【精品】2016年吉林省辽源市田家炳高中友好学校高一上学期期末数学试卷

2015-2016学年吉林省辽源市田家炳高中友好学校高一（上）期末数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（5.00分）已知集合A={x|x2+x﹣2＜0}，B={x|x＞0}，则集合A∩B等于（）A．{x|x＞﹣2}B．{x|0＜x＜1}C．{x|x＜1}D．{x|﹣2＜x＜1}2．（5.00分）cos600°=（）A．B．﹣ C．D．﹣3．（5.00分）下列四组函数中，表示同一函数的是（）A．y=与y=x B．y=x0与y=1C．y=2与y=D．y=x与y=（24．（5.00分）已知幂函数f（x）的图象过点（4，），则f（8）的值为（）A．B．64 C．2 D．5．（5.00分）设a=70.3，b=0.37，c=log70.3，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜c＜a6．（5.00分）下列四个函数中，以π为最小周期，且在区间（）上为减函数的是（）A．y=sin2x B．y=2|cosx|C．y=cos D．y=tan（﹣x）7．（5.00分）函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在的大致区间是（）A．（3，4） B．（2，e） C．（1，2） D．（0，1）8．（5.00分）已知向量=（1﹣sinθ，1），=（，1+sinθ），且∥，则锐角θ等于（）A．30°B．45°C．60°D．75°9．（5.00分）已知f（x）是定义在R上周期为4的奇函数，当x∈（0，2]时，f（x）=2x+log2x，则f（2015）=（）A．﹣2 B．C．2 D．510．（5.00分）为了得到函数y=sin2x﹣cos2x的图象，只要把函数y=2sin2x的图象（）A．向左平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向右平移个单位长度11．（5.00分）函数y=log a（2﹣ax）在[0，1]上是减函数，则a的取值范围是（）A．（0，1） B．（0，2） C．（1，2） D．（2，+∞）12．（5.00分）如图所示，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=1，且∠B=90°，∠BCD=135°，记向量=，=，则=（）A．﹣（1+）B．﹣+（1+）C．﹣+（1﹣）D．+（1﹣）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5.00分）已知函数f（x）=的值为．14．（5.00分）已知角α的终边上一点P（1，﹣2），则=．15．（5.00分）若0≤x≤π，则函数的单调递增区间为．16．（5.00分）设f（x）是定义在R上的偶函数，且对于∀x∈R恒有f（x+1）=f （x﹣1），已知当x∈[0，1]时，f（x）=21﹣x则（1）f（x）的周期是2；（2）f（x）在（1，2）上递减，在（2，3）上递增；（3）f（x）的最大值是2，最小值是1；（4）当x∈（3，4）时，f（x）=2x﹣3其中正确的命题的序号是．三、解答题（共6道小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）17．（10.00分）已知集合A={x|x≤﹣2或x≥7}，集合，集合C={x|m+1≤x≤2m﹣1}，（1）求A∩B，A∪B；（2）若A∪C=A，求实数m的取值范围．18．（12.00分）已知向量、满足：||=1，||=4，且、的夹角为60°．（1）求（2﹣）•（+）；（2）若（+）⊥（λ﹣2），求λ的值．19．（12.00分）若二次函数f（x）=x2+bx+c满足f（0）=f（﹣2），且f（1）=3．（1）求f（x）的解析式；（2）若在区间[﹣1，1]上，不等式f（x）＞x+m恒成立，求实数m的取值范围．20．（12.00分）已知=（sinx，cosx），=（cosx，cosx），f（x）=2•+2m﹣1（x，m∈R）．（Ⅰ）求f（x）的对称轴方程；（Ⅱ）若x∈[0，]时，f（x）的最小值为5，求m的值．21．（12.00分）函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的图象与x轴相邻两个交点间的距离为，且图象上一个最低点为M（，﹣2）．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅲ）当x∈[，]时，求f（x）的值域．22．（12.00分）已知：定义在R上的函数f（x），对于任意实数a，b都满足f（a+b）=f（a）f（b），且f（1）≠0，当x＞0时，f（x）＞1．（Ⅰ）求f（0）的值；（Ⅱ）证明f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数；（Ⅲ）求不等式f（x2+x）＜的解集．2015-2016学年吉林省辽源市田家炳高中友好学校高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（5.00分）已知集合A={x|x2+x﹣2＜0}，B={x|x＞0}，则集合A∩B等于（）A．{x|x＞﹣2}B．{x|0＜x＜1}C．{x|x＜1}D．{x|﹣2＜x＜1}【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣1）（x+2）＜0，解得：﹣2＜x＜1，即A={x|﹣2＜x＜1}，∵B={x|x＞0}，∴A∩B={x|0＜x＜1}，故选：B．2．（5.00分）cos600°=（）A．B．﹣ C．D．﹣【解答】解：cos600°=cos（360°+240°）=cos240°=cos（180°+60°）=﹣cos60°=﹣，故选：B．3．（5.00分）下列四组函数中，表示同一函数的是（）A．y=与y=x B．y=x0与y=1C．y=2与y=D．y=x与y=（2【解答】解：A．y==|x|，两个函数的对应法则不一致，不是同一函数．B．y=x0的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），两个函数的定义域不一致，不是同一函数．C．y=2==，y==，两个函数的定义域都为（0，+∞），对应法则相同，是同一函数．D．y=（2=x，定义域为[0，+∞），两个函数的定义域不一致，不是同一函数．故选：C．4．（5.00分）已知幂函数f（x）的图象过点（4，），则f（8）的值为（）A．B．64 C．2 D．【解答】解：∵幂函数f（x）=x a的图象过点（4，），∴=4α，∴α=﹣，∴f（x）=，∴f（8）==故选：A．5．（5.00分）设a=70.3，b=0.37，c=log70.3，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜c＜a【解答】解：∵log70.3＜log71=0，0＜0.37＜0.30=1，1=70＜70.3，∴c＜b＜a，故选：B．6．（5.00分）下列四个函数中，以π为最小周期，且在区间（）上为减函数的是（）A．y=sin2x B．y=2|cosx|C．y=cos D．y=tan（﹣x）【解答】解：在A中，y=sin2x的最小正周期是π，在区间（）上先减后增；在B中，y=2|cosx|的最小周期是π，在区间（）上为增函数；在C中，y=cos的最小正周期是4π，在区间（）上为减函数；在D中，y=tan（﹣x）的最小正周期是π，在区间（）上为减函数．故选：D．7．（5.00分）函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在的大致区间是（）A．（3，4） B．（2，e） C．（1，2） D．（0，1）【解答】解：∵在（0，+∞）单调递增∵f（1）=ln2﹣2＜0，f（2）=ln3﹣1＞0，∴f（1）f（2）＜0∴函数的零点在（1，2）之间，故选：C．8．（5.00分）已知向量=（1﹣sinθ，1），=（，1+sinθ），且∥，则锐角θ等于（）A．30°B．45°C．60°D．75°【解答】解：∵a∥b∴∴cosθ=又因为θ为锐角∴θ=45°故选：B．9．（5.00分）已知f（x）是定义在R上周期为4的奇函数，当x∈（0，2]时，f （x）=2x+log2x，则f（2015）=（）A．﹣2 B．C．2 D．5【解答】解：∵f（x）的周期为4，2015=4×504﹣1，∴f（2015）=f（﹣1），又f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（2015）=﹣f（1）=﹣21﹣log21=﹣2，故选：A．10．（5.00分）为了得到函数y=sin2x﹣cos2x的图象，只要把函数y=2sin2x的图象（）A．向左平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向右平移个单位长度【解答】解：∵函数y=sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣）=2sin2（x﹣），故把函数y=2sin2x的图象向右平移个单位长度，即可得到函数y=sin2x﹣cos2x的图象，故选：D．11．（5.00分）函数y=log a（2﹣ax）在[0，1]上是减函数，则a的取值范围是（）A．（0，1） B．（0，2） C．（1，2） D．（2，+∞）【解答】解：∵a＞0，∴2﹣ax在[0，1]上是减函数．∴y=log a u应为增函数，且u=2﹣ax在[0，1]上应恒大于零．∴∴1＜a＜2．故选：C．12．（5.00分）如图所示，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=1，且∠B=90°，∠BCD=135°，记向量=，=，则=（）A．﹣（1+）B．﹣+（1+）C．﹣+（1﹣）D．+（1﹣）【解答】解：作DE⊥AB于E，CF⊥DE于F，由题意AB=BC=CD=1，且∠B=90°，∠BCD=135°，记向量=，=，∴==，CF=BE═FD=，∴==（1﹣）+（1+）=（1﹣）+（1+）（）=﹣+（1+）故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5.00分）已知函数f（x）=的值为．【解答】解：∵＞0∴f（）=log3=﹣2∵﹣2＜0∴f（﹣2）=2﹣2=故答案为．14．（5.00分）已知角α的终边上一点P（1，﹣2），则=﹣．【解答】解：∵角α的终边上一点P（1，﹣2），∴tanα==﹣2，则===﹣，故答案为：﹣．15．（5.00分）若0≤x≤π，则函数的单调递增区间为[] ．【解答】解：==，令：，解得：（k∈Z）由于：0≤x≤π，则：函数的单调递增区间为：[]．故答案为：[]．16．（5.00分）设f（x）是定义在R上的偶函数，且对于∀x∈R恒有f（x+1）=f （x﹣1），已知当x∈[0，1]时，f（x）=21﹣x则（1）f（x）的周期是2；（2）f（x）在（1，2）上递减，在（2，3）上递增；（3）f（x）的最大值是2，最小值是1；（4）当x∈（3，4）时，f（x）=2x﹣3其中正确的命题的序号是（1）、（3）、（4）．【解答】解：∵对于∀x∈R恒有f（x+1）=f（x﹣1），∴f（x）的周期是2；故（1）正确；∵当x∈[0，1]时，f（x）=21﹣x，∴f（x）在[0，1]上是减函数，∴f（x）在（2，3）上递减，故（2）不正确；∵当x∈[0，1]时，f（x）=21﹣x，且f（x）的周期是2，是定义在R上的偶函数；∴f max（x）=f（0）=2，f min（x）=f（1）=1；故（3）正确；∵当x∈[0，1]时，f（x）=21﹣x，又∵f（﹣x）=f（x），∴当x∈（﹣1，0）时，f（x）=f（﹣x）=21+x，∴当x∈（3，4）时，f（x）=21+（x﹣4）2x﹣3，故（4）正确；故答案为：（1）、（3）、（4）．三、解答题（共6道小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）17．（10.00分）已知集合A={x|x≤﹣2或x≥7}，集合，集合C={x|m+1≤x≤2m﹣1}，（1）求A∩B，A∪B；（2）若A∪C=A，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）…（2分）A∩B={x|﹣4＜x＜﹣3}，A∪B={x|x≤﹣2或x≥7}…（6分）（2）∵A∪C=A，∴C⊆A…（8分）①当m+1＞2m﹣1，即m＜2时，C=∅此时∅⊆A，满足题意；…（10分）②当C≠∅时，若A∪C=A，则解得m≥6…（13分）综上所述，m的取值范围是（﹣∞，2）∪[6，+∞）…（14分）18．（12.00分）已知向量、满足：||=1，||=4，且、的夹角为60°．（1）求（2﹣）•（+）；（2）若（+）⊥（λ﹣2），求λ的值．【解答】解：（1）由题意得，∴．（2）∵，∴，∴，∴λ+2（λ﹣2）﹣32=0，∴λ=12．19．（12.00分）若二次函数f（x）=x2+bx+c满足f（0）=f（﹣2），且f（1）=3．（1）求f（x）的解析式；（2）若在区间[﹣1，1]上，不等式f（x）＞x+m恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）由f（0）=f（﹣2），则c=4﹣2b+c，即b=2．再有f（1）=3=1+b+c，则c=0，故f（x）=x2+2x；（2）由f（x）＞x+m恒成立，则x2+2x＞x+m；∴x2+x＞m，令g（x）=x2+x，故g（x）在区间[﹣1，1]上的最小值为g（﹣）=﹣，∴m＜﹣．20．（12.00分）已知=（sinx，cosx），=（cosx，cosx），f（x）=2•+2m﹣1（x，m∈R）．（Ⅰ）求f（x）的对称轴方程；（Ⅱ）若x∈[0，]时，f（x）的最小值为5，求m的值．【解答】解：（Ⅰ）==；∴；令2x=，k∈Z；∴f（x）的对称轴方程为：x=，k∈Z；（Ⅱ）x∈；∴；∴2x=时，f（x）min=2+2m=5；∴m=3．21．（12.00分）函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的图象与x轴相邻两个交点间的距离为，且图象上一个最低点为M（，﹣2）．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅲ）当x∈[，]时，求f（x）的值域．【解答】解：（Ⅰ）由图象与x轴相邻两个交点间的距离为，==，∴ω=2，再根据图象上一个最低点为M（，﹣2），可得A=2，2×+φ=，φ=，∴f（x）=2sin（2x+）．（Ⅱ）令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z；（Ⅲ）当x∈[，]时，≤2x+≤，∴sin（2x+）∈[﹣1，2]，故函数的值域为[﹣1，2]．22．（12.00分）已知：定义在R上的函数f（x），对于任意实数a，b都满足f（a+b）=f（a）f（b），且f（1）≠0，当x＞0时，f（x）＞1．（Ⅰ）求f（0）的值；（Ⅱ）证明f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数；（Ⅲ）求不等式f（x2+x）＜的解集．【解答】解：（Ⅰ）令a=1，b=0则f（1）=f（1+0）=f（1）f（0），∵f（1）≠0，∴f（0）=1，（Ⅱ）证明：当x＜0时﹣x＞0由f（x）f（﹣x）=f（x﹣x）=f（0）=1，f（﹣x）＞0得f（x）＞0，∴对于任意实数x，f（x）＞0，设x1＜x2则x2﹣x1＞0，f（x2﹣x1）＞1，∵f（x2）=f（x1+（x2﹣x1））=f（x1）f（x2﹣x1）＞f（x1），∴函数y=f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数．（Ⅲ）∵∴，由（Ⅱ）可得：x2+x＜﹣2x+4解得﹣4＜x＜1，所以原不等式的解集是（﹣4，1）．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征：BAPl运用举例：1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为B2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。