平面向量综合测试(二)

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高一数学第二章平面向量练习题及答案全套

高一数学第二章平面向量测试题
2.1 平面向量的实际背景及基本概念
1.下列各量中不是向量的是
【】
A.浮力 B.风速
C.位移
D.密度
2.下列说法中错．误．的是
【】
A.零向量是没有方向的
B.零向量的长度为 0
C.零向量与任一向量平行 D.零向量的方向是任意的
3.把平面上一切单位向量的始点放在同一点，那么这些向量的终点所构成的图形是
【】
A.若 a b 0 ，则 a 0 或 b 0
C.若 a2
2
b
，则 a
b
或a
b
5.下列命题中，正确的命题是
A. a b a 且. a b b
C.若
a
b
c
,
则
a
b
b c
B.若 a 0 ，则 0 或 a 0
D.若 a b a c ，则 b c
【】
B. a b a 或. a b b
A．a＋a
B．b+b
C．0
D．a＋b
【】
3.若 a + b + c = 0 ，则 a 、 b 、 c
【】
A.一定可以构成一个三角形；
B.一定不可能构成一个三角形；
C.都是非零向量时能构成一个三角形； D.都是非零向量时也可能无法构成一个三角形
4.一船从某河的一岸驶向另一岸船速为 v1 ，水速为 v2 ，已知船可垂直到达对岸则
2.3.4 平面向量共线的坐标表示
1. 已知平面向量 a (1, 2) ， b (2, m) ，且 a // b ，则 2a 3b ＝
. 【】
A. (5, 10) B. (4, 8) C. (3, 6) D. (2, 4)

平面向量单元测试题及答案

D. AB 与 BA 是两平行向量
3，下列命题正确的是
A、若 a ∥ b ，且 b ∥ c ，则 a ∥ c 。
B、两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同。
C、向量 AB 的长度与向量 BA 的长度相等 ,
D、若非零向量 AB 与 CD 是共线向量，则 A、B、C、D 四点共线。
4，已知向量 a m,1 ，若， a =2，则 m
12，.把函数 y x2 4x 7 的图像按向量 a 经过一次平移以后得到 y x2 的图像，
则平移向量 a 是
（用坐标表示）
三，解答题：（10 分×6 = 60 分）
13，设 P1(4,3), P2 (2,6), 且 P 在 P1P2 的延长线上，使 P1P 2 PP2 ,，则求点 P
的坐标
（1），当点 P 在 x 轴上时，求实数 t 的值；（2），四边形 OABP 能否是平行四边形？若是，求实数 t 的值；若否，说明理由，
.
.
17，已知向量 OA =（3, －4）, OB =（6, －3）, OC =（5－m, －3－m）,
（1）若点 A、B、C 能构成三角形，求实数 m 应满足的条件；（2）若△ABC 为直角三角形，且∠A 为直角，求实数 m 的值．
A．1
B. 3
C. 1
D. 3
5，若 a =（ x1， y1 ）， b =（ x2 ， y2 ），，且 a ∥ b ，则有
A， x1 y2 + x2 y1 =0，
B， x1 y2 ― x2 y1 =0，
C， x1 x2 + y1 y2 =0，
D， x1 x2 ― y1 y2 =0，
6，若 a =（ x1， y1 ）， b =（ x2 ， y2 ），，且 a ⊥ b ，则有

专题02 平面向量基本定理及坐标表示(专题测试)--解析版

专题02 平面向量基本定理及坐标表示（专题测试）【基础题】1. （2020·广东东莞市·高一期末）已知向量()2,3a =，(),6b m =，且a b ⊥,则m =（） A ．4- B ．4C ．9-D ．9【答案】C【分析】根据向量的数量积的运算公式和向量的垂直条件，列出方程，即可求解. 【详解】由题意，向量(2,3)a =，(),6b m =，因为a b ⊥，可得2362180a b m m ⋅=⨯+⨯=+=，解得9m =-. 故选：C.【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的坐标运算，以及向量的垂直条件的应用，其中解答中熟记向量的数量积的计算公式是解答的关键，着重考查计算能力.2. （2020·广东揭阳市·高一期中）已知(1,1)AB =-，(0,1)C ，若2CD AB =，则点D 的坐标为 A ．(2,3)- B ．(2,3)-C ．(2,1)-D ．(2,1)-【答案】D【分析】设出D 的坐标，代入2CD AB =，计算出D 点的坐标.【详解】设(),D x y ，则(),1CD x y =-，()22,2AB =-，根据2CD AB =得()(),12,2x y -=-，即212x y =⎧⎨-=-⎩，解得()2,1D -，故选D. 【点睛】本小题主要考查向量的减法和数乘计算，考查两个向量相等的坐标表示，属于基础题.3．（2020·广东汕头市·高二期末）如图所示，已知在ABC 中，D 是边AB 上的中点，则CD =（）A ．12BC BA -B ．12BC BA -+ C ．12BC BA --D ．12BC BA + 【答案】B【分析】利用向量减法和数乘运算求得正确结论. 【详解】1122CD BD BC BA BC BC BA =-=-=-+.故选：B 4. （2019·广东深圳市·福田外国语高中高三一模（文））向量(1,2)a =，(2,)b k =-，若a 与b 共线，则|3|a b +=（）A B ．C ．D ．5【答案】A【分析】通过向量共线求出k ，然后求解|3|a b +即可. 【详解】向量(1,2)a =，(2,)b k =-，a 与b 共线， ∴4k =-，即3(1,2)a b +=，∴2312a b +=+=故选：A .【点睛】本题考查向量的共线，向量的模的求法，属于基础题.5．（2020·东莞市光明中学高二月考）已知向量()3,2a =，(),4b x =且//a b ，则x 的值是（） A ．6- B ．83C ．6D ．83-【答案】C【分析】根据平面向量共线的坐标表示可得出关于实数x 的等式，由此可解得实数x 的值. 【详解】向量()3,2a =，(),4b x =且//a b ，212x ∴=，解得6x =.故选：C.【点睛】本题考查平面向量共线的坐标表示，属基础题.6．（2020·汕头市澄海中学高二期中）已知向量()2,1a =-，()5,4b =-，(),c x y =，若()a b c +⊥，则x 、y 可以是（）A ．1x =，1y =B ．0x =，1y =C ．1x =，0y =D ．1x =，1y =- 【答案】A【分析】根据()0a b c +⋅=可得x y =.【详解】因为()a b c +⊥，所以()()()3,3,330a b c x y x y +⋅=-⋅=-+=，即x y =，故选：A. 【点睛】本题考查了平面向量垂直的坐标表示，考查了平面向量线性运算的坐标表示，属于基础题. 7．（2020·广东深圳市·高一期末）设向量(,1)a x x =+，(1,2)b =，且a b ⊥，则x =（）. A ．23-B ．23C ．1-3D ．13【答案】A【分析】由a b ⊥得0a b ⋅=，建立方程求解即可. 【详解】a b ⊥，()210a b x x ∴⋅=++=，解得23x =-.故选：A. 【点睛】本题考查向量垂直的坐标表示，属于基础题.8．（2012·广东湛江市·）已知向量()3,4a =，()sin ,cos b αα=，且//a b ，则tan α=（） A ．34B ．34-C ．43D ．43-【答案】A【分析】根据向量共线的坐标表示以及同角公式可得结果. 【详解】因为//a b ，所以3cos 4sin 0αα-=，所以3tan 4α=.故选：A. 【点睛】本题考查了向量共线的坐标表示，考查了同角公式，属于基础题.9.（2020·广州市·广东实验中学高三月考（文））已知向量()(),,1,2a x y b ==-，且()1,3a b +=，则2a b -等于（） A ．1 B ．3C ．4D ．5【答案】D【分析】先根据已知求出x,y 的值，再求出2a b -的坐标和2a b -的值.【详解】由向量()(),,1,2a x y b ==-，且()1,3a b +=，则()(1,2)1,3a b x y +=-+=，解得2,1x y ==，所以()()2,1,1,2a b ==-，所以2(2,1)2(1,2)(4,3)a b -=--=-，所以224(5a b -=+=，故答案为D【点睛】本题主要考查向量的坐标运算和向量的模的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.10．（多选题）（2020·廉江市第三中学高二月考）如果平面向量(2,0)a=，(1,1)b =，那么下列结论中正确的是（） A ．2a b = B ．22a b ⋅=C ．()-⊥a b bD ．//a b【答案】AC【分析】根据题中条件，由向量模的坐标表示，数量积的坐标表示，以及向量共线的坐标表示，逐项判定，即可得出结果. 【详解】由平面向量(2,0)a=，(1,1)b =知：在A 中，2=a ，2b =，∴=2a b ，故A 正确；在B 中，2a b，故B 错误；在C 中，(1,1)a b -=-，∴()110a b b -⋅=-=，∴()-⊥a b b ，故C 正确；在D 中，∵2011≠，∴a 与b 不平行，故D 错误. 故选：A C .【点睛】本题主要考查向量数量积的坐标运算，考查向量共线的坐标表示等，属于基础题型.【提升题】11．（2021·广东高三其他模拟）在90A ∠=︒的等腰直角ABC 中，E 为AB 的中点，F 为BC 的中点，BC AF CE λμ=+，则λ=（）A ．23-B ．32-C ．43-D ．1-【答案】A【分析】以A 为原点建立直角坐标系，设直角边长为2，写出各点坐标，计算可得λ的值. 【详解】以A 为原点建立直角坐标系，设()2,0B ，()0,2C ，则()1,1F ，()1,0E ，则()2,2BC =-，()()()1,11,2,2AF CE λμλμλμλμ+=+-=+-，所以222λμλμ+=-⎧⎨-=⎩，所以23λ=-.故选：A12．（2020·广东高三月考）已知菱形ABCD 的边长为2，60A ∠=︒，点P 满足1()2AP AB AC =+，则PA PD ⋅=（）A ．0B ．3C ．3D ．92【答案】C【分析】如图，以菱形ABCD 的对角线AC 方向为x 轴方向，DB 方向为y 轴方向建立平面直角坐标系，由1()2AP AB AC =+，可知P 点为线段BC 的中点，由60A ∠=︒，菱形ABCD 的边长为2，可求出,,P A D 的坐标，从而可求出PA PD ⋅的值【详解】以菱形ABCD 的对角线AC 方向为x 轴方向，DB 方向为y 轴方向建立平面直角坐标系，根据1()2AP AB AC =+，可知P 点为线段BC 的中点，又因为60A ∠=︒，所以2AB BC CD DA BD =====，易求得31,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(3,0)A -，(0,1)D -，331,22PA ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，33,22PD ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，所以，3PA PD ⋅=，故选：C ．13. （2020·广东汕尾市·高一月考）已知向量()1,2a =，()2,b t =.若a b ⊥，则t =______，此时a 与a b +的夹角为______. 【答案】1-π4【分析】利用向量垂直的坐标表示列方程，解方程求得t 的值.利用夹角公式，求得a 与a b +的夹角的余弦值，进而求得a 与a b +的夹角.【详解】由于a b ⊥，所以()()1,22,220t t ⋅=+=，解得1t =-，所以()()2,1,3,1b a b =-+=. 设a 与a b +的夹角为θ，则()()()22221,23,152cos 25101231a a ba a bθ⋅+⋅====⋅⋅++⋅+. 由于[]0,θπ∈，所以4πθ=.故答案为：1-；π4【点睛】本小题主要考查向量数量积的坐标运算，考查向量垂直的坐标表示，考查向量夹角的计算，属于中档题.14（2021·全国高三其他模拟）地砖是一种地面装饰材料，也叫地板砖，用黏土烧制而成质坚、耐压、耐磨、防潮．地板砖品种非常多，图案也多种多样．如图是某公司大厅的地板砖铺设方式，地板砖有正方形与正三角形两种形状，且它们的边长都相同，若OA a =，OB b =，则AF =（）A ．5122a b -- B ．33232a b ⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭C ．3323a b ⎛--+ ⎝⎭ D ．3323a b ⎛-+- ⎝⎭ 【答案】D【分析】以AB 的中点M 为坐标原点建立平面直角坐标系，根据平面向量的坐标运算公式，结合平面向量基本定理进行求解即可.【详解】以AB 的中点M 为坐标原点建立平面直角坐标系，设2AB =，则(3O ，()1,0A -，()10B ,，(1,223F +，所以(1,3OA =--，(1,3OB =-，(2,2AF =+．设AF OA OB λμ=+，则22λμ-+=⎧⎪-=+233λμ⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以33233AF OA OB ⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭，即3323AF a b b ⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭，故选：D 【点睛】用一组基底表示平面向量往往利用平面向量的坐标表示公式以及平面向量运算的坐标表示公式进行求解.15.（2020·广东高一期末）已知向量(1,2cos ),3sin ,0,23π⎛⎫⎛⎫⎛⎫==∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎭a x b x x . （1）若//a b ，求tan2x 的值；（2）若f （x ）＝a •b，则函数f （x ）的值域．【答案】（1（2）【分析】（1）利用向量共线的坐标表示可得cos 02x x -=，根据二倍角的正弦公式可得1sin 22x =，根据x 的范围可得26x π=，进一步可得tan 23x =；（2）利用平面向量的数量积的坐标表示与两角和的正弦公式可得())4fx x π=+，再根据x 的范围，结合正弦函数的图象可得结果.【详解】（1）因为//a b ，所以cos 02x x -=，所以1sin 22x =，因为03x π<<，所以2023x π<<，所以26x π=，所以tan 2tan6x π==. （2）()f x a b =⋅=2cos x x x x+=+)4x π=+，因为03x π<<，所以74412x πππ<+<，所以2sin()(,1]42x π+∈，所以()(3,6]f x ∈. 【点睛】本题考查了平面向量共线的坐标表示，考查了二倍角的正弦公式，考查了平面向量数量积的坐标表示，考查了两角和的正弦公式，考查了利用正弦函数的图象求值域，属于中档题.【拓展题】(选用)16．（2020·山西太原市·高三期末（理））赵爽是我国古代数学家大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设AD AB AC λμ=+，若2DF AF =，则可以推出λμ+=_________.【答案】1213【分析】利用建系的方法，假设1AF =，根据120ADB ∠=，利用余弦定理可得AB 长度，然后计算cos ,sin DAB DAB ∠∠，可得点D 坐标，最后根据点,B C 坐标，可得结果.【详解】设1AF =，则3,1AD BD AF ===如图由题可知：120ADB ∠=，由2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅⋅∠所以AB =AC AB ==所以),22BC ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，()0,0A又sin sin sin 26BD AB BAD BAD ADB =⇒∠=∠∠所以cos BAD ∠==所以()cos ,sin D AD AD BAD BAD ∠∠即D ⎝⎭所以()2113339,13,026,26ADAB ⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭13,22AC ⎛=⎝⎭又ADAB AC λμ=+所以913313μλμμ⎧==⎪⎪⇒⎨⎪==⎪⎩ 所以1213λμ+=故答案为：1213【点睛】本题考查考查向量的坐标线性表示，关键在于建系，充分使用条件，考验分析能力，属难题.。

2019高中数学第二章平面向量单元测试(二)新人教A版必修4

第二章平面向量注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1．设3,sin 2α⎛⎫= ⎪⎝⎭a ，1cos ,3α⎛⎫= ⎪⎝⎭b ，且∥a b ，则锐角α为（）A ．30︒B ．60︒C ．75︒D ．45︒2．下列命题正确的是（） A ．单位向量都相等B ．若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线C ．若|a ＋b |＝|a －b |，则a ·b ＝0D ．若a 与b 都是单位向量，则a ·b ＝1．3．设向量()2,3a m m =-+，()21,2b m m =+-，若a 与b 的夹角大于90°，则实数m 的取值范围是（） A ．4,23⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．()4,2,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭C ．42,3⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()4,2,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭4．平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若()2,4AB =，()1,3AC =，则AD BD ⋅等于（） A ．8B ．6C ．8-D ．6-5．已知1=a ，6=b ，()2⋅-=a b a ，则向量a 与向量b 的夹角是（）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 6．关于平面向量a ，b ，c ，有下列四个命题： ①若a ∥b ，a ≠0，则存在λ∈R ，使得b ＝λa ； ②若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0；③存在不全为零的实数λ，μ使得c ＝λa ＋μb ； ④若a ·b ＝a ·c ，则a ⊥(b －c )．其中正确的命题是（） A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④7．已知|a |＝5，|b |＝3，且12⋅-a b =，则向量a 在向量b 上的投影等于（） A ．4-B ．4C ．125-D ．1258．设O ，A ，M ，B 为平面上四点，()1OM OB OA λλ=+-⋅，且()1,2λ∈，则（） A ．点M 在线段AB 上 B ．点B 在线段AM 上 C ．点A 在线段BM 上 D ．O ，A ，B ，M 四点共线9．P 是△ABC 内的一点，()13AP AB AC =+，则△ABC 的面积与△ABP 的面积之比为（） A ．32B ．2C ．3D ．610．在△ABC 中，2AR RB =，2CP PR =，若AP mAB nAC =+，则m n +等于（） A ．23B ．79 C ．89D ．111．已知3a ＋4b ＋5c ＝0，且|a |＝|b |＝|c |＝1，则a ·(b ＋c )等于（）A ．45-B ．35-C ．0D ．3512．定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a ＝(m ，n )，b ＝(p ，q )，令a ⊙b ＝mq －np ．下面说法错误的是（） A ．若a 与b 共线，则a ⊙b ＝0B ．a ⊙b ＝b ⊙aC ．对任意的λ∈R ，有(λa )⊙b ＝λ(a ⊙b )D ．(a ⊙b )2＋(a ·b )2＝|a |2|b |2二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．设向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，若向量λa ＋b 与向量()4,7--c =共线，则λ＝________．14．a ，b 的夹角为120°，|a |＝1，|b |＝3，则|5a －b |＝________．15．已知向量a ＝(6,2)，14,2⎛⎫=- ⎪⎝⎭b ，直线l 过点A (3，－1)，且与向量a ＋2b 垂直，则直线l 的方程为________．16．已知向量()2,1OP =，()1,7OA =，()5,1OB =，设M 是直线OP 上任意一点(O 为坐标原点)，则MA MB ⋅的最小值为________．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)如图所示，以向量OA =a ，OB =b 为边作AOBD ，又13BM BC =，13CN CD =，用a ，b 表示OM 、ON 、MN ．18．(12分)已知a ，b 的夹角为120°，且|a |＝4，|b |＝2，求：（1）(a －2b )·(a ＋b )；（2）|a ＋b |；（3）|3a －4b |．19．(12分)已知)1=-a，12⎛=⎝⎭b，且存在实数k和t，使得x＝a＋(t2－3)b，y＝－k a＋t b，且x⊥y，试求2k tt+的最小值．20．(12分)设()2,5OA =，()3,1OB =，()6,3OC =．在线段OC上是否存在点M，使MA⊥MB？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．21．(12分)设两个向量e1、e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1、e2的夹角为60°，若向量2t e1＋7e2与e1＋t e2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．22．(12分)已知线段PQ过△OAB的重心G，且P、Q分别在OA、OB上，设OA =a，OB =b，OP m=a，OQ n=b．求证：113 m n+=．2018-2019学年必修四第二章训练卷平面向量（二）答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的） 1．【答案】D【解析】31sin cos 23αα⨯=，sin 21α=，290α=︒，45α=︒．故选D ．2．【答案】C【解析】∵|a ＋b |2＝a 2＋b 2＋2a ·b ，|a －b |2＝a 2＋b 2－2a ·b ，||+-=a b a b ． ∴0⋅a b =．故选C ． 3．【答案】A【解析】∵a 与b 的夹角大于90°，∴0⋅<a b ，∴()()()()221320m m m m -+++-<，即23280m m -<-，∴423m -<<．故选A ．4．【答案】A【解析】∵()1,1AD BC AC AB ==-=--，∴()()()1,12,43,5BD AD AB =-=---=--，∴()()1,13,58AD BD ⋅=--⋅--=．故选A ． 5．【答案】C【解析】∵()22-=⋅-=a b a a b a ，∴3⋅a b =，∴31cos ,·162a b ⋅〈〉===⨯a b a b ， ∴,3a b π〈〉=．故选C ． 6．【答案】B【解析】由向量共线定理知①正确；若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0或a ⊥b ，所以②错误；在a ，b 能够作为基底时，对平面上任意向量，存在实数λ，μ使得c ＝λa ＋μb ，所以③错误；若⋅⋅a b =a c ，则()0-=a b c ，所以()⊥-a b c ，所以④正确，即正确命题序号是①④，所以B 选项正确．7．【答案】A【解析】向量a 在向量b 上的投影为12cos ,43a b ⋅⋅〈〉=⋅==-=-a b a b a a a b b ．故选A ． 8．【答案】B【解析】∵()()1OM OB OA OA OB OA λλλ=+-⋅=+-，∴AM AB λ=，λ∈(1,2)，∴点B 在线段AM 上，故选B ． 9．【答案】C【解析】设△ABC 边BC 的中点为D ，则22ABC ABD ABP ABP S S ADS S AP==△△△△． ∵()1233AP AB AC AD =+=，∴32AD AP =，∴32AD AP =．∴3ABC ABP S S =△△．故选C ． 10．【答案】B【解析】2224133393AP AC CP AC CR AC AB AC AB AC ⎛⎫=+=+=+-=+ ⎪⎝⎭，故有417939m n +=+=．故选B ． 11．【答案】B【解析】由已知得435=--b a c ，将等式两边平方得()()22435=--b a c ，化简得35⋅=-a c ．同理由534--c =a b 两边平方得a ·b ＝0，∴()35=⋅+=⋅-⋅a b c a b +a c ．故选B ． 12．【答案】B【解析】若a ＝(m ，n )与b ＝(p ，q )共线，则mq －np ＝0，依运算“⊙”知a ⊙b ＝0，故A 正确．由于a ⊙b ＝mq －np ，又b ⊙a ＝np －mq ，因此a ⊙b ＝－b ⊙a ，故B 不正确．对于C ，由于λa ＝(λm ，λn )，因此(λa )⊙b ＝λmq －λnp ，又λ(a ⊙b )＝λ(mq －np )＝λmq －λnp ，故C 正确．对于D ，(a ⊙b )2＋(a ·b )2＝m 2q 2－2mnpq ＋n 2p 2＋(mp ＋nq )2＝m 2(p 2＋q 2)＋n 2(p 2＋q 2)＝(m 2＋n 2)(p 2＋q 2)＝|a |2|b |2，故D 正确．二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．【答案】2【解析】∵a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，∴()()(),22,32,23λλλλλ=++++a b =． ∵向量λa ＋b 与向量()4,7--c =共线，∴－7(λ＋2)＋4(2λ＋3)＝0．∴λ＝2． 14．【答案】7 【解析】∵()222222125552511310134920⎛⎫==+-⨯+-⨯⨯--⋅=⎝=⨯- ⎪⎭a b a b a b a b ．∴|5a －b |＝7．15．【答案】2390x y --=【解析】设P (x ，y )是直线上任意一点，根据题意，有()()()23,12,30AP x y ⋅+=-+⋅-=a b ，整理化简得2390x y --=． 16．【答案】8-【解析】设()2,OM tOP t t ==，故有()()()2212,752,152012528MA MB t t t t t t t ⋅=--⋅--=-+=--，故当t ＝2时，MA MB ⋅取得最小值8-．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．【答案】1566OM =+a b ，2233ON =+a b ，1126MN =-a b ．【解析】BA OA OB =-=-a b ．∴11153666OM OB BM OB BC OB BA =+=+=+=+a b ．又OD =+a b ．1122226333ON OC CN OD OD OD =+=+==+a b ，∴221511336626MN ON OM =-=+--=-a b a b a b ．18．【答案】（1）12；（2）；（3）【解析】（1）1cos1204242⎛⎫⋅=︒=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭a b a b ．(a －2b )·(a ＋b )＝a 2－2a ·b ＋a ·b －2b 2＝42－2×(－4)＋(－4)－2×22＝12．（2）∵|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝16＋2×(－4)＋4＝12．∴+=a b ．（3）|3a －4b |2＝9a 2－24a ·b ＋16b 2＝9×42－24×(－4)＋16×22＝16×19，∴34-=a b 19．【答案】74-．【解析】由题意有2==a，1=b ．∵1102⋅=-=a b ，∴⊥a b ． ∵x·y ＝0，∴[a ＋(t 2－3)b ](－k a ＋t b )＝0．化简得334t tk -=．∴()()222117432444k t t t t t +=+-=+-．即2t =-时，2k t t+有最小值为74-． 20．【答案】存在，M 点的坐标为(2,1)或2211,55⎛⎫⎪⎝⎭．【解析】设OM tOC =，t ∈[0,1]，则()6,3OM t t =，即M (6t,3t )．()26,53MA OA OM t t =-=--，()36,13MB OB OM t t =-=--．若MA ⊥MB ，则()()()()263653130MA MB t t t t ⋅=--+--=．即45t 2－48t ＋11＝0，13t =或1115t =．∴存在点M ，M 点的坐标为(2,1)或2211,55⎛⎫⎪⎝⎭．21．【答案】1417,,2⎛⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【解析】由向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为钝角，得()()1212121227027t t t t +⋅+<+⋅+e e e e e e e e ，即(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0．整理得：()222112222770t t t ++⋅+<e e e e ．(*)∵|e 1|＝2，|e 2|＝1，〈e 1，e 2〉＝60°．∴e 1·e 2＝2×1×cos 60°＝1， ∴(*)式化简得：2t 2＋15t ＋7<0．解得：172t -<<-．当向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2夹角为180°时，设2t e 1＋7e 2＝λ(e 1＋t e 2) (λ<0)．对比系数得270t t λλλ=⎧⎪=⎨⎪<⎩，∴2t λ⎧=⎪⎨=⎪⎩，∴所求实数t 的取值范围是1417,,2⎛⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 22．【答案】见解析．【解析】证明如右图所示， ∵()()1122OD OA OB =+=+a b ，∴()2133OG OD ==+a b ． ∴()111333PG OG OP m m ⎛⎫=-=+-=-+ ⎪⎝⎭a b a a b ．PQ OQ OP n m =-=-b a ．又P 、G 、Q 三点共线，所以存在一个实数λ，使得PG PQ λ=．∴1133m n m λλ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭a b b a ，∴11033m m n λλ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a +b ． ∵a 与b 不共线，∴103103m m n λλ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩①②，由①②消去λ得：113m n +=．。

(压轴题)高中数学必修四第二章《平面向量》测试题(含答案解析)(2)

一、选择题1．已知非零向量,a b 满足4,2a b ==，且a 在b 方向上的投影与b 在a 方向上的投影相等，则a b -等于（） A ．1B ．25C ．5D ．32．在AOB ∆中，0,5,25,OA OB OA OB AB ⋅===边上的高为,OD D 在AB 上，点E 位于线段OD 上，若34OE EA ⋅=，则向量EA 在向量OD 上的投影为（） A ．12或32B ．1C ．1或12D ．323．已知1a ，2a ，1b ，2b ，()*k b k ⋅⋅⋅∈N是平面内两两互不相等的向量，121a a-=，且对任意的1,2i = 及1,2,,j k =⋅⋅⋅，{}1,2i j a b -∈，则k 最大值为（） A ．3 B ．4C ．5D ．64．已知a ，b 是单位向量，a •b =0．若向量c 满足|c a b --|＝1，则|c |的最大值为（） A ．21-B ．2C ．21+D ．22+5．如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，6AB =，3AD CD ==，E 是CD 的中点，14DF DA =，若12AE BF ⋅=-，则梯形ABCD 的高为（）A ．1B 6C 5D ．26．已知M 、N 为单位圆22:1O x y +=上的两个动点，且满足1MN =，()3,4P ，则PM PN +的取值范围为（）A ．53,53+⎡⎣B ．103,103⎡-⎣C ．523,523-+⎡⎣D ．1023,1023-+⎡⎤⎣⎦7．如下图，四边形OABC 是边长为1的正方形，点D 在OA 的延长线上，且2OD =，点P 为BCD 内(含边界)的动点，设(,)OP OC OD R αβαβ=+∈，则αβ+的最大值等于( )A ．3B ．2C ．52D ．328．已知(),0A a ,()0,C c ,2AC =,1BC =,0AC BC ⋅=,O 为坐标原点,则OB 的取值范围是（） A ．(0,21⎤-⎦B ．(0,21⎤+⎦ C ．21,21⎡⎤-+⎣⎦D ．)21,⎡-+∞⎣9．已知ABC ，若对任意m R ∈，BC mBA CA -≥恒成立，则ABC 为（） A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．不确定10．在ABC 中，||:||:||3:4:5AB AC BC =，圆O 是ABC 的内切圆，且与BC 切于D 点，设AB a =，AC b =，则AD =（）A ．2355a b + B ．3255a b + C ．2133a b +D ．1233a b +11．设θ为两个非零向量,a b 的夹角，且6πθ=，已知对任意实数t ，b ta +的最小值为1，则b =（） A ．14B ．12C ．2D ．412．如图所示，在ABC 中，点D 在线段BC 上，且3BD DC =，若AD AB AC λμ=+，则λμ=（）A ．12B ．13C ．2D ．23二、填空题13．已知向量(9,6),(3,)a b x ==，若//a b ，则()b a b ⋅-=___________.14．已知ABC ，点P 是平面上任意一点，且AP AB AC λμ=+（,λμ∈R ），给出以下命题： ①若1ABλ=，1ACμ=，则P 为ABC 的内心；②若1λμ==，则直线AP 经过ABC 的重心； ③若1λμ+=，且0μ>，则点P 在线段BC 上； ④若1λμ+>，则点P 在ABC 外； ⑤若01λμ<+<，则点P 在ABC 内．其中真命题为______15．已知平面向量a ，b 的夹角为120︒，且1a b ⋅=-，则a b -的最小值为________. 16．在平面内,定点,,A B C 满足DA DB DC ==，2DA DB DB DC DC DA ⋅=⋅=⋅=-，动点,P M 满足1AP PM MC ==，则2BM 的最大值为________.17．已知非零向量m →，n →满足4m →=3n →，cos m →〈，13n →〉=.若n →⊥t m n →→⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则实数t的值为_____________.18．已知ABC 的三边长3AC =，4BC =，5AB =，P 为AB 边上任意一点，则()CP BA BC ⋅-的最大值为______________.19．向量a ，b ，c 在正方形网格（每个小正方形的边长为1）中的位置如图所示，若向量a b λ+与c 共线，则||a b λ-=________．20．已知ABC ∆中，3AB =，5AC =，7BC =，若点D 满足1132AD AB AC =+，则DB DC ⋅=__________．三、解答题21．已知向量()sin ,cos a x x =，()3,1b =-，[]0,x π∈.（1）若a b ⊥，求x 的值；（2）记()f x a b =⋅，求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值.22．如图，在扇形OAB 中，120AOB ∠=︒，半径2OA OB ==，P 为弧AB 上一点.（1）若OA OP ⊥，求PA PB ⋅的值；（2）求PA PB ⋅的最小值.23．已知向量,a b 满足：16,()2a b a b a ==⋅-=,. （1）求向量a 与b 的夹角；（2）求2a b -.24．已知向量(1,2)a =-，||25b =. （1）若b a λ=，其中0λ<，求b 的坐标；（2）若a 与b 的夹角为23π，求()(2)a b a b -⋅+的值. 25．已知||1a =，||2b =.（1）若向量a 与向量b 的夹角为135︒，求||a b +及b 在a 方向上的投影；（2）若向量a b -与向量a 垂直，求向量a 与b 的夹角. 26．已知向量a 、b 的夹角为3π，且||1a =，||3b =. （1）求||a b +的值；（2）求a 与a b +的夹角的余弦.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B【解析】因为a 在b 方向上的投影与b 在a 方向上的投影相等，设这两个向量的夹角为θ，则cos cos 4cos 2cos 2a b πθθθθθ===⇒=，又由2()a b a b -=-且4,2a b ==，所以222()225a b a b a a b b -=-=-⋅+=，故选B.2．A解析：A 【解析】Rt AOB 中，0OA OB ⋅=，∴2AOB π∠=，∵5OA =，25OB =|，∴225AB OA OB =+= ， ∵AB 边上的高线为OD ，点E 位于线段OD 上，建立平面直角坐标系，如图所示；则)5,0A、(025B ，、设(),D m n ，则OAD BAO ∽，∴OA ADAB OA=， ∴1AD =，∴15AD AB =，即()(155,255m n =-，，求得55m =， ∴452555D ⎛⎝⎭；则45254525,,5555OE OD λλλ⎛⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，45255,EA λλ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎭； ∵34OE EA ⋅=， ∴2454525354λλλ⎛⎫⎛⎫⋅--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭，解得34λ=或14λ=；∴向量EA 在向量OD 上的投影为()()45251,1ED OD OE λλ⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭，当34λ=时，551,2ED ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭；当14λ=时，35353,2ED ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭．即向量EA 在向量OD 上的投影为12或32，故选A. 3．D解析：D 【分析】根据向量的几何意义把抽象问题具体化，转化到圆与圆的位置关系问题. 【详解】如图所示，设11OA a =，22OA a =，此时121A A =，由题意可知：对于任意的1,2i = 及1,2,,j k =⋅⋅⋅，{}1,2i j a b -∈，作j j OB b =则有1j A B 等于1或2，且2j A B 等于1或2，所以点(1,2,,)j B j k =同时在以(1,2)i A i =为圆心，半径为1或2的圆上，由图可知共有6个交点满足条件，故k 的最大值为6.故选：D. 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算和平面向量的应用.4．C解析：C 【分析】通过建立直角坐标系，利用向量的坐标运算和圆的方程及数形结合即可得出．【详解】∵|a |＝|b |＝1，且0a b ⋅=，∴可设()10a =，，()01b =，，()c x y ，=．∴()11c a b x y --=--，． ∵1c a b --=， ∴22(1)(1)1x y -+-=x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝1．∴c 的最大值2211121=+=．故选C ．【点睛】熟练掌握向量的坐标运算和圆的方程及数形结合是解题的关键．5．C解析：C 【分析】以,AD AB 为一组基底，表示向量,AE BF ，然后利用12AE BF ⋅=-，求得2cos 3BAD ∠=，然后由梯形ABCD 的高为sin AD BAD ⋅∠求解. 【详解】因为14AE AD DE AD AB =+=+，34BF AF AB AD AB =-=-， ∴22133113444416AE BF AD AB AD AB AD AB AD AB ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-=--⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，223113cos 4416AD AB AD AB BAD =--⋅∠， 31117936cos 12448BAD =⨯-⨯-∠=-， ∴2cos 3BAD ∠=，∴25sin 1cos 3BAD BAD ∠=-∠=， ∴梯形ABCD 的高为sin 5AD BAD ⋅∠=．故选：C ．【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的运算以及平面向量的基本定理，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.6．B解析：B 【分析】作出图形，可求得线段MN 的中点Q 的轨迹方程为2234x y +=，由平面向量加法的平行四边形法则可得出2PM PN PQ +=，求得PQ 的取值范围，进而可求得PM PN +的取值范围. 【详解】由1MN =，可知OMN 为等边三角形，设Q 为MN 的中点，且3sin 602OQ OM ==，所以点Q 的轨迹为圆2234x y +=，又()3,4P ，所以，3322PO PQ PO -≤≤+，即3355PQ -≤≤+. 由平面向量加法的平行四边形法则可得2PM PN PQ +=，因此2103,103PM PN PQ ⎡⎤+=∈-+⎣⎦.故选：B. 【点睛】本题考查平面向量模长的取值范围的计算，考查了圆外一点到圆上一点距离的取值范围的计算，考查数形结合思想的应用，属于中等题.7．D解析：D 【分析】以O 为原点，边OA 和OC 所在的直线分别为x 和y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设(),P x y ，易得1,2y x αβ==，则12x y αβ+=+，再将原问题转化为线性规划问题，求目标函数12x y +在可行域BCD 内(含边界)的最大值，即可求出结果．【详解】以O 为原点，边OA 和OC 所在的直线分别为x 和y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则()()0,1,2,0C D ，如下图所示：设(),P x y ，∵ (,)OP OC OD R αβαβ=+∈， ∴()()(),0,12,0)2,(x y αββα=+=，∴2,x y βα==，即1,2y x αβ==，∴12x y αβ+=+，令1,2z x y =+则12y x z =-+，其中z 为直线12y x z =-+在y 轴上的截距，由图可知，当该直线经过点()1,1B 时，其在y 轴上的截距最大为32， ∴αβ+的最大值为32．故选：D ．【点睛】本题考查平面向量在几何中的应用，建立坐标系后，可将原问题转化为线性规划中的最值问题，考查学生的转化思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．8．C解析：C 【分析】法一：将A ,C 视为定点,根据A 、C 分别在 x 轴、y 轴上,得到垂直关系, O 是AC 为直径的圆上的动点,AC 的中点为圆心M ,根据圆心M 和BO 的位置关系即可得取值范围. 法二：设B 的坐标,根据2AC =,1BC =得到224a c +=,()221x y c +-=,整理式子至()222251x a y x y ax cy -+=⇒+=++,利用均值不等式得出22OB x y d =+=,则212d d -≤即可算出距离的取值范围.【详解】解：法一：将A ,C 视为定点,OA OC ⊥,O 视为以AC 为直径的圆上的动点,AC 的中点为M ,当BO 过圆心M ,且O 在B ,M 之间时,OB 21,O 在BM 的延长线上时,OB 21．故选:C法二：设(),B x y ,则224a c +=,()221x y c +-=,()222251x a y x y ax cy -+=⇒+=++,即221ax cy x y +=+-,()()2222222ax cy ac xy x y +≤++=+,取等号条件：ay cx =,令22OB x y d =+=,则22112{210d d d d d ≥-≤⇔--≤或201{210d d d <<⇔+-≥,解得2121d ≤≤．故选:C 【点睛】本题考查向量的坐标运算和圆的基本性质,综合性强,属于中档题.9．C解析：C 【分析】在直线AB 上取一点D ，根据向量减法运算可得到DC CA≥，由垂线段最短可确定结论. 【详解】在直线AB 上取一点D ，使得mBA BD =，则BC mBA BC BD DC -=-=，DC CA ∴≥.对于任意m R ∈，都有不等式成立，由垂线段最短可知：AC AD ⊥，即AC AB ⊥，ABC ∴为直角三角形. 故选：C . 【点睛】本题考查与平面向量结合的三角形形状的判断，关键是能够利用平面向量数乘运算和减法运算的几何意义准确化简不等式.10．B解析：B 【分析】由题得三角形是直角三角形，设3,4,5AB AC BC ===，设,=,,DB BF x AD AE y EC CF z =====求出,,x y z ，再利用平面向量的线性运算求解.【详解】因为||:||:||3:4:5AB AC BC =，所以ABC 是直角三角形，设3,4, 5.AB AC BC ===如图，设,=,,DB BF x AD AE y EC CF z =====由题得34,2,1,35x y y z x y z x z +=⎧⎪+=∴===⎨⎪+=⎩，所以2232()5555AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+3255a b =+. 故选：B 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11．C解析：C 【分析】由题意可知，2222()2b ta a t a bt b +=+⋅+，令222()2g t a t a bt b =+⋅+，由二次函数的性质可知，当22cos62b a b t aaπ⋅=-=-时，()g t 取得最小值1，变形可得22sin16b π=，从而可求出b 【详解】解：由题意可知，2222()2b ta a t a bt b +=+⋅+，令222()2g t a t a bt b =+⋅+，因为2222224()44(cos 1)06a b a b a b π∆=⋅-=-<，所以()g t 恒大于零，所以当232cos622b b a b t aaaπ⋅=-=-=-时，()g t 取得最小值1，所以2223332122bb bg a a b b a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-+⋅-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，化简得2114b =，所以2b =，故选：C 【点睛】此题考查平面向量数量积的运算，涉及二次函数的最值，考查转化思想和计算能力，属于中档题12．B解析：B 【分析】由向量的运算法则，化简得1344AD AB AC =+,再由AD AB AC λμ=+，即可求得,λμ 的值，即可求解.【详解】由向量的运算法则，可得34=+=+AD AB BD AB BC 313()444AB AC AB AB AC =+-=+, 因为AD AB AC λμ=+，所以13,44λμ==，从而求得13λμ=，故选:B ．【点睛】该题考查的是有关向量的基本定理，在解题的过程中，需要利用向量直角的关系，结合三角形法则，即可求得结果，属于基础题.二、填空题13．26【分析】先由求出求出再进行的计算【详解】因为所以解得所以故答案为：26【点睛】向量类问题的常用处理方法——向量坐标化利用坐标运算比较简单解析：26 【分析】先由//a b 求出2x =，求出b ，再进行()b a b ⋅-的计算. 【详解】因为//a b ，所以9180x -=，解得2x =，所以(6,4),()362426a b b a b -=⋅-=⨯+⨯=.故答案为：26 【点睛】向量类问题的常用处理方法——向量坐标化，利用坐标运算比较简单．14．②④【分析】①可得在的角平分线上但不一定是内心；②可得在BC 边中线的延长线上；③利用向量线性运算得出可判断；④得出根据向量加法的平行四边形法则可判断；⑤令可判断【详解】①若则因为是和同向的单位向量则解析：②④ 【分析】①可得P 在BAC ∠的角平分线上，但不一定是内心；②可得P 在BC 边中线的延长线上；③利用向量线性运算得出=BP BC μ可判断；④得出()1CP CB AC λλμ=++-，根据向量加法的平行四边形法则可判断；⑤令1132=λμ=-，可判断. 【详解】①若1ABλ=，1ACμ=，则AB AC AP ABAC=+，因为,AB AC ABAC是和,AB AC 同向的单位向量，则P 在BAC ∠的角平分线上，但不一定是内心，故①错误；②若1λμ==，则AP AB AC =+，则根据平行四边形法则可得，P 在BC 边中线的延长线上，故直线AP 经过ABC 的重心，故②正确；③若1λμ+=，且0μ>，则()1=AP AB AC AB AB AC μμμμ=-+-+，即()==AP AB AB AC AC AB μμμ--+-，即=BP BC μ，则点P 在线段BC 上或BC 的延长线上，故③错误；④若1λμ+>，()()11AP AB AC AC λλλμ=+-++-，整理可得()1CP CB AC λλμ=++-，10λμ+->，根据向量加法的平行四边形法则可判断点P 在ABC 外，故④正确；⑤若01λμ<+<，则令1132=λμ=-，，则1132AP AB AC =-+，则根据向量加法的平行四边形法则可判断点P 在ABC 外，故⑤错误. 故答案为：②④. 【点睛】本题考查向量基本定理的应用，解题的关键是正确利用向量的线性运算进行判断，合理的进行转化，清楚向量加法的平行四边形法则.15．【分析】先利用平面向量的夹角为且解出然后求解的最值即可得到的最值【详解】因为所以而当且仅当时等号成立所以故答案为：【点睛】本题考查平面向量数量积的运用考查模长最值的求解难度一般【分析】先利用平面向量a ，b 的夹角为120︒，且1a b ⋅=-解出2a b ⋅=，然后求解2a b -的最值即可得到a b -的最值. 【详解】因为1·cos 12a b a a b b θ⋅=⋅=-⋅=-，所以2a b ⋅=，而2222222226a b a a b b a b a b -=-⋅+=++≥⋅+=，当且仅当2a b ==时等号成立，所以6a b -≥. 【点睛】本题考查平面向量数量积的运用，考查模长最值的求解，难度一般.16．【分析】由可得为的外心又可得为的垂心则为的中心即为正三角形运用向量的数量积定义可得的边长以为坐标原点所在直线为轴建立直角坐标系求得的坐标再设由中点坐标公式可得的坐标运用两点的距离公式可得的长运用三角解析：494【分析】由DA DB DC ==，可得D 为ABC ∆的外心，又DA DB DB DC DC DA ⋅=⋅=⋅，可得D 为ABC ∆的垂心，则D 为ABC ∆的中心，即ABC ∆为正三角形．运用向量的数量积定义可得ABC ∆的边长，以A 为坐标原点，AD 所在直线为x 轴建立直角坐标系xOy ，求得,B C 的坐标，再设(cos ,sin ),(02)P θθθπ≤<，由中点坐标公式可得M 的坐标，运用两点的距离公式可得BM 的长，运用三角函数的恒等变换公式，结合正弦函数的值域，即可得到最大值．【详解】解: 由DA DB DC ==，可得D 为ABC ∆的外心，又DA DB DB DC DC DA ⋅=⋅=⋅，可得()0,(DB DA DC DC DB ⋅-=⋅ )0DA -=，即0DB AC DC AB ⋅=⋅=，即有,DB AC DC AB ⊥⊥，可得D 为ABC ∆的垂心，则D 为ABC ∆的中心，即ABC ∆为正三角形，由2DA DB ⋅=-，即有||||cos1202DA DB ︒⋅=-，解得||2DA =，ABC∆的边长为4cos30︒=以A 为坐标原点，AD 所在直线为x 轴建立直角坐标系xOy ，可得B(3,3),C(3,D(2,0)-，由||1AP=，可设(cos ,sin ),(02)P θθθπ≤<，由PM MC =，可得M为PC中点，即有3cos sin (,)22M θθ+，则2223cos ||3=+2BM θ+⎛⎫- ⎪⎝⎭⎝ 2(3cos )4θ-=+=3712sin 64πθ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=，当sin 16πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即23πθ=时，取得最大值，且为494．故答案为：494．【点睛】本题考查向量的定义和性质，以及模的最值的求法，注意运用坐标法，转化为三角函数的最值的求法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．17．【分析】利用向量的数量积公式向量垂直的性质直接直解【详解】非零向量满足=⊥解得故答案为：【点睛】本题主要考查了向量的数量积公式向量垂直的性质等基础知识考查运算能力属于中档题解析：4-【分析】利用向量的数量积公式、向量垂直的性质直接直解．【详解】非零向量m →，n →满足4m →=3n →，cos m →〈，13n →〉=,n →⊥t m n →→⎛⎫+ ⎪⎝⎭,n →∴⋅22+||||cos ,||t m n t m n n t m n m n n →→→→→→→→→→⎛⎫+=⋅=<>+ ⎪⎝⎭223||||034t n n →→=⨯+=, 解得4t =-，故答案为：4- 【点睛】本题主要考查了向量的数量积公式、向量垂直的性质等基础知识，考查运算能力，属于中档题.18．9【分析】根据题意建立直角坐标系用坐标法解决即可得答案【详解】解：根据题意如图建立直角坐标系∴∴∴∴的最大值为故答案为：【点睛】本题考查坐标法表示向量向量的数量积运算线性运算的坐标表示等是中档题解析：9 【分析】根据题意，建立直角坐标系，用坐标法解决即可得答案. 【详解】解：根据题意，如图建立直角坐标系，∴ ()0,3A ()4,0B ，()0,0C ， ∴ ()4,3AB =-，()()()0,34,34,33CP CA AP CA AB λλλλλ=+=+=+-=-，[]0,1λ∈，∴ ()()()[]4,330,3990,9CP BA BC CP CA λλλ⋅-=⋅=-⋅=-∈∴()CP BA BC ⋅-的最大值为9.故答案为：9 . 【点睛】本题考查坐标法表示向量，向量的数量积运算，线性运算的坐标表示等，是中档题.19．【分析】建立平面直角坐标系从而得到的坐标这样即可得出的坐标根据与共线可求出从而求出的坐标即得解【详解】建立如图所示平面直角坐标系则：；与共线故答案为：【点睛】本题考查了平面向量线性运算和共线的坐标表 13【分析】建立平面直角坐标系，从而得到,,a b c 的坐标，这样即可得出a b λ+的坐标，根据a b λ+与c 共线，可求出λ，从而求出a b λ-的坐标，即得解. 【详解】建立如图所示平面直角坐标系，则：(1,1),(0,1),(2,1)a b c ==-= ；(,1)a b λλλ∴+=-a b λ+与c 共线2(1)02λλλ∴--=∴=(2,3)a b λ∴-=22||2313a b λ∴-=+=13【点睛】本题考查了平面向量线性运算和共线的坐标表示，考查了学生概念理解，数形结合，数学运算的能力，属于中档题.20．【分析】根据以为一组基底由得到再由求解【详解】因为又因为所以所以故答案为：-12【点睛】本题主要考查平面向量基本定理和向量的线性运算还考查了运算求解的能力属于中档题解析：12-【分析】根据1132AD AB AC =+，以,AB AC 为一组基底，由2222()2BC AC AB AC AB AB AC =-=+-⋅，得到152AB AC ⋅=-，再由2111()()3223⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-=-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭DB DC AB AD AC AD AB AC AC AB 求解.【详解】因为2222()2BC AC AB AC AB AB AC =-=+-⋅ 又因为3AB =，5AC =，7BC = 所以152AB AC ⋅=-，所以2111()()3223DB DC AB AD AC AD AB AC AC AB ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-=-⋅-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭22211251521294244AB AC AB AC --+⋅=---=-. 故答案为：-12 【点睛】本题主要考查平面向量基本定理和向量的线性运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.三、解答题21．（1）6x π=；（2）23x π=时，()f x 取到最大值2，0x =时，()f x 取到最小值1-.【分析】（1）利用向量垂直的坐标表示可求得tan x =，结合x 的范围可求得x 的值；（2）将函数化简为()2sin 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，根据x 的范围可求得6x π-的范围，结合正弦函数图象可确定最大值和最小值取得的点，进而求得结果. 【详解】解:（1）因为a b ⊥，所以sin co 30s b x x a =-=⋅，于是sin tan s 3co x x x ==，又[]0,x π∈，所以6x π=；（2）()())sin ,1cos f x a x b x =⋅=⋅-cos x x =-2sin 6x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.因为[]0,x π∈，所以5,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，从而12sin 26x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭于是，当62x ππ-=，即23x π=时，()f x 取到最大值2；当66x ππ-=-，即0x =时，()f x 取到最小值1-.【点睛】本题考查平面向量垂直的坐标表示、平面向量与三角函数的综合应用，涉及到三角函数最值的求解问题；求解三角函数最值的关键是能够利用整体对应的方式，结合正弦函数的图象来进行求解.22．（1）223-；（2）2-. 【分析】（1）先通过倒角运算得出30POB ∠=︒，120APB ∠=︒，再在POB 中，由余弦定理可求得62PB =-，然后根据平面向量数量积的定义cos PA PB PA PB APB ⋅=⋅∠，代入数据进行运算即可得解；（2）以O 为原点，OA 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，设()2cos ,2sin P αα，其中20,3πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，结合平面向量数量积的坐标运算，用含有α的式子表示出PA PB ⋅，再利用三角恒等变换公式和正弦函数的图象即可得解. 【详解】（1）当OA OP ⊥时，如图所示，∵120AOB ∠=︒，∴1209030POB ∠=︒-︒=︒，18030752OPB ︒-︒∠==︒，∴7545120APB ∠=︒+︒=︒，在POB 中，由余弦定理，得222222cos 22222cos30843PB OB OP OB OP POB =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯︒=-∴84362PB =-=，又222PA OA ==，∴1cos 22622232PA PB PA PB APB ⎛⎫⋅=⋅∠=⨯-=- ⎪⎝⎭（2）以O 为原点，OA 所在直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则()2,0A ，∵120AOB ∠=︒，2OB =，∴(3B -，设()2cos ,2sin P αα，其中20,3πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()()22cos ,2sin 12cos 32sin PA PB αααα⋅=--⋅-- 2222cos 4cos 234sin αααα=--+-+2cos 2324sin 26πααα⎛⎫=--+=-++ ⎪⎝⎭. ∵20,3πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴5,666πππα⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，1sin ,162πα⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， ∴当62ππα+=，即3πα=时，PA PB ⋅取得最小值为2-.【点睛】本题考查平面向量的坐标表示，考查平面向量的数量积，考查余弦定理，考查三角函数的图象与性质，属于中档题．23．（1）π3；（2）27 【分析】（1）设向量a 与b 的夹角θ，利用向量的数量积公式计算()2a b a ⋅-=，可得向量的夹角；（2）利用向量的模长公式：2a a =，代入计算可得. 【详解】（1）设向量a 与b 的夹角θ，()16cos 12a b a a b θ⋅-=⋅-=-=，解得1cos 2θ=，又[]0πθ∈，，π3θ∴= （2）由向量的模长公式可得： ()222a b a b -=-=2244a a b b -⋅+4123627-+=.【点睛】本题主要考查向量数量积公式的应用，向量模长的计算，求向量的模长需要熟记公式2a a =，考查学生的逻辑推理与计算能力，属于基础题.24．（1）(2,4)-；（2）5-.【分析】（1）由向量模的坐标表示求出λ，可得b 的坐标；（2）根据向量数量积的运算律及数量积的定义计算．【详解】（1）由题知(,2)b λλ=-，2||(|b λλ=+==2λ=-，故(2,4)b =-；（2）21(a =+=∴222221()(2)22||||cos105220532a b a b a a b b a a b b π⎛⎫-⋅+=-⋅-=-⋅-=-⋅--=- ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查向量模的坐标表示，考查向量数量积的运算律，掌握数量积的运算律是解题关键．25．（1）1a b +=；-1；（2）45︒.【分析】（1）根据平面向量数量积的运算律求出||a b +，再根据平面向量的几何意义求出b 在a 方向上的投影；（2）根据向量垂直，则数量积为零，即可得到1a b ⋅=，再根据夹角公式计算可得；【详解】解：（1）由已知得2222()2121()212a b a b a a b b +=+=+⋅+=+⨯-+=，∴1a b +=；b 在a 方向上的投影为||cos1352(12b =-=- （2）由已知得()0a b a -⋅=，即20a a b -⋅=∴1a b ⋅=，∴[]2cos ,,0,212a b a b a b a b π⋅===∈⨯，， ∴向量a 与b 的夹角为45︒.【点睛】本题考查平面向量的数量积及夹角的计算，属于中档题.26．（12 【分析】（1）利用定义得出a b ⋅，再结合模长公式求解即可；（2）先得出()a a b ⋅+，再由数量积公式得出a 与a b +的夹角的余弦.【详解】（1）313cos 32a b π⋅=⨯⨯=2223()||2||122a b a b a a b b ∴+=+=+⋅+=+⨯=（2）235()||122a a b a a b ⋅+=+⋅=+= 5()2cos ,26113a ab a a b a a b ⋅+∴+===⨯⋅+ 【点睛】本题主要考查了利用定义求模长以及求夹角，属于中档题.。

高一数学必修四第二章平面向量测试题及答案

一、选择题: (本大题共10小题,每题4分,共40分.在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的.)1．设点P 〔3，-6〕，Q 〔-5，2〕，R 的纵坐标为-9，且P 、Q 、R 三点共线，那么R 点的横坐标为〔〕。

A 、-9B 、-6C 、9D 、62． =(2,3), b =(-4,7)，那么在b 上的投影为〔〕。

A 、B 、C 、D 、 3．设点A 〔1，2〕，B 〔3，5〕，将向量按向量 =〔-1，-1〕平移后得向量为〔〕。

A 、〔2，3〕 B 、〔1，2〕 C 、〔3，4〕 D 、〔4，7〕4．假设(a+b+c)(b+c -a)=3bc ，且sinA=sinBcosC ，那么ΔABC 是〔〕。

A 、直角三角形B 、等边三角形C 、等腰三角形D 、等腰直角三角形5．| |=4, |b |=3, 与b 的夹角为60°，那么| +b |等于〔〕。

A 、B 、C 、D 、6．O 、A 、B 为平面上三点，点C 分有向线段所成的比为2，那么〔〕。

A 、B 、C 、D 、7．O 是ΔABC 所在平面上一点，且满意条件，那么点O 是ΔABC 的〔〕。

A 、重心B 、垂心C 、内心D 、外心8．设、b 、均为平面内随意非零向量且互不共线，那么以下4个命题： (1)( ·b )2= 2·b 2 (2)| +b |≥| -b | (3)| +b |2=( +b )2(4)(b ) -( a )b 与不肯定垂直。

其中真命题的个数是〔〕。

A 、1B 、2C 、3D 、49．在ΔABC 中，A=60°，b=1，，那么等于〔〕。

A 、B 、C 、D 、10．设、b 不共线，那么关于x 的方程 x 2+b x+ =0的解的状况是〔〕。

A 、至少有一个实数解B 、至多只有一个实数解C 、至多有两个实数解D 、可能有多数个实数解二、填空题：〔本大题共4小题，每题4分，总分值16分.〕.11．在等腰直角三角形ABC 中，斜边AC=22，那么CA AB =_________12．ABCDEF为正六边形，且AC=a，AD=b，那么用a，b表示AB为______.13．有一两岸平行的河流，水速为1，速度为的小船要从河的一边驶向对岸，为使所行路程最短，小船应朝________方向行驶。

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资料范本本资料为word版本，可以直接编辑和打印，感谢您的下载高中向量题集(含答案)【强烈推荐】地点：__________________时间：__________________说明：本资料适用于约定双方经过谈判，协商而共同承认，共同遵守的责任与义务，仅供参考，文档可直接下载或修改，不需要的部分可直接删除，使用时请详细阅读内容平面向量测试题一、选择题（本题有10个小题，每小题5分，共50分）1．“两个非零向量共线”是这“两个非零向量方向相同”的（）A．充分不必要条件B. 必要不充分条件C．充要条件D. 既不充分也不必要条件2.如果向量与共线 ,且方向相反，则的值为（）. . . .3．已知向量、的夹角为，，，若，则的值为（）. . . .4．已知a=(1,－2),b=(1,x),若a⊥b,则x等于（）A． B. C. 2 D. －25．下列各组向量中，可以作为基底的是（）ABC．6．已知向量a,b的夹角为，且|a|=2,|b|=5,则（2a-b）·a= （）A．3 B. 9 C . 12 D. 137．已知点O为三角形ABC所在平面内一点，若，则点O是三角形ABC的( )A．重心 B. 内心 C. 垂心 D. 外心8．设a=(2,－3),b=(x,2x),且3a·b=4,则x等于（）A．－3 B. 3 C. D.9．已知∥，则x+2y的值为（）A．0 B. 2 C. D. －210．已知向量a+3b,a-4b分别与7a-5b,7a-2b垂直，且|a|≠0,|b|≠0，则a与b的夹角为（）A． B. C. D.二、填空题（共4个小题，每题5分，共20分）11．在三角形ABC中，点D是AB的中点，且满足，则12．设是两个不共线的向量，则向量b=与向量a=共线的充要条件是_______________13．圆心为O，半径为4的圆上两弦AB与CD垂直相交于点P，若以PO为方向的单位向量为b，且|PO|=2，则=_______________14．已知O为原点，有点A（d,0）、B（0，d），其中d>0，点P在线段AB上，且（0≤t≤1），则的最大值为______________三、解答题15．（12分）设a,b是不共线的两个向量,已知若A、B、C三点共线,求k的值.16．（12分）设向量a，b满足|a|=|b|=1及|3a-2b|=3，求|3a+b|的值17．（14分）已知|a|=，|b|=3，a与b夹角为，求使向量a+b 与a+b的夹角是锐角时，的取值范围20．已知向量、、、及实数、满足，，若，且.⑴求关于的函数关系式及其定义域;⑵若时,不等式恒成立，求实数的取值范围．附加题（可不做）1．已知点P分所成的比为－3，那么点分所成比为（）A． B. C. D.2．点（2，－1）按向量a平移后得（－2，1），它把点（－2，1）平移到（）A．(2,－1) B. (－2,1) C. (6,－3) D. (－6,3))高中数学高考总复习平面向量的数量积及向量的应用习题及详解一、选择题1．(文)(2010·东北师大附中)已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12，则向量a在向量b方向上的投影是( ) A．－4 B．4C．－2 D．2[解析] a在b方向上的投影为eq \f(a·b,|b|) ＝ eq \f(－12,3) ＝－4.(理)(2010·浙江绍兴调研)设a·b＝4，若a在b方向上的投影为2，且b在a方向上的投影为1，则a与b的夹角等于( )A. eq \f(π,6)B. eq \f(π,3)C. eq \f(2π,3)D. eq \f(π,3) 或 eq \f(2π,3)[答案] B[解析] 由条件知， eq \f(a·b,|b|) ＝2， eq \f(a·b,|a|) ＝1，a·b＝4，∴|a|＝4，|b|＝2，∴cos〈a，b〉＝ eq \f(a·b,|a|·|b|) ＝ eq \f(4,4×2) ＝ eq \f(1,2) ，∴〈a，b〉＝ eq \f(π,3) .2．(文)(2010·云南省统考)设e1，e2是相互垂直的单位向量，并且向量a＝3e1＋2e2，b＝xe1＋3e2，如果a⊥b，那么实数x等于( )A．－ eq \f(9,2) B. eq \f(9,2)C．－2 D．2[解析] 由条件知|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝0，∴a·b＝3x＋6＝0，∴x＝－2.(理)(2010·四川广元市质检)已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，2)，且m＝ta＋b，n＝a－kb(t、k∈R)，则m⊥n的充要条件是( )A．t＋k＝1 B．t－k＝1C．t·k＝1 D．t－k＝0[答案] D[解析] m＝ta＋b＝(2t－1，t＋2)，n＝a－kb＝(2＋k,1－2k)，∵m⊥n，∴m·n＝(2t－1)(2＋k)＋(t＋2)(1－2k)＝5t －5k＝0，∴t－k＝0.3．(文)(2010·湖南理)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则 eq \o(AB,\s\up6(→)) · eq \o(AC,\s\up6(→)) 等于( )A．－16 B．－8C．8 D．16[答案] D[解析] 因为∠C＝90°，所以 eq \o(AC,\s\up6(→)) · eq \o(CB,\s\up6(→)) ＝0，所以 eq\o(AB,\s\up6(→)) · eq \o(AC,\s\up6(→)) ＝( eq \o(AC,\s\up6(→)) ＋ eq \o(CB,\s\up6(→)) )· eq\o(AC,\s\up6(→)) ＝| eq \o(AC,\s\up6(→)) |2＋ eq \o(AC,\s\up6(→)) · eq \o(CB,\s\up6(→)) ＝AC2＝16.(理)(2010·天津文)如图，在△ABC中，AD⊥AB， eq \o(BC,\s\up6(→)) ＝ eq \r(3) eq \o(BD,\s\up6(→)) ，| eq \o(AD,\s\up6(→)) |＝1，则 eq \o(AC,\s\up6(→)) · eq \o(AD,\s\up6(→)) ＝( ) A．2 eq \r(3) B. eq \f(\r(3),2)C. eq \f(\r(3),3)D. eq \r(3)[答案] D[解析] ∵ eq \o(AC,\s\up6(→)) ＝ eq \o(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \o(BC,\s\up6(→)) ＝ eq\o(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \r(3) eq \o(BD,\s\up6(→)) ，∴ eq \o(AC,\s\up6(→)) · eq \o(AD,\s\up6(→)) ＝( eq \o(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \r(3) eq\o(BD,\s\up6(→)) )· eq \o(AD,\s\up6(→)) ＝ eq \o(AB,\s\up6(→)) · eq \o(AD,\s\up6(→)) ＋ eq\r(3) eq \o(BD,\s\up6(→)) · eq \o(AD,\s\up6(→)) ，又∵AB⊥AD，∴ eq \o(AB,\s\up6(→)) · eq \o(AD,\s\up6(→)) ＝0，∴ eq \o(AC,\s\up6(→)) · e q \o(AD,\s\up6(→)) ＝ eq \r(3) eq \o(BD,\s\up6(→)) · eq\o(AD,\s\up6(→)) ＝ eq \r(3) | eq \o(BD,\s\up6(→)) |·| eq \o(AD,\s\up6(→)) |·cos∠ADB ＝ eq \r(3) | eq \o(BD,\s\up6(→)) |·cos∠ADB＝ eq \r(3) ·| eq \o(AD,\s\up6(→)) |＝ eq \r(3) .4．(2010·湖南省湘潭市)设非零向量a、b、c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则〈a，b〉＝( )A．150° B．120°C．60° D．30°[答案] B[解析] ∵a＋b＝c，|a|＝|b|＝|c|≠0，∴|a＋b|2＝|c|2＝|a|2，∴|b|2＋2a·b＝0，∴|b|2＋2|a|·|b|·cos〈a，b〉＝0，∴cos〈a，b〉＝－ eq \f(1,2) ，∵〈a，b〉∈[0°，180°]，∴〈a，b〉＝120°.5．(2010·四川双流县质检)已知点P在直线AB上，点O不在直线AB上，且存在实数t满足 eq \o(OP,\s\up6(→)) ＝2t eq \o(PA,\s\up6(→)) ＋t eq \o(OB,\s\up6(→)) ，则 eq \f(|\o(PA,\s\up6(→))|,|\o(PB,\s\up6(→))|) ＝( )A. eq \f(1,3)B. eq \f(1,2)C．2 D．3[答案] B[解析] ∵ eq \o(OP,\s\up6(→)) ＝2t( eq \o(OA,\s\up6(→)) － eq \o(OP,\s\up6(→)) )＋t eq\o(OB,\s\up6(→)) ，∴ eq \o(OP,\s\up6(→)) ＝ eq \f(2t,2t＋1) eq \o(OA,\s\up6(→)) ＋ eq \f(t,2t＋1) eq\o(OB,\s\up6(→)) ，∵P在直线AB上，∴ eq \f(2t,2t＋1) ＋ eq \f(t,2t＋1) ＝1，∴t＝1，∴ eq \o(OP,\s\up6(→)) ＝ eq \f(2,3) eq \o(OA,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,3) eq \o(OB,\s\up6(→)) ，∴ eq \o(PA,\s\up6(→)) ＝ eq \o(OA,\s\up6(→)) － eq \o(OP,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,3) eq\o(OA,\s\up6(→)) － eq \f(1,3) eq \o(OB,\s\up6(→)) ，eq \o(PB,\s\up6(→)) ＝ eq \o(OB,\s\up6(→)) － eq \o(OP,\s\up6(→)) ＝ eq \f(2,3) eq\o(OB,\s\up6(→)) － eq \f(2,3) eq \o(OA,\s\up6(→)) ＝－2 eq \o(PA,\s\up6(→)) ，∴ eq \f(|\o(PA,\s\up6(→))|,|\o(PB,\s\up6(→))|) ＝ eq \f(1,2) .6．(文)平面上的向量 eq \o(MA,\s\up6(→)) 、 eq \o(MB,\s\up6(→)) 满足| eq \o(MA,\s\up6(→)) |2＋| eq \o(MB,\s\up6(→)) |2＝4，且 eq \o(MA,\s\up6(→)) · eq \o(MB,\s\up6(→)) ＝0，若向量 eq \o(MC,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,3) eq \o(MA,\s\up6(→)) ＋ eq \f(2,3) eq \o(MB,\s\up6(→)) ，则| eq \o(MC,\s\up6(→)) |的最大值是( )A. eq \f(1,2) B．1C．2 D. eq \f(4,3)[答案] D[解析] ∵ eq \o(MA,\s\up6(→)) · eq \o(MB,\s\up6(→)) ＝0，∴ eq \o(MA,\s\up6(→)) ⊥ eq\o(MB,\s\up6(→)) ，又∵| eq \o(MA,\s\up6(→)) |2＋| eq \o(MB,\s\up6(→)) |2＝4，∴|AB|＝2，且M在以AB为直径的圆上，如图建立平面直角坐标系，则点A(－1,0)，点B(1,0)，设点M(x，y)，则x2＋y2＝1，eq \o(MA,\s\up6(→)) ＝(－1－x，－y)， eq \o(MB,\s\up6(→)) ＝(1－x，－y)，∵ eq \o(MC,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,3) eq \o(MA,\s\up6(→)) ＋ eq \f(2,3) eq \o(MB,\s\up6(→)) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－x，－y)) ，∴| eq \o(MC,\s\up6(→)) |2＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－x)) 2＋y2＝ eq \f(10,9) － eq\f(2,3) x，∵－1≤x≤1，∴x＝－1时，| eq \o(MC,\s\up6(→)) |2取得最大值为 eq \f(16,9) ，∴| eq \o(MC,\s\up6(→)) |的最大值是 eq \f(4,3) .(理)(2010·山东日照)点M是边长为2的正方形ABCD内或边界上一动点，N是边BC的中点，则 eq\o(AN,\s\up6(→)) · eq \o(AM,\s\up6(→)) 的最大值为( )A．8 B．6C．5 D．4[答案] B[解析] 建立直角坐标系如图，∵正方形ABCD边长为2，∴A(0,0)，N(2，－1)， eq \o(AN,\s\up6(→)) ＝(2，－1)，设M坐标为(x，y)， eq \o(AM,\s\up6(→)) ＝(x，y)由坐标系可知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(0≤x≤2①,－2≤y≤0 ②))∵ eq \o(AN,\s\up6(→)) · eq \o(AM,\s\up6(→)) ＝2x－y，设2x－y＝z，易知，当x＝2，y＝－2时，z取最大值6，∴ eq \o(AN,\s\up6(→)) · eq \o(AM,\s\up6(→)) 的最大值为6，故选B.7．如图，△ABC的外接圆的圆心为O，AB＝2，AC＝3，BC＝ eq \r(7) ，则 eq \o(AO,\s\up6(→)) · eq\o(BC,\s\up6(→)) 等于( )A. eq \f(3,2)B. eq \f(5,2)C．2 D．3[答案] B[解析] eq \o(AO,\s\up6(→)) · eq \o(BC,\s\up6(→)) ＝ eq \o(AO,\s\up6(→)) ·( eq\o(AC,\s\up6(→)) － eq \o(AB,\s\up6(→)) )＝ eq \o(AO,\s\up6(→)) · eq \o(AC,\s\up6(→)) － eq\o(AO,\s\up6(→)) · eq \o(AB,\s\up6(→)) ，因为OA＝OB.所以 eq \o(AO,\s\up6(→)) 在 eq \o(AB,\s\up6(→)) 上的投影为 eq \f(1,2) | eq \o(AB,\s\up6(→)) |，所以 eq \o(AO,\s\up6(→)) · eq \o(AB,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) | eq \o(AB,\s\up6(→)) |·| eq \o(AB,\s\up6(→)) |＝2，同理 eq \o(AO,\s\up6(→)) · eq\o(AC,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) | eq \o(AC,\s\up6(→)) |·| eq \o(AC,\s\up6(→)) |＝ eq \f(9,2) ，故 eq \o(AO,\s\up6(→)) · eq \o(BC,\s\up6(→)) ＝ eq \f(9,2) －2＝ eq \f(5,2) .8．(文)已知向量a、b满足|a|＝2，|b|＝3，a·(b－a)＝－1，则向量a与向量b的夹角为( )A. eq \f(π,6)B. eq \f(π,4)C. eq \f(π,3)D. eq \f(π,2)[答案] C[解析] 根据向量夹角公式“cos〈a，b〉＝ eq \f(a·b,|a||b|) 求解”．由条件得a·b－a2＝－1，即a·b＝－3，设向量a，b的夹角为α，则cosα＝ eq \f(a·b,|a||b|) ＝ eq\f(3,2×3) ＝ eq \f(1,2) ，所以α＝ eq \f(π,3) .9.(理)(2010·黑龙江哈三中)在△ABC中， eq \o(AB,\s\up6(→)) · eq \o(BC,\s\up6(→)) ∈ eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,8)，\f(3\r(3),8))) ，其面积S＝ eq \f(3,16) ，则 eq \o(AB,\s\up6(→)) 与 eq \o(BC,\s\up6(→)) 夹角的取值范围是( )A. eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,4)))B. eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3)))C. eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,3)))D. eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(3π,4)))[答案] A[解析] 设〈 eq \o(AB,\s\up6(→)) ， eq \o(BC,\s\up6(→)) 〉＝α，∵ eq \o(AB,\s\up6(→)) · eq\o(BC,\s\up6(→)) ＝| eq \o(AB,\s\up6(→)) |·| eq \o(BC,\s\up6(→)) |cosα，S＝ eq \f(1,2) | eq\o(AB,\s\up6(→)) |·| eq \o(BC,\s\up6(→)) |·sin(π－α)＝ eq \f(1,2) | eq \o(AB,\s\up6(→)) |·| eq\o(BC,\s\up6(→)) |·sinα＝ eq \f(3,16) ，∴| eq \o(AB,\s\up6(→)) |·| eq \o(BC,\s\up6(→)) |＝ eq\f(3,8sinα) ，∴ eq \o(AB,\s\up6(→)) · eq \o(BC,\s\up6(→))＝ eq \f(3cosα,8sinα) ＝ eq \f(3,8) cotα，由条件知 eq \f(3,8) ≤ eq \f(3,8) cotα≤ eq \f(3\r(3),8) ，∴1≤cotα≤ eq \r(3) ，∵ eq \o(AB,\s\up6(→)) · eq \o(BC,\s\up6(→)) >0，∴α为锐角，∴ eq \f(π,6) ≤α≤ eq \f(π,4) .10.(理)(2010·南昌市模考)如图，BC是单位圆A的一条直径，F是线段AB上的点，且 eq \o(BF,\s\up6(→)) ＝2 eq \o(FA,\s\up6(→)) ，若DE是圆A中绕圆心A运动的一条直径，则 eq \o(FD,\s\up6(→)) · eq \o(FE,\s\up6(→)) 的值是( )A．－ eq \f(3,4) B．－ eq \f(8,9)C．－ eq \f(1,4) D．不确定[答案] B[解析] ∵ eq \o(BF,\s\up6(→)) ＝2 eq \o(FA,\s\up6(→)) ，∴ eq \o(FA,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,3) eq \o(BA,\s\up6(→)) ，∴| eq \o(FA,\s\up6(→)) |＝ eq \f(1,3) | eq \o(BA,\s\up6(→)) |＝ eq \f(1,3) ，eq \o(FD,\s\up6(→)) · eq \o(FE,\s\up6(→)) ＝( eq \o(FA,\s\up6(→)) ＋ eq \o(AD,\s\up6(→)) )·( eq \o(FA,\s\up6(→)) ＋ eq \o(AE,\s\up6(→)) )＝( eq \o(FA,\s\up6(→)) ＋ eq \o(AD,\s\up6(→)) )·( eq \o(FA,\s\up6(→)) － eq \o(AD,\s\up6(→)) )＝| eq \o(FA,\s\up6(→)) |2－| eq \o(AD,\s\up6(→)) |2＝ eq \f(1,9) －1＝－ eq \f(8,9) .二、填空题11．(2010·苏北四市)如图，在平面四边形ABCD中，若AC＝3，BD＝2，则( eq \o(AB,\s\up6(→)) ＋ eq\o(DC,\s\up6(→)) )·( eq \o(AC,\s\up6(→)) ＋ eq \o(BD,\s\up6(→)) )＝______.[答案] 5[解析] 设AC与BD相交于点O，则( eq \o(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \o(DC,\s\up6(→)) )·( eq \o(AC,\s\up6(→)) ＋ eq \o(BD,\s\up6(→)) )＝[( eq \o(OB,\s\up6(→)) － eq \o(OA,\s\up6(→)) )＋( eq \o(OC,\s\up6(→)) － eq\o(OD,\s\up6(→)) )]·( eq \o(AC,\s\up6(→)) ＋ eq \o(BD,\s\up6(→)) )＝[( eq \o(OB,\s\up6(→)) － eq \o(OD,\s\up6(→)) )＋( eq \o(OC,\s\up6(→)) － eq\o(OA,\s\up6(→)) )]·( eq \o(AC,\s\up6(→)) ＋ eq \o(BD,\s\up6(→)) )＝( eq \o(DB,\s\up6(→)) ＋ eq \o(AC,\s\up6(→)) )( eq \o(AC,\s\up6(→)) ＋ eq \o(BD,\s\up6(→)) )＝| eq \o(AC,\s\up6(→)) |2－| eq \o(BD,\s\up6(→)) |2＝5.12．(文)(2010·江苏洪泽中学月考)已知O、A、B是平面上不共线三点，设P为线段AB垂直平分线上任意一点，若| eq \o(OA,\s\up6(→)) |＝7，| eq \o(OB,\s\up6(→)) |＝5，则 eq \o(OP,\s\up6(→)) ·( eq \o(OA,\s\up6(→)) －eq \o(OB,\s\up6(→)) )的值为________．[答案] 12[解析] eq \o(PA,\s\up6(→)) ＝ eq \o(PO,\s\up6(→)) ＋ eq \o(OA,\s\up6(→)) ， eq \o(PB,\s\up6(→)) ＝ eq \o(PO,\s\up6(→)) ＋ eq \o(OB,\s\up6(→)) ，由条件知，| eq \o(OA,\s\up6(→)) |2＝49，| eq \o(OB,\s\up6(→)) |2＝25，| eq \o(PA,\s\up6(→)) |＝| eq \o(PB,\s\up6(→)) |，∴| eq \o(PO,\s\up6(→)) ＋ eq \o(OA,\s\up6(→)) |2＝| eq \o(PO,\s\up6(→)) ＋ eq\o(OB,\s\up6(→)) |2，即| eq \o(PO,\s\up6(→)) |2＋| eq \o(OA,\s\up6(→)) |2＋2 eq \o(PO,\s\up6(→)) · eq\o(OA,\s\up6(→)) ＝| eq \o(PO,\s\up6(→)) |2＋| eq \o(OB,\s\up6(→)) |2＋2 eq \o(PO,\s\up6(→)) · eq\o(OB,\s\up6(→)) ，∴ eq \o(PO,\s\up6(→)) ·( eq \o(OA,\s\up6(→)) － eq \o(OB,\s\up6(→)) )＝－12，∴ eq \o(OP,\s\up6(→)) ·( eq \o(OA,\s\up6(→)) － eq \o(OB,\s\up6(→)) )＝12.13.(理)(2010·广东茂名市)O是平面α上一点，A、B、C是平面α上不共线的三点，平面α内的动点P满足 eq\o(OP,\s\up6(→)) ＝ eq \o(OA,\s\up6(→)) ＋λ( eq \o(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \o(AC,\s\up6(→)) )，则λ＝ eq \f(1,2) 时， eq \o(PA,\s\up6(→)) ·( eq \o(PB,\s\up6(→)) ＋ eq \o(PC,\s\up6(→)) )的值为______．[答案] 0[解析] 由已知得 eq \o(OP,\s\up6(→)) － eq \o(OA,\s\up6(→)) ＝λ( eq \o(AB,\s\up6(→)) ＋ eq\o(AC,\s\up6(→)) )，即 eq \o(AP,\s\up6(→)) ＝λ( eq \o(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \o(AC,\s\up6(→)) )，当λ＝ eq \f(1,2) 时，得 eq \o(AP,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) ( eq \o(AB,\s\up6(→)) ＋ eq\o(AC,\s\up6(→)) )，∴2 eq \o(AP,\s\up6(→)) ＝ eq \o(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \o(AC,\s\up6(→)) ，即 eq \o(AP,\s\up6(→)) － eq \o(AB,\s\up6(→)) ＝ eq \o(AC,\s\up6(→)) － eq \o(AP,\s\up6(→)) ，∴ eq \o(BP,\s\up6(→)) ＝ eq \o(PC,\s\up6(→)) ，∴ eq \o(PB,\s\up6(→)) ＋ eq \o(PC,\s\up6(→)) ＝eq \o(PB,\s\up6(→)) ＋ eq \o(BP,\s\up6(→)) ＝0，∴ eq \o(PA,\s\up6(→)) ·( eq \o(PB,\s\up6(→)) ＋ eq \o(PC,\s\up6(→)) )＝ eq \o(PA,\s\up6(→)) ·0＝0，故填0.三、解答题16．(文)(延边州质检)如图，在四边形ABCD中，AD＝8，CD＝6，AB＝13，∠ADC＝90°且 eq \o(AB,\s\up6(→)) · eq \o(AC,\s\up6(→)) ＝50.(1)求sin∠BAD的值；(2)设△ABD的面积为S△ABD，△BCD的面积为S△BCD，求 eq \f(S△ABD,S△BCD) 的值．[解析] (1)在Rt△ADC中，AD＝8，CD＝6，则AC＝10，cos∠CAD＝ eq \f(4,5) ，sin∠CAD＝ eq \f(3,5) ，又∵ eq \o(AB,\s\up6(→)) · eq \o(AC,\s\up6(→)) ＝50，AB＝13，∴cos∠BAC＝ eq \f(\o(AB,\s\up6(→))·\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|·|\o(AC,\s\up6(→))|) ＝ eq \f(5,13) ，∵0<∠BAC∠180°，∴sin∠BAC＝ eq \f(12,13) ，∴sin∠BAD＝sin(∠BAC＋∠CAD)＝ eq \f(63,65) .(2)S△BAD＝ eq \f(1,2) AB·ADsin∠BAD＝ eq \f(252,5) ，S△BAC＝ eq \f(1,2) AB·ACsin∠BAC＝60，S△ACD＝24，则S△BCD＝S△ABC＋S△ACD－S△BAD＝ eq \f(168,5) ，∴ eq \f(S△ABD,S△BCD) ＝ eq \f(3,2) .(理)点D是三角形ABC内一点，并且满足AB2＋CD2＝AC2＋BD2，求证：AD⊥BC.[分析] 要证明AD⊥BC，则只需要证明 eq \o(AD,\s\up6(→)) · eq \o(BC,\s\up6(→)) ＝0，可设 eq\o(AD,\s\up6(→)) ＝m， eq \o(AB,\s\up6(→)) ＝c， eq \o(AC,\s\up6(→)) ＝b，将 eq \o(BC,\s\up6(→)) 用m，b，c线性表示，然后通过向量的运算解决．证明：设 eq \o(AB,\s\up6(→)) ＝c， eq \o(AC,\s\up6(→)) ＝b， eq \o(AD,\s\up6(→)) ＝m，则 eq \o(BD,\s\up6(→)) ＝ eq \o(AD,\s\up6(→)) － eq \o(AB,\s\up6(→)) ＝m－c， eq \o(CD,\s\up6(→)) ＝ eq \o(AD,\s\up6(→)) － eq \o(AC,\s\up6(→)) ＝m－b.∵AB2＋CD2＝AC2＋BD2，∴c2＋(m－b)2＝b2＋(m－c)2，即c2＋m2－2m·b＋b2＝b2＋m2－2m·c＋c2，∴m·(c－b)＝0，即 eq \o(AD,\s\up6(→)) ·( eq \o(AB,\s\up6(→)) － eq \o(AC,\s\up6(→)) )＝0，∴ eq \o(AD,\s\u p6(→)) · eq \o(CB,\s\up6(→)) ＝0，∴AD⊥BC.17．(文)(2010·江苏)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t满足( eq \o(AB,\s\up6(→)) －t eq \o(OC,\s\up6(→)) )· eq \o(OC,\s\up6(→)) ＝0，求t的值．[解析] (1)由题设知 eq \o(AB,\s\up6(→)) ＝(3,5)， eq \o(AC,\s\up6(→)) ＝(－1,1)，则 eq\o(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \o(AC,\s\up6(→)) ＝(2,6)， eq \o(AB,\s\up6(→)) － eq \o(AC,\s\up6(→)) ＝(4,4)．所以| eq \o(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \o(AC,\s\up6(→)) |＝2 eq \r(10) ，| eq \o(AB,\s\up6(→)) － eq\o(AC,\s\up6(→)) |＝4 eq \r(2) .故所求的两条对角线长分别为4 eq \r(2) ，2 eq \r(10) .(2)由题设知 eq \o(OC,\s\up6(→)) ＝(－2，－1)， eq \o(AB,\s\up6(→)) －t eq \o(OC,\s\up6(→)) ＝(3＋2t,5＋t)．由( eq \o(AB,\s\up6(→)) －t eq \o(OC,\s\up6(→)) )· eq \o(OC,\s\up6(→)) ＝0得，(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0，所以t＝－ eq \f(11,5) .(理)(安徽巢湖质检)已知A(－ eq \r(3) ，0)，B( eq \r(3) ，0)，动点P满足| eq \o(PA,\s\up6(→)) |＋| eq \o(PB,\s\up6(→)) |＝4.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)过点(1,0)作直线l与曲线C交于M、N两点，求 eq \o(OM,\s\up6(→)) · eq \o(ON,\s\up6(→)) 的取值范围．[解析] (1)动点P的轨迹C的方程为 eq \f(x2,4) ＋y2＝1；(2)解法一：①当直线l的斜率不存在时，M(1， eq \f(\r(3),2) )，N(1，－ eq \f(\r(3),2) )， eq\o(OM,\s\up6(→)) · eq \o(ON,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,4) ；②当直线l的斜率存在时，设过(1,0)的直线l：y＝k(x－1)，代入曲线C的方程得(1＋4k2)x2－8k2x＋4(k2－1)＝0.设M(x1，y1)、N(x2，y2)，则x1＋x2＝ eq \f(8k2,1＋4k2) ，x1x2＝ eq \f(4k2－1,1＋4k2) .eq \o(OM,\s\up6(→)) · eq \o(ON,\s\up6(→)) ＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋k2(x1－1)(x2－1)＝(1＋k2)x1x2－k2(x1＋x2)＋k2＝ eq \f(k2－4,1＋4k2) ＝ eq \f(1,4) － eq \f(\f(17,4),1＋4k2) < eq \f(1,4) .又当k＝0时， eq \o(OM,\s\up6(→)) · eq \o(ON,\s\up6(→)) 取最小值－4，∴－4≤ eq \o(OM,\s\up6(→)) · eq \o(ON,\s\up6(→)) < eq \f(1,4) .根据①、②得 eq \o(OM,\s\up6(→)) · eq \o(ON,\s\up6(→)) 的取值范围为[－4， eq \f(1,4) ]．解法二：当直线l为x轴时，M(－2,0)，N(2,0)， eq \o(OM,\s\up6(→)) · eq \o(ON,\s\up6(→)) ＝－4. 当直线l不为x轴时，设过(1,0)的直线l：x＝λy＋1，代入曲线C的方程得(4＋λ2)y2＋2λy－3＝0.设M(x1，y1)、N(x2，y2)，则y1＋y2＝ eq \f(－2λ,4＋λ2) ，y1y2＝ eq \f(－3,4＋λ2) .eq \o(OM,\s\up6(→)) · eq \o(ON,\s\up6(→)) ＝x1x2＋y1y2＝(λ2＋1)y1y2＋λ(y1＋y2)＋1＝ eq \f(－4λ2＋1,4＋λ2) ＝－4＋ eq \f(17,4＋λ2) ∈(－4， eq \f(1,4) ]．∴－4≤ eq \o(OM,\s\up6(→)) · eq \o(ON,\s\up6(→)) ≤ eq \f(1,4) .∴ eq \o(OM,\s\up6(→)) · eq \o(ON,\s\up6(→)) 的取值范围为[－4， eq \f(1,4) ]．高中数学平面向量章末复习题（二）【提高篇】一、选择题1、下面给出的关系式中正确的个数是（ C ）① ②③④⑤(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 32. 已知ABCD为矩形，E是DC的中点，且=，＝，则＝（ B ）（A） + （B）－（C）＋（D）－3．已知ABCDEF是正六边形，且＝，＝，则＝（ D ）（A）（B）（C）＋（D）4. 设a，b为不共线向量，＝a＋2b，＝－4 a－b，＝－5 a－3 b，则下列关系式中正确的是（B ）（A）＝（B）＝2 （C）＝－（D）＝－25. 设与是不共线的非零向量，且k＋与＋k共线，则k的值是（ C ）（A） 1 （B）－1 （C）（D）任意不为零的实数6. 在中,M是BC的中点，AM=1,点P在AM上且满足－,则等于 ( A )A. B. C. D.7．已知a、b均为单位向量,它们的夹角为60°,那么丨a＋3b丨＝（ C ）A．B．C． D．48．已知| |=4, |b|=3, 与b的夹角为60°，则| +b|等于（ D ）。

高中数学平面向量测试题及答案

高中数学平面向量测试题及答案一、选择题1、下列哪一组向量是平行向量？A. (3，4)与(4，3)B. (3，4)与( - 4，- 3)C. (3，4)与( - 4，9)D. (3，4)与(7，8)2、下列哪一组向量是共线向量？A. (1，2)与(2，3)B. (1，1)与(2，2)C. (1，2)与( - 2，4)D. (1， - 1)与( - 2，2)3、下列哪一组向量是垂直向量？A. (1，2)与(2，1)B. (3，4)与(4，3)C. ( - 3，4)与(4， - 3)D.平面向量是数学中的一个重要概念，是解决许多实际问题的重要工具。

以下是一些经典的平面向量测试题，可以帮助大家了解和评估自己的平面向量水平。

给出平面向量的基本概念和性质，包括向量的表示、向量的模、向量的加法、减法和数乘等。

给出一个向量的坐标表示，包括在直角坐标系中的表示和在极坐标系中的表示。

给定两个向量 a和 b，求它们的数量积、夹角和模长。

给定一个向量 a，求它的单位向量、零向量和负向量。

给定一个平面向量场，求其中的平行向量、共线向量和线性无关向量。

给定一个三维平面向量场，求其中的法向量和切线向量。

给定一个向量的模长和夹角，求这个向量的坐标表示。

给定两个三维向量 a和 b，求它们在空间中的位置关系，如平行、共线和垂直等。

给定一个平面向量 a和一个非零向量 b，求 a和 b的垂直平分面和a和 b的中垂线。

给定一个向量的正交分解和极坐标表示，求这个向量的直角坐标表示和极坐标表示。

以上是平面向量经典测试题的一些例子，这些题目可以帮助大家巩固平面向量的基本概念和性质，提高解决实际问题的能力。

解释：平面向量是由两个数值和一个字母组成的，其中字母表示向量的方向，而数值表示向量的模长。

选项A符合这个要求，而其他选项都不符合。

解释：平面向量的基本运算包括加法、减法和数乘，而D选项中的“数乘和加法”实际上是包含了这三种运算，因此不是平面向量的运算。

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平面向量测试（二）
一.选择题（5分×12=60分）:
1．以下说法错误的是（）
A.零向量与任一非零向量平行
B.零向量与单位向量的模不相等
C.平行向量方向相同
D.平行向量一定是共线向量
2．下列四式不能化简为的是（）
A ．（
B ．）；
＋）＋（＋（CM BC MB AD C ．；－＋BM AD MB D ．；
＋－CD OA OC 3．已知=（3，4），=（5，12），与则夹角的余弦为（）
A ．6563
B ．65
C ．5
13 D ．13 4．已知a 、b 均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|a + 3b | =（） A ．7 B ．10
C ．13
D ．4
5．已知ABCDEF 是正六边形，且−→−AB ＝→a ，−→−AE ＝→b ，则−→−BC ＝（）
（A ）
)(21→→-b a （B ） )(21→→-a b （C ） →a ＋→b 21 （D ） )(21→
→+b a 6．设→a ，→b 为不共线向量，−→−AB ＝→a +2→b ,−→−BC ＝－4→a －→b ,−→−CD ＝－5→a －3→b ,则下列关系式中正确的是（）
（A ）−→−AD ＝−→−BC （B ）−→−AD ＝2−→−BC （C ）−→−AD ＝－−→−BC （D ）−→−AD ＝－2−→−BC
7．设→1e 与→2e 是不共线的非零向量，且k →1e ＋→2e 与→1e ＋k →2e 共线，则k 的值是（）
（A ） 1 （B ）－1 （C ） 1± （D ）任意不为零的实数
8．在四边形ABCD 中，−→−AB ＝−→−DC ，且−→−AC ·−→−BD ＝0，则四边形ABCD 是（）
（A ）矩形（B ）菱形（C ）直角梯形（D ）等腰梯形
9．已知M （－2，7）、N （10，－2），点P 是线段MN 上的点，且−→−PN ＝－2−→−PM ，则P 点的坐标为（）
（A ）（－14，16）（B ）（22，－11）（C ）（6，1）（D ）（2，4）
10．已知→a ＝（1，2），→b ＝（－2，3），且k →a +→b 与→a －k →b 垂直，则k ＝（）
（A ） 21±-（B ） 12±（C ） 32±（D ） 23±
11.若平面向量(1,)a x =和(23,)b x x =+-互相平行，其中x R ∈.则a b -=（）
A. 2-或0；
B.
C. 2或
D. 2或10.
12.下面给出的关系式中正确的个数是（）
① 00 =⋅a ②a b b a ⋅=⋅③22a a =④)()(c b a c b a ⋅=⋅⑤b a b a ⋅≤⋅
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
二. 填空题(5分×5=25分):
13．若),4,3(=Ａ点的坐标为（－２，－１），则Ｂ点的坐标为．
14．已知(3,4),(2,3)=-=a b ，则2||3-⋅=a a b ． 15.已知向量)2,1(,3==b a ，且b a ⊥，则a 的坐标是_________________。

16.ΔABC 中，A(1,2),B(3,1),重心G(3,2)，则C 点坐标为________________。

17．如果向量与b 的夹角为θ，那么我们称 ×b 为向量与b 的“向量积”， ×b 是一个向量，它的长度|
×b|=| ||b|sin θ，如果| |=4, |b|=3, ·b=-2，则| ×b|=____________。

三、解答题
18.（15分)设平面三点A （1，0），B （0，1），C （2，5）．（1）试求向量2＋的模；（2）试求向量与的夹角的余弦值；（3）试求与垂直的单位向量的坐标．
19．（本题满分12分）A 、B 、C 为△ABC 的三内角，且其对边分别为a 、b 、c ．若m ＝（－cos A 2，sin A 2），n ＝（cos A 2
，sin A 2），且m ·n ＝12
．（1）求A ；（2）若a ＝23，三角形面积S ＝3，求b +c 的值．
20.（20分)已知平面向量).2
3,21(),1,3(=-=若存在不同时为零的实数k 和t,使 .,,)3(2y x b t a k y b t a x ⊥+-=-+=且（1）试求函数关系式k =f （t ）
（2）求使f （t ）>0的t 的取值范围.
21.（15分)如图， =(6,1), ，且。

(1)求x 与y 间的关系； (2)若
，求x 与y 的值及四边形ABCD 的面积。

参考答案
一、选择题：1C 、2C 、3A 、4C 、5D 、6B 、7C 、8B 、9D 、10A 、11C 、12C 、
二. 填空题(5分×5=25分):
13 （1，3）．14 28 15 （，）或（，） 16 （5，3） 17 2三. 解答题（65分):
18、（1）∵ ＝（0－1，1－0）＝（－1，1），＝（2－1，5－0）＝（1，5）． ∴ 2＋＝2（－1，1）＋（1，5）＝（－1，7）．
∴ |2＋AC |＝227)1(+-＝50．
（2）∵ ||＝221)1(+-＝2．||＝2251+＝26， ·＝（－1）×1＋1×5＝4．
∴ cos θ ||||AC AB ⋅2624
⋅＝13
132．（3）设所求向量为＝（x ，y ），则x2＋y2＝1． ①
又＝（2－0，5－1）＝（2，4），由⊥，得2 x ＋4 y ＝0． ②
由①、②，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==．55552y x 或⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧==．－55552y x ∴ （552，－55）或（－552，55）即为所求．
19．解：（1）∵m ＝（－cos A 2，sin A 2），n ＝（cos A 2，sin A 2），且m ·n ＝12
， ∴－cos 2A 2＋sin 2A 2＝12
，………………………………………………2分即－cosA ＝12，又A ∈（0，），∴A ＝23
………………………………5分（2）S △ABC ＝12bc ·sin A ＝12b ·c ·sin 23
＝3错误！未找到引用源。

，∴bc ＝4 …………………7分又由余弦定理得：a 2＝b 2+c 2－2bc ·cos120°＝b 2+c 2+bc ………………10分
∴16＝（b +c ）2，故b +c ＝4．……………………………………………12分
20．解：（1）
.0)(])3[(.0,2=+-⋅-+=⋅∴⊥t k t 即 ).3(41,0)3(4,1,4,0222
2-==-+-∴===⋅t t k t t k 即 556-5535565
53-
（2）由f(t)>0,得.303,0)3()3(,0)3(412><<-->+>-t t t t t t t 或则即
21．解：(1)∵
，
∴ 由
，得x(y-2)=y(4+x), x+2y=0.
(2) 由 =(6+x, 1+y), 。

∵
, ∴(6+x)(x-2)+(1+y)(y-3)=0, 又x+2y=0, ∴ 或
∴当时，
，
当时，。

故
同向，
22．解：（1）由2222||2||)(a bt a t b tb a +⋅+=+ 当的夹角）与是b a b a b b a t αα(cos |||||
|222-=⋅-=时a+tb(t ∈R)的模取最小值（2）当a 、b 共线同向时，则0=α，此时||||b a t -
= ∴0||||||||||||)(2=-=-⋅=+⋅=+⋅b a a b b a a b tb a b tb a b
∴b ⊥(a +t b )。