2的含义是什么？由以上分析，可知道，有理数指数幂，无理数指数幂有意义，且它们运算性质相同，实数指数幂有意义，也有相同的运算性质，即： 3ar?as?ar?s(a?0,r?R,s?R) (ar)s?ars(a?0,r?R,s?R)(a?b)r?arbr(a?0,r?R) 应用举例例题例1（P56，例2）求值学生思考，口答，教师板演、点评．例1解：① 8?(2) 23233通过这二个例题的解答，巩固所学的分1?516?38；25；()；()4. 281?2312例2（P56，例3）用分数指数幂的形式表或下列各式（a＞0） ?2a33?23?22?4； ?12数指数幂?12a3.a；a2?3a2；a. ② 25?(5) 2与根式的互化，以及分数指数幂的求值，提高运算能力．分析：先把根式化为分数指数幂，再由运算性质来运算. 解：a.a?a?a?a232223331213?2?512?(?)21?5?； 5?1?a； 2372③ ()8312?5?(2?1)?5 a?a?a?a?a a32??a； ?2?1?(?5)?32； a?a?a?a?(a)?a. 134341322334?(?)16?32④()4?()4 813课堂练习：P59练习第 1，2，3，4题补充练习：227?()?3?. 38例2分析：先把根式化为分数1(2)?()2n?121. 计算：的结果；n?248n?14指数幂，再由运算性质来运算. 解：a.a?a?a 33122. 若a3?3,a10?384, ?a23?12?a； 222372a101求a3?[()7]n?3的值. a3 a?a?a?a ?a2?233?a；134383a3a?a?a?a 413223?(a)?a. 练习答案： 24n?4?2?2n?11.解：原式= 2n?62?2感谢您的阅读，祝您生活愉快。
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指数与指数幂的运算【知能点】知能点1：有理数指数幂及运算性质1、有理数指数幂的分类（1）正整数指数幂()n na a a a a n N *=⋅⋅⋅⋅∈个； （2）零指数幂)0(10≠=a a ；（3）负整数指数幂()10,nn aa n N a-*=≠∈ （4）0的正分数指数幂等于0, 0的负分数指数幂没有意义。
2、有理数指数幂的性质（1）()0,,mn m naa aa m n Q ==>∈ （2）()()0,,nm mn a a a m n Q =>∈（3）()()0,0,m m mab a b a b m Q =>>∈① 引例：a >01025a a === →?=；32333232)(a a a ==→?=.① 定义分数指数幂：规定*0,,,1)m na a m n N n =>∈>；*10,,,1)m nm naa m n N n a-==>∈>③ 练习：A.将下列根式写成分数指数幂形式：(0,,1)a m n N n *>∈>；；例 1：把下列各式中的a 写成分数指数幂的形式 （1）5256a =；（2）428a-=；（3）765a -=；（4）()353,nm a m n N -+=∈解：（1）15256a =；（2）1428a -=；（3）675a -=；（4）533mna -=例 2:计算 （1）329； （2）3216-解：（1）()333223222933327⨯====；（2）()33231221164464----====知能点2：无理数指数幂若a ＞0，P 是一个无理数，则pa 表示一个确定的实数，上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用。
例 3: 化简（式中字母都是正数） （1）(（2）(2323yy+- （3）(43xy∙-∙解：（1）(((x =∙= （2）(((2223232349y y y x y -+-=-=- （3）(43121212xy x ∙-∙=-=-=-知能点3：根式1、根式的定义：一般地，如果a x n=，那么x 叫做a 的n 次方根，其中()*∈>N n n ,1，n a 叫做根式，n 叫做根指数，a 叫被开方数。
2（1）n N ∈，且1n >； （2）当n 是奇数，则a a n n =；当n 是偶数，则⎩⎨⎧<-≥==0a aa a a a n n ； （3）负数没有偶次方根； （4）零的任何次方根都是零。
3、我们规定： （1）)0,,,1m naa m n N n *=>∈>； （2）)10,,,1m nm naa m n N n a-*==>∈>例 4: 求下列各式的值（1； （2（3（4解：（12=-； （22=； （333ππ=-=-（4()()0 0x y x y x y x y x y ++≥⎧⎪==+=⎨--+<⎪⎩例 5: 用分数指数幂的形式表示下列各式：（1）2a（2）3 a （3(式中a ＞0)解：（1）115222222a a a aa +=∙==；（2）2211333333a a a aa +=∙==典型题型全解题型一：；解：（1+=||2||2 ==+---2(2=+=（120)a>（2）-解：（112522 22361322aa aa a--===∙已知=3,求下列各式的值：11332222(1), (2).x x x x--++解：（1）1111112211222222()2()235 x x x x x x x x----+=+∙+=++=+=∴11111222230x x x x x x x---+=+=>+=又由得所以（2）3311111113322 2222222221)()()[()()]2 x x x x x x x x x x----++=+-∙+-＝（11122--指数函数初步(具体内容第八次课细讲)创设情景问题1：某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,……一个这样的细胞分裂 x 次后,得到的细胞分裂的个数 y 与 x 之间,构成一个函数关系,能写出 x 与 y 之间的函数关系式吗？学生回答: y 与 x 之间的关系式,可以表示为y ＝2x 。
问题2： 一种放射性物质不断衰变为其他物质,每经过一年剩留的质量约是原来的84%.求出这种物质的剩留量随时间(单位:年)变化的函数关系.设最初的质量为1,时间变量用x 表示,剩留量用y 表示。
学生回答: y 与 x 之间的关系式,可以表示为y ＝0.84x 。
引导学生观察，两个函数中，底数是常数，指数是自变量。
指数函数的定义一般地，函数()10≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R . 问题：指数函数定义中，为什么规定“10≠>a a 且”如果不这样规定会出现什么情况？ (1)若a<0会有什么问题？（如21,2=-=x a 则在实数范围内相应的函数值不存在） (2)若a=0会有什么问题？（对于0≤x ,xa 无意义）(3)若 a=1又会怎么样？（1x 无论x 取何值,它总是1,对它没有研究的必要.） 师：为了避免上述各种情况的发生,所以规定0>a 且 1≠a . 练1：指出下列函数那些是指数函数：提问：在下列的关系式中，哪些不是指数函数，为什么？ （1）22x y += （2）(2)x y =- （3）2xy =-（4）x y π= （5）2y x = （6）24y x =（7）x y x = （8）(1)xy a =- （a ＞1，且2a ≠）练2：若函数是指数函数，则a=------指数函数的图像及性质在同一平面直角坐标系内画出指数函数xy 2=与xy ⎪⎭⎫⎝⎛=21的图象（画图步骤：列表、描点、连线）。
由学生自己画出x y 3=与xy ⎪⎭⎫⎝⎛=31的函数图象然后，通过两组图象教师组织学生结合图像讨论指数函数的性质。
特别地，函数值的分布情况如下：巩固与练习例1：比较下列各题中两值的大小教师引导学生观察这些指数值的特征，思考比较大小的方法。
（1）（2）两题底相同，指数不同，（3）（4）两题可化为同底的，可以利用函数的单调性比较大小。
（5）题底不同，指数相同，可以利用函数的图像比较大小。
（6）题底不同，指数也不同，可以借助中介值比较大小。
例2：已知下列不等式, 比较m,n的大小:设计意图：这是指数函数性质的简单应用，使学生在解题过程中加深对指数函数的图像及性质的理解和记忆。
练习题一·1.对于Q s r a ∈,,0 ，以下运算中正确的是（ ）A.rss r a a a =⋅ B.s r s r a a +=)( C.rrr b a ba-⋅=)( D.()sr sr ab b a +=2.计算()2122-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-的结果是（ ）A.2B.2-C.22 D.22- 3.下列各式成立的是（ ）A.()32322n m n m +=+ B.5515b a a b =⎪⎭⎫ ⎝⎛ C.()()316233-=- D.31324=4.已知2222=+-xx 且1 x ，则22--x x 的值为（ ）A.2或-2B.-2C.6D.2 5.已知432=-x则x 等于（ ）A.8±B.81±C.443 D.322± 6.设,21,21bby x -+=+=那么y 等于（ ） A.11-+x x B.x x 1- C.11+-x x D.1-x x 7.若,310,210==yx则=-24310y x8.已知()222+=y x并且139-=x y，则=+y x9.已知,,222221x x x xe e y e e y ---=+=求.2122y y -10.解方程. 08241=--+x x二·1、下列运算结果中，正确的是（）A ．632a a a =⋅ B ．()()2332a a -=-C ．()110=-aD ．()632a a -=-2、化简()43325⎥⎦⎤⎢⎣⎡-的结果为（） A ．5B ．5C ．5-D ．-53、计算：()14323112325671027.0-+-+⎪⎭⎫⎝⎛-----=___________________。
4、方程33131=++-xx的解是____________________。
5、()()=+----+-k k k 21212222（） A ．k22-B ．()122--kC ．()122+--kD ．2 6、若22,0,1=+>>-b b a a b a ，则b ba a --等于（）A ．6B ．2或-2C ．-2D ．27、已知函数()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-313151x x x f ，()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-313151x x x g 判断()()x g x f 、的奇偶性8、()[]2122--等于（） A ．2B ．2-C ．22D ．22-9、下列各式中成立的是（） A ．7177m n m n =⎪⎭⎫⎝⎛B ．()312433-=-C ．()43433y x y x +=+D ．3339=10、化简⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛656131212132313b a b a b a 的结果为（）A ．a 6B ．a -C ．a 9-D ．29a 11、当x -2有意义时，化简964422+--+-x x x x 的结果为（）A ．52-xB ．12--xC ．1-D ．x 25-12、已知31=+aa 。
则2121-+a a 等于（）A ．2B ．5C ．5-D ．5±13、化简xx 3-的结果是（）A ．x --B ．xC ．x -D ．x -14、已知20095-=x ，则x =_____________。
（用根式表示） 15、化简625625++-=______________________。
16、计算下列各式：（1）()5.021201.04122432-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛-- （2）()0,05354215658≠≠÷⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--b a b a ba（3）48373271021.097203.225.0+-⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛--π17、求值：已知a xx =+-22（常数），求xx -+44的值。
18、将235写为根式，则正确的是（）A ．325B ．35C ．523D ．3519、根式aa 11（式中0>a ）的分数指数幂形式为（）A ．34-aB ．34aC ．43-aD ．43a20、把下列根式写成分数指数幂的形式：（1）32ab （2）()42a -（3）3432x x x21、若21<a ，则化简()4212-a 的结果是（ ）A ．12-aB ．12--aC ．a 21-D ．a 21--22、化简3163278--⎪⎪⎭⎫⎝⎛b a23、6351,9,2===c b a ，试比较c b a ,,的大小。