安徽省望江中学2014届高三上学期期中考试数学(理)试题 Word版含答案

望江中学2014届高三上学期期中考试数学（理）试题第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设p ∶22,x x q --＜0∶12xx +-＜0，则p 是q 的 （ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件2. 若11222(21)(1)m m m +>+-，则实数m 的取值范围是 ( ）111.(,].[,).(1,2).[,2)222A B C D ----∞+∞- 3．若方程0232=--k x x 在（-1，1）上有实根，则k 的取值范围为 （ ） A.)21,169[-- B.)25,21[- C.)25,169[- D.),169[+∞-4．若f (x )是偶函数，且当x ∈),0[∞+时，f (x ) = x －1，则f (x －1) < 0的解集是（ ）A ．{x |－1 < x < 0}B ．{x | x < 0或1< x < 2}C ．{x | 0 < x < 2}D ．{x | 1 < x < 2}5．函数f (x) =Asin(()(0,0),1x A x ωϕω+>>=-和x=1是函数f （x ）图象相邻的两条对称轴，且x ∈[-1，1]时f (x)单调递增，则函数y=f （x －1）的( ) A ．周期为2，图象关于y 轴对称 B ．周期为2，图象关于原点对称 C ．周期为4，图象关于原点对称 D ．周期为4，图象关于y 轴对称6．要得到函数πsin (2)3y x =-的图象，只需将函数）—（—πx 2cos y =的图象( ) A ．向左平移π6个单位 B ．向左平移5π12个单位 C ．向右平移5π12个单位D ．向右平移π3个单位 7.已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减，则ω的取值范围是（ ）A 、(0,2]B 、1(0,]2C 、13[,]24D 、15[,]248. 把函数s i n ()0,||2y A x πωφωφ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象向左平移3π个单位得到()y f x =的图象（如图），则ϕ=（ ）A ．6π-B ．6π C . 3π-D .3π9．定义在R 上的函数)(x f 满足(4)1f =．)(x f '为)(x f 的导函数，已知函数)(x f y '=的图象如图所示．若两正数b a ,满足1)2(<+b a f ，则22b a ++的取值范围是 （ ）A ．11(,)32B ．()1(,)3,2-∞+∞C ．1(,3)2D ．(,3)-∞-10.定义域为R 的偶函数)(x f 满足对x R ∀∈，有)1()()2(f x f x f -=+，且当]3,2[∈x 时，18122)(2-+-=x x x f ，若函数)1|(|log )(+-=x x f y a 在),0(+∞上至少有三个零点，则a 的取值范围是 （ ） A ．)22,0( B ．)33,0( C ．)55,0( D ．)66,0( 第II 卷(非选择题 共100分)二、 填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11.已知tan 125tan αα+=-，则sin cos sin 2cos αααα+=-________________12.已知函数()x f 在[)+∞,0上是增函数，()()x f x g -=，若()()1lg g x g >，则x 的取值范围是________________13.已知函数⎩⎨⎧>≤≤=)1(log )10(sin )(2013x x x πx x f ,若c b a ，，互不相等，且f(c)f(b)f(a)==,则c b a ++的取值范围是________________14.已知函数⎩⎨⎧<≥++=)1-(),2()1-(,)(2x -x-f x c bx ax x f ,在其图象上点(1，(1)f )处的切线方程为12+=x y ,则图象上点(-3，(-3)f )处的切线方程为________________15.设()sin2cos2f x a x b x ＝＋，其中,,0a b R ab ∈≠. 若()6f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对一切x R∈恒成立，则 ① 11012f π⎛⎫=⎪⎝⎭； ② 7125f f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ③ ()f x 既不是奇函数也不是偶函数；④ ()f x 的单调递增区间是()2,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦； ⑤ 存在经过点(),a b 的直线与函数()f x 的图象不相交．以上结论正确的是__________________（写出所有正确结论的编号）． 三、解答题（解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）16.(12分) 已知sin θ、cos θ是关于x 的方程x 2－ax ＋a ＝0(a ∈R )的两个根．(1)求)23sin()2cos(θπθπ+++的值；(2)求tan(π－θ)－1tan θ的值．17.（12分）命题p :实数x 满足03422<+a ax -x （其中a >0），命题q :实数x 满足⎪⎩⎪⎨⎧>+≤02321x-x x-18. (12分) 在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知3C π=.（Ⅰ）若2a =，3b =，求ABC ∆的外接圆的面积； （Ⅱ）若2c =，sin sin()2sin 2C B A A +-=，求ABC ∆的面积.19.（13分）设函数()ln f x a x =，21()2g x x =． （1）记()g x ’为()g x 的导函数，若不等式()2()(3)()f x g x a x g x +≤+-’在[1,]x e ∈上有解，求实数a 的取值范围；（2）若a =1，对任意的120x x >>，不等式121122[()()]()()m g x g x x f x x f x ->-恒成立,求m （m ∈Z ，m ≤1）的值．20．（13分）设函数()*() ,,n n f x x bx c n N b c R =++∈∈（Ⅰ）设2n ≥，1b =，1c =-，证明：()n f x 在区间1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭内存在唯一的零点； （Ⅱ）设2n =，若对任意[]12,1,1x x ∈-，均有()()21224f x f x -≤，求b 的取值范围.21．（13分）已知2()3ln f x ax x x=--，其中a 为常数.（Ⅰ）当函数()f x 的图象在点22,33f ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线的斜率为1时，求函数()f x 在3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值； （Ⅱ）若函数()f x 在(0,)+∞上既有极大值又有极小值，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，过点()1,4P -作函数[]2()()3ln 3F x x f x x =+-图象的切线，试问这样的切线有几条？并求这些切线的方程.高三理数参考答案三解答题（共75分）16.（12分）解： 由已知原方程判别式Δ≥0，即(－a )2－4a ≥0，∴a ≥4或a ≤0.又⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝a ，sin θcos θ＝a ，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，即a 2－2a －1＝0.∴a ＝1－2或a ＝1＋2(舍去)．∴sin θ＋cos θ＝sin θcos θ＝1－ 2. (1))23sin()2cos(θπθπ+++=-(sin θ＋cos θ)＝2-1 (2)tan(π－θ)－1tan θ＝－tan θ－1tan θ＝－⎝⎛⎭⎫tan θ＋1tan θ＝－⎝⎛⎭⎫sin θcos θ＋cos θsin θ＝－1sin θcos θ＝－11－2＝2＋1.18. （12分）【解析】（Ⅰ）由已知及余弦定理得22223223cos 73c π=+-⨯⨯⨯=，则c =设外接圆的半径为R，由正弦定理知2sin2R =，从而R =，故外接圆的面积为273R ππ= …………………………………………………………………………………………5分（Ⅱ）∵A B C π++=，及sin sin()2sin 2C B A A +-= ，∴()()2sin 2sin sin()sin sin()2sin cos A A B B A A B B A B A π=-++-=++-=⎡⎤⎣⎦，即2sin cos sin cos A A B A =，亦即()2sin sin cos 0A B A -⋅=，∴cos 0A =或2sin sin 0A B -=。

………8分当cos 0A =时，2A π=，又2c =且3C π=，∴2tan3bπ=，即b ，此时122ABC S ∆=⨯=；当2sin sin 0A B -=时，由正弦定理得2b a =，又2c =且3C π=，∴22144222a a a a =+-⋅⋅⨯（或得到2B π=求解），解得243a =，此时21sin 23ABC S ab a π∆===。

综上知ABC S ∆=12分（2）当a=1，f（x）=lnx．由m[g（x1）﹣g（x2）]＞x1f（x1）﹣x2f（x2）恒成立，得mg（x1）﹣x1f（x1）＞mg（x2）﹣x2f（x2）恒成立，设．由题意知x1＞x2＞0，故当x∈（0，+∞）时函数t（x）单调递增，∴t′（x）=mx﹣lnx﹣1≥0恒成立，即恒成立，因此，记，得，∵函数在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，∴函数h（x）在x=1时取得极大值，并且这个极大值就是函数h（x）的最大值．由此可得h（x）max=h（1）=1，故m≥1，结合已知条件m∈Z，m≤1，可得m=1．20（13分）【解析】（Ⅰ）2n ≥，1b =，1c =-时，() 1 n n f x x x =+-.∵111(1)10222n n n f f ⎛⎫⎛⎫⋅=-⨯< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()n f x 在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭内存在零点.………………………2分1()10n n f x nx -'=+> ，∴()n f x 在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭是单调递增函数，……………………………3分所以()n f x 在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭内存在唯一的零点. …………………………………4分（Ⅱ）当2a =时，22() f x x bx c =++，∵对任意的[]12,1,1x x ∈-都有()()21224f x f x -≤等价于2()f x 在[]1,1-上的最大值与最小值之差max min ()()4M f x f x =-≤，据此分类讨论如下：……………6分⑴当12b>，即2b >时，22(1)(1)24M f f b =--=>与题设矛盾； ……………8分 ⑵当102b -≤-<，即02b <≤时，222(1)1422b b M f f ⎛⎫⎛⎫=---=+≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立； ……………10分 ⑶当012b <-≤，即20b -≤≤时，222(1)1422b b M f f ⎛⎫⎛⎫=---=-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立. 综上知22b -≤≤. ……………12分 注意：⑵⑶也可合并证明如下：用{}max ,a b 表示,a b 中的较大者，当112b -≤-≤，即22b -≤≤时，()()22222222(1)1(1)1max (1),(1)2222f f f f b b M f f f f ---+⎧⎫⎛⎫⎛⎫=---=+--⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭ 2211442b b c b c ⎛⎫⎛⎫=++--+=+≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立.21.（13分）【解析】（Ⅰ）223()0f x a x x'=+->由题可知213f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，解得1a =………1分故2()3ln f x x x x=--，2(1)(2)()x x f x x --'=，由()0f x '=得2x = ………2分()f x '、()f x 随x 的变化关系如下表：分于是可得：min()(2) 13ln 2f x f ==-……………………………………………………4分（Ⅱ）2222332()(0)ax x f x a x x x x -+'=+-=>………5分由题可得方程2320ax x -+=有两个不等的正实根，不妨设这两个根为12x x 、，并令2()32h x ax x =-+，则12129803020a x x a x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=>⎨⎪⎪=>⎪⎩（也可以9803002(0)0a a a h ∆=->⎧⎪-⎪->⇒>⎨⎪>⎪⎩），解得908a <<………8分 （Ⅲ）由（Ⅰ）2()3ln f x x x x=--，故32()32(0)F x x x x x =-->，2()362(0)F x x x x '=-->……9分设切点为00(,)T x y ，由于点P 在函数()F x 的图像上，（1）当切点T 不与点(1,4)P -重合，即当01x ≠时．由于切线过点(1,4)P -，则2000043621y x x x +=--- 所以322000000324(1)(362)x x x x x x --+=---， 化简得32003310x x x -+-=，即30(1)0x -=，解得01x =（舍去）……12分 （2）当切点T 与点(1,4)P -重合，即01x =时．则切线的斜率(1)5k F '==-，于是切线方程为510x y +-=……………13分综上所述，满足条件的切线只有一条，其方程为510x y +-= ……………14分（注：若没有分“点T 是否与点P 重合”讨论，只要过程合理结论正确，本小题只扣1分）。