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九年级下期末复习《第28章锐角三角函数》单元评估测试题有答案

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人教版九年级下《第28章锐角三角函数》单元检测试题(含答案)

人教版九年级下《第28章锐角三角函数》单元检测试题(含答案)

人教版九年级下学期第二十八章锐角三角函数单元检测试题姓名：__________ 班级：__________考号：__________一、单选题（共10题；共30分）1.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=3，BC=2，则cosB的值是（）A. B. C. D.2.cos30°的值为（）A. 1B.C.D.3.在中，，，则的值等于（）A. B. C. D.4.如图：为了测楼房BC的高，在距离楼房10米的A处，测得楼顶B的仰角为，那么楼房BC的高为（）A. 10tana（米）B. （米）C. （米）D. （米）5.α为锐角，若sinα+cosα= ，则sinα﹣cosα的值为（）A. B. ± C. D. 06.在三角形ABC中，∠C为直角，sinA=，则tanB的值为（）A. B. C. D.7.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB ，AC=8，AB=10，则AD等于（）A. 4.4B. 5.5C. 6.4D. 7.48.如图，在△ABC中，∠B=90°，tan∠C= ，AB=6cm．动点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，在运动过程中，△PBQ的最大面积是（）A. 18cm2B. 12cm2C. 9cm2D. 3cm29.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，cos∠BCD=，BD=1，则边AB的长度是（）A. B. C. 2 D.10.如图，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为300，已知斜坡CD的长度为20m，DE的长为10m，则树AB的高度是（）mA. B. 30 C. D. 40二、填空题（共8题；共24分）11.4cos30°+ +|﹣2|=________．12.在中，若，则的度数是________．13.在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则tanB的值为________．14.已知在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= ，则tanB的值为________．15.已知∠α=36°，若∠β是∠α的余角，则∠β=________ 度，sinβ=________ （结果保留四个有效数字）16.用计算器计算：3sin38°﹣≈________（精确到0.01）．17.已知△ABC，O为AC中点，点P在AC上，若OP= ，tan∠A= ，∠B=120°，BC=2 ，则AP=________．18.在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于O，则tan∠BOD的值等于________．三、解答题（共6题；共46分）19.如图，为了求某条河的宽度，在它的对岸岸边任意取一点A，再在河的这边沿河边取两点B、C，使得∠ABC=45°，∠ACB=30°，量得BC的长为40m，求河的宽度（结果保留根号）．20.如图为护城河改造前后河床的横断面示意图，将河床原竖直迎水面BC改建为坡度1：0．5的迎水坡AB，已知AB=4米，则河床面的宽减少了多少米．(即求AC的长)21.为促进我市经济的快速发展，加快道路建设，某高速公路建设工程中需修隧道AB，如图，在山外一点C 测得BC距离为200m，∠CAB=54°，∠CBA=30°，求隧道AB的长．（参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38，≈1.73，精确到个位）22.已知：在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，BE：AB=3：5，若CE= ，cos∠ACD= ，求tan∠AEC的值及CD的长．23.小婷在放学路上，看到隧道上方有一块宣传“中国﹣南亚博览会”的竖直标语牌CD．她在A点测得标语牌顶端D处的仰角为42°，测得隧道底端B处的俯角为30°（B，C，D在同一条直线上），AB=10m，隧道高6.5m（即BC=6.5m），求标语牌CD的长（结果保留小数点后一位）．（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90，≈1.73）24.如图，A，B两座城市相距100千米，现计划在两城市间修筑一条高速公路（即线段AB）．经测量，森林保护区中心P点既在A城市的北偏东30°的方向上，又在B城市的南偏东45°的方向上．已知森林保护区的范围是以P为圆心，35千米为半径的圆形区域内．请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越森林保护区？请通过计算说明．（参考数据：≈1.732，≈1.414）四、综合题（共2题；共20分）25.如图，在东西方向的海岸线MN上有A、B两艘船，均收到已触礁搁浅的船P的求救信号，已知船P在船A的北偏东方向，船P在船B的北偏西方向，AP的距离为30海里参考数据：．（1）求船P到海岸线MN的距离精确到海里；（2）若船A、船B分别以20海里小时、15海里小时的速度同时出发，匀速直线前往救援，试通过计算判断哪艘船先到达船P处．26.（如图（1）,一扇窗户垂直打开，即OM⊥OP，AC是长度不变的滑动支架，其中一端固定在窗户的点A 处，另一端在线段OP上滑动，将窗户OM按图示方向向内旋转45°到达ON位置，如图（2）,此时，点A、C的对应位置分别是点B、D，测量出∠ODB为37°，点D到点O的距离为28cm．（1）求B点到OP的距离;（2）求滑动支架AC的长.（参考数据：sin37°= ，cos37°= ，tan37°= ）答案解析部分一、单选题1.C2.D3.B4.A5.D6.C7.C8.C9.D 10.B二、填空题11.3 12.90013.14.15.54；0.8090 16.0.43 17.2 或18.3三、解答题19.解：作AD⊥BC,垂足为D.设AD= xm，∵∠ABC=45°，∴BD＝AD= xm，∵∠ACB=30°，∴DC＝＝xm，∵AD+DC=BC ,且BC＝40m，∴，解得,，答：则河的宽度为m20.解：设AC的长为x,那么BC的长就为2x．x2+（2x）2=AB2, x2+（2x）2=（4）2,x=4．答：河床面的宽减少了4米．21.解：过点C作CD⊥AB于D，∵BC=200m，∠CBA=30°，∴在Rt△BCD中，CD= BC=100m，BD=BC•cos30°=200× =100 ≈173（m），∵∠CAB=54°，在Rt△ACD中，AD= ≈ ≈72（m），∴AB=AD+BD=173+72≈245（m）．答：隧道AB的长为245m．22.解：在Rt△ACD与Rt△ABC中，∵∠ABC+∠CAD=90°，∠ACD+∠CAD=90°，∴∠ABC=∠ACD，∴在Rt△ABC中，令BC=4k，AB=5k，则AC=3k 由BE：AB=3：5，知BE=3k则，则，．∴，∵，∴．23.解：如图作AE⊥BD于E．在Rt△AEB中，∵∠EAB=30°，AB=10m，∴BE= AB=5（m），AE=5 （m），在Rt△ADE中，DE=AE•tan42°=7.79（m），∴BD=DE+BE=12.79（m），∴CD=BD-BC=12.79-6.5≈6.3（m），答：标语牌CD的长为6.3m24.解：过P作PD⊥AB于D，在Rt△PBD中，∠BDP＝90°，∠B＝45°，∴BD＝PD．在Rt△PAD中，∠ADP＝90°，∠A＝30°，∴AD＝＝＝PD，由题意，AD＋BD＝AB＝100，得PD＋PD＝100，∴PD＝≈36.6＞35，故计划修筑的高速公路不会穿过保护区．四、综合题25.（1）解：过点P作于点E，由题意得，海里，在中，海里（2）解：在中，海里，，则海里，A船需要的时间为：小时，B船需要的时间为：小时，，船先到达．26.（1）解：如图所示：在Rt△BHD中，∠BDH=37°，由tan37°= ，可令BH=3x，则DH=4x．由题意∠BOD=90°﹣45°=45°，则OH=BH=3x，由OD=OH+DH=28得：4x+3x=28，解得x=4，∴BH=3x=12（cm）；B点到OP的距离为12cm．（2）解：在Rt △BHD 中，sin ∠BDH= ， ∴BD= ，∴AC=BD=20（cm ）；滑动支架AC 的长为20cm ．。

人教新版九年级下《第28章锐角三角函数》单元测试卷(有答案)

人教新版九年级下《第28章锐角三角函数》单元测试卷(有答案)

第28章锐角三角函数单元测试卷一．选择题（共12小题）1．如图，延长RT△ABC斜边AB到点D，使BD=AB，连接CD，若tan∠BCD=，则tanA=（）A．B．1C．D．2．如图，△ABC中，CD⊥AB，BE⊥AC，=，则sinA的值为（）A．B．C．D．3．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若∠B=60°，则的值为（）A．B．C．1D．4．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，tan∠BAC=2，A（0，a），B（b，0），点C在第二象限，BC与y轴交于点D（0，c），若y轴平分∠BAC，则点C的坐标不能表示为（）A．（b+2a，2b）B．（﹣b﹣2c，2b）C．（﹣b﹣c，﹣2a﹣2c）D．（a﹣c，﹣2a﹣2c）5．如图，△ABC中，∠A=30°，，AC=，则AB的长为（）A．B．C．5D．6．如图，长方形ABCD中，AB=2，BC=3；E是AB的中点，F是BC上的一点，且CF=BC，则图中线段AC与EF之间的最短距离是（）A．0.5B．C．1D．7．如图，为了测量河对岸l1上两棵古树A、B之间的距离，某数学兴趣小组在河这边沿着与AB 平行的直线l2上取C、D两点，测得∠ACB=15°，∠ACD=45°，若l1、l2之间的距离为50m，则A、B之间的距离为（）A．50m B．25m C．（50﹣）m D．（50﹣25）m8．如图1是一种雪球夹，通过一个固定夹体和一个活动夹体的配合巧妙完成夹雪、投雪的操作，不需人手直接接触雪，使用方便，深受小朋友的喜爱．图2是其简化结构图，当雪球夹闭合时，测得∠AOB=60°，OA=OB=14cm，则此款雪球夹从O到直径AB的距离为（）A．14cm B．14cm C．7cm D．7cm9．今年，重庆被“抖音”抖成了“网红城市”，其中解放碑的游客数量明显高于去年同期，如图，小冉和小田决定用所学知识测量解放碑AB的高度，按照以下方式合作并记录所得数据：小冉从大厦DG的底端D点出发，沿直线步行10.2米到达E点，再沿坡度i=1：2.4的斜坡EF 行走5.2米到达F点，最后沿直线步行30米到达解放碑底部B点，小田从大厦DG的底端乘直行电梯上行到离D点51.5米的顶端G点，从G点观测到解放碑顶端A点的俯角为26°，若A，B，C，D，E，F，G在同一平面内，且B，F和C，E，D分别在同一水平线上，则解放碑≈0.44，cos26°≈.90，tan26°AB的高度约为（）米．（精确到0.1米，参考数据：sin26°≈0.49）A．29.0B．28.5C．27.5D．27.010．位于南开（融侨）中学旁边的“转转桥”是重庆市网红景点之一，在桥下人形天桥（如图1），其平面图如图2所示，天桥入口D点有一台阶DC，CD=0.5米，其坡度为i=1：0.75，在DC 上方有一平层BC=1米，且BC与地面MN平行，在天桥顶端A点测得B点的俯角为63°，且AD⊥MN，为知道台阶AB的长度，请根据以上信息，帮小亮计算出台阶AB的长度，约为（）精确到0.1米，参考数据：sin63°≈0.90，cos63°≈0.45，tan63°≈2.00A．1.4米B．2.5米C．2.8米D．2.9米11．如图，禁止捕鱼期间，某海上稽查队在某海域巡逻，上午某一时刻在A处接到指挥部通知，在他们东北方向距离12海里的B处有一艘捕鱼船，正在沿南偏东75°方向以每小时10海里的速度航行，稽查队员立即乘坐巡逻船以每小时14海里的速度沿北偏东某一方向出发，在C 处成功拦截捕鱼船，则巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间是（）A．1小时B．2小时C．3小时D．4小时12．如图，淇淇一家驾车从A地出发，沿着北偏东60°的方向行驶，到达B地后沿着南偏东50°的方向行驶来到C地，C地恰好位于A地正东方向上，则（）①B地在C地的北偏西50°方向上；②A地在B地的北偏西30°方向上；③cos∠BAC=；④∠ACB=50°．其中错误的是（）A．①②B．②④C．①③D．③④二．填空题（共12小题）13．在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=4，sinA=，则斜边AB边上的高CD的长为14．如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（2，1），则tanα的值是．15．如图在方格纸中α，β，γ这三个角的大小关系是．16．若0°＜α＜90°，tanα=1，则sinα＝．17．△ABC中，∠C=90°，tanA=，则sinA+cosA=．18．设α是锐角，如果tanα=2，那么cotα＝．19．在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=，则cosB=．20．已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，tanB=，则cosA=．21．计算：tan45°+=；22．已知∠A是锐角，且tanA=，则∠A=．23．请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按所选的第一题记分．A．如图，半圆O的直径AE=4，点B，C，D均在半圆上，若AB=BC，CD=DE，连接OB，OD，则图中阴影部分的面积为．≈（精确到0.01）．B．用科学计算器计算：sin69°24．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=42°，BC=3，则AC的长为．（用科学计算器计算，结果精确到0.01）三．解答题（共26小题）25．如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE=3AE，试求sin∠ECM的值．﹣cos45°+tan260°．26．计算：sin30°﹣2cos45°．27．计算：2sin30°28．计算：2cos230°+﹣sin60°．29．计算：3tan30°+cos245°﹣sin60°．30．（1）计算与化简：cos60°?tan30°（2）因式分解：3a2﹣6a+3．﹣cos45°．31．计算：tan260°﹣2sin30°32．计算：（3﹣π）0+﹣2cos60°．33．如图，将△ABC沿着射线BC方向平移至△A'B'C'，使点A落在∠ACB的外角平分线CD上，连结AA′．（1）判断四边形ACC′Ａ的形状，并说明理由．（2）在△ABC中，∠B=90°，AB=24，cos∠BAC=，求CB的长．34．如图，在△ABC中，∠B为锐角，AB=3，AC=5，sinC=，求BC的长．35．在平面直角坐标系中，若△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣4，1），B（﹣1，3），C （﹣4，3），求sinB的值．36．如图，在△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，AC=20．（1）求BC的长度；（2）若∠ADC=75°，求CD的长．37．C919大型客机首飞成功，激发了同学们对航空科技的兴趣．如图是某校航模兴趣小组获得的一张数据不完整的航模飞机机翼图纸，图中AB∥CD，AM∥BN∥ED，AE⊥DE，请根据图中数据，求出线段BE和CD的长．（sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）38．如图，为了测量某条河的宽度，在它的对岸岸边任取一点A，再在河的这边沿河边取两点B、C，使得∠ABC=60°，∠ACB=45°，量得BC的长为30m，求这条河的宽度（结果精确到1m）．（参考数据：≈1.414，≈1.732．）39．清明节假期，小红和小阳随爸妈去旅游，他们在景点看到一棵古松树，小红惊讶的说：“呀！这棵树真高！有60多米．”小阳却不以为然：“60多米？我看没有．”两个人争论不休，爸爸笑着说：“别争了，正好我带了一副三角板，用你们学过的知识量一量、算一算，看谁说的对吧！”小红和小阳进行了以下测量：如图所示，小红和小阳分别在树的东西两侧同一地平线上，他们用手平托三角板，保持三角板的一条直角边与地平面平行，然后前后移动各自位置，使目光沿着三角板的斜边正好经过树的最高点，这时，测得小红和小阳之间的距离为135米，他们的眼睛到地面的距离都是 1.6米．（1）请在指定区域内画出小红和小阳测量古松树高的示意图；（2）通过计算说明小红和小阳谁的说法正确（计算结果精确到0.1）（参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.24）40．如图，河的两岸MN与PQ相互平行，点A，B是PQ上的两点，C是MN上的点，某人在点A处测得∠CAQ=30°，再沿AQ方向前进20米到达点B，某人在点A处测得∠CAQ=30°，再沿AQ方向前进20米到达点B，测得∠CBQ=60°，求这条河的宽是多少米？（结果精确到0.1米，参考数据≈1.414，≈1.732）41．如图，某市为方便行人过马路，打算修建一座高为4x（m）的过街天桥．已知天桥的斜面坡度i=1：0.75是指坡面的铅直高度DE（CF）与水平宽度AE（BF）的比，其中DC∥AB，CD=8x （m）．（1）请求出天桥总长和马路宽度AB的比；（2）若某人从A地出发，横过马路直行（A→E→F→Ｂ）到达B地，平均速度是 2.5m/s；返回时从天桥由BC→CD→DA到达A地，平均速度是 1.5m/s，结果比去时多用了12.8s，请求出马路宽度AB的长．42．已知：如图，斜坡AP的坡度为1：2.4，坡长AP为26米，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，在坡顶A处测得该塔的塔顶B的仰角为76°．求：（1）坡顶A到地面PQ的距离；（2）古塔BC的高度（结果精确到1米）．（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）43．电影《厉害了，我的国》震撼上演后，引起了大家的强烈共鸣，当“复兴号”一幕又一幕的奔驰在祖国广袤的大地上，中国高铁的车轮快速的滚出了崭新中国的新画卷．中国高铁的飞速发展，使越来越多的人选择高铁出行．为了保证市民出行方便，某市的高铁站出入口与地铁站出入口进行对接．已知某人沿着坡角为30°的楼梯AB从A行至B，后沿BC路线上斜坡CD，坡角为30°，再行走一段距离DE，到达高铁入口处．若入口处楼梯EF的坡角为45°，DE ∥BC∥AF，AB=20米，CD=4米，那么EF的长度是多少米？（保留0.1米）（≈1.414）44．图1是太阳能热水器装置的示意图，利用玻璃吸热管可以把太阳能转化为热能，玻璃吸热管与太阳光线垂直时，吸收太阳能的效果最好，假设某用户要求根据本地区冬至正午时刻太阳光线与地面水平线的夹角（θ）确定玻璃吸热管的倾斜角（太阳光线与玻璃吸热管垂直），，请完成以下计算：如图2，AB⊥BC，垂足为点B，CD∥AB，FG⊥DE，垂足为点G，若∠θ=37°50′FG=30cm，CD=10cm，求CF的长（结果取整数，参考数据：sin37°50′≈079，≈0.6l，cos37°50′tan37°50′≈0.78）45．小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC，并测得B、C两点的俯角分别为45°、35°．已知大桥BC与地面在同一水平面上，其长度为100m，求热气球离地面的高度．（结果保留整数）【参考数据：sin35°=0.57，cos35°=0.82，tan35°=0.70】46．如图，李强在教学楼的点P处观察对面的办公大楼，为了求得对面办公大楼的高度，李强测得办公大楼顶部点A的仰角为30°，测得办公大楼底部点B的俯角为37°，已知测量点P到对面办公大楼上部AD的距离PM为30m，办公大楼平台CD=10m．求办公大楼的高度（结果保留整数）．（参考数据：sin37°≈，tan37°≈，≈1.73）47．为了测量白塔的高度AB，在D处用高为 1.5米的测角仪CD，测得塔顶A的仰角为42°，再向白塔方向前进12米，又测得白塔的顶端A的仰角为61°，求白塔的高度AB．（参考数据sin42°≈0.67，tan42°≈0.90，sin61°≈0.87，tan61°≈1.80，结果保留整数）48．如图是宁夏沙坡头的沙丘滑沙场景．已知滑沙斜坡AC的坡度是tanα＝，在与滑沙坡底C 距离20米的D处，测得坡顶A的仰角为26.6°，且点D、C、B在同一直线上，求滑坡的高AB．=0.45，cos26.6°=0.89，tan26.6°=0.50）．（结果取整数：参考数据：sin26.6°49．如图，在航线l的两侧分别有观测点A和B，点B到航线l的距离BD为4km，点A位于点B北偏西60°方向且与B相距20km处．现有一艘轮船从位于点A南偏东74°方向的C处，沿该航线自东向西航行至观测点A的正南方向E处．求这艘轮船的航行路程CE的长度．（结果精确到0.1km）（参考数据：≈1.73，sin74°≈0.96，cos74°≈0.28，tan74°≈3.49）50．如图，在一次海警演习中，A、B两地分别同时派出甲、乙两快艇营救一货轮C，已知B地位于A地正西方向相距84海里位置，货轮C位于A地正北方向，位于B地北偏东48.2°方向≈0.7，cos48.2°≈0.6，tan48.2°≈1.05）（所有数据精确到个位，sin48.2°（1）求A、B两地分别与货轮C的距离；（2）若乙快艇每小时比甲快艇多行驶20海里，且它们同时达到货轮C位置，求甲、乙快艇的速度．答案一．选择题（共12小题）1．如图，延长RT△ABC斜边AB到点D，使BD=AB，连接CD，若tan∠BCD=，则tanA=（）A．B．1C．D．【分析】若想利用tan∠BCD的值，应把∠BCD放在直角三角形中，也就得到了Rt△ACD的中位线，可分别得到所求的角的正切值相关的线段的比．【解答】解：过B作BE∥AC交CD于E．∵AC⊥BC，∴BE⊥BC，∠CBE=90°．∴BE∥AC．∵AB=BD，∴AC=2BE．又∵tan∠BCD=，设BE=x，则AC=2x，∴tanA===，故选：A．【点评】本题涉及到三角形的中位线定理，锐角三角函数的定义，解答此题关键是作出辅助线构造直角三角形，再进行计算．2．如图，△ABC中，CD⊥AB，BE⊥AC，=，则sinA的值为（）A．B．C．D．【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解．【解答】解：∵CD⊥AB，BE⊥AC则易证△ABE∽△ACD，∴=，又∵∠A=∠A，∴△AED∽△ABC，∴==，设AD=2a，则AC=5a，根据勾股定理得到CD=a，因而sinA==．故选：B．【点评】求三角函数值的问题一般要转化为，直角三角形的边的比的问题，本题注意到△AED ∽△ABC是解决本题的关键．3．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若∠B=60°，则的值为（）A．B．C．1D．【分析】先过点A作AD⊥BC于D，构造直角三角形，结合∠B=60°，利用sin60°=，cos60°=可求DB=，AD=，把这两个表达式代入到另一个Rt△ADC的勾股定理表达式中，化简可得即a2+c2=b2+ac，再把此式代入通分后所求的分式中，可求其值等于1．【解答】解：过A点作AD⊥BC于D，在Rt△BDA中，由于∠B=60°，∴DB=，AD=c，在Rt△ADC中，DC2=AC2﹣AD2，∴（a﹣）2=b2﹣c2，即a2+c2=b2+ac，∴．故选：C．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值、勾股定理的内容．在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．注意作辅助线构造直角三角形是解题的好方法．4．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，tan∠BAC=2，A（0，a），B（b，0），点C在第二象限，BC与y轴交于点D（0，c），若y轴平分∠BAC，则点C的坐标不能表示为（）A．（b+2a，2b）B．（﹣b﹣2c，2b）C．（﹣b﹣c，﹣2a﹣2c）D．（a﹣c，﹣2a﹣2c）【分析】作CH⊥x轴于H，AC交OH于F．由△CBH∽△BAO，推出===2，推出BH=﹣2a，CH=2b，推出C（b+2a，2b），由题意可证△CHF∽△BOD，可得=，推出=，推出FH=2c，可得C（﹣b﹣2c，2b），因为2c+2b=﹣2a，推出2b=﹣2a﹣2c，b=﹣a﹣c，可得C（a﹣c，﹣2a﹣2c），由此即可判断；【解答】解：作CH⊥x轴于H，AC交OH于F．∵tan∠BAC==2，∵∠CBH+∠ABH=90°，∠ABH+∠OAB=90°，∴∠CBH=∠BAO，∵∠CHB=∠AOB=90°，∴△CBH∽△BAO，∴===2，∴BH=﹣2a，CH=2b，∴C（b+2a，2b），由题意可证△CHF∽△BOD，∴=，∴=，∴FH=2c，∴C（﹣b﹣2c，2b），∵2c+2b=﹣2a，∴2b=﹣2a﹣2c，b=﹣a﹣c，∴C（a﹣c，﹣2a﹣2c），故选：C．【点评】本题考查解直角三角形、坐标与图形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．5．如图，△ABC中，∠A=30°，，AC=，则AB的长为（）A．B．C．5D．【分析】作CD⊥AB于D，构造两个直角三角形．根据锐角三角函数求得CD、AD的长，再根据锐角三角函数求得BD的长，从而求得AB的长．【解答】解：作CD⊥AB于D．在直角三角形ACD中，∠A=30°，AC=，∴CD=，AD=3．在直角三角形BCD中，，∴BD==2．∴AB=AD+BD=5．故选：C．【点评】巧妙构造直角三角形，熟练运用锐角三角函数的知识求解．6．如图，长方形ABCD中，AB=2，BC=3；E是AB的中点，F是BC上的一点，且CF=BC，则图中线段AC与EF之间的最短距离是（）A．0.5B．C．1D．【分析】过F作FG⊥AC于G，然后连接AF，根据△ACF和△ABC底和高的比例可得出△ACF的面积，然后根据S ACF=AC×FG可求出FG的长，继而得出了答案．【解答】解：过F作FG⊥AC于G，连接AF，可得：△ACF和△ABC底之比为1：3；高之比为1：1；∴△ACF和△ABC的面积之比为1：3，又∵AB=2，BC=3，∴S△ABC=3，S△ACF=1，又∵S△ACF=AC×FG，∴FG=．故选：D．【点评】本题考查了解直角三角形的知识，难度较大，首先要判断出FG可表示最短距离，然后解答本题关键的一步是利用底与高的关系求出△AFC的面积．7．如图，为了测量河对岸l1上两棵古树A、B之间的距离，某数学兴趣小组在河这边沿着与AB 平行的直线l2上取C、D两点，测得∠ACB=15°，∠ACD=45°，若l1、l2之间的距离为50m，则A、B之间的距离为（）A．50m B．25m C．（50﹣）m D．（50﹣25）m【分析】如图，过点A作AM⊥DC于点M，过点B作BN⊥DC于点N．则AM=BN．通过解直角△ACM和△BCN分别求得CM、CN的长度，则易得MN=AB．【解答】解：如图，过点A作AM⊥DC于点M，过点B作BN⊥DC于点N．则AB=MN，AM=BN．在直角△ACM，∵∠ACM=45°，AM=50m，∴CM=AM=50m．∵在直角△BCN中，∠BCN=∠ACB+∠ACD=60°，BN=50m，∴CN=（m），∴MN=CM﹣CN=50﹣（m）．则AB=MN=（50﹣）m．故选：C．【点评】本题考查了解直角三角形的应用．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．8．如图1是一种雪球夹，通过一个固定夹体和一个活动夹体的配合巧妙完成夹雪、投雪的操作，不需人手直接接触雪，使用方便，深受小朋友的喜爱．图2是其简化结构图，当雪球夹闭合时，测得∠AOB=60°，OA=OB=14cm，则此款雪球夹从O到直径AB的距离为（）A．14cm B．14cm C．7cm D．7cm【分析】根据OA=OB，可知△AOB是等腰三角形，作OG⊥AB于点G，从而可以得到AG=BG，∠AOB=2∠AOG，从而可以得到OG的长．【解答】解：作OG⊥AB于点G，∵OA=OB=14厘米，∠AOB=60°，∴∠AOG=∠BOG=30°，AG=BG，∴OG=OA?cos30°=7厘米，故选：D．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用锐角三角函数解答．9．今年，重庆被“抖音”抖成了“网红城市”，其中解放碑的游客数量明显高于去年同期，如图，小冉和小田决定用所学知识测量解放碑AB的高度，按照以下方式合作并记录所得数据：小冉从大厦DG的底端D点出发，沿直线步行10.2米到达E点，再沿坡度i=1：2.4的斜坡EF 行走5.2米到达F点，最后沿直线步行30米到达解放碑底部B点，小田从大厦DG的底端乘直行电梯上行到离D点51.5米的顶端G点，从G点观测到解放碑顶端A点的俯角为26°，若A，B，C，D，E，F，G在同一平面内，且B，F和C，E，D分别在同一水平线上，则解放碑≈0.44，cos26°≈.90，tan26°AB的高度约为（）米．（精确到0.1米，参考数据：sin26°≈0.49）A．29.0B．28.5C．27.5D．27.0【分析】作GH⊥BA于H，FM⊥CD于M．想办法求出BC、AH即可解决问题；【解答】解：作GH⊥BA于H，FM⊥CD于M．则四边形BCMF，四边形CDGH是矩形．在Rt△FEM中，FM：EM=1：2.4，EF=5.2m，∴FM=BC=2m，EM=4.8m，CM=BF=30m，∴CD=CM+EM+DE=45m，∴GH=CD=45m，在Rt△AGH中，AH=GH?tan26°≈22.05m，∵CH=DG=51.5m，∴AB=CH﹣BC﹣AH=51.5﹣2﹣22.05≈27.5（m），故选：C．【点评】本题考查解直角三角形﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．10．位于南开（融侨）中学旁边的“转转桥”是重庆市网红景点之一，在桥下人形天桥（如图1），其平面图如图2所示，天桥入口D点有一台阶DC，CD=0.5米，其坡度为i=1：0.75，在DC 上方有一平层BC=1米，且BC与地面MN平行，在天桥顶端A点测得B点的俯角为63°，且AD⊥MN，为知道台阶AB的长度，请根据以上信息，帮小亮计算出台阶AB的长度，约为（）精确到0.1米，参考数据：sin63°≈0.90，cos63°≈0.45，tan63°≈2.00A．1.4米B．2.5米C．2.8米D．2.9米【分析】延长BC交AD于H．在Rt△DCH中，求出CH，再在Rt△ABH中求出AB即可；【解答】解：延长BC交AD于H．在Rt△CDH中，∵DH：CH=1：0.75，CD=0.5，∴DH=0.4，CH=0.3，∴BH=1.3，在Rt△ABH中，cos63°=，∴AB≈2.9（米），故选：D．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解仰角俯角的概念，理解坡度坡角的定义，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．11．如图，禁止捕鱼期间，某海上稽查队在某海域巡逻，上午某一时刻在A处接到指挥部通知，在他们东北方向距离12海里的B处有一艘捕鱼船，正在沿南偏东75°方向以每小时10海里的速度航行，稽查队员立即乘坐巡逻船以每小时14海里的速度沿北偏东某一方向出发，在C 处成功拦截捕鱼船，则巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间是（）A．1小时B．2小时C．3小时D．4小时【分析】设巡逻船从出发到成功拦截所用时间为x小时，由题意得出∠ABC=120°，AB=12，BC=10x，AC=14x，过点A作AD⊥CB的延长线于点D，在Rt△ABD中，由三角函数得出BD、AD的长度，得出CD=10x+6．在Rt△ACD中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：设巡逻船从出发到成功拦截所用时间为x小时；如图所示，由题意得：∠ABC=45°+75°=120°，AB=12，BC=10x，AC=14x，过点A作AD⊥CB的延长线于点D，在Rt△ABD中，AB=12，∠ABD=45°+（90°﹣75°）=60°，∴BD=AB?cos60°＝AB=6，AD=AB?sin60°=6，∴CD=10x+6．在Rt△ACD中，由勾股定理得：，解得：（不合题意舍去）．答：巡逻船从出发到成功拦截所用时间为2小时．故选：B．【点评】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理、三角函数；由三角函数和勾股定理得出方程是解决问题的关键．12．如图，淇淇一家驾车从A地出发，沿着北偏东60°的方向行驶，到达B地后沿着南偏东50°的方向行驶来到C地，C地恰好位于A地正东方向上，则（）①B地在C地的北偏西50°方向上；②A地在B地的北偏西30°方向上；③cos∠BAC=；④∠ACB=50°．其中错误的是（）A．①②B．②④C．①③D．③④【分析】先根据题意画出图形，再根据平行线的性质及方向角的描述方法解答即可．【解答】解：如图所示，由题意可知，∠1=60°，∠4=50°，∴∠5=∠4=50°，即B在C处的北偏西50°，故①正确；∵∠2=60°，∴∠3+∠7=180°﹣60°=120°，即A在B处的北偏西120°，故②错误；∵∠1=∠2=60°，∴∠BAC=30°，∴cos∠BAC=，故③正确；∵∠6=90°﹣∠5=40°，即公路AC和BC的夹角是40°，故④错误．故选：B．【点评】本题考查的是方向角，解答此类题需要从运动的角度，正确画出方位角，再结合平行线的性质求解．二．填空题（共12小题）13．在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=4，sinA=，则斜边AB边上的高CD的长为【分析】作CD⊥AB于D，如图，在Rt△ACB中利用正弦的定义可计算出BC=，再利用勾股定理计算出AC=，然后利用面积法计算CD的长【解答】解：作CD⊥AB于D，如图，在Rt△ACB中，∵sinA==，∴BC=×4=，∴AC==，∵CD?AB=AC?BC，∴CD==，即斜边上的高为．故答案为：．【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．14．如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（2，1），则tanα的值是．【分析】根据正切函数是对边比邻边，可得答案．【解答】解：如图，tanα＝=故答案为：．【点评】本题考查了锐角三角函数，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．15．如图在方格纸中α，β，γ这三个角的大小关系是α=β＞γ．【分析】首先根据锐角三角函数的概念表示出tan∠1=，tan∠4=，进一步分析平行线，再根据平行线的性质进行分析．【解答】解：如图所示，tan∠1=，tan∠4=，故∠1=∠4．根据两直线平行，内错角相等，得∠3=∠2，于是∠1+∠2=∠3+∠4，即α=β．根据两直线平行，内错角相等，得∠4=∠5，又∠3＞∠6，故∠3+∠4＞∠5+∠6，即β＞γ．所以α=β＞γ．【点评】考查了平行线的性质及识图分析能力．从图中找出同位角、内错角和同旁内角、根据平行线的性质解答．16．若0°＜α＜90°，tanα=1，则sinα＝．【分析】由0°＜α＜90°、tanα=1知∠α=45°，据此可得sinα＝．【解答】解：∵0°＜α＜90°，tanα=1，∴∠α=45°，则sinα＝，故答案为：．【点评】本题主要考查特殊锐角三角函数值，解题的关键是熟记特殊锐角的三角函数值．17．△ABC中，∠C=90°，tanA=，则sinA+cosA=．【分析】根据tanA=和三角函数的定义画出图形，进而求出sinA和cosA的值，再求出sinA+cosA 的值．【解答】解：如图，∵tanA==，∴设AB=5x，则BC=4x，AC=3x，则有：sinA+cosA=+=+=，故答案为：．【点评】此题考查了锐角三角函数的定义，只要画出图形，即可将正弦、余弦、正切函数联系起来，进而得出结论．18．设α是锐角，如果tanα=2，那么cotα＝．【分析】根据一个角的余切等于它余角的正切，可得答案．【解答】解：由α是锐角，如果tanα=2，那么cotα＝，故答案为：．【点评】本题考查了同角三角函数关系，利用一个角的余切等于它余角的正切是解题关键．19．在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=，则cosB=．【分析】根据一个角的余弦等于它余角的正弦，可得答案．【解答】解：由∠C=90°，若sinA=，得cosB=sinA=，故答案为：．【点评】本题考查了互余两角的三角函数，利用一个角的余弦等于它余角的正弦是解题关键．20．已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，tanB=，则cosA=．【分析】根据正切的定义，可得直角边，根据勾股定理，可得斜边，根据余弦函数，可得答案．【解答】解：如图，由tanB=，得AC=4k，BC=3k，由勾股定理，得AB=5k，cosA===，故答案为：．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，利用正切的定义得出直角边是解题关键．21．计算：tan45°+=5；【分析】先代入三角函数值、计算算术平方根，再计算加法可得答案．【解答】解：tan45°+=1+4=5，故答案为：5．【点评】本题主要考查特殊锐角的三角函数值，解题的关键是熟记特殊锐角的三角函数值和算术平方根的定义．22．已知∠A是锐角，且tanA=，则∠A=30°．【分析】将特殊角的三角函数值代入求解．【解答】解：∵∠A是锐角，tanA=，∴∠A=30°．故答案为：30°．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．23．请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按所选的第一题记分．A．如图，半圆O的直径AE=4，点B，C，D均在半圆上，若AB=BC，CD=DE，连接OB，OD，则图中阴影部分的面积为π．≈ 2.47（精确到0.01）．B．用科学计算器计算：sin69°【分析】A．根据题意可知，图中阴影部分的面积等于扇形BOD的面积，根据扇形面积公式即可求解．B．直接使用科学计算器进行计算．【解答】解：A．∵AB=BC，CD=DE，∴=，=，∴+=+，∴∠BOD=90°，∴S阴影=S扇形OBD==π．B．sin69°≈2.47．故答案是：π；2.47．【点评】A．考查了扇形的面积计算及圆心角、弧之间的关系．解答本题的关键是得出阴影部分的面积等于扇形BOD的面积．B．考查了计算器的使用．24．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=42°，BC=3，则AC的长为8.16．（用科学计算器计算，结果精确到0.01）【分析】根据计算器的使用，可得答案．【解答】解：tan 42≈0.9004，=0.9004，AC≈8.16，故答案为：8.16．【点评】本题考查了计算器，正确使用计算器是解题关键．三．解答题（共26小题）25．如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE=3AE，试求sin∠ECM的值．【分析】依题意设AE=x，则BE=3x，BC=4x，AM=2x，CD=4x，先证明△CEM是直角三角形，再利用三角函数的定义求解．【解答】解：设AE=x，则BE=3x，BC=4x，AM=2x，CD=4x，∴EC==5x，EM==x，CM==2x，∴EM2+CM2=CE2，∴△CEM是直角三角形，∴sin∠ECM==．【点评】本题考查了锐角三角函数值的求法．关键是利用勾股定理的逆定理证明直角三角形，把问题转化到直角三角形中求解．26．计算：sin30°﹣cos45°+tan260°．【分析】将特殊角的三角函数值代入求值即可．【解答】解：原式=﹣×+×（）2=﹣+×3=1．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值．熟记特殊角的三角函数值即可解题，属于基础题型．﹣2cos45°．27．计算：2sin30°【分析】首先计算特殊角的三角函数，然后再计算乘法，后计算加减即可．【解答】解：原式=2×﹣2×=1﹣+2=1+．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数，关键是掌握30°、45°、60°角的各种三角函数值．28．计算：2cos230°+﹣sin60°．【分析】首先代入特殊角的三角函数值，然后再计算乘方，后算乘法，最后计算加减即可．【解答】解：原式=2×（）2+﹣，=+﹣，=3﹣．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，关键是掌握30°、45°、60°角的各种三角函数值．．29．计算：3tan30°+cos245°﹣sin60°【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．【解答】解：3tan30°+cos245°﹣sin60°==．【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．30．（1）计算与化简：cos60°?tan30°（2）因式分解：3a2﹣6a+3．【分析】（1）根据特殊角三角函数值，可得答案；（2）根据提公因式法、公式法，可得答案．【解答】解：（1）原式=×=；（2）3a2﹣6a+3=3（a2﹣2a+1）=3（a﹣1）2．【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键，分解因式要彻底，分解到不能分解为止．31．计算：tan260°﹣2sin30°﹣cos45°．【分析】将特殊角的三角函数值代入求解．【解答】解：原式=（）2﹣2×﹣×=3﹣1﹣1=1．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．32．计算：（3﹣π）0+﹣2cos60°．【分析】本题涉及实数运算、二次根式化简等多个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：原式=1+3﹣=3．【点评】本题考查实数的运算能力，解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．注意：负指数为正指数的倒数；任何非0数的0次幂等于1；绝对值的化简；二次根式的化简是根号下不能含有分母和能开方的数．33．如图，将△ABC沿着射线BC方向平移至△A'B'C'，使点A落在∠ACB的外角平分线CD上，连结AA′．（1）判断四边形ACC′Ａ的形状，并说明理由．（2）在△ABC中，∠B=90°，AB=24，cos∠BAC=，求CB的长．【分析】（1）根据平行四边形的判定定理（有一组对边平行且相等的四边形是平四边形）推知四边形ACC'A'是平行四边形．有一组邻边相等的平行四边形是菱形推知四边形ACC'A'是菱形．（2）通过解直角△ABC得到AC的长，利用勾股定理即可得到BC的长度．【解答】解：（1）四边形ACC'A'是菱形．理由如下：，由平移的性质得到：AC∥A′C′，且AC=A′C′则四边形ACC'A'是平行四边形．又∵CD平分∠ACB的外角，∴∠ACA′＝∠A'CC'，∵AA'∥BB'，∴∠C'CA'=∠AA'C，∴∠AA'C=∠ACA'，∴AA'=AC，∴四边形ACC'A'是菱形．（2）∵在△ABC中，∠B=90°，AB=24，cos∠BAC=，∴cos∠BAC==，即=，∴AC=26．∴由勾股定理知：BC===10．【点评】本题考查了平移的性质，解直角三角形，勾股定理以及菱形的判定与性质等知识点．把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．。

九年级下学期第28章《锐角三角函数》达标检测卷含答案

九年级下学期第28章《锐角三角函数》达标检测卷含答案

九年级下学期第28章《锐角三角函数》达标检测卷时间：100分钟 满分：120分 一、选择题(每题3分，共30分) 1．cos 45°的值为( ) A.12 B.22 C.32 D ．12．如图，CD 是Rt △ABC 斜边上的高．若AB ＝5，AC ＝3，则tan ∠BCD 为( )A.43B.34C.45D.35(第2题) (第4题) (第5题) (第6题) 3．在△ABC 中，若⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos A －12＋(1－tan B )2＝0，则∠C 的度数是( )A ．45°B ．60°C ．75°D ．105°4．如图，A ，B ，C 三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB 绕着点A 逆时针旋转得到△AC ′B ′，则tan B ′的值为( ) A.12B.13C.14D.245．课外活动小组测量学校旗杆的高度．如图，当太阳光线与地面成30°角时，测得旗杆AB 在地面上的影长BC 为24 m ，那么旗杆AB 的高度是( ) A ．12 mB ．8 3 mC ．24 mD ．24 3 m6．如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD ，坝顶宽10 m ，坝高12 m ，斜坡AB 的坡度i ＝1∶1.5，则坝底AD 的长度为( ) A ．26 mB ．28 mC ．30 mD ．46 m7．如图，长4 m 的楼梯AB 的倾斜角∠ABD 为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD 为45°，则调整后的楼梯AC 的长为( ) A ．2 3 mB ．2 6 mC ．(23－2)mD ．(26－2)m(第7题)(第8题)8．如图，过点C(－2，5)的直线AB分别交坐标轴于A(0，2)，B两点，则tan ∠OAB等于()A.25 B.23 C.52 D.329．如图，菱形ABCD的周长为20 cm，DE⊥AB，垂足为E，sin A＝35，则下列结论中正确的有()①DE＝3 cm；②BE＝1 cm；③菱形的面积为15 cm2；④BD＝210 cm.A．1个B．2个C．3个D．4个(第9题)(第10题) (第12题)10．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC＝30°，以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，分别以点A，D为圆心，AB的长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，则∠EAD的余弦值是()A.312 B.36 C.33 D.32二、填空题(每题3分，共24分)11．已知α为锐角，sin(α－20°)＝32，则α＝________.12．如图，若点A的坐标为(1，3)，则∠1＝________.13．已知锐角A的正弦sin A是一元二次方程2x2－7x＋3＝0的根，则sin A＝________．(第14题) (第15题) (第16题) (第18题)14．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AM 是BC 边上的中线，若sin ∠CAM ＝35，则tan B ＝________．15．如图，航拍无人机从A 处测得一幢建筑物顶部B 的仰角为30°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD 为90 m ，那么该建筑物的高度BC 约为________m(精确到1 m ，参考数据：3≈1.73)． 16．如图，在半径为3的⊙O 中，直径AB 与弦CD 相交于点E ，连接AC ，BD ，若AC ＝2，则tan D ＝________．17．△ABC 中，若AB ＝6，BC ＝8，∠B ＝120°，则△ABC 的面积为________． 18．在综合实践课上，小聪所在小组要测量一条河的宽度，如图，河岸EF ∥MN ，小聪在河岸MN 上点A 处用测角仪测得河对岸小树C 位于东北方向，然后沿河岸走了30 m ，到达B 处，测得河对岸电线杆D 位于北偏东30°方向，此时，其他同学测得CD ＝10 m ．请根据这些数据求出河的宽度为______________m. 三、解答题(19，21，24题每题12分，其余每题10分，共66分) 19．计算：(1)(－2)3＋16－2sin 30°＋(2 019－π)0；(2)sin 2 45°－cos 60°－cos 30°tan 45°＋2sin 2 60°·tan 60°.20．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.已知2a ＝3b，求∠B的正弦、余弦和正切值．21．如图，已知四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，AB＝6，CD＝4，BC的延长线与AD的延长线交于点E.(1)若∠A＝60°，求BC的长；(2)若sin A＝45，求AD的长．(第21题)22．数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现，一副三角尺中，含45°角的三角尺的斜边与含30°角的三角尺的长直角边相等，于是，小陆同学提出一个问题：如图，将一副三角尺直角顶点重合拼放在一起，点B，C，E在同一直线上，若BC＝2，求AF的长．请你运用所学的数学知识解决这个问题．(第22题)23．如图，天星山山脚下西端A处与东端B处相距800(1＋3)m，小军和小明同时分别从A处和B处向山顶C匀速行走．已知山的西端的坡角是45°，东端的坡角是30°，小军的行走速度为22m/s.若小明与小军同时到达山顶C处，则小明的行走速度是多少？(第23题)24．如图，小明想要测量学校食堂和食堂正前方一棵树的高度，他从食堂楼底M 处出发，向前走3 m到达A处，测得树顶端E的仰角为30°，他又继续走下台阶到达C处，测得树的顶端E的仰角是60°，再继续向前走到大树底D处，测得食堂楼顶N的仰角为45°.已知A点离地面的高度AB＝2 m，∠BCA＝30°，且B，C，D三点在同一直线上．求：(1)树DE的高度；(2)食堂MN的高度．(第24题)答案一、1. B 2. A 3. C 4. B 5. B 6. D7．B 8. B 9. C10．B 点拨：如图，设BC ＝x .在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，∠BAC ＝30°，∴AC ＝2BC ＝2x ，AB ＝3BC ＝3x .根据题意，得AD ＝BC ＝x ，AE ＝DE ＝AB ＝3x ，过点E 作EM ⊥AD 于点M ，则AM ＝12AD ＝12x .在Rt △AEM 中，cos ∠EAD ＝AM AE ＝12x3x＝36.(第10题)二、11. 80° 12. 60° 13. 12 14. 23 15. 20816．22 点拨：如图，连接BC ，易知∠D ＝∠A .∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°.∵AB ＝3×2＝6，AC ＝2，∴BC 2＝62－22＝32, ∴BC ＝4 2.∴tan D ＝tan A ＝BC AC ＝422＝2 2.(第16题)17．123 点拨：如图，过A 点作AD ⊥CB ，交CB 的延长线于点D ，则∠ABD ＝180°－120°＝60°.在Rt △ABD 中，AD ＝AB ·sin ∠ABD ＝6×32＝33，∴S △ABC ＝12AD ·BC ＝12×33×8＝12 3.(第17题)18．(30＋103)三、19.解：(1)原式＝－8＋4－2×12＋1＝－8＋4－1＋1＝－4；(2)原式＝(22)2－12－32＋2×(32)2×3＝ 3.20．解：由2a ＝3b ，可得a b ＝32.设a ＝3k (k ＞0)，则b ＝2k ，由勾股定理，得c ＝a 2＋b 2＝9k 2＋4k 2＝13k ，∴sin B ＝b c ＝2k 13k ＝21313，cos B ＝a c ＝3k 13k ＝31313，tan B ＝b a ＝2k 3k ＝23.21．解：(1)在Rt △ABE 中，∵∠A ＝60°，∠ABE ＝90°，AB ＝6，tan A ＝BEAB ，∴∠E ＝30°，BE ＝AB ·tan A ＝6×tan 60°＝6 3.在Rt △CDE 中，∵∠CDE ＝90°，CD ＝4，sin E ＝CDCE ，∠E ＝30°， ∴CE ＝CD sin E ＝412＝8.∴BC ＝BE －CE ＝63－8.(2)∵∠ABE ＝90°，AB ＝6，sin A ＝45＝BEAE ，∴可设BE ＝4x (x ＞0)，则AE ＝5x ，由勾股定理可得AB ＝3x ， ∴3x ＝6，解得x ＝2. ∴BE ＝8，AE ＝10.∴tan E ＝AB BE ＝68＝CD DE ＝4DE ， 解得DE ＝163.∴AD＝AE－DE ＝10－163＝143.22．解：在Rt△ABC中，BC＝2，∠A＝30°，∴AC＝BCtan A＝2 3.∴EF＝AC＝2 3.∵∠E＝45°，∴FC＝EF·sin E＝ 6.∴AF＝AC－FC＝23－ 6.23.解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，设AD＝x，小明的行走速度是a.(第23题)∵∠A＝45°，CD⊥AB，∴CD＝AD＝x，∴AC＝2x.在Rt△BCD中，∵∠B＝30°，∴BC＝CDsin 30°＝x12＝2x.∵小军的行走速度为22m/s，小明与小军同时到达山顶C处，∴2x22＝2xa，解得a＝1(m/s)．答：小明的行走速度是1 m/s. 24．解：(1)设DE＝x.∵AB＝DF＝2，∴EF＝DE－DF＝x－2.∵∠EAF＝30°，∴AF＝EFtan∠EAF＝x－233＝3(x－2)．又∵CD＝DEtan ∠DCE ＝x3＝33x，BC＝ABtan ∠ACB＝233＝23，∴BD＝BC＋CD＝23＋3 3x.由AF＝BD可得3(x－2)＝23＋33x，解得x＝6(m)．答：树DE的高度为6 m.(2)如图，延长N M交DB的延长线于点P，则AM＝B P＝3.(第24题)由(1)知CD＝33x＝33×6＝23，BC＝23，∴PD＝BP＋BC＋CD＝3＋23＋23＝3＋4 3. ∵∠NDP＝45°，∴NP＝PD＝3＋4 3.∵MP＝AB＝2，∴NM＝NP－MP＝3＋43－2＝1＋43(m)．答：食堂M N的高度为(1＋43)m.。

人教版九年级数学下册《第28章锐角三角函数》单元测试卷(含答案)

人教版九年级数学下册《第28章锐角三角函数》单元测试卷(含答案)

新人教版九年级下《第28章锐角三角函数》单元测试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.sin60°的值等于（）A. B. C. D.2.已知α为锐角，sin（α-20°）=，则α=（）A. B. C. D.3.在正方形网格中，∠α的位置如图所示，则tanα的值是（）A.B.C.D. 24.在△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，下列各式成立的是（）A. B. C. D.5.在Rt△ABC中，各边都扩大5倍，则角A的三角函数值（）A. 不变B. 扩大5倍C. 缩小5倍D. 不能确定6.在△ABC中，∠C=90°，tan A=，则cos A的值为（）A. B. C. D.7.在△ABC中，∠A=120°，AB=4，AC=2，则sin B的值是（）A. B. C. D.8.如图，山顶一铁塔AB在阳光下的投影CD的长为6米，此时太阳光与地面的夹角∠ACD=60°，则铁塔AB的高为（）A. 3米B. 米C. 米D. 米9.坡度等于1：的斜坡的坡角等于（）A. B. C. D.10.济南大明湖畔的“超然楼”被称作“江北第一楼”，某校数学社团的同学对超然楼的高度进行了测量，如图，他们在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往楼的方向前进60m至B处，测得仰角为60°，若学生的身高忽略不计，≈1.7，结果精确到1m，则该楼的高度CD为（）A. 47mB. 51mC. 53mD. 54m二、填空题（本大题共7小题，共26.0分）11.求值：sin60°-tan30°= ______ ．12.如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=5，AB=10，则∠A= ______ 度．13.如图，∠AOB放置在正方形网格中，则cos∠AOB的值为______ ．14.△ABC中，∠C=90°，斜边上的中线CD=6，sin A=，则S△ABC= ______ ．15.如图，身高1.6m的小丽用一个两锐角分别为30°和60°的三角尺测量一棵树的高度，已知她与树之间的距离为6m，那么这棵树高为（其中小丽眼睛距离地面高度近似为身高）______ ．16.在我们生活中通常用两种方法来确定物体的位置．如小岛A在码头O的南偏东60°方向的14千米处，若以码头O为坐标原点，正东方向为x轴的正方向，正北方向为y轴的正方向，1千米为单位长度建立平面直角坐标系，则小岛A也可表示成______ ．17.如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=1，AB=2，则sin A= ______ ．三、解答题（本大题共7小题，共64.0分）18.已知α为一锐角，sinα=，求cosα，tanα．19.如图，已知AC=4，求AB和BC的长．20.如图所示，把一张长方形卡片ABCD放在每格宽度为12mm的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知∠α=36°，求长方形卡片的周长．（精确到1mm）（参考数据：sin36°≈0.60，cos36°≈0.80，tan36°≈0.75）21.如图是某货站传送货物的平面示意图．为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°．已知原传送带AB长为4米．求新传送带AC的长度．22.某校一栋教学大楼的顶部竖有一块“传承文明，启智求真”的宣传牌CD．小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为45°，沿山坡向上走到B处测得宣传牌底部C的仰角为30°．已知山坡AB的坡度i=1：，AB=10米，AE=15米，求这块宣传牌CD的高度．23.如图，在一笔直的海岸线上有A，B两个观测站，A观测站在B观测站的正东方向，有一艘小船在点P处，从A处测得小船在北偏西60°方向，从B处测得小船在北偏东45°的方向，点P到点B的距离是3千米．（注：结果有根号的保留根号）（1）求A，B两观测站之间的距离；（2）小船从点P处沿射线AP的方向以千米/时的速度进行沿途考察，航行一段时间后到达点C处，此时，从B测得小船在北偏西15°方向，求小船沿途考察的时间．24.如图，某办公楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，办公楼在建筑物的墙上留下高2米的影子CE，而当光线与地面夹角是45°时，办公楼顶A在地面上的影子F与墙角C有25米的距离（B，F，C在一条直线上）．（1）求办公楼AB的高度；（2）若要在A，E之间挂一些彩旗，请你求出A，E之间的距离．（参考数据：sin22°≈，cos22°，tan22）答案和解析1.【答案】C【解析】解：sin60°=．故选：C．根据特殊角的三角函数值直接解答即可．此题考查了特殊角的三角函数值，是需要识记的内容，要注意积累．2.【答案】D【解析】解：∵α为锐角，sin（α-20°）=，∴α-20°=60°，∴α=80°，故选D．根据特殊角的三角函数值直接解答即可．本题考查的是特殊角的三角函数值，属较简单题目．3.【答案】D【解析】解：由图可得，tanα=2÷1=2．故选D．此题可以根据“角的正切值=对边÷邻边”求解即可．本题考查了锐角三角函数的定义，正确理解正切值的含义是解决此题的关键．4.【答案】D【解析】解：A、∵sinB=，∴b=c•sinB，故选项错误；B、∵cosB=，∴a=c•cosB，故选项错误；C、∵tanB=，∴a=，故选项错误；D、∵tanB=，∴b=a•tanB，故选项正确．故选D．根据三角函数的定义即可判断．本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．5.【答案】A【解析】解：∵各边都扩大5倍，∴新三角形与原三角形的对应边的比为5：1，∴两三角形相似，∴∠A的三角函数值不变，故选：A．易得边长扩大后的三角形与原三角形相似，那么对应角相等，相应的三角函数值不变．用到的知识点为：三边对应成比例，两三角形相似；相似三角形的对应角相等．三角函数值只与角的大小有关，与角的边的长短无关．6.【答案】D【解析】解：如图，∵tanA==，∴设BC=x，则AC=3x，∴AB==x，∴cosA===．故选D．根据正切的定义得到tanA==，于是可设BC=x，则AC=3x，根据勾股定理计算出AB，然后利用余弦的定义求解．本题考查了三角形函数的定义：在三角形三角形中，一锐角的余弦等于它的邻边与斜边的比值；这个锐角的正切等于它的对边与邻边的比值．也考查了勾股定理．7.【答案】B【解析】解：延长BA过点C作CD⊥BA延长线于点D，∵∠CAB=120°，∴∠DAC=60°，∴∠ACD=30°，∵AB=4，AC=2，∴AD=1，CD=，BD=5，∴BC==2，∴sinB===．故选：B．首先延长BA过点C作CD⊥BA延长线于点D，进而得出AD，CD，BC的长，再利用锐角三角函数关系求出即可．此题主要考查了解直角三角形，作出正确辅助线构造直角三角形是解题关键．8.【答案】B【解析】解：设直线AB与CD的交点为点O．∴．∴AB=．∵∠ACD=60°．∴∠BDO=60°．在Rt△BDO中，tan60°=．∵CD=6．∴AB==6．故选：B．依据平行于三角形一边的直线截其他两边所得的线段对应成比例及60°的正切值联立求解．本题主要考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是根据实际问题抽象出几何图形．解：坡角α，则tanα=1：，则α=30°．故选A．根据坡度就是坡角的正切值即可求解．本题主要考查了坡度的定义，理解坡度和坡角的关系是解题的关键．10.【答案】B【解析】解：根据题意得：∠A=30°，∠DBC=60°，DC⊥AC，∴∠ADB=∠DBC-∠A=30°，∴∠ADB=∠A=30°，∴BD=AB=60m，∴CD=BD•sin60°=60×=30≈51（m）．故选：B．由题意易得：∠A=30°，∠DBC=60°，DC⊥AC，即可证得△ABD是等腰三角形，然后利用三角函数，求得答案．此题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题．注意证得△ABD是等腰三角形，利用特殊角的三角函数值求解是关键．11.【答案】【解析】解：原式=-=-=．故答案为．根据sin60°=，tan30°=得到原式=-，然后通分合并即可．本题考查了特殊角的三角函数值：sin60°=，tan30°=．也考查了二次根式的运算．解：∵∠C=90°，AC=5，AB=10，∴cosA===，∴∠A=30°，故答案为：30°．根据条件求出，即可得到cos∠A的值，再根据特殊角的三角函数值求出∠A的度数．此题主要考查了锐角三角函数定义，以及特殊角的三角函数值，解决此题的关键是求出cosA．13.【答案】【解析】解：将∠AOB放在一直角三角形中，邻边为1，对边为2，由勾股定理得斜边，则cos∠AOB的值==．根据余弦的定义，cos∠AOB等于邻边比斜边，可以求得cos∠AOB的值．本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的余弦为邻边比斜边．14.【答案】【解析】解：在Rt△ABC中，∵斜边上的中线CD=6，∴AB=12．∵sinA==，∴BC=4，AC==8．∴S△ABC=AC•BC=16．根据直角三角形中斜边上的中线为斜边的一半可求出AB；根据三角函数的定义求出AC，根据面积公式解答．本题利用了直角三角形的性质：直角三角形中斜边上的中线为斜边的一半和锐角三角函数的概念求解．15.【答案】（2+1.6）m【解析】解：由题意得：AD=6m，在Rt△ACD中，tanA==∴CD=2，又AB=1.6m∴CE=CD+DE=CD+AB=2+1.6，所以树的高度为（2+1.6）m．已知小丽与树之间的距离为6m即AD=7m，可由直角三角形ACD及三角函数的关系可求出CD 的长度，再由AB=1.6m可得出树的高度．本题考查解直角三角形的应用，要注意利用已知线段及三角函数关系求未知线段．16.【答案】，【解析】解：过点A作AC⊥x轴于C．在直角△OAC中，∠AOC=90°-60°=30°，OA=14千米，则AC=OA=7千米，OC=7千米．因而小岛A所在位置的坐标是（7，-7）．故答案为：（7，-7）．过点A作AC⊥x轴于C，根据已知可求得小岛A的坐标．本题主要考查了解直角三角形的应用-方向角问题，正确记忆三角函数的定义是解决本题的关键．17.【答案】【解析】【分析】本题考查了锐角的三角函数值的定义，理解定义是关键.利用锐角三角函数的定义求解.【解答】解：sinA==.故答案为.18.【答案】解：由sinα==，设a=4x，c=5x，则b==3x，故cosα==，tanα==．【解析】根据sinα=，设出关于两边的代数表达式，再根据勾股定理求出第三边长的表达式即可推出cosα的值，同理可得tanα的值．本题考查了同角三角函数的关系，求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．19.【答案】解：作CD⊥AB于点D，在Rt△ACD中，∵∠A=30°，∴∠ACD=90°-∠A=60°，CD=AC=2，AD=AC•cos A=2．在Rt△CDB中，∵∠DCB=∠ACB-∠ACD=45°，∴BD=CD=2，∴BC=2，∴AB=AD+BD=2+2．【解析】作CD⊥AB于点D，根据三角函数的定义在Rt△ACD中，在Rt△CDB中，即可求出CD，AD，BD，从而求解．本题考查了解直角三角形，作出辅助线是解题的关键，难度中等．20.【答案】解：作BE⊥l于点E，DF⊥l于点F．∵∠ ∠ ，∠ ∠ ，∴∠根据题意，得BE=24mm，DF=48mm．在Rt△ABE中，sin，∴mm在Rt△ADF中，cos∠ ，∴mm．∴矩形ABCD的周长=2（40+60）=200mm．【解析】作BE⊥l于点E，DF⊥l于点F，求∠ADF的度数，在Rt△ABE中，可以求得AB的值，在Rt△ADF中，可以求得AD的值，即可计算矩形ABCD的周长，即可解题．本题考查了矩形对边相等的性质，直角三角形中三角函数的应用，锐角三角函数值的计算．21.【答案】解：在Rt△ABD中，AD=AB sin45°=4×=4．在Rt△ACD中，∵∠ACD=30°，∴AC=2AD=8．答：新传送带AC的长度约为8米．【解析】根据正弦的定义求出AD，根据直角三角形的性质解答即可．本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．22.【答案】解：过B作BF⊥AE，交EA的延长线于F，作BG⊥DE于G．在Rt△ABF中，i=tan∠BAF==，∴∠BAF=30°，∴BF=AB=5，AF=5．∴BG=AF+AE=5+15．在Rt△BGC中，∵∠CBG=30°，∴CG：BG=，∴CG=5+5．在Rt△ADE中，∠DAE=45°，AE=15，∴DE=AE=15，∴CD=CG+GE-DE=5+5+5-15=（5-5）m．答：宣传牌CD高约（5-5）米．【解析】过B分别作AE、DE的垂线，设垂足为F、G．分别在Rt△ABF和Rt△ADE中，通过解直角三角形求出BF、AF、DE的长，进而可求出EF即BG的长；在Rt△CBG中，∠CBG=30°，求出CG的长；根据CD=CG+GE-DE即可求出宣传牌的高度．此题综合考查了仰角、坡度的定义，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键．23.【答案】解：（1）如图，过点P作PD⊥AB于点D．在Rt△PBD中，∠BDP=90°，∠PBD=90°-45°=45°，∴BD=PD=3千米．在Rt△PAD中，∠ADP=90°，∠PAD=90°-60°=30°，∴AD=PD=3千米，PA=6千米．∴AB=BD+AD=3+3（千米）；（2）如图，过点B作BF⊥AC于点F．根据题意得：∠ABC=105°，在Rt△ABF中，∠AFB=90°，∠BAF=30°，∴BF=AB=千米，AF=AB=+3 千米．在△ABC中，∠C=180°-∠BAC-∠ABC=45°．在Rt△BCF中，∠BFC=90°，∠C=45°，∴CF=BF=千米，∴PC=AF+CF-AP=3千米．故小船沿途考察的时间为：3÷=3（小时）．【解析】（1）过点P作PD⊥AB于点D，先解Rt△PBD，得到BD和PD的长，再解Rt△PAD，得到AD和AP 的长，然后根据BD+AD=AB，即可求解；（2）过点B作BF⊥AC于点F，先解Rt△ABF，得出BF和AF的长，再解Rt△BCF，得出CF的长，可求PC=AF+CF-AP，从而求解．本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，难度适中．通过作辅助线，构造直角三角形是解题的关键．24.【答案】解：（1）如图，过点E作EM⊥AB，垂足为M．设AB为x．Rt△ABF中，∠AFB=45°，∴BF=AB=x，∴BC=BF+FC=x+25，在Rt△AEM中，∠AEM=22°，AM=AB-BM=AB-CE=x-2，tan22°=，则=，解得：x=20．即教学楼的高20m．（2）由（1）可得ME=BC=x+25=20+25=45．在Rt△AME中，cos22°=．∴AE=，即A、E之间的距离约为48m【解析】（1）首先构造直角三角形△AEM，利用tan22°=，求出即可；（2）利用Rt△AME中，cos22°=，求出AE即可此题主要考查了解直角三角形的应用，根据已知得出tan22°=是解题关键。

人教版九年级下数学第28章锐角三角函数质量评估试卷(含答案)

人教版九年级下数学第28章锐角三角函数质量评估试卷(含答案)

人教版九年级下数学第28章锐角三角函数质量评估试卷（含答案） 一、选择题(每小题3分，共30分)1．如图1，在直角坐标系中，P 是第一象限内的点，其坐标是(3，m )，且OP 与x 轴正半轴的夹角α的正切值是43，则sin α的值为( )图1A.45B.54C.35D.532．下列各数：13，π，38，cos 60°，0，3，其中无理数的个数是( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个3．在等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝10 cm ，BC ＝12 cm ，则cos A2的值是( ) A.45 B.35 C.34D.544．如图2，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD ，坝顶宽10 m ，坝高12 m ，斜坡AB 的坡度i ＝1∶1.5，则坝底AD 的长度为( )图2A ．26 mB ．28 mC ．30 mD ．46 m5．如图3，一个斜坡长130 m ，坡顶离水平地面的距离为50 m ，那么这个斜坡与水平地面夹角的正切值等于( )图3A. 513B.1213C.512D.13126．点M (－sin 60°，cos 60°)关于x 轴对称的点的坐标是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 【解析】 ∵sin 60°＝32，cos 60°＝12，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12关于x 轴对称的点的坐标为M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12.7．[2017·温州]如图4，一辆小车沿倾斜角为cos α＝1213的斜坡向上行驶13 m ，则小车上升的高度是( )图4A ．5 mB ．6 mC ．6.5 mD ．12 m8．如图5，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sin A 的值为( )图5A.12B.55C.1010 D.2559．如图6，厂房屋顶人字形(等腰三角形)钢架的跨度BC＝10 m，∠B＝36°，则中柱AD(D为底边中点)的长是()图6A．5sin 36° m B．5cos 36° mC．5tan 36° m D．10tan 36° m10．[2016·苏州]如图7，长4 m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后的楼梯AC的长为()图7A．2 3 m B．2 6 mC．(23－2) m D．(26－2) m【解析】在Rt△ABD中，∵sin ∠ABD＝AD AB，∴AD＝4sin 60°＝2 3 m，在Rt△ACD中，∵sin ∠ACD＝AD AC，∴AC＝23sin 45°＝2 6 m.二、填空题(每小题4分，共24分)11．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，sin A＝13，则AB＝_______.12．为加强防汛工作，某市对一拦水坝进行加固．如图8，加固前拦水坝的横断面是梯形ABCD，已知迎水坡面AB＝12 m，背水坡面CD＝12 3 m，∠B＝60°，加固后拦水坝的横断面为梯形ABED ，tan E ＝3133，则CE 的长为_________m.图813．如图9所示，为了测量出一垂直水平地面的某高大建筑物AB 的高度，一测量人员在该建筑物附近C 处，测得建筑物顶端A 处的仰角大小为45°，随后沿直线BC 向前走了100 m 后到达D 处，在D 处测得A 处的仰角大小为30°，则建筑物AB 的高度约为 137 m ．(注：不计测量人员的身高，结果按四舍五入保留整数，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)图914．在△ABC 中，如果∠A ，∠B 满足||tan A －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫cos B －122＝0，那么∠C＝__________.15．如图10，AB 是⊙O 的直径，AB ＝15，AC ＝9，则tan ∠ADC ＝_________.图1016．如图11，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，垂足是E ，DE ＝6，sin A ＝35，菱形ABCD 的周长是______.图11三、解答题(共66分)17．(10分)计算：(1)2sin 30°＋cos 60°－tan 60°·tan 30°＋cos2 45°；(2)sin 30°1＋cos 30°＋tan 45°tan 30°.18．(10分)已知△ABC中，∠C＝90°.(1)已知c＝83，∠A＝60°，求∠B，a，b；(2)已知a＝36，∠A＝30°，求∠B，b，c.19．(10分)如图12，线段AB，CD分别表示甲、乙两建筑物的高，BA⊥AD，CD⊥DA，垂足分别为A，D.从D点测得B点的仰角α为60°，从C点测得B点的仰角β为30°，甲建筑物的高AB＝30 m.图12(1)求甲、乙两建筑物之间的距离AD；(2)求乙建筑物的高CD.20．(12分)如图13，海中一渔船在A处且与小岛C相距70海里，若该渔船由西向东航行30海里到达B处，此时测得小岛C位于B的北偏东30°方向上，求该渔船此时与小岛C之间的距离．图1321．(12分)如图14，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，OD∥BC交⊙O于点D ，交AC 于点E ，连接AD ，BD ，CD.图14(1)求证：AD ＝CD ；(2)若AB ＝10，cos ∠ABC ＝35，求tan ∠DBC 的值．22．(12分)在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即asin A ＝b sin B ＝csin C ，利用上述结论可以求解如下题目，如：在△ABC 中，若∠A ＝45°，∠B ＝30°，a ＝6，求b .解：在△ABC 中，∵a sin A ＝bsin B ， ∴b ＝a sin B sin A ＝6sin 30°sin 45°＝6×1222＝3 2.问题解决：如图15，甲船以每小时30 2 海里的速度向正北方航行，当甲船位于A 1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B 1处，且乙船从B 1处按北偏东15°方向匀速直线航行，当甲船航行20分钟后到达A 2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距10 2 海里．图15(1)判断△A1A2B2的形状，并给出证明．(2)乙船每小时航行多少海里？参考答案1.A2.B3.A4.D5.C6.B7.A8.B9.C10.B11.612.813.13714.75°15.3416.4017. 解：(1)原式＝2×12＋12－3×33＋⎝⎛⎭⎪⎫222＝1＋12－1＋12＝1；(2)原式＝121＋32＋133＝12＋3＋3＝2. 18. 解：(1)∠B ＝90°－∠A ＝90°－60°＝30°， a ＝c sin A ＝c sin 60°＝83×32＝12， b ＝c cos A ＝c cos 60°＝83×12＝43； (2)∠B ＝90°－∠A ＝90°－30°＝60°， c ＝a sin A ＝a sin 30°＝3612＝66，b ＝a tan A ＝a tan 30°＝3633＝9 2.19. 解：(1)根据题意得，在Rt △ABD 中， ∠BDA ＝∠α＝60°，AB ＝30 m ， ∴AD ＝AB tan 60°＝303＝10 3 m ，答：甲、乙两建筑物之间的距离AD 为10 3m. (2)如答图，过点C 作CE ⊥AB 于点E .第19题答图根据题意，得∠BCE ＝∠β＝30°，CE ＝AD ＝103，CD ＝AE . 在Rt △BEC 中，tan ∠BCE ＝BE CE ， ∴tan 30°＝BE103， ∴BE ＝10 m ，∴CD ＝AE ＝AB －BE ＝30－10＝20 m.答：乙建筑物的高CD 为20 m.20. 解：如答图，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，由题意得：第20题答图∠BCD ＝30°，设BC ＝x ，在Rt △BCD 中，BD ＝BC sin 30°＝12x ， CD ＝BC cos 30°＝32x ， ∴AD ＝30＋12x ，∴在Rt △ACD 中，AD 2＋CD 2＝AC 2， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫30＋x 22＋⎝⎛⎭⎪⎫3x 22＝702， 解得：x 1＝50，x 2＝－80(舍去)．答：渔船此时与C 岛之间的距离为50海里．21. (1)证明：∵AB 为⊙O 直径，∴∠ACB ＝90°， 又∵OD ∥BC ，∴∠AEO ＝∠ACB ＝90°， ∴OD ⊥AC .∴AD ＝CD .∴AD ＝CD ， (2)解：∵AB ＝10， ∴OA ＝OD ＝12AB ＝5，∵OD ∥BC ，∴∠AOE ＝∠ABC ， 在Rt △AEO 中，OE ＝OA cos ∠AOE ＝OA cos ∠ABC ＝5×35＝3， ∴DE ＝OD －OE ＝5－3＝2，由勾股定理得，AE ＝AO 2－OE 2＝52－32＝4，在Rt△AED中，tan ∠DAE＝DEAE＝24＝12，又∵∠DBC＝∠DAE，∴tan ∠DBC＝1 2.22. 解：(1)△A1A2B2是等边三角形．证明：由已知A2B2＝102，A1A2＝302×2060＝102，∴A1A2＝A2B2，又∠A1A2B2＝180°－120°＝60°，∴△A1A2B2是等边三角形．(2)∵△A1A2B2是等边三角形，∴A1B2＝A1A2＝102，由已知∠CB1A1＝180°－105°＝75°，∴∠B2B1A1＝75°－15°＝60°，又∠B1A1B2＝105°－60°＝45°，在△A1B2B1中，由正弦定理得：B1B2sin 45°＝A1B2sin 60°，B1B2＝A1B2sin 60°·sin 45°＝10232·22＝2033.因此，乙船的速度大小为2033×6020＝20 3 (海里/小时)．答：乙船每小时航行20 3 海里．人教版数学九年级下册第二十八章锐角三角函数单元提优训练人教版数学九年级下册第二十八章锐角三角函数单元提优训练一、选择题1.在中，，，，则AC等于（B）.A. 18B. 2C.D.2.某楼梯的侧面如图所示，已测得BC的长约为3.5米，∠BCA约为29°，则该楼梯的高度AB可表示为( B )A．3.5sin29° B．3.5cos29° C．3.5tan29° D．3.5 cos29°3. 在Rt△ABC，∠ACB＝90°，BC＝1，AB＝2，则下列结论正确的是( C )A．sinA＝32B．tanA＝12C.cosA＝32D．以上都不对4.如图K－16－3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，则下列结论不正确的是(C )图K－16－3A．sinB＝ADABB．sinB＝ACBCC．sinB＝ADACD．sinB＝CDAC5.已知一棵树的影长是30m，同一时刻一根长1.5m的标杆的影长为3m，则这棵树的高度是（A）．A. 15mB. 60mC. 20mD.6. 如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知cosα＝1213，则小车上升的高度是( B )A．5米 B．6米 C．6.5米 D．12米7. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝1，则cosB的值为( B )A.154B．14C.1515D．417178.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝1，则cosB的值为( A )A.154B.14C.1515D.417179.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B的对边分别是a、b，且满足a2-ab-b2=0，则tan A等于（ B ）A. 1B.C.D.10.如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB 的坡度i＝1∶1.5，则坝底AD的长度为( D )A．26米 B．28米 C.30米 D．46米二、填空题11.如图，在菱形ABCD中，AE⊥DC于E，AE=8cm，sin D=，则菱形ABCD的面积是______．【答案】96cm212.如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部(点O)20米的A处，则小明的影子AM长为_____米．【答案】513.△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，cosA＝34，则BC的长______.【答案】 2714.已知对任意锐角α，β均有cos(α＋β)＝cosα·cosβ－sinα·sinβ，则cos75°＝________．【答案】6－2 415．如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34°的斜坡，从A滑行至B，已知AB ＝500米，则这名滑雪运动员的高度下降_______米(参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67)．【答案】280三、解答题16.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是BC边上一点，AC=2，CD=1，设∠CAD=a．（1）求sin a、cos a、t a na的值；（2）若∠B=∠CAD，求BD的长．解：在Rt△ACD中，∵AC=2，DC=1，∴AD==．（1）sinα===，cosα===，tanα==；（2）在Rt△ABC中，tan B=，即tanα==，∴BC=4，∴BD=BC-CD=4-1=3．17. 如图，MN表示一段笔直的高架道路，线段AB表示高架道路旁的一排居民楼，已知点A到MN的距离为15米，BA的延长线与MN相交于点D，且∠BDN＝30°，假设汽车在高速道路上行驶时，周围39米以内会受到噪音(XRS)的影响．(1)过点A作MN的垂线，垂足为点H，如果汽车沿着从M到N的方向在MN上行驶，当汽车到达点P处时，噪音开始影响这一排的居民楼，那么此时汽车与点H 的距离为多少米？(2)降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板，当汽车行驶到点Q时，它与这一排居民楼的距离QC为39米，那么对于这一排居民楼，高架道路旁安装的隔音板至少需要多少米长(精确到1米)(参考数据：3≈1.7)?解：(1)连接AP，由题意得AH⊥MN，AH＝15，AP＝39，在Rt△APH中，由勾股定理得PH＝36.答：此时汽车与点H的距离为36米；(2)由题意可知，PQ段高架道路旁需要安装隔音板，QC⊥AB，∠QDC＝30°，QC ＝39.在Rt△DCQ中，DQ＝2QC＝78，在Rt△ADH中，DH＝AH·cot30°＝15 3.∴PQ＝PH－DH＋DQ≈114－15×1.7＝88.5≈89(米)。

人教版九年级数学下册第28章《锐角三角函数》单元测试【含答案】

人教版九年级数学下册第28章《锐角三角函数》单元测试【含答案】

人教版九年级数学下册第28章《锐角三角函数》单元测试一．选择题（共10小题，满分30分）1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cos A＝（ ）A．B．C．D．2．在边长相等的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上（ ）A．B．C．D．3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，那么tan B的值是（ ）A．B．C．D．4．∠β为锐角，且2cosβ﹣1＝0，则∠β＝（ ）A．30°B．60°C．45°D．37.5°5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，则tan A的值是（ ）A．B．C．D．6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，则sin B＝（ ）A．B．2C．D．7．若用我们数学课本上采用的科学计算器计算sin42°16′，按键顺序正确的是（ ）A．B．C．D．8．如图，AD是△ABC的高，AB＝4，tan∠CAD＝，则BC的长为（ ）A． +1B．2+2C．2+1D． +49．如图，半径为3的⊙O内有一点A，OA＝，当∠OPA最大时，S△OPA等于（ ）A．B．C．D．110．如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，∠C＝42°，AB＝60（ ）A．60sin50°B．C．60cos50°D．60tan50°二．填空题（共10小题，满分30分）11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝ ．12．用科学计算器计算： tan16°15′≈ （结果精确到0.01）13．在△ABC中，若，∠A，∠B都是锐角 三角形．14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，那么AB的长为 ．15．比较大小：sin80° tan50°（填“＞”或“＜”）．16．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos A＝ ．17．在△ABC中，若|sin A﹣|+（﹣cos B）2＝0，则∠C的度数是 ．18．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，AC＝6，则tan A的值为 ．19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，连接CD，过点B作CD的垂线，tan A＝，则cos∠DBE的值为 ．20．如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是1：（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），水平宽度AC＝m 米．三．解答题（共7小题，满分6021．已知cos45°＝，求cos21°+cos22°+…+cos289°的值．22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5．求sin A，cos A和tan A．23．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90˚，BC＝6，求AC的长和sin A的值．24．计算：cos60°﹣2sin245°+tan230°﹣sin30°．25．计算：（1）；（2）sin245°+cos245°+tan30°tan60°﹣cos30°．26．2022年8月21日，重庆市北碚区缙云山突发山火，山火无情，各地消防迅速出动，冲锋在前，然后沿着坡比为5：12的斜坡前进104米到达B处平台，继续前进到达C，沿斜坡CD前行800米到达着火点D．（1）求着火点D距离山脚的垂直高度；（2）已知消防员在平地的平均速度为4m/s，求消防员通过平台BC的时间．（保留一位小数）（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈，≈1.732）27．如图，已知∠ABC和射线BD P（点P与点B不重合），且点P到BA、BC的距离为PE、PF．（1）若∠EBP＝40°，∠FBP＝20°，PB＝m；（2）若∠EBP＝α，∠FBP＝β，α，β都是锐角，并给出证明．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分）1．解：如图，∵∠C＝90°，∴设AC＝5k，AB＝13k，根据勾股定理得，BC＝＝，所以，sin A＝＝＝．故选：D．2．解：设点C到AB的距离为h，由勾股定理可知：AC＝＝2＝，由于S△ABC＝32﹣×6×2﹣×7×3＝9﹣8﹣3＝4．∴AB•h＝4，∴h＝，∴sin∠BAC＝＝，∴cos∠BAC＝，故选：A．3．解：∵∠C＝90°，∴tan B＝＝＝．故选：D．4．解：∵∠β为锐角，且2cosβ﹣1＝8，∴cosβ＝，∴∠β＝60°．故选：B．5．解：∵∠C＝90°，AB＝5，∴AC＝＝＝4，∴tan A＝＝，故选：D．6．解：∵∠C＝90°，tan A＝2，∴BC＝2AC，∴，∴，故C正确．故选：C．7．解：若用我们数学课本上采用的科学计算器计算sin42°16′，按键顺序正确的是．故选：C．8．解：∵AD是△ABC的高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在Rt△ABD中，cos∠BAD＝，∴cos60°＝，sin60°＝，∴AD＝4cos60°＝7×＝5＝4，在Rt△ADC中，tan∠CAD＝，∴＝，解得CD＝1，∴BC＝BD+CD＝2+1．故选：C．9．解：如图所示：∵OA、OP是定值，∴PA⊥OA时，∠OPA最大，在直角三角形OPA中，OA＝，∴PA＝＝，∴S△OPA＝OA•AP＝××＝．故选：B．10．解：过点A作AD⊥BC于点D，如图所示：∵∠BAC＝88°，∠C＝42°，∴∠B＝180°﹣88°﹣42°＝50°，在Rt△ABD中，AD＝AB×sin60×sin50°，∴点A到BC的距离为60sin50°，故A正确．故选：A．二．填空题（共10小题，满分30分）11．解：由sin A＝知，可设a＝6x，b＝3x．∴tan A＝．故答案为：．12．解： tan16°15′≈0.71，故答案为：4.71．13．解：∵，∴sin A＝，cos B＝，∴∠A＝60°，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形．故答案为：等边．14．解：∵cos A＝＝，AC＝7，∴AB＝＝8，故答案为：8．15．解：∵tan50°＞tan45°，tan45°＝1，∴tan50°＞1，又sin80°＜2，∴sin80°＜tan50°；故答案为：＜．16．解：∵在△ABC中，∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴sin B＝cos A＝．故答案为：．17．解：∵|sin A﹣|+（2＝2，∴sin A﹣＝4，，即sin A＝，cos B＝，∴∠A＝30°，∠B＝45°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝105°．故答案为：105°．18．解：在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∴AB＝2CD＝10，∵AC＝6，∴BC＝＝＝8，∴tan A＝＝＝，故答案为：．19．解：过点C作CF⊥AB，垂足为F，在Rt△ABC中，AC＝3a＝，∴BC＝4a，AB＝5a，∵D是AB的中点，∴CD＝AB＝a，∵△ABC的面积＝AB•CF＝，∴AB•CF＝AC•CB，∴5aCF＝3a×4a，∴CF＝a，∴cos∠DCF＝＝，∵BE⊥CD，∴∠E＝90°，∴∠EDB+∠EBD＝90°，∵∠FCD+∠CDF＝90°，∠CDF＝∠BDE，∴∠EBD＝∠DCF，∴cos∠DBE＝cos∠DCF＝，故答案为：．20．解：∵河坝横断面迎水坡AB的坡比是1：，AC＝m，∴＝，∴BC＝AC＝＝3（m），在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB＝＝，故答案为：6．三．解答题（共7小题，满分60分）21．解：原式＝（cos21°+cos289°）+（cos22°+cos588°）+…+（cos244°+cos246°）+cos445＝（sin21°+cos51°）+（sin22°+cos22°）+…+（sin844°+cos244°）+cos245＝44+（）2＝44．22．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5．∴AB＝＝＝13，∴sin A＝＝，cos A＝＝，tan A＝＝．23．解：∵△ABC中，tan A＝，∴＝，∴AC＝8，∴AB＝＝＝10，∴sin A＝＝24．解：原式＝﹣4×（）6+×（）2﹣＝﹣2×+×﹣＝﹣2+﹣＝﹣．25．解：（1）＝﹣4﹣7+1＝﹣4；（2）sin645°+cos245°+tan30°tan60°﹣cos30°＝＝＝．26．（1）如图所示，过点B，C，D分别作水平线的垂线，F，G，延长BC交AG于点H，BHGE是矩形，依题意，，AB＝104米，CD＝800米，在Rt△ABE中，，设BE＝8k米，∴AB＝13k，∵AB＝104米，∴k＝8，∴BE＝5×2＝40（米），AE＝12×8＝96（米），在Rt△DCH中，CD＝800米，∴DG＝DH+HG＝DH+BE＝480+40＝520（米），即着火点D距离山脚的垂直高度为520米；（2）依题意，∠DAG＝30°，∴米，∵Rt△DCH中，CH＝cos37°×CD＝≈0.8×800＝640（米），又AE＝96米，∴（米），∵消防员在平地的平均速度为4m/s，∴消防员通过平台BC的时间为（秒）．27．解：（1）在Rt△BPE中，sin∠EBP＝在Rt△BPF中，sin∠FBP＝又sin40°＞sin20°∴PE＞PF；（2）根据（1）得sin∠EBP＝＝sinα＝sinβ又∵α＞β∴sinα＞sinβ∴PE＞PF．。

人教版九年级下《第二十八章锐角三角函数》单元测试题含答案

人教版九年级下《第二十八章锐角三角函数》单元测试题含答案

第二十八章 锐角三角函数一、选择题(每小题3分，共30分) 1．sin60°的值等于( ) A.12 B.22 C.32 D.332．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝4，sin A ＝23，则AB 的长为( )A.83B ．6C ．12D ．8 3．已知α为锐角，且cos(90°－α)＝12，则cos α的值为( )A.33 B.22 C.12 D.324．如图1，点A (t ，3)在第一象限，OA 与x 轴所夹的锐角为α，tan α＝32，则t 的值是( )图1A ．1B ．1.5C ．2D ．35．如图2，∠AOB 在正方形网格中，则cos ∠AOB 的值为( )图2A.12B.22C.32D.336．如图3，将△ABC 放在每个小正方形的边长都为1的网格中，点A ，B ，C 均在格点上，则tan A 的值是( )图3A.55 B.105 C ．2 D.127．如图4，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D .若AC ＝5，BC ＝2，则sin ∠ACD 的值为( )图4A.53B.2 55C.52 D.238．如图5，某酒店大门的旋转门内部由三块宽为2米，高为3米的玻璃隔板组成，三块玻璃摆放时夹角相同．若入口处两根立柱之间的距离为2米，则两立柱底端中点到转轴底端的距离为( )图5A.3米 B ．2米 C ．2 2米 D ．3米9．如图6，轮船沿正南方向以30海里/时的速度匀速航行，在M 处观测到灯塔P 在南偏西22°方向上．航行2小时后到达N 处，观测灯塔P 在南偏西44°方向上，若该船继续向南航行至离灯塔最近的位置，则此时轮船离灯塔的距离约为(参考数据：sin68°≈0.9272，sin46°≈0.7193，sin22°≈0.3746，sin44°≈0.6947)( )图6A ．22.48海里B ．41.68海里C ．43.16海里D ．55.63海里10．如图7，四边形BDCE 内接于以BC 为直径的⊙A ，已知BC ＝10，cos ∠BCD ＝35，∠BCE ＝30°，则线段DE 的长是( )图7A.89 B ．7 3 C ．4＋3 3 D ．3＋4 3 请将选择题答案填入下表：题号 12345678910总分答案第Ⅱ卷 (非选择题 共70分)二、填空题(每小题3分，共18分)11．如图8，在△ABC 中，∠B ＝45°，cos C ＝35，AC ＝5a ，则△ABC 的面积用含a 的式子表示是________．图812．为解决停车难的问题，在一段长56米的路段上开辟停车位，如图9，每个车位是长为5米、宽为2.2米的矩形，矩形的边与路的边缘成45°角，那么这个路段最多可以划出________个这样的停车位．(参考数据：2≈1.4)图913．如图10，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝4，D 为BC 的中点，点E ，F 在线段AD 上，tan ∠ABC ＝3，则阴影部分的面积是________．图1014．已知△ABC ，若⎪⎪⎪⎪sin A －12与(tan B －3)2互为相反数，则∠C 的度数是________． 15．如图11，已知四边形ABCD 是正方形，以CD 为一边向CD 两旁分别作等边三角形PCD 和等边三角形QCD ，那么tan ∠PQB 的值为________．图1116.如图12，已知点A(5 3，0)，直线y ＝x ＋b(b ＞0)与y 轴交于点B ，连接AB.若∠α＝75°，则b ＝________．图12三、解答题(共52分)17．(5分)计算：cos30°tan60°－cos45°sin45°－sin260°.18．(5分)如图13，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，∠ABC＝45°，求BC的长及tan C 的值．图1319.(5分)如图14，在半径为1的⊙O中，∠AOB＝45°，求sin C的值．图1420．(5分)如图15，AB是长为10 m，倾斜角为37°的自动扶梯，平台BD与大楼CE垂直，且与扶梯AB的长度相等，在B处测得大楼顶部C的仰角为65°，求大楼CE的高度(结果保留整数)．(参考数据：sin37°≈35，tan37°≈34，sin65°≈910，tan65°≈157)图1521．(7分)如图16，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ABC∶∠BAD＝1∶2，BE∥AC，CE∥BD.(1)求tan∠DBC的值；(2)求证：四边形OBEC是矩形．图1622．(7分)如图17，市防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，设计师提供的方案是：水坝加高1米(EF＝1米)，背水坡AF的坡度i＝1∶1，已知AB＝3米，∠ABE＝120°，求水坝原来的高度．图1723．(9分)阅读下面的材料：小凯遇到这样一个问题：如图18①，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC＝4，BD＝6，∠AOB＝30°，求四边形ABCD的面积．小凯发现，分别过点A，C作直线BD的垂线，垂足分别为E，F，设AO为m，通过计算△ABD与△BCD的面积和可以使问题得到解决(如图②)．请回答：(1)△ABD 的面积为________(用含m 的式子表示)； (2)求四边形ABCD 的面积．参考小凯思考问题的方法，解决问题：如图③，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AC ＝a ，BD ＝b ，∠AOB ＝α(0°＜α＜90°)，则四边形ABCD 的面积为________(用含a ，b ，α的式子表示)．图1824．(9分)观察与思考：阅读下列材料，并解决后面的问题．在锐角三角形ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，c ，过点A 作AD ⊥BC 于点D(如图19①)，则sin B ＝AD c ，sin C ＝ADb ，即AD ＝c sin B ，AD ＝b sin C ，于是c sin B ＝b sin C ，即b sin B ＝csin C ，同理有c sin C ＝a sin A ，a sin A ＝b sin B ，所以a sin A ＝b sin B ＝c sin C. 即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．在锐角三角形中，若已知三个元素(至少有一条边)，运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素．根据上述材料，完成下列各题：(1)如图②，△ABC 中，∠B ＝45°，∠C ＝75°，BC ＝60，则∠A ＝________°，AC ＝________；(2)如图③，在某次巡逻中，渔政船在C 处测得海岛A 在其北偏西30°的方向上，随后以40海里/时的速度按北偏东30°的方向航行，半小时后到达B 处，此时又测得海岛A 在其北偏西75°的方向上，求此时渔政船距海岛A 的距离AB.(结果精确到0.01海里，6≈2.449)图19详解详析1．C2．B [解析] 由题意可得sin A ＝23＝BCAB.因为BC ＝4，所以AB ＝6.3．D [解析] 因为cos(90°－α)＝12，α为锐角，所以90°－α＝60°，所以α＝30°，所以cos α＝32. 4．C [解析] ∵点A (t ，3)在第一象限，OA 与x 轴所夹的锐角为α，tan α＝32，∴tan α＝3t ＝32，∴t ＝2. 5．B [解析] 如图，连接AC .由网格图的特点，易得△ACO 是等腰直角三角形，所以∠AOB ＝45°，所以cos ∠AOB 的值为22.6．D [解析] 如图，连接BD .由网格图的特点可知AD ⊥BD ，由AD ＝2 2，BD ＝2，可得tan A 的值为12.7．A [解析] 在Rt △ABC 中，根据勾股定理可得AB 2＝AC 2＋BC 2＝(5)2＋22＝9，∴AB ＝3.∵∠B ＋∠BCD ＝90°，∠ACD ＋∠BCD ＝90°，∴∠B ＝∠ACD ，∴sin ∠ACD ＝sin B ＝AC AB ＝53.故选A. 8．A [解析] 如图，设转轴底端为A ，两立柱底端的点为B ，C ，BC 的中点为D ，则有AB ＝AC ＝2米，所以AD ⊥BC ，且CD ＝1米，所以AD ＝3米．9．B [解析] 如图，过点P 作P A ⊥MN 于点A ，MN ＝30×2＝60(海里)．∵∠PMN ＝22°，∠PNA ＝44°， ∴∠MPN ＝∠PNA －∠PMN ＝22°， ∴∠PMN ＝∠MPN ， ∴MN ＝PN ＝60海里． ∵∠PNA ＝44°，∴在Rt △NAP 中，P A ＝PN ·sin ∠PNA ≈60×0.6947≈41.68(海里)． 故选B.10．D [解析] 如图，过点B 作BF ⊥DE 于点F .在Rt △CBD 中，∵BC ＝10，cos ∠BCD ＝35，∴DC ＝6，∴BD ＝8.在Rt △BCE 中，BC ＝10，∠BCE ＝30°， ∴BE ＝5.在Rt △BDF 中，∠BDF ＝∠BCE ＝30°，BD ＝8， ∴DF ＝BD ·cos30°＝4 3.在Rt △BEF 中，∠BEF ＝∠BCD ， 即cos ∠BEF ＝cos ∠BCD ＝35，∴EF ＝BE ·cos ∠BEF ＝3，∴DE ＝EF ＋DF ＝3＋4 3. 11．14a 2 12.1713．6 [解析] 由等腰三角形的轴对称性可知阴影部分的面积等于△ABC 的面积的一半．因为BD ＝12BC ＝2，AD ⊥BC ，tan ∠ABC ＝3，所以AD ＝6，所以△ABC 的面积为12，所以阴影部分的面积为6.14．90° [解析] 由题意得sin A ＝12，tan B ＝3，所以∠A ＝30°，∠B ＝60°，所以∠C的度数是90°.15．2－3 [解析] 延长QP 交AB 于点F .∵四边形ABCD 是正方形，△PCD 和△QCD 是以CD 为边的等边三角形， ∴四边形PCQD 是菱形．设正方形ABCD 的边长为a ，则可得PE ＝QE ＝32a ，DE ＝EC ＝12a ，FB ＝12a ， ∴tan ∠PQB ＝FBFQ＝12a a ＋32a＝2－ 3. 16．5 [解析] 设直线y ＝x ＋b (b ＞0)与x 轴交于点C ，易得C (－b ，0)，B (0，b )， 所以OC ＝OB ， 所以∠BCO ＝45°.又因为α＝75°，所以∠BAO ＝30°. 因为OA ＝5 3，所以OB ＝5，所以b ＝5. 17.1418．解：如图，过点A 作AD ⊥BC 于点D .在Rt △ABD 中，∠B ＝45°， ∵sin B ＝ADAB，∴AD ＝AB ·sin B ＝4×sin45°＝4×22＝2 2， ∴BD ＝AD ＝2 2.在Rt △ADC 中，AC ＝6，由勾股定理，得DC ＝AC 2－AD 2＝62－（2 2）2＝2 7， ∴BC ＝BD ＋DC ＝2 2＋2 7，tan C ＝AD DC ＝2 22 7＝147. 19．解：如图，过点A 作AD ⊥OB 于点D . ∵在Rt △AOD 中，∠AOB ＝45°， ∴OD ＝AD ＝OA ·cos45°＝1×22＝22， ∴BD ＝OB －OD ＝1－22， ∴AB ＝AD 2＋BD 2＝（22）2＋（1－22）2＝2－ 2. ∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ABC ＝90°，AC ＝2，∴sin C ＝ABAC ＝2－22.20．解：如图，过点B 作BF ⊥AE 于点F ， 则BF ＝DE .在Rt △ABF 中，sin ∠BAF ＝BF AB， 则BF ＝AB ·sin ∠BAF ≈10×35＝6(m)．在Rt △CDB 中，tan ∠CBD ＝CD BD ，则CD ＝BD ·tan65°≈10×157≈21(m)． 则CE ＝DE ＋CD ＝BF ＋CD ≈6＋21＝27(m)．答：大楼CE 的高度约是27 m.21．解：(1)∵四边形ABCD 是菱形， ∴AD ∥BC ，∴∠ABC ＋∠BAD ＝180°. 又∵∠ABC ∶∠BAD ＝1∶2， ∴∠ABC ＝60°.∵四边形ABCD 是菱形， ∴∠DBC ＝12∠ABC ＝30°，∴tan ∠DBC ＝tan30°＝33. (2)证明：∵四边形ABCD 是菱形， ∴∠BOC ＝90°.∵BE ∥AC ，CE ∥BD ，∴∠OBE ＝∠BOC ＝∠OCE ＝90°， ∴四边形OBEC 是矩形．22．解：如图所示，过点E 作EC ⊥BD 于点C ， 设BC ＝x 米．∵∠ABE ＝120°， ∴∠CBE ＝60°. 在Rt △BCE 中， ∵∠CBE ＝60°，∴tan60°＝CE BC ＝3，即CE ＝3x 米． ∵背水坡AF 的坡度i ＝1∶1，∴CF AC＝1. ∵AC ＝(3＋x )米，CF ＝(1＋3x )米， ∴1＋3x 3＋x＝1，解得x ＝3＋1， ∴EC ＝3x ＝(3＋3)米．答：水坝原来的高度为(3＋3)米．23．解：(1)∵AO ＝m ，∠AOB ＝30°，∴AE ＝12m ， ∴△ABD 的面积为12×12m ×6＝32m . 故答案为32m. (2)由(1)得S △ABD ＝32m . 同理，CF ＝12(4－m )， ∴S △BCD ＝12BD ·CF ＝6－32m . ∴S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝6.解决问题：分别过点A ，C 作直线BD 的垂线，垂足分别为E ，F ，设AO 为x .∵∠AOB ＝α，∴AE ＝x ·sin α，∴S △ABD ＝12BD ·AE ＝12b ·x ·sin α. 同理，CF ＝(a －x )·sin α，∴S △BCD ＝12BD ·CF ＝12b ·(a －x )·sin α. ∴S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝12b ·x ·sin α＋12b ·(a －x )·sin α＝12ab ·sin α. 故答案为12ab ·sin α. 24．解：(1)60 20 6(2)依题意，得BC ＝40×0.5＝20(海里)．∵CD∥BE，∴∠DCB＋∠CBE＝180°.∵∠DCB＝30°，∴∠CBE＝150°.∵∠ABE＝75°，∴∠ABC＝75°，∴∠A＝45°.在△ABC中，ABsin∠ACB＝BC sin A，即ABsin60°＝20sin45°，解得AB＝10 6≈24.49(海里)．答：渔政船距海岛A的距离AB约为24.49海里．。

人教版初中数学九年级下册《第28章 锐角三角函数》单元测试卷(含答案解析

人教版初中数学九年级下册《第28章 锐角三角函数》单元测试卷(含答案解析

人教新版九年级下学期《第28章锐角三角函数》单元测试卷一．选择题（共10小题）1．如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”．若Rt△ABC是“好玩三角形”，且∠C=90°，BC≥AC，则tanB=（）A．B．C．D．2．以下说法正确的是（）①当∠A从0°逐渐增大到90°时，tanA的值逐渐增大，cotA的值逐渐减小；②tan12°•tan78°=1；③在△ABC中，已知∠C=90°，如果tan（90°﹣A）=2，那么cot（90°﹣A）=2；④若∠A为锐角，则0＜tanA＜1．A．①②B．③④⑤C．①②③D．③④3．α为锐角，若sinα+cosα=，则sinα﹣cosα的值为（）A．B．±C．D．04．Rt△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，则sinB=（）A．B．C．D．15．已知sinα=，求α，若用计算器计算且结果为“30”，最后按键（）A．AC10N B．SHIET C．MODE D．SHIFT6．如图，点A（3，t）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα=，则t=（）A．0.5B．1.5C．4.5D．27．如图1是一种雪球夹，通过一个固定夹体和一个活动夹体的配合巧妙完成夹雪、投雪的操作，不需人手直接接触雪，使用方便，深受小朋友的喜爱．图2是其简化结构图，当雪球夹闭合时，测得∠AOB=60°，OA=OB=14cm，则此款雪球夹从O到直径AB的距离为（）A．14cm B．14cm C．7cm D．7cm8．如图，一辆小车沿坡度为的斜坡向上行驶13米，则小车上升的高度是（）A．5米B．6米C．6.5米D．12米9．如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房CD的高度，在水平底面A处安置侧倾器测得楼房CD顶部点D的仰角为30°，向前走20米到达E处，测得点D的仰角为60°已知侧倾器AB的高度为1.6米，则楼房CD的高度约为（结果精确到0.1米）（）A．30米B．18.9米C．32.6米D．30.6米10．如图，某海监船以20海里/小时的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至A处时，测得岛屿P恰好在其正北方向，继续向东航行1小时到达B处，测得岛屿P在其北偏西30°方向，保持航向不变又航行2小时到达C处，此时海监船与岛屿P之间的距离（即PC的长）为（）A．40海里B．60海里C．20海里D．40海里二．填空题（共8小题）11．如图，在Rt△ABD中，∠A=90°，点C在AD上，∠ACB=45°，tan∠D=，则=．12．用不等号“＞”或“＜”连接：sin50°cos50°．13．已知α是锐角，且tanα=1，则sinα+cosα=．14．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=12，tanA=，则sinB=．15．计算：tan45°+=；16．A．如果一个正多边形的一个外角是45°，那么这个正多边形对角线的条数一共有条．B．用计算器计算：•tan63°27′≈（精确到0.01）．17．如图，在△ABC中，AB=AC，AH⊥BC，垂足为点H，如果AH=BC，那么tan ∠BAH的值是．18．如图是学生用的台灯，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为40cm，灯罩BC长为30cm，底座厚度为2cm，灯臂与底座构成的∠BAD=60°．使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是cm（用含根号的式子表示）．三．解答题（共10小题）19．如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE=3AE，试求sin∠ECM的值．20．完成下列表格，并回答下列问题，（1）当锐角α逐渐增大时，sinα的值逐渐，cosα的值逐渐，tanα的值逐渐．（2）sin30°=cos，sin=cos60°；（3）sin230°+cos230°=；（4）；（5）若sinα=cosα，则锐角α=．21．计算：sin45°+sin2α+cos2α+22．计算：2cos230°+﹣sin60°．23．（1）验证下列两组数值的关系：2sin30°•cos30°与sin60°；2sin22.5°•cos22.5°与sin45°．（2）用一句话概括上面的关系．（3）试一试：你自己任选一个锐角，用计算器验证上述结论是否成立．（4）如果结论成立，试用α表示一个锐角，写出这个关系式．24．如图，在△ABC中，∠B为锐角，AB=3，AC=5，sinC=，求BC的长．25．2014年，“即墨古城”在即墨区破土重建，2016年建成，现已成为青岛北部一个重要的旅游景点，为了衡量古城“潮海”门的高度，在数学课外实践活动中，小明分别在如图所示的A，B两点处，利用测角仪对“潮海”，门的最高点C进行了测量，测得∠A=30°，∠B=45°，若AB=22米，求“潮海”门的最高点C 到地面的高度为多少米？（结果精确到1米，参考数据：≈1.732）26．某小区为了安全起见，决定将小区内的滑滑板的倾斜角由45°调为30°，如图，已知原滑滑板AB的长为4米，点D，B，C在同一水平地面上，调整后滑滑板会加长多少米？（结果精确到0.01米，参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.449）27．如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小明在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°．沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i=1：，AB=10米，AE=15米．（1）求点B距水平面AE的高度BH；（2）求广告牌CD的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据：≈1.414，≈1.732）28．为了保证端午龙舟赛在我市汉江水域顺利举办，某部门工作人员乘快艇到汉江水域考察水情，以每秒10米的速度沿平行于岸边的赛道AB由西向东行驶．在A处测得岸边一建筑物P在北偏东30°方向上，继续行驶40秒到达B 处时，测得建筑物P在北偏西60°方向上，如图所示，求建筑物P到赛道AB 的距离（结果保留根号）．人教新版九年级下学期《第28章锐角三角函数》单元测试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”．若Rt△ABC是“好玩三角形”，且∠C=90°，BC≥AC，则tanB=（）A．B．C．D．【分析】如图，因为BC≥AC，只有BC边上的中线，满足条件，AD=BC，设CD=BD=a．只要证明∠DAC=30°即可解决问题；【解答】解：如图，∵BC≥AC，∴只有BC边上的中线，满足条件，AD=BC，设CD=BD=a．则AD=2a，CD=a，AD=2CD，∵∠C=90°，∴∠DAC=30°，∴AC=a，∴tanB==．故选：B．【点评】本题考查锐角三角函数、三角形的中线的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题目．2．以下说法正确的是（）①当∠A从0°逐渐增大到90°时，tanA的值逐渐增大，cotA的值逐渐减小；②tan12°•tan78°=1；③在△ABC中，已知∠C=90°，如果tan（90°﹣A）=2，那么cot（90°﹣A）=2；④若∠A为锐角，则0＜tanA＜1．A．①②B．③④⑤C．①②③D．③④【分析】当∠A从0°逐渐增大到90°时，tanA的值逐渐增大，cotA的值逐渐减小；一个角的正切值等于它的余角的余切值．【解答】解：①根据锐角三角函数的增减性，可知正确；②∵tan78°=cot12°，∴tan12°•tan78°=1．正确；③根据同角的正切和余切互为倒数．错误；④如tan60°=＞1．错误．故选：A．【点评】本题考查了锐角三角函数的增减性和同角的三角函数的关系．3．α为锐角，若sinα+cosα=，则sinα﹣cosα的值为（）A．B．±C．D．0【分析】将两式分别两边平方，利用sin2α+cos2α=1，求出sinαcosα的值，解答即可．【解答】解：∵sinα+cosα=，∴（sinα+cosα）2=2，即sin2α+cos2α+2sinαcosα=2．又∵sin2α+cos2α=1，∴2sinαcosα=1．∴（sinα﹣cosα）2=sin2α+cos2α﹣2sinαcosα=1﹣2sinαcosα=1﹣1=0．∴sinα﹣cosα=0．故选：D．【点评】本题利用了同角的三角函数的关系sin2α+cos2α=1来进行化简求值的．4．Rt△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，则sinB=（）A．B．C．D．1【分析】设∠A=x°，∠B=2x°，∠C=3x°，根据三角形内角和定理可得x+2x+3x=180，解方程可得x的值，进而可得∠B的度数，然后可得答案．【解答】解：设∠A=x°，∠B=2x°，∠C=3x°，x+2x+3x=180，解得：x=30，∴∠B=60°，∴sinB=．故选：C．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，关键是利用方程思想确定∠B的度数．5．已知sinα=，求α，若用计算器计算且结果为“30”，最后按键（）A．AC10N B．SHIET C．MODE D．SHIFT【分析】本题要求熟练应用计算器．【解答】解：“SHIET”表示使用该键上方的对应的功能．故选：D．【点评】本题要求同学们能熟练应用计算器，熟悉计算器的各个按键的功能．6．如图，点A（3，t）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα=，则t=（）A．0.5B．1.5C．4.5D．2【分析】过点A作AB⊥x轴于B，根据正切等于对边比邻边列式求解即可．【解答】解：过点A作AB⊥x轴于B，∵点A（3，t）在第一象限，∴AB=t，OB=3，又∵tanα=，∴t=4.5．故选：C．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，过点A作x轴的垂线，构造出直角三角形是利用正切列式的关键，需要熟记正切=对边：邻边．7．如图1是一种雪球夹，通过一个固定夹体和一个活动夹体的配合巧妙完成夹雪、投雪的操作，不需人手直接接触雪，使用方便，深受小朋友的喜爱．图2是其简化结构图，当雪球夹闭合时，测得∠AOB=60°，OA=OB=14cm，则此款雪球夹从O到直径AB的距离为（）A．14cm B．14cm C．7cm D．7cm【分析】根据OA=OB，可知△AOB是等腰三角形，作OG⊥AB于点G，从而可以得到AG=BG，∠AOB=2∠AOG，从而可以得到OG的长．【解答】解：作OG⊥AB于点G，∵OA=OB=14厘米，∠AOB=60°，∴∠AOG=∠BOG=30°，AG=BG，∴OG=OA•cos30°=7厘米，故选：D．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用锐角三角函数解答．8．如图，一辆小车沿坡度为的斜坡向上行驶13米，则小车上升的高度是（）A．5米B．6米C．6.5米D．12米【分析】在Rt△ABC中，设BC=5k，AC=12k，利用勾股定理求出k即可解决问题；【解答】解：作BC⊥AC．在Rt△ABC中，∵AB=13m，BC：AC=5：12，∴可以假设：BC=5k，AC=12k，∵AB2=BC2+AC2，∴132=（5k）2+（12k）2，∴k=1，∴BC=5m，故选：A．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．9．如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房CD的高度，在水平底面A处安置侧倾器测得楼房CD顶部点D的仰角为30°，向前走20米到达E处，测得点D的仰角为60°已知侧倾器AB的高度为1.6米，则楼房CD的高度约为（结果精确到0.1米）（）A．30米B．18.9米C．32.6米D．30.6米【分析】过B作BF⊥CD，作FG⊥BD，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：过B作BF⊥CD，作FG⊥BD，∵∠BDF=∠FDC=30°，∴EF=FH，∵∠BGF=90°，∴EF=FH=10，∴DF=20，∴DC=DH+HC=10+1.6≈18.9．故选：B．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，要求学生借助俯角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．10．如图，某海监船以20海里/小时的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至A处时，测得岛屿P恰好在其正北方向，继续向东航行1小时到达B处，测得岛屿P在其北偏西30°方向，保持航向不变又航行2小时到达C处，此时海监船与岛屿P之间的距离（即PC的长）为（）A．40海里B．60海里C．20海里D．40海里【分析】首先证明PB=BC，推出∠C=30°，可得PC=2PA，求出PA即可解决问题；【解答】解：在Rt△PAB中，∵∠APB=30°，∴PB=2AB，由题意BC=2AB，∴PB=BC，∴∠C=∠CPB，∵∠ABP=∠C+∠CPB=60°，∴∠C=30°，∴PC=2PA，∵PA=AB•tan60°，∴PC=2×20×=40（海里），故选：D．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣方向角问题，解题的关键是证明PB=BC，推出∠C=30°．二．填空题（共8小题）11．如图，在Rt△ABD中，∠A=90°，点C在AD上，∠ACB=45°，tan∠D=，则=．【分析】由tan∠D==可设AB=2x、AD=3x，根据∠ACB=45°知AC=AB=2x，得出CD=x，继而可得答案．【解答】解：在Rt△ABD中，∵tan∠D==，∴设AB=2x，AD=3x，∵∠ACB=45°，∴AC=AB=2x，则CD=AD﹣AC=3x﹣2x=x，∴==，故答案为：．【点评】本题主要考查锐角三角形函数的定义，解题的关键是熟练掌握正切函数的定义及等腰三角形的性质．12．用不等号“＞”或“＜”连接：sin50°＞cos50°．【分析】先由互余两角的三角函数的关系得出cos50°=sin40°，再根据当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大而增大得出sin50°＞sin40°，从而得出结果．【解答】解：∵cos50°=sin40°，sin50°＞sin40°，∴sin50°＞cos50°．故答案为＞．【点评】本题考查了锐角三角函数的增减性：当角度在0°～90°间变化时，①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）．也考查了互余两角的三角函数的关系．13．已知α是锐角，且tanα=1，则sinα+cosα=．【分析】根据α是锐角，且tanα=1，推出α=45°即可解决问题．【解答】解：∵α是锐角，且tanα=1，∴α=45°，∴sinα+cosα=+=故答案为：【点评】此题考查了同角三角函数的关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．14．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=12，tanA=，则sinB=．【分析】根据正切函数，可得AC，根据勾股定理求得斜边AB的长，然后利用三角函数的定义即可求解．【解答】解：由在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=12，tanA=，得=，即=，∴AC=5．由勾股定理，得AB==13．sinB==，故答案为：．【点评】本题考查了勾股定理以及三角函数，理解三角函数的定义是关键．15．计算：tan45°+=5；【分析】先代入三角函数值、计算算术平方根，再计算加法可得答案．【解答】解：tan45°+=1+4=5，故答案为：5．【点评】本题主要考查特殊锐角的三角函数值，解题的关键是熟记特殊锐角的三角函数值和算术平方根的定义．16．A．如果一个正多边形的一个外角是45°，那么这个正多边形对角线的条数一共有20条．B．用计算器计算：•tan63°27′≈ 5.29（精确到0.01）．【分析】A、先根据多边形外角和为360°且各外角相等求得边数，再根据多边形对角线条数的计算公式计算可得；B、利用计算器计算可得．【解答】解：A、根据题意，此正多边形的边数为360°÷45°=8，则这个正多边形对角线的条数一共有=20，故答案为：20；B、•tan63°27′≈2.646×2.001≈5.29，故答案为：5.29．【点评】本题主要考查计算器﹣三角函数，解题的关键是掌握多边形的内角与外角、对角线计算公式及计算器的使用．17．如图，在△ABC中，AB=AC，AH⊥BC，垂足为点H，如果AH=BC，那么tan ∠BAH的值是．【分析】设AH=BC=2x，根据等腰三角形三线合一的性质可得BH=CH=BC=x，然后得出tan∠BAH的值．【解答】解：设AH=BC=2x，∵AB=AC，AH⊥BC，∴BH=CH=BC=x，∴tan∠BAH=，故答案为：【点评】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，锐角三角函数，根据等腰三角形三线合一的性质可得BH=CH=BC=x是就解题的关键．18．如图是学生用的台灯，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为40cm，灯罩BC长为30cm，底座厚度为2cm，灯臂与底座构成的∠BAD=60°．使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是17+20cm（用含根号的式子表示）．【分析】根据sin30°=，求出CF的长，根据sin60°=，再求出BF的长，即可得出CE的长．【解答】解：由题意得：AD⊥CE，过点B作BF⊥CE，BG⊥EA，∵灯罩BC长为30cm，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，∵CF⊥FB，即三角形CFB为直角三角形，∴sin30°=，∴CF=15cm，在直角三角形ABG中，sin60°=，∴，解得：BG=20，又∠ADC=∠BFD=∠BGD=90°，∴四边形BFDG为矩形，∴FD=BG，∴CE=CF+FD+DE=CF+BG+ED=15+20+2=17+20（cm）．答：此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是17+20cm．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键．三．解答题（共10小题）19．如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE=3AE，试求sin∠ECM的值．【分析】依题意设AE=x，则BE=3x，BC=4x，AM=2x，CD=4x，先证明△CEM是直角三角形，再利用三角函数的定义求解．【解答】解：设AE=x，则BE=3x，BC=4x，AM=2x，CD=4x，∴EC==5x，EM==x，CM==2x，∴EM2+CM2=CE2，∴△CEM是直角三角形，∴sin∠ECM==．【点评】本题考查了锐角三角函数值的求法．关键是利用勾股定理的逆定理证明直角三角形，把问题转化到直角三角形中求解．20．完成下列表格，并回答下列问题，（1）当锐角α逐渐增大时，sinα的值逐渐增大，cosα的值逐渐减少，tanα的值逐渐增大．（2）sin30°=cos60゜，sin30゜=cos60°；（3）sin230°+cos230°=1；（4）30°；（5）若sinα=cosα，则锐角α=45°．【分析】根据特殊角的三角函数值填写即可；（1）根据锐角三角函数的增减性，同角三角函数的关系填写；（2）根据同角三角函数的关系解答；（3）根据同角三角函数的关系解答；（4）45°角的正弦和余弦相等．【解答】解：填表如下：（1）当锐角α逐渐增大时，sinα的值逐渐增大，cosα的值逐渐减少，tanα的值逐渐增大．（2）sin30°=cos 60゜，sin 30゜=cos60°；（3）sin230°+cos230°=1；（4）30°；（5）若sinα=cosα，则锐角α=45°．故答案为：增大，减少，增大．60゜，30゜；1；30°；45°．【点评】考查了三角函数，应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．21．计算：sin45°+sin2α+cos2α+【分析】利用平方关系得到sin2α+cos2α=1，再将特殊角的三角函数值代入，即可求出式子的值．【解答】解：原式=×+1+﹣，=1+1+1﹣1，=2．【点评】此题考查了特殊角的三角函数值和三角函数的平方关系，同时在计算时要注意无理数的运算．22．计算：2cos230°+﹣sin60°．【分析】首先代入特殊角的三角函数值，然后再计算乘方，后算乘法，最后计算加减即可．【解答】解：原式=2×（）2+﹣，=+﹣，=3﹣．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，关键是掌握30°、45°、60°角的各种三角函数值．23．（1）验证下列两组数值的关系：2sin30°•cos30°与sin60°；2sin22.5°•cos22.5°与sin45°．（2）用一句话概括上面的关系．（3）试一试：你自己任选一个锐角，用计算器验证上述结论是否成立．（4）如果结论成立，试用α表示一个锐角，写出这个关系式．【分析】（1）分别计算出各数，进而可得出结论；（2）根据（1）中的关系可得出结论；（3）任选一个角验证（3）的结论即可；（4）用α表示一个锐角，写出这个关系式即可．【解答】解：（1）∵2sin30°•cos30°=2××=，sin60°=．2sin22.5°•cos22.5≈2×0.38×0.92≈0.7，sin45°=≈0.7，∴2sin30°•cos30°=sin60°，2sin22.5°•cos22.5=sin45°；（2）由（1）可知，一个角正弦与余弦积的2倍，等于该角2倍的正弦值；（3）2sin15°•cos15°≈2×0.26×0.97≈，sin30°=；故结论成立；（4）2sinα•cosα=sin2α．【点评】本题考查的是三角函数，根据题意找出规律是解答此题的关键．24．如图，在△ABC中，∠B为锐角，AB=3，AC=5，sinC=，求BC的长．【分析】作AD⊥BC，在△ACD中求得AD=ACsinC=3、，再在△ABD中根据AB=3、AD=3求得BD=3，继而根据BC=BD+CD可得答案．【解答】解：作AD⊥BC于点D，∴∠ADB=∠ADC=90°．∵AC=5，，∴AD=AC•sinC=3．∴在Rt△ACD中，．∵AB=，∴在Rt△ABD中，．∴BC=BD+CD=7．【点评】本题主要考查解直角三角形，解题的关键是根据题意构建合适的直角三角形及三角函数的定义．25．2014年，“即墨古城”在即墨区破土重建，2016年建成，现已成为青岛北部一个重要的旅游景点，为了衡量古城“潮海”门的高度，在数学课外实践活动中，小明分别在如图所示的A，B两点处，利用测角仪对“潮海”，门的最高点C进行了测量，测得∠A=30°，∠B=45°，若AB=22米，求“潮海”门的最高点C 到地面的高度为多少米？（结果精确到1米，参考数据：≈1.732）【分析】过C作CD⊥AB，交AB延长线于点D，分别在直角三角形ACD与直角三角形BCD中，表示出AD与BD，由AD﹣BD=AB列出方程，求出方程的解即可得到结果．【解答】解：过C作CD⊥AB，交AB延长线于点D，在Rt△ACD中，设CD=x米，∴AD==x米，在Rt△BCD中，CD=x米，∴BD=x米，∴x﹣x=22，解得：x=≈30，则“潮海”门的最高点C到地面的高度为30米．【点评】此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．26．某小区为了安全起见，决定将小区内的滑滑板的倾斜角由45°调为30°，如图，已知原滑滑板AB的长为4米，点D，B，C在同一水平地面上，调整后滑滑板会加长多少米？（结果精确到0.01米，参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.449）【分析】在Rt△ABC中，根据AB=4米，∠ABC=45°，求出AC的长度，然后在Rt △ADC中，解直角三角形求AD的长度，用AD﹣AB即可求出滑板加长的长度．【解答】解答：在Rt△ABC中，AC=AB•sin45°=4×=2，∵∠ABC=45°，∴AC=BC=2，在Rt△ADC中，AD=2AC=4，AD﹣AB=4﹣4≈1.66．答：改善后滑板会加长1.66米．【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，利用这两个直角三角形公共的直角边解直角三角形是解答本题的关键．27．如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小明在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°．沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i=1：，AB=10米，AE=15米．（1）求点B距水平面AE的高度BH；（2）求广告牌CD的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据：≈1.414，≈1.732）【分析】（1）在Rt△ABH中，通过解直角三角形求出BH；（2）过B作DE的垂线，设垂足为G．在△ADE解直角三角形求出DE的长，进而可求出EH即BG的长，在Rt△CBG中，∠CBG=45°，则CG=BG，由此可求出CG的长然后根据CD=CG+GE﹣DE即可求出宣传牌的高度．【解答】解：（1）Rt△ABF中，i=tan∠BAH==，∴∠BAH=30°，∴BH=AB=5；（2）过B作BG⊥DE于G，由（1）得：BH=5，AH=5，∴BG=AH+AE=5+15，Rt△BGC中，∠CBG=45°，∴CG=BG=5+15．Rt△ADE中，∠DAE=60°，AE=15，∴DE=AE=15．∴CD=CG+GE﹣DE=5+15+5﹣15=20﹣10≈2.7m．答：宣传牌CD高约2.7米．【点评】此题综合考查了仰角、坡度的定义，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键．28．为了保证端午龙舟赛在我市汉江水域顺利举办，某部门工作人员乘快艇到汉江水域考察水情，以每秒10米的速度沿平行于岸边的赛道AB由西向东行驶．在A处测得岸边一建筑物P在北偏东30°方向上，继续行驶40秒到达B 处时，测得建筑物P在北偏西60°方向上，如图所示，求建筑物P到赛道AB 的距离（结果保留根号）．【分析】作PC⊥AB于C，构造出Rt△PAC与Rt△PBC，求出AB的长度，利用特殊角的三角函数值求解．【解答】解：过P点作PC⊥AB于C，由题意可知：∠PAC=60°，∠PBC=30°，在Rt△PAC中，，∴AC=PC，在Rt△PBC中，，∴BC=PC，∵AB=AC+BC=，∴PC=100，答：建筑物P到赛道AB的距离为100米．【点评】此题考查的是直角三角形的性质，解答此题的关键是构造出两个特殊角度的直角三角形，再利用特殊角的三角函数值解答．。

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期末专题复习：人教版九年级数学下册_第28章_ 锐角三角函数 _单元评估测试题一、单选题（共10题；共30分）1.在Rt△ABC中，∠C=90°，a=3，b=4，则tanB的值是（）A. 43B. 35C. 34D. 452.在Rt Δ ABC中，∠C=90°，∠A=α，AC= 3，则AB的长可以表示为（）A. 3cosαB. 3sinαC. 3sinαD. 3cosα3.在△ABC中，∠C=90°，如果AB=6，BC=3，那么cosB的值是（）A. √32B. √55C. √33D. 124.如图，一艘轮船行驶在O处同时测得小岛A、B的方向分别为北偏东75°和西南方向，则∠AOB等于（）A. 100°B. 120°C. 135°D. 150°5.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=35°，AB=7，则BC的长为（）A. 7sin35°B.7 cos35°C. 7cos35°D. 7tan35°6.在Rt ΔABC中，∠C= 90°,若sinA=35,则cosB的值是 ( )A. 34B. 45C. 45D. 357.已知α为等腰直角三角形的一个锐角，则cosα等于（）A. 12B. √22C. √32D. √338.已知，将如图的三角板的直角顶点放置在直线AB上的点O处，使斜边CD∥AB．则∠α的余弦值为（）A. 12B. √32C. √22D. 19.把Rt△ABC的各边都扩大3倍得到Rt△A′B′C′，那么锐角A和A′的余弦值的关系是（）A. cosA=cosA′B. cosA=3cosA′C. 3cosA=cosA′D. 不能确定10.已知等腰△ABC的周长为36cm，底边BC上的高12cm，则cosB的值为 ( )A. 12B. √32C. 1213D.513二、填空题（共10题；共30分）11.计算：tan60°﹣cos30°=________．12.如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线,已知CD=2,AC=3,则sinB的值是________.13.如图，以AD为直径的半圆O经过Rt△ABC的斜边AB的两个端点，交直角边AC于点E．B、E是半圆弧的三等分点，若OA=2，则图中阴影部分的面积为________．14.在Rt△ABC中，∠C=90°，若cosA=35，则tanB=________15.如图，在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西54°的方向，同时轮船B在南偏东15°的方向，那么∠AOB=________．16.如图，在△ABC中，AB=AC，BD、CE分别为两腰上的中线，且BD⊥CE，则tan∠ABC=________．，则BC边长为________ ．17..在△ABC中，AB=12√2， AC=13，cos∠B=√2218.如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，E为垂足，若cosB=4， EC=2，P是AB边上的一个动点，则线段5PE的长度的最小值是________ ．19.如图，将两块直角三角形的一条直角边重合叠放，已知AC=BC= √3 +1，∠D=60°，则两条斜边的交点E到直角边BC的距离是________．AC，连接CE、OE、AE，AE交20.如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，过点D作DE∥AC，且DE= 12OD于点F，若AB=2，∠ABC=60°，则AE的长________．三、解答题（共8题；共60分）21.计算|√2−2|−2cos45∘+(−1)−2+√8．22.如图，小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC，并测得B，C两点的俯角分别为60°和30°，已知大桥BC的长度为100m，且与地面在同一水平面上．求热气球离地面的高度．（结果保留根号）23.如图，某游客在山脚下乘览车上山．导游告知，索道与水平线成角∠BAC为40°，览车速度为60米/分，11分钟到达山顶，请根据以上信息计算山的高度BC．（精确到1米）（参考数据：sin40°=0.64，cos40°=0.77，tan40°=0.84）24.某游乐场一转角滑梯如图所示，滑梯立柱AB,CD均垂直于地面，点E在线段BD上.在C点测得点A 的仰角为300，点E的俯角也为300，测得B,E间的距离为10米，立柱AB高30米.求立柱CD的高（结果保留根号）.25.在一次数学活动课上，老师带领同学们去测量一座古塔CD的高度．他们首先从A处安置测倾器，测得塔顶C的仰角∠CFE=21°，然后往塔的方向前进50米到达B处，此时测得仰角∠CGE=37°，已知测倾器高1.5米，请你根据以上数据计算出古塔CD的高度．（参考数据：sin37°≈ 35，tan37°≈ 34，sin21°≈ 925，tan21°≈ 38）26.如图，某公园内有座桥，桥的高度是5米，CB ⊥DB ，坡面AC 的倾斜角为45°，为方便老人过桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面DC 的坡度为i= √3：3．若新坡角外需留下2米宽的人行道，问离原坡角（A 点处）6米的一棵树是否需要移栽？（参考数据：√2 ≈1.414，√3 ≈1.732）27.如图，河的两岸l 1与l 2相互平行，A 、B 是l 1上的两点，C 、D 是l 2上的两点，某人在点A 处测得∠CAB=90°，∠DAB=30°，再沿AB 方向前进60米到达点E （点E 在线段AB 上），测得∠DEB=60°，求河的宽度．28.如图，大楼AB 右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE ，在小楼的顶端D 处测得障碍物边缘点C 的俯角为30°，测得大楼顶端A 的仰角为45°（点B ，C ，E 在同一水平直线上），已知AB=80m ，DE=10m，求障碍物B，C两点间的距离（结果精确到0.1m）（参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732）答案解析部分一、单选题1.【答案】A2.【答案】A3.【答案】D4.【答案】D5.【答案】C6.【答案】D7.【答案】B8.【答案】A9.【答案】A10.【答案】D二、填空题11.【答案】√3212.【答案】3413.【答案】3√32−23π14.【答案】4315.【答案】141°16.【答案】317.【答案】750√218.【答案】4.819.【答案】120.【答案】√7三、解答题21.【答案】解：原式=2-√2-2×√22+1+2√2.=3.22.【答案】解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，根据题意可得，∠DAB=∠BAC=∠C=30°，BC=100m，∴AB=BC=100m，在Rt△ADB中，AB=100m，∠DAB =30°，∴AD=cos30°·AB= √32×100 =50 √3 m.答：热气球离地面的高度为50 √3 m23.【答案】解：由题意可得：∠BAC=40°，AB=66米．∵sin40°= BCAB，∴BC≈0.64×660=422.4米≈422米．答：山的高度BC约为422米．24.【答案】解：作CF⊥AB于F，则四边形HBDC为矩形，∴BD=CF，BF=CD.由题意得，∠ACF=30°，∠CED=30°，设CD=x米，则AF=（30﹣x）米，在Rt△AFC中，FC= ABtan∠ACF=√3(30−x)，则BD=CF= √3(30−x)，∴ED= √3(30−x) -10，在Rt△CDE中，ED= CDtan∠CED=√3x，则√3(30−x) -10= √3x，解得，x=15﹣5√33，答：立柱CD的高为（15﹣5√33）米．25.【答案】解：由题意知CD⊥AD，EF∥AD．∴∠CEF=90°．设CE=x，在Rt△CEF中，tan∠CFE= CEEF，则EF= CEtan∠CFE =xtan21°=83x．在Rt△CEG中，tan∠CGE= CEGE，则GE= CEtan∠CGE =xtan37°=43x．∵EF=FG+EG，∴83x=50+43x，x=37.5．∴CD=CE+ED=37.5+1.5=39（米）．答：古塔的高度约是39米．26.【答案】解：不需要移栽，理由为：∵CB⊥AB，∠CAB=45°，∴△ABC为等腰直角三角形，∴AB=BC=5米，在Rt△BCD中，新坡面DC的坡度为i= ：3，即∠CDB=30°，∴DC=2BC=10米，BD= BC=5 米，∴AD=BD﹣AB=（5 ﹣5）米≈3.66米，∵2+3.66=5.66＜6，∴不需要移栽．27.【答案】解：由题意可得， tan∠DAB= ，tan ，∠CAB=90°，∠DAB=30°，AE=60米，∴=60，解得，DB=30 米，即河的宽度是30 米28.【答案】解：如图，过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H．则DE=BF=CH=10m，在直角△ADF中，∵AF=80m-10m=70m，∠ADF=45°，∴DF=AF=70m．在直角△CDE中，∵DE=10m，∠DCE=30°，∴CE= DEtan30°=10√33=10√3（m），∴BC=BE-CE=70-10 √3≈70-17.32≈52.7（m）．答：障碍物B，C两点间的距离约为52.7m。

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