2021版高考数学(人教A版理科)一轮复习攻略核心考点·精准研析+10.5 曲线与方程
2021版高考数学(人教A版理科)一轮复习攻略核心考点·精准研析+选修4-4+1 坐 标 系
核心考点·精准研析考点一伸缩变换1.曲线C:x2+y2=1经过伸缩变换得到曲线C',求曲线C'的方程.2.曲线C经过伸缩变换后所得曲线的方程为x'2+y'2=1,求曲线C的方程.3.将圆x2+y2=1变换为椭圆+=1的一个伸缩变换公式φ:(λ,μ>0),求λ和μ的值.【解析】1.因为所以代入曲线C的方程得C':+y'2=1.2.根据题意,曲线C经过伸缩变换后所得曲线的方程为x'2+y'2=1,则(2x)2+(3y)2=1,即4x2+9y2=1,所以曲线C的方程为4x2+9y2=1.3.将变换后的椭圆+=1改写为+=1,把伸缩变换公式φ:(λ,μ>0)代入上式,得+=1,即x2+y2=1,与x2+y2=1比较系数,得所以1.应用伸缩变换时,要分清变换前的点的坐标(x,y)与变换后的坐标(x',y').2.平面上的曲线y=f(x)在变换φ:的作用下得到的方程的求法是将代入y=f(x),得=f,整理之后得到y'=h(x'),即为变换之后的方程.考点二极坐标与直角坐标的互化【典例】(2020·乌鲁木齐模拟)已知曲线C1的方程为(x-1)2+y2=1,C2的方程为x+y=3,C3是一条经过原点且斜率大于0的直线.(1)以直角坐标系原点O为极点,x轴正方向为极轴建立极坐标系,求C1与C2的极坐标方程.(2)若C1与C3的一个公共点为A(异于点O),C2与C3的一个公共点为B,当|OA|+=时,求C3的直角坐标方程.【解析】(1)曲线C1的方程为(x-1)2+y2=1,整理得x2+y2-2x=0,转换为极坐标方程为ρ=2cosθ.曲线C2的方程为x+y=3,转换为极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ-3=0, (2)设曲线C3是一条经过原点且斜率大于0的直线,则极坐标方程为θ=α,由于C1与C3的一个公共点A(异于点O),故,所以|OA|=2cosα,C2与C3的一个公共点为B,所以所以|OB|=.由于|OA|+=,所以2cosα+cosα+sinα=,即3cosα+sinα=sin(α+β)=,当sinα=,cosα=时,tan α=,故曲线C3的直角坐标方程为y=x.1.极坐标与直角坐标的互化依据是x=ρcos θ,y=ρsin θ.2.互化时要注意前后的等价性.在极坐标系下,已知圆O:ρ=cos θ+sin θ和直线l:ρsinθ-=(ρ≥0,0≤θ<2π).(1)求圆O和直线l的直角坐标方程.(2)当θ∈(0,π)时,求直线l与圆O的公共点的极坐标.【解析】(1)圆O:ρ=cos θ+sin θ,即ρ2=ρcos θ+ρsin θ,故圆O的直角坐标方程为x2+y 2-x-y=0,直线l:ρsin=,即ρsin θ-ρcos θ=1,则直线l的直角坐标方程为x-y+1=0.(2)由(1)知圆O与直线l的直角坐标方程,将两方程联立得解得即圆O与直线l在直角坐标系下的公共点为(0,1),转化为极坐标为,故直线l与圆O 的公共点的极坐标为.考点三极坐标方程的应用命题精解读考什么:(1)考查直线与曲线的位置关系、距离及取值范围的问题. (2)考查学生数学运算、逻辑推理等核心素养及数形结合、转化化归等数学方法.怎么考:极坐标与直线、圆、三角函数等数学知识相结合,考查学生的综合运用能力.新趋势:以极坐标为载体,与其他数学知识交汇考查.学霸求取值范围的解题思路:好方法(1)将极坐标方程与普通方程互化,弄清题目考查知识点;(2)与三角函数结合,根据三角函数的取值范围求题目所要求的问题的取值范围.位置关系问题【典例】在极坐标系中,直线ρcos =1与曲线ρ=r(r>0)相切,求r的值.【解析】直线ρcos =1转化为x-y-2=0,曲线ρ=r(r>0)转化为x2+y2=r2,由于直线和圆相切,则圆心到直线的距离d==1=r.距离问题【典例】(2019·江苏高考)在极坐标系中,已知两点A,B,直线l的方程为ρsin=3.(1)求A,B两点间的距离.(2)求点B到直线l的距离.【解析】(1)设极点为O.在△OAB中,A,B,由余弦定理,得AB==.(2)因为直线l的方程为ρsin=3,则直线l过点,倾斜角为.又B,所以点B到直线l的距离为(3-)×sin=2.取值范围问题【典例】(2020·黄冈模拟)在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρcos=2.已知点Q为曲线C1上的动点,点P在线段OQ上,且满足|OQ|·|OP|=4,动点P的轨迹为C2.(1)求C2的直角坐标方程.(2)设点A的极坐标为,点B在曲线C2上,求△AOB面积的最大值.【解析】(1)设P的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0),Q的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1>0),由题意知|OP|=ρ,|OQ|=ρ1=.由|OQ|·|OP|=4得C2的极坐标方程为ρ=2cos(ρ>0),化简得ρ=cos θ+sin θ,因此C2的直角坐标方程为+=1,但不包括点(0,0).(2)设点B的极坐标为(ρB,α)(ρB>0),由题意知,|OA|=2,ρB=2cos,于是△AOB的面积S=|OA|·ρB·sin∠AOB=2cos·=2≤.当α=0时,S取得最大值.所以△AOB面积的最大值为.关闭Word文档返回原板块。
2021版高考数学(人教A版理科)一轮复习攻略2021版高考数学(人教A版理科)一轮复习：核心素养测评 三十
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核心素养测评三十不等式的性质及一元二次不等式(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.不等式>0的解集为( )A.B.C.D.【解析】选A.不等式可化为<0,解得<x<,所以原不等式的解集为.【变式备选】一元二次不等式(x+2)(5-x)>0的解集为( )A.{x|x<-2或x>5}B.{x|x<-5或x>2}C.{x|-2<x<5}D.{x|-5<x<2}【解析】选C.由(x+2)(5-x)>0,得(x+2)(x-5)<0,所以-2<x<5,所以不等式的解集为{x|-2<x<5}.2.(2020·临沂模拟)已知集合A={x|x2<x+2},B={x|x<a},若A⊆B,则实数a的取值范围为 ( )A.(-∞,-1]B.(-∞,2]C.[2,+∞)D.[-1,+∞)【解析】选C.因为A={x|x2<x+2}={x|-1<x<2},B={x|x<a}且A⊆B,所以a≥2,即实数a的取值范围为[2,+∞).3.若关于x的不等式x2-3ax+2>0的解集为(-∞,1)∪(m,+∞),则a+m等于( )A.-1B.1C.2D.3【解析】选D.由题意知,1和m是方程x2-3ax+2=0的两个根,则由根与系数的关系,得,解得,所以a+m=3.4.在R上定义运算☉:a☉b=ab+2a+b,则满足x☉(x-2)<0的实数x的取值范围是( ) A.(0,2) B.(-2,1)C.(-∞,-2)∪(1,+∞)D.(-1,2)【解析】选B.由题意,得x☉(x-2)=x(x-2)+2x+x-2<0,即x2+x-2<0,得-2<x<1.5.若<<0,给出下列不等式:①<;②|a|+b>0;③a->b-;④ln a2>ln b2.其中正确的不等式是( )A.①④B.②③C.①③D.②④【解析】选C.方法一:因为<<0,故可取a=-1,b=-2.显然|a|+b=1-2=-1<0,所以②错误;因为ln a2=ln(-1)2=0,ln b2=ln(-2)2=ln 4>0,所以④错误.综上所述,可排除A,B,D.方法二:由<<0,可知b<a<0.①中,因为a+b<0,ab>0,所以<0,>0.故有<,即①正确;②中,因为b<a<0,所以-b>-a>0.故-b>|a|,即|a|+b<0,故②错误;③中,因为b<a<0,又<<0,则->->0,所以a->b-,故③正确;④中,因为b<a<0,根据y=x2在(-∞,0)上为减函数,可得b2>a2>0,而y=ln x在定义域(0,+∞)上为增函数,所以ln b2>ln a2,故④错误.由以上分析,知①③正确.6.(2019·厦门模拟)若关于x的不等式2x2-8x-4-a≥0在1≤x≤4内有解,则实数a的取值范围是( )A.a≤-4B.a≥-4C.a≤-12D.a≥-12【解析】选A.原不等式化为:a≤2x2-8x-4,设函数y=2x2-8x-4,其中1≤x≤4;则x=4时函数y=2x2-8x-4取得最大值-4,所以实数a的取值范围是a≤-4.7.若0<a<b,且a+b=1,则a,,2ab,a2+b2中最大的数为( )A.aB.C.2abD.a2+b2【解析】选D.因为0<a<b,且a+b=1,所以a<,a2+b2>=,2ab=2a(1-a)=-2+<,所以a,,2ab,a2+b2中最大的数为a2+b2.二、填空题(每小题5分,共15分)8.已知a1≤a2,b1≥b2,则a1b1+a2b2________a1b2+a2b1(用“>,<,≥,≤”填空). 【解析】a1b1+a2b2-a1b2-a2b1=a1(b1-b2)+a2(b2-b1)=(a1-a2)(b1-b2);因为a1≤a2,b1≥b2;所以a1-a2≤0,b1-b2≥0;所以(a1-a2)(b1-b2)≤0;所以a1b1+a2b2≤a1b2+a2b1.答案:≤9.如果a>b,给出下列不等式:①<;②a3>b3;③>;④2ac2>2bc2;⑤>1;⑥a2+b2+1>ab+a+b.其中一定成立的不等式的序号是________.【解析】①<,不一定成立,例如取a=2,b=-1;②利用函数y=x3在R上单调递增,可知a3>b3,成立;③>,不一定成立,例如a=1,b=-2;④2ac2>2bc2,不一定成立,例如取c=0时;⑤>1,不一定成立,例如取a=2,b=-1;⑥a2+b2+1>ab+a+b化为:(a-1)2+(b-1)2>(a-1)(b-1),所以+(b-1)2>0,因为b=1时,a>1,所以左边恒大于0,成立.其中一定成立的不等式的序号是②⑥.答案:②⑥10.对于实数a、b、c,有下列命题①若a>b,则ac<bc;②若ac2>bc2,则a>b;③若a<b<0,则a2>ab>b2;④若c>a>b>0,则>;⑤若a>b,>,则a>0,b<0.其中正确的是________.【解析】当c=0时,若a>b,则ac=bc,故①为假命题;若ac2>bc2,则c≠0,c2>0,故a>b,故②为真命题;若a<b<0,则a2>ab且ab>b2,即a2>ab>b2,故③为真命题;若c>a>b>0,则<,则<,则>,故④为真命题;若a>b,>,即>,故a·b<0,则a>0,b<0,故⑤为真命题.答案:②③④⑤(15分钟30分)1.(5分)若a,b,c∈R,a>b,则下列不等式成立的是( )A.<bB.a2>b2C.>D.a|c|>b|c|【解析】选C.取a=1,b=-1,排除选项A;取a=0,b=-1,排除选项B;取c=0,排除选项D;显然>0,则不等式a>b的两边同时乘,所得不等式仍成立.2.(5分)(2020·温州模拟)设0<b<1+a,若关于x的不等式(x-b)2>(ax)2的解集中的整数解恰有3个,则a的取值范围是( )A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,3)D.(3,5)【解析】选C.关于x 的不等式(x-b)2>(ax)2 ,等价于(a2-1)x2+2bx-b2<0,转化为[(a+1)x-b]·[(a-1)x+b]<0,不等式的解集中的整数恰有3个,所以a>1,又0<b<1+a所以不等式的解集为<x<<1,所以解集里的整数是-2,-1,0 三个,所以-3≤-<-2,所以2<≤3,即2a-2<b≤3a-3;又因为b<1+a,所以2a-2<1+a,解得a<3,综上,a的取值范围是(1,3).3.(5分)已知p>0,q>0,且p≠q,记A=(1+p)(1+q),B=,C=2+pq,则A、B、C的大小关系为________.(用“<”连接)【解析】因为p>0,q>0,且p≠q,所以A-C=1+p+q+pq-(2+pq)=(1-)2+q>0,所以A>C,又B-A=1+p+q+-(1+p+q+pq)=>0,所以B>A,综上可得C<A<B.答案:C<A<B4.(5分)若a∈R,且a2-a<0,则a,a2,-a,-a2从小到大的排列顺序是________. 【解析】因为a2-a<0,所以0<a<1,-a2-(-a)=-(a2-a)>0,所以-a2>-a,所以-a<-a2<0<a2<a.答案:-a<-a2<a2<a5.(10分)若关于x的不等式x2+mx+2>0在区间[1,2]上有解,求实数m的取值范围.【解析】x∈[1,2]时,不等式可化为m>-x-,设f(x)=-x-,x∈[1,2],则f(x)在[1,2]内的最小值为f(1)=f(2)=-3,所以关于x的不等式x2+mx+2>0在区间[1,2]上有解,实数m的取值范围是m>-3.关闭Word文档返回原板块。
2021版高考数学(人教A版理科)一轮复习攻略2021版高考数学(人教A版理科)一轮复习：核心素养测评 六
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核心素养测评六函数的奇偶性、对称性与周期性(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.下列函数中,与函数y=-3|x|的奇偶性相同,且在(-∞,0)上单调性也相同的是( ) A.y=- B.y=log2|x|C.y=1-x2D.y=x3-1【解析】选C.函数y=-3|x|为偶函数,在(-∞,0)上为增函数,选项B的函数是偶函数,但其单调性不符合,只有选项C符合要求.【变式备选】下列函数中,既是偶函数,又在(0,+∞)上单调递增的函数是 ( )A.y=B.y=|x|+1C.y=-x2+1D.y=2-|x|【解析】选B.因为y=是奇函数,y=|x|+1,y=-x2+1,y=2-|x|均为偶函数,所以A错误;又因为y=-x2+1,y=2-|x|=在(0,+∞)上均为减函数,只有y=|x|+1在(0,+∞)上为增函数,所以C,D错误.2.已知函数f(x)=的图象关于原点对称,g(x)=ln (e x+1)-bx是偶函数,则log a b= ( )A.1B.-1C.-D.【解析】选B.由题意得f(0)=0,所以a=2.因为g(1)=g(-1),所以ln (e+1)-b=ln +b,所以b=,所以log2=-1.3.x为实数,[x]表示不超过x的最大整数,则函数f(x)=x-[x]在R上为( )A.奇函数B.偶函数C.增函数D.周期函数【解析】选D.函数f(x)=x-[x]在R上的图象如图:所以f(x)在R上是周期为1的函数.【变式备选】设函数f(x),g(x)的定义域为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是 ( )A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数【解析】选C.f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,故f(x)·g(x)为奇函数,|f(x)|g(x)为偶函数,f(x)|g(x)|为奇函数,|f(x)g(x)|为偶函数.4.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2+2x,若f(2-a2)>f(a),则实数a的取值范围是( )A.(-∞,-1)∪(2,+∞)B.(-1,2)C.(-2,1)D.(-∞,-2)∪(1,+∞)【解析】选C.因为f(x)是奇函数,所以当x<0时,f(x)=-x2+2x.作出函数f(x)的大致图象如图中实线所示,结合图象可知,f(x)是R上的增函数,由f(2-a2)>f(a),得2-a2>a,解得-2<a<1.5.定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),且在[0,2)上单调递减,则下列结论正确的是( )A.0<f(1)<f(3)B.f(3)<0<f(1)C.f(1)<0<f(3)D.f(3)<f(1)<0【解析】选C.由函数f(x)是定义在R上的奇函数,得f(0)=0,由f(x+2)=-f(x),得f(x+4)=-f(x+2)=f(x),故函数f(x)是以4为周期的周期函数,所以f(3)=f(-1),又f(x)在 [0,2)上单调递减,所以函数f(x)在(-2,2)上单调递减,所以f(-1)>f(0)>f(1),即f(1)<0<f(3),故选C.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2018·全国卷Ⅲ)已知函数f=ln(-x)+1,f(a)=4,则f(-a)=________.【解析】令g(x)=ln(-x),则g(-x)=ln(+x)=ln(+x)=ln=-ln(-x)=-g(x),所以g(x)是奇函数,由已知,f(x)=g(x)+1,f(a)=g(a)+1=4,g(a)=3,所以f(-a)=g(-a)+1=-g(a)+1=-2.答案:-2【变式备选】函数f(x)在R上为奇函数,且x>0时,f(x)=x2-x,则当x<0时,f(x)=________. 【解析】函数f(x)在R上为奇函数,f(-x)=-f(x);且x>0时,f(x)=x2-x,则当x<0时,f(x)=-f(-x)=-(x2+x)=-x2-x.答案:-x2-x7.已知偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递减,f(2)=0.若f(x-1)>0,则x的取值范围是________.【解析】因为f(2)=0,f(x-1)>0,所以f(x-1)>f(2),又因为f(x)是偶函数,所以f(|x-1|)>f(2),又f(x)在[0,+∞)上单调递减,所以|x-1|<2,所以-2<x-1<2,所以-1<x<3,所以x∈(-1,3).答案:(-1,3)8.定义:函数f(x)在闭区间[a,b]上的最大值与最小值之差为函数f(x)的极差.若定义在区间[-2b,3b-1]上的函数f(x)=x3-ax2-(b+2)x是奇函数,则a+b=________,函数f(x)的极差为________.【解析】由f(x)在[-2b,3b-1]上为奇函数,所以区间关于原点对称,故-2b+3b-1=0,解得b=1,又由f(-x)+f(x)=0可求得a=0,所以a+b=1.又f(x)=x3-3x, f'(x)=3x2-3,易知f(x)在(-2,-1),(1,2)上单调递增,f(x)在(-1,1)上单调递减,所以在[-2,2]上的最大值、最小值分别为f(-1)=f(2)=2,f(1)=f(-2)=-2,所以极差为4.答案:1 4三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知函数f(x)=是奇函数.(1)求实数m的值.(2)若函数f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数a的取值范围.【解析】(1)设x<0,则-x>0,所以f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x.又f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x).于是x<0时,f(x)=x2+2x=x2+mx,所以m=2.(2)要使f(x)在[-1,a-2]上单调递增,结合f(x)的图象知所以1<a≤3,故实数a的取值范围是(1,3].10.设函数f(x)是定义在R上的奇函数,对任意实数x都有f=-f成立.(1)证明y=f(x)是周期函数,并指出其周期.(2)若f(1)=2,求f(2)+f(3)的值.(3)若g(x)=x2+ax+3,且y=|f(x)|·g(x)是偶函数,求实数a的值.【解析】(1)由f=-f,且f(-x)=-f(x),知f(3+x)=f=-f=-f(-x)=f(x),所以y=f(x)是周期函数,且T=3是其一个周期.(2)因为f(x)为定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,且f(-1)=-f(1)=-2,又T=3是y=f(x)的一个周期,所以f(2)+f(3)=f(-1)+f(0)=-2+0=-2.(3)因为y=|f(x)|·g(x)是偶函数,且|f(-x)|=|-f(x)|=|f(x)|,所以|f(x)|为偶函数.故g(x)=x2+ax+3为偶函数,即g(-x)=g(x)恒成立,于是(-x)2+a(-x)+3=x2+ax+3恒成立.于是2ax=0恒成立,所以a=0.(15分钟35分)1.(5分)(2020·佛山模拟)若函数f(x)=(a∈R)为偶函数,则下列结论正确的是 ( )A.f(a)>f(2a)>f(0)B.f(a)>f(0)>f(2a)C.f(2a)>f(a)>f(0)D.f(2a)>f(0)>f(a)【解析】选C.因为函数f(x)=(a∈R)为偶函数,所以f(-1)=f(1),解得a=1.又因为函数在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,所以f(2a)>f(a)>f(0).【变式备选】设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是( )A.f(x)+|g(x)|是偶函数B.f(x)-|g(x)|是奇函数C.|f(x)|+g(x)是偶函数D.|f(x)|-g(x)是奇函数【解析】选A.由g(x)是奇函数,可得g(-x)=-g(x),所以|g(x)|=|g(-x)|,即|g(x)|为偶函数,又f(x)为偶函数,所以f(x)+|g(x)|为偶函数.2.(5分)设函数f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),则f(x)是( )A.奇函数,且在(0,1)内是增函数B.奇函数,且在(0,1)内是减函数C.偶函数,且在(0,1)内是增函数D.偶函数,且在(0,1)内是减函数【解析】选A.易知f(x)的定义域为(-1,1),且f(-x)=ln(1-x)-ln(1+x)=-f(x),则y=f(x)为奇函数,又y=ln(1+x)与y=-ln(1-x)在(0,1)上是增函数,所以f(x)=ln(1+x)-ln(1-x)在(0,1)上是增函数.3.(5分)(2020·海口模拟)设函数f(x)=,则使得f(x)>f(2x-1)成立的x的取值范围是________.【解析】因为f(-x)=-f(x),所以f(x)是奇函数,且x>0时,f(x)==1-,故f(x)单调递增,又f(0)=0,从而f(x)是R上的增函数,故f(x)>f(2x-1)等价于x>2x-1,解得x<1.答案:(-∞,1)【变式备选】设定义在[-2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上单调递减,若f(1-m)<f(m),则实数m的取值范围是________.【解析】因为f(x)是偶函数,所以f(-x)=f(x)=f(|x|).所以f(1-m)<f(m)等价于f(|1-m|)<f(|m|).又当x∈[0,2]时,f(x)是减函数,所以解得-1≤m<.答案:4.(10分)已知函数f(x)=2|x-2|+ax(x∈R)有最小值.(1)求实数a的取值范围.(2)设g(x)为定义在R上的奇函数,且当x<0时,g(x)=f(x),求g(x)的解析式. 【解析】(1)f(x)=要使函数f(x)有最小值,需所以-2≤a≤2,故a的取值范围为[-2,2].(2)因为g(x)为定义在R上的奇函数,所以g(0)=0.设x>0,则-x<0.所以g(x)=-g(-x)=(a-2)x-4,所以g(x)=5.(10分)设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x.(1)求f(π)的值.(2)当-4≤x≤4时,求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积.【解析】(1)由f(x+2)=-f(x)得,f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x),所以f(x)是以4为周期的周期函数,所以f(π)=f(-1×4+π)=f(π-4)=-f(4-π)=-(4-π)=π-4.(2)由f(x)是奇函数且f(x+2)=-f(x),得f[(x-1)+2]=-f(x-1)=f[-(x-1)],即f(1+x)=f(1-x).故知函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称.又当0≤x≤1时,f(x)=x,且f(x)的图象关于原点成中心对称,则f(x)的图象如图所示.当-4≤x≤4时,f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S,则S=4S△OAB=4×=4.【拓广探索练】1.(2020·重庆模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f(1-x)=f(1+x),当x∈[0,1]时,f(x)=log2(x+1),则f(2 019)= ( )A.1B.-1C.0D.log23【解析】选B.因为奇函数f(x)满足f(1-x)=f(1+x),所以f(x+1)=f(1-x)=-f(x-1),即f(x+2)=-f(x),则f(x+4)=-f(x+2)=f(x),即函数f(x)是周期为4的函数,因为当x∈[0,1]时,f(x)=log2(x+1),所以f(2 019)=f(505×4-1)=f(-1)=-f(1)=-log22=-1.2.设函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意的x∈R恒有f(x+1)=f(x-1),已知当x∈[0,1]时,f(x)=2x,则有①2是函数f(x)的周期;②函数f(x)在(1,2)上是减函数,在(2,3)上是增函数;③函数f(x)的最大值是1,最小值是0.其中所有正确命题的序号是________.【解析】在f(x+1)=f(x-1)中,令x-1=t,则有f(t+2)=f(t),因此2是函数f(x)的周期,故①正确;当x∈[0,1]时,f(x)=2x是增函数,根据函数的奇偶性知,f(x)在[-1,0]上是减函数,根据函数的周期性知,函数f(x)在(1,2)上是减函数,在(2,3)上是增函数,故②正确;由②知,f(x)在[0,2]上的最大值f(x)max=f(1)=2,f(x)的最小值f(x)min=f(0)=20=1且f(x)是周期为2的周期函数,所以f(x)的最大值是2,最小值是1,故③错误.答案:①②关闭Word文档返回原板块。
2021版高考数学(人教A版理科)一轮复习攻略核心考点·精准研析 10.9.2
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核心考点·精准研析考点一几何法求最值1.设P是椭圆+=1上一点,M,N分别是两圆:(x+4)2+y2=1和(x-4)2+y2=1上的点,则|PM|+|PN|的最小值、最大值分别为( )A.9,12B.8,11C.8,12D.10,122.已知点A是抛物线C:y2=4x上的一个动点,点A到直线x-y+3=0的距离为d1,到直线x=-2的距离为d2,则d1+d2的最小值为( )A.+2B.2C.+3D.2+1【解析】1.选C.如图,由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点A,B,由椭圆定义知|PA|+|PB|=2a=10,连接PA,PB分别与圆相交于两点,此时|PM|+|PN|最小,最小值为|PA|+|PB|-2R=8;连接PA,PB并延长,分别与圆相交于两点,此时|PM|+|PN|最大,最大值为|PA|+|PB|+2R=12,即最小值和最大值分别为8,12.2.选D.抛物线的焦点为F(1,0),准线为x=-1,则d2=|AF|+1.故d1+d2=|AF|+d1+1.显然,当点A为点F到直线x-y+3=0的垂线段与抛物线的交点时,|AF|+d1取到最小值d==2.故d1+d2的最小值为2+1.几何方法求解圆锥曲线中的最值问题,即通过圆锥曲线的定义、几何性质将最值转化,利用平面几何中的定理、性质,结合图形的直观性求解最值问题.常用的结论有:(1)两点间线段最短;(2)点到直线的垂线段最短.考点二代数法求最值问题命题精解读考什么:(1)考查圆锥曲线中相关最值问题的求解;(2)考查数学建模、数学运算以及逻辑推理的核心素养以及函数与方程、转化与化归等数学思想方法.怎么考:(1)涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题; (2)求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题.新趋势:最值问题与函数、不等式等其他知识相结合学霸好方法1.代数法求解最值问题的解题思路首先需要根据题目的条件和结论找出明确的函数关系,建立起目标函数,然后转化为函数的最值求解,最值常用基本不等式法、配方法、函数单调性法等求解.2.交汇问题求解函数最值,要根据函数解析式的结构特征灵活变形,采用相应的方法求解利用基本不等式求最值【典例】已知椭圆+=1(a>b>0),F1,F2为它的左、右焦点,P为椭圆上一点,已知∠F1PF2=60°,=,且椭圆的离心率为.(1)求椭圆方程.(2)已知T(-4,0),过T的直线与椭圆交于M,N两点,求△MNF1面积的最大值. 【解题导思】序号题目拆解(1)求参数a,b利用椭圆的定义和几何性质,转化已知,建立方程组求解.(2)①求M,N两点坐标的关系设直线方程,直线方程和椭圆方程联立方程组,消元后利用根与系数的关系建立坐标的关系式②求△MNF1的面积利用点F1,把所求三角形的面积用两个三角形面积之差表示,从而进行坐标运算,建立面积模型根据式子的结构特征,通过化简构造基本③求面积的最值不等式求解最值【解析】(1)由已知,得|PF1|+|PF2|=2a,①|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos 60°=4c2,即|PF1|2+|PF2|2-|PF1||PF2|=4c2,②|PF1||PF2|sin 60°=,即|PF1||PF2|=4,③联立①②③解得a2-c2=3.又=,所以c2=1,a2=4,b2=a2-c2=3,椭圆方程为+=1.(2)根据题意可知直线MN的斜率存在,且不为0.设M(x1,y1),N(x2,y2),直线MN的方程为x=my-4,代入椭圆方程整理得(3m2+4)y2-24my+36=0,则Δ=(-24m)2-4×36×(3m2+4)>0,所以m2>4.y1+y2=,y1y2=,则△MNF1的面积=|-|=|TF1|·|y1-y2|===18=6×=6×≤=.当且仅当=,即m2=时(此时适合Δ>0的条件)取得等号.故△MNF1面积的最大值为.利用函数单调性求最值【典例】已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,左、右焦点分别为F1,F2,A 为椭圆C上一点,AF1与y轴交于点B,|AB|=|F2B|,|OB|=.(1)求椭圆C的方程.(2)过右焦点F2的直线y=k(x-2)(k≠0)交椭圆于P、Q两点,若PQ的中点为N,O 为原点,直线ON交直线x=3于点M.求的最大值.【解题导思】序号题目拆解利用椭圆的几何性质,转化已(1)求参数a,b知,建立方程组求解(2)①求N 点坐标直线和椭圆方程联立方程组,消元后利用根与系数的关系求N点坐标②求M点坐标求直线ON方程,与直线x=3联立,即可求得M点坐标③求利用坐标分别表示出两条线段的长度,构建目标函数④求最值根据目标函数结构特征,通过换元转化为二次函数的最值问题求解【解析】(1)连接AF2,由题意得|AB|=|F2B|=|F1B|,所以BO为△F1AF2的中位线,又因为BO⊥F1F2,所以AF2⊥F1F2,且|AF2|=2|BO|==,又e==,a2=b2+c2,得a2=6,b2=2,故所求椭圆方程为+=1.(2)联立 ,可得(3k2+1)x2-12k2x+12k2-6=0.设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=,所以y1+y2=k(x1+x2)-4k=,所以PQ的中点N的坐标为,|PQ|=,因此直线ON的方程为y=-x,从而点M为,|MF2|=,设I==,令u=3k2+1,则I=8=-=-,因此当u=4,即k=±1时取得最大值.1.已知椭圆C的左、右焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0),且F2到直线x-y-9=0的距离等于椭圆的短轴长.(1)求椭圆C的方程.(2)若圆P的圆心为P(0,t)(t>0),且经过F1,F2,Q是椭圆C上的动点且在圆P外,过点Q作圆P的切线,切点为M,当|QM|的最大值为时,求t的值.【解析】(1)设椭圆的方程为+=1(a>b>0).依题意可知,2b==4,所以b=2.又c=1,故a2=b2+c2=5,故椭圆C的方程为+=1.(2)由题意,圆P的方程为x2+(y-t)2=t2+1.设Q(x0,y0),因为PM⊥QM,所以|QM|=== .若-4t≤-2, 即t≥,当y0=-2时,|QM|取得最大值,|QM|max==,解得t=<(舍去).若-4t>-2,即0<t<,当y0=-4t时,|QM|取最大值,且|QM|max==,解得t=.综上可知,当t=时,|QM|的最大值为.2.已知点C是圆F:(x-1)2+y2=16上任意一点,点F′与圆心F关于原点对称.线段CF′的中垂线与CF交于P点.(1)求动点P的轨迹方程E.(2)设点A(4,0),若直线PQ⊥x轴且与曲线E交于另一点Q,直线AQ与直线PF交于点B,证明:点B恒在曲线E上,并求△PAB面积的最大值.【解析】(1)由题意得,F点坐标为(1,0),F′(-1,0),因为P为CF′中垂线上的点,所以|PF′|=|PC|.又|PC|+|PF|=4,所以|PF′|+|PF|=4>|FF′|=2,由椭圆的定义知,2a=4,c=1,所以动点P的轨迹方程E为+=1.(2)设P点坐标为(m,n)(n≠0),则Q点的坐标为(m,-n),且3m2+4n2=12,所以直线QA:y=(x-4),即nx-(4-m)y-4n=0,直线PF:y=(x-1),即nx-(m-1)y-n=0.联立方程组解得x B=,y B=,则+=+===1,所以点B恒在椭圆E上.设直线PF:x=ty+1,P(x1,y1),B(x2,y2),则由消去x整理得(3t2+4)y2+6ty-9=0,所以y1+y2=-,y1y2=-,所以|y1-y2|===,从而S△PAB=|FA||y1-y2|===.令μ=(μ≥1),则函数g(μ)=3μ+在[1,+∞)上单调递增,故g(μ)min=g(1)=4,所以S△PAB≤=,即当t=0时,△PAB的面积取得最大值, 且最大值为.1.(2019·菏泽模拟)抛物线E:x2=2py(0<p<2)的焦点为F,圆C:x2+(y-1)2=1,点P(x0,y0)为抛物线上一动点.已知当|PF|=时,△PFC的面积为.(1)求抛物线方程.(2)若y0>,过P作圆C的两条切线分别交y轴于M,N两点,求△PMN面积的最小值,并求出此时P点坐标.【解析】(1)由题意知,F,C(0,1),因为0<p<2,所以|FC|=1-,又|PF|=p,所以y0+=p,所以y0=2p,所以|x0|=2p,所以S△PFC=2p=,所以p=1,所以抛物线方程为x2=2y.(2)由题意,设过点P且与圆C相切的直线的方程为y-y0=k(x-x0).令x=0,得y=y0-kx0,所以切线与y轴的交点为(0,y0-kx0),而圆心到切线的距离d==1,整理得(-1)k2+2x0(1-y0)k+-2y0=0.因为y0>,所以>1,设两切线斜率为k1,k2,则k1+k2=,k1k2=,所以S△PMN=|(y0-k1x0)-(y0-k2x0)||x0|=|k1-k2|,因为|k1-k2|2=(k1+k2)2-4k1k2=-=,所以|k1-k2|=,则S△PMN=,令2y0-1=t(t>0),则y0=,所以S△PMN=f(t)===++1,而++1≥2+1=2,当且仅当=,即t=1时,“=”成立.所以S△PMN的最小值为2,此时P(±,1).2.(2020·济南模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点为F1,F2,长轴端点为A,B,O为椭圆中心,·=1,斜率为的直线l与椭圆C交于不同的两点,这两点在x轴上的射影恰好是椭圆C的两个焦点.(1)求椭圆C的方程.(2)若抛物线y2=4x上存在两个点M,N,椭圆C上存在两个点P,Q,满足M,N,F2三点共线,P,Q,F2三点共线,且PQ⊥MN,求四边形PMQN面积的最小值.【解析】(1)已知椭圆方程为:+=1(a>b>0),利用数量积运算·=1,可得a2-c2=1,直线l的方程为y=x,当x=c时,y=c,代入椭圆方程可得+=1,联立解得a2=2,c2=1,椭圆方程为+y2=1.(2)①当直线MN的斜率不存在时,直线PQ的斜率为0,得到|MN|=4,|PQ|=2,S四边形PMQN=4.②当直线MN的斜率存在时,设直线MN方程为y=k(x-1)(k≠0),与抛物线y2=4x 联立得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=+2,x1·x2=1,|MN|=·=+4,因为PQ⊥MN,所以直线PQ的方程为y=-(x-1)(k≠0),将直线PQ与椭圆方程联立,得(k2+2)x2-4x+2-2k2=0,设P(x3,y3),Q(x4,y4),则x3+x4=,x3·x4=,所以|PQ|=·=,所以四边形PMQN的面积S四边形PMQN=,令1+k2=t(t>1),则S四边形PMQN==4>4.综上,S四边形PMQN≥4,其最小值为4.关闭Word文档返回原板块。
2021版高考数学(人教A版理科)一轮复习攻略核心考点·精准研析 10.10.1
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核心考点·精准研析考点一直线过定点问题【典例】(2020·郑州模拟)已知O(0,0)和K(0,2)是平面直角坐标系中两个定点,过动点M(x,y)的直线MO和MK的斜率分别为k1,k2,且k1·k2=- .(1)求动点M(x,y)的轨迹C的方程.(2)过点K作相互垂直的两条直线与轨迹C交于A,B两点,求证:直线AB过定点. 【解题导思】序号联想解题(1)利用两点坐标表示出直线OM,MK的斜率,即可得到动点坐标所满足的条件(注意斜率存在的条件)(2) 根据点K的位置,确定过点K相互垂直的两直线斜率是否存在;若两直线斜率存在,则斜率互为负倒数.建立A,B两点坐标之间的关系,求出直线方程所满足的条件,进而确定定点.【解析】(1)由题意,知k1·k2=-,得·=-,整理得x2+y(y-2)=0,故C的方程为+(y-1)2=1(x≠0).(也可以写作x2+2y2-4y=0).(2)显然两条过点K的直线斜率都存在,设过点K的直线方程为y=kx+2,联立解得x=,y=,设直线AB的方程为:Ax+By+C=0,将x=,y=代入得++C=0整理得:2Ck2-4Ak+2B+C=0,由于两直线垂直,斜率乘积为-1,根据根与系数的关系=-1,即2B+3C=0,故直线AB过定点.圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法:引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量,再研究变化的量与参数何时没有关系,找到定点.(2)特殊到一般法,根据动点或动线的特殊情况探索出定点,再证明该定点与变量无关.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,F1,F2分别为其左、右焦点,P为椭圆C 上一点,且△F1PF2的周长为4+2.(1)求椭圆C的方程.(2)过点A(4,0)作关于x轴对称的两条不同的直线l1,l2,若直线l1交椭圆C于一点M(x1,y1),直线l2交椭圆C于一点N(x2,y2),x1≠x2,证明:直线MN过定点.【解析】(1)根据椭圆的离心率为,及△F1PF2的周长为4+2,可得解得所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)设直线MN的方程为x=ny+m.联立方程组 ,整理得y2+2nmy+m2-4=0,所以y1+y2=,y1y2=.因为关于x轴对称的两条不同直线l1,l2的斜率之和为0,所以+=0,即+=0,所以2ny1y2+m-4=0,所以-+=0,所以m=1.所以直线MN方程为x=ny+1,所以直线MN 过定点.考点二圆过定点问题【典例】(2020·咸阳模拟)已知A(-2,0),B(2,0),点C是动点且直线AC和直线BC的斜率之积为- .(1)求动点C的轨迹方程.(2)设直线l与(1)中轨迹相切于点P,与直线x=4相交于点Q,判断以PQ为直径的圆是否过x轴上一定点.【解题导思】序号联想解题(1)两直线的斜率存在,故动点C 与A,B两点横坐标不相等;利用点的坐标表示出斜率,构造等式关系.(2) 直线和曲线相切,可利用判别式建立直线方程中的参数之间的关系,代入方程求出点Q的坐标,转化为两个向量垂直,进而坐标化处理【解析】(1)设C(x,y).由题意得k AC·k BC=·=-(y≠0).整理,得+=1(y ≠0).故动点C的轨迹方程为+=1(y≠0).(2)方法一:易知直线l的斜率存在,设直线l:y=kx+m.联立得方程组消去y并整理,得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0.依题意得Δ=(8km)2-4(3+4k2)(4m2-12)=0,即3+4k2=m2.设x1,x2为方程(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0的两个根,则x1+x2=,所以x1=x2=.所以P,即P.又Q(4,4k+m),设R(t,0)为以PQ为直径的圆上一点,则由·=0,得·(4-t,4k+m)=0.整理,得(t-1)+t2-4t+3=0.由的任意性,得t-1=0且t2-4t+3=0,解得t=1.综上可知以PQ为直径的圆过x轴上一定点(1,0).方法二:设P(x0,y0),则曲线C在点P处的切线PQ:+=1. 令x=4,得Q.设R(t,0)为以PQ为直径的圆上一点,则由·=0,得(x0-t)·(4-t)+3-3x0=0,即x0(1-t)+t2-4t+3=0.由x0的任意性,得1-t=0且t2-4t+3=0,解得t=1.综上可知,以PQ为直径的圆过x轴上一定点(1,0).圆过定点,可依据直径所对圆周角为直角直接转化为两条线段的垂直,进而转化为两个向量垂直,即两向量的数量积等于0,从而建立方程求解定点的坐标.(2019·济南模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的右顶点为A,左焦点为F1,离心率e=,过点A的直线与椭圆交于另一个点B,且点B在x轴上的射影恰好为点F1,若=3+.(1)求椭圆C的标准方程.(2)过圆E:x2+y2=4上任意一点P作圆E的切线l,l与椭圆交于M,N两点,以MN为直径的圆是否过定点,如果过定点,求出该定点;若不过定点,请说明理由.【解析】(1)因为e==,所以a=c,b=c,设B(-c,y0),代入椭圆方程得: |y0|=b,所以=|y0||F1A|=b2(1+),所以b2(1+)=3+,所以b2=6,所以a2=12,所以椭圆C的标准方程为+=1.(2)当直线l的斜率不存在时,以MN为直径的圆的圆心为(2,0)或(-2,0),半径为2,以MN为直径的圆的标准方程为: (x+2)2+y2=4或(x-2)2+y2=4,因为两圆都过坐标原点,所以以MN为直径的圆过坐标原点,当直线l的斜率存在时,设其方程为y=kx+m,M(x1,y1),N(x2,y2),因为直线与圆相切,所以圆心到直线l的距离d==2,所以m2=4k2+4,由化简得:(2k2+1)x2+4kmx+2m2-12=0,所以x1+x2=-,x1x2=,所以·=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m) =(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=-+m2===0,所以以MN为直径的圆过坐标原点,综上,以MN为直径的圆恒过坐标原点.考点三定值问题命题精解读考什么:(1)考查圆锥曲线中与定值有关问题的求解与证明等问题.(2)考查数学运算、逻辑推理以及数学建模的核心素养、考查函数与方程、转化与化归的数学思想等.怎么考:以直线和圆锥曲线的位置关系为基础,考查定值问题的求解与证明.新趋势:以定值问题为核心,与函数、平面向量等知识模块交汇.学霸好方法圆锥曲线中定值问题的特点及两大解法(1)特点:待证几何量不受动点或动线的影响而有固定的值.(2)两大解法:①从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关;②变量法:其解题流程为变量→选择适当的动点坐标或动线中系数为变量↓函数→把要证明为定值的量表示成上述变量的函数↓定值→把得到的函数化简,消去变量得到定值与长度、角度相关的定值【典例】(2020·济宁模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,且椭圆C 过点P.(1)求椭圆C的方程.(2)设椭圆C的右焦点为F,直线l与椭圆C相切于点A,与直线x=3相交于点B,求证:∠AFB的大小为定值.【解析】(1)因为椭圆C过点,所以+=1 ①因为离心率为,所以=②又因为a2=b2+c2③由①②③得a2=3,b2=2,c2=1.所以椭圆C的方程为:+=1.(2)显然直线l的斜率存在,设直线l的方程为:y=kx+m.由消去y得(2+3k2)x2+6kmx+3m2-6=0,由Δ=24(3k2-m2+2)=0得m2=3k2+2.所以x A=-=-=-,所以y A=kx A+m=-+m==.所以切点A的坐标为,又点B的坐标为(3,3k+m),右焦点F的坐标为(1,0),所以=,=(2,3k+m),所以·=×2+×(3k+m)=0,所以∠AFB=90°,即∠AFB的大小为定值.代数式的定值【典例】已知抛物线C:y2=ax(a>0)上一点P到焦点F的距离为2t.(1)求抛物线C的方程.(2)抛物线C上一点A的纵坐标为1,过点Q(3,-1)的直线与抛物线C交于M,N两个不同的点(均与点A不重合),设直线AM,AN的斜率分别为k1,k2,求证:k1k2为定值.【解析】(1)由抛物线的定义可知|PF|=t+=2t,则a=4t,由点P在抛物线上,得at=,所以a×=,则a2=1,由a>0,得a=1,所以抛物线C的方程为y2=x.(2)因为点A在抛物线C上,且y A=1,所以x A=1.所以A(1,1),设过点Q(3,-1)的直线的方程为x-3=m(y+1),即x=my+m+3,代入y2=x得y2-my-m-3=0.设M(x1,y1),N(x2,y2),则y1+y2=m,y1y2=-m-3,所以k1k2=·==-.所以k1k2为定值.1.(2019·青岛模拟)已知直线l过抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点,且垂直于抛物线的对称轴,l与抛物线两交点间的距离为2.(1)求抛物线C的方程.(2)若点P(2,2),过点(-2,4)的直线m与抛物线C相交于A,B两点,设直线PA与PB的斜率分别为k1和k2.求证:k1k2为定值,并求出此定值.【解析】(1)由题意可知,2p=2,解得p=1,则抛物线的方程为x2=2y.(2)由题易知直线m的斜率存在,设直线m的方程为y-4=k(x+2),A(x1,y1),B(x2,y2),则k1==,k2==,k1k2==,联立抛物线x2=2y与直线y-4=k(x+2)的方程消去y得x2-2kx-4k-8=0,其中Δ=4(k2+4k+8)>0恒成立,可得x1+x2=2k,x1x2=-4k-8,则k1k2=-1.因此k1k2为定值,且该定值为-1.2.已知,椭圆C经过点A,两个焦点分别为(-1,0),(1,0).(1)求椭圆C的方程.(2)E,F是椭圆C上的两个动点,如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数,证明直线EF的斜率为定值,并求出这个定值.【解析】(1)由题意,c=1,可设椭圆方程为+=1,因为A在椭圆上,所以+=1,解得b2=3,b2=-(舍去).所以椭圆C的方程为+=1.(2)设直线AE的方程为:y=k(x-1)+,代入+=1得(3+4k2)x2+4k(3-2k)x+4-12=0.设E(x E,y E),F(x F,y F),因为点A在椭圆上,所以x E=,y E=kx E+-k.又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数,在上式中以-k代k,可得x F=,y F=-kx F++k.所以直线EF的斜率k EF===.即直线EF的斜率为定值,其值为.1.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的一个焦点与y2=8x的焦点重合且点A(2,)为椭圆上一点(1)求椭圆方程.(2)过点A任作两条与椭圆C相交且关于x=2对称的直线,与椭圆C分别交于P,Q 两点,求证:直线PQ的斜率是定值.【解析】(1)抛物线y2=8x的焦点为F(2,0),则椭圆C的一个焦点为F(2,0),故a2=b2+4,把点A代入椭圆方程得:+=1,解得:所以椭圆C方程为+=1. (2)由题意,可设直线AP的方程为y=k(x-2)+, 则直线AQ的方程为y=-k(x-2)+,设P(x1,y1),Q(x2,y2),则y1=k(x1-2)+,y2=-k(x2-2)+,把直线AP的方程与椭圆C方程联立得:(1+2k2)x2+(4k-8k2)x+(8k2-8k-4)=0,2·x1=,故x1=,同理可得x2=,所以k PQ====k·=k·=,所以直线PQ的斜率是定值.2.已知椭圆C:+=1(a>b>0)经过(1,1)与两点.(1)求椭圆C的方程.(2)过原点的直线l与椭圆C交于A,B两点,椭圆C上一点M满足|MA|=|MB|.求证:++为定值.【解析】(1)将(1,1)与两点代入椭圆C的方程,得解得所以椭圆C的方程为+=1.(2)由|MA|=|MB|,知M在线段AB的垂直平分线上,由椭圆的对称性知A,B关于原点对称.①若点A,B是椭圆的短轴顶点,则点M是椭圆的一个长轴顶点,此时++=++=2=2.同理,若点A,B是椭圆的长轴顶点,则点M是椭圆的一个短轴顶点,此时++=++=2=2.②若点A,B,M不是椭圆的顶点,设直线l的方程为y=kx(k≠0),则直线OM的方程为y=-x,设A(x1,y1),B(-x1,-y1),由解得=,=,所以|OA|2=|OB|2=+=,同理|OM|2=,所以++=2×+=2,故++=2为定值.关闭Word文档返回原板块。
21高考数学人教A理科一轮复习攻略核心考点·精准研析 集 合 含解析
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核心考点·精准研析考点一集合的含义及表示1.已知集合A={1,2,4},则集合B={(x,y)|x∈A,y∈A}中元素的个数为( )A.3B.6C.8D.92.若集合A={x∈R|ax2-3x+2=0}中只有一个元素,则a= ( )A. B. C.0 D.0或3.已知a,b∈R,若={a2,a+b,0},则a2 021+b2 021为( )A.1B.0C.-1D.±14.(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},则A 中元素的个数为 ( )A.9B.8C.5D.4【解析】 1.选 D.集合B中元素有(1,1),(1,2),(1,4),(2,1),(2,2),(2,4), (4,1),(4,2),(4,4),共9个.2.选D.若集合A中只有一个元素,则方程ax2-3x+2=0只有一个实根或有两个相等实根.当a=0时,x=,符合题意;当a≠0时,由Δ=(-3)2-8a=0得a=,所以a的取值为0或.3.选C.由已知得a≠0,则=0,所以b=0,于是a2=1,即a=1或a=-1,又根据集合中元素的互异性可知a=1应舍去,因此a=-1,故a2 021+b2 021=(-1)2 021+02 021=-1.4.选A.由x2+y2≤3知,-≤x≤,-≤y≤.又x∈Z,y∈Z,所以x∈{-1,0,1},y∈{-1,0,1},所以A中元素的个数为9.1.集合定义应用要明确构成集合的元素,即弄清该集合是数集、点集,还是其他集合;然后看元素的限制条件是什么,准确把握集合的含义.2.二次项系数讨论若二次函数、一元二次方程、一元二次不等式等的二次项系数含有参数,必须讨论二次项系数为0的情况.【秒杀绝招】1.排除法解T2,a=0时显然方程有一个解,排除A、B,当a≠0时,由Δ=0解得a=,排除C.2.图象法解T4,画出圆x2+y2=3,在圆内找整点.如图所示,在圆内共有9个整点,故选A.考点二集合间的基本关系【典例】1.(2020·邯郸模拟)已知集合A={x|x2-4x<5},B={x|<2},则下列判断正确的是( )A.-1,2∈AB.∉BC.B⊆AD.A∪B={x|-5<x<4}2.(2019·大庆模拟)集合A=,B={y|y=x2+1,x∈A},则集合B的子集个数为 ( )A.5B.8C.3D.23.已知集合A={x|y=},B={x|a≤x≤a+1},若B⊆A,则实数a的取值范围为( )A.(-∞,-3]∪[2,+∞)B.[-1,2]C.[-2,1]D.[2,+∞)【解题导思】序号联想解题1 由集合A,想到一元二次方程的根2 由求集合B子集的个数,想到子集计算公式2n3 由B⊆A,想到列不等式组【解析】1.选C.因为A={x|-1<x<5},B={x|0≤x<4},所以B⊆A.2.选 B.由≤0得-1≤x<3,则A={-1,0,1,2},B={y|y=x2+1,x∈A}={1,2,5},其子集的个数为23=8个.3.选 C.集合A={x|y=}={x|-2≤x≤2},因为B⊆A,所以有所以-2≤a≤1.1.集合间基本关系的两种判定方法(1)化简集合,从表达式中寻找两集合的关系.(2)用列举法、图示法、数轴表示各个集合,从元素或图形中寻找关系.2.求参数的方法将两集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系,表示为参数满足的关系.解决这类问题还要合理利用数轴、Venn图化抽象为直观进行求解.1.已知集合M={0,1},则满足条件M∪N=M的集合N的个数为( )A.1B.2C.3D.42.已知集合A={x∈R|x2+x-6=0},B={x∈R|ax-1=0},若B⊆A,则实数a 的取值集合为________.【解析】1.选D.由M∪N=M,得N⊆M.又M中有2个元素,故其子集的个数为22=4,所以集合N的个数为4.2.A={-3,2},若a=0,则B=∅,满足B⊆A;若a≠0,则B=,由B⊆A 知,=-3或=2,故a=-或a=,因此a 的取值集合为.答案:考点三集合的运算命题精解读考什么:(1)集合的交、并、补集运算.(2)考查数学运算、逻辑推理、直观想象等核心素养和数形结合等数学思想.怎么考:与不等式结合,考查集合的基本运算,属基础题类型.新趋势:以集合为载体,考查解不等式、集合的交、并、补等知识以及数形结合等数学思想.学霸好方法1.集合运算方法:若集合可以用列举法表示,则一一列举集合的元素;若与不等式结合,则解不等式后画数轴求解.2.交汇问题:集合的运算与函数、不等式、方程等相结合,考查相关的性质和运算.集合的交集、并集运算【典例】1.(2019·全国卷Ⅰ)已知集合M={x|-4<x<2},N={x|x2-x-6<0},则M∩N=( )A.{x|-4<x<3}B.{x|-4<x<-2}C.{x|-2<x<2}D.{x|2<x<3}2.设集合A={x||x|<1},B={x|x(x-3)<0},则A∪B= ( )A.(-1,0)B.(0,1)C.(-1,3)D.(1,3)【解析】 1.选 C.由题意得M={x|-4<x<2},N={x|x2-x-6<0}={x|-2<x<3},则M∩N={x|-2<x<2}.2.选C.A={x|-1<x<1},B={x|0<x<3},所以A∪B={x|-1<x<3}.涉及不等式的集合运算时,借助什么工具解题?提示:当题目中涉及不等式时,常借助数轴解题.集合的补集运算【典例】1.(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A={x|x2-x-2>0},则∁R A= ( )A.{x|-1<x<2}B.{x|-1≤x≤2}C.{x|x<-1}∪{x|x>2}D.{x|x≤-1}∪{x|x≥2}2.(2019·资阳模拟)设全集U=R,集合A={x|x2-2x-3<0},B={x|x-1≥0},则图中阴影部分所表示的集合为( )A.{x|x≤-1或x≥3}B.{x|x<1或x≥3}C.{x|x≤1}D.{x|x≤-1}【解析】1.选B.方法一:A={x|(x-2)(x+1)>0}={x|x<-1或x>2},所以∁R A={x|-1≤x≤2}.方法二:因为A={x|x2-x-2>0},所以∁R A={x|x2-x-2≤0}={x|-1≤x≤2}.2.选D.图中阴影部分表示集合为∁U(A∪B),又A={x|-1<x<3},B={x|x≥1},所以A∪B={x|x>-1},所以∁U(A∪B)={x|x≤-1}.怎样求阴影部分所表示的集合?提示:先用集合间的关系和集合的运算表示阴影,再根据集合运算求解.利用集合的运算求参数【典例】1.集合A={0,2,a},B={1,a2},若A∪B={0,1,2,4,16},则a的值为( )A.0B.1C.2D.42.已知集合A={x|a-1<x<2a+1},B={x|3<x<7},若A∩B=A,则实数a的取值范围为( )A.(-∞,-2)B.(-∞,-2]C.(-2,+∞)D.[-2,+∞)【解析】1.选D.由题意可知{a,a2}={4,16},所以a=4.2.选B.因为A∩B=A,所以A⊆B,当A=∅时,a-1≥2a+1,解得a≤-2;当A≠∅时,有不等式组无解.综上所述,实数a的取值范围是(-∞,-2].当A⊆B,讨论集合A时容易忽视哪种情况?提示:容易忽视A=∅的情况.1.设集合M={x|x<4},集合N={x|x2-2x<0},则下列关系中正确的是( )A.M∪N=MB.M∪(∁R N)=MC.N∪(∁R M)=RD.M∩N=M【解析】选A.因为M={x|x<4},N={x|0<x<2},所以M∪N={x|x<4}=M,A 正确;M∪∁R N =R≠M,B错误;N∪(∁R M)={x|0<x<2}∪{x|x≥4}≠R,C错误;M∩N={x|0<x<2}=N,D错误.2.(2019·西安模拟)设集合A={x|x2-3x+2≥0},B={x|x≤2,x∈Z},则(∁R A)∩B=( ) A.{1} B.{2} C.{1,2} D.∅【解析】选D.A={x|x≤1或x≥2},则∁R A={x|1<x<2}.又集合B={x|x≤2,x∈Z},所以(∁R A)∩B=∅.3.设集合A={x|-1≤x<2},B={x|x<a},若A∩B≠∅,则a的取值范围是( )A.-1<a≤2B.a>2C.a≥-1D.a>-1【解析】选D.由A∩B≠∅知,集合A,B有公共元素,作出数轴,如图所示:易知a>-1.已知集合A={(x,y)|x2+y2≤1,x,y∈Z},B={(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,y ∈Z},定义集合A⊕B={(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)∈A,(x2,y2)∈B},则A⊕B 中元素的个数为( )A.77B.49C.45D.30【解析】选C.集合A表示如图所示的所有“”,集合B表示如图所示的所有“”+所有“”,集合A⊕B显然是集合{(x,y)||x|≤3,|y|≤3,x,y∈Z}中除去四个点(-3,-3),(-3,3),(3,-3),(3,3)之外的所有整点(即横坐标与纵坐标都为整数的点),则集合A⊕B表示如图所示的所有“”+所有“”+所有“·”,共45个.故A⊕B中元素的个数为45.关闭Word文档返回原板块。
2021版高考数学(人教A版理科)一轮复习攻略2021版高考数学(人教A版理科)一轮复习：核心素养测评 四十
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核心素养测评四十数列求和(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.数列{a n}的通项公式是a n=,若前n项和为10,则项数n为( )A.120B.99C.11D.121【解析】选A.a n===-,所以a1+a2+…+a n=(-1)+(-)+…+(-)=-1=10.即=11,所以n+1=121,n=120.2.已知数列{a n}的通项公式是a n=2n-3,则其前20项和为 ( )A.380-B.400-C.420-D.440-【解析】选C.令数列{a n}的前n项和为S n,则S20=a1+a2+…+a20=2(1+2+…+20)-3=2×-3×=420-.3.在数列{a n}中,a n=,若{a n}的前n项和S n=,则n= ( )A.3B.4C.5D.6【解析】选D.由a n==1-得:S n=n-=n-,则S n==n-,将各选项中的值代入验证得n=6.4.S n=+++…+= ( )A. B.C. D.【解析】选B.由S n=+++…+,①得S n=++…++, ②①-②得S n=+++…+-=-,所以S n=.5.已知数列{a n}满足a1=1,a n+1·a n=2n(n∈N*),S n是数列{a n}的前n项和,则S2 020=( )A.22 020-1B.3×21 010-3C.3×21 010-1D.3×22 020-2【解析】选B.依题意得a n·a n+1=2n,a n+1·a n+2=2n+1,于是有=2,即=2,数列a1,a3,a5,…,a2n-1,…是以a1=1为首项,2为公比的等比数列;数列a2,a4,a6,…,a2n,…是以a2=2为首项,2为公比的等比数列,于是有S2+a3+a5+…+a2 019)+(a2+a4+a6+…+a2 020)020=(a1=+=3×21 010-3.二、填空题(每小题5分,共15分)6.在数列{a n}中,若a n+1+(-1)n a n=2n-1,则数列{a n}的前12项和等于______________.【解析】由已知a n+1+(-1)n a n=2n-1,得a n+2+(-1)n+1·a n+1=2n+1,得a n+2+a n=(-1)n(2n-1)+(2n+1),取n=1,5,9及n=2,6,10,结果相加可得S12=a1+a2+a3+a4+…+a11+a12=78.答案:787.已知数列{a n},{b n},若b1=0,a n=,当n≥2时,有b n=b n-1+a n-1,则b10=________.【解析】由b n=b n-1+a n-1得b n-b n-1=a n-1,所以b2-b1=a1,b3-b2=a2,…,b n-b n-1=a n-1,所以b2-b1+b3-b2+…+b n-b n-1=a1+a2+…+a n-1=++…+,即b n-b1=a1+a2+…+a n-1=++…+=-+-+…+-=1-=,又因为b1=0,所以b n=,所以b10=.答案:【变式备选】已知数列{a n}中,a1=1,a n+1=(-1)n(a n+1),记S n为{a n}的前n项和,则S2 021=________.【解析】由a1=1,a n+1=(-1)n(a n+1)可得,a2=-2,a3=-1,a4=0,a5=1,a6=-2,a7=-1,…,故该数列为周期是4的数列,所以S2 021=505(a1+a2+a3+a4)+a1=505×(-2)+1=-1 009.答案:-1 0098.设数列{a n}的通项公式为a n=,令b n=na n,则数列{b n}的前n项和S n为________.【解析】由b n=na n=n·知,S n=1×2+2×23+3×25+…+n×, ①从而22×S n=1×23+2×25+3×27+…+n·,②①-②得(1-22)·S n=2+23+25+…+-n·,即S n=[(3n-1)+2].答案:[(3n-1)+2]三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2020·兰州模拟)已知数列的前n项和S n满足2S n=,且a n>0.(1)求数列的通项公式.(2)若b n=,记数列的前n项和为T n,证明:T n≥.【解析】(1)当n=1时,2S1==2a1,因为a1>0,所以a1=2,当n≥2时,2a n=2=-,所以=0,因为a n>0,所以a n-a n-1-1=0,所以a n-a n-1=1,所以是以a1=2为首项,d=1为公差的等差数列,所以a n=n+1. (2)由(1)得a n=n+1,所以b n==-,所以T n=b1+b2+…+b n-1+b n=++…++=-3, 因为T n+1-T n=-=>0,所以是递增数列,所以T n≥T1=-3=.10.已知数列{a n}的各项均为正数,且-2na n-(2n+1)=0,n∈N*.(1)求数列{a n}的通项公式.(2)若b n=2n·a n,求数列{b n}的前n项和T n.【解析】(1)由-2na n-(2n+1)=0得[a n-(2n+1)]·(a n+1)=0,所以a n=2n+1或a n=-1,又数列{a n}的各项均为正数,负值应舍去,所以a n=2n+1,n∈N*.(2)因为b n=2n·a n=2n·(2n+1),所以T n=2×3+22×5+23×7+…+2n×(2n+1),①2T n=22×3+23×5+…+2n×(2n-1)+2n+1×(2n+1),②由①-②得-T n=6+2×(22+23+…+2n)-2n+1×(2n+1)=6+2×-2n+1×(2n+1) =-2+2n+1(1-2n).所以T n=(2n-1)·2n+1+2.(15分钟35分)1.(5分)若数列{a n}的通项公式是a n=(-1)n(3n-2),则a1+a2+a3+…+a10= ( )A.15B.12C.-12D.-15【解析】选A.因为a n=(-1)n(3n-2),所以a1+a2+…+a10=-1+4-7+10-13+16-19+22-25 +28=(-1+4)+(-7+10)+(-13+16)+(-19+22)+(-25+28)=3×5=15.【变式备选】已知数列{a n}的前n项和为S n,通项公式a n=n·(-1)n+1,则S17= ( )A.10B.9C.8D.7【解析】选B.S17=1-2+3-4+5-6+…+15-16+17=1+(-2+3)+(-4+5)+…+(-14+15)+ (-16+17)=1+1+1+…+1=9.【一题多解】解决本题还可以采用以下方法:选B.S17=1-2+3-4+5-6+…+15-16+17=(1+3+…+17)-(2+4+…+16)=81-72=9.2.(5分)已知等比数列{a n}的首项为,公比为-,其前n项和为S n,则S n的最大值为 ( )A. B. C. D.【解析】选D.因为等比数列{a n}的首项为,公比为-,所以S n==1-,当n取偶数时,S n=1-<1;当n取奇数时,S n=1+≤1+=.所以S n的最大值为.【变式备选】已知数列{a n}满足a n+1=+,且a1=,则该数列的前20项的和等于________.【解析】因为a1=,又a n+1=+,所以a2=1,从而a3=,a4=1,即得a n=故数列的前20项的和等于S20=10×=15.答案:153.(5分)3×2-1+4×2-2+5×2-3+…+(n+2)·2-n=________.【解析】设S n=3×2-1+4×2-2+5×2-3+…+(n+2)·2-n,S n=3×2-2+4×2-3+5×2-4+…+(n+2)·2-(n+1),则S n=3×2-1+2-2+2-3+…+2-n-(n+2)·2-(n+1)=1+-(n+2)·2-n-1=2--(n+2)·2-n-1,S n=4--,S n=4-.答案:4-4.(10分)已知等差数列{a n}的公差为d,且方程a1x2-dx-3=0的两个根分别为-1,3.(1)求数列{a n}的通项公式.(2)若b n=+2a n,求数列{b n}的前n项和S n.【解析】(1)由题知,解得故数列{a n}的通项公式为a n=a1+(n-1)d=1+(n-1)×2=2n-1.(2)由(1)知b n=+2a n=22n-1+2(2n-1)=+4n-2,则S n=×(4+42+43+…+4n)+(2+6+10+…+4n-2)=×+=+2n2-.【变式备选】已知数列{a n}的前n项和为S n,满足a1=2,a n+1=2S n+2.(1)求数列{a n}的通项公式.(2)若数列{b n}满足:b n=a n+log3a n,求数列{b n}的前2n项和S2n.【解析】(1)因为a n+1=2S n+2,①所以当n≥2时, a n=2S n-1+2,②①-②得:a n+1-a n=2a n⇒a n+1=3a n,又a1=2,由①得a2=2a1+2=6,所以a2=3a1,所以{a n}是以2为首项,3为公比的等比数列,所以a n=2×3n-1.(2)因为b n=a n+(-1)n log3a n=2×3n-1+(-1)n log3(2×3n-1)=2×3n-1+(-1)n[log32+(n-1)log33]=2×3n-1+(-1)n(-1+log32)+(-1)n n所以S2n=b1+b2+…+b2n=2(1+3+32+…+32n-1)+0+n=32n+n-1.5.(10分)已知{a n}为等差数列,前n项和为S n(n∈N*),{b n}是首项为2的等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4.(1)求{a n}和{b n}的通项公式.(2)求数列{a2n b n}的前n项和(n∈N*).【解析】(1)因为b2+b3=12,且b1=2,所以q2+q-6=0.又因为q>0,解得q=2,所以b n=2n.设等差数列{a n}的公差为d,由b3=a4-2a1可得3d-a1=8,①由S11=11b4可得a1+5d=16,②联立①②解得a1=1,d=3,由此可得a n=3n-2.所以{a n}的通项公式为a n=3n-2,{b n}的通项公式为b n=2n.(2)设数列{a2n b n}的前n项和为T n,由a2n=6n-2得T n=4×2+10×22+16×23+…+(6n-2)×2n,2T n=4×22+10×23+16×24+…+(6n-8)×2n+(6n-2)×2n+1,上述两式相减得:-T n=4×2+6×22+6×23+…+6×2n-(6n-2)×2n+1=-4-(6n-2)×2n+1=-(3n-4)2n+2-16.所以T n=(3n-4)2n+2+16.所以数列{a2n b n}的前n项和为(3n-4)2n+2+16.【拓广探索练】1.已知数列的前n项积为T n,若对∀n≥2,n∈N*,都有T n+1·T n-1=2成立,且a1=1,a2=2,则数列的前10项和为____________.【解析】因为T n+1·T n-1=2,故=2,即=2(n≥2),而=2,所以是首项为1,公比为2的等比数列,故a n=2n-1,所以S10==1 023. 答案:1 0232.已知正项数列{a n}中,a1=1,a2=2,2=+(n≥2),b n=,数列{b n}的前n项和为S n,则S33的值是________.【解析】因为2=+(n≥2),所以数列{}是首项为1,公差为22-1=3的等差数列,所以=1+3(n-1)=3n-2. 所以a n=,所以b n===(-),所以数列{b n}的前n项和S n=[(-1)+(-)+…+(-)]=(-1).则S33=(10-1)=3.答案:3关闭Word文档返回原板块。
21高考数学人教A理科一轮复习攻略核心考点·精准研析 1 算法与程序框图基本算法语句 含解析
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核心考点·精准研析考点一顺序结构与条件结构1.阅读如图所示程序框图,运行相应的程序,若输入x=1,则输出的结果为()A.-1B.2C.0D.无法判断2.阅读程序框图,如果输出的函数值在区间内,则输入的实数x 的取值范围是( )A.(-∞,-2]B.[-2,-1]C.[-1,2]D.[2,+∞)3.(2020·郑州模拟)已知某程序框图如图所示,当输入的x的值为5时,输出的y的值恰好是,则在空白的处理框中应填入的关系式可以是 ( )A.y=x3B.y=C.y=3xD.y=3-x【解析】1.选B.因为输入的x值为1大于0,所以执行y=2x=2,输出2.2.选B.分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是计算分段函数f(x)=的函数值.又因为输出的函数值在区间内,所以x∈[-2,-1].3.选C.由程序框图可知,当输入的x的值为5时,第一次运行,x=5-2=3;第二次运行,x=3-2=1;第三次运行,x=1-2=-1,此时x≤0,退出循环,要使输出的y 的值为,只有C中的函数y=3x符合要求.应用顺序结构与条件结构的注意点(1)顺序结构:顺序结构是最简单的算法结构,语句与语句之间、框与框之间是按顺序进行.(2)条件结构:利用条件结构解决算法问题时,重点是判断框,判断框内的条件不同,对应的下一程序框中的内容和操作要相应地进行变化,故要重点分析判断框内的条件是否满足.考点二循环结构命题精解读考什么:(1)考查利用程序框图求输入、输出的值、补全程序框图.(2)考查数学运算的核心素养.怎么考:与基本初等函数、数列等结合,考查程序框图的应用.学霸 1.循环结构问题的解题思路好方法(1)要关注初始值和输入值.(2)要关注循环结构的运算次数,当运算即将结束时,要采用逐一代入的方法进行验证.(3)关注判断条件的选择,如判断条件中的等号是否选取问题,应验证相等时运算是否符合题意.2.交汇问题与基本初等函数、数列、三角知识交汇时,注意相关的知识、方法在计算中的应用.求输出值【典例】(2019·全国卷Ⅲ)执行程序框图,如果输入的ε为0.01,则输出s的值等于 ( )A.2-B.2-C.2-D.2-【解析】选C.第一次循环:s=1,x=;第二次循环:s=1+,x=;第三次循环:s=1++,x=;第四次循环:s=1+++,x=;…第七次循环:s=1+++…+,x=,此时循环结束,可得s=1+++…+=2-.结合本题说出解题基本流程?提示:首先明确输入量、起始值、运算方法,然后根据框图结构,一步一步代入求值.求输入值【典例】执行如图所示的程序框图,为使输出S的值小于91,则输入的正整数N的最小值为 ( )A.5B.4C.3D.2【解析】选D.程序执行过程如下:t=1,M=100,S=0,1≤N,S=0+100=100,M=-=-10,t=2,2≤N,S=100-10=90,M=-=1,t=3,3>2,输出S=90<91.符合题意.所以N=2成立.故2是最小值.本题的解题方法是什么?提示:根据程序框图逐步运算,直到输出的S<91即可得到t的最大值,即N的最小值.补全程序框图【典例】(2019·深圳模拟)某程序框图如图所示,若输出的S=26,则判断框内应填( )A.k>3?B.k>4?C.k>5?D.k>6?【解析】选A.程序在运行过程中,各变量的值变化如表:k S 是否继续循环前 1 1 /第一次 2 4 是第二次 3 11 是第三次 4 26 否可得,当k=4时,S=26.此时应该结束循环并输出S的值为26,所以判断框应该填入的条件为k>3?.解决此类题的关键是什么?提示:通过逐步运算,确定运算执行的总次数是关键.判断运算次数【典例】若程序框图如图所示,则该程序运行后输出k的值是()A.5B.6C.7D.8【解析】选A.当n=5时,n不满足第一个判断框中的条件,n=16,k=1,n不满足第二个判断框中的条件,n满足第一个判断框中的条件,n=8,k=2,n不满足第二个判断框中的条件,n满足第一个判断框中的条件,n=4,k=3,n不满足第二个判断框中的条件,n满足第一个判断框中的条件,n=2,k=4,n不满足第二个判断框中的条件,n满足第一个判断框中的条件,n=1,k=5,n满足第二个判断框中的条件,退出循环,即输出的结果为k=5.1.某程序框图如图所示,则运行该程序后输出S= ( )A. B. C. D.【解析】选D.模拟执行程序框图,可得S=1,n=1,不满足条件n>5,S=1+,n=2;不满足条件n>5,S=1++,n=3;不满足条件n>5,S=1+++,n=4;不满足条件n>5,S=1++++,n=5;不满足条件n>5,S=1+++++,n=6;满足条件n>5,退出循环,输出S的值.S=1+++++=.2.我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰,日取其半,万世不竭”,其意思为:一尺的木棍,每天截取一半,永远都截不完.现将该木棍以此规律截取,如图所示的程序框图的功能就是计算截取20天后所剩木棍的长度(单位:尺),则①②③处可分别填入的是( )A.i<20,S=S-,i=2iB.i≤20,S=S-,i=2iC.i<20,S=,i=i+1D.i≤20,S=,i=i+1【解析】选D.根据题意可知,第一天S=,所以满足S=,不满足S=S-,故排除A,B,由框图可知,计算第二十天的剩余时,有S=,且i=21,所以循环条件应该是i≤20.3.执行如图所示的程序框图,若输出i的值为2,则输入x的最大值是( )A.5B.6C.11D.22【解析】选D.执行该程序可知解得即8<x≤22,所以输入x的最大值是22.1.按如图所示的流程图进行计算.若输出的x=202,则输入的正实数x 值的个数最多为 ( )A.2B.3C.4D.5【解析】选D.程序框图当x>100时结束循环,输出x的值为202:令202=3x+1,解得x=67,即输入x=67时,输出结果为202.202=3(3x+1)+1,解得x=22,即输入x=22时,输出结果202.202=3(3(3x+1)+1)+1.即201=3(3(3x+1)+1),所以67=3(3x+1)+1,即22=3x+1,解得x=7,输入x=7时,输出结果202.202=3(3(3(3x+1)+1)+1)+1.解得x=2,输入x=2时,输出结果202.202=3(3(3(3(3x+1)+1)+1)+1)+1.解得x=,输入x=时,输出结果202.综上,共有5个不同的正实数x值.2.执行如图所示的程序框图,输出的s的值为________.【解析】依题意,数列的项以6为周期重复出现,且前6项和等于0,因为2 017=6×336+1,所以数列的前2 017项和等于336×0+sin =,执行题中的程序框图,输出s的值等于数列的前2 017项和,等于. 答案:考点三程序框图的交汇问题【典例】1.(2020·合肥模拟)中国古代名著《孙子算经》中的“物不知数”问题:“今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?”即“有数被三除余二,被五除余三,被七除余二,问该数为多少?”为解决此问题,现有同学设计如图所示的程序框图,则框图中的“”处应填入 ( )A.∈N?B.∈N?C.∈N?D.∈N?2.(2019·太原模拟)执行如图所示的程序框图,设输出的数据构成的集合为A,从集合A中任取一个元素a,则函数y=x a,x∈[0,+∞)是增函数的概率为________.【解题导思】序号联想解题1 由三三数之剩二,七七数之剩二,想到最小公倍数212 由幂函数在[0,+∞)上是增函数,想到a>0【解析】1.选A.根据题意可知,此程序框图的功能是找一个满足下列条件的数a:a=3k+2,a=5n+3,a=7m+2,k,n,m∈N,根据程序框图可知,数a已经满足a=5n+3,n∈N,所以还要满足a=3k+2,k∈N和a=7m+2,m∈N 并且还要用一个条件给出,即a-2既能被3整除又能被7整除,所以a-2能被21整除,故在“”处应填入∈N?.2.执行程序框图,x=-3,y=3;x=-2,y=0;x=-1,y=-1;x=0,y=0;x=1,y=3;x=2,y=8;x=3,y=15;x=4,退出循环,则集合A中的元素有-1,0,3,8,15,共5个,若函数y=x a,x∈[0,+∞)为增函数,则a>0,所以所求的概率为.答案:程序框图与其他知识点的交汇问题(1)涉及古代数学文化的题目关键是理解文言条件,将条件翻译过来后进行解题.(2)与初等函数等知识点融合的题目关键是利用相关的性质进行求值、判断,与程序框图有机结合.1.某校为了了解高三学生日平均睡眠时间(单位:h),随机选择了50位学生进行调查.如表是这50位学生睡眠时间的频率分布表:组别(i) 睡眠时间组中值(Z i) 频数频率(P i)1 [4.5,5.5) 52 0.042 [5.5,6.5) 6 6 0.123 [6.5,7.5) 7 20 0.404 [7.5,8.5) 8 18 0.365 [8.5,9.5) 9 3 0.066 [9.5,10.5] 10 1 0.02现根据如图所示的程序框图用计算机统计平均睡眠时间,则判断框①中应填入的条件是( )A.i>4?B.i>5?C.i>6?D.i>7?【解析】选 B.根据题目中程序框图,用计算机统计平均睡眠时间,总共执行6次循环,则判断框①中应填入的条件是i>5?(或i≥6?). 2.我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题:“今有垣厚十尺,两鼠对穿,初日各一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,问几何日相逢?”现用程序框图描述,如图所示,则输出结果n=________.【解析】第一次循环,得S=2;第二次循环,得n=2,a=,A=2,S=;第三次循环,得n=3,a=,A=4,S=;第四次循环,得n=4,a=,A=8,S=>10,结束循环,输出的n=4.答案:4关闭Word文档返回原板块。
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核心考点·精准研析
考点一直接法求轨迹方程
【典例】已知△ABC的三个顶点分别为A(-1,0),B(2,3),C(1,2),定点P(1,1).
(1)求△ABC外接圆的标准方程;
(2)若过定点P的直线与△ABC的外接圆交于E,F两点,求弦EF中点的轨迹方程.
【解析】(1)由题意得AC的中点坐标为(0,),AB的中点坐标为,k AC=,k AB=1,故AC中垂线的斜率为-,AB中垂线的斜率为-1,则AC的中垂线的方程为y-=-x,AB的中垂线的方程为y-=-.
由得
所以△ABC的外接圆圆心为(2,0),半径r=2+1=3,
故△ABC外接圆的标准方程为(x-2)2+y2=9.
(2)设弦EF的中点为M(x,y),△ABC外接圆的圆心为N,则N(2,0),
由MN⊥MP,得·=0,所以(x-2,y)·(x-1,y-1)=0,
整理得x2+y2-3x-y+2=0,
故弦EF中点的轨迹方程为+=.
直接法求轨迹方程的思路
直接法求轨迹方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程,要注意翻译的等价性.通常将步骤简记为建系、设点、列式、代换、化简、证明这六个步骤,但最后的证明可以省略,如果给出了直角坐标系则可省去建系这一步,求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性.
(1)已知点F(0,1),直线l:y=-1,P为平面上的动点,过点P作直线l的垂线,垂足为Q,且·=·,则动点P的轨迹C的方程为( )
A.x2=4y
B.y2=3x
C.x2=2y
D.y2=4x
(2)在平面直角坐标系xOy中,点B与点A(-1,1)关于原点O对称,P是动点,且直线AP与BP的斜率之积等于-.则动点P的轨迹方程为________.
【解析】(1)选A.设点P(x,y),则Q(x,-1).
因为·=·,
所以(0,y+1)·(-x,2)=(x,y-1)·(x,-2),
即2(y+1)=x2-2(y-1),整理得x2=4y,
所以动点P的轨迹C的方程为x2=4y.
(2)因为点B与点A(-1,1)关于原点O对称,
所以点B的坐标为(1,-1).
设点P的坐标为(x,y),由题意得·=-,
化简得x2+3y2=4(x≠±1).
故动点P的轨迹方程为x2+3y2=4(x≠±1).
答案:x2+3y2=4(x≠±1)
考点二定义法求轨迹方程
【典例】1.已知圆C1:(x+3)2+y2=1和圆C2:(x-3)2+y2=9,动圆M同时与圆C1及圆C2相外切,求动圆圆心M的轨迹方程.
2.如图,已知△ABC的两顶点坐标A(-1,0),B(1,0),圆E是△ABC的内切圆,在边AC,BC,AB上的切点分别为P,Q,R,|CP|=1(从圆外一点到圆的两条切线段长相等),动点C的轨迹为曲线M,求曲线M的方程.
【解析】1.如图所示,设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和点B,
则有|MC1|-|AC1|=|MA|,
|MC2|-|BC2|=|MB|.
又|MA|=|MB|,
所以|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=3-1=2,
即动点M到两定点C2,C1的距离的差是常数2,
且2<|C1C2|=6,|MC2|>|MC1|,
故动圆圆心M的轨迹为以定点C2,C1为焦点的双曲线的左支,则2a=2,所以a=1.又c=3,则b2=c2-a2=8.
设动圆圆心M的坐标为(x,y),
则动圆圆心M的轨迹方程为x2-=1(x≤-1).
2.由题知|CA|+|CB|=|CP|+|CQ|+|AP|+|BQ|=2|CP|+|AB|=4>|AB|,所以曲线M是以A,B为焦点,长轴长为4的椭圆(挖去与x轴的交点). 设曲线M:+=1(a>b>0,y≠0),
则a2=4,b2=a2-=3,
所以曲线M的方程为+=1(y≠0).
1.定义法的适用范围
若动点运动的规律满足某种曲线的定义,则可根据曲线的定义直接写出动点的轨迹方程.此法一般用于求圆锥曲线的方程.
2.注意2个易误点
(1)因对圆锥曲线定义中的某些特定条件理解不透或忽视某些限制条
件而失误.在利用定义法求轨迹方程时一定要正确应用圆锥曲线的定义.(如典例1中,动点M的轨迹是双曲线的一支,故应限制条件x≤-1) (2)不会迁移应用已知条件,而找不到解题思路,而无法解题.(如典例2中,若不能正确转化|CA|+|CB|,则很难求出曲线M的轨迹方程)
△ABC的顶点A(-5,0),B(5,0),△ABC的内切圆圆心在直线x=3上,则顶点C的轨迹方程是________.
【解析】如图,令内切圆与三边的切点分别为D,E,F,
可知|AD|=|AE|=8,|BF|=|BE|=2,|CD|=|CF|,
所以|CA|-|CB|=|AE|-|BE|=8-2=6<|AB|=10.
根据双曲线定义,所求轨迹是以A,B为焦点,实轴长为6的双曲线的右支,其方程为-=1(x>3).
答案:-=1(x>3)
考点三相关点法求轨迹方程
【典例】如图,已知P是椭圆+y2=1上一点,PM⊥x轴于M.若=λ.
(1)求点N的轨迹方程.
(2)当点N的轨迹为圆时,求λ的值.
【解析】(1)设点P,点N的坐标分别为P(x1,y1),N(x,y),则M的坐标为(x1,0),且x=x1,
所以=(x-x1,y-y1)=(0,y-y1),
=(x1-x,-y)=(0,-y),
由=λ得(0,y-y1)=λ(0,-y).
所以y-y1=-λy,即y1=(1+λ)y.
因为P(x1,y1)在椭圆+y2=1上,
则+=1,所以+(1+λ)2y2=1,
故+(1+λ)2y2=1为所求的点N的轨迹方程.
(2)要使点N的轨迹为圆,则(1+λ)2=,
解得λ=-或λ=-.
故当λ=-或λ=-时,N点的轨迹是圆.
相关点法求曲线方程的四个步骤:
(2020·济南模拟)已知Q为圆x2+y2=1上一动点,Q在x轴,y轴上的射影分别为点A,B,动点P满足=,记动点P的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程.
(2)过点的直线与曲线C交于M,N两点,判断以MN为直径的圆是否过定点?若是,求出定点的坐标;若不是,请说明理由.
【解析】(1)设Q(x0,y0),P(x,y),则+=1,
由=得代入+=1,得+y2=1,故曲线C的方程
为:+y2=1.
(2)假设存在满足条件的定点,
由对称性可知,该定点在y轴上,设定点为H(0,m),
当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx-,
由,得(1+4k2)x2-kx-=0,
设M(x1,y1),N(x2,y2),
则x1+x2=,x1x2=-,
所以y1+y2=k(x1+x2)-=-,
y1y2=
=k2x1x2-k(x1+x2)+=,
因为=(x1,y1-m),=(x2,y2-m),
所以·=x1x2+y1y2-m(y1+y2)+m2
==0,
对任意的k恒成立,
所以
解得m=1,即定点为H(0,1),
当直线l的斜率不存在时,以MN为直径的圆也过定点(0,1), 综上,以MN为直径的圆过定点(0,1).
【变式备选】
1.已知方程ax2-ay2=b,且ab<0,则它表示的曲线是( )
A.焦点在x轴上的双曲线
B.焦点在y轴上的双曲线
C.圆
D.椭圆
【解析】选B.当ab<0时,方程ax2-ay2=b化简得y2-x2=-,方程表示双曲线.焦点坐标在y轴上.
2.已知曲线:①y2=x;②x2+y2=1;③y=x3;④x2-y2=1.上述四条曲线中,满足“若曲线与直线y=kx+b有且仅有一个公共点,则它们必相切”的曲线的序号是
( ) A.① B.② C.③ D.④
【解析】选B.①当直线y=kx+b和抛物线y2=x的对称轴平行时,曲线与直线有且仅有一个公共点,但此时直线不是切线,故①错误,②当直线y=kx+b和圆x2+y2=1只有一个公共点时,直线与圆相切,故②正确,③当直线y=kx+b和x轴平行时,直线和y=x3只有一个交点,但此时直线和曲线不相切,故③错误,④当直线y=kx+b和双曲线x2-y2=1的渐近线平行时,直线和双曲线有一个交点,但此时直线y=kx+b和双曲线不相切,故④错误,故正确的只有②.
3.如图,△PAB所在的平面α和四边形ABCD所在的平面β互相垂直,且AD⊥α,BC⊥α,|AD|=4,|BC|=8,|AB|=6,若tan∠ADP+2tan∠BCP=10,则点P在平面α内的轨迹是 ( )
A.圆的一部分
B.椭圆的一部分
C.双曲线的一部分
D.抛物线的一部分
【解析】选B.由题意知+2×=10,则|PA|+|PB|=40>|AB|=6,又因为P,A,B三点不共线,故点P的轨迹是以A,B为焦点的椭圆的一部分.
4.已知直线y=mx+3m和曲线y=有两个不同的交点,则实数m的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【解析】选A.因为直线y=mx+3m=m(x+3)经过定点
P(-3,0),m为斜率;曲线y=是以原点为圆心,半径r=2的圆的上半圆,所以同一坐标系内作出它们的图象,如图,
当直线与半圆切于A点时,它们有唯一公共点,此时,直线的倾斜角α满足
sin α=,所以cos α==,可得直线的斜率m=tan α==,当直线y=mx+3m的倾斜角由此位置变小时,两图象有两个不同的交点,直到直线斜率m变成0为止,由此可得当0≤m<
时,直线y=mx+3m和曲线y=有两个不同的交点.
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