北师大版九年级数学试卷
(常考题)北师大版初中数学九年级数学上册第一单元《特殊平行四边形》测试卷(包含答案解析)(4)
一、选择题1．在一个四边形ABCD 中依次连接各边的中点得到的四边形是矩形，则对角线AC 与BD 需要满足的条件是（ ） A ．垂直 B ．相等 C ．垂直且相等D ．不再需要条件2．正方形具有而矩形没有的性质是（ ） A ．对角线互相平分 B ．每条对角线平分一组对角 C ．对角线相等 D ．对边相等 3．如图，O 是菱形ABCD 的对角线,AC BD 的交点，E ，F 分别是,OA OC 的中点给出下列结论：①ADEEODSS=；②四边形BFDE 也是菱形；③四边形ABCD 的面积大小等于EF BD ⋅；④ADE EDO ∠=∠；⑤是轴对称图形．其中正确的结论有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个4．下列说法中正确的是（ ） A ．对角线互相垂直的四边形是菱形 B ．有一个角是直角的平行四边形是正方形 C ．有两个角相等的四边形是平行四边形 D ．平移和旋转都不改变图形的形状和大小5．如图，正方形ABCD ，对角线,AC BD 相交于点O ，过点D 作ODC ∠的角平分线交OC 于点G ，过点C 作CF DG ⊥，垂足为F ，交BD 于点E ，则:ADGBCESS的比为（ ）A ．21):1B ．(221):1-C ．2∶1D ．5∶26．如图，四边形ABCD 中，90A B ∠=∠=︒，60C ∠=°，2CD AD =，4AB =，点P 是AB 上一动点，则PC PD +的最小值是（ ）A ．4B ．6C ．8D ．107．如图，在等腰直角三角形ABC 中，90ABC ∠=︒，2AB =，点D 是边AC 的中点，连接BD ，点E 为AC 延长线上的一点，连接BE ，30E ∠=︒，则CE 的长为（ ）A ．2622-B ．62-C ．6D ．28．如图，在ABC 中，D 是BC 边上的中点，连结AD ，把ACD △沿AD 翻折，得到ADC '，DC '与AB 交于点E ，连结BC '，若2BD BC ='=，3AD =，则点D 到AC '的距离为（ ）A 33B ．3217C 7D 139．如图，在平行四边形ABCD 中，AD ＝2AB 、点F 是AD 的中点，作CE ⊥AB 垂足E 在线段AB 上，连接 EF 、CF ，则下列结论：①2BCD DCF ∠=∠；②EF ＝CF ； ③S △BCE ＝S △CEF ；④∠DFE ＝3∠AEF ．其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．如图，在菱形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，AC =8，BD =6，则菱形的周长等于（ ）A ．40B ．47C ．24D ．20 11．下列图形中，是中心对称图形但不一定是轴对称图形的是（ ）A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．平行四边形12．如图，正方形OABC 的两边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴上，点D （5，3）在边AB 上，以C 为中心，把CDB 旋转90°，则旋转后点D 的对应点D 的坐标是（ ）A ．（2，10）B ．（﹣2，0）C ．（2，10）或（﹣2，0）D ．（10，2）或（﹣2，0）二、填空题13．如图，正方形ABCD ，对角线AC ，BD 交于点O ，以OD ，OC 为一组邻边做正方形1DOCC ；CD ，1OC 交于点1O ，以1O D ，11O C 为一组邻边做正方形112DO C C ；1C D ，12O C 交于点2O ，以2O D ，22O C 为一组邻边做正方形223DO C C ……．若1AB =，则1n n n DO C C S +正方形的值为_____．14．如图，在△ABC中，∠BAC=45°，AB=AC=4，P为AB边上一动点，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，则对角线PQ的最小值为___________．15．如图，矩形ABOC的顶点B、C分别在x轴、y轴上，顶点A在第一象限，点B的坐标为（3，0），将线段OC绕点O顺时针旋转60°至线段OD，若反比例函数k yx（k≠0）的图象进过A、D两点，则k值为_____．16．我们把两条对角线所成两个角的大小之比是1：2的矩形叫做“和谐矩形”，如果一个“和谐矩形”的对角线长为10cm，则矩形的面积为_____cm2．17．如下图，在平面直角坐标系中有一边长为l的正方形OABC，边OA、OC分别在x轴、y 轴上，如果以对角线OB为边作第二个正方形OBB1C1，再以对角线OB l为边作第三个正方形OB l B2C2，照此规律作下去，则点B2020的纵坐标为_______．18．如图，在正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，点E 在DA 的延长线上，BE BF ⊥交CD 于点F ，连接EF ．DEF ∠的角平分线与BD 交于点H ，连接FH ．过点D 分别作DQ EH ⊥于点Q 、DP FH ⊥于点P ，连接PQ PQ ．若1PQ CF ==，则DF =______．19．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ︒∠=，将ABC ∆绕顶点C 逆时针旋转得到'',A B C M ∆是BC 的中点，P 是''A B 的中点，连接PM ，若4,30BC BAC ︒=∠=，则线段PM 的最大值是__________．20．如图，正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别是边AB ，CD 上的点，且60CFE ∠=︒．将四边形BCFE 沿EF 翻折，得到B C FE ''，点C '恰好落在AD 边上，B C''交AB于点G，则GE的长是_______．三、解答题21．在正方形ABCD中，点E、F分别在BC边和CD上，且满足AEF是等边三角形,连接AC交EF于点G．=；（1）求证：CE CF（2）若等边AEF边长为2，求AC的长．22．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，ABO是等边三角AB=，求ABCD的面积．形，423．如图，在△ABC中，已知AB=AC，∠BAC=90°，BC=12cm，直线CM⊥BC，动点D从点C开始以每秒4cm的速度运动到B点，动点E也同时从点C开始沿射线CM方向以每秒2cm的速度运动．（1）问动点D运动多少秒时，△ABD≌△ACE，并说明理由；（2）设动点D运动时间为x秒，请用含x的代数式来表示△ABD的面积S；（3）动点D运动多少秒时，△ABD与△ACE的面积比为4：1．24．综合与实践已知四边形ACBD与AEFG均为正方形．数学思考：（1）如图1，当点E在AB边上，点G在AD边上时，线段BE与DG的数量关系是______，位置关系是______．（2）在图1的基础上，将正方形AEFG以点A为旋转中心，逆时针旋转角度α，得到图2，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；拓展探索：（3）如图3，若点D，E，G在同一直线上，且222==，则线段BE长为AB AE_____．（直接写出答案即可，不要求写过程）．25．如图，在ABC中，90B，CE垂直于AB于点E，D是AB∠=，30ACB︒的中点．=；（1）求证：AE EDAC=，求DE的长．（2）若226．如图，正方形ABCD的边AB在数轴上，数轴上点A表示的数为-1，正方形ABCD的面积为16.（1）数轴上点B表示的数为；A B C D，移动后的正方形（2）将正方形ABCD沿数轴水平移动，移动后的正方形记为''''A B C D与原正方形ABCD重叠部分的面积记为S.''''① 当S =4时，画出图形，并求出数轴上点'A表示的数；AA的中点，点F在线段② 设正方形ABCD的移动速度为每秒2个单位长度，点E为线段'BB上，且. 经过t秒后，点E，F所表示的数互为相反数，求出t的值.'【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】根据题意画出相应的图形，如图所示，由四边形EFGH为矩形，根据矩形的四个角为直角得到∠FEH＝90°，又EF为三角形ABD的中位线，根据中位线定理得到EF与DB平行，根据两直线平行，同旁内角互补得到∠EMO＝90°，同理根据三角形中位线定理得到EH与AC 平行，再根据两直线平行，同旁内角互补得到∠AOD＝90°，根据垂直定义得到AC与BD垂直．【详解】解：如图，∵四边形EFGH是矩形，∴∠FEH＝90°，又∵点E、F、分别是AD、AB边的中点，∴EF是三角形ABD的中位线，∴EF∥BD，∴∠FEH＝∠OMH＝90°，又∵点E、H分别是AD、CD各边的中点，∴EH是三角形ACD的中位线，∴EH∥AC，∴∠OMH＝∠COB＝90°，即AC⊥BD．故选：A．【点睛】此题考查了矩形的性质，三角形的中位线定理，以及平行线的性质．这类题的一般解法是：借助图形，充分抓住已知条件，找准问题的突破口，由浅入深多角度，多侧面探寻，联想符合题设的有关知识，合理组合发现的新结论，围绕所探结论环环相加，步步逼近，所探结论便会被“逼出来”．2．B解析：B【分析】首先要知道正方形和矩形的性质，正方形是四边相等的矩形，正方形对角线平分对角，且对角线互相垂直．【详解】解：A、正方形和矩形对角线都互相平分，故A不符合题意，B、正方形对角线平分对角，而矩形对角线不平分对角，故B符合题意，C、正方形和矩形对角线都相等，故C不符合题意，D、正方形和矩形的对边都相等，故D不符合题意．故选：B．【点睛】本题主要考查正方形对角线相互垂直平分相等的性质和长方形对角线平分相等性质的比较．3．C解析：C【分析】①正确，根据三角形的面积公式可得到结论．②根据已知条件利用菱形的判定定理可证得其正确．③正确，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可求得．④不正确，根据已知可求得∠FDO＝∠EDO，而无法求得∠ADE＝∠EDO．⑤正确，由已知可证得△DEO≌△DFO，从而可推出结论正确．【详解】解：①正确∵E 、F 分别是OA 、OC 的中点． ∴AE ＝OE ．∵S △ADE 12=⨯AE ×OD 12=⨯OE ×OD ＝S △EOD ∴S △ADE ＝S △EOD ． ②正确∵四边形ABCD 是菱形，E ，F 分别是OA ，OC 的中点． ∴EF ⊥OD ，OE ＝OF ． ∵OD ＝OB ．∴四边形BFDE 是菱形． ③正确∵菱形ABCD 的面积12=AC ×BD ． ∵E 、F 分别是OA 、OC 的中点．∴EF 12=AC ． ∴菱形ABCD 的面积＝EF ×BD ． ④不正确由已知可求得∠FDO ＝∠EDO ，而无法求得∠ADE ＝∠EDO ． ⑤正确∵EF ⊥OD ，OE ＝OF ，OD ＝OD ． ∴△DEO ≌△DFO ． ∴△DEF 是轴对称图形．∴正确的结论有四个，分别是①②③⑤， 故选：C ． 【点睛】此题主要考查学生对菱形的性质等知识的理解及运用能力．4．D解析：D 【分析】根据平行四边形，菱形，正方形的判定，依据平移旋转的性质一一判断即可． 【详解】解：A 、对角线互相垂直的四边形是菱形，错误．应该是对角线互相垂直平分的四边形是菱形，本选项不符合题意．B 、有一个角是直角的平行四边形是正方形，错误．应该是有一个角是直角且邻边相等的平行四边形是正方形，本选项不符合题意．C 、有两个角相等的四边形是平行四边形，错误，可能是等腰梯形．本选项不符合题意．D 、平移和旋转都不改变图形的形状和大小，正确，【点睛】本题考查平行四边形的判定，菱形的判定，正方形的判定，平移变换，旋转变换的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．5．A解析：A 【分析】由题意先证得DE DC =和()DOG COE ASA ∆≅∆，设2AD DC a ==，进而可用含a 的式子表示出线段AG 和BE 的长，要求:ADG BCE S S ∆∆的比值即求AG 和BE 的比值，代入即可求解． 【详解】 解：正方形ABCD ，AD DC ∴=，45ODC OCD OAD ∠=∠=∠=︒，90DOC BOC ∠=∠=︒，OD OC =， DF 平分ODC ∠，22.5EDF CDF ∴∠=∠=︒， CF DG ⊥，67.5DEF DCF ∴∠=∠=︒，67.54522.5OCE ∴∠=︒-︒=︒，DE DC =， OCE ODG ∴∠=，又OD OC =，90DOC BOC ∠=∠=︒，()DOG COE ASA ∴∆≅∆，OG OE ∴=，设2AD DC a ==，则有OA OB =，2DE a =，BD =，2)BE BD DE a ∴=-=，2AG AO OG a =+=，12ADG S AG OD ∆=，12BCE S BE OC ∆=，OD OC =，::2:2)1):1ADG BCE S S AG BE a a ∆∆∴===，故选：A ． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，角平分线的定义以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是将两个三角形的面积比转化成两条线段的比，综合性较强．6．C解析：C 【分析】作D 点关于AB 的对称点D '，连接CD '交AB 于P ，根据两点之间线段最短可知此时PC +PD 最小；再作D 'E ⊥BC 于E ，则EB =D 'A =AD ，先根据等边对等角得出∠DCD '=∠DD 'C ，然后根据平行线的性质得出∠D 'CE =∠DD 'C ，从而求得∠D 'CE =∠DCD '，得出∠D 'CE =30°，根据30°角的直角三角形的性质求得D 'C =2D 'E =2AB ，即可求得PC +PD 的最小值．作D点关于AB的对称点D'，连接CD'交AB于P，P即为所求，此时PC+PD=PC+PD'=CD'，根据两点之间线段最短可知此时PC+PD最小．作D'E⊥BC于E，则EB=D'A=AD．∵CD=2AD，∴DD'=CD，∴∠DCD'=∠DD'C．∵∠DAB=∠ABC=90°，∴四边形ABED'是矩形，∴DD'∥EC，D'E=AB=4，∴∠D'CE=∠DD'C，∴∠D'CE=∠DCD'．∵∠DCB=60°，∴∠D'CE=30°，∴在Rt△D'CE中，D'C=2D'E=2×4=8，∴PC+PD的最小值为8．故选：C．【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，轴对称的性质，矩形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，含30°角的直角三角形的性质等，确定出P点是解答本题的关键．7．B解析：B根据等腰直角三角形和三角形内角和性质，得45A ACB ∠=∠=︒，即AB BC =，再根据勾股定理的性质计算，得AC ；根据直角三角形斜边中线的性质，得AD CD BD ==；结合30E ∠=︒，根据含30角的直角三角形的性质，得BE ，最后根据勾股定理计算，即可得到答案． 【详解】∵ABC 是等腰直角三角形，2AB = ∴90ABC ∠=︒，∴45A ACB ∠=∠=︒， ∴2AB BC == ，∴AC ==∵ABC 是等腰直角三角形，D 是AC 的中点，∴AD CD BD ===90BDC ∠=︒，∵30E ∠=︒，∴2BE BD == ，∴DE ==∴CE DE CD =-=故选：B ． 【点睛】本题考查了等腰三角形、三角形内角和、勾股定理、直角三角形的知识；解题的关键是熟练掌握等腰三角形、三角形内角和、勾股定理、直角三角形的性质，从而完成求解．8．B解析：B 【分析】过点D 作DF ⊥BC'，垂足为F ，过点A 作AG ⊥BC'，交BC'的延长线于G ，则四边形ADFG 是矩形，计算AC '的长，后利用三角形ADC 'M 面积 的不同计算方法计算即可. 【详解】如图，过点D 作DF ⊥BC'，垂足为F ，过点A 作AG ⊥BC'，交BC'的延长线于G ，∵把ACD △沿AD 翻折，得到ADC '， ∴DC=DC '，∠ADC=∠A DC '， ∵D 是BC 边上的中点， ∴DC=BD ， ∵2BD BC ='=， ∴DC '=2BD BC ='=，∴BDC '是等边三角形，∴∠ADC=∠A DC '=∠B DC '=∠DC 'B=60°， ∴BG ∥AD ，∵DF ⊥BC'，AG ⊥BC'， ∴四边形ADFG 是矩形， ∴BF=FC'=1，FG=AD=3，222221BD BF -=-3，∴3GC '=2， ∴AC '22222(3)AG GC '+=+7，设点D 到AC '的距离为h ， ∴1122AC h AD DF '=， ∴1173322h =⨯， ∴h=3217， 故选B. 【点睛】本题考查了三角形的折叠问题，等边三角形的判定和性质，平行线的判定，矩形的判定，勾股定理，三角形的面积，熟练掌握折叠的性质，矩形的判定，三角形面积不同表示方法是解题的关键.9．C解析：C 【分析】由在平行四边形ABCD 中，AD=2AB ，F 是AD 的中点，证明AF=FD=CD ，继而证得①2BCD DCF ∠=∠；然后延长EF ，交CD 延长线于M ，分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出△AEF ≌△DMF （ASA ），可得EF MF =，再证明90ECM ∠=︒，从而可判断②；由,CBECEF S S=可得：13CBEABCDSS =，可得：2,3BE AB =与已知不符，从而可判断③；设∠FEC=x ，则∠FCE=x ，再分别表示∠EFD=9018022703x x x ︒-+︒-=︒-，∠AEF=90,M FCM x ∠=∠=︒-从而可判断④． 【详解】解：①∵F 是AD 的中点， ∴AF=FD ， ∵在▱ABCD 中， AD=2AB ， ∴AF=FD=CD ， ∴∠DFC=∠DCF ， ∵AD ∥BC ， ∴∠DFC=∠FCB ， ∴∠DCF=∠BCF ，∴∠BCD 2DCF =∠，故①正确； ②延长EF ，交CD 延长线于M ， ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ， ∴∠A=∠MDF ， ∵F 为AD 中点， ∴AF=FD ，在△AEF 和△DFM 中，A FDM AF DFAFE DFM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△AEF ≌△DMF （ASA ），∴FE=MF ，∠AEF=∠M ， ∵CE ⊥AB ， ∴∠AEC=90°， ∴∠AEC=∠ECD=90°， ∵FM=EF ，∴EF=CF ，故②正确； ③∵EF=FM ，EFCCFMSS∴=，若,CBECEFS S=则13CBEABCDSS =11,23BE EC AB EC ∴= 32,BE AB ∴= 2,3BE AB ∴=与已知条件不符， 故CBECEFSS=不一定成立，故③错误；④设∠FEC=x ，,EF CF = ∴∠FCE=x ，∴∠DCF=∠DFC=90x ︒-，∠EFC=1802x ︒-， ∴∠EFD=9018022703x x x ︒-+︒-=︒-， ∵∠AEF=90,M FCM x ∠=∠=︒- ∴∠DFE=3∠AEF ，故④正确． 故选：C ． 【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，三角形全等的判定与性质，平行线的性质，三角形的内角和定理，直角三角形斜边上的中线的性质，等腰三角形的性质，掌握以上知识是解题关键．10．D解析：D 【分析】根据菱形的性质可求得BO 、AO 的长，AC ⊥BD ，根据勾股定理可求出AB ，进而可得答案． 【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB =BC =CD =DA ，132==BO BD ，142AO AC ==，AC ⊥BD ，则在Rt△ABO中，根据勾股定理得：5AB=，∴菱形ABCD的周长=4×5=20．故选：D．【点睛】本题考查了菱形的性质和勾股定理，属于基础题目，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．11．D解析：D【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断即可．【详解】矩形是中心对称图形，也是轴对称，该选项不符合题意；菱形是中心对称图形，也是轴对称，该选项不符合题意；正方形是中心对称图形，也是轴对称，该选项不符合题意；平行四边形中心对称图形，但不一定是轴对称，该选项符合题意，故选：D．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图形重合．12．C解析：C【分析】分顺时针旋转和逆时针旋转两种情况讨论解答即可．【详解】解：∵点D（5，3）在边AB上，∴BC＝5，BD＝5﹣3＝2，①若顺时针旋转，则点D在x轴上，O D＝2，所以，D（﹣2，0），②若逆时针旋转，则点D到x轴的距离为10，到y轴的距离为2，所以，D（2，10），综上所述，点D的坐标为（2，10）或（﹣2，0）．故选：C．【点睛】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，正方形的性质，难点在于分情况讨论．二、填空题13．【分析】依题意得由从而可得同理继而可得……依此规律作答【详解】解：在正方形中同理∵∴∵……故答案为：【点睛】本题考查了正方形的性质全等三角形的性质及求三角形的面积等知识正确理解正方形的对角线把正方形解析：+112n【分析】依题意，得1ABCD S =正方形，由ABC DOC 142DOCDOCD C S SS S==正方形正方形，，从而可得11122DOCC ABCD S S ==正方形正方形，同理，111S 4DO C DOCC S =正方形，11112S 2DO C DO C C S=正方形，继而可得 112121111S 2222DO C C DOCC S ==⨯=正方形正方形 ，22112S 4DO C DO C C S =正方形，22223S 2DO C DO C C S=正方形，2231121S 2DO C C DO C C S ==正方形正方形23111222⨯=……，依此规律作答【详解】解：在正方形ABCD 中，,,AC BD AO BO CO DO AB BC CD DA ⊥======，AOB BOC COD DOA ∴≌≌≌，AOBBOCCODDOAS∴=S=S=SS 4DOCABCD S∴=正方形，1S 2DOCDOCC S=正方形，11S 2DOCC ABCD S ∴=正方形正方形，同理∵111S 4DO C DOCC S =正方形，11112S 2DO C DO C C S=正方形∴112121111S 2222DO C C DOCC S ==⨯=正方形正方形 ， ∵22112S 4DO C DO C C S =正方形，22223S 2DO C DO C C S=正方形223112231111S 2222DO C C DO C C S ==⨯=正方形正方形， ……111S 2n n n DO C C n ∴++=正方形， 故答案为：112n + 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质及求三角形的面积等知识，正确理解正方形的对角线把正方形分成面积相等的四个全等三角形是解题的关键14．【分析】以PAPC 为邻边作平行四边形PAQC 由平行四边形的性质可知O 是AC 中点PQ 最短也就是PO 最短所以应该过O 作AB 的垂线PO 然后根据等腰直角三角形的性质即可求出PQ 的最小值【详解】解：∵四边形A解析：【分析】以PA ，PC 为邻边作平行四边形PAQC ，由平行四边形的性质可知O 是AC 中点，PQ 最短也就是PO 最短，所以应该过O 作A B 的垂线PO ，然后根据等腰直角三角形的性质即可求出PQ 的最小值． 【详解】解：∵四边形APCQ 是平行四边形， ∴AO=CO ，OP=OQ ， ∵PQ 最短也就是PO 最短， ∴过点O 作OP´⊥AB 于P´， ∵∠BAC=45°∴∠AP´O 是等腰直角三角形， ∴222,P A P O AO P A P O ''''==+ ∵AO=12AC=2， ∴OP´=22AO = ∴PQ 与AB 垂直时，PQ 最小，最小值为PQ= 2OP´= 22 故答案为：22.【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形性质以及垂线段最短的性质，解题的关键是做高线等腰直角三角形.15．4【分析】过点D 作DH ⊥x 轴于H 四边形ABOC 是矩形由性质有AB ＝CO ∠COB ＝90°将OC 绕点O 顺时针旋转60°OC ＝OD ∠COD ＝60°可得∠DOH ＝30°设DH ＝x 点D （xx ）点A （2x ）反比解析：3【分析】过点D 作DH ⊥x 轴于H ，四边形ABOC 是矩形，由性质有AB ＝CO ，∠COB ＝90°， 将OC 绕点O 顺时针旋转60°，OC ＝OD ，∠COD ＝60°，可得∠DOH ＝30°， 设DH ＝x ，点D 3，x ），点A 3，2x ），反比例函数ky x=（k ≠0）的图象经过A 、D 两点，构造方程求出即可．【详解】解：如图，过点D作DH⊥x轴于H，∵四边形ABOC是矩形，∴AB＝CO，∠COB＝90°，∵将线段OC绕点O顺时针旋转60°至线段OD，∴OC＝OD，∠COD＝60°，∴∠DOH＝30°，∴OD＝2DH，OH3，设DH＝x，∴点D3，x），点A32x），∵反比例函数kyx=（k≠0）的图象经过A、D两点，∴3×x3x，∴x＝2，∴点D（32），∴k＝3＝3故答案为：3【点睛】本题考查反比例函数解析式问题，关键利用矩形的性质与旋转找到AB＝CO＝OD，∠DOH ＝30°，DH＝x，会用x表示点D3，x），点A3，2x），利用A、D在反比例函数kyx=（k≠0）的图象上，构造方程使问题得以解决．16．25【分析】根据和谐矩形的性质求出∠ADB＝30°由含30°角的直角三角形的性质求出ABAD的长即可得出答案【详解】解：∵四边形ABCD是和谐矩形∴OA＝OCOB＝ODAC＝BD＝10∠BAD＝90解析：3【分析】根据“和谐矩形”的性质求出∠ADB＝30°，由含30°角的直角三角形的性质求出AB、AD的长，即可得出答案．【详解】解：∵四边形ABCD是“和谐矩形”，∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD＝10，∠BAD＝90°，∠CAD：∠BAC＝1：2，∴OA＝OD，∠CAD＝30°，∠BAC＝60°，∴∠ADB＝∠CAD＝30°，∴AB＝1BD＝5，AD＝2∴矩形ABCD的面积＝AB×AD＝cm2）；故答案为：【点睛】本题考查了矩形的性质、新定义、等腰三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的性质和含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．17．【分析】首先求出B1B2B3B4B5B6B7B8B9的坐标找出这些坐标的之间的规律然后根据规律计算出点B2020的坐标【详解】解：∵正方形OABC边长为1∴OB=∵正方形OBB1C1是正方形OABC解析：10102-【分析】首先求出B1、B2、B3、B4、B5、B6、B7、B8、B9的坐标，找出这些坐标的之间的规律，然后根据规律计算出点B2020的坐标．【详解】解：∵正方形OABC边长为1，∴，∵正方形OBB1C1是正方形OABC的对角线OB为边，∴OB1=2，∴B1点坐标为（0，2），同理可知OB2，B2点坐标为（-2，2），同理可知OB3=4，B3点坐标为（-4，0），B4点坐标为（-4，-4），B5点坐标为（0，-8），B6（8，-8），B7（16，0）B8（16，16），B9（0，32），由规律可以发现，每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形倍，∵2020÷8=252…4，∴B2020的纵横坐标符号与点B4的相同，横坐标为负值，纵坐标是负值，∴B2020的坐标为（-21010，-21010）．故答案为：10102-．【点睛】本题主要考查正方形的性质和坐标与图形的性质的知识点，解答本题的关键是由点坐标的规律发现每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变倍，此题难度较大．18．1+【分析】延长DQ 交EF 于M 延长DP 交EF 于N 先证∆ABE ≌∆CBF∆FPN ≌∆FPD∆EQD ≌∆EQM 设CD=x 则DF=x-1EF=BF=列方程求解即可【详解】解：延长DQ 交EF 于M 延长DP 交E解析：【分析】延长DQ 交EF 于M ，延长DP 交EF 于N ，先证∆ABE ≌∆CBF ，∆FPN ≌∆FPD ，∆EQD ≌∆EQM ，设CD=x ，则DF=x-1，【详解】解：延长DQ 交EF 于M ，延长DP 交EF 于N ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC ，∠ABC=∠BAD=∠BCF=90°，BD 平分∠ADC ，∵BE ⊥BF ，∴∠EBF=90°，∴∠EBF=∠ABC ，∴∠EBF-∠ABF=∠ABC-∠ABF ，∴∠ABE=∠CBF ，在∆ABE 和∆CBF 中，BAE BCF AB CBABE CBF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴∆ABE ≌∆CBF ，∴AE=CF ，BE=BF ，∵EQ 平分∠DEF ，OD 平分∠EDF ，EQ 与OD 交于H ，∴FH 平分∠EFD ，∴EP ⊥DP ，∴∠FPN=∠FPD ，在∆FPN 和∆FPD 中，NFP DFP PF PFFPN FPD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴∆FPN ≌∆FPD ，∴PN=PD ，NF=DF ，∵EQ 平分∠DEF ，∴∠DEQ=∠MEQ ，∵EQ ⊥DQ ，∴∠EQD=∠EQM=90°，在∆EQD 和∆EQM 中，DEQ EQ EQ MQEQD EQM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴∆EQD ≌∆EQM ，∴DQ=MQ ，EM=ED ，∴PQ 是∆DMN 的中位线，∴PQ=12MN=1， ∴MN=2，∴EF+MN=EM+FN=DE+DF=AD+AE+CD-CF=2CD ，设CD=x ，则DF=x-1，∴∴，∴2x²+2=4x²-8x+4，∴2x²-8x+2=0，∴x²-4x+1=0，∴(x-2) ²=3，∴122,2x x ==(舍)，∵∴故答案为：【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质及三角形的中位线定理，解题的关键是熟练掌握有关性质及正确添加辅助线．19．【分析】如图连接PC由直角三角形性质和旋转性质可得A′B′=AB=8PC=4根据PM≤PC+CM可得PM≤6由此即可解决问题【详解】解：如图连接PC在Rt△ABC中∵∠A=30°BC=4∴AB=8根解析：6【分析】如图，连接PC，由直角三角形性质和旋转性质可得A′B′=AB=8，PC=4，根据PM≤PC+CM，可得PM≤6，由此即可解决问题．【详解】解：如图，连接PC，在Rt△ABC中，∵∠A=30°，BC=4，∴AB=8，根据旋转不变性可知，A′B′=AB=8，∵P 是 A'B' 的中点，∴A′P=PB′=PC，∴PC=1A′B′=4，2∵CM=BM=2，∵PM≤PC+CM，即PM≤6，∴PM的最大值为6（此时P、C、M共线），故答案是：6．【点睛】本题考查旋转变换、含30度角的直角三角形性质、直角三角形斜边中线定理，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用三角形的三边关系解决最值问题，属于中考常考题型．20．【分析】由正方形的性质得出∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°AB＝AD＝3由折叠的性质得出FC′＝FC∠C′FE＝∠CFE＝60°∠FC′B′＝∠C＝90°B′E＝BE∠B′＝∠B＝90°求出∠DC′F解析：8【分析】由正方形的性质得出∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝AD＝3，由折叠的性质得出FC′＝FC，∠C′FE＝∠CFE＝60°，∠FC′B′＝∠C＝90°，B′E＝BE，∠B′＝∠B＝90°，求出∠DC′F＝30°，得出FC′＝FC＝2DF，求出DF＝2，，则C′A＝，AG＝6，设EB＝x，则GE＝2x，得出方程，解方程即可．【详解】∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝AD＝3，由折叠的性质得：FC′＝FC，∠C′FE＝∠CFE＝60°，∠FC′B′＝∠C＝90°，B′E＝BE，∠B′＝∠B ＝90°，∴∠DFC′＝180°-60°-60°=60°，∴∠DC′F＝30°，∴FC′＝FC＝2DF，∵DF＋CF＝CD＝6，∴DF＋2DF＝6，解得：DF＝2，∴∴C′A＝∵∠AC′G=180°-30°-90°=60°，∠AGC′=90°-60°=30°，∴-6，设EB＝E′B=x，∵∠B′GE＝∠AGC′＝30°，∴GE＝2x，则＋3x＝6，解得：x＝∴GE ＝故答案是：【点睛】本题考查了翻折变换的性质、正方形的性质、勾股定理、含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握翻折变换和正方形的性质，根据题意得出方程是解决问题的关键．三、解答题21．（1）见解析 （21【分析】（1）根据正方形和等边三角形的性质，证Rt ABE Rt ADF △≌△即可；（2）由（1）可知，AC 垂直平分EF ，根据勾股定理和斜边中线等于斜边的一半求AG 、CG 即可．【详解】（1）证明：正方形ABCD ，∴AB AD =，B D ∠=∠=90°，BC CD =． AEF 是等边三角形，AE AF ∴=．(HL)Rt ABE Rt ADF ∴△≌△．BE DF ∴=．CE CF ∴=．（2）由（1）得，CE=CF ，AE=AF=2，AC ∴垂直平分EF ．1EG FG ∴==．AG ∴===，∵∠ECF=90°，EG=GF ， ∴112CG EF ==，1AC AG CG ∴=+=．【点睛】本题考查了正方形、等边三角形、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题关键是准确把握已知，熟练运用全等三角形、勾股定理等知识进行证明和计算．22．【分析】△AOB 是等边三角形，得出AO=AB ，进而得出四边形ABCD 是矩形，求出AC ，再根据勾股定理求出BC ，即可求出面积=AB•BC ．【详解】解：因为平行四边形ABCD ，∴OA OC =，OB OD =，又∵三角形ABO 是等边三角形4OA OB AB ∴===，∴4OA OB OC OD ====，∴2248AC BD OA ===⨯=∴平行四边形ABCD 是矩形∴90ABC ∠=°在Rt ABC 中，由勾股定理得222AB BC AC += ∴22228443BC AC AB =-=-=∴S ▱ABCD =AB•BC=43×4=163【点睛】本题考查了矩形的判定和性质和等边三角形的性质以及勾股定理，运用勾股定理求边长是解题的关键．23．（1）动点D 运动2秒时，△ABD ≌△ACE ；理由见解析；（2）1236S x =-+；（3）动点D 运动1秒时，△ABD 与△ACE 的面积比为4:1．【分析】（1）设动点D 运动t 秒时△ABD ≌△ACE ，先根据等腰直角三角形得：∠ACE=∠B ，再加上AB=AC 所以只要满足BD=CE ，△ABD ≌△ACE 列式可求得t 的值；（2）作高线AF ，根据等腰直角三角形三线合一可知：AF 是斜边的中线，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得AF=6，代入面积公式可求出代数式；（3）作高线AG ，先证明四边形AFCG 是矩形，求出AG=6，由△ABD 与△ACE 的面积比为4:1列式可得出结论．【详解】(1)如图1，设动点D 运动t 秒时，△ABD ≌△ACE由题意得：CD=4t,CE=2t,则BD=12-4t,∵AB=AC,∠BAC=90°,∴∠B=∠ACB=45°,∵CM ⊥BC,∴∠BCM=90°,∴∠ACE=90°-45°=45°,∴∠ACE=∠B,∴当BD=CE 时,△ABD ≌△ACE,即12-4t=2t,t=2,动点D 运动2秒时,△ABD ≌△ACE;(2)如图2,过A 作AF ⊥BC 于F,∵AB=AC,∠BAC=90°，∴AF 是等腰直角三角形的中线,∴AF=6,由题意得：CD=4x,则BD=12-4x ， 1112-4)6123622ABD S S BD AF x x ∆==⋅=⨯=-+（； (3)设动点D 运动x 秒时,△ABD 与△ACE 的面积比为4:1 如图2,再过A 作AG ⊥CM 于G,∵∠AFC=∠BCM=∠AGC=90°，∴四边形AFCG 为矩形，∴AG=CF=6,∵△ABD 与△ACE 的面积比为4:1,1·4211·2ABDACEBD AF S S CE AG ==△△ ∴4BD CE= ∴BD=4CE,即12-4x=8x ，x=1．答：动点D 运动1秒时,△ABD 与△ACE 的面积比为4:1．【点睛】本题考查了等腰直角三角形、全等三角形的判定及性质以及动点问题，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键；在动点问题中，明确路程=时间⨯速度，根据时间准确表示动点D 和E 的路程BD 、CE 的代数式，根据题中的等量关系列等式即可．24．（1）BE DG =，BE DG ⊥；（2）成立．证明见解析；（371【分析】（1）根据正方形的性质得到AB AD =，AG AE =，90A ∠=︒，即可证明BE DG =，BE DG ⊥；（2）延长BE ，与DG 交于点H ，证明BAE DAG ≌，得BE DG =，ABE ADG ∠=∠，再由()18090DHO ADG DOH ∠=︒-∠+∠=︒即可证明结论； （3）过点A 作AM BE ⊥于点M ，由ABE ADG ≅△△，证明AEM △是等腰直角三角形，根据勾股定理求出AM 和EM 的长，再算出BM 的长，即可得到BE 的长．【详解】解：（1）∵四边形ACBD 与AEFG 均为正方形，∴AB AD =，AG AE =，∴AB AE AD AG -=-，即BE DG =，∵90A ∠=︒，∴BE DG ⊥，故答案是：BE DG =，BE DG ⊥；（2）成立，如图，延长BE ，与DG 交于点H ，∵四边形ABCD 与AEFG 均为正方形，∴AB AD =，AE AG =，90BAD EAG ∠=∠=︒，∴BAD EAD EAG EAD ∠+∠=∠+∠，∴BAE DAG ∠=∠，∴BAE DAG ≌，∴BE DG =，ABE ADG ∠=∠， ∵18090OBA BOA BAO ∠+∠=︒-∠=︒，DOH BOA ∠=∠，∴90ADG DOH ∠+∠=︒，∴()18090DHO ADG DOH ∠=︒-∠+∠=︒，∴DG BE ⊥；（3）如图，过点A 作AM BE ⊥于点M ，由（2）知ABE ADG ≅△△，∵GE 是正方形AEFG 的对角线，∴45AEB AGD ∠=∠=︒，则AEM △是等腰直角三角形， ∵222AB AE == ∴2AE =∵222AM EM AE +=，∴1AM EM ==， ∴22817BM AB AM =-=-=，∴71BE BM EM =+=+， 故答案是：71+．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，旋转的性质，正方形的性质，解题的关键是熟练掌握这些性质定理进行证明求解．25．（1）见解析；（2）１．【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线性质解得CD=BD ，得到30DCB B ==︒∠∠，继而得到60ADC A ∠=∠=︒再根据等腰三角形的判定推出AC=CD ，最后根据等腰三角形的性质解题；（2）先解得30ACE ∠=︒，根据含30°角的直角三角形的性质解得AE 的长，即可解题．【详解】（1）证明：在ABC 中，90ACB ︒∠=，D 是AB 的中点，12CD AD BD AB ∴=== DCB B ∴∠=∠30,90B ACB ∠=︒∠=︒30,180903060DCB A ∴∠=︒∠=︒-︒-︒=︒60ADC B DCB ∴∠=∠+∠=︒ A ADC ∴∠=∠AC DC ∴=CE 垂直AB 于点EAE ED ∴=；（2）CE AB ⊥90AEC ∴∠=︒60A ∠=︒30ACE ∴∠=︒12AE AC ∴= 2,AC AE DE ==1DE AE ∴==．【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质、直角三角形斜边的中线、含30°角的直角三角形、三角形外角的性质、三角形内角和定理等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．26．（1）－5；（2）– 4或2；（3）t=4．【分析】(1)、根据正方形的面积得出AB=4，根据点A 所表示的数得出点B 所表示的数；(2)、①、根据题意得出矩形的一边长为4，要使面积为4，则另一边长为1，然后根据向左移动和向右移动两种情况分别画出图形得出答案；②、用含t 的代数式分别表示出点E 和点F 所表示的数，然后根据互为相反数的两个数的和为零列出方程得出答案．【详解】解：(1)、正方形ABCD 的面积为16，∴AB=4，点A 表示的数为-1，∴AO=1，∴BO=5，∴数轴上点B 表示的数为：–5；(2)、①∵正方形ABCD 的面积为16，∴边长为4．当S=4时，分两种情况：（I ）若正方形ABCD 向左平移，如图1，重叠部分中的A ＇B =1，∴AA ＇=3．则点A ＇表示–1–3= – 4．（II ）若正方形ABCD 向右平移，如图2，重叠部分中的AB ＇=1，∴AA ＇=3．则点A ＇表示–1+3= 2，综上所述：点A ＇表示的数为– 4或2．。
2024—2025学年北师大版九年级上册数学期末考试模拟试卷 (1)
数学期末考试模拟试卷北师大版2024—2025学年九年级上册考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟题号一二三总分17 18 19 20 21 22 23 24 25得分第I卷一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分36分1．下列方程是一元二次方程的是（）A．x+y＝5B．3x2﹣x＝2C．x（x2+1）＝2D．2．用配方法解方程x2﹣4x+1＝0时，应将其变形为（）A．（x﹣4）2＝3B．（x+4）2＝0C．（x﹣2）2＝0D．（x﹣2）2＝3 3．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若AB＝10，则CD＝（）A．10B．6C．8D．54．下列立体图形中，从前面看得到的平面图形与从左面看得到的平面图形不相同的是（）A．长方体B．正方体C．圆柱D．球5．一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中．不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有69次摸到红球，请估计这个口袋中白球的数量为（）A．7B．6C．4D．36．已知kb＞0，一次函数y＝kx﹣b与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．7．下列说法正确的是（）A．对角线互相垂直的平行四边形是正方形B．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形C．一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形D．对角线互相垂直的四边形是菱形8．已知正比例函数y1＝﹣2x与反比例函数．对于实数m，当x＝m时，y1＞y2；当x＝m+1时，y1＜y2，则m的取值范围为（）A．m＜﹣2或0＜m＜2B．﹣2＜m＜2C．﹣3＜m＜﹣2或1＜m＜2D．﹣2＜m＜0或m＞29．如图，点E在矩形ABCD的AB边上，将△ADE沿DE翻折，点A恰好落在BC边上的点F处，若CD＝3BF，BE＝4，则AD的长为（）A．9B．12C．15D．1810．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，则EF的最小值为（）A．5B．4C．D．3二、填空题（6小题，每题3分，共18分）11．两个相似三角形的面积比是4：9，其中一个三角形的周长为6，则另一个三角形的周长是．12．已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两根，则该三角形的周长为．13．若反比例函数的图象的一个分支在第二象限，则m的取值范围是．14．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣1＝0有一个根为0，则m的值是．15．如图，反比例函数y＝（x＜0）的图象经过平行四边形ABCO的顶点A，OC在x轴上，若点B（﹣1，3），S▱ABCO＝3，则实数k的值为．16．如图，正方形MNPQ内接于△ABC，点M、N在BC上，点P、Q分别在AC和AB边上，且BC边上的高AD＝6cm，BC＝12cm，则正方形MNPQ的边长为．第II卷数学期末考试模拟试卷北师大版2024—2025学年九年级上册姓名：____________ 学号：____________准考证号：___________题号一二三总分17 18 19 20 21 22 23 24 25得分一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分36分）题号12345678910答案二、填空题（6小题，每题3分，共18分）11、_______ 12、______13、_______ 14、______15、_______ 16、______三、解答题解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）17．解方程：（1）x2﹣8x+1＝0；（2）2x2+1＝3x．18．一个几何体由若干个棱长为1cm的小正方体搭成，从上面观察这个几何体，看到的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数．（1）请画出从正面、左面看到的这个几何体的形状图；（2）求该几何体的表面积．19．如图，在平行四边形ABCD中，H是BC的中点，连接AH并延长交DC的延长线于点M，连接BM，且BD⊥BM．（1）求证：C为线段DM的中点；（2）若AB＝5，BD＝6，求平行四边形ABCD面积．20．已知关于x的方程x2﹣4x+k+1＝0有两实数根．（1）求k的取值范围；（2）设方程两实数根分别为x1、x2，且+＝x1x2﹣4，求实数k的值．21．如图，AB＝4，CD＝6，F在BD上，BC、AD相交于点E，且AB∥CD∥EF．（1）若AE＝3，求ED的长．（2）求EF的长．22．某校九年级三班助农兴趣小组针对本班级同学，就新区草莓节的关注程度进行了调查统计，将调查结果分为不关注，关注，比较关注，非常关注四类（分别用A，B，C，D表示），并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图：根据图表信息，解答下列问题：（1）九年级三班一共人，其中B类所对应的圆心角为．（2）九年级一共有600名学生，根据上述调查结果，估计九年级学生选择D 类的有多少人．（3）为了能够更好的宣传新区草莓节，现从非常关注草莓节的甲乙丙丁四名学生中任选两人撰写宣传稿，请用树状图或列表法求恰好选到甲和乙的概率．23．某公司2月份销售新上市的A产品20套，由于该产品的经济适用性，销量快速上升，4月份该公司销售A产品达到45套，并且2月到3月和3月到4月两次的增长率相同．（1）求该公司销售A产品每次的增长率；（2）若A产品每套盈利2万元，则平均每月可售30套，为了尽量减少库存，该公司决定采取适当的降价措施，经调查发现，A产品每套每降0.5万元，公司平均每月可多售出20套；若该公司在5月份要获利70万元，则每套A产品需降价多少？24．在边长为1的正方形ABCD中，点E在边AD上（不与点A，D重合），射线BE与射线CD交于点F．（1）若ED＝，求DF的长．（2）求证：AE•CF＝1．（3）以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段BE于点G．若EG＝ED，求ED的长．25．如图，直线y1＝2x+2与坐标轴交于A、B两点，与双曲线交于C、D两点，并且DA＝AB．（1）求反比例函数的解析式；（2）若P，Q分别是第一、三象限内反比例函数图象上的两点，连接DP，PQ，QC，当四边形DPQC为平行四边形时，求点Q的坐标；（3）在（2）的条件下，将CQ所在的直线向上平移m（m＞0）个单位长度，平移后的直线与双曲线交于H，R两点，与直线AB交于点G，设H，R，G的横坐标分别为x H，x R，x G，若x H，x R，x G满足等式，求m的值．。
北师大版九年级上册数学《第一次月考》试卷及完整答案
北师大版九年级上册数学《第一次月考》试卷及完整答案 班级： 姓名：一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）1．2-的相反数是（ ）A ．2-B ．2C ．12D ．12- 2．已知抛物线24y x bx =-++经过(2,)n -和(4, )n 两点，则n 的值为（ ）A ．﹣2B ．﹣4C ．2D ．43．某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．74．如图，数轴上有三个点A 、B 、C ，若点A 、B 表示的数互为相反数，则图中点C 对应的数是（ ）A ．﹣2B ．0C ．1D ．45．“凤鸣”文学社在学校举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，某组共互赠了210本图书，如果设该组共有x 名同学，那么依题意，可列出的方程是（ ）A ．x （x+1）＝210B ．x （x ﹣1）＝210C ．2x （x ﹣1）＝210D ．12x （x ﹣1）＝210 6．定义运算：21m n mn mn =--☆．例如2:42424217=⨯-⨯-=☆．则方程10x =☆的根的情况为（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．无实数根D ．只有一个实数根7．如图，正方形ABCD 的边长为2cm ，动点P 从点A 出发，在正方形的边上沿A →B →C 的方向运动到点C 停止，设点P 的运动路程为x(cm)，在下列图象中，能表示△ADP的面积y(cm2)关于x(cm)的函数关系的图象是（）A．B．C．D．8．如图，已知BD是ABC的角平分线，ED是BC的垂直平分线，∠=︒，390BACAD=，则CE的长为（）A．6 B．5 C．4 D．339．如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线，∠BAC=50°，∠ABC=60°，则∠EAD+∠ACD=（）A．75°B．80°C．85°D．90°10．下列所给的汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1．计算368⨯-的结果是______________．2．分解因式：33a b ab -=___________．3．已知抛物线21y x x =--与x 轴的一个交点为(0)m ，，则代数式m ²-m+2019的值为__________. 4．如图，已知△ABC 的周长是21，OB ，OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，OD ⊥BC 于D ，且OD ＝4，△ABC 的面积是__________．5．图1是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶，形状无一定规则，代表一种自然和谐美．图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=__________度．6．PM2.5是指大气中直径小于或等于0.0000025m 的颗粒物，将0.0000025用科学计数法表示为___________.三、解答题（本大题共6小题，共72分）1．解分式方程：2311x x x x +=--2．先化简，再求值（32m ++m ﹣2）÷2212m m m -++；其中m 23．如图，已知点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，1）在抛物线y=ax2+bx+c 上．（1）求抛物线解析式；（2）在直线BC上方的抛物线上求一点P，使△PBC面积为1；（3）在x轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点Q，使∠BQC=∠BAC？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由．4．如图，已知P是⊙O外一点，PO交圆O于点C，OC=CP=2，弦AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°，连接PB．（1）求BC的长；（2）求证：PB是⊙O的切线．485的选修情况，学校采取随机抽样的方法进行问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中一门）．对调查结果进行了整理，绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息解答下列问题：（1）本次调查的学生共有人，在扇形统计图中，m的值是；（2）将条形统计图补充完整；（3）在被调查的学生中，选修书法的有2名女同学，其余为男同学，现要从中随机抽取2名同学代表学校参加某社区组织的书法活动，请直接写出所抽取的2名同学恰好是1名男同学和1名女同学的概率．6．文美书店决定用不多于20000元购进甲乙两种图书共1200本进行销售.甲、乙两种图书的进价分别为每本20元、14元，甲种图书每本的售价是乙种图书每本售价的1.4倍，若用1680元在文美书店可购买甲种图书的本数比用1400元购买乙种图书的本数少10本.（1）甲乙两种图书的售价分别为每本多少元？（2）书店为了让利读者，决定甲种图书售价每本降低3元，乙种图书售价每本降低2元，问书店应如何进货才能获得最大利润？（购进的两种图书全部销售完.）参考答案一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）1、B2、B3、C4、C5、B6、A7、B8、D9、A10、B二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）12、ab （a+b ）（a ﹣b ）．3、20204、425、360°．6、2.5×10-6三、解答题（本大题共6小题，共72分）1、x=32、11m m +-,原式＝.3、（1）抛物线的解析式为y=﹣13x 2+23x+1；（2）点P 的坐标为（1，43）或（2，1）；（3）存在，理由略．4、（1）2（2）略5、（1）50、30%．（2）补图见解析；（3）35. 6、（1）甲种图书售价每本28元，乙种图书售价每本20元；（2）甲种图书进货533本，乙种图书进货667本时利润最大.。
北师大版九年级中考数学模拟考试试题(含答案)(山东地区)
九年级中考数学模拟考试试题满分150分时间：120分钟一、单选题。
（每小题4分，共40分）1.2023的相反数是（）A.2023B.﹣2023C.﹣12023 D.120232.如图是由8个完全相同的小正方体组成的几何体，从正面看到的形状图是（）3.我国自主研发的北斗系统技术世界领先，在西昌卫星发射中心成功发射最后一颗北斗三号卫星，该卫星发射升空的速度约7100米/秒，其中“7100”用科学记数法表示为（）A.7100B.0.71×104C.7.1×103D.71×1024.将一副三角板按如图所示的方式放置，则∠AOB=（）A.75°B.45°C.30°D.80°（第4题图）（第6题图）（第9题图）5.古钱币是我国悠久的历史文化遗产，以下是在《中国古代钱币》特种邮票中选取的部分图形，下列既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.6.如图数轴上A，B两点表示的数分别为a，b，下列结论中，错误的是（）A.a+b ＜0B.a －b ＜0C.ab ＜0D.ab ＜07.二十四节气是中华上古农耕文明的智意结晶，小明购买了二十四节气主题邮票，他要将立春，立夏，秋分，大寒四张邮票中的两张送给小鹏，小明将它们背面朝上放在桌面上，让小鹏从中随机抽取一张，（不放回），再从中随机抽取一张，则小鹏抽到的两张恰好是立夏和秋分的概率是（ ）A.12 B.16 C.13 D.34 8.函数y=ax 与y=ax －a 在同一坐标系中的大致图象是（ ）9．如图，在△ABC 中，∠C=90°，以A 为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC ，AB 于点M ，N ，再分别以M ，N 为圆心，大于12MN 长为半径画弧，两弧交于点O ，作射线AO ，交BC 于点E ，已知CE=3，BE=5,则AC 的长为（ ）A.8B.7C.6D.510.已知函数y=x 2－2ax+5，当x ≤2时，函数值随x 增大而减小，且对任意的1≤x 1≤a+1和1≤x 2≤a+1，x 1，x 2相对应的函数值为y 1，y 2，总满足|y 1－y 2|≤4，则实数a 的取值范围是（ ） A.﹣1≤a ≤3 B.﹣1≤a ≤2 C.2≤a ≤3 D.2≤a ≤4 二．填空题。
(常考题)北师大版初中数学九年级数学上册第一单元《特殊平行四边形》检测题(含答案解析)(4)
一、选择题1．如图，矩形ABCD 被两条对角线分成4个小三角形OAB ∆、OAD ∆、OBC ∆和OCD ∆，若这4个小三角形的周长之和为68，对角线10AC =，则矩形ABCD 的周长是（ ）A ．14B ．18C ．21D ．28 2．如图，O 是菱形ABCD 的对角线,AC BD 的交点，E ，F 分别是,OA OC 的中点给出下列结论：①ADE EOD S S =；②四边形BFDE 也是菱形；③四边形ABCD 的面积大小等于EF BD ⋅；④ADE EDO ∠=∠；⑤是轴对称图形．其中正确的结论有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个3．如图，已知正方形ABCD 的边长为4，E 是边CB 延长线上一点，F 为AB 边上一点，BE ＝BF ，连接EF 并延长交线段AD 于点G ，连接CF 交BD 于点M ，连接CG 交BD 于点N ．则下列结论：①AE ＝CF ；②∠BFM ＝∠BMF ；③∠CGF ﹣∠BAE ＝45°；④当∠BAE ＝15°时，MN ＝433． 其中正确的个数有（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高线，CE 是AB 边上的中线，DG ⊥CE 于点G ，CD =AE ．若BD =6，CD =5，则△DCG 的面积是（ ）A ．10B ．5C ．103D ．535．如图，已知正方形ABCD 与正方形AEFG 的边长分别为4和1，若将正方形AEFG 绕点A 旋转，则在旋转过程中，点,C E 之间的最小距离为 （ ）A ．3B ．421-C ．321-D ．42 6．如图，以ABC 的每一条边为边作三个正方形．正方形ABIH 的顶点H 恰好在ED 边上，记DHK △的面积为1S ，AHE 的面积为2S ，ABC 的面积为3S ，四边形CJIK 的面积为4S ，四边形BFGJ 的面积为5S ．若12534S S S S S ++=+，则3S 与4S 的大小关系式成立的是( )A ．34S S >B ．34S S =C ．34S S <D ．无法判断 7．如图，将长方形纸片ABCD 沿AE 折叠，使点D 恰好落在BC 边上点F 处．若6AB =，10AD =，则EC 的长为（ ）A ．2B ．83C ．3D ．1038．如图，在长方形ABCD 中，动点P 从A 出发，以相同的速度，沿A B C D A ----方向运动到点A 处停止．设点P 运动的路程为,x PCD ∆的面积为y ，如果y 与x 之间的关系如图所示，那么长方形ABCD 的面积为（ ）A ．12B ．24C ．20D ．489．如图，在ABC 中，D 是BC 边上的中点，连结AD ，把ACD △沿AD 翻折，得到ADC '，DC '与AB 交于点E ，连结BC '，若2BD BC ='=，3AD =，则点D 到AC '的距离为（ ）A ．33B ．3217C ．7D ．13 10．如图，在菱形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，AC =8，BD =6，则菱形的周长等于（ ）A ．40B ．7C ．24D ．2011．下列四个命题中真命题是（ ）A ．对角线互相垂直平分的四边形是正方形B ．对角线垂直且相等的四边形是菱形C ．对角线相等且互相平分的四边形是矩形D ．四边都相等的四边形是正方形 12．如图，矩形ABCD 中，3AB =，4BC =，点E 是BC 边上一点，连接AE ，把B 沿AE 折叠，使点B 落在点'B 处，当'CEB ∆为直角三角形时，BE 的长为（ ）A ．3B ．32C ．2或3D ．3或32二、填空题13．如图，以AB 为边作边长为8的正方形ABCD ，动点P 、Q 在正方形ABCD 的边上运动，且PQ ＝8，若点P 从点A 出发，沿A →B →C →D 的线路，向D 点运动，点Q 只能在线段AD 上运动，求点P 从A 到D 的运动过程中，PQ 的中点O 所经过的路径的长为_____．14．如图，菱形ABCD 的边长为10，对角线BD 的长为16，点E ，F 分别是边AD ，CD 的中点，连接EF 并延长与BC 的延长线相交于点G ，则EG 的长为________．15．在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的对角线交于原点O ，点A 的坐标为()23,2-，点B 的坐标为()1,3--，则点D 的坐标为______．16．如图，将矩形ABCD 沿DE 折叠，使A 点落在BC 上的F 处，若∠EFB ＝60°，则∠CFD ＝_____．17．如图，在ABC 中，90ABC ∠=︒，BD 为AC 的中线，过点C 作CE BD ⊥于点E ，过点A 作BD 的平行线，交CE 的延长线于点F ，在AF 的延长线上截取FG BD =，连接BG ，DF ．若13AG =，6CF =，则四边形BDFG 的周长为______．18．如图，边长为1的菱形ABCD 中，∠DAB=60°．连接对角线AC ，以AC 为边作第二个菱形AC C 1D 1，使∠D 1AC=60°；连接AC 1，再以A C 1为边作第三个菱形AC 1C 2D 2，使∠D 2AC 1=60°；……按此规律所作的第n 个菱形的边长为___________．19．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC +∠DCB =90°，且BC =2AD ，分别以DC ，BC ，AB 为边向外作正方形，它们的面积分别为S 1、S 2、S 3．若S 2=64，S 1=9，则S 3的值为_____．20．如图，把长方形纸片ABCD 沿折痕EF 折叠，使点B 与点D 重合，点A 落在点G 处，68DFG ∠=︒，则BEF ∠的度数为_________．三、解答题21．如图，在ABC 中，90ACB ︒∠=，30B，CE 垂直于AB 于点E ，D 是AB的中点．（1）求证：AE ED =；（2）若2AC =，求DE 的长．22．如图，在平行四边形ABCD 中，点O 是BC 的中点，连接DO 并延长，交AB 延长线于点E ，连接BD ，EC ．（1）求证：四边形BECD 是平行四边形；（2）若50A ∠=︒，则当ADE ∠=____°时，四边形BECD 是菱形．23．在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，点D 在射线BC 上（与B 、C 两点不重合），以AD 为边作正方形ADEF ，使点E 与点B 在直线AD 的异侧，射线BA 与直线CF 相交于点G ．（1）若点D 在线段BC 上，如图（1），判断：线段BC 与线段CG 的数量关系 ，位置关系 ；（2）如图（2），①若点D 在线段BC 的延长线上，（1）中判断线段BC 与线段CG 的数量关系与位置关系是否仍然成立，并说明理由；②当G 为CF 中点，BC ＝2时，求线段AD 的长．24．如图，在ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，过点E 作EF ∥AB ，交BC 于点F ．（1）求证：四边形DBFE是平行四边形；（2）当ABC满足什么条件时，四边形DBFE是菱形？为什么？（3）四边形DBFE能否是正方形？如果能，ABC应满足什么条件？如果不能，说明理由．25．如图1、图2都是由边长为1的小菱形构成的网格，每个小菱形的顶点称为格点．已知点O，M，N，A，B均在格点上，请按要求完成下列问题：（1）在图①中，仅用无刻度直尺在网格中画出∠MON的平分线OP，并简要说明画图的依据；（2）在图②中，仅用无刻度直尺在网格中画一个Rt△ABC，使点C在格点上，并简要说明画图的依据．26．已知：如图，P是正方形ABCD内一点，在正方形ABCD外有一点E，满足∠ABE＝∠CBP，BE＝BP．≌；.求证：（1）CPB AEB（2）PB⊥BE（3）请你连接PE，猜想线段PB与线段PE的数量关系，并说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】四个小三角形的周长是两条对角线长的2倍与矩形周长的和，由此可求矩形周长．【详解】∵四边形ABCD 是矩形，∴AC=BD ，四个小三角形的周长=2AC+2BD+AD+DC+BC+BA ，即40+矩形周长=68，所以矩形周长为28．故选：D.【点睛】本题考查了矩形的性质和矩形的周长，抓住矩形的对角线相等和四个小三角形的周长=4倍的对角线长+矩形的周长是解决本题的关键．2．C解析：C【分析】①正确，根据三角形的面积公式可得到结论．②根据已知条件利用菱形的判定定理可证得其正确．③正确，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可求得．④不正确，根据已知可求得∠FDO ＝∠EDO ，而无法求得∠ADE ＝∠EDO ．⑤正确，由已知可证得△DEO ≌△DFO ，从而可推出结论正确．【详解】解：①正确∵E 、F 分别是OA 、OC 的中点．∴AE ＝OE ．∵S △ADE 12=⨯AE ×OD 12=⨯OE ×OD ＝S △EOD ∴S △ADE ＝S △EOD ．②正确 ∵四边形ABCD 是菱形，E ，F 分别是OA ，OC 的中点．∴EF ⊥OD ，OE ＝OF ．∵OD ＝OB ．∴四边形BFDE 是菱形．③正确∵菱形ABCD 的面积12=AC ×BD ．∵E 、F 分别是OA 、OC 的中点．∴EF 12=AC ． ∴菱形ABCD 的面积＝EF ×BD ．④不正确由已知可求得∠FDO ＝∠EDO ，而无法求得∠ADE ＝∠EDO ．⑤正确∵EF ⊥OD ，OE ＝OF ，OD ＝OD ．∴△DEO ≌△DFO ．∴△DEF 是轴对称图形．∴正确的结论有四个，分别是①②③⑤，故选：C ．【点睛】此题主要考查学生对菱形的性质等知识的理解及运用能力．3．B解析：B【分析】①根据已知条件证明△ABE ≌△CBF ，即可判断；②由△ABE ≌△CBF 和已知条件证明四边形DGEB 是平行四边形，再证明△FBC ≌△GDC ，当且仅当∠FCG=45°时，∠BFM=∠BMF ，即可判断；③结合①②证明∠FMB=∠CGF ，进而可以判断；④当∠BAE=15°时，∠BCM=∠GCD=∠BAE=15°，可得△CMN 是等边三角形，作CH ⊥BD 于点H ，根据正方形边长为4，即可求出MN 的值，进而可以判断.【详解】解：①∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ，∠ABE ＝∠CBF ＝90°，在△ABE 和△CBF 中，BE BF ABE CBF AB CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△CBF （SAS ），∴AE ＝CF ，故①正确；②∵△ABE ≌△CBF ，∴∠BCF ＝∠BAE ，∵∠GEC ＝∠DBC ＝∠ADB ＝45°，∴∠BMF ＝∠FCB +∠DBC ＝∠FCB +45°，∵∠GEC ＝∠DBC ，∴EG ∥DB ，∵DG ∥BE ，∴四边形DGEB 是平行四边形，∴BE ＝DG ，在△FBC 和△GDC 中，BF DG FBC GDC BC DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△FBC ≌△GDC （SAS ），∴∠BCF ＝∠DCG ，∴∠BFM ＝∠FCD ＝∠DCG +∠FCG ＝∠BCF +∠FCG ， ∴当且仅当∠FCG ＝45°时，∠BFM ＝∠BMF ，故②错误； ③∵GE ∥BD ，∴∠FMB ＝∠GFC ，∵△FBC ≌△GDC ，∴CF ＝CG ，∴∠GFC ＝∠CGF ，∴∠FMB ＝∠CGF ，∴∠CGF ﹣∠BAE ＝∠FMB ﹣∠BCM ＝∠MBC ＝45°，故③正确； ④当∠BAE ＝15°时，∠BCM ＝∠GCD ＝∠BAE ＝15°， ∴∠FCG ＝90°﹣∠BCM ﹣∠GCD ＝60°，∵BD ∥EG ，∴∠GFC ＝∠NMC ，∠FGC ＝∠MNC ，∵∠GFC ＝∠FGC ，∴∠NMC ＝∠MNC ，∴CM ＝CN ，∠MCN ＝60°，∴△CMN 是等边三角形，作CH ⊥BD 于点H ，如图，∴CH ＝12BD ＝122244+＝2， ∴CM 223×2＝463， ∴MN ＝CM 46，故④错误． 所以其中正确有①③，2个．【点睛】本题是四边形的综合题，考查了正方形、全等三角形、平行四边形的性质和判定，在有中点和直角三角形的前提条件下，可以利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半来证明两条线段相等.4．B解析：B【分析】作EF ⊥BC 于F 点，首先结合直角三角形中“斜中半”定理可求得△ABD 中AB 的长度，从而结合勾股定理求出AD 的长度，再根据中位线定理可得EF 的长度，然后进一步判定△EDC 为等腰三角形，并根据“三线合一”的性质推出12DCG EDC S S =△△，最后根据12EDC S CD EF =△求解即可． 【详解】∵AD 是BC 边上的高线，CE 是AB 边上的中线，∴△ABD 为直角三角形，E 为斜边AB 上的中点，∴AE=BE=DE ，∵CD =AE ，CD =5，∴AB=2AE =10，在Rt △ABD 中，由勾股定理可得：22AD AB BD =-， ∴AD =8，作EF ⊥BC 于F 点，则EF 为△ABD 的中位线，∴142EF AD ==， 又∵CD=ED ，DG ⊥CE 于点G ， ∴△EDC 为等腰三角形，12DCG EDC S S =△△， ∵11541022EDC S CD EF ==⨯⨯=△， ∴11052DCG S =⨯=△， 故选：B ．本题主要考查直角三角形中“斜中半”定理，中位线定理，以及等腰三角形的判定与性质综合问题，灵活运用“斜中半”定理求出三角形的边长是解题关键．5．B解析：B【分析】连接CE 、AC ，根据正方形ABCD 与正方形AEFG 的边长分别为4和1，可以求出AC 的长，又因为CE≥AC -AE ，所以当A 、E 、C 三点共线时取等号，即可求值；【详解】如图，连接CE 、AC ，已知正方形ABCD 与正方形AEFG 的边长分别为4和1，∴ AB=BC=4，AE=1，由勾股定理得：222AC AB BC =+ ， ∴224442AC =+=∵ CE≥AC -AE ，∴CE≥421-，∴CE 的最小值为421-，故选：B ．【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、以及三角形的三边关系，正确掌握知识点是解题的关键．6．B解析：B【分析】设,,AC b BC a AB c ===，则有22125,BCJ ACKH S S S b S S a ++=+=四边形，234+BCJ ACKH S S S Sc ++=四边形，进而可得△ABC 是直角三角形，然后由正方形的性质可证△ABJ ≌△BIK ，最后根据等积法可求解．【详解】 解：∵四边形ACDE 、ABIH 、BCGF 都是正方形，∴AB=AH=BI ，AC=AE ，∠ABI=∠BIK=90°，∠GCB=90°，设,,AC b BC a AB c ===，则有22125,BCJ ACKH S S S b S S a ++=+=四边形，234+BCJ ACKH S S S Sc ++=四边形， ∵12534S S S S S ++=+，∴222+=a b c ， ∴△ABC 是直角三角形，∴∠ACB=90°，∴A 、C 、G 三点共线，∵∠JAB+∠ABC=90°，∠KBI+∠ABC=90°，∴∠JAB=∠KBI ，∵∠ABJ=∠BIK=90°，∴△ABJ ≌△BIK （ASA ），ABJ BIK SS ∴=， ∵34,+ABJ BCJ BIK BCJ S S S S S S =+=，∴34S S =；故选B ．【点睛】本题主要考查正方形的性质及勾股定理，熟练掌握正方形的性质及勾股定理是解题的关键．7．B解析：B【分析】由翻折可知：AD=AF=10．DE=EF ，设EC=x ，则DE=EF=6-x ．在Rt △ECF 中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD=BC=10，AB=CD=6，∴∠B=∠BCD=90°，由翻折可知：AD=AF=10，DE=EF ，设EC=x ，则DE=EF=6-x ．在Rt △ABF 中，8BF ===， ∴CF=BC-BF=10-8=2，在Rt △EFC 中，EF 2=CE 2+CF 2，∴（6-x ）2=x 2+22，∴x=83， ∴EC=83． 故选：B ．【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握方程的思想方法是解题的关键．8．B解析：B【分析】根据题意结合图象得出AB 、BC 的长度，再求出面积即可．【详解】由题意可知，当点P 从点A 运动到点B 时，△PCD 的面积不变，结合图象可知AB=6， 当点P 从点B 运动到点C 时，△PCD 的面积逐渐变小直到为0，结合图象可知BC=4， ∴长方形ABCD 的面积为：AB•BC=6×4=24．故选：B ．【点睛】本题考查了矩形的性质和动点问题的函数图象，能根据图形得出正确信息是解此题的关键．9．B解析：B【分析】过点D 作DF ⊥BC'，垂足为F ，过点A 作AG ⊥BC'，交BC'的延长线于G ，则四边形ADFG 是矩形，计算AC '的长，后利用三角形ADC 'M 面积 的不同计算方法计算即可.【详解】如图，过点D 作DF ⊥BC'，垂足为F ，过点A 作AG ⊥BC'，交BC'的延长线于G ，∵把ACD △沿AD 翻折，得到ADC '，∴DC=DC '，∠ADC=∠A DC '，∵D 是BC 边上的中点，∴DC=BD ，∵2BD BC ='=，∴DC '=2BD BC ='=，∴BDC '是等边三角形，∴∠ADC=∠A DC '=∠B DC '=∠DC 'B=60°，∴BG ∥AD ，∵DF ⊥BC'，AG ⊥BC'，∴四边形ADFG 是矩形，∴BF=FC'=1，FG=AD=3，=，∴GC '=2，∴AC '=，设点D 到AC '的距离为h ， ∴1122AC h AD DF '=，∴11322h =⨯，∴h=7， 故选B.【点睛】 本题考查了三角形的折叠问题，等边三角形的判定和性质，平行线的判定，矩形的判定，勾股定理，三角形的面积，熟练掌握折叠的性质，矩形的判定，三角形面积不同表示方法是解题的关键.10．D解析：D【分析】根据菱形的性质可求得BO 、AO 的长，AC ⊥BD ，根据勾股定理可求出AB ，进而可得答案．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB =BC =CD =DA ，132==BO BD ，142AO AC ==，AC ⊥BD ，则在Rt △ABO 中，根据勾股定理得：5AB =，∴菱形ABCD 的周长=4×5=20．故选：D ．【点睛】本题考查了菱形的性质和勾股定理，属于基础题目，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 11．C解析：C【分析】根据正方形、菱形、矩形的判定分别判断得出即可．【详解】A、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故原命题是假命题；B、对角线垂直平分的四边形是菱形，故原命题是假命题；C、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故原命题是真命题；D、四边都相等的四边形是菱形，故原命题是假命题；故选：C．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解正方形的判定定理、矩形的判定定理、菱形的判定定理．12．D解析：D【分析】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．连结AC，先利用勾股定理计算出AC=5，根据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°，而当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，所以点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，则EB=EB′，AB=AB′=3，可计算出CB′=2，设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，然后在Rt△CEB′中运用勾股定理可计算出x．②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形．【详解】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．连结AC，在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，∴5∵∠B沿AE折叠,使点B落在点B′处，∴∠AB′E=∠B=90°，当△CEB′为直角三角形时,只能得到∠EB′C=90°,∴点A. B′、C共线,即∠B沿AE折叠,使点B落在对角线AC上的点B′处，∴EB=EB′,AB=AB′=3，∴CB′=5−3=2，设BE=x,则EB′=x，CE=4−x，在Rt△CEB′中，∵EB′2+CB′2=CE2，∴x2+22=(4−x)2,解得x=3，2∴BE=3；2②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形，∴BE=AB=3.综上所述,BE的长为32或3.故选D.【点睛】此题主要考查矩形的折叠问题，解题的关键是根据题意分情况讨论.二、填空题13．4π+8【分析】根据题意将问题分类讨论三种情况依次讨论：一个是依据斜边上的中线+圆的定义得到弧的轨迹一个可以用中垂线来理解【详解】解：（1）当P在AB上Q在AD上时AO＝由圆的定义可以知O的轨迹为E解析：4π+8【分析】根据题意将问题分类讨论，三种情况依次讨论：一个是依据斜边上的中线+圆的定义得到弧的轨迹，一个可以用中垂线来理解【详解】解：（1）当P在AB上，Q在AD上时，AO＝142PQ=，由圆的定义可以知O的轨迹为EF这段14圆弧（2）同理当P在CD上，Q在AD上时，DO＝142PQ=，由圆的定义可以知O的轨迹为EG这段14圆弧（3）Q在AD上，P在BC上，可知PQ∥AB，O的运动轨迹为FG这条线段综上分析：O的运动路径长为：4π+8．故答案：4π+8【点睛】本题考查了轨迹以及正方形的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．14．12【分析】连接AC交BD于点O先证EF是△ACD的中位线得EF∥AC再证四边形CAEG是平行四边形得AC＝EG然后由勾股定理求出OA＝OC＝6即可解决问题【详解】解：连接AC交BD于点O如图所示：解析：12【分析】连接AC，交BD于点O，先证EF是△ACD的中位线，得EF∥AC，再证四边形CAEG是平行四边形，得AC＝EG，然后由勾股定理求出OA＝OC＝6，即可解决问题．【详解】解：连接AC，交BD于点O，如图所示：∵菱形ABCD的边长为10，∴AD∥BC，AB＝BC＝CD＝DA＝10，∵点E、F分别是边AD，CD的中点，∴EF是△ACD的中位线，∴EF∥AC，∴AC∥EG∴四边形CAEG是平行四边形，∴AC＝EG，∵AC、BD是菱形的对角线，BD＝16，∴AC⊥BD，OB＝OD＝8，OA＝OC，在Rt△AOB中，AB＝10，OB＝8，∴OA＝OC22=-=6，108∴AC＝2OA＝12，∴EG＝AC＝12；故答案为：12．本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理及勾股定理等知识；熟练掌握菱形、平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键．15．【分析】根据题意原点O 为菱形对称中心则点B 与点D 关于原点对称即可得到答案【详解】解：根据题意∵菱形的对角线交于原点∴原点O 为菱形对称中心∴点B 与点D 关于原点O 对称∵点的坐标为∴点D 的坐标为故答案为：解析：(．【分析】根据题意，原点O 为菱形ABCD 对称中心，则点B 与点D 关于原点对称，即可得到答案．【详解】解：根据题意，∵菱形ABCD 的对角线交于原点O ，∴原点O 为菱形ABCD 对称中心，∴点B 与点D 关于原点O 对称，∵点B 的坐标为(1,-，∴点D 的坐标为(．故答案为：(．【点睛】本题考查了菱形的性质，以及中心对称图形的性质，解题的关键是掌握菱形是中心对称图形，从而进行解题． 16．【分析】根据轴对称和矩形性质得；结合∠EFB ＝60°经计算即可得到答案【详解】∵矩形ABCD 沿DE 折叠使A 点落在BC 上的F 处∴∵∠EFB ＝60°∴故答案为：【点睛】本题考查了轴对称矩形的性质；解题的解析：30【分析】根据轴对称和矩形性质，得90EFD A ∠=∠=；结合∠EFB ＝60°，经计算即可得到答案．【详解】∵矩形ABCD 沿DE 折叠，使A 点落在BC 上的F 处∴90EFD A ∠=∠=∵∠EFB ＝60°∴180180609030CFD EFB EFD ∠=-∠-∠=--=故答案为：30．【点睛】本题考查了轴对称、矩形的性质；解题的关键是熟练掌握轴对称、矩形的性质，从而完成17．20【分析】首先可判断四边形BGFD 是平行四边形再由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得BD=FD 则可判断四边形BGFD 是菱形设GF=x 则AF=13-xAC=2x 在Rt △AFC 中利用勾股定理可求出x 的解析：20【分析】首先可判断四边形BGFD 是平行四边形，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得BD=FD ，则可判断四边形BGFD 是菱形，设GF=x ，则AF=13-x ，AC=2x ，在Rt △AFC 中利用勾股定理可求出x 的值．【详解】∵AG ∥BD ，BD=FG ，∴四边形BGFD 是平行四边形，∵CF ⊥BD ，∴CF ⊥AG ，又∵点D 是AC 中点，∴BD=DF= 12AC ， ∴四边形BGFD 是菱形，设GF=x ，则AF=13-x ，AC=2x ，在Rt △AFC 中，由勾股定理可得：()()2236132x x +-=解得：5x =即GF=5∴四边形BDFG 的周长=4GF=20．故答案为：20．【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、勾股定理及直角三角形的斜边中线的性质，解答本题的关键是判断出四边形BGFD 是菱形． 18．【分析】根据已知和菱形的性质可分别求得ACAC1AC2的长从而得到规律根据规律求得第n 个菱形的边长【详解】解：连接DB 与AC 交于点M ∵四边形ABCD 是菱形∴AD ＝ABAC ⊥DB ∵∠DAB ＝60°∴△解析：1n -【分析】根据已知和菱形的性质可分别求得AC ，AC 1，AC 2的长，从而得到规律，根据规律求得第n 个菱形的边长．【详解】解：连接DB ，与AC 交于点M ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ＝AB ．AC ⊥DB ，∵∠DAB ＝60°，∴△ADB 是等边三角形，∴DB ＝AD ＝1，∴BM ＝12， ∴AM 11-43 ∴AC 3同理可得AC 13＝23，AC 23AC 1＝333， 按此规律所作的第n 个菱形的边长为13n -， 故答案为)13n -．【点睛】此题主要考查菱形的性质以及学生探索规律的能力，熟练掌握菱形的性质是关键． 19．7【分析】由已知可以得到＋代入各字母值计算可以得到解答【详解】解：如图过A 作AE ∥DC 交BC 于E 点则由题意可知∠ABC+∠AEB=90°且BE=AD=BCAE=DC ∴三角形ABE 是直角三角形∴即∴故解析：7【分析】 由已知可以得到＋31214S S S +=，代入各字母值计算可以得到解答． 【详解】解：如图，过A 作AE ∥DC 交BC 于E 点，则由题意可知∠ABC+∠AEB=90°，且BE=AD=12BC ，AE=DC ， ∴三角形ABE 是直角三角形，∴222AB AE BE +=，即 22214AB DC BC +=， ∴3123211116497444S S S S S S +=∴=-=⨯-=，， 故答案为7．【点睛】 本题考查平行四边形、正方形面积与勾股定理的综合应用，由已知得到三个正方形面积的关系式是解题关键．20．56【分析】根据折叠的性质和长方形的性质以及三角形内角和解答即可【详解】解：∵把长方形纸片ABCD 沿折痕EF 折叠使点B 与点D 重合点A 落在点G 处∴∠G=∠A=90°∠GDE=∠B=90°∵∠DFG=6解析：56【分析】根据折叠的性质和长方形的性质以及三角形内角和解答即可．【详解】解：∵把长方形纸片ABCD 沿折痕EF 折叠，使点B 与点D 重合，点A 落在点G 处， ∴∠G=∠A=90°，∠GDE=∠B=90°，∵∠DFG=68°，∴∠GDF=∠G-∠DFG=90°-68°=22°，∴∠ADE=∠GDE-∠GDF=90°-22°=68°，∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=90°-68°=22°，∴∠DEC=90°-∠EDC=90°-22°=68°，由折叠可得：∠FEB=∠FED ， ∴180180685622DEC BEF -∠-=︒︒︒∠==︒， 故答案为：56．【点睛】 此题考查翻折问题，关键是根据折叠前后图形全等和长方形性质解答．三、解答题21．（1）见解析；（2）１．【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线性质解得CD=BD ，得到30DCB B ==︒∠∠，继而得到60ADC A ∠=∠=︒再根据等腰三角形的判定推出AC=CD ，最后根据等腰三角形的性质解题；（2）先解得30ACE ∠=︒，根据含30°角的直角三角形的性质解得AE 的长，即可解题．【详解】（1）证明：在ABC 中，90ACB ︒∠=，D 是AB 的中点，12CD AD BD AB ∴=== DCB B ∴∠=∠30,90B ACB ∠=︒∠=︒30,180903060DCB A ∴∠=︒∠=︒-︒-︒=︒60ADC B DCB ∴∠=∠+∠=︒A ADC ∴∠=∠AC DC ∴=CE 垂直AB 于点EAE ED ∴=；（2）CE AB ⊥90AEC ∴∠=︒60A ∠=︒30ACE ∴∠=︒12AE AC ∴= 2,AC AE DE ==1DE AE ∴==．【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质、直角三角形斜边的中线、含30°角的直角三角形、三角形外角的性质、三角形内角和定理等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．22．（1）见解析；（2）90【分析】（1）由AAS 证明△△BOE COD ≅，得出OE=OD ，即可得出结论；（2）先根据三角形内角和定理得到40AED ∠=︒，在根据平行线的性质定理得到50CBE A ∠=∠=︒，求得90BOE ∠=︒，然后根据菱形的判定定理即可得到结论；【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥DC ，AB=CD ，∴OEB ODC ∠=∠，∵O 是BC 的中点，∴BO=CO ，在△BOE 和△COD 中，OEB ODC BOE COD BO CO ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()△△BOE CODAAS ≅， ∴OE=OD ，∴四边形BECD 是平行四边形；（2）当90ADE ∠=︒时，四边形BECD 是菱形，理由如下：∵50A ∠=︒，90ADE ∠=︒，∴40AED ∠=︒，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴50CBE A ∠=∠=︒，∴90BOE ∠=︒，∴BC DE ⊥，∴四边形BECD 是菱形．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、菱形的判定，准确分析计算是解题的关键． 23．（1）BC ＝BG ，BC ⊥BG ；（2）①（1）中结论仍然成立，理由见解析；【分析】（1）由题意易得∠ACB ＝∠B ＝45°，AD ＝AF ，∠DAF ＝90°，则有∠BAD ＝∠CAF ，进而可证△ABD ≌△ACF ，然后问题可求解；（2）①由题意易得∠ACB ＝∠B ＝45°，AD ＝AF ，∠DAF ＝90°，则有∠BAD ＝∠CAF ，进而可证△ABD ≌△ACF ，则问题可求解；②过点A 作AM ⊥BD 于M ，由题意易得AM ＝12BC ＝1，CG ＝2，由①△ABD ≌△ACF ，则有BD ＝CF ，进而可得BD ＝CF ＝4，DM ＝BD ﹣AM ＝3，最后根据勾股定理可求解．【详解】解：（1）在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，∴∠ACB ＝∠B ＝45°，∵四边形ADEF 是正方形，∴AD ＝AF ，∠DAF ＝90°，∴∠CAF ＝90°﹣∠CAD ，∵∠BAC ＝90°，∴∠BAD ＝90°﹣∠CAD ，∴∠BAD ＝∠CAF ，∵AB＝AC，∴△ABD≌△ACF（SAS），∴∠ACF＝∠B＝45°，∴∠B CG＝90°，∴BC⊥CG，∠G＝90°﹣∠B＝45°＝∠B，∴BC＝BG，故答案为：BC＝BG，BC⊥BG；（2）①（1）中结论仍然成立，理由：在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ACB＝∠B＝45°，∵四边形ADEF是正方形，∴AD＝AF，∠DAF＝90°，∴∠CAF＝90°+∠CAD，∵∠BAC＝90°，∴∠BAD＝90°+∠CAD，∴∠BAD＝∠CAF，∵AB＝AC，∴△ABD≌△ACF（SAS），∴∠ACF＝∠B＝45°，∴∠B CG＝90°，∴BC⊥CG，∠G＝90°﹣∠B＝45°＝∠B，∴BC＝BG；②如图，过点A作AM⊥BD于M，∵BC＝2，△ABC是等腰直角三角形，∴AM＝1BC＝1，2∵BC＝CG，∴CG＝2，由①△ABD≌△ACF，∴BD＝CF，∵点G是CF的中点，∴CF＝2CG＝4，∴BD＝CF＝4，∴DM＝BD﹣AM＝3，在Rt△AMD中，根据勾股定理得，AD．【点睛】本题主要考查正方形的性质、勾股定理及等腰直角三角形的性质，熟练掌握正方形的性质、勾股定理及等腰直角三角形的性质是解题的关键．24．（1）证明见解析；（2）AB＝BC，理由见解析；（3）能，∠ABC＝90°，AB＝BC，理由见解析．【分析】（1）根据三角形的中位线得出DE∥BF，根据平行四边形的判定得出即可；（2）由三角形中位线定理和中点定义可得DE=BD，根据菱形的判定得出即可；（3）由正方形的判定可得．【详解】解：（1）∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE∥BF，∵EF∥AB，∴四边形DBFE是平行四边形；（2）AB＝BC，理由是：∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE＝12BC，BD＝12AB ，∵AB＝BC，∴DE＝BD，又∵四边形DBFE是平行四边形，∴四边形DBFE是菱形，即当AB＝BC时，四边形DBFE是菱形；（3）∠ABC＝90°，AB＝BC，∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE＝12BC，BD＝12AB∵AB＝BC，∴DE＝BD，又∵四边形DBFE是平行四边形，∴四边形DBFE是菱形，∵∠ABC ＝90°，∴菱形DBFE 是正方形，即当∠ABC ＝90°，AB ＝BC 时，四边形DBFE 是正方形．【点睛】本题考查了正方形的判定，菱形的判定，三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，灵活运用这些判定定理进行推理是解决本题的关键．25．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）构造全等三角形，利用全等三角形的性质即可解决问题；（2）利用菱形以及平行线的性质即可解决问题．【详解】解：（1）如图1，射线OP 即为所求的∠MON 的平分线．作图依据是：可判定△MOP ≌△NOP ，于是有∠MOP ＝∠NOP ．（2）如图2，△ABC 即为所求作的直角三角形，其中∠ACB ＝90°．作图依据是：①菱形的对角线互相垂直，即BC ⊥EF ；②可判定AC ∥EF ，则AC ⊥BC ，所以∠ACB ＝90°．【点睛】本题考查作图−应用与设计、菱形的性质等知识，解题的关键是掌握菱形的性质并灵活运用所学知识解决问题．26．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）2PE PB =，理由见解析． 【分析】（1）利用SAS 即可证得两个三角形全等；（2）根据∠ABC =90°，即∠CBP +∠ABP =90°，利用等量代换即可证得∠PBE =90°，即可证得；（3）由PB ⊥BE 和BE ＝BP 可得△PBE 是等腰直角三角形，所以2PE PB =．【详解】（1）证明：∵正方形ABCD 中，AB =BC ，在△CPB 和△AEB 中， AB CB ABE CBP BE BP ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△CPB ≌△AEB (SAS )；（2）∵正方形ABCD 中，∠ABC =90°，即∠CBP +∠ABP =90°，又∵∠CBP =∠ABE ，∴∠ABP+∠ABE=90°，即∠PBE=90°，∴PB⊥BE．（3）∵PB⊥BE和BE＝BP∴△PBE是等腰直角三角形，∴2．PE PB【点睛】解答本题要充分利用正方形的特殊性质，同时考查了全等三角形的判定和性质．。
(常考题)北师大版初中数学九年级数学上册第一单元《特殊平行四边形》检测题(有答案解析)(3)
一、选择题1．如图，依据尺规作图的痕迹，则α∠是（ ）A ．54°B ．36°C ．28°D ．72°2．如图，将一边长为12的正方形纸片ABCD 的顶点A 折叠至DC 边上的点E ，使DE=5，折痕为PQ ，则PQ 的长为（ ）A ．12B ．13C ．14D ．153．如图，把矩形ABCD 沿EF 对折，若112,AEF ∠=︒则1∠等于（ ）A ．43B ．44C ．45︒D ．46︒ 4．如图所示，△ABC 是等边三角形，AQ=PQ ，PR=PS ，PR ⊥AB 于R ，PS ⊥AC 于S ，则四个结论正确的是( )①点 P 在∠A 的平分线上； ②AS=AR ； ③QP //AR ； ④△BRP ≌△QSP ．A ．全部正确B ．①②正确C ．①②③正确D ．①③正确 5．如图，边长为22+的正方形，剪去四个角后成为一个正八边形，则这个正八边形的边长为（ ）A ．0.5B ．22C ．1D ．26．如图，在长方形ABCD 中，AF BD ⊥，垂足为E ，AF 交BC 于点F ，连接DF ，且DF 平分BDC ∠．下列结论中：①ABD CDB ≅；②ADE BDF S S =△△；③90ABD CDF ∠+∠=︒；④AD DF =．其中正确的个数有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 7．下列命题正确的是（ ）A ．有一个角是直角的四边形是矩形；B ．有三个角是直角的四边形是矩形；C ．对角线相等的四边形是矩形；D ．对角线互相平分的四边形是矩形；8．如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，D 是AB 的中点，E 是BC 的中点，EF ⊥CD 于点F ，则EF 的长是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．1259．如图，在ABC 中，D 是BC 边上的中点，连结AD ，把ACD △沿AD 翻折，得到ADC '，DC '与AB 交于点E ，连结BC '，若2BD BC ='=，3AD =，则点D 到AC '的距离为（ ）A ．332B ．3217C ．7D ．1310．四边形ABCD 的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是（ ） A ．AB ＝CD B ．AD ＝BC C ．AB ＝BC D ．AC ＝BD 11．□ABCD 中，AC 、BD 是两条对角线，如果添加一个条件，可推出□ABCD 是菱形，那么这个条件可以是（ ）A ．AB=CDB ．AC=BDC ．AC ⊥BD D ．AB ⊥BD 12．如图所示，将矩形纸片ABCD 折叠，使点D 与点B 重合，点C 落在点C '处，折痕为EF ，若122EFC '∠=︒，那么ABE ∠的度数为（ ）A ．24︒B ．32︒C ．30D ．26︒二、填空题13．如图，在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，30ACB ∠=︒，8AB =，点P 为BC 上任意一点，连接PA ，以PA ，PC 为邻边作平行四边形PAQC ，连接PQ ，则PQ 的最小值为______．14．在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的对角线交于原点O ，点A 的坐标为()23,2-，点B 的坐标为(1,3--，则点D 的坐标为______．15．如图，矩形ABOC 的顶点B 、C 分别在x 轴、y 轴上，顶点A 在第一象限，点B 的坐标为（3，0），将线段OC 绕点O 顺时针旋转60°至线段OD ，若反比例函数k y x= （k ≠0）的图象进过A 、D 两点，则k 值为_____．16．如图，ABC 和ABD △都是直角三角形，C ，D 是直角顶点，60,45BAC BAD ∠=︒∠=︒．取AB 的中点O ，连结,OC OD ，则COD ∠的度数是__________．17．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标是（0，3），点B 的坐标是（﹣4，0），以AB 为边作正方形ABCD ，连接OD ，DB ．则△DOB 的面积是_____．18．如图，在矩形ABCD 纸片中，点E 是BC 边的中点，沿直线AE 折叠，点B 落在矩形内部的点B '处，连接AB '并延长交CD 于点F ．已知4CF =，5DF =，则AD 的长为__________．19．如图，正方形ABCD 的边长为3，点E 在边CD 上．以点A 为中心，把ADE 顺时针旋转90︒至ABF 的位置．若1DE =，则FC =_________．20．如图，在正方形ABCD 中，已知2AB =，点,E G 分别是边,AD CD 的中点，点F 是边BC 上的动点，连接EF ，将正方形ABCD 沿EF 折叠，,A B 的对应点分别为,A B ''，则线段GB '的最小值是_____．三、解答题21．如图1，点E 为正方形ABCD 内一点，90AEB =︒∠，现将Rt ABE △绕点B 按顺时针方向旋转90︒，得到CBE '△（点A 的对应点为点C ），延长AE 交CE '于点F ．（1）如图1，求证：四边形BEFE '是正方形；（2）连接DE ．①如图2，若DA DE =，求证：F 为CE '的中点；②如图3，若15AB =，3CF =，试求DE 的长．22．如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，且BE CF =，AE 与BF 相交于点O ．（1）求证：ABE BCF △△≌；（2）求证：AE BF ⊥；（3）若2BE =，30BAE ∠=︒，求线段AO 的长．23．如图一，在平行四边形ABCD 中，AB ⊥AC ，AB =1，BC =5，对角线AC ，BD 相交于O ，将直线AC 绕点O 顺时针旋转，分别交BC ，AD 于点E ，F ．（所需图形须在备用图中画出）（1）试说明在旋转过程中，线段AF 与EC 总保持相等；（2）求证：当旋转角为90°时，四边形ABEF 是平行四边形；（3）在旋转过程中，当EF ⊥BD ，旋转的角度小于180°时，求出此时绕点O 顺时针旋转的度数．24．长方形OABC 是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，O 为原点，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，10OA =，6OC =．（1）如图，在AB 上取一点M ，使得CBM 沿CM 翻折后，点B 落在x 轴上，记作B ′点，求B ′点的坐标．（2）求折痕CM 所在直线的解析式．（3）在x 轴上是否能找到一点P ，使B CP '△的面积为13？若存在，直接写出点P 的坐标？若不存在，请说明理由．25．如图，在ABC中，90B，CE垂直于AB于点E，D是AB∠=，30ACB︒的中点．=；（1）求证：AE EDAC=，求DE的长．（2）若226．如图，在Rt∆ABC中，∠ACB＝90°，AC的垂直平分线交AB于点E，连接CE，BF//CE 交DE的延长线于点F．（1）求证：四边形BCEF是平行四边形；（2）当∠A满足什么条件时，四边形BCEF是菱形？回答并证明你的结论．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】先根据矩形的性质得出AD∥BC，故可得出∠DAC的度数，由角平分线的定义求出∠EAF的度数，再由EF是线段AC的垂直平分线得出∠AEF的度数，根据三角形内角和定理得出∠AFE的度数，进而可得出结论．【详解】解：如图，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB=72°．∵由作法可知，AF是∠DAC的平分线，∠DAC=36°．∴∠EAF=12∵由作法可知，EF是线段AC的垂直平分线，∴∠AEF=90°，∴∠AFE=90°-36°=54°，∴∠α=54°．故选：A．【点睛】本题考查的是作图-基本作图，熟知角平分线及线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．2．B解析：B【解析】过点P作PM⊥BC于点M，由折叠得到PQ⊥AE，∴∠DAE+∠APQ=90°，又∠DAE+∠AED=90°，∴∠AED=∠APQ，∵AD∥BC，∴∠APQ=∠PQM，则∠PQM=∠APQ=∠AED，∠D=∠PMQ，PM=AD∴△PQM≌△ADE∴13=.【点睛】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等． 3．B解析：B【分析】根据矩形的对边平行，可得∠AEF+∠BFE=180°，继而求得∠BFE=68°，再利用折叠的性质和平角的定义求解即可．【详解】∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴∠AEF+∠BFE=180°，∵112AEF ∠=︒，∴∠BFE=68°，∴∠1=180°-2∠BFE=44°，故选B ．【点睛】本题考查了折叠问题，矩形的性质，平行线的性质，平角的定义，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．4．A解析：A【分析】因为△ABC 为等边三角形，根据已知条件可推出Rt △ARP ≌Rt △ASP ，则AR ＝AS ，故②正确，∠BAP ＝∠CAP ，所以AP 是等边三角形的顶角的平分线，故①正确，根据等腰三角形的三线合一的性质知，AP 也是BC 边上的高和中线，即点P 是BC 的中点，因为AQ ＝PQ ，所以点Q 是AC 的中点，所以PQ 是边AB 对的中位线，有PQ ∥AB ，故③正确，又可推出△BRP ≌△QSP ，故④正确．【详解】解：∵PR ⊥AB 于R ，PS ⊥AC 于S∴∠ARP ＝∠ASP ＝90°∵PR ＝PS ，AP ＝AP∴Rt △ARP ≌Rt △ASP∴AR ＝AS ，故②正确，∠BAP ＝∠CAP∴AP 是等边三角形的顶角的平分线，故①正确∴AP 是BC 边上的高和中线，即点P 是BC 的中点∵AQ ＝PQ∴点Q 是AC 的中点∴PQ 是边AB 对的中位线∴PQ ∥AB ，故③正确∵Q 是AC 的中点，∴QC=QP ，∵∠C=60°，∴△QPC 是等边三角形，∴PB=PC=PQ ，∵PR ＝PS ，∠BRP ＝∠QSP ＝90°，∴△BRP ≌△QSP ，故④正确∴全部正确．故选：A ．【点睛】本题利用了等边三角形的性质：三线合一，全等三角形的判定和性质，中位线的性质，熟练掌握上述性质和判定方法是解题的关键．5．D解析：D【分析】设正八边形的边长为x ，表示出剪掉的等腰直角三角形的直角边，再根据正方形的边长列出方程求解即可．【详解】解：设正八边形的边长为x ，则剪掉的等腰直角三角形的直角边为2x ， ∵正方形的边长为2+，∴由题意可得：222x+x x +=+解得：x =∴故选：D【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，读懂题目信息，根据正方形的边长列出方程是解题的关键． 6．C解析：C【分析】由长方形的性质可得：,,90,AB CD AD BC BAD BCD ==∠=∠=︒从而可判断①；由面积公式可得,ADF BDC S S =再利用角平分线的性质证明,Rt DFE Rt DFC ≌再利用面积差可判断②；由90ABD DBC ∠+∠=︒，结合90ABD CDF ∠+∠=︒，证明,DBC CDF ∠=∠ 再证明30,DBC EDF CDF ∠=∠=∠=︒ 可得AF 是BD 的垂直平分线，可得,AB AD = 则四边形ABCD 为正方形，与已知互相矛盾，可判断③；由,AF BD ⊥ 结合AD DF =，可证明BD 是AF 的垂直平分线，可得,BA BF = 从而可证明45ABE ADB ∠=∠=︒，可得,AB AD = 则四边形ABCD 为正方形，与已知互相矛盾，可判断④．【详解】 解： 长方形ABCD ，,,90,AB CD AD BC BAD BCD ∴==∠=∠=︒(),ABD CDB SAS ∴≌ 故①符合题意； 11,,22ADF BDC SAD CD S BC CD == ,ADF BDC SS ∴= ,,ADE ADF DEF BDF BCD DCFS S S S S S =-=- DF 平分BDC ∠，,90,AF BD BCD ⊥∠=︒,FE FC ∴= ,DF DF =(),Rt DFE Rt DFC HL ∴≌,DEF DCF SS ∴= ,ADE BDF S S ∴= 故②符合题意；长方形ABCD ，90ABD DBC ∴∠+∠=︒，若90ABD CDF ∠+∠=︒，,DBC CDF ∴∠=∠,Rt DFE Rt DFC ≌,EDF CDF ∴∠=∠ ,DE DC =30,DBC EDF CDF ∴∠=∠=∠=︒2,BD DC ∴=E ∴是BD 的中点，AF ∴是BD 的垂直平分线，,AB AD ∴=则四边形ABCD 为正方形，与已知互相矛盾，故③不符合题意；,AF BD ⊥若AD DF =，,AE EF ∴=BD ∴是AF 的垂直平分线，,BA BF ∴=90ABC ∠=°，45BAF BFA ∴∠=∠=︒，45ABE ADB ∴∠=∠=︒，,AB AD ∴=则四边形ABCD 为正方形，与已知互相矛盾，故④不符合题意；故选：.C【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，矩形的性质，正方形的判定，角平分线的性质，垂直平分线的定义与判定，等腰三角形的判定与性质，含30的直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．7．B解析：B【分析】根据矩形的判定定理逐一进行判定即可．【详解】A 、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故此选项不能判定是矩形；B 、有三个角是直角的四边形是矩形，能判定是矩形；C 、对角线相等的平行四边形是矩形，故此选项不能判定是矩形；D 、两条对角线互相平分四边形是平行四边形，故此选项不能判定是矩形．故选B ．【点睛】此题考查矩形的判定与性质，解题关键在于掌握矩形的判定定理：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形．（2）有三个角是直角的四边形是矩形．（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．8．D解析：D【分析】根据勾股定理得出AB ，进而利用直角三角形的性质得出：BD=DC=AD=5，利用三角形面积公式解答即可．【详解】∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，∴10AB =，∵D 是AB 的中点，∴BD=DC=AD=5，1116812222BDC BAC SS ==⨯⨯⨯=， 连接DE ，∵E 是BC 的中点，∴162DEC BDC S S ==，∵115622DEC S DC EF EF ==⨯⨯= ∴125EF = 故选：D ．【点睛】本题主要考查的是勾股定理，直角三角形斜边上的中线，关键是根据勾股定理解出AB ，进而利用直角三角形的性质解答．9．B解析：B【分析】过点D 作DF ⊥BC'，垂足为F ，过点A 作AG ⊥BC'，交BC'的延长线于G ，则四边形ADFG 是矩形，计算AC '的长，后利用三角形ADC 'M 面积 的不同计算方法计算即可.【详解】 如图，过点D 作DF ⊥BC'，垂足为F ，过点A 作AG ⊥BC'，交BC'的延长线于G ，∵把ACD △沿AD 翻折，得到ADC '，∴DC=DC '，∠ADC=∠A DC '，∵D 是BC 边上的中点，∴DC=BD ，∵2BD BC ='=，∴DC '=2BD BC ='=，∴BDC '是等边三角形，∴∠ADC=∠A DC '=∠B DC '=∠DC 'B=60°，∴BG ∥AD ，∵DF ⊥BC'，AG ⊥BC'，∴四边形ADFG 是矩形，∴BF=FC'=1，FG=AD=3，=，∴GC '=2，∴AC '=，设点D 到AC '的距离为h ， ∴1122AC h AD DF '=，∴11322h =⨯，∴h=7， 故选B.【点睛】 本题考查了三角形的折叠问题，等边三角形的判定和性质，平行线的判定，矩形的判定，勾股定理，三角形的面积，熟练掌握折叠的性质，矩形的判定，三角形面积不同表示方法是解题的关键.10．D解析：D【分析】由四边形ABCD 的对角线互相平分，可得四边形ABCD 是平行四边形，再添加AC=BD ，可根据对角线相等的平行四边形是矩形证明四边形ABCD 是矩形．【详解】∵四边形ABCD 的对角线互相平分，∴四边形ABCD 是平行四边形，A 、AB=CD 是平行四边形的性质，并不能得出四边形ABCD 是矩形；B 、AD=BC 是平行四边形的性质，不能推出四边形ABCD 是矩形；C 、AB=BC 时，四边形ABCD 是菱形，而不是矩形；D 、AC=BD 时，由对角线相等的平行四边形是矩形．故选：D ．【点睛】本题主要考查了矩形的判定，解题的关键是掌握矩形的判定：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形．11．C解析：C【分析】根据菱形的定义和判定定理逐项作出判断即可．【详解】解：A. AB=CD，无法判断四边形ABCD是菱形，不合题意；B. AC=BD，根据对角线相等的平行四边形是矩形可以判断□ABCD是矩形，不合题意；C. AC⊥BD，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可以判断□ABCD是菱形，符合题意；D. AB⊥BD，可以得到∠B=90°，根据有一个角是直角的平行四边形叫矩形可以判断□ABCD 是矩形，不合题意．故选：C【点睛】本题考查了菱形的判定，熟知菱形的定义和判定定理是解题的关键．12．D解析：D【分析】由折叠的性质知：∠EBC′、∠BC′F都是直角，∠BEF=∠DEF，因此BE∥C′F，那么∠EFC′和∠BEF互补，这样可得出∠BEF的度数，进而可求得∠AEB的度数，则∠ABE可在Rt△ABE 中求得．【详解】解：由折叠的性质知，∠BEF=∠DEF，∠EBC′、∠BC′F都是直角，∴BE∥C′F，∴∠EFC′+∠BEF=180°，又∵∠EFC′=122°，∴∠BEF=∠DEF=58°，∴∠AEB=180°-∠BEF-∠DEF=64°，在Rt△ABE中，∠ABE=90°-∠AEB=26°．故选D．【点睛】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．二、填空题13．【分析】设PQ与AC交于点O作OP′⊥BC于P′首先求出OP′当P与P′重合时PQ的值最小PQ的最小值=2OP′【详解】解：设PQ与AC交于点O作OP′⊥BC于P′如图所示：在Rt△ABC中∠ACB解析：【分析】设PQ与AC交于点O，作OP′⊥BC于P′．首先求出OP′，当P与P′重合时，PQ的值最小，PQ的最小值=2OP′．【详解】解：设PQ与AC交于点O，作OP′⊥BC于P′．如图所示：在Rt△ABC中，∠ACB=30°，∴BC=2AB=16，AC=3AB=83，∵四边形PAQC是平行四边形，∴OA=OC=43，∵OP′⊥BC，∠ACB=30°，∴OP'=1OC=23，2当P与P′重合时，OP的值最小，则PQ的值最小，∴PQ的最小值=2OP′=43，故答案为：43．【点睛】本题考查了勾股定理的运用、平行四边形的性质以及垂线段最短的性质，判断出PQ的值最小时的情况是解题的关键．14．【分析】根据题意原点O为菱形对称中心则点B与点D关于原点对称即可得到答案【详解】解：根据题意∵菱形的对角线交于原点∴原点O为菱形对称中心∴点B与点D关于原点O对称∵点的坐标为∴点D的坐标为故答案为：解析：(3．【分析】根据题意，原点O为菱形ABCD对称中心，则点B与点D关于原点对称，即可得到答案．【详解】解：根据题意，∵菱形ABCD的对角线交于原点O，∴原点O为菱形ABCD对称中心，∴点B与点D关于原点O对称，∵点B的坐标为(1,3--，∴点D的坐标为(3．故答案为：()1,3．【点睛】本题考查了菱形的性质，以及中心对称图形的性质，解题的关键是掌握菱形是中心对称图形，从而进行解题．15．4【分析】过点D作DH⊥x轴于H四边形ABOC是矩形由性质有AB＝CO∠COB＝90°将OC绕点O顺时针旋转60°OC＝OD∠COD＝60°可得∠DOH＝30°设DH＝x点D（xx）点A（2x）反比解析：43【分析】过点D作DH⊥x轴于H，四边形ABOC是矩形，由性质有AB＝CO，∠COB＝90°，将OC绕点O顺时针旋转60°，OC＝OD，∠COD＝60°，可得∠DOH＝30°，设DH＝x，点D（3x，x），点A（3，2x），反比例函数kyx=（k≠0）的图象经过A、D两点，构造方程求出即可．【详解】解：如图，过点D作DH⊥x轴于H，∵四边形ABOC是矩形，∴AB＝CO，∠COB＝90°，∵将线段OC绕点O顺时针旋转60°至线段OD，∴OC＝OD，∠COD＝60°，∴∠DOH＝30°，∴OD＝2DH，OH3，设DH＝x，∴点D3，x），点A32x），∵反比例函数kyx=（k≠0）的图象经过A、D两点，∴3×x3x，∴x＝2，∴点D（2），∴k＝＝故答案为：【点睛】本题考查反比例函数解析式问题，关键利用矩形的性质与旋转找到AB＝CO＝OD，∠DOH＝30°，DH＝x，会用x表示点D，x），点A，2x），利用A、D在反比例函数kyx（k≠0）的图象上，构造方程使问题得以解决．16．30°【分析】根据等腰三角形三线合一的性质得到∠AOD=90°证明△AOC是等边三角形得到∠AOC从而计算出∠COD【详解】解：∵CD是直角顶点∴∠ACB=∠ADB=90°又∵∠BAC=60°∠BA解析：30°【分析】根据等腰三角形三线合一的性质得到∠AOD=90°，证明△AOC是等边三角形，得到∠AOC，从而计算出∠COD．【详解】解：∵C、D是直角顶点，∴∠ACB=∠ADB=90°，又∵∠BAC=60°，∠BAD=45°，∴∠ABC=30°，∠ABD=45°，∴△ABD是等腰三角形，AC=12AB，又∵O是AB中点，∴OD⊥AB，OC=OA=12AB=AC，∠AOD=90°，∴△OAC是等边三角形，∴∠AOC=60°，∴∠COD=30°，故答案为：30°．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键．17．14【分析】过点D作轴垂足为E先证明从而得到AE＝OB＝4最后依据的面积＝OB•OE求解即可【详解】解：过点D作DE⊥y轴垂足为E∵A的坐标是点B的坐标是∴OA＝3OB＝4∵ABCD为正方形∴AB＝解析：14【分析】过点D 作DE y ⊥轴，垂足为E ．先证明ABO DAE ≌，从而得到AE ＝OB ＝4，最后依据OBD的面积＝12OB•OE 求解即可． 【详解】解：过点D 作DE ⊥y 轴，垂足为E ．∵A 的坐标是()0,3，点B 的坐标是()4,0-，∴OA ＝3，OB ＝4．∵ABCD 为正方形，∴AB ＝AD ，∠DAB ＝90°．∵90DAE BAO ∠+∠=︒，90BAO ABO ∠+∠=︒，∴DAE ABO ∠∠＝．在ABO 和DAE △中E AOB DAE ABO AB AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ABO DAE AAS ≌．∴AE ＝OB ＝4． ∴437OE AE AO =+=+=．∴OBD 的面积＝12OB•OE ＝12×4×7＝14． 故答案为：14．【点睛】本题主要考查的是正方形的性质、全等三角形的性质和判定，求得OE 的长是解题的关键．18．【分析】连接EF 根据矩形的性质可得AB=CD=9∠B=∠C=∠D=90°根据折叠的性质可得=∠B=90°利用HL 证出Rt △≌Rt △FCE 从而求出即可求出AF 最后利用勾股定理即可求出结论【详解】解：连解析：12【分析】连接EF ，根据矩形的性质可得AB=CD=9，∠B=∠C=∠D=90°，根据折叠的性质可得9AB AB '==，B E BE '=，AB E '∠=∠B=90°，利用HL 证出Rt △FB E '≌Rt △FCE ，从而求出B F '，即可求出AF ，最后利用勾股定理即可求出结论．【详解】解：连接EF ，∵4CF =，5DF =，∴CD=CF ＋DF=9∵四边形ABCD 为矩形，∴AB=CD=9，∠B=∠C=∠D=90°由折叠的性质可得9AB AB '==，B E BE '=，AB E '∠=∠B=90°∴FB E '∠=90°=∠C∵点E 为BC 的中点∴BE=CE∴B E CE '=在Rt △FB E '和Rt △FCE 中B E CE EF EF '=⎧⎨=⎩∴Rt △FB E '≌Rt △FCE∴4B F CF '==∴AF=AB '＋B F '=13在Rt △AFD 中，22AF DF -故答案为：12．【点睛】此题考查的是矩形与折叠问题，掌握矩形的性质、折叠的性质、利用HL 判定两个三角形全等和勾股定理是解题关键． 19．4【分析】先根据旋转的性质和正方形的性质证明CBF 三点在一条直线上又知BF ＝DE ＝1可得FC 的长【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形∴∠ABC ＝∠D ＝90°AD ＝AB 由旋转性质可得：∠ABF ＝∠D ＝解析：4【分析】先根据旋转的性质和正方形的性质证明C 、B 、F 三点在一条直线上，又知BF ＝DE ＝1，可得FC 的长．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABC ＝∠D ＝90°，AD ＝AB ，由旋转性质可得：∠ABF ＝∠D ＝90°，BF ＝DE ＝1，∴∠ABF ＋∠ABC ＝180°，∴C 、B 、F 三点在一条直线上，∴FC ＝BC ＋BF ＝3＋1＝4，故答案为：4．【点睛】本题主要考查了正方形及旋转变换的性质，掌握正方形的性质并由旋转的性质得出BF ＝DE 是解答本题的关键．20．【分析】如图连接EGEB′求出EGEB′的长可以判定点B′在EG 的延长线上时GB′的值最小最小值=即可解决问题【详解】解：如图连接EGEB′∵四边形ABCD 是正方形∴∠A=∠D=90°AD=DC=A 解析：52- 【分析】如图，连接EG ，EB ′．求出EG ，EB ′的长，可以判定点B ′在EG 的延长线上时，GB ′的值最小，最小值=52-，即可解决问题．【详解】解：如图，连接EG ，EB ′，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠A =∠D =90°，AD =DC =AB =2，∵AE =DE =1，DG =GC =1，∴EG 22DE DG +2211+2，由翻折的性质可知，∠A ′=∠A =90°，A ′E =AE =1，A ′B ′=AB =2，∴EB 22'''A E A B +2212+5∴当点B ′在EG 的延长线上时，GB ′的值最小，最小值52-52-．【点睛】 本题考查正方形的性质，翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．三、解答题21．（1）见解析；（2）①见解析；②317【分析】（1）由旋转性质知，90CE B AEB ∠∠=='︒，由90EBE '∠=︒，可证四边形BEFE '是矩形．由BE BE '=，可证四边形BEFE '是正方形；（2）如图，过点 D 作DH EA ⊥，垂足为H ．由DA DE =，得12AH AE =．可证DHA AEB △≌△．可得AH BE FE =='，由旋转性质知，CE AE '=即可； （3）设正方形BEFE '的边长为x ．在Rt CE B '△中，3CE x '=+，BE x '=，15CB AB ==，由勾股定理222CE BE BC '+='可求BE '，由DHA AEB △≌△，可求CE AE DH ='=3912=+=，HE AE AH =-1293=-=．在Rt DHE △中，得22317DE DH HE =+=．【详解】（1）证明：由旋转性质知，90CE B AEB ∠∠=='︒，又AE ∵延长与CE 于F 点，90FEB AEB ∠∠︒∴==．∵Rt ABE △绕点B 按顺时针方向旋转90︒，90EBE ∠∴='︒，∴四边形BEFE '是矩形．又∵BE BE '=，∴四边形BEFE '是正方形．（2）证明：如图，过点 D 作DH EA ⊥，垂足为H ．由DA DE =，得12AH AE =．90HDA DAH EAB DAH ∠∠∠∠︒+=+=，HDA EAB ∴∠=∠．又90DHA AEB ∠∠==︒，AD AB =，DHA AEB ∴△≌△．AH BE FE =='∴，由旋转性质知，CE AE '=，故12FE AH CE =''=，即CF FE '=．（3）解：设正方形BEFE '的边长为x ．在Rt CE B '△中，3CE x '=+，BE x '=，15CB AB ==，222(3)15x x ∴++=，解得9x =（舍去12x =-）．如图，过点 D 作DH EA ⊥，垂足为H ，同（2）知DHA AEB △≌△，DH AE ∴=，AH BE BE '==．CE AE DH =='∴3912=+=，HE AE AH =-1293=-=．在Rt DHE △中，得22317DE DH HE =+=．【点睛】本题考查正方形性质与判定，等腰三角形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，掌握正方形性质与判定，等腰三角形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理应用是解题关键．22．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）3AO =．【分析】（1）由正方形的性质可得AB ＝BC ，∠ABE ＝∠BCF ，然后利用“边角边”证明△ABE 和△BCF 全等；（2）由全等三角形对应角相等可得∠BAE ＝∠CBF ，然后求出∠BAE ＋∠ABF ＝∠ABC ＝90°，判断出AE ⊥BF ；（3）由30度角所对的直角边是斜边的一半，可得AE=2BE=4，同理可得OE=1，即可求得AO 的长．【详解】（1）证明：∵ABCD 是正方形，∴AB BC =，且90ABE BCF ∠=∠=︒，∵BE CF =，∴ABE BCF △△≌（SAS ）；（2）证明：由（1）知∠BAE ＝∠CBF ，∵90CBF ABF ABC ∠+∠=∠=︒∴90BAE ABF ∠+∠=︒，∴∠AOB=90︒，∴AE BF ⊥；（3）∵2BE =，30BAE ∠=︒，∴24AE BE ==，由（1）知，BAE CBF ∠=∠，且30BAE ∠=︒，∴30CBF ∠=︒，∴112EO BE ==， ∴3AO AE EO =-=．【点睛】 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，证明△ABE ≌△BCF 是解题的关键． 23．（1）答案见解析；（2）证明见解析；（3）45°．【分析】（1）根据平行四边形的对边平行可得AD ∥BC ，对角线互相平分可得OA=OC ，再根据两直线平行，内错角相等求出∠FAO=∠ECO ，然后利用“角边角”证明△AOF 和△COE 全等，根据全等三角形对应边相等即可得到AF=CE ；（2）根据垂直的定义可得∠BAO=90°，然后求出∠BAO=∠AOF ，再根据内错角相等，两直线平行可得AB ∥EF ，然后根据平行四边形的对边平行求出AF ∥BE ，再根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明；（3）根据（1）的结论可得AF=CE ，再求出DF ∥BE ，DF=BE ，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形求出四边形BEDF 平行四边形，再求出对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得EF ⊥BD 时，四边形BEDF 是菱形；根据勾股定理列式求出AC=2，再根据平行四边形的对角线互相平分求出AO=1，然后求出∠AOB=45°，再根据旋转的定义求出旋转角即可．【详解】解：（1）如图一∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AO =CO ，AD ∥BC ，∴∠FAO =∠ECO ，又∵∠AOF =∠COE ，∴△AOF ≌△COE （ASA ），∴AF =EC ，∴在旋转过程中，线段AF 与EC 总保持相等．（2）如备用图一：证明：∵AB⊥AC，∴∠BAC=90°．∵∠AOF=90°，∴∠BAC=∠AOF，∴AB∥EF．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴四边形ABEF是平行四边形．（3）如备用图二：在Rt△ABC中，AC22BC AB-．∵AO=OC，∴AO=1=AB．∵∠BAO=90°，∴∠AOB=45°∵EF⊥BD，∴∠BOF=90°，∴∠AOF=45°，即AC绕点O顺时针旋转45°．【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的性质和判定，旋转的性质，勾股定理的应用，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键.24．（1）B′点的坐标为(8,0)；（2）163y x=-+；（3）存在，点P的坐标为37,03⎛⎫⎪⎝⎭或11,03⎛⎫ ⎪⎝⎭．【分析】（1）折叠的性质得到CB′=CB=10，B′M=BM，在Rt△OCB′中，利用勾股定理易得OB′=8，即可得到B′点的坐标；（2）设AM=t，则BM=B′M=6-t，而AB′=OA-OB′=2，在Rt△AB′M中，利用勾股定理求出t 的值，确定M点的坐标，然后利用待定系数法求直线CM的解析式即可；（3）由△B′CP的面积11|8|61322PB OC x'=⨯=-⨯=，即可求解．【详解】解：（1）∵四边形ABCO 为矩形，∴10CB OA ==，6AB OC ==，∵CBM 沿CM 翻折后，点B 落在x 轴上，记作B ′点，∴10CB CB '==，B M BM '=，在Rt OCB '△中，6OC =，10CB '=，∴8OB '=，∴B ′点的坐标为(8,0)； （2）设AM t =，则6BM B M t ='=-，而2AB OA OB '=-'=，在Rt AB M '△中，222B M B A AM '='+，即222(6)2t t -=+， 解得83t =，∴M 点的坐标为810,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，设直线CM 的解析式为y kx b =+，把(0,6)C 和810,3M ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入得，68103b k b =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得136k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴直线CM 的解析式为163y x =-+； （3）存在，理由：设点P 的坐标为(,0)x ，则B CP '△的面积11|8|61322PB OC x '=⨯=-⨯=， 解得373x =或113， 故点P 的坐标为37,03⎛⎫⎪⎝⎭或11,03⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查的是一次函数和几何的综合运用，涉及到一次函数的性质、图形的翻折、勾股定理的运用、面积的计算等，综合性较强，熟练掌握相关知识是解题的关键．25．（1）见解析；（2）１．【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线性质解得CD=BD ，得到30DCB B ==︒∠∠，继而得到60ADC A ∠=∠=︒再根据等腰三角形的判定推出AC=CD ，最后根据等腰三角形的性质解题；（2）先解得30ACE ∠=︒，根据含30°角的直角三角形的性质解得AE 的长，即可解题．【详解】（1）证明：在ABC 中，90ACB ︒∠=，D 是AB 的中点，12CD AD BD AB ∴=== DCB B ∴∠=∠30,90B ACB ∠=︒∠=︒30,180903060DCB A ∴∠=︒∠=︒-︒-︒=︒60ADC B DCB ∴∠=∠+∠=︒A ADC ∴∠=∠AC DC ∴=CE 垂直AB 于点EAE ED ∴=；（2）CE AB ⊥90AEC ∴∠=︒60A ∠=︒30ACE ∴∠=︒12AE AC ∴= 2,AC AE DE ==1DE AE ∴==．【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质、直角三角形斜边的中线、含30°角的直角三角形、三角形外角的性质、三角形内角和定理等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．26．（1）证明见解析；（2）30A ∠=︒，证明见解析【分析】（1）先根据垂直平分线和直角证得DF//BC ，再结合BF//CE ，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可证明；（2）根据有一组临边相等的平行四边形是菱形，所以需添加的条件能证明有一组临边相等据此作答．【详解】解：（1）证明：∵DF 垂直平分AC ，90ACB ∠=︒，∴DF//BC ，又∵BF//CE ，∴四边形BCEF 是平行四边形；（2）当30A ∠=︒时，四边形BCEF 是菱形，理由是：∵DF 垂直平分AC ，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，∴EA=EC ，1903060∠=︒-︒=︒，∴230A ∠=∠=︒，即3903060∠=︒-︒=︒，∴∆BCE 是等边三角形，∴BC=EC ，由（1）得四边形BCEF 是平行四边形，∴四边形BCEF 是菱形．【点睛】本题考查菱形的判定定理，平行四边形的判定定理，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质．熟练掌握判定定理，并能结合题意选择合适的定理证明是解题关键．。
北师大版九年级上册数学期末考试试卷附答案详解
北师大版九年级上册数学期末考试试题一、选择题。
（每小题只有一个正确答案）1．在下面的四个几何体中，同一几何体的主视图与俯视图相同的是（）A ．B ．C ．D ．2．如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=2，BC=1，则sinA 等于（）A ．2BC ．12D 3．如图，点P 在△ABC 的边AC 上，要判断△ABP ∽△ACB ，添加一个条件，不正确的是A ．∠ABP=∠CB ．∠APB=∠ABC C ．AP ABAB AC=D ．AB ACBP CB=4．如果两个相似三角形的相似比是1：4，那么这两个相似三角形的周长比是（）A ．2：1B ．1：16C ．1：4D ．1：25．要使菱形ABCD 成为正方形，需要添加的条件是（）A ．AB=CDB ．AD=BCC ．AB=BCD ．AC=BD 6．已知点A （3，a ）与点B （5，b ）都在反比例函数y=﹣2x的图象上，则a 与b 之间的关系是（）A ．a ＞bB ．a ＜bC ．a≥bD ．a=b7．某池塘中放养了鲫鱼1000条，鲮鱼若干条，在几次随机捕捞中，共抓到鲫鱼200条，鲮鱼400条，估计池塘中原来放养了鲮鱼（）A ．500条B ．1000条C ．2000条D ．3000条8．一元二次方程x 2﹣2x+3＝0根的情况是（）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法判断9．已知反比例函数ky x=的图象经过点（﹣1，5），则此反比例函数的图象位于（）A ．第一、二象限B ．第二、三象限C ．第二、四象限D ．第一、三象限10．如图，一次函数1(0)y kx b k =+≠的图象与反比例函数2my x=（m 为常数且0m ≠）的图象都经过()()1,2,2,1A B --，结合图象，则不等式mkx b x+>的解集是（）A ．1x <-B ．10x -<<C ．1x <-或02x <<D ．10x -<<或2x >二、填空题11．方程22x x =的根是________．12．如图，已知DE ∥BC ，AE=3，AC=5，AB=6，则AD=_____．13．如图，过反比例函数y=6x（x ＞0）图象上的一点A ，作x 轴的垂线，垂足为B 点，连接OA ，则S △AOB =_____14．如图，菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，且AC=8，BD=6，则菱形ABCD 的高DH=_____．15．如图，在A时测得旗杆的影长是4米，B时测得旗杆的影长是16米，若两次的日照光线恰好垂直，则旗杆的高度是______米.16．已知矩形的长是3，宽是2，另一个矩形的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍，那么新矩形的长是_____．三、解答题17．计算：2sin30°+4cos30°·tan60°-cos245°18．由于提倡环保节能，自行车已成为市民日常出行的主要工具之一，据某自行车经销店4至6月份统计，某品牌自行车4月份销售200辆，6月份销售338辆，求该品牌自行车销售量的月平均增长率．19．如图，在6×8网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和△ABC的顶点均在小正方形的格点上．（1）以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC位似，且相似比为1：2；（2）连接（1）中的BB′，CC′，求四边形BB′C′C的周长．（结果保留根号）20．如图,某幢大楼顶部有广告牌CD,小宇身高MA为1.89米,他站在立在离大楼45米的A 处测得大楼顶端点D的仰角为30°;接着他向大楼前进15米,站在点B处测得广告牌顶端点C 的仰角为45°.(1)求这幢大楼的高DH ;(2)求这块广告牌CD 的高度.(.732,计算结果保留一位小数)21．在一个不透明的口袋里装有若干个除颜色外其余均相同的红、黄、蓝三种颜色的小球，其中红球2个，篮球1个，若从中任意摸出一个球，摸到球是红球的概率为12．（1）求袋中黄球的个数；（2）第一次任意摸出一个球（不放回），第二次再摸出一个球，求两次摸到球的颜色是红色与黄色这种组合（不考虑红、黄球顺序）的概率．22．某超市服装专柜在销售中发现：某男装上衣的进价为每件30元，当售价为每件50元时，每周可卖出200件，现需降价处理，经过市场调查，发现每降价1元，每周可多卖出20件．（1）为占有更大的市场份额，当降价为多少元时，每周盈利为4420元？（2）当降价为多少元时，每周盈利额最大？最大盈利多少元？23．如图，一次函数y=x+b 和反比例函数y=xk（k≠0）交于点A （4，1）．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求△AOB 的面积；（3）根据图象直接写出一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围．24．如图，以△ABC 的各边，在边BC 的同侧分别作三个正方形ABDI ，BCFE ，ACHG ．（1）求证：△BDE ≌△BAC ；（2）求证：四边形ADEG 是平行四边形．（3）直接回答下面两个问题，不必证明：①当△ABC 满足条件_____________________时，四边形ADEG 是矩形．②当△ABC 满足条件_____________________时，四边形ADEG 是正方形？25．如图，直线y=﹣23x+c 与x 轴交于点A （3，0），与y 轴交于点B ，抛物线y=﹣43x 2+bx+c 经过点A ，B ，M （m ，0）为x 轴上一动点，点M 在线段OA 上运动且不与O ，A 重合，过点M 且垂直于x 轴的直线与直线AB 及抛物线分别交于点P ，N ．（1）求点B 的坐标和抛物线的解析式；（2）在运动过程中，若点P 为线段MN 的中点，求m 的值；（3）在运动过程中，若以B ，P ，N 为顶点的三角形与△APM 相似，求点M 的坐标；参考答案1．D【详解】试题分析：主视图、俯视图是分别从物体正面和上面看，所得到的图形．因此，A、圆柱主视图、俯视图分别是长方形、圆，主视图与俯视图不相同，故A选项错误；B、圆锥主视图、俯视图分别是三角形、有圆心的圆，主视图与俯视图不相同，故B选项错误；C、三棱柱主视图、俯视图分别是长方形，三角形，主视图与俯视图不相同，故C选项错误；D、球主视图、俯视图都是圆，主视图与俯视图相同，故D选项正确．故选D．考点：简单几何体的三视图．2．C【解析】【分析】结合图形运用三角函数定义求解．【详解】∵AB=2、BC=1，∴sinA=1=2 BC AB，故选C．【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．3．D【详解】试题分析：A．当∠ABP=∠C时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；B．当∠APB=∠ABC时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；C．当AP ABAB AC时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；D．无法得到△ABP∽△ACB，故此选项正确．故选D．考点：相似三角形的判定．4．C【分析】直接根据相似三角形周长的比等于相似比即可得出结论．【详解】∵两个相似三角形的相似比是1：4，∴这两个相似三角形的周长比是1：4．故选C．【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形对应周长的比等于相似比是解答此题的关键．5．D【分析】根据有一个角是直角的菱形是正方形即可解答．【详解】如图，∵四边形ABCD是菱形，∴要使菱形ABCD成为一个正方形，需要添加一个条件，这个条件可以是：∠ABC=90°或AC=BD．故选D．【点睛】本题考查了正方形的判定，解答此题的关键是熟练掌握正方形的判定定理，正方形的判定方法：①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．③还可以先判定四边形是平行四边形，再用①或②进行判定．6．B【分析】直接利用反比例函数的增减性分析得出答案．【详解】∵点A（3，a）与点B（5，b）都在反比例函数y=﹣2x的图象上，∴每个象限内y随x的增大而增大，则a＜b．故选B．【点睛】此题主要考查了反比例函数的增减性，正确记忆反比例函数的性质是解题关键．7．C【分析】先根据题意可得到鲫鱼与鲮鱼之比为1：2，再根据鲫鱼的总条数计算出鲮鱼的条数即可．【详解】由题意得：鲫鱼与鲮鱼之比为：200：400=1：2，∵鲫鱼1000条，∴鲮鱼条数是：1000×2=2000．故答案选：C．【点睛】本题主要考查了用样本估计总体，关键是知道样本的鲫鱼与鲮鱼之比就是池塘内鲫鱼与鲮鱼之比．8．C【分析】直接利用根的判别式进而判断，即可得出答案.【详解】∵a＝1，b＝﹣2，c＝3，∴b2﹣4ac＝4＝4﹣4×1×3＝﹣8＜0，∴此方程没有实数根.故选C.【点睛】此题主要考查了根的判别式，当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程没有实数根.9．C 【分析】把点（-1，5）代入反比例函数ky x=得到关于k 的一元一次方程，解之，即可得到反比例函数的解析式，根据反比例函数的图象和性质，即可得到答案．【详解】解：把点（﹣1，5）代入反比例函数ky x=得：1k-＝5，解得：k ＝﹣5，即反比例函数的解析式为：y ＝5x-，此反比例函数的图象位于第二、第四象限，故选：C ．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的图象，反比例函数的性质，正确掌握代入法，反比例函数的图象和性质是解题的关键．10．C 【分析】根据一次函数图象在反比例函数图象上方的x 的取值范围便是不等式mkx b x+>的解集．【详解】解：由函数图象可知，当一次函数()10y kx b k =+≠的图象在反比例函数2my x=（m 为常数且0m ≠）的图象上方时，x 的取值范围是：1x <-或02x <<，∴不等式mkx b x+>的解集是1x <-或02x <<.故选C ．【点睛】本题是一次函数图象与反比例函数图象的交点问题：主要考查了由函数图象求不等式的解集．利用数形结合是解题的关键．11．x 1＝0，x 2＝2【分析】先移项，再用因式分解法求解即可．【详解】解：∵22x x =，∴22=0x x -，∴x(x-2)=0，x 1＝0，x 2＝2．故答案为：x 1＝0，x 2＝2．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键．12．3.6．【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可．相似三角形的判定推出【详解】解：∵DE ∥BC ，∴AE ADAC AB=，∴356AD =，解得：AD ＝3.6，故答案为：3.6．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线得出比例式是解此题的关键．13．3【分析】设A （x ，6x ），则有OB=x ，AB=6x，根据三角形面积公式可得答案.【详解】设A （x ，6x ）则有，OB=x ，AB=6x∴S△AOB =162xx⨯⨯=3，故答案为：3，【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，记住：反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是12|k|，且保持不变．14．4.8．【详解】试题分析：在菱形ABCD中，AC⊥BD，∵AC=8，BD=6，∴OA=12AC=12×8=4，OB=12BD=12×6=3，在Rt△AOB中，由勾股定理可得AB=5，∵DH⊥AB，∴菱形ABCD的面积=12AC•BD=AB•DH，即12×6×8=5•DH，解得DH=4.8．考点：菱形的性质．15．8【分析】如图，∠CPD=90°，QC=4m，QD=9m，利用等角的余角相等得到∠QPC=∠D，则可判断Rt△PCQ∽Rt△DPQ，然后利用相似比可计算出PQ．【详解】解：如图，∠CPD=90°，QC=4m，QD=16m，∵PQ⊥CD，∴∠PQC=90°，∴∠C+∠QPC=90°，而∠C+∠D=90°，∴∠QPC=∠D，∴Rt△PCQ∽Rt△DPQ，∴PQ QCQD PQ=，即416PQPQ=，∴PQ=8，即旗杆的高度为8m．故答案为8．【点睛】本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．平行投影中物体与投影面平行时的投影是全等的．也考查了相似三角形的判定与性质．16．【分析】设新矩形的长为x，则新矩形的宽为（10-x），根据新矩形的面积为12，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．【详解】设新矩形的长为x，则新矩形的宽为（10﹣x），根据题意得：x（10﹣x）=2×3×2，整理得：x2﹣10x+12=0，解得：x1=5x2∵x≥10﹣x，∴x≥5，∴故答案为：【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．17．132【解析】分析：将sin30°=12，详解：原式=2×12＋2=1＋6－12=132点睛：考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握一些特殊角的三角函数值，请牢记以下特殊三角函数值：18．月平均增长率为30%．【分析】设该品牌自行车销售量的月平均增长率为x ，根据4月、6月份的销售量，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】设该品牌自行车销售量的月平均增长率为x ，根据题意得：200（1+x ）2=338，解得：x 1=0.3=30%，x 2=﹣2.3（不合题意，舍去）．答：该品牌自行车销售量的月平均增长率为30%．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．19．（1）见解析；（2）【分析】（1）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）利用勾股定理得出各线段长，进而得出答案．【详解】（1）如图所示：△A′B′C′，即为所求；（2）四边形BB′C′C 的周长为：．【点睛】此题主要考查了位似变换，正确得出对应点位置是解题关键．20．（1）楼高DH 为27.9米；（2）广告牌CD 的高度为4.0米.【解析】【分析】在Rt △DME 与Rt △CNE ；应利用ME-NE=AB=15构造方程关系式，进而可解即可求出答案．【详解】解:(1)在Rt △DME 中,ME=AH=45;由tan 30°=DE ME ,得DE=45×3≈15×1.732=25.98;又因为EH=MA=1.89,故大楼DH=DE+EH=25.98+1.89=27.87≈27.9.(2)在Rt △CNE 中,NE=45-15=30,由tan 45°=CE NE,得CE=NE=30,因而广告牌CD=CE-DE=30-25.98≈4.0.答:楼高DH 为27.9米,广告牌CD 的高度为4.0米.【点睛】本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形,并结合图形利用三角函数解直角三角形.21．（1）袋中黄球的个数1个；（2）两次摸到球的颜色是红色与黄色这种组合的概率为1 3 .【分析】（1）首先设袋中的黄球个数为x个，然后根据古典概率的知识列方程，求解即可求得答案；（2）首先画树状图，然后求得全部情况的总数与符合条件的情况数目，求其二者的比值即可．【详解】（1）设袋中的黄球个数为x个，∴21= 212x++，解得：x=1，经检验，x=1是原方程的解，∴袋中黄球的个数1个；（2）画树状图得：，∴一共有12种情况，两次摸到球的颜色是红色与黄色这种组合的有4种，∴两次摸到球的颜色是红色与黄色这种组合的概率为：4 12 =13【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意方程思想的应用．22．（1）当降价为7元时，每周盈利为4420元；（2）当降价为5元时，每周盈利额最大，最大盈利4500元．【分析】（1）设降价为x元，根据“总利润=每件利润×销售量”列出关于x的方程，解之得出x的值，再根据要占有更大的市场份额，即销量尽可能的大取舍即可得；（2）设每周盈利为y，根据以上所列相等关系列出函数解析式，将其配方成顶点式后利用二次函数的性质求解可得．【详解】（1）设降价为x元，根据题意，可得：（50﹣x ﹣30）（200+20x ）=4420，整理，得：x 2﹣10x+21=0，解得：x 1=3，x 2=7，因为要占有更大的市场份额，即销量尽可能的大，所以x=7，答：当降价为7元时，每周盈利为4420元；（2）设每周盈利为y ，则y=（50﹣x ﹣30）（200+20x ）=﹣20x 2+200x+4000=﹣20（x ﹣5）2+4500，所以当x=5时，y 取得最大值，最大值为4500，答：当降价为5元时，每周盈利额最大，最大盈利4500元．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，最值问题一般的解决方法是转化为函数问题，根据函数的性质求解．23．（1）反比例函数的解析式为：y=4x ；一次函数的解析式为：y=x ﹣3；（2）S △AOB =152；（3）一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围为：﹣1＜x ＜0或x ＞4．【分析】（1）把A 的坐标代入y=k x，求出反比例函数的解析式，把A 的坐标代入y=x+b 求出一次函数的解析式；（2）求出D 、B 的坐标，利用S △AOB =S △AOD +S △BOD 计算，即可求出答案；（3）根据函数的图象和A 、B 的坐标即可得出答案．【详解】（1）∵反比例函数y=k x 的图象过点A （4，1），∴1=k 4，即k=4，∴反比例函数的解析式为：y=4x．∵一次函数y=x+b （k≠0）的图象过点A （4，1），∴1=4+b，解得b=﹣3，∴一次函数的解析式为：y=x﹣3；（2）∵令x=0，则y=﹣3，∴D（0，﹣3），即DO=3．解方程4x=x﹣3，得x=﹣1，∴B（﹣1，﹣4），∴S△AOB =S△AOD+S△BOD=12×3×4+12×3×1=152；（3）∵A（4，1），B（﹣1，﹣4），∴一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围为：﹣1＜x＜0或x＞4．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了观察函数图象的能力．24．（1）见解析；（2）见解析；（3）①∠BAC=135°；②∠BAC=135°且AC【分析】（1）根据全等三角形的判定定理SAS证得△BDE≌△BAC；（2）由△BDE≌△BAC，可得全等三角形的对应边DE=AG．然后利用正方形对角线的性质、周角的定义推知∠EDA+∠DAG=180°，易证ED∥GA；最后由“一组对边平行且相等”的判定定理证得结论；（3）①根据“矩形的内角都是直角”易证∠DAG=90°．然后由周角的定义求得∠BAC=135°；②由“正方形的内角都是直角，四条边都相等”易证∠DAG=90°，且AG=AD．由正方形ABDI和正方形ACHG的性质证得：AC=．【详解】（1）∵四边形ABDI、四边形BCFE、四边形ACHG都是正方形，∴AC=AG，AB=BD，BC=BE，∠GAC=∠EBC=∠DBA=90°，∴∠ABC=∠EBD（同为∠EBA的余角）．在△BDE和△BAC中，∵BD BADBE ABCBE BC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BDE≌△BAC（SAS）；（2）∵△BDE≌△BAC，∴DE=AC=AG，∠BAC=∠BDE．∵AD是正方形ABDI的对角线，∴∠BDA=∠BAD=45°．∵∠EDA=∠BDE﹣∠BDA=∠BDE﹣45°，∠DAG=360°﹣∠GAC﹣∠BAC﹣∠BAD=360°﹣90°﹣∠BAC﹣45°=225°﹣∠BAC，∴∠EDA+∠DAG=∠BDE﹣45°+225°﹣∠BAC=180°，∴DE∥AG，∴四边形ADEG是平行四边形（一组对边平行且相等）．（3）①当四边形ADEG是矩形时，∠DAG=90°．则∠BAC=360°﹣∠BAD﹣∠DAG﹣∠GAC=360°﹣45°﹣90°﹣90°=135°，即当∠BAC=135°时，平行四边形ADEG是矩形；②当四边形ADEG是正方形时，∠DAG=90°，且AG=AD．由①知，当∠DAG=90°时，∠BAC=135°．∵四边形ABDI是正方形，∴AD．又∵四边形ACHG是正方形，∴AC=AG，∴AC=，∴当∠BAC=135°且AC=时，四边形ADEG是正方形．【点睛】本题综合考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识点．解题时，注意利用隐含在题干中的已知条件：周角是360°．25．（1）B（0，2），抛物线解析式为y=﹣43x2+103x+2；（2）m的值为1 2；（3）当以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似时，点M的坐标为（2.5.0）或（118，0）．【分析】（1）把A点坐标代入直线解析式可求得c，则可求得B点坐标，由A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）用m可表示出M、P、N的坐标，由题意可知有P为线段MN的中点，可得到关于m 的方程，可求得m的值．（3）由M点坐标可表示P、N的坐标，从而可表示出MA、MP、PN、PB的长，分∠NBP=90°和∠BNP=90°两种情况，分别利用相似三角形的性质可得到关于m的方程，可求得m的值，从而得到点M的坐标．【详解】（1）∵y=﹣23x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，∴0=﹣2+c，解得c=2，∴B（0，2），∵抛物线y=﹣43x2+bx+c经过点A，B，∴12302b cc-++=⎧⎨=⎩，解得1032bc⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线解析式为y=﹣43x2+103x+2；（2）由（1）可知直线解析式为y=﹣23x+2，∵M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N，∴P（m，﹣23m+2），N（m，﹣43m2+103m+2），∵P为线段MN的中点时，∴有2（﹣23m+2）=﹣43m2+103m+2，解得m=3（三点重合，舍去）或m=1 2．故m的值为1 2．（3）由（1）可知直线解析式为y=﹣23x+2，∵M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N，∴P（m，﹣23m+2），N（m，﹣43m2+103m+2），∴PM=﹣23m+2，AM=3﹣m，PN=﹣43m2+103m+2﹣（﹣23m+2）=﹣43m2+4m，∵△BPN和△APM相似，且∠BPN=∠APM，∴∠BNP=∠AMP=90°或∠NBP=∠AMP=90°，当∠BNP=90°时，则有BN⊥MN，∴N点的纵坐标为2，∴﹣43m2+103m+2=2，解得m=0（舍去）或m=2.5，∴M（2.5，0）；当∠NBP=90°时，过点N作NC⊥y轴于点C，则∠NBC+∠BNC=90°，NC=m ，BC=﹣43m 2+103m+2﹣2=﹣43m 2+103m ，∵∠NBP=90°，∴∠NBC+∠ABO=90°，∴∠ABO=∠BNC ，∴Rt △NCB ∽Rt △BOA ，∴NC CB =OB OA，∴2π=2410333m m -+，解得m=0（舍去）或m=118，∴M （118，0）；综上可知，当以B ，P ，N 为顶点的三角形与△APM 相似时，点M 的坐标为（2.5.0）或（118，0）．【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、函数图象的交点、相似三角形的判定和性质、勾股定理、线段的中点、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中得到m 的方程是解题的关键，在（3）中利用相似三角形的性质得到关于m 的方程是解题的关键，注意分两种情况．本题考查知识点较多，综合性较强，分情况讨论比较多，难度较大．。
【精品】北师大版九年级数学上册(1-2)单元过关试卷(含答案)
北师大版九年级数学上册（1-2）单元试卷（含答案）第一章精选试卷(时间：120分钟 满分：120分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．菱形的对称轴的条数为( )A ．1B ．2C ．3D ．42．下列说法中，正确的是( )A ．相等的角一定是对顶角B ．四个角都相等的四边形一定是正方形C ．平行四边形的对角线互相平分D ．矩形的对角线一定垂直3．平面直角坐标系中，四边形ABCD 的顶点坐标分别是A(－3，0)，B(0，2)，C(3，0)，D(0，－2)，则四边形ABCD 是( )A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．平行四边形4．下列命题是假命题的是( )A ．四个角相等的四边形是矩形B ．对角线相等的平行四边形是矩形C ．对角线垂直的四边形是菱形D ．对角线垂直的平行四边形是菱形5．如图，矩形纸片ABCD 中，AB ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，现将其沿AE 对折，使得点B 落在边AD 上的点B 1处，折痕与边BC 交于点E ，则CE 的长为( )A ．6 cmB ．4 cmC ．2 cmD ．1 cm6如图，四边形ABCD 是菱形，AC ＝8，DB ＝6，DH ⊥AB 于H ，则DH 等于( )A.245B.125 C ．5 D ．4错误! ,第6题图) ,第7题图)7．如图，每个小正方形的边长为1，A ，B ，C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的度数为( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°8．已知四边形ABCD 的两条对角线AC 与BD 互相垂直，则下列结论正确的是( )A ．当AC ＝BD 时，四边形ABCD 是矩形B ．当AB ＝AD ，CB ＝CD 时，四边形ABCD 是菱形C ．当AB ＝AD ＝BC 时，四边形ABCD 是菱形D ．当AC ＝BD ，AD ＝AB 时，四边形ABCD 是正方形9．如图，矩形ABCD 中，AD ＝2，AB ＝3，过点A ，C 作相距为2的平行线段AE ，CF ，分别交CD ，AB 于点E ，F ，则DE 的长是( ) A. 5 B.136 C ．1 D.56,第9题图) ,第10题图)10．如图，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在边AB ，BC 上，且AE ＝13AB ，将矩形沿直线EF 折叠，点B 恰好落在AD 边上的点P 处，连接BP 交EF 于点Q ，对于下列结论：①EF ＝2BE ；②PF ＝2PE ；③FQ ＝4EQ ；④△PBF 是等边三角形．其中正确的是( )A ．①②B ．②③C ．①③D ．①④二、填空题(每小题3分，共18分)11．已知菱形的两条对角线长分别为2 cm ，3 cm ，则它的面积是____cm 2.12．如图，已知点P 是正方形ABCD 对角线BD 上一点，且BP ＝BC ，则∠ACP 的度数是____度．13．如图所示，将△ABC 绕AC 的中点O 顺时针旋转180°得到△CDA ，添加一个条件____，使四边形ABCD 为矩形．,第12题图),第13题图),第14题图),第15题图)14．已知矩形ABCD，AB＝3 cm，AD＝4 cm，过对角线BD的中点O作BD的垂直平分线EF，分别交AD，BC于点E，F，则AE的长为____cm.15．如图，菱形ABCD的边长为4，过点A，C作对角线AC的垂线，分别交CB和AD的延长线于点E，F，AE＝3，则四边形AECF的周长为____．16．矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为(3，4)，D是OA的中点，点E在AB上，当△CDE的周长最小时，则点E的坐标为__ __．三、解答题(共72分)17．(10分)如图，矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86 cm，对角线长是13 cm，那么矩形的周长是多少？18．(10分)如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为边BC上一点，以AB，BD为邻边作▱ABDE，连接AD，EC.(1)求证：△ADC≌△ECD；(2)若BD＝CD，求证：四边形ADCE是矩形．19．(10分)如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE.(1)求证：BD＝EC；(2)若∠E＝50°，求∠BAO的大小．20．(10分)如图，已知在▱ABCD中，点E，F分别是边AB，CD的中点，BD是对角线，AG∥BD交CB的延长线于点G.(1)求证：△ADE≌△CBF；(2)若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？证明你的结论．21．(10分)如图，已知菱形ABCD，AB＝AC，点E，F分别是BC，AD的中点，连接AE，CF.(1)求证：四边形AECF是矩形；(2)若AB＝8，求菱形的面积．22．(10分)如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，∠ADE＝∠CDF.(1)求证：AE＝CF；(2)连接DB交EF于点O，延长OB至G，使OG＝OD，连接EG，FG，判断四边形DEGF是否是菱形，并说明理由．23．(12分)如图，在矩形ABCD中，点M，N分别是AD，BC的中点，点P，Q分别是BM，DN的中点．(1)求证：△MBA≌△NDC；(2)四边形MPNQ是什么特殊四边形？请说明理由．答 案一、选择题(每小题3分，共30分)1-5 BCBCC 6-10ACCDD二、填空题(每小题3分，共18分)11．已知菱形的两条对角线长分别为2 cm ，3 cm ，则它的面积是__3__cm 2.12．如图，已知点P 是正方形ABCD 对角线BD 上一点，且BP ＝BC ，则∠ACP 的度数是__22.5__度．13．如图所示，将△ABC 绕AC 的中点O 顺时针旋转180°得到△CDA ，添加一个条件__∠B ＝90°或∠BAC ＋∠BCA ＝90°__，使四边形ABCD 为矩形．,第12题图) ,第13题图) ,第14题图) ,第15题图)14．已知矩形ABCD ，AB ＝3 cm ，AD ＝4 cm ，过对角线BD 的中点O 作BD 的垂直平分线EF ，分别交AD ，BC 于点E ，F ，则AE的长为__78__cm. 15．如图，菱形ABCD 的边长为4，过点A ，C 作对角线AC 的垂线，分别交CB 和AD 的延长线于点E ，F ，AE ＝3，则四边形AECF 的周长为__22__．16．矩形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B 的坐标为(3，4)，D 是OA 的中点，点E 在AB 上，当△CDE 的周长最小时，则点E 的坐标为__(3，43)__． 三、解答题(共72分)17．(10分)如图，矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86 cm，对角线长是13 cm，那么矩形的周长是多少？∵△AOB，△BOC，△COD和△AOD四个小三角形的周长和为86 cm，且AC＝BD＝13 cm，∴AB＋BC＋CD＋DA＝86－2(AC ＋BD)＝86－4×13＝34(cm)，即矩形ABCD的周长是34 cm18．(10分)如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为边BC上一点，以AB，BD为邻边作▱ABDE，连接AD，EC.(1)求证：△ADC≌△ECD；(2)若BD＝CD，求证：四边形ADCE是矩形．(1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，又∵四边形ABDE是平行四边形，∴AB∥DE，AB＝DE，∴∠ABD＝∠EDC，AC＝DE，∴∠EDC ＝∠ACD，又DC＝CD，∴△ADC≌△ECD(2)若BD＝CD，又∵AB ＝AC，∴AD⊥BC.又∵四边形ABDE是平行四边形，∴AE綊BD，∴AE綊DC，∴四边形ADCE是平行四边形，∵AD⊥DC，∴▱ADCE 是矩形19．(10分)如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE.(1)求证：BD＝EC；(2)若∠E＝50°，求∠BAO的大小．(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CD，AB∥CD，又∵BE＝AB，∴BE＝CD，BE∥CD，∴四边形BECD是平行四边形，∴BD ＝EC(2)∠BAO＝40°20．(10分)如图，已知在▱ABCD中，点E，F分别是边AB，CD的中点，BD是对角线，AG∥BD交CB的延长线于点G.(1)求证：△ADE≌△CBF；(2)若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？证明你的结论．(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD綊BC，∠A＝∠C，CD＝AB，又∵点E，F为AB，DC的中点，∴CF＝AE，∴△ADE ≌△CBF(2)四边形AGBD是矩形．连接EF，∵▱BEDF是菱形，∴BD⊥EF，又DF綊AE，∴四边形ADFE是平行四边形，∴EF∥AD，∴∠ADB＝90°，又∵AD∥BC，DB∥AG，∴四边形AGBD 是平行四边形，∴▱AGBD是矩形21．(10分)如图，已知菱形ABCD，AB＝AC，点E，F分别是BC，AD的中点，连接AE，CF.(1)求证：四边形AECF是矩形；(2)若AB＝8，求菱形的面积．(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC.又∵AB＝AC, ∴△ABC 是等边三角形．∵点E是BC的中点，∴AE⊥BC，∴∠AEC＝90°.∵点E，F分别是BC，AD的中点，∴AF＝12AD，EC＝12BC.∵四边形ABCD为菱形，∴AD綊BC，∴AF綊EC，∴四边形AECF是平行四边形．又∵∠AEC＝90°，∴四边形AECF是矩形(2)在Rt △ABE 中，AE ＝82－42＝43，∴S 菱形ABCD ＝8×43＝32322．(10分)如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边AB ，BC 上，∠ADE ＝∠CDF.(1)求证：AE ＝CF ；(2)连接DB 交EF 于点O ，延长OB 至G ，使OG ＝OD ，连接EG ，FG ，判断四边形DEGF 是否是菱形，并说明理由．(1)在正方形ABCD 中，AD ＝CD ，∠A ＝∠C ＝90°，在△ADE 和△CDF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ADE ＝∠CDF ，AD ＝CD ，∠A ＝∠C ＝90°，∴△ADE ≌△CDF (ASA )，∴AE ＝CF (2)四边形DEGF 是菱形．理由如下：在正方形ABCD 中，AB ＝BC ，∵AE ＝CF ，∴AB －AE ＝BC －CF ，即BE ＝BF ，∵△ADE ≌△CDF ，∴DE ＝DF ，∴BD 垂直平分EF ，∴EO ＝FO.又∵OG ＝OD ，DE ＝DF ，∴四边形DEGF 是菱形23．(12分)如图，在矩形ABCD 中，点M ，N 分别是AD ，BC 的中点，点P ，Q 分别是BM ，DN 的中点．(1)求证：△MBA ≌△NDC ；(2)四边形MPNQ 是什么特殊四边形？请说明理由． (1)∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ，AD ＝BC ，∠A ＝∠C＝90°，∵在矩形ABCD 中，点M ，N 分别是AD ，BC 的中点，∴AM ＝12AD ，CN ＝12BC ，∴AM ＝CN.在△MBA 和△NDC 中，∵AB ＝CD ，∠A ＝∠C ＝90°，AM ＝CN ，∴△MBA ≌△NDC (SAS )(2)四边形MPNQ 是菱形，理由如下：连接AN ，易证：△ABN ≌△BAM ，∴AN ＝BM.∵△MAB ≌△NCD ，∴BM ＝DN.∵点P ，Q 分别是BM ，DN 的中点，∴PM ＝NQ.∵DM ＝BN ，DQ ＝BP ，∠MDQ ＝∠NBP ，∴△MQD ≌△NPB (SAS )．∴MQ ＝NP.∴四边形MPNQ 是平行四边形．∵点M 是AD 的中点，点Q 是DN 的中点，∴MQ ＝12AN ，∴MQ ＝12BM.又∵MP ＝12BM ，∴MP ＝MQ.∴四边形MPNQ 是菱形第二章检测题(时间：120分钟 满分：120分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．下列方程中，关于x 的一元二次方程是( )A ．3(x ＋1)2＝2(x ＋1) B.1x 2＋1x －2＝0C ．ax 2＋bx ＋c ＝0D ．x 2＋2x ＝x 2－12．方程(x －2)(x ＋3)＝0的解是( )A ．x ＝2B ．x ＝－3C ．x 1＝－2，x 2＝3D ．x 1＝2，x 2＝－33．若x ＝－2是关于x 的一元二次方程x 2＋32ax －a 2＝0的一个根，则a 的值为( C )A ．－1或4B ．－1或－4C ．1或－4D ．1或44．用配方法解一元二次方程x 2－2x －3＝0时，方程变形正确的是( B )A ．(x －1)2＝2B ．(x －1)2＝4C ．(x －1)2＝1D ．(x －1)2＝75．下列一元二次方程中，没有实数根的是( B )A ．x 2＋2x ＋1＝0B ．x 2＋x ＋2＝0C ．x 2－1＝0D ．x 2－2x －1＝06．解方程(x ＋1)(x ＋3)＝5较为合适的方法是( C )A ．直接开平方法B ．配方法C ．公式法或配方法D ．分解因式法7．已知一元二次方程x 2－2x －1＝0的两个根分别是x 1，x 2，则x 12－x 1＋x 2的值为( )A ．－1B ．0C ．2D ．38．关于x 的方程x 2－ax ＋2a ＝0的两根的平方和是5，则a 的值是( )A ．－1或5B ．1C ．5D ．－19．某县政府2015年投资0.5亿元用于保障性住房建设，计划到2017年投资保障性住房建设的资金为0.98亿元，如果从2015年到2017年投资此项目资金的年增长率相同，那么年增长率是( B )A ．30%B ．40%C ．50%D ．10%10．有一块长32 cm ，宽24 cm 的长方形纸片，在每个角上截去相同的正方形，再折起来做一个无盖的盒子，已知盒子的底面积是原纸片面积的一半，则盒子的高是( )A ．2 cmB ．3 cmC ．4 cmD ．5 cm二、填空题(每小题3分，共18分)11．一元二次方程2x 2＋6x ＝9的二次项系数、一次项系数、常数项和为____．12．方程(x ＋2)2＝x ＋2的解是____．13．若代数式4x 2－2x －5与2x 2＋1的值互为相反数，则x 的值是____．14．写一个你喜欢的实数k 的值____，使关于x 的一元二次方程(k ＋1)x 2＋2x －1＝0有两个不相等的实数根．15．某制药厂两年前生产1吨某种药品的成本是100万元，随着生产技术的进步，现在生产1吨这种药品的成本为81万元．则这种药品的成本的年平均下降率为____．16．设m ，n 分别为一元二次方程x 2＋2x －2018＝0的两个实数根，则m 2＋3m ＋n ＝____．三、解答题(共72分)17．(12分)解方程：(1) x 2＋4x －1＝0; (2)x 2＋3x ＋2＝0；(3)3x 2－7x ＋4＝0.18．(10分)如图，已知A ，B ，C 是数轴上异于原点O 的三个点，且点O 为AB 的中点，点B 为AC 的中点．若点B 对应的数是x ，点C 对应的数是x 2－3x ，求x 的值．19．(8分)一元二次方程x 2－2x －54＝0的某个根，也是一元二次方程x 2－(k ＋2)x ＋94＝0的根，求k 的值．20．(10分)某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的要价为324元/件，并且两次降价的百分率相同．(1)求该种商品每次降价的百分率；(2)若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3 210元．问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？21．(10分)小林准备进行如下操作试验：把一根长为40 cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．(1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm2，小林该怎么剪？(2)小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm2，”他的说法对吗？请说明理由．22．(10分)某市电解金属锰厂从今年元月起安装了回收净化设备(安装时间不计)，这样既保护环境，又节省原料成本，据统计使用回收净化设备后1～x月的利润的月平均值W(万元)满足W＝10 x＋90.请问多少个月后的利润和为1620万元？23．(12分)为丰富居民业余生活，某居民区组建筹委会，该筹委会动员居民自愿集资建立一个书刊阅览室．经预算，一共需要筹资30 000元，其中一部分用于购买书桌、书架等设施，另一部分用于购买书刊．(1)筹委会计划，购买书刊的资金不少于购买书桌、书架等设施资金的3倍，问最多用多少资金购买书桌、书架等设施？(2)经初步统计，有200户居民自愿参与集资，那么平均每户需集资150元．镇政府了解情况后，赠送了一批阅览室设施和书籍，这样，只需参与户共集资20 000元．经筹委会进一步宣传，自愿参与的户数在200户的基础上增加了a%(其中a>0)．则每户平均集资的资金在150元的基础上减少了109a%，求a 的值.答 案一、选择题(每小题3分，共30分)1-5ADCBB 6-10CDDBC二、填空题(每小题3分，共18分)11．一元二次方程2x 2＋6x ＝9的二次项系数、一次项系数、常数项和为__－1__．12．方程(x ＋2)2＝x ＋2的解是__x 1＝－2，x 2＝－1__．13．若代数式4x 2－2x －5与2x 2＋1的值互为相反数，则x 的值是__1或－23__． 14．写一个你喜欢的实数k 的值__0(答案不唯一，只要满足k>－2且k ≠－1都行)__，使关于x 的一元二次方程(k ＋1)x 2＋2x －1＝0有两个不相等的实数根．15．某制药厂两年前生产1吨某种药品的成本是100万元，随着生产技术的进步，现在生产1吨这种药品的成本为81万元．则这种药品的成本的年平均下降率为__10%__．16．(2016·达州)设m ，n 分别为一元二次方程x 2＋2x －2018＝0的两个实数根，则m 2＋3m ＋n ＝__2016__．三、解答题(共72分)17．(12分)解方程：(1) x 2＋4x －1＝0; (2)x 2＋3x ＋2＝0；x 1＝－2＋5，x 2＝－2－5 x 1＝－1，x 2＝－2(3)3x 2－7x ＋4＝0.x 1＝43，x 2＝118．(10分)如图，已知A ，B ，C 是数轴上异于原点O 的三个点，且点O 为AB 的中点，点B 为AC 的中点．若点B 对应的数是x ，点C 对应的数是x 2－3x ，求x 的值．由已知，点O 是AB 的中点，点B 对应的数是x ，∴点A 对应的实数为－x.∵点B 是AC 的中点，点C 对应的数是x 2－3x ，∴(x 2－3x )－x ＝x －(－x )．整理，得x 2－6x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝6.∵点B 异于原点，故x ＝0舍去，∴x 的值为619．(8分)一元二次方程x 2－2x －54＝0的某个根，也是一元二次方程x 2－(k ＋2)x ＋94＝0的根，求k 的值．当x 2－2x －54＝0得(x －1)2＝94，解得x 1＝52，x 2＝－12.当x ＝52时，(52)2－52(k ＋2)＋94＝0，∴k ＝75；当x ＝－12时，(－12)2＋12(k ＋2)＋94＝0，∴k ＝－7.答：k 的值为75或－720．(10分)某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的要价为324元/件，并且两次降价的百分率相同．(1)求该种商品每次降价的百分率；(2)若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3 210元．问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？(1)10% (2)设第一次降价后售出该种商品m 件，则第二次降价后售出该种商品(100－m )件，第一次降价后的单件利润为：400×(1－10%)－300＝60元/件，第二次降价后单价利润为：324－300＝24元/件，依题意得：60m ＋24×(100－m )＝36m ＋2400≥3210，解得m ≥22.5，即m ≥23.答：为使两次降价销售的总利润不少于3210元，第一次降价后至少要售出该商品23件21．(10分)小林准备进行如下操作试验：把一根长为40 cm 的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．(1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm 2，小林该怎么剪？(2)小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm 2，”他的说法对吗？请说明理由．(1)设其中一个正方形的边长为x cm ，则另一个正方形的边长为(10－x )cm.由题意，得x 2＋(10－x )2＝58，解得x 1＝3，x 2＝7，即两个正方形的边长分别为3 cm ，7 cm.4×3＝12，4×7＝28，∴小林应把铁丝剪成12 cm 和28 cm 的两段 (2)假设能围成．由(1)得x 2＋(10－x )2＝48.化简得x 2－10x ＋26＝0.∵Δ＝b 2－4ac ＝(－10)2－4×1×26＝－4＜0，∴此方程没有实数根，∴小峰的说法是对的22．(10分)某市电解金属锰厂从今年元月起安装了回收净化设备(安装时间不计)，这样既保护环境，又节省原料成本，据统计使用回收净化设备后1～x 月的利润的月平均值W(万元)满足W ＝10 x ＋90.请问多少个月后的利润和为1620万元？由题意得x (10x ＋90)＝1620，解得x 1＝9，x 2＝－18(舍去)，即9个月后利润和为1620万元23．(12分)为丰富居民业余生活，某居民区组建筹委会，该筹委会动员居民自愿集资建立一个书刊阅览室．经预算，一共需要筹资30 000元，其中一部分用于购买书桌、书架等设施，另一部分用于购买书刊．(1)筹委会计划，购买书刊的资金不少于购买书桌、书架等设施资金的3倍，问最多用多少资金购买书桌、书架等设施？(2)经初步统计，有200户居民自愿参与集资，那么平均每户需集资150元．镇政府了解情况后，赠送了一批阅览室设施和书籍，这样，只需参与户共集资20 000元．经筹委会进一步宣传，自愿参与的户数在200户的基础上增加了a%(其中a>0)．则每户平均集资的资金在150元的基础上减少了109a%，求a 的值.(1)设用于购买书桌、书架等设施的资金为x 元，则购买书籍的有(30 000－x )元，根据题意得：30 000－x ≥3x ，解得x ≤7 500.答：最多用7 500元购买书桌、书架等设施 (2)根据题意得：200(1＋a%)×150(1－109a%)＝20 000，整理得a 2＋10a －3 000＝0，解得a ＝50或a ＝－60(舍去)，所以a 的值是50。
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青铜峡市四中九年级11月月考试(B)2006-11-28）命题人:姜建兵
班级____________学号___________姓名_________得分________
一、耐心填一填（每小题2分，共20分）
1．一元二次方程x2- 4=0的解是_____________。
2．命题“正方形是矩形”的逆命题是：__________________;这个命题是______命题（“真”
或“假”）
3．写一个反比例函数的表达式，使它的图象经过第一、三象限：________．
4．如图1，已知∠DAC=∠CBD，要使得△CDA≌△DCB, 还需添加_________条件，依据
_______定理
5、正比例函数y=kx(k>0)与反比例函数y=x1的图象相交于点A，C两点，过点C作y轴的
垂线，交y轴于点B，连接AB，则△AOB的面积等于________．
图2 图3 图4
6．□ABCD边长如图3，则□ABCD的周长是______．
7．如图4，在黑暗的房间里，用白炽灯照射一个足球，则球在地面上的投影是的一个___形，
当球离灯越来越近时，地面上的投影会_________．
8．已知m是方程3x2-2kx-2=0的一个根为1，则k= ；另一个根为________．
9．某校九年级科技小组，利用日晷设计原理，设计制造了一台简易的“日晷”，并在一个阳
光明媚的日子里记录了不同时刻晷针的影长，其中10：00时的影长被墨水污染：
7：00 10cm; 8:00 7．5cm; 9:00 5．5cm; 10:00 cm; 11:00 3cm; 12:00 2．5cm
请根据规律，判断10:00时，该晷针的影长是_____．
10．袋子里有8个白球，n个红球，经过大量实验，从中任取一个球恰好是白球的概率是32，
则n的值约是________．
二、精心选一选（每小题2分，共20分）
1．已知2是关于x的方程若a的值使得x2+4x+a=0的一个根，则a+8的值是（ ）
(A)5 (B)4 (C)0 (D)2
2．已知反比例函数xky2的图像经过点（1，-2），则k的值等于（ ）
A、 0 B、2 C、-4 D、4
3．已知第一个三角形的周长为1，它的三条中位线组成第二个三角形，第二个三角形的三
条中位线又组成第三个三角形，以此类推，第第2004个三角形的周长为（ ）
(A)200221 (B)200321 (C)200421 (D)200521
4．一个口袋里装有2个白球和2个黑球，这些球除了颜色以外完全相同，某人第一次从中
摸出一球，不放回去后，又从中摸出一球，则摸出的两个球都是黑球的概率是（ ）
（A）81 （B）61 （C）41 （D）21
5．下面能近似反映上午10点北京天安门广场上的旗杆与影子的位置关系的是（ ）
（A） （B） （C） （D）
6．7、在同一直角坐标平面内，如果直线xky1与双曲线xky2有交点，那么1k和2k的
关系一定是（ ）A 1k<0，2k>0 B 1k>0，2k<0 C 1k、
2k同号 D 1k、2
k
异号
7．在同一路灯下，小明的影子比小强的影子长，那么在同一时刻的阳光下（ ）
（A）小明的影子比小强的影子长 （B）小明的影长比小强的影子短
（C）小明的影子和小强的影子一样长 （D）无法判断谁的影子长
8、如图，平行四边形ABCD中，对角线AC和BD交于O点，过O
点作OE∥BC交DC于点E，若OE=2.5。则AD的长是（ ）
A、2.5 B、5 C、10 D、 15
9、在同一坐标系中，函数xky和y=kx- 3的图像大致是 （ ）
A B C D
10．如图5是小明设计的为2008奥运加油的彩旗，彩旗中∠ACB=90°，
∠D=15°，点A在CD上，AD=AB=2cm，则AC的长为（ ）
(A)2cm (B) 3cm (C)4cm (D)8cm
三、解下列方程（每题4分，共8分）
1、x2-2x-8=0 2、(x-1) (x-3)=3
四、解答下列各题。
1．如图：在△ABC中，CB⊥AD,∠B=45°,∠C=30°,AD=3，求AB长和△ABC的面积。
（6分）
2．
楼房,旗杆在路灯下的影子如图所示,画出小树在路灯下的影子。(6′)
3．（7分）某小区规划在一个长10m，宽8m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的道路，使其中
两条与AB平行，另一条与AD平行，如图，其余部分种草，若每块种草面积达到6m2，求道路的
宽。
4、在某一电路中，保持电压不变，电流I(安培)与电阻R(欧姆)成反比例，当电阻R=4欧姆
时，电流I=2安培。(6分)
（1）求I与R之间的函数关系式
（2）当电流I=0.5安培时，求电阻R的值；
5．（10分）小华家有三个孩子 。（1)，请你猜一猜小明家三个孩子都是男孩的概率是多少？
并画树状图分析。
（2）如果你已经知道小华家有两个男孩，第三个孩子你不知道是男是女，准备掷第三次，
请你再猜一猜小华家有三个男孩的概率是多少？并简要说明理由。
6、如图,已知一次函数)0(kbkxy的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点,且与反比
例函数)0(mxmy的图象在第一象限交于C点,CD垂直与x轴,垂足为D.若
OA=OB=OD=1,
（1）求点A，B，D的坐标；
（2）求一次函数和反比例函数的解析式。（9′）
7、如图6，已知△ABC中，D是AB的中点，E是AC上的点，且∠ABE=∠BAC，EF//AB，
DF//BE，请猜想DF与AE有怎样的特殊关系，并说明理由．(8分)
图6
A
B
C
D
O y x