2013海淀高三上期末数学理科(无答案)

海淀区高三年级第一学期期末考试
数学（理科） 2013.1
本试卷共4页，150分．考试时长120分钟
一、
1．复数21i
−化简的结果为 A ．1i + B ．1i −+ C ．1i − D ．1i −−
2．已知直线2:2x t l y t =+⎧⎨=−−⎩（t 为参数）与圆2cos 1:2sin x C y θθ=+⎧⎨=⎩
（θ为参数），则直线l 的倾斜角及圆心C 的直角坐标分别是
A ．
π4，()10， B ．π4，()10−， C ．3π4，()10， D ．3π4
，()10−， 3．向量()34a =r ，，()2b x =r ，，若a b a ⋅=r r r ，则实数x 的值为 A ．1− B ．12− C ．13
− D ．1 4．某程序的框图如图所示，执行该程序，若输入的p 为24，则输出的n S ，的值分别为
A ．430n S ==，
B ．530n S ==，
C ．445n S ==，
D ．545n S ==，
5．如图，PC 与圆O 相切于点C ，直线PO 交圆O 于A B ，两点，弦CD 垂直AB 于E ，则下面结论中，错误的结论是
A ．BEC DEA △△
B ．ACE ACP ∠=∠
C ．2DE OE EP =⋅
D ．2PC PA AB =⋅
B
6．数列{}n a 满足11a =，1n n a r a r +=⋅+（*n ∈N ，r ∈R 且0r ≠）
，则“1r =”是“数列{}n a 成等差数列”的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
7．用数字0123，，，组成数字可以重复的四位数，其中有且仅有一个数字出现两次的个数为
A ．144
B ．120
C ．108
D ．72
8．椭圆22
22:1x y C a b
+=（0a b >>）的左右焦点分别为1F ，2F ，若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得12F F P △为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是
A ．1233⎛⎞⎜⎟⎝⎠，
B ．112⎛⎞⎜⎟⎝⎠，
C ．213⎛⎞⎜⎟⎝⎠，
D ．1111322⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠
U ，， 二、
9．以y x =±为渐近线且经过()20，的双曲线方程为________．
10．数列{}n a 满足12a =，且对任意的*m n ∈N ，，都有
m n n m
a a a +=，则3a =________；{}n a 的前n 项和n S =________． 11．在6
213x x ⎛⎞+⎜⎟⎝⎠
的展开式中，常数项为________．（用数字作答） 12．三棱锥D ABC −及其三视图中的主视图和左视图如图所示，则棱BD 的长为________．
左视图主视图A
D C
13．点()P x y ，在不等式组31x x y y x ⎧⎪⎨⎪⎩
++≥0≤≥，表示的平面区域内，若点()P x y ，到直线1y kx =−的最大距
离为k =________．
14．已知正方体1111ABCD A B C D −的棱长为1，动点P 在正方体1111ABCD A B C D −表面上运动，且PA r
=
（0r <<），记点P 的轨迹的长度为()f r ，则12f ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠
________；关于r 的方程()f r k =的解得个数可以为________．
（填上所有可能的值）
三、
15．（本小题满分13分）
已知函数(
)21cos cos 2222
x x x f x =+−，ABC △三个内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，． ⑴ 求()f x 的单调区间；
⑵ 若()1f B C +=
，a =1b =，求角C 的大小．
16．
（本小题满分13分） 某汽车租赁公司为了调查A ，B 两种车型的出租情况，现随机抽取了这两种车型各100辆汽车，分别统计了每辆车某个星期内的出租天数，数据统计如下表： A 型车
出租天数
1 2 3 4 5 6 7 车辆数
5 10 30 35 15 3 2
B 型车 出租天数 1 2 3 4
5 6 7 车辆数
14 20 20 16 15 10 5 ⑴ 从出租天数为3天的汽车（仅限A ，B 两种车型）中随机抽取一辆，估计这辆汽车恰好是A 型车的概率；
⑵ 根据这个星期的统计数据，估计该公司一辆A 型车，一辆B 型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率；
⑶ 如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要从A ，B 两种车型中购买一辆，请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由．
17．
（本小题满分14分） 如图，在直三棱柱111ABC A B C −中，90BAC ∠=°，12AB AC AA ===，E 是BC 中点． ⑴ 求证：1A B ∥平面1AEC ；
⑵ 若棱1AA 上存在一点M ，满足11B M C E ⊥，求AM 的长；
⑶ 求平面1AEC 与平面11ABB A 所成锐二面角的余弦值．
C 1
B 1A 1
A
B C
18．
（本小题满分13分） 已知函数()e 1
ax
f x x =−． ⑴ 当1a =时，求曲线()f x 在()()00f ，处的切线方程； ⑵ 求函数()f x 的单调区间．
19．
（本小题满分14分） 已知()22E ，是抛物线2:2C y px =上一点，经过点()20，的直线l 与抛物线C 交于A B ，两点（不同于
点E ）
，直线EA ，EB 分别交直线2x =−于点M ，N ． ⑴ 求抛物线方程及其焦点坐标； ⑵ 已知O 为原点，求证：MON ∠为定值．
20．
（本小题满分13分） 已知函数()f x 的定义域为()0+∞，，若()f x y x =在()0+∞，上为增函数，则称()f x 为“一阶比增函数”；若()
2f x y x =在()0+∞，上为增函数，则称()f x 为“二阶比增函数”．我们把所有“一阶比增函数”
组成的集合记为1Ω，所有“二阶比增函数”组成的集合记为2Ω． ⑴ 已知()322f x x hx hx =−−，若()1f x ∈Ω，且()2f x ∉Ω，求实数h 的取值范围； ⑵ 已知0a b c <<<，()1f x ∈Ω，且()f x 的部分函数值由下表给出： x
a b c a b c ++ ()f x d d t 4 求证：()240d d t +−>；
⑶ 定义集合()(){2ψ|f x f x =∈Ω，且存在常数k ，使得任取()0x ∈+∞，，()}f x k <，请问：是否存在常数M ，使得()ψf x ∀∈，()0x ∀∈+∞，，有()f x M <成立？若存在，求出M 的最小值，若不存在，说明理由．。