高考文科数学中档题训练22(学生版)

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2019年高考数学(文科)中档大题规范练(三角函数)(含答案)

高考数学精品复习资料2019.5中档大题规范练中档大题规范练——三角函数1．已知函数f (x )＝(sin x －cos x )sin 2x sin x. (1)求f (x )的定义域及最小正周期；(2)求f (x )的单调递增区间．解 (1)由sin x ≠0得x ≠k π(k ∈Z )，故f (x )的定义域为{x ∈R |x ≠k π，k ∈Z }．因为f (x )＝(sin x －cos x )sin 2x sin x＝2cos x (sin x －cos x )＝sin 2x －2cos 2x＝sin 2x －(1＋cos 2x ) ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4－1，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )．由2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2，x ≠k π(k ∈Z )，得k π－π8≤x ≤k π＋3π8，x ≠k π(k ∈Z )．所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎭⎫k π－π8，k π和⎝⎛⎦⎤k π，k π＋3π8(k ∈Z )． 2．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，角B 所对的边b ＝3，且函数f (x )＝23sin 2x ＋2sin x cos x －3在x ＝A 处取得最大值．(1)求f (x )的值域及周期；(2)求△ABC 的面积．解 (1)因为A ，B ，C 成等差数列，所以2B ＝A ＋C ，又A ＋B ＋C ＝π，所以B ＝π3，即A ＋C ＝2π3. 因为f (x )＝23sin 2x ＋2sin x cos x － 3 ＝3(2sin 2x －1)＋sin 2x ＝sin 2x －3cos 2x＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，所以T ＝2π2＝π. 又因为sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈[－1,1]，所以f (x )的值域为[－2,2]．(2)因为f (x )在x ＝A 处取得最大值，所以sin ⎝⎛⎭⎫2A －π3＝1. 因为0<A <23π，所以－π3<2A －π3<π，故当2A －π3＝π2时，f (x )取到最大值，所以A ＝512π，所以C ＝π4. 由正弦定理，知3sin π3＝c sin π4⇒c ＝ 2. 又因为sin A ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋π6＝2＋64，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝3＋34. 3．已知函数f (x )＝3sin 2x ＋2cos 2x ＋a .(1)求函数f (x )的最小正周期以及单调递增区间；(2)当x ∈[0，π4]时，函数f (x )有最大值4，求实数a 的值．解 f (x )＝3sin 2x ＋2cos 2x ＋a＝cos 2x ＋3sin 2x ＋1＋a＝2sin(2x ＋π6)＋a ＋1. (1)函数f (x )的最小正周期为2π2＝π，由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z . 故函数f (x )的单调递增区间为[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z )． (2)∵x ∈[0，π4]，∴2x ＋π6∈[π6，2π3]，从而sin(2x ＋π6)∈[12，1]． ∴f (x )＝2sin(2x ＋π6)＋a ＋1∈[a ＋2，a ＋3]， ∵f (x )有最大值4，∴a ＋3＝4，故a ＝1.4．设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈[0，π2]． (1)若|a |＝|b |，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值．解 (1)由|a |2＝(3sin x )2＋(sin x )2＝4sin 2x ，|b |2＝(cos x )2＋(sin x )2＝1，由|a |＝|b |，得4sin 2x ＝1.又x ∈[0，π2]，从而sin x ＝12，所以x ＝π6. (2)f (x )＝a ·b ＝3sin x ·cos x ＋sin 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin(2x －π6)＋12. 当x ＝π3∈[0，π2]时，sin(2x －π6)取最大值1，所以f (x )的最大值为32. 5．已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin(ωx －π6)＋1(ω>0)的最小正周期是π. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)求f (x )在[π8，3π8]上的最大值和最小值．解 (1)f (x )＝4cos ωx ·sin(ωx －π6)＋1 ＝23sin ωx cos ωx －2cos 2ωx ＋1＝3sin 2ωx －cos 2ωx ＝2sin(2ωx －π6)．最小正周期是2π2ω＝π，所以，ω＝1，从而f (x )＝2sin(2x －π6)．令－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z . 解得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z . 所以函数f (x )的单调递增区间为[－π6＋k π，π3＋k π](k ∈Z )． (2)当x ∈[π8，3π8]时，2x －π6∈[π12，7π12]， f (x )＝2sin(2x －π6)∈[6－22，2]，所以f (x )在[π8，3π8]上的最大值和最小值分别为2，6－22. 6.在斜度一定的山坡上的一点A 测得山顶上一建筑物顶端对于山坡的斜度为15°，如图所示，向山顶前进100 m 后，又从B 点测得斜度为45°，设建筑物的高为50 m ．求此山对于地平面的斜度θ的余弦值．解在△ABC 中，∠BAC ＝15°，∠CBA ＝180°－45°＝135°，AB ＝100 m ，所以∠ACB ＝30°. 由正弦定理，得100sin 30°＝BC sin 15°，即BC ＝100sin 15°sin 30°. 在△BCD 中，因为CD ＝50，BC ＝100sin 15°sin 30°，∠CBD ＝45°，∠CDB ＝90°＋θ，由正弦定理，得50sin 45°＝100sin 15°sin 30°sin (90°＋θ)，解得cos θ＝3－1.因此，山对地面的斜度的余弦值为3－1.。

2023高考数学复习专项训练《面面垂直的性质》(含解析)

2023高考数学复习专项训练《面面垂直的性质》一、单选题（本大题共12小题，共60分）1.（5分）已知集合A ={ 1,2}，A ∪B ={ 1,2,3,4}，则满足条件的集合B 有( )个．A. 1B. 2C. 3D. 42.（5分）已知a ∈R ，复数z =3+i1+ai (i 为虚部单位)为纯虚数，则z 的共轭复数的虚部为()A. 1B. −1C. iD. −i3.（5分）已知函数f(x)={lo g 2(4−x),x <41+2x−1,x ⩾4，则f(0)+f(log 232)=( )A. 19B. 17C. 15D. 134.（5分）扇形OAB 的半径为1，圆心角为90∘，P 是AB ⏜上的动点，OP →⋅(OA →−OB →)的最小值是( )A. 0B. −1C. −√2D. 125.（5分）设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m ⊂α，“m//β“是“α//β”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6.（5分）已知函数f(x)=sin (ωx +ϕ)(ω>0,|ϕ|<π2的最小正周期为π，且f(x)是(π3,4π5)上的单调函数，则ϕ的取值范围是( )A. (-π2,-π6] B. (-π2,π6] C. [-π6,-π10]D. [-π6,π2)7.（5分）若实数x ，y 满足{x −y −1⩽0x +2⩾0x +2y −1⩽0，则目标函数z =2x +y 的最大值为( )A. 2B. 3C. −7D. −528.（5分）某程序框图如图所示，则程序运行后输出的S的值是()A. 1008B. 2017C. 2018D. 30259.（5分）在等比数列{a n}中，a1=1，公比|q|≠1，若a m=a1a2a3a4a5，则m=()．A. 9B. 10C. 11D. 1210.（5分）已知点P是曲线y=x2−3lnx上任意的一点，则点P到直线2x+2y+3=0的距离的最小值是()A. 74B. 78C. 3√22D. 7√2411.（5分）直线x−2y+2=0关于直线x=1对称的直线方程是()A. x+2y−4=0B. 2x+y−1=0C. 2x+y−3=0D. 2x+y−4=012.（5分）已知边长为3的正方形ABCD与正方形CDEF所在的平面互相垂直，M为线段CD上的动点(不含端点)，过M作MH//DE交CE于H，作MG//AD交BD于G，连结GH.设CM=x(0<x<3)，则下面四个图象中大致描绘了三棱锥C−GHM的体积y与变量x变化关系的是()A. B.C. D.二、填空题（本大题共5小题，共25分）13.（5分）若f(x)=(m−1)x2+6mx+2是偶函数，则f（0）,f（1）,f（-2）从小到大的排列是____________________.14.（5分）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 (1) ；表面积是 (2)15.（5分）已知△ABC 的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于__________.16.（5分）设m ，n 已知函数fx )=og2(−|x|+4)的定域是[mn ]值域0，]，若关x 的2|1−x|+m +1=0有一的实解，则m +n = ______ ．17.（5分）已知函数f(x)=12x 2−ax +lnx ，对于任意不同的x 1，x 2∈(0,+∞)，有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>3，则实数a 的取值范围为 ______.三、解答题（本大题共6小题，共72分）18.（12分）已知函数f (x)=(x −1)2，数列{a n }是公差为d 的等差数列，数列{b n }是公比为q 的等比数列(q ∈R,q ≠1,q ≠0).若a 1=f(d −1)，a 3=f (d +1)，b 1=f (q −1)，b 3=f (q +1)， (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)若数列{a n }的前n 项和为S n ，①求证：对任意的n ⩾2，(n ∈N ∗)时 1S 2+1S 3+⋯+1S n<1②设数列{c n }对任意的自然数n 均有c1b 1+c 2b 2+c 3b 3+⋯+c n b n=S n+1成立，求c 1+c 2+c 3+⋯+c n 的值．19.（12分）已知函数f(x)=√32sin(ωx +φ)+sin 2(ωx+φ2)−12(ω>0,0<φ<π)为奇函数，且f(x)图象的相邻两对称轴间的距离为π. (1)求f(x)的解析式；(2)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知f(π2+C)c+f(π2−B)b=1a，求角A 的取值范围．20.（12分）如图，在三棱锥A −BCD 中，ΔABD 为边长等于√2的正三角形，CD =CB =1.ΔADC 与ΔABC 是有公共斜边AC 的全等的直角三角形． (Ⅰ)求证：AC ⊥BD ；(Ⅱ)求D点到平面ABC的距离．21.（12分）已知点(0,1)，(3+2√2,0)，(3−2√2,0)在圆C上．(1)求圆C的方程；(2)若圆C与直线x−y+a=0交于A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．22.（12分）已知极坐标中，曲线C的极坐标方程为ρ−2cosθ=3ρ，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，若直线l的参数方程为{x=−√2+2ty=−1+2t，(t 为参数)，且直线l与曲线C交于M，N两点，(Ⅰ)求直线l的极坐标方程以及曲线C的参数方程；(Ⅰ)若点P在曲线C上，求ΔPMN面积的最大值．23.（12分）设函数f(x)=|x−a|．(1)当a=2时，解不等式f(x)⩾7−|x−1|；(2)若f(x)⩽1的解集为[0,2]，1m +12n=a(m>0,n>0)，求证：m+4n⩾2√2+3．答案和解析1.【答案】D;【解析】解：集合A ={ 1,2}，A ∪B ={ 1,2,3,4}，所以B 至少含有，3，4两个元素，所以B 的可能情况为：{ 3,4}，{ 3,4,1}，{ 3,4,2}，{ 3,4,1,2}．故选D ．由题意列举集合B 的所有可能情况，得到集合B 的个数．该题考查集合的基本运算，集合中元素的基本性质，考查计算能力．2.【答案】B; 【解析】解：∵z =3+i 1+ai=(3+i)(1−ai)(1−ai)(1+ai)=3+a 1+a 2−3a−11+a 2i 为纯虚数，∴{3+a1+a 2=01−3a 1+a 2≠0，解得a =−3， ∴z =i ，即z −=−i ， ∴z 的共轭复数的虚部为−1. 故选：B.根据已知条件，结合复数的运算法则，以及复数的性质，即可求解．此题主要考查复数的运算法则，以及复数的性质，属于基础题．3.【答案】A; 【解析】该题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力，属于基础题．利用函数的解析式，直接求解函数值即可．解：函数f(x)={lo g 2(4−x),x <41+2x−1,x ⩾4，则f(0)+f(log 232)=log 24+1+2lo g 232−1 =2+1+12×32=19．故选：A ．4.【答案】B; 【解析】此题主要考查了向量的坐标运算和三角函数的性质，属于中档题．建立平面直角坐标系，求出向量坐标，设P(cosθ,sinθ)，根据向量坐标的运算得到OP →.(OA →−OB →)，根据三角函数的性质即可求出最值．解：以O 为原点，以OA 为x 轴，建立平面直角坐标系，则A(1,0)，B(0,1). 设P(cosθ,sinθ)，0°⩽θ⩽90°.则OP →=(cosθ,sinθ)，OA →=(1,0),OB →=(0,1).∴OP →.(OA →−OB →)=(cosθ,sinθ).(1,−1)=cosθ−sinθ=−√2sin (θ−45∘). ∵0°⩽θ⩽90°，∴−45°⩽θ−45°⩽45°， ∴当θ=90°时，OP →.(OA →−OB →)取得最小值为−1. 故选B.5.【答案】B;【解析】解：m ⊂α，m//β得不到α//β，因为α，β可能相交，只要m 和α，β的交线平行即可得到m//β；α//β，m ⊂α，∴m 和β没有公共点，∴m//β，即α//β能得到m//β； ∴“m//β”是“α//β”的必要不充分条件．故选：B ．m//β并得不到α//β，根据面面平行的判定定理，只有α内的两相交直线都平行于β，而α//β，并且m ⊂α，显然能得到m//β，这样即可找出正确选项．考查线面平行的定义，线面平行的判定定理，面面平行的定义，面面平行的判定定理，以及充分条件、必要条件，及必要不充分条件的概念．6.【答案】C;【解析】解：∵函数f(x)=sin (ωx +ϕ)(ω>0,|ϕ|<π2)的最小正周期为2πω=π，∴ω=2，∴f(x)=sin (2x +ϕ)．∵f(x)是(π3,4π5)上的单调函数，∴2π3+ϕ⩾π2，且8π5+ϕ⩽3π2，求得−π6⩽ϕ⩽−π10，故选：C ．由题意利用正弦函数的周期性求得ω，再根据单调性求得ϕ的取值范围．此题主要考查正弦函数的周期性和单调性，属于基础题．7.【答案】A;【解析】解：作出约束条件不等式组满足{x −y −1⩽0x +2⩾0x +2y −1⩽0的可行域如图：目标函数z =2x +y 在{x −y −1=0x +2y −1=0的交点A(1,0)处取最大值为z =2×1+0=2．故选：A ．画出约束条件表示的可行域，判断目标函数z =2x +y 的位置，求出最大值．此题主要考查简单的线性规划的应用，正确画出可行域，判断目标函数经过的位置是解答该题的关键．8.【答案】A;的值以4为周期呈周期性变化，【解析】解：由y=cos iπ2+1每四个值分为一组，每组的和为6，故a i=i cos iπ2最后满足i<2018的i值为2017，执行循环体后，i=2018，故S共进行为2018次累加，由2018÷4=504……2，故S=6×504+1−2018+1=1008，故选：A．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．此题主要考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．9.【答案】C;【解析】该题考查等比数列的性质、通项公式的灵活应用，属于基础题．根据等比数列的性质得a1⋅a5=a2⋅a4=a32，结合条件和等比数列的通项公式列出方程，求出m的值．解：根据等比数列的性质得，a1⋅a5=a2⋅a4=a32，又a m=a1a2a3a4a5，所以a m=a35，因为a m=a1q m−1=q m−1，a3=a1q2=q2，所以q m−1=(q2)5，所以m−1=10，即m=11，故选：C．10.【答案】D;【解析】解：设P(x,y)，则y′=2x−3x(x>0)，令2x−3x =−1，解得x=1或x=−32，∵x>0，∴x=1，∴y=1，即平行于直线2x+2y+3=0且与曲线y=x2−lnx相切的切点坐标为(1,1)，由点到直线的距离公式可得点P到直线2x+2y+3=0的距离的最小值d=√4+4=7√24，故选：D.求出平行于直线2x+2y+3=0且与曲线y=x2−3lnx相切的切点坐标，再利用点到直线的距离公式求解．此题主要考查点到直线的距离公式的应用，函数的导数的求法及导数的意义，体现了转化思想，属于基础题．11.【答案】A;【解析】解：直线x−2y+2=0上的点(−2,0)关于直线x=1对称的点A(4,0)，直线x−2y+2=0上的点(0,1)关于直线x=1对称的点B(2,1)，故直线x−2y+2=0关于直线x=1对称的直线方程，即直线AB的方程，为y−10−1=x−24−2，即x+2y−4=0，故选：A．在直线x−2y+2=0上任取2个点，求出它们关于直线x=1对称的对称点，用两点式可得对称直线的方程．这道题主要考查求一条直线关于另一条直线的对称直线的方法，属于基础题．12.【答案】A;【解析】此题主要考查了面面垂直的性质定理的运用、三棱锥体积公式以及利用导数研究函数的单调性，属于中档题．由题意，画出图形，利用x表示三棱锥的体积，利用导数得到函数的单调区间，即可得到函数图象．解：如图，因为正方形ABCD与正方形CDEF所在的平面互相垂直，又过M作MH//DE交CE于H，作MG//AD交BD于G，所以GM⊥HM，设CM=x(0<x<3)，则HM=CM，GM=DM=3−x，所以三棱锥的体积为V=13×12×GM×HM×CM=16(3−x)x2=−16x3+12x2，(0<x<3)，V′=−12x2+x，令V′=−12x2+x=0，解得x=0或者x=2，令V′>0得0<x<2，令V′<0得2<x<3，故体积V在(0,2)单调递增，在(2,3)单调递减，所以V关于x的图象如下：故选：A．13.【答案】f（-2）＜f（1）＜f（0）;【解析】略14.【答案】163;16+8√2;【解析】解：几何体的直观图如图，是正四棱柱的一部分，正四棱柱的底面边长为2，棱柱的高为：4；所以几何体的体积为：12×2×2×4−13×12×2×2×4=163．几何体的表面积为：4×2√2+2×12×2×4+12×2×2+12×2√2×√42+22−(√2)2=16+8√2．故答案为：163；16+8√2．由三视图，画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的体积，表面积．此题主要考查三视图求解几何体的体积与表面积，判断几何体的形状是解答该题的关键．15.【答案】7√33;【解析】略16.【答案】1;【解析】解：∵f()=og2(−|x|+4)的值域02]，即：m+n1结合可n=3由函数f()=log(−|+4)的定义域[m,n]，|x|∈[0,]…∴−|∈[−3,0]则m=2故答案1由关于的方程2|1−x|+m=0有一的实数解，我们易m的值然后根据f()=o2(−||+4)的定义域是m，n，值域是[0,2，结合函f(x)=log2(−|x|+)性质，可出的值，进而案．本题考的知识点是的存在性及的数的判断，对函数的义及对数值域，其中利用于的方程21−x|++1=0有唯一的实数解，变形得到关x的方程2|−x|+1=m有唯一实解，即−m为函y=1−x|+1最值，是解答本的关．17.【答案】（-∞，-1];【解析】解：对于任意不同的x1，x2∈(0,+∞)，有f(x1)−f(x2)x1−x2>3.不妨设x1<x2，则f(x1)−f(x2)<3(x1−x2)，即f(x1)−3x1<f(x2)−3x2，设F(x)=f(x)−3x，则F(x1)<F(x2)，又x1<x2，所以F(x)单调递增，F′(x)⩾0恒成立．F(x)=f(x)−3x=12x2−(a+3)x+lnx.则F′(x)=x−(3+a)+1x =x2−(3+a)x+1x，令g(x)=x2−(3+a)x+1，要使F′(x)⩾0在(0,+∞)恒成立，只需g(x)=x2−(3+a)x+1⩾0恒成立，即3+a⩽x+1x 恒成立，x+1x⩾2√x·1x=2，当且仅当x=1x，即x=1时等号成立，所以3+a⩽2，即a⩽−1，则实数a的取值范围为(−∞,−1].故答案为：(−∞,−1].根据题意对于任意不同的x1，x2∈(0,+∞)，有f(x1)−f(x2)x1−x2>3，不妨设x1<x2，得到f(x1)−3x1<f(x2)−3x2，设F(x)=f(x)−3x，则F(x1)<F(x2)，又x1<x2，即F(x)单调递增，则导函数大于等于0恒成立，即可得到3+a⩽x+1x恒成立，再利用基本不等式求出x+1x的最小值为2，得到3+a⩽2，即可得到答案．此题主要考查了利用导数研究函数的单调性和基本不等式，考查了转化思想和函数思想，属中档题．18.【答案】解：（1）a1=f(d−1)=(d−2)2，a3=f(d+1)=d2，∴a3-a1=2d，即d2-（d-2）2=2d，解得d=2，∴a1=0，a n=2（n-1），又b1=f（q-1）=（q-2）2，b3=f （q+1）=q2，b3b1=q2，∴q 2(q−2)2=q2，∵q≠1，∴b1=1，b n=3n−1；（2）①证明：∵S n=n（n-1），∴1S n =1n(n−1)=1n−1-1n（n≥2），则1S2+1S3+…+1S n=（1-12）+（12−13）+…+（1n−1-1n）=1-1n＜1；②由c1b1+c2b2+c3b3+…+c nb n=S n+1，得c1 b1+c2b2+c3b3+…+c n−1b n−1=S n（n≥2），两式相减得cn b n=S n+1-S n =a n+1=2n ，n=1也符合，∴c n =2n•b n =2n•3n-1=23n.3n ，令T n =1.31+2.32+⋯+n.3n ，利用错位相减法可得T n =2n −14.3n+1+34∴c 1+c 2+c 3+…+c n =23T n =(n −12).3n +12．; 【解析】(1)用d 表示出a 1，a 3，由a 3−a 1=2d 可得关于d 的方程，解出d 可得a n ，用q 表示出b 1，b 3，由b 3b 1=q 2可得q 的方程，解出q 可得b n ；(2)①由(1)可得S n ，利用裂项相消法可求得1S 2+1S 3+⋯+1S n，由结果可作出证明；②由c 1b1+c 2b 2+c 3b 3+⋯+c n b n=S n+1，得c 1b1+c 2b 2+c 3b 3+⋯+c n−1b n−1=S n (n ⩾2)，两式相减可求得c n ，注意验证n =1也适合，利用错位相减法可求得c 1+c 2+c 3+⋯+c n 的值．该题考查等差数列等比数列的通项公式、数列求和、数列与不等式的综合，考查学生综合运用所学知识解决问题的能力，对能力要求较高．19.【答案】解：（1）由题意，函数f(x)=√32sin(ωx +ϕ)+sin 2(ωx+ϕ2)−12=√32sin(ωx +ϕ)−12cos(ωx +ϕ)=sin(ωx +ϕ−π6)，因为函数f （x ）图象的相邻两对称轴间的距离为π，所以T=2π=2πω，可得ω=1，由函数为奇函数，可得ϕ−π6=kπ，k ∈Z ，因为0＜ϕ＜π，所以φ=π6，所以，函数f （x ）=sinx ．（2）由f(π2+C)c +f(π2−B)b=cosC c+cosB b=1a ，及正弦定理得cosC sinC +cosB sinB =sinBcosC+cosBsinCsinCsinB=sin(B+C)sinCsinB=1sinA ，∵sinA=sin[π-（B+C ）]=sin （B+C ），∴si n 2A=sinBsinC ，即a 2=bc ，又由余弦定理知：cosA =b 2+c 2−a 22bc ≥2bc−a 22bc=12，当且仅当b=c 时等号成立，而A ∈（0，π），∴A ∈(0，π3]．; 【解析】(1)由题意，利用三角恒等变换，化简函数的解析式，正弦函数的图象和性质，求得ω和φ的值，可得函数的解析式．(2)由题意，利用正弦定理、余弦定理，基本不等式，求得cosA 的范围，可得A 的范围．此题主要考查三角恒等变换，正弦函数的图象和性质，正弦定理、余弦定理的应用，基本不等式，属于中档题．20.【答案】（Ⅰ）证明：取BD中点M，连AM、CM∵AD=AB∴AM⊥BD，又∵DC=CB，∴CM⊥BD，又∵CM∩AM=M，CM,AM⊂平面ACM∴BD⊥面ACM，又AC⊂面ACM，∴BD⊥AC（Ⅱ）解：过A作AE∥BC，AE=BC，连接EC、ED，则AB∥EC，AB=EC∵BC⊥AB，∴BC⊥EC，又∵BC⊥DC，EC∩DC=C，EC,DC⊂平面DEC.∴BC⊥面DEC.∵BC⊂面ABCE，∴面ABCE⊥面DEC过D作DF⊥EC，交EC于F，DF即为所求，在△DEC中，DE=DC=1，EC=√2，∴DF=√2.;2【解析】此题主要考查线面垂直，面面垂直的证明，考查点到平面距离的计算，属于中档题．(Ⅰ)取BD中点M，连AM、CM，证明BD⊥面ACM，即可证明AC⊥BD；(Ⅱ)证明面ABCE ⊥面DEC ，过D 作DF ⊥EC ，交EC 于F ，DF 即为D 点到平面ABC 的距离．21.【答案】解：（1）由题意可设圆C 的圆心为（3，t ），则有32+（t-1）2=（2√2）2+t 2，解得t=1．则圆C 的圆心为（3，1），半径长为√(3−0)2+(1−1)2=3．…（4分）所以圆C 的方程为（x-3）2+（y-1）2=9 （2）由{x −y +a =0(x −3)2+(y −1)2=9消去y ，得2x 2+（2a-8）x+a 2-2a+1=0，此时判别式△=56-16a-4a 2．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则有x1+x2=4-a ，x1x2=a 2−2a +12①，由于OA ⊥OB ，可得x 1x 2+y 1y 2=0，又y 1=x 1+a ，y 2=x 2+a ，所以2x 1x 2+a （x 1+x 2）+a 2=0②由①②得a=-1，满足△＞0，故a=-1; 【解析】(1)设出圆的标准方程，把三个点代入，联立方程组求得．(2)设出点A ，B 的坐标，联立直线与圆的方程，消去y ，确定关于x 的一元二次方程，已知的垂直关系，确定x 1x 2+y 1y 2=0，利用韦达定理求得a ．这道题主要考查了直线与圆的位置关系，圆的标准方程．考查了学生分析和图象观察能力．注意把圆的代数问题与圆的平面性质相结合．22.【答案】解：(Ⅰ)曲线C 的普通方程为(x −1)2+y 2=4，故曲线C 的参数方程为{x =1+2cosθy =2sinθ(θ为参数).直线l 的直角坐标方程为x −y +√2−1=0，所以直线l 的方程可化为ρsin θ−ρcos θ=√2−1. (Ⅰ)圆心C 到l 的距离为d =√2 −1|√2=1，所以|MN |=2√4−1=2√3，又因为圆C 上的点到直线l 的距离的最大值为r +d =2+1=3，所以(S ΔPMN )max =12×|MN |×3=3√3，即ΔPMN 面积的最大值为3√3.;【解析】此题主要考查直线和曲线的三种方程的转化及直线与圆位置关系的运用，考查点到直线距离公式及圆有关的最值问题，属于中档题．(Ⅰ)利用三种方程的转化方法，将曲线C 的极坐标方程转化为参数方程和直线l 的参数方程转化为极坐标方程；(Ⅰ)利用点到直线的距离公式求出圆心(1,0)到直线x −y +√2−1=0的距离，勾股定理求出弦长|MN |，圆C 上的点到直线l 的距离的最大值为r +d =3，利用三角形面积公式即可求解.23.【答案】解：（1）当a=2时，f （x ）=|x-2|，则不等式f （x ）≥7-|x-1|等价为|x-2|≥7-|x-1|，即|x-2|+|x-1|≥7，当x≥2时，不等式等价为x-2+x-1≥7，即2x≥10，即x≥5，此时x≥5；当1＜x ＜2时，不等式等价为2-x+x-1≥7，即1≥7，此时不等式不成立，此时无解，当x≤1时，不等式等价为-x+2-x+1≥7，则2x≤-4，得x≤-2，此时x≤-2，综上不等式的解为x≥5或x≤-2，即不等式的解集为（-∞，-2]∪[5，+∞）．（2）若f （x ）≤1的解集为[0，2]，由|x-a|≤1得-1+a≤x≤1+a ．即{1+a =2−1+a =0得a=1，即1m +12n =a=1，（m ＞0，n ＞0），则m+4n=（m+4n ）（1m +12n ）=1+2+4n m +m2n ≥3+2√4n m .m2n =2√2+3．当且仅当4n m =m2n ，即m 2=8n 2时取等号，故m+4n≥2√2+3成立．; 【解析】(1)利用绝对值的应用表示成分段函数形式，解不等式即可．(2)根据不等式的解集求出a =1，利用1的代换结合基本不等式进行证明即可．这道题主要考查不等式的求解和应用，根据绝对值不等式的性质转化为分段函数形式，利用1的代换转化为基本不等式是解决本题的关键．综合性较强．。

高中数学数列中档题复习(学生版)

数列一、考点分析：本章的知识结构图：数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要的地位.高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏.解答题多为中等以上难度的试题，突出考查考生的思维能力，解决问题的能力，试题大多有较好的区分度.有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。

探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。

本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法.应用问题考查的重点是现实客观事物的数学化，常需构造数列模型，将现实问题转化为数学问题来解决.复习建议:在进行数列二轮复习时，建议可以具体从以下几个方面着手:1．运用基本量思想(方程思想)解决有关问题；2．注意等差、等比数列的性质的灵活运用；3．注意等差、等比数列的前n项和的特征在解题中的应用；4．注意深刻理解等差数列与等比数列的定义及其等价形式；5．根据递推公式，通过寻找规律，运用归纳思想，写出数列中的某一项或通项，主要需注意从等差、等比、周期等方面进行归纳；6．掌握数列通项an与前n项和Sn 之间的关系；7．根据递推关系，运用化归思想，将其转化为常见数列；8．掌握一些数列求和的方法(1)分组求和(2)裂项相消(3)错位相减（4）倒序相加（5）公式法。

9．以等差、等比数列的基本问题为主，突出数列与函数、数列与方程、数列与不等式、数列与几何等的综合应用．一、等差与等比数列的概念和性质1. 已知公差大于零的等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足：.22,1175243=+=⋅a a a a （1）求通项n a ；（2）若数列}{n b 是等差数列，且cn S b nn +=，求非零常数c ；解：（1）34-=n a n（2）n n n n S n -=-+=222)341(， ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-===2102c b a 21-=c 2.设数列{a n }和{b n }满足a 1=b 1=6, a 2=b 2=4, a 3=b 3=3, 且数列{a n +1－a n }（n ∈N *）是等差数列，数列{b n －2}(n ∈N *)是等比数列. （1）求数列{a n }和{b n }的通项公式；（2）是否存在k ∈N *，使a k －b k ∈（0，21）？若存在，求出k ；若不存在，说明理由. 解：（1）927212+-=n n a n ，3)21(2-+=n n b（2）不存在3. （2008年海南宁夏卷）已知数列{}n a 是一个等差数列，且21a =，55a =-。

中考数学中档题突破专项训练三解含参数的不等式(组)(选填题)

专项训练三解含参数的不等式(组)(选填题)
1.关于 x 的方程 3x－2m＝1 的解为正数，则 m 的取值范围是
1
1
A．m＜－2 B．m＞－2
1 C．m＞2
1 D．m＜2
Байду номын сангаас
( B)
x－a≥1， 2．已知关于 x 的不等式组x＋5≤b 的解集是 3≤x≤4，则 a＋b 的值为
( C)
A．5 B．8 C．11 D．9
14．对非负实数 x“四舍五入”到个位的值记为(x)，即当 n 为非负整数
时，若 n－0.5≤x＜n＋0.5，则(x)＝n.如(1.34)＝1，(4.86)＝5，若(0.5x
－1)＝6，则实数 x 的取值范围是 113≤3≤x＜x＜15. 15
3．若关于 x 的不等式(m－1)x＜m－1 的解集为 x＞1，则 m 的取值范围是 ( B)
A．m＞1 B．m＜1 C．m≠1 D．m＝1
x＋2y＝4k， 4．已知2x＋y＝2k＋1的解满足 y－x＜1，则 k 的取值范围是
1 A．k＞1 B．k＜－2
C．k＞0 D．k＜1
( D)
x＋a≥0， 5．若不等式组5－3x＞x－3有解，则 a 的取值范围是 A．a≤－2 B．a≥－2
数解，则实数 a 的取值范围是
( C)
A．7＜a＜8 B．7＜a≤8
C．7≤a＜8 D．7≤a≤8
2x＋y＝3， 8．★若 m 使得关于 x，y 的二元一次方程组mx－2y＝7 有解，且使关于
x 的一元一次不等式组x－2 1－2x≤1，有且仅有 3 个整数解，那么所有满
4x＋m≤2
足条件的整数 m 的值之和是
x＋2y＝3m＋1， 12．(2020·铜仁模拟)已知关于 x，y 的二元一次方程组3x－y＝2m＋3，且 x，y 满足 x＋y＞3，则 m 的取值范围是 mm＞＞11.

高考数学复习选填题专项练习22---比较大小(解析版)

高考数学复习选填题专项练习22---比较大小第I 卷（选择题)一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（2020·福建高三期末）若0,a b c R >>∈，则（）A ．ac bc >B ．32a bC ．2233a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．22log log a b >【答案】D 【解析】【分析】取特殊值排除AB 选项，根据指数函数以及对数函数的单调性判断CD 选项. 【详解】当1c =-时，a b ac bc >⇒<，故A 错误；当3,1a b ==时，3212a b=<=，故B 错误；由于函数23xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，a b >，则2233ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 错误；由于函数2log yx =在0,上单调递增，0a b >>则22log log a b >，故D 正确；故选：D【点睛】本题主要考查了根据所给条件判断不等式是否成立以及利用函数单调性比较大小，属于基础题.2．（2020·江西省南城一中高三期末）三个数0.20.40.44,3,log 0.5的大小顺序是（）A ．0.40.20.43<4log 0.5<B ．0.40.20.43<log 0.5<4C ．0.40.20.4log 0.534<<D ．0.20.40.4log 0.543<<【答案】D【解析】由题意得，120.20.4550.40log0.514433<<<==<== D.3．（2020·重庆高三）己知命题:0p x ∀>，lg ln x x <，:0q x ∃>，2x <则下列命题中真命题是（） A ．p q ∧ B ．()p q ∧⌝C ．p q ∨D ．()p q ∨⌝【答案】C 【解析】【分析】分别判断命题,p q 的真假再利用或且非的关系逐个选项判断即可. 【详解】易得当1x =时, lg ln x x =,故p 为假命题.当14x =时, 2x <.故q 为真命题.故p q ∨为真命题.故选：C【点睛】本题主要考查了命题真假的判断,属于基础题型. 4．（2020·钦州市第三中学高三月考）设sin6a π=，2log 3b =，2314c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则( )A ．a c b <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．c b a <<【答案】B 【解析】【分析】利用相关知识分析各值的范围，即可比较大小.【详解】1sin 62a π==,21log 32b <=<,12343111421202c ⎛⎫=<= ⎛⎫⎛⎫<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭,c a b ∴<<,故选：B 【点睛】本题主要考查了指数函数的单调性，对数函数的单调性，属于中档题. 5．（2020·福建高三）已知log e a π=，lneb π=，2e lnc π=，则（）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．b a c <<D ．c b a <<【答案】B 【解析】【分析】因为1b c +=，分别与中间量12做比较，作差法得到12b c <<，再由211log e log e 22a ππ==>，最后利用作差法比较a 、c 的大小即可.【详解】因为1b c +=，分别与中间量12做比较，2223111ln ln e ln 022e 2e b ππ⎛⎫-=-=< ⎪⎝⎭，432211e 1e ln ln e ln 0222c ππ⎛⎫-=-=> ⎪⎝⎭，则12b c <<，211log e log e 22a ππ==>，()112ln ln 20ln ln a c ππππ-=--=+->，所以b c a <<，故选：B . 【点睛】本题考查作差法比较大小，对数的运算及对数的性质的应用，属于中档题.6．（2020·天津二十五中高三月考）已知13313711log ,(),log 245a b c ===，则,,a b c 的大小关系为A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>【答案】D 【解析】【详解】分析：由题意结合对数的性质，对数函数的单调性和指数的性质整理计算即可确定a ,b ,c 的大小关系.详解：由题意可知：3337392log log log <<，即12a <<，13111044⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，即01b <<， 133317552log log log =>，即c a >，综上可得：c a b >>.本题选择D 选项. 点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．7．（2020·榆林市第二中学高三月考）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥，3()3f x x x =+，则32(2)a f =,31(log )27b f =，c f =的大小关系为（） A ．a b c >> B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>【答案】C 【解析】【分析】利用导数判断3()3f x x x =+在[0,)+∞上单调递增，再根据自变量的大小得到函数值的大小.【详解】函数()f x 是定义在R 上的偶函数，31(log )(3)(3)27b f f f ∴==-=，320223<<=，当0x ≥，'2()330f x x =+>恒成立，∴3()3f x x x =+在[0,)+∞上单调递增，3231(log )(2)27f f f ∴>>，即b a c >>.故选：C.【点睛】本题考查利用函数的性质比较数的大小，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意将自变量化到同一个单调区间中.8．（2020·内蒙古高三期末）已知π为圆周率，e 为自然对数的底数，则A ．e π＜3eB ．π23e －＜32e π－C ．log e π＞3log eD ．π3log e ＞3log e π【答案】D 【解析】【分析】利用指数函数与对数函数的单调性、不等式的性质即可得出．【详解】对于A ：函数y=x e 是（0，+∞）上的增函数，A 错；对于B ：π3e ﹣2＜3πe ﹣2⇔3e ﹣3＜πe ﹣3，而函数 y=x e ﹣3是（0，+∞）上的减函数，B 错；对于C ：31133e e e e log e log e log log log log πππ⇔⇔＞＞＜，而函数y=log e x 是（0，+∞）上的增函数，C 错，对于D ：33333333e e e e log e log e log log log log ππππππππ⇔⇔⇔＞＞＞＞，D 正确；故答案为：D ．【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 9．（2020·天津静海一中高三学业考试）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(],0-∞上是增函数.设()8log 0.2a f =，()0.3log 4b f =，()1.12c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．c b a <<B ．a b c <<C ．a c b <<D ．c a b <<【答案】A 【解析】【分析】利用偶函数的对称性分析函数的单调性，利用指数函数、对数函数的单调性比较出 1.180.3log 0.2log 42、、的大小关系从而比较函数值的大小关系.【详解】由题意可知()f x 在(],0-∞上是增函数，在0,上是减函数.因为0.30.30.3100102log log 4log 193-=<<=-，3881log 0.125log 0.2log 10-=<<=， 1.122>，所以 1.180.3log 0.2log 42<<，故c b a <<.故选：A【点睛】本题考查函数的性质，利用函数的奇偶性及对称性判断函数值的大小关系，涉及指数函数、对数函数的单调性，属于基础题.10.（2020·湖南高三期末）已知 3x >，且357log log log ==x y z ，则下列不等式关系中正确的是（）A ．357<<x y zB ．753<<z y xC ．735<<z x yD ．537<<y x z【答案】B 【解析】【分析】令357log log log x y z k ===，求得1313k x -=，1515k y -=，1717k z -=，再根据幂函数的单调性即可得出结论．【详解】令357log log log x y z k ===()1k >，∴3k x =，5ky =，7k z =，∴133133k k x -==，155155k k y -==，177177k k z -==，∵3x >，∴1k >，∴10k ->，∴幂函数1k y x -=在()0,∞+上单调递增，∴1110357k k k ---<<<，∴111111753k k k ---<<，即753<<z y x ，故选：B ．【点睛】本题主要考查指数式与对数式的互化，考查根据幂函数的单调性比较大小，属于中档题．11．（2020·福建高三月考）函数()f x 的定义域为R ，其导函数为()f x '，()01f x x '>+，且(1)=-y f x 为偶函数，则（）A ．(2)(1)f f -<B ．(2)(1)f f -=C ．(2)(1)f f ->D ．|(2)||(1)|f f ->【答案】A 【解析】【分析】根据()01f x x '>+以及(1)=-y f x 为偶函数判断出函数()f x 的单调性和对称性，由此判断出()2f -和()1f 的大小关系.【详解】由于(1)=-y f x 为偶函数，所以函数()f x 关于1x =-对称.由于()01f x x '>+，所以当1,10x x <-+<时()'0f x <，()f x 递减，当1,10x x >-+>时，()'0f x >，()f x 递增.所以(2)(1)f f -<.故选：A【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查函数的奇偶性，考查函数的图像变换，考查函数的对称性，属于中档题.12．（2020·福建高三月考）已知25log 5log 2a =+，25log 5log 2b =⋅，25log 5log 2c =，则（） A ．b a c << B ．a b c <<C ．b c a <<D ． c b a <<【答案】A 【解析】【分析】根据2225552log log 5log 83,0log log 24log 511=<<==<=<，得24a <<，25221log 5log 2log 51log 5b =⋅=⋅=，()()222225log 5log 5log 44log 2c ==>=，再比较. 【详解】因为2225552log log 5log 83,0log log 24log 511=<<==<=<，所以252log 5log 24<+<，所以24a <<，又因为25221log 5log 2log 51log 5b =⋅=⋅=，()()222225log 5log 5log 44log 2c ==>=，所以b a c <<.故选：A 【点睛】本题主要考查对数的换底公式和对数比较大小，还考查了运算求解的能力，属于中档题.13．（2020·江西省南城一中高三期末）若23a ⎛= ⎪⎝⎭，log 3b π=，2log ec π=，则a 、b 、c 的大小关系为（）A ．c a b >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．b a c >>【答案】D 【解析】【分析】利用指数函数与对数函数比较a 、b 、c 三个数与0和23的大小关系，进而可得出这三个数的大小关系. 【详解】指数函数23xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭为R上的减函数，则22033⎛<<⎪⎝⎭，即023a <<；对数函数log y x π=为()0,∞+上的增函数，()322333ππ⎡⎤=<⎢⎥⎣⎦，233π∴<，所以，232log log 33πππ=<，即23b >；对数函数2log y x =为()0,∞+上的增函数，则22log log 10ec π=<=.因此，b a c >>.故选：D.【点睛】本题考查指数式和对数式的大小比较，一般利用指数函数、对数函数的单调性结合中间值法来得出各数的大小关系，考查推理能力，属于基础题.14．（2020·山西高三月考）若()10,,2nm m n a b e e c >>==+=，则（）A ．b a c >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．b c a >>【答案】A 【解析】【分析】由基本不等式得出2m nm n ++>>，再根据函数的单调性即可比较大小．【详解】当0m n >>时，2m n m n ++>>，且xy e =是定义域R 上的单调增函数，2m n a e+==,所以2m ne+>a c >；又22m n m n e e e++>=，所以21()2m nm ne e e ++>，即b a >；所以b a c >>．故选：A ．【点睛】本题主要考查了根据基本不等式和函数的单调性比较大小的问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．15．（2020·广西师大附属外国语学校高三）已知函数()1y f x =+是偶函数，且函数()y f x =在区间[)1,∞+上是增函数，则下列大小关系中正确的是（）A ．()211log 323f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()211log 323f f f ⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C ．()211log 332f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()211log 332f f f ⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】根据函数()1y f x =+是偶函数，关于x ＝0对称，则()y f x =的图象关于直线x =1对称，结合单调性比较大小.【详解】函数()1y f x =+是偶函数，关于x ＝0对称，()y f x =的图象关于直线x =1对称，且在区间[)1,∞+上是增函数，则在(0，1)上为减函数，1123>，2211322303327log log --=>， ()22119230228log log --=>，所以()2211112332323log f f log f ⎛⎫⎛⎫>-><< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：D 【点睛】此题考查函数奇偶性的辨析，根据对称性和单调性比较函数值的大小关系，关键在于准确识别函数的单调区间.16．（2020·山西高三月考）已知()f x 是定义在(0,)+∞上的可导函数，满足(1)1f =，2()()xf x f x x '-<，则不等式①(2)2f <，②(2)4f <，③1122⎛⎫> ⎪⎝⎭f ，④1124f ⎛⎫< ⎪⎝⎭中一定成立的个数为（） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】A 【解析】【分析】根据题意构造函数()()f x g x x=-x ，并判断其在（0，+∞）上单调递减，然后分别算出g （1）、g （2）和g （12），并利用单调性比较大小，即可判断每个选项．【详解】令()()f x g x x=-x ，则()()()2''xf x f x g x x -=-1()()22'xf x f x x x --=，∵xf '（x ）﹣f （x ）＜x 2，∴g '（x ）＜0在（0，+∞）上恒成立，即g （x ）在（0，+∞）上单调递减， ∵f （1）＝1，∴()()1111101f g =-=-=，对于()()()222102f g g =-=＜，即f （2）＜4，∴①错误，②正确；对于()1112101222f g g ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭=-= ⎪⎝⎭＞，即1124f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＞，∴③和④均错误；因此一定成立的只有②，故选：A ．【点睛】本题主要考查导数的综合应用，构造新函数是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．。

2023高考数学复习专项训练《面面垂直的判定》(含解析)

2023高考数学复习专项训练《面面垂直的判定》一、单选题（本大题共12小题，共60分）1.（5分）已知A={ x|3a−1<x<2a+3}，B={ x|x2−x−2⩽0}，A⊆B，则a的取值范围为()A. { a|a⩽−12} B. { a|a⩽12或a⩾0}C. { a|a⩾4}D. { a|a⩽0或a⩾4}2.（5分）定义：设函数f(x)的定义域为D，如果[m,n]⊆D，使得f(x)在[m,n]上的值域为[m,n]，则称函数f(x)在[m,n]上为“等域函数”，若定义域为[1e,e2]的函数g(x)= c x(c>0,c≠1)在其定义域的某个区间上为“等域函数”，则实数c的取值范围为()A. [2e2,1e) B. [2e2,1e]C. [e2e2,e1e] D. [e2e2,e1e)3.（5分）设x、y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”.（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件4.（5分）命题p：关于x的不等式ax2+ax−x−1<0的解集为(−∞,−1)∪(1a,+∞)的一个充分不必要条件是().A、a⩽−1B、a>0C、−2<a<0D、a<−2A. a⩽−1B. a>0C. −2<a<0D. a<−25.（5分）函数y=loga (2x−3)+√22(a>0且a≠1)的图像恒过定点P，且点P在幂函数f(x)的图像上，则f(4)=()A. 2B. 12C. 14D. 166.（5分）设ab>0，下面四个不等式：①|a+b|>|a|；②|a+b|<|b|；③|a+b|<|a−b|；④|a+b|>|a|−|b|；正确的是()A. ①和②B. ①和③C. ①和④D. ②和④7.（5分）已知ΔABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b 2+c 2<a 2，且cos 2A −3sin A +1=0，则sin (C −A)+√32cos (2A −B)的取值范围为 ( )A. (−12,−√34) B. (−12,−√34] C. [0,√34] D. (−23,−12) 8.（5分）函数y =x 2+ln |x|的图象大致为( )A. B.C.D.9.（5分）已知函数f(x)=x 1−|x|(x ∈D)，有下列四个结论：①对任意x ∈D ，f(−x)+f(x)=0恒成立；②对任意m ∈(0,1)，方程|f(x)|=m 有两个不相等的实数根； ③存在函数g(x)使得g(x)的图象与f(x)的图象关于直线y =x 对称； ④对任意k ∈(1,+∞)，函数g(x)=f(x)−kx 在D 上有三个零点．则上述结论中正确的个数为()A. 1B. 2C. 3D. 410.（5分）已知函数f (x )的定义域为R ，f (x +2)为偶函数，f (2x +1)为奇函数，则( )A. f (−12)=0B. f (−1)=0C. f (2)=0D. f (4)=011.（5分）已知定义在R 上的奇函数f(x)，且当x ∈[0,+∞)时，f(x)单调递增，则不等式f(2x +1)+f(1)⩾0的解集是()A. (−∞,1)B. (−1,+∞)C. [−1,+∞)D. (−∞,1]12.（5分）已知集合A ={x|1<x <3}，集合B ={x|log 2(x +1)⩽2}，则A ∪B =()A 、{x|1<x <3}B 、{x|x ⩽3}C 、{x|−1<x <3}D 、{x|1−<x ⩽3} A. {x|1<x <3} B. {x|x ⩽3} C. {x|−1<x <3}D. {x|1−<x ⩽3}二、填空题（本大题共5小题，共25分）13.（5分）函数f(x)=x−1x中，若f（x）=0，则x=__________.14.（5分）某班有36名同学参加数学、物理、化学竞赛小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则只参加物理小组的有__________人，同时参加数学和化学小组的有__________人．15.（5分）写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x)： ______ .①f(x1x2)=f(x1)f(x2)；②当x∈(0,+∞)时，f′(x)>0；③f′(x)是奇函数.16.（5分）已知函数f(x)满足以下条件：①在R上单调递增；②对任意x1，x2，均有f(x1)⋅f(x2)=4f(x1+x2)，则f(x)的一个解析式为 ______.17.（5分）已知等式sin230°+sin230°+sin30°⋅sin30°=34sin220°+sin240°+sin20°⋅sin40°=34sin210°+sin250°+sin10°⋅sin50°=34请你写出一个具有一般性的等式，使你写出的等式包含了已知的等式，这个等式是______.三、解答题（本大题共6小题，共72分）18.（12分）已知集合A={x|1⩽x−1⩽4}，B={x|−2<x⩽3}，C={x|2a−1< x<2a+1}.(1)若x∈C是“x∈A”的充分条件，求实数a的取值范围；(2)若(A∩B)⊆C，求实数a的取值范围．19.（12分）已知函数f(x)=√3sinx+mcosx(m∈R).(Ⅰ)若m=1，求f(π12)的值；(Ⅰ)若m=√6，且f(x)=0，求tan2x.20.（12分）立德中学高一年级共有200名学生报名参加学校团委与学生会组织的社团组织．据统计，参加艺术社团组织的学生有103人，参加体育社团组织的学生有120人(并非每个学生必须参加某个社团).求在高一年级的报名学生中，同时参加这2个社团的最多有多少人？最少有多少人？21.（12分）已知sin(α−β)=12，sin(α+β)=13.(1)证明：tanα+5tanβ=0；(2)计算：tan(α−β)−tanα+tanβtan2α·tan(α−β)的值．22.（12分）在①两个相邻对称中心的距离为π2，②两条相邻对称轴的距离为π2，③两个相邻最高点的距离为，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并对其求解．问题：函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π2)的图象过点(0,12)，且满足________，当α∈(0,π2)时，f(α2)=−√22，求sinα的值．23.（12分）已知函数f(x)=ax−2b x 2+1是定义在[−1,1]上的奇函数，且f(1)=1.(1)求a ，b 的值；(2)判断函数f(x)的单调性并用定义加以证明；(3)求使f(m −1)+f(2m −1)<0成立的实数m 的取值范围．四、多选题（本大题共5小题，共25分） 24.（5分）下列说法正确的是()A. “a >1”是“1a <1”的充分不必要条件B. 命题“∀x >1，x 2<1”的否定是“∃x <1，x 2⩾1”C. “x >1”是“(x −1)(x +2)>0”的必要条件D. 设a ，b ∈R ，则“a ≠0”是“ab ≠0”的必要不充分条件 25.（5分）设a >1，b >1且ab −(a +b)=1，那么( )A. a +b 有最小值2+2√2B. a +b 有最大值2+2√2C. ab 有最小值3+2√2D. ab 有最大值1+√226.（5分）已知x ，y ∈R ，x >0，y >0，且x +2y =1.则下列选项正确的是()A. 1x +1y 的最小值为4√2 B. x 2+y 2的最小值为15 C.x−2y x 2+y 2>1D. 2x+1+4y ⩾427.（5分）已知M 、N 均为实数集R 的子集，且N ∩∁R M =∅，则下列结论中正确的是( )A. M ∩∁R N =∅B. M ∪∁R N =RC. ∁R M ∪∁R N =∁R MD. ∁R M ∩∁R N =∁R M28.（5分）已知函数f(x)=2cos (ωx +ϕ)(ω>0,|ϕ|<π2)的图象上，对称中心与对称轴x =π12的最小距离为π4，则下列结论正确的是( )A. f (x )+f (5π6−x)=0 B. 当x ∈[π6,π2]时，f (x )⩾−√3C. 若g(x)=2cos2x ，则g (x −π6)=f (x )D. 若sin 4α−cos 4α=−45，α∈(0,π2)，则f (α+π4)的值为4−3√35答案和解析1.【答案】C;【解析】解：由题意知B ={ x |−1⩽x ⩽2}， (1)A =∅时，3a −1⩾2a +3，解得a ⩾4，满足题意；(2)A ≠∅时，a <4，由A ⊆B ，即有{2a +3⩽2，解得{a ⩽−12，可得a ∈∅；综上，a ⩾4. 故选：C.分别讨论A 是否为空集，结合集合的关系，可得a 的不等式组，解不等式可得所求范围．此题主要考查集合关系中的含参问题，注意对集合A 分空集和不是空集2种情况进行讨论，属于较易问题．2.【答案】D;【解析】解：由题意得，函数g(x)的图象与直线y =x 在[1e ,e 2]上有两个交点，即方程c x =x 在[1e,e 2]上有两个不等实根，即lnc =lnx x在[1e ,e 2]上有两个不等实根．设函数ℎ(x)=lnx x(1e⩽x ⩽e 2)，ℎ′(x)=1−lnx x 2，当1e⩽x <e 时，ℎ′(x)>0，函数ℎ(x)单调递增；当e <x ⩽e 2时，ℎ′(x)<0，函数ℎ(x)单调递减．所以ℎ(x)在x =e 处取得极大值，也是最大值，为ℎ(e)=1e .又ℎ(1e )=−e,ℎ(e 2)=2e 2，故2e 2⩽lnc <1e ，解得e 2e 2⩽c <e 1e.故选：D.由题意可得函数g(x)的图象与直线y =x 在[1e ,e 2]上有两个交点，即lnc =lnx x在[1e ,e 2]上有两个不等实根．构造函数，通过导数求函数的最值与区间端点值，数形结合求解即可．此题主要考查了导数的新定义问题，考查转化思想，属于中档题．3.【答案】A; 【解析】略4.【答案】null; 【解析】此题主要考查了一元二次不等式的解法，充分必要条件的应用，属于中档题. 先根据命题p 成立的充要条件，求出a 的取值范围，然后根据充分不必要条件的定义结合各选项可得答案.解：由题意命题p 即(ax −1)(x +1)<0的解集为(−∞,−1)∪(1a ,+∞)，即充要条件为{a <0−1⩽1a ，解得a ⩽−1，因为(−∞,−2)⫋(−∞,−1]所以a <−2是a ⩽−1的一个充分不必要条件，故选D.5.【答案】B; 【解析】此题主要考查了对数的恒过定点问题以及幂函数的解析式和求值，属于基础题.将定点代入幂函数解析式，可得a ，进而可求f(4).解：可知函数y =log a (2x −3)+√22(a >0且a ≠1)的图象恒过定点P(2,√22)，令幂函数为f(x)=x a ，代入P 点坐标，可得√22=2a ，则a =−12， f(x)=x −12，则f(4)=4−12=12.故选B.6.【答案】C;【解析】此题主要考查了不等式与绝对值不等式，根据ab >0，逐项判断即可得到答案.解：∵ab >0，∴a 、b 同号，∴ |a +b|>|a|，|a +b|=|a|+|b|，∴①④正确，故选C.7.【答案】A; 【解析】此题主要考查了二倍角公式，解三角形，以及三角恒等变换等内容，需要学生熟练掌握并巧妙变换．由题意，利用二倍角公式将cos2A −3sin A +1=0化成关于sin A 的一元二次方程，解出sin A 的值，利用cos A <0求出A 的取值；将A 的值和B =π−A −C 代入并化简，可以得到关于C 的三角函数，利用三角函数单调性求出值域，即所求．解：因为cos2A −3sin A +1=0，所以1−2sin2A −3sin A +1=0，所以sin A =12或−2(舍)，又因为cos A <0，所以A =5π6，所以sin (C −A)+√32cos (2A −B)=sin (C −5π6)+√32cos [2×−(π−5π6−C)]=sin (C −5π6)+√32sin C =−12cos C ，又因为C ∈(0,π6)，所以cos C ∈(√32,1)，所以−12cos C ∈(−12,−√34) .故选A.8.【答案】A;【解析】此题主要考查了函数图象的识别，关键是掌握函数的奇偶性和函数的单调性和函数值的变化趋势，属于基础题．先求出函数为偶函数，再根据函数值的变化趋势或函数的单调性即可判断．解：∵f(−x)=x 2+ln |x|=f(x)， ∴y =f(x)为偶函数，∴y =f(x)的图象关于y 轴对称，故排除B ，C ，当x >0时，y =x 2+ln x 为增函数，故排除D. 故选A .9.【答案】C;【解析】解：①函数的定义域是{x|x ≠±1},f(−x)+f(x)=−x 1−|−x|+x 1−|x|=0，故①正确；②y =|f(x)|=|x1−|x||={x x−1,x >1x 1−x ,0<x <1−x1+x,−1<x <0−x x+1,x <−1，函数的图象如图所示：y =m 与函数图象有2个交点，故②正确；③设函数g(x)上的任一点为P(x,y)关于y =x 的对称点为(y,x)在函数f(x)上，则x =y 1−|y|，当y >0时，y =xx+1，当y ⩽0时，y =x 1−x，当x =2时，y =23或y =−2，存在一个x 对着两个y 的值，所以不存在函数g(x)使得g(x)的图象与f(x)的图象关于直线v =x 对称，故③不正确； ④x1−|x|−kx =0，当x =0时，满足方程，所以方程的一个实数根是x =0，当x ≠0时，k =11−|x|,|x|=1−1k ，当k >1时，1−1k >0,x =±(1−1k )，)，所以函数有3个零所以满足方程g(x)=f(x)−kx=0的有三个实数根据0,±(1−1k点，故④正确．故正确的个数有3个．故选：C.①根据解析式计算f(−x)+f(x)=0；②画出函数y=|f(x)|的图象，由图象的交点个数判断实数根的个数；③假设存在函数g(x)满足条件，再根据函数的定义，判断选项；④根据f(x)−kx=0，求方程的实数根的个数，再判断定义域上的零点个数．此题主要考查函数的图象和性质，零点，重点考查数形结合分析问题的能力，推理能力，属于中档题型．10.【答案】B;【解析】本题是对函数奇偶性和周期性的综合考查，属于拔高题.推导出函数f(x)是以4为周期的周期函数，由已知条件得出f(1)=0，结合已知条件可得出结论.解：因为函数f(x+2)为偶函数，则f(2+x)=f(2−x)，可得f(x+3)=f(1−x)，因为函数f(2x+1)为奇函数，则f(1−2x)=−f(2x+1)，所以，f(1−x)=−f(x+1)，所以，f(x+3)=−f(x+1)=f(x−1)，即f(x)=f(x+4)，故函数f(x)是以4为周期的周期函数，因为函数F(x)=f(2x+1)为奇函数，则F(0)=f(1)=0，故f(−1)=−f(1)=0，其它三个选项未知.故选B.11.【答案】C;【解析】此题主要考查综合运用函数的单调性与奇偶性解不等式，属于中档题.解：因为函数在[0,+∞)上是增函数，且函数是奇函数，所以函数在(−∞,0)上是增函数，函数在x=0处连续，所以函数在R上是增函数，又f(−1)=−f(1)，所以不等式可化为f(2x+1)⩾−f(1)=f(−1)，所以2x+1⩾−1，解得x⩾−1，即不等式的解集为[−1,+∞).故选C.12.【答案】null;【解析】解：集合A={x|1<x<3}，集合B={x|log2(x+1)⩽2}={x|−1<x⩽3}，则A∪B={x|−1<x⩽3}.故选：D.求出集合A，集合B，利用并集定义能求出A∪B.此题主要考查集合的运算，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．13.【答案】1或-1;【解析】略14.【答案】5;8;【解析】此题主要考查运用集合间的关系确定元素个数问题以及venn图的运用，属于基础题．把集合间的关系利用方程表示出来，再解方程即可．解：由条件知，每名同学至多参加两个小组，故不可能出现一名同学同时参加数学、物理、化学小组，因为参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，所以只参加物理的有15−6−4=5人．设同时参加数学和化学小组的人数有x人，则只参加数学的有26−6−x=20−x，只参加化学的有13−4−x=9−x.又总人数为36人，即20−x+x+6+4+5+9−x=36，所以44−x=36，解得x=8.即同时参加数学和化学小组的人数有8人，15.【答案】f(x)=x2;【解析】此题主要考查了幂函数的求导公式，奇函数的定义及判断，考查了计算能力，属于基础题．函数f(x)=x 2，f(x 1x 2)=(x 1x 2)2=x 12x 22=f(x 1)f(x 2)满足①，求出导函数，可判断满足②③．解：f(x)=x 2时，f(x 1x 2)=(x 1x 2)2=x 12x 22=f(x 1)f(x 2)；当x ∈(0,+∞)时，f′(x)=2x >0；f′(x)=2x 是奇函数．故答案为：f(x)=x 2.16.【答案】f （x ）=2x+2;【解析】解：因为函数f(x)满足对任意x 1，x 2，均有f(x 1)⋅f(x 2)=4f(x 1+x 2)，故考虑基本初等函数中的指数函数，又f(x)在R 上单调递增，则指数函数的底数大于1，所以f(x)的一个解析式为f(x)=2x+2. 故答案为：f(x)=2x+2.由条件②，考虑为基本初等函数中的指数函数，再利用单调性，即可得到答案．此题主要考查了基本初等函数性质的理解与应用，指数函数性质的理解与应用，考查了逻辑推理能力，属于基础题．17.【答案】si n 2α+si n 2（60°-α）+sinα•sin （60°-α）=34;【解析】解：等式的右边为常数34，等式左边的两个角之和为60°，故由归纳推理可知，满足条件的一个结论可以是：sin 2α+sin 2(60°−α)+sinα⋅sin(60°−α)=34.故答案为：sin 2α+sin 2(60°−α)+sinα⋅sin(60°−α)=34.根据两个等式的特点，确定角和角之间的关系，然后利用归纳推理归纳出结论．此题主要考查归纳推理的应用，根据归纳推理，先从条件中确定等式的规律是解决此类问题的基本思路，属于基础题．18.【答案】解：（1）集合A={x|1≤x -1≤4}={x|2≤x≤5}，C={x|2a-1＜x ＜2a+1}， ∵x ∈C 是“x ∈A”的充分条件，∴{2a +1≤52a −1≥2，解得32≤a ≤2， ∴实数a 的取值范围是[32，2]；（2）∵集合A={x|1≤x -1≤4}={x|2≤x≤5}，B={x|-2＜x≤3}，C={x|2a-1＜x ＜2a+1}， ∴A∩B={x|2≤x≤3}，（A∩B ）⊆C ，∴{2a −1<22a +1>3，解得1＜a ＜32， ∴实数a 的取值范围是（1，32）．;【解析】(1)求出集合A ，利用x ∈C 是“x ∈A ”的充分条件，列出不等式组，由此能求出实数a 的取值范围；(2)利用交集定义求出A ∩B ，利用(A ∩B)⊆C ，列出不等式组，由此能求出实数a 的取值范围．此题主要考查集合的运算，考查充分条件、子集、交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19.【答案】解：（Ⅰ）若m=1，则函数f （x ）=√3sinx+cosx=2sin （x+π6）， ∴f （π12）=2sin π4=√2．（Ⅱ）∵m=√6，f （x ）=√3sinx+√6cosx=0， ∴√3sinx-=-√6cosx ，∴tanx=-√2， ∴tan2x=2tanx 1−tan 2x =2√2．;【解析】(Ⅰ)由题意，利用两角和差的三角公式化简函数f(x)的解析式，从而得到f(π12)的值．(Ⅰ)先由题意求得tanx 的值，再利用二倍角的正切公式，计算tan2x 的值．此题主要考查两角和差的三角公式，二倍角的正切公式，属于基础题．20.【答案】解：由题意：当艺术社团组织的103名学生都参加体育社团组织时，同时参加这2个社团的学生最多，且有103人；当每个学生都参加某个社团时，同时参加这2个社团的学生最少，且有103+120-200=23人，所以同时参加这2个社团的最多有103名学生，最少有23名学生．; 【解析】由题可知当艺术社团组织的学生都参加体育社团组织时，同时参加这2个社团的人数最多，当每个学生都参加某个社团时，同时参加这2个社团的学生最少．此题主要考查集合的应用，考查运算求解能力，属于基础题．21.【答案】解：（1）证明：由条件sin(α−β)=12，sin(α+β)=13，即sinαcosβ−cosαsinβ=12，sinαcosβ+cosαsinβ=13，解得sinαcosβ=512，cosαsinβ=−112，可得tanαtanβ=-5，从而可得tanα=-5tanβ，tanα+5tanβ=0得证．（2）由tan(α−β)=tanα−tanβ1+tanαtanβ，可得tanα-tanβ=tan （α-β）（1+tanαtanβ），∴原式=tan(α−β)−tanα+tanβtan 2αtan(α−β)=tan(α−β)−tan(α−β)(1+tanαtanβ)tan 2αtan(α−β)=−tan(α−β)·tanαtanβtan 2αtan(α−β)=−tanβtanα=15．;【解析】(1)由题意，把所给条件利用两角和差的三角公式展开，化简可得结论． (2)由题意，把两角差的正切公式展开变形，代入要求的式子化简，可得结论．此题主要考查两角和差的三角公式的应用，同角三角函数的基本关系，属于中档题．22.【答案】解：由函数f(x)=cos(ωx +φ)的图象过点(0,12)，得f(0)=cosφ=12，又因为0<φ<π2，所以φ=π3，在①②③三个条件中任选一个，可知最小正周期T =π，根据T =2π|ω|，得ω=2，所以f(x)=cos(2x +π3)，由f(α2)=−√22，得cos(α+π3)=−√22，由α∈(0,π2)，得α+π3∈(π3,5π6)，所以sin(α+π3)=√1−cos 2(α+π3)=√22， sinα=sin[(α+π3)−π3]=sin(α+π3)cos π3−cos(α+π3)sin π3 =√22×12−(−√22)×√32=√2+√64. ;【解析】此题主要考查三角恒等变换和三角函数的图象和性质，属于中档题. 先由f(0)=12求出φ，由三个条件中任选一个，可知最小正周期T =π，得ω=2，求出f(x) ，结合条件以及同角三角函数关系求得sin(α+π3)，再利用两角差的正弦公式即可求解.23.【答案】null; 【解析】(1)由奇函数的性质可得f(0)=0，可求得b 的值，再由f(1)=1可求得a 的值，从而可得a ，b 的值；(2)f(x)在[−1,1]上是增函数，利用增函数的定义即可证明；(3)根据函数的奇偶性与单调性将不等式转化为关于m 的一次不等式，求解即可．此题主要考查函数奇偶性与单调性的综合，考查不等式的解法，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．24.【答案】AD;【解析】解：对于A ：当“a >1”时“1a <1”成立，反之不成立，故“a >1”是“1a <1”的充分不必要条件，故A 正确；对于B ：命题“任意x >1，都有x 2<1”的否定是“存在x >1，使得x 2⩾1”故B 不正确；对于C ：x >1，则(x −1)(x +2)>0，但由(x −1)(x +2)>0，不能推出x >1，故“x >1”是“(x −1)(x +2)>0”的充分不必要条件，故C 不正确；对于D ：设a ，b ∈R ，则“a ≠0”推不出“ab ≠0”，由“ab ≠0”能够推出“a ≠0”，故“a ≠0”是“ab ≠0”的必要不充分条件，故D 正确．故选：AD.直接利用充分条件和必要条件，命题的否定，简易逻辑中的相关知识的应用判断A 、B 、C 、D 的结论此题主要考查的知识要点：充分条件和必要条件，命题的否定，简易逻辑，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．25.【答案】AC;【解析】解：∵a >1，b >1， ∴ab =1+(a +b)⩽(a+b 2)2(当且仅当a =b >1时，取等号)，即(a +b)2−4(a +b)−4⩾0且a +b >2， ∴a +b ⩾2+2√2，∴a +b 有最小值2+2√2，即选项A 正确，B 错误；由ab −(a +b)=1，得ab −1=a +b ⩾2√ab (当且仅当a =b >1时，取等号)，即ab −2√ab −1⩾0且ab>1， ∴ab ⩾3+2√2，∴ab 有最小值3+2√2，即选项C 正确，D 错误．故选：AC ．由(a +b)⩽(a+b 2)2，可推出a +b 的最小值；由a +b ⩾2√ab ，可推出ab 的最小值．该题考查基本不等式的应用，熟练掌握基本不等式的各种变形是解答该题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．26.【答案】BD;【解析】解：对于A ：已知x ，y ∈R ，x >0，y >0，且x +2y =1，所以1x +1y =x+2y x+x+2y y=1+3+2y x+xy ⩾4+2√2，当且仅当x 2=2y 2等号成立，故A 错误；对于B ：x 2+y 2=(1−2y)2+y 2=5y 2−4y +1=5(y −25)2+15，当y =25时，最小值为15；故B 正确；对于C ：当x =12，y =14时，x−2yx 2+y 2>1不成立，故C 错误；对于D ：2x+1+4y =2x+1+22y ⩾2√2x+2y+1=4，当且仅当y =12时，等号成立，故D正确．故选：BD.直接利用不等式的性质和基本不等式的应用判断A、B、C、D的结论．此题主要考查的知识要点：不等式的性质，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．27.【答案】BD;【解析】解：因为N∩∁R M=∅，所以N⊆M，所以M∩∁R N≠∅，选项A错误；M∪∁R N=R，选项B正确；∁R M∪∁R N=∁R N，选项C错误；∁R M∩∁R N=∁R M，选项D正确．故选：BD.根据题意知N⊆M，利用交集、并集和补集的定义，判断正误即可．此题主要考查了集合的定义与运算问题，也考查了推理与判断能力，是基础题．28.【答案】BD;【解析】此题主要考查了余弦函数的图象及性质，同角三角函数关系及两角差的余弦公式，属于中档题.根据对称中心与对称轴的最小距离求出周期T，得到ω=2，再根据对称轴方程求出ϕ=−π6，再根据余弦函数的图象及性质对四个选项一一判断即可，选项D先利用同角三角函数关系及二倍角公式化简，再求出f(α+π4).解：由题有T=π，则ω=2，又由对称轴x=π12可得，2×π12+ϕ=kπ，k∈Z，又|ϕ|<π2，则ϕ=−π6，故f(x)=2cos(2x−π6)，对于A，因为f(x)+f(5π6−x)=2cos(2x−π6)+2cos(53π−2x−π6)=2cos(2x−π6)−2sin2x=2cos2x cosπ6+2sin2x sinπ6−2sin2x=√3cos2x−sin2x则f(x)+f(5π6−x)=0错误，故A选项不正确.对于B，x∈[π6,π2]，则2x−π6∈[π6,5π6]，则f(x)∈[−√3,√3]，故B选项正确；对于C，f(x)=2cos2(x−π12)，应将g(x)=2cos2x的图象向右平移π12个单位，故C选项错误．对于D，sin4α−cos4α=−cos2α=−45，且α∈(0,π2)，则2α∈(0,π)，故cos2α=45，sin2α=35，而f (α+π4)=2cos (2α+π3)=cos 2α−√3sin 2α=4−3√35，故D 选项正确；故选BD .。

高考数学中档小题押题训练(四)

高考数学中档小题押题训练（四）姓名：____________班级：____________一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）．．．．已知13,22m⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，命题2123ym+=-表示焦点在上的椭圆.则下列命题中为真命题的是（A ．8B ．4C ．二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共有多项符合题目要求.全部选对的得5分，分.）9．用分层随机抽样法从某校高一年级学生的数学竞赛成绩（满分容量为120的样本，其中男生成绩的数据有80个，女生成绩的数据有个男生的成绩分为6组，绘制得到如图所示的频率分布直方图，A ．男生成绩的样本数据在[)90,110内的频率为B ．男生成绩的样本数据的平均数为97C ．男生成绩的样本数据的第75百分位数为118D ．女生成绩的样本数据的平均数为91，则总样本的平均数为10．已知函数(),()f x g x 的定义域均为R ，(f x 且当[0,2]x ∈时，3()(1)f x x =-，则（）A ．()f x 的图象关于点对称(10)，B ．(2023)1f =A ．()1π2sin 36f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．若把()f x 的横坐标缩短为原来的C ．若把函数()f x 的图像向左平移π2D ．ππ,3x ⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦3，若()3π32f x a f ⎛+≥ ⎝12．已知函数()()(22f x x b x a =---A ．a b>C ．()f x 在(),b ∞+上单调递增三､填空题（本题共4小题，每小题分，第二空3分.）13．写出一个同时满足下列条件①②的等比数列①10n n a a +<；②1n n a a +<参考答案：⋂中元素的个数即为直线所以A B由图可知直线y x=与正方形ABCD⋂中元素的个数为2.即A B故选：C.3．A【分析】根据冠军的归属分类列表后结合题设条件可得冠军的国家【详解】根据题意，有冠军甲乙丙由题意知，60ABC ︒∠=，所以23AC =，AC BC ⊥所以AB 的中点即为△ABC 又因为2PA PC ==，所以120APC ︒∠=，PM =所以在APC △中，取AC 的中点+【点睛】方法点睛：零点问题的求解常用的方法有：图象法（作出函数()f x 的图象分析判断）；（3）方程分析两函数(),()g x h x 图象即得解）.要根据已知灵活选择方法求解11．ACD【分析】对A ，由函数图像即可算出函数的周期T ，由高点即可求出函数的解析式；对B 、C ，由图像的平移变换即可求得变换后的图像，然后根据三角函数的单调性以及函数的奇偶性即可判断；对用三角函数知识即可求得a 的最小值.【详解】对A ，由题意知2,A =6πT =，2π16π3ω∴==，即2πsin()13ϕ+=，2ππ2π32k ϕ∴+=+（Z k ∈），ϕ∴又πϕ< ，π6ϕ∴=-，()1π2sin 36f x x ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，所以对B ，把()y f x =的横坐标缩短为原来的23倍，纵坐标不变，得到的函数1π2sin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，[]ππx ∈- ，，∴-1π2sin 26y x ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭在[]π,π-上不单调递增，故B 错误；对C ，把()y f x =的图像向左平移π2个单位，。

高考数学(文科)中档大题规范练(三角函数)(含答案)

中档大题规范练中档大题规范练——三角函数1．已知函数f (x )＝(sin x －cos x )sin 2x sin x. (1)求f (x )的定义域及最小正周期；(2)求f (x )的单调递增区间．解 (1)由sin x ≠0得x ≠k π(k ∈Z )，故f (x )的定义域为{x ∈R |x ≠k π，k ∈Z }．因为f (x )＝(sin x －cos x )sin 2x sin x＝2cos x (sin x －cos x )＝sin 2x －2cos 2x＝sin 2x －(1＋cos 2x ) ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4－1，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )．由2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2，x ≠k π(k ∈Z )，得k π－π8≤x ≤k π＋3π8，x ≠k π(k ∈Z )．所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎭⎫k π－π8，k π和⎝⎛⎦⎤k π，k π＋3π8(k ∈Z )． 2．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，角B 所对的边b ＝3，且函数f (x )＝23sin 2x ＋2sin x cos x －3在x ＝A 处取得最大值．(1)求f (x )的值域及周期；(2)求△ABC 的面积．解 (1)因为A ，B ，C 成等差数列，所以2B ＝A ＋C ，又A ＋B ＋C ＝π，所以B ＝π3，即A ＋C ＝2π3. 因为f (x )＝23sin 2x ＋2sin x cos x － 3 ＝3(2sin 2x －1)＋sin 2x ＝sin 2x －3cos 2x＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，所以T ＝2π2＝π. 又因为sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈[－1,1]，所以f (x )的值域为[－2,2]．(2)因为f (x )在x ＝A 处取得最大值，所以sin ⎝⎛⎭⎫2A －π3＝1. 因为0<A <23π，所以－π3<2A －π3<π，故当2A －π3＝π2时，f (x )取到最大值，所以A ＝512π，所以C ＝π4. 由正弦定理，知3sin π3＝c sin π4⇒c ＝ 2. 又因为sin A ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋π6＝2＋64，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝3＋34. 3．已知函数f (x )＝3sin 2x ＋2cos 2x ＋a .(1)求函数f (x )的最小正周期以及单调递增区间；(2)当x ∈[0，π4]时，函数f (x )有最大值4，求实数a 的值．解 f (x )＝3sin 2x ＋2cos 2x ＋a＝cos 2x ＋3sin 2x ＋1＋a＝2sin(2x ＋π6)＋a ＋1. (1)函数f (x )的最小正周期为2π2＝π，由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z .故函数f (x )的单调递增区间为[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z )． (2)∵x ∈[0，π4]，∴2x ＋π6∈[π6，2π3]，从而sin(2x ＋π6)∈[12，1]． ∴f (x )＝2sin(2x ＋π6)＋a ＋1∈[a ＋2，a ＋3]， ∵f (x )有最大值4，∴a ＋3＝4，故a ＝1.4．设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈[0，π2]． (1)若|a |＝|b |，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值．解 (1)由|a |2＝(3sin x )2＋(sin x )2＝4sin 2x ，|b |2＝(cos x )2＋(sin x )2＝1，由|a |＝|b |，得4sin 2x ＝1.又x ∈[0，π2]，从而sin x ＝12，所以x ＝π6. (2)f (x )＝a ·b ＝3sin x ·cos x ＋sin 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin(2x －π6)＋12. 当x ＝π3∈[0，π2]时，sin(2x －π6)取最大值1，所以f (x )的最大值为32. 5．已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin(ωx －π6)＋1(ω>0)的最小正周期是π. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)求f (x )在[π8，3π8]上的最大值和最小值．解 (1)f (x )＝4cos ωx ·sin(ωx －π6)＋1 ＝23sin ωx cos ωx －2cos 2ωx ＋1＝3sin 2ωx －cos 2ωx ＝2sin(2ωx －π6)．最小正周期是2π2ω＝π，所以，ω＝1，从而f (x )＝2sin(2x －π6)．令－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z . 解得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z . 所以函数f (x )的单调递增区间为[－π6＋k π，π3＋k π](k ∈Z )． (2)当x ∈[π8，3π8]时，2x －π6∈[π12，7π12]， f (x )＝2sin(2x －π6)∈[6－22，2]，所以f (x )在[π8，3π8]上的最大值和最小值分别为2，6－22. 6.在斜度一定的山坡上的一点A 测得山顶上一建筑物顶端对于山坡的斜度为15°，如图所示，向山顶前进100 m 后，又从B 点测得斜度为45°，设建筑物的高为50 m ．求此山对于地平面的斜度θ的余弦值．解在△ABC 中，∠BAC ＝15°，∠CBA ＝180°－45°＝135°，AB ＝100 m ，所以∠ACB ＝30°. 由正弦定理，得100sin 30°＝BC sin 15°，即BC ＝100sin 15°sin 30°. 在△BCD 中，因为CD ＝50，BC ＝100sin 15°sin 30°，∠CBD ＝45°，∠CDB ＝90°＋θ，由正弦定理，得50sin 45°＝100sin 15°sin 30°sin (90°＋θ)，解得cos θ＝3－1.因此，山对地面的斜度的余弦值为3－1.。

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文科高考数学中档题系列（ 22 ）
1. 在ABC 中，,A B 为锐角，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，且
3
c o s 2,s i 5A B == （I ）求A B +的值；
（II ）若1a b +=
，求,,a b c 的值。

2. 2011年武汉电视台问政直播节日首场内容是“让交通更顺畅”．A 、B 、C 、D 四个管理部门的负责人接受问政，分别负责问政A 、B 、C 、D 四个管理部门的现场市民代表（每一名代表只参加一个部门的问政）人数的条形图如下．为了了解市民对武汉市实施“让交通更顺畅”几个月来的评价，对每位现场市民都进行了问卷调查，然后用分层抽样的方法从调查问卷中抽取20份进行统计，统计结果如下面表格所示：
（I ）
若市民甲选择的是A 部门，求甲的调查问卷被选中的概率；（II ）
若想从调查问卷被选中且填写不满意的市民中再选出2人进行电视访谈，求这两人中至少有一人选择的是D 部门的概率．
3. 如图所示,在直四棱柱1111D C B A ABCD -中,BC DB =,
DB AC ⊥,点M 是棱1BB 上一点. (Ⅰ)求证：//11D B 面BD A 1；(5分) (Ⅱ)求证：MD AC ⊥；(5分) (Ⅲ)试确定点M 的位置,使得平面1DMC ⊥平面D D CC 11.
4. 已知数列{}n a 的首项12
3a =，121
n
n n a a a +=+，1,2,3,n =…．
（Ⅰ）证明：数列1
{1}n
a -是等比数列；（Ⅱ）求数列{}n
n
a 的前n 项和n S ． M A B C D A 1 B 1 C 1 D 1。