1.3 正方形的性质 4
北师大版九年级数学上册第1章1
（一）教学重难点
1.重点：正方形的性质和判定方法，以及它们在实际问题中的应用。
难点：对正方形性质的深入理解和判定方法的灵活运用，特别是在解决综合几何问题时能准确识别和应用正方形的性质。
2.重点：通过探索活动，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
难点：将直观的几何直觉转化为严密的逻辑推理，并在论证过程中准确使用几何语言。
6.预习任务：
布置下一节课的预习任务，要求学生提前了解正方形与其他几何图形的关系，为后续学习打下基础。
注意事项：
1.作业难度要适中，既要考虑到学生的实际水平，又要具有一定的挑战性，以激发学生的学习兴趣。
2.作业量要适宜，避免过多导致学生负担过重，影响学习效果。
3.作业布置要注重差异化，针对不同学生的学习需求，设计不同难度的题目，使每个学生都能在作业中找到适合自己的挑战。
1.结合学生已有的知识经验，激发他们的学习兴趣，引导他们主动参与正方形性质和判定方法的探究过程。
2.注重培养学生的空间想象力，通过丰富的教学手段和实例，帮助学生建立正方形与其他图形之间的联系。
3.针对学生个体差异，因材施教，关注几何推理能力和问题解决能力的培养，提高学生的几何素养。
4.强化几何语言的训练，使学生在描述、讨论、证明正方形性质的过程中，提高准确运用几何术语的能力。
3.重点：激发学生的学习兴趣，形成积极主动探索的学习态度。
难点：针对不同学生的学习特点，设计个性化的教学活动，以促进每个学生的全面发展。
（二）教学设想
1.引入环节：
利用生活实例或有趣的几何问题，如建筑设计中的正方形元素，引出正方形的学习，激发学生的好奇心和学习欲望。
2.探索环节：
设计一系列由浅入深的探索活动，如观察正方形的模型，引导学生发现正方形的性质。通过小组合作，让学生讨论并尝试证明这些性质，以培养学生的合作能力和推理能力。
北师大版九年级数学上册(教案)：1.3正方形的性质与判定-
在学生小组讨论环节，有些学生发言不够积极，可能是因为他们对讨论主题不够熟悉或者缺乏自信。为了解决这个问题，我会在接下来的教学中，多给予这部分学生关注和鼓励，提高他们的自信心，培养他们的团队协作能力。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是“正方形的性质与判定”这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否见过哪些物体的形状是正方形？”（举例说明，如桌面、瓷砖等）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索正方形的性质与判定的奥秘。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调正方形的性质和判定方法这两个重点。对于难点部分，如对角线互相垂直平分且相等的证明，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与正方形相关的实际问题，如如何用直尺和圆规作一个正方形。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用直尺和圆规在纸上作一个正方形，演示正方形的基本原理。
3.增强学生的空间观念：通过研究正方形的性质与判定，使学生更好地理解平面与空间的关系，形成良好的空间观念。
4.培养学生的团队协作意识：在小组合作探究活动中，培养学生与他人合作、交流、分享的学习习惯，提高团队协作能力。
5.培养学生的创新意识：鼓励学生在探索正方形性质与判定的过程中，积极思考、提出新问题、寻找新方法，激发学生的创新意识。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作主题：学生将围绕“正方形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
正方形的定义
正方形的定义正方形是一个具有特定属性和几何性质的二维图形。
它是一种特殊的四边形，其中的四条边相等且四个角相等，每个角均为90度。
正方形可以看作是矩形的一种特殊情况，也可以视为菱形的一种特殊情况，因为它同时具备了这两种图形的特点。
正方形的性质和特征使得它成为几何学中重要的研究对象。
以下是正方形的主要性质：1. 边长相等：正方形的四条边长度相等，因此可以用一个变量表示。
2. 角度相等：正方形的四个角均为90度，这也是正方形的独特之处。
3. 对角线相等：正方形的两条对角线长度相等，且互相平分。
4. 对称性：正方形具有多种对称性，包括关于中心点的对称、关于对角线的对称等。
5. 面积计算：正方形的面积等于边长的平方，可以用公式A = a^2表示，其中A为面积，a为边长。
6. 周长计算：正方形的周长等于边长的四倍，可以用公式P = 4a表示，其中P为周长，a为边长。
正方形除了上述性质外，还具有一些衍生的几何性质。
例如，正方形的内切圆和外接圆以及与正方形相关的勾股定理和正方形的分割等。
这些性质和定理都是在研究正方形的过程中逐步发现和推导出来的。
在实际应用中，正方形广泛应用于建筑、绘画、设计等领域。
正方形的均匀性和稳定性使得它被广泛用作建筑物的基础、绘画的画框或设计图案的元素。
此外，正方形也是计算机图形学中常用的基本形状之一，被广泛应用于图形渲染和计算机辅助设计领域。
它的简单性和易于处理的特点使得正方形在各个领域都有着重要的地位和应用价值。
综上所述，正方形是一个具有四条相等边和四个90度角的特殊四边形。
它具有多种几何性质和特征，被广泛应用于建筑、绘画、设计以及计算机图形学等领域。
正方形的研究和应用对于几何学和相关领域的发展具有重要的意义。
正方形和长方形的性质
正方形和长方形的性质正方形和长方形是我们日常生活中常见的两种几何形状。
虽然它们都属于四边形，但在性质和特点上有许多不同之处。
本文将分别探讨正方形和长方形的性质，帮助我们更好地理解和区分它们。
一、正方形的性质正方形是一种四边相等且四个角度均为直角的特殊矩形。
下面将详细介绍正方形的性质。
1. 边长相等：正方形的四条边长都相等，记为a。
2. 角度：正方形的四个角都是直角，即每个角度为90度。
3. 对角线：正方形的两条对角线相等且互相垂直，记为d。
4. 对称性：正方形具有对称性，其对称轴包括对角线、中垂线等。
5. 面积和周长：正方形的面积可表示为a的平方，即A = a²；周长为4a。
6. 详略：正方形具有简洁明了的几何特点，符合对称美的审美标准，广泛应用于建筑、绘画等领域。
二、长方形的性质长方形是一种具有两对对边平行且相等的四边形。
接下来将详细介绍长方形的性质。
1. 边长：长方形的相邻边长度可以不相等，分别记为a和b，其中a 和b为正数。
2. 角度：长方形的每个内角都是90度，即四个角均为直角。
3. 对角线：长方形的两条对角线相等，但不一定互相垂直。
4. 对称性：长方形同样具有对称性，其对称轴包括中垂线、中轴线等。
5. 面积和周长：长方形的面积可表示为a乘以b，即A = a*b；周长为2(a + b)。
6. 多样性：长方形有着丰富的变化形式，如正规长方形（a = b），狭长的长方形（a较大），或宽较大的长方形（b较大）。
三、正方形与长方形的异同正方形和长方形有着共同之处，如都是四边形和具有对称性。
但它们也存在一些差异。
1. 边长：正方形的四条边完全相等，而长方形的边长可以不同。
2. 角度：正方形的四个角均为直角，而长方形的每个内角仍然是直角。
3. 对角线：正方形的两条对角线相等且互相垂直，长方形的对角线仅相等。
4. 面积和周长：正方形的面积计算简单，只需边长平方；长方形的面积则需乘以两个相邻边长。
正方形的判定与性质
正方形的判定与性质引言正方形是一种特殊的四边形，具有许多独特的性质和特征。
本文将介绍如何判定一个四边形是否是正方形以及正方形的性质。
判定正方形判定一个四边形是否是正方形可以从不同角度进行考虑。
以下是几种常见的判定方法：1.边长相等一个四边形的四条边长度相等是判定其是否为正方形的一个重要条件。
如果一个四边形的4条边都相等，则可以认为它是正方形。
2.角度相等正方形的特征之一是它的四个角都是直角（90度）。
因此，如果一个四边形的四个角都是90度，则可以判定它是正方形。
3.对角线相等正方形的两条对角线相等且互相平分对方，也是判定一个四边形为正方形的条件之一。
如果一个四边形的对角线相等且平分对方，则可以认为它是正方形。
正方形的性质除了以上的判定条件外，正方形还具有许多独特的性质和特征。
以下是一些常见的正方形性质：1.对称性正方形具有4个对称轴，分别为水平轴、垂直轴和两条对角线。
这意味着正方形可以通过沿着这些轴进行翻转而保持不变。
2.面积和周长正方形的面积等于边长的平方，周长等于4倍边长。
这是正方形最基本的面积和周长公式。
3.相似性正方形与自身全等且相似。
这意味着可以通过变换、旋转和缩放等操作得到无数个相似的正方形。
4.内角和外角正方形的内角都是90度，外角则是270度。
这是正方形内角和外角之间的关系。
结论正方形的判定和性质是数学中的基础知识，对于理解几何形状和解决实际问题都非常重要。
通过判定其边长、角度和对角线是否满足特定条件，我们可以判断一个四边形是否是正方形。
正方形具有对称性、特定的面积和周长公式，以及内角和外角的特征。
通过研究正方形的性质，我们可以深入理解几何形状和它们之间的关系。
1.3 正方形的性质与判定 初中数学北师大版九上授课课件
求证:AC=BD,AC⊥BD,AO=CO,BO=DO. A
D
分析：因为正方形具有矩形和菱形的所
O
有性质,所以结论易证. 证明：∵四边形ABCD是正方形,
B
C
∴四边形ABCD是平行四边形,也是矩形,也是菱形.
∴AC=BD , AC⊥BD, AO=CO,BO=DO.
性质应用
例1：如图，在正方形ABCD中，E为CD上一点，
再由一个直角，得出是矩形；
最后由一组邻边相等可得正 方形；
450 C F
有一组邻边相等的矩形是正方形 有一个角是直角的菱形是正方形
做一做
顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形是平行四边形。
顺次连接矩形、正方形各边中点能得到怎样的特殊平行四边形？
A H
A
H
E
DE
A
H
D
D
G
E
G
B F
GB C
F
C
正方形有什么性质？怎样判定一个四边形是正 方形？
想一想： 正方形是矩形吗？是菱形吗？
矩形 正方形 菱形 平行四边形
归纳 正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所 以平行四边形、矩形、菱形有的性质,正方形都有.
正方形是我们熟悉的几何图形，它的四 条边都相等，四个角都是直角.因此，正方形 既是矩形，又是菱形.
又∵CE=CF,
∴△BCE≌△DCF.
B
∴BE=DF.
D E
C
F
(2)延长BE交DE于点M. ∵△BCE≌△DCF, ∴∠CBE=∠CDF. ∵∠DCF=90°, ∴∠CDF+∠F=90°. ∴∠CBE+∠F=90°. ∴∠BMF=90°. ∴BE⊥DF.
正方形的认识与性质
正方形的认识与性质正方形是一种具有特殊性质的四边形，它在几何学中占据了重要的地位。
正方形不仅在日常生活中广泛应用，而且在数学领域有很多独特的性质和特点。
本文将详细介绍正方形的认识与性质。
一、正方形的定义及特点正方形是一种具有四条边的四边形，其中每条边的长度相等且每个角的度数均为90度。
根据这个定义，我们可以得出以下正方形的特点：1. 边长相等：正方形的四条边长度相等，称为边长，用a表示。
2. 90度角：正方形的四个内角均为90度。
3. 对角线相等：正方形的两条对角线相等，且相互垂直。
二、正方形的性质与推论1. 周长和面积公式：正方形的周长等于四条边的长度之和，由于四条边长度相等，所以周长可以表示为4a。
正方形的面积等于边长的平方，即a^2。
2. 对角线长度：正方形的对角线长度等于边长的√2倍，根据勾股定理可得出这个结论。
3. 对角线的垂直平分线：正方形的对角线相互垂直，并且互为对方的垂直平分线。
4. 内切圆与外接圆：正方形的内切圆与外接圆均可以轻松构造出来。
内切圆的半径等于正方形边长的一半，而外接圆的半径等于正方形的一半。
这个性质在几何推导和计算中经常被使用。
5. 对角线平分内角：正方形的对角线平分了两个相邻内角，并且每个内角都等于90度的一半。
6. 等腰直角三角形：正方形的对角线将其分为两个等腰直角三角形，其中每个直角三角形的两边长相等。
7. 平行四边形：正方形是一种特殊的平行四边形，其四边都相等且相互平行。
三、应用与拓展正方形在日常生活和工作中有广泛的应用。
在建筑设计中，很多建筑物的平面布局采用正方形的形式，这不仅能够使整体结构更加稳定，还能够节约空间。
在绘画和艺术中，正方形的画框和画布常常被用于呈现作品。
在信息技术领域，正方形的像素点和屏幕比例也得到了广泛应用。
此外，正方形在数学领域还有很多有趣的拓展。
例如，可以通过正方形的展开图形得到二维的立方体，再通过展开图形得到三维的正方体。
正方形还可以作为基础形状衍生出其他形状，如在几何变换中可以通过旋转正方形得到更多多边形。
1.3.4正方形性质与判定
9上§1.3.4正方形性质与判定（九年级上数学006）——研究课班级________姓名________一.学习目标：1．理解正方形的定义，掌握正方形的性质和判定；2．能运用正方形的性质和判定进行简单的计算与证明．二．学习重点：正方形的性质理解和掌握；学习难点：正方形形的性质、判定的综合应用．三．教学过程知识梳理1：正方形的定义：.正方形的性质：（边）（角）（对角线）（对称性）正方形的判定：既是又是四边形是正方形．集合表示：1. 已知平行四边形ABCD，在以下4个条件中再选哪两个条件，能使平行四边形ABCD成为正方形？有种选法.①AB=BC②AC⊥BD ③∠ABC=90°④AC=BD2. (10 义乌)下列说法不正确．．．的是（）A．一组邻边相等的矩形是正方形B．对角线相等的菱形是正方形C．对角线互相垂直的矩形是正方形D．有一个角是直角的平行四边形是正方形边讲边练：①正方形与等腰三角形（等边三角形）结合1. 如图，E是正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE＝BC，则∠ACE＝°2. 如图，四边形ABCD是正方形，延长CD到E，使CE=CB，则∠DBE＝°.3. 如图，正方形ABCD中，点E在BC的延长线上，AE平分∠DAC,则下列结论：（1）∠E=22.5°；(2) ∠AFC=112.5°；(3) ∠ACE=135°；（4）AC=CE；(5) AD∶CE=1∶2. 其中正确的有（）A．5个B.4个C.3个D.2个4. 如图，等边△EDC在正方形ABCD内，连结EA、EB，则∠AEB＝°；∠ACE＝°.°.5. (10 孝感)已知正方形ABCD，以CD为边作等边△CDE，则∠AED 的度数是第1题图第2题图第3题图第4题图6. 如图，在正方形ABCD中，△PBC、△QCD是两个等边三角形，PB与DQ交于M，BP与CQ交于E，CP与DQ交于F.求证：PM = QM.②正方形与旋转结合1. (10 泸州)如图1，四边形ABCD 是正方形，E 是边CD 上一点，若△AFB 经过逆时针旋转角θ后与△AED 重合，则θ的取值可能为 （ ）A .90°B .60°C .45°D .30°2. (10 上海)已知正方形ABCD 中，点E 在边DC 上，DE = 2，EC = 1（如图2所示） 把线段AE 绕点A 旋转，使点E 落在直线BC 上的点F 处，则F 、C 两点的距离为___________.3. 如图3，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别为DC ，BC 边上的点，且满足∠EAF =45°，连接EF ，求证：DE +BF =EF ．4. 如图4，正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，正方形A ′B ′C ′D ′的顶点A ′与点O 重合，A ′B ′交BC 于点E ，A ′D ′交CD 于点F ，若正方形A ′B ′C ′D ′绕点O 旋转某个角度后，OE =OF 吗？两正方形重合部分的面积怎样变化？为什么？5. (11 烟台)如图5，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O 1、O 2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是 .6. 如图6，将n 个边长都为1cm 的正方形按如图所示摆放，点A 1、A 2、…、A n 分别是正方形的中心，则n 个这样的正方形重叠部分的面积和为.7. (10 自贡)边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30°得到正方形AB ′C ′D ′，两图叠成一个“蝶形风筝”（如图7所示阴影部分），则这个风筝的面积是 .图1 图2 图3图5 图6 图7 图88. (10 茂名)如图8，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45度后得到正方形AB′C′D′，边B′C′与DC交于点O，则四边形AB′OD的周长．．是.③正方形对角线的对称性1. 如图：正方形ABCD中，AC=10，P是AB上任意一点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF= .可以用一句话概括：正方形边上的任意一点到两对角线的距离之和等于.思考：如若P在AB的延长线时，上述结论是否成立？若不成立，请写出你的结论，并加以说明.2.(10 宜宾)如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF给出下列五个结论：①AP =EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE=∠BAP；⑤PD= 2EC．其中正确结论的序号是．思考：当点P在DB的长延长线上时，请将备用图补充完整，并思考（1）正确结论是否依旧成立？若成立，直接写出结论；若不成立，请写出相应的结论.3．如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且PE=PB.试判断PE与PB的关系.4.如图，正方形ABCD的面积为12，△ADE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PB＋PE的和最小，则这个最小值为.④正方形的折叠1.如图1，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长是.2. (10 柳州)如图2，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD 边上的B'处，点A对应点为A'，且CB'=3，则AM的长是.3.(11 重庆)如图3，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝GC；③AG∥CF；④S△FGC＝3．其中正确结论的个数是.4.(10 徐州)如图①，将边长为4cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠(点E、F分别在边AB、CD上)，使点B落在AD边上的点M处，点C落在点N处，MN与CD交于点P，连接EP．(1)如图②，若M为AD边的中点，①△AEM的周长=_____cm；②求证：EP=AE+DP；(2)随着落点M在AD边上取遍所有的位置(点M不与A、D重合)，△PDM的周长是否发生变化?请说明理由．(11 舟山)以四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E、F、G、H，顺次连结这四个点，得四边形EFGH．（1）如图1，当四边形ABCD为正方形时，我们发现四边形EFGH是正方形；如图2，当四边形ABCD为矩形时，请判断：四边形EFGH的形状（不要求证明）；（2）如图3，当四边形ABCD为一般平行四边形时，设∠ADC=α（0°＜α＜90°），①试用含α的代数式表示∠HAE；②求证：HE=HG；③四边形EFGH是什么四边形？并说明理由．P。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1.3正方形的性质(4) [ 教案] 班级 姓名 学号
九年级数学备课组
学习目标：
1、会归纳正方形的特性并进行证明；
2、能运用正方形的性质定理进行简单的计算与证明；
3、在比较、归纳、总结的过程中，进一步体会特殊与一般之间的辩证关系. 学习重点：经历观察、实验、猜想、证明等活动，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力.
学习难点：有条理地、清晰地阐述自己的观点. 学习过程： 一、知识回顾
1.什么样的平行四边形叫做正方形？
2.正方形既是矩形又是菱形，它都有什么性质呢？
（1）边的性质： ； （2）角的性质： ； （3）对角线的性质： ； （4）对称性： . 二、例题讲解
例1、如图，正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，正方形A ′B ′C ′D ′的顶点A ′与点O 重合，A ′B ′交BC 于点E ，A ′D ′交CD 于点F ， (1) 若E 是BC 的中点，求证：OE=OF.
(2)若正方形A ′B ′C ′D ′绕点O 旋转某个角度后，OE=OF 吗？两正方形重合部
分的面积怎样变化？为什么？
由（1）（2）可以得到什么结论？
练习1：如图，将n 个边长都为1cm A n 分别是正方形的中心，则n ）
A ．41cm 2
B ．4n cm n cm 2
例2、已知：如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，点F 在CD 上，∠FAE=∠BAE.
求证：AF=BC+EC.
练习2：
1.求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形.
2.在正方形ABCD 中：
（1）已知：如图①，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且AE ⊥BF ，垂足为M ，求证：AE=BF.
（2）如图②，如果点E 、F 、G 分别在BC 、CD 、DA 上，且GE ⊥BF ，垂足M ，那么GE 与BF 相等吗？证明你的结论.
（3）如图③，如果点E 、F 、G 、H 分别在BC 、CD 、DA 、AB 上，且GE ⊥HF ，垂足M ，那么GE 与HF 相等吗？证明你的结论.
图① 图② 图③
三、课堂小结
1．正方形与矩形，菱形，平行四边形的关系； 2.正方形的性质及应用；
3.本节课我们把探索和解决问题的思路、方法、结论，从特殊情形逐步推广到一般的情形，从而得到一般的结论，这也是我们获得数学结论的一种重要的思想方法.
四、课后练习
1．如图，正方形ABCD 的边长为4，MN BC ∥分别交AB CD ，于点M N ，，在
MN 上任取两点P Q ，，那么图中阴影部分的面积是 ．
第1题
A
B
C
D
M
N
第2题
A
D C B
F
G
2. 如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 边的中点，G ，F 分别为AD ，BC 边上的点，若1=AG ，2=BF ，︒=∠90GEF ，则GF= ．
3. 如图所示，正方形ABCD 中，点E 是CD 边上一点，连接AE ，交对角线BD 于点F ，连接CF ，则图中全等三角形共有（ ） A ．1对 B ．2对 C ．3对 D ．4对
第4题图 第5题图
4. 如图,正方形ABCD 中,点E 在BC 的延长线上，AE 平分∠DAC,则下列结论: （1）∠E=22.5°； (2) ∠AFC=112.5°； (3) ∠ACE=135°；（4）AC=CE ；(5) AD ∶CE=1∶2. 其中正确的有（ ）
A ．5个 B.4个 C.3个 D.2个 5.如图，将边长为8cm 的正方形纸片ABCD 折叠，使点D 落在BC 边中点E 处，点A 落在点F 处，折痕为MN ，则线段CN 的长是（ ）
A ．3cm B.4cm C.5cm D.6cm 6.把正方形ABCD 绕着点A ，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG ，边FG 与BC 交于点H （如图）．试问线段HG 与线段H
B 相等吗？先观察猜想，然后再证明你的猜想．
7. 如图,已知正方形ABCD 的边AB 与正方形AEFM 的边AM 在同一直线上，直线
BE 与DM 交于点N.求证：BN ⊥DM
A
M
F D E N
B
C D C A B
G H F
A
D C
E F B 第3题图
选做题
8.现有若干张边长不相等但都大于4cm 的正方形纸片，从中 任选一张，如图从距离正方形的四个顶点2cm 处，沿45°角
画线，将正方形纸片分成5部分，则中间阴影部分的面积 是 cm 2
；若在上述正方形纸片中再任选一张重复上述过
程，并计算阴影部分的面积，你能发现什么规律？
9.已知：如图，正方形ABCD 的周长为4a ，四边形EFGH 四个顶点E 、F 、G 、
H 分别在AB 、BC 、CD 、DA 上滑动，在滑动过程中，始终有EH ∥BD ∥FG ，且EH ＝FG ，那么四边形EFGH 的周长是否可求？若能求出，它的周长是多少？若不能求出，请说明理由．
2
2cm。