高中平面解析几何知识点总结
高中数学解析几何总结
解析几何是高中数学中的一个重要分支，主要研究平面和空间中的几何图形，以及它们的性质和变换。
以下是解析几何的一些总结：1.平面直角坐标系解析几何的基础是平面直角坐标系，它将平面上的点和数对一一对应。
平面上的一条直线可以用一个一次方程表示，即$y=kx+b$，其中$k$ 是斜率，$b$ 是截距。
两点间的距离可以用勾股定理计算，即$AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$。
2.空间直角坐标系类似于平面直角坐标系，空间直角坐标系将空间中的点和数组一一对应。
在空间中，一条直线可以用一个二次方程表示，即$Ax+By+Cz+D=0$，其中$A,B,C$ 是系数，$D$ 是常数。
两点间的距离也可以用勾股定理计算，即$AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}$。
3.平面和空间中的几何变换解析几何中常见的几何变换包括平移、旋转、对称和伸缩。
平面上的平移可以用向量表示，旋转可以用旋转矩阵表示，对称可以用对称轴表示，伸缩可以用矩阵表示。
空间中的几何变换也类似于平面中的，但需要用到三维向量和三阶矩阵。
4.直线和平面的性质解析几何中，直线和平面有很多重要的性质。
例如，两条平行直线的斜率相等，两条垂直直线的斜率积为$-1$;平面上两条直线相交的角的余弦可以用它们的斜率表示;两个平面的夹角可以用它们的法向量表示等等。
5.空间中的立体图形解析几何中，还研究了一些常见的立体图形，如点、线、面、球、圆锥曲线等。
例如，圆锥曲线有圆、椭圆、双曲线和抛物线四种类型，它们的方程可以用标准式、一般式或参数式表示。
平面解析几何-高考复习知识点
平面解析几何 高考复习知识点一、直线的倾斜角、斜率1、直线的倾斜角：（1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向转到和直线l 重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角。
当直线l 与x 轴重合或平行时，规定倾斜角为0； （2）倾斜角的范围[)π,0。
2、直线的斜率（1）定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k ，即k ＝tan α(α≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率；（2）斜率公式：经过两点111(,)P x y 、222(,)P x y 的直线的斜率为()212121x x x x y y k ≠--=；（3）直线的方向向量(1,)a k =，直线的方向向量与直线的斜率有何关系？ （4）应用：证明三点共线： AB BC k k =。
例题：例1．已知直线的倾斜角的变化范围为，求该直线斜率的变化范围；思路点拨：已知角的范围，通过正切函数的图像，可以求得斜率的范围，反之，已知斜率的范围，通过正切函数的图像，可以求得角的范围解析： ∵， ∴．总结升华：在知道斜率的取值范围求倾斜角的取值范围，或知道倾斜角的取值范围求斜率的取值范围时，可利用在和上是增函数分别求解.当时，；当时，；当时，；当不存在时，.反之，亦成立.类型二：斜率定义例2．已知△ABC 为正三角形，顶点A 在x 轴上，A 在边BC 的右侧，∠BAC 的平分线在x 轴上，求边AB 与AC 所在直线的斜率. 思路点拨：本题关键点是求出边AB 与AC 所在直线的倾斜角，利用斜率的定义求出斜率.解析：如右图，由题意知∠BAO=∠OAC=30°∴直线AB 的倾斜角为180°-30°=150°，直线AC 的倾斜角为30°，∴k AB =tan150°= k AC =tan30°=总结升华：在做题的过程中，要清楚倾斜角的定义中含有的三个条件①直线向上方向②轴正向③小于的角，只有这样才能正确的求出倾斜角.类型三：斜率公式的应用例3．求经过点，直线的斜率并判断倾斜角为锐角还是钝角．思路点拨： 已知两点坐标求斜率，直接利用斜率公式即可. 解析：且，经过两点的直线的斜率，即．即当时，为锐角，当时，为钝角．例4、过两点，的直线的倾斜角为，求的值．【答案】由题意得：直线的斜率，故由斜率公式，解得或． 经检验不适合，舍去. 故．例5．已知三点A(a ，2)、B(3，7)、C(-2，-9a)在一条直线上，求实数a 的值．思路点拨：如果过点AB ，BC 的斜率相等，那么A ，B ，C 三点共线.解析：∵A 、B 、C 三点在一条直线上，∴k AB =k AC ．即二、直线方程的几种形式1、点斜式：已知直线过点00(,)x y 斜率为k ，则直线方程为00()y y k x x -=-,它不包括垂直于x 轴的直线。
高中数学知识点归纳平面解析几何的应用
高中数学知识点归纳平面解析几何的应用高中数学知识点归纳——平面解析几何的应用一. 直线方程在平面直角坐标系中，一条直线可以用不同的方程形式来表示。
其中，常见的直线方程有点斜式方程、斜截式方程和两点式方程。
1. 点斜式方程对于已知直线上一点P和直线的斜率k，点斜式方程可以表示为：y-y₁ = k(x-x₁)。
其中P(x₁, y₁)为直线上的已知点，k为直线的斜率。
2. 斜截式方程已知直线上一点P和与x轴的截距b（直线与x轴的交点的横坐标），斜截式方程可以表示为：y = kx + b。
其中P(x₁, y₁)为直线上的已知点，k为直线的斜率。
3. 两点式方程已知直线上两个不同的点A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，两点式方程可以表示为：(y-y₁) / (y₂-y₁) = (x-x₁) / (x₂-x₁)。
其中A、B为直线上的已知点。
二. 直线与线段的关系直线与线段也是平面解析几何中的重要概念。
在直线与线段的关系中，我们将讨论点、直线与线段的位置关系，以及线段的中点等。
1. 点与直线的位置关系给定平面上一点P(x₀, y₀)和直线Ax + By +C=0。
通过计算点的坐标，将其代入直线方程中，得到的结果有三种不同的情况。
a. 当 Ax₀ + By₀ + C = 0 时，点P在直线上。
b. 当 Ax₀ + By₀ + C > 0 时，点P在直线的上方。
c. 当 Ax₀ + By₀ + C < 0 时，点P在直线的下方。
2. 直线与线段的位置关系给定平面上一直线和一线段AB。
通过判断线段的两个端点在直线的哪一侧，可以得到直线与线段的位置关系。
a. 当线段AB的两个端点都在直线的同一侧时，线段AB与直线相交。
b. 当线段AB的两个端点一个在直线的上方，一个在直线的下方时，线段AB与直线不相交。
3. 线段的中点在平面解析几何中，线段的中点是指线段的中心位置。
设线段AB 的两个端点为A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，则线段的中点C的坐标为[(x₁+ x₂) / 2, (y₁ + y₂) / 2]。
高中数学平面解析几何
高中数学平面解析几何平面解析几何是高中数学中的一门重要的学科，它研究平面上的几何图形和方程的关系。
下面将通过几个小节来详细介绍平面解析几何的相关概念和应用。
第一节：平面直角坐标系在平面解析几何中，我们通常使用平面直角坐标系来表示平面上的点和图形。
平面直角坐标系由两条相互垂直的坐标轴组成，分别称为x 轴和y轴。
我们可以用一个有序数对(x, y)表示平面上的一个点，其中x表示横坐标，y表示纵坐标。
第二节：平面几何图形的方程在平面解析几何中，我们通常通过方程来表示平面上的几何图形。
常见的平面几何图形包括直线、曲线、圆等。
我们以直线为例来介绍平面几何图形的方程。
1. 直线的方程在平面直角坐标系中，一条直线可以通过方程Ax + By + C = 0 来表示，其中A、B、C为实数且A、B不同时为零。
这个方程被称为直线的一般方程。
另外，还有直线的截距式方程、点斜式方程等不同形式的表示方法。
2. 曲线的方程除了直线，平面上的曲线也可以通过方程来表示。
常见的曲线包括抛物线、椭圆、双曲线等。
每种曲线都有其特定的方程形式，并且可以通过改变方程中的参数来实现曲线的平移、旋转和缩放等操作。
3. 圆的方程圆在平面解析几何中也是一个重要的概念。
在平面直角坐标系中，圆可以由圆心的坐标和半径来确定。
一个圆的方程可以写成(x-a)² + (y-b)² = r²的形式，其中(a, b)表示圆心的坐标，r表示半径的长度。
第三节：平面解析几何的应用平面解析几何不仅是一门理论学科，它也有广泛的应用。
以下是几个常见的应用场景。
1. 几何问题的求解平面解析几何提供了一种直观和简单的方法来解决几何问题。
通过使用坐标系和方程，我们可以精确地描述几何图形并进行计算，从而得到几何问题的解答。
2. 图形的变换平面解析几何也可以用来实现平面图形的变换，如平移、旋转、缩放等。
通过对坐标和方程的变化，我们可以方便地实现图形的操作和变换。
平面解析几何知识点总结
平面解析几何知识点总结直线方程1．直线的倾斜角(1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ，把x 轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l 重合所成的角，叫作直线l 的倾斜角．当直线l 和x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)倾斜角的范围为[0°，180°)． 2．直线的斜率(1)定义：当直线l 的倾斜角α≠π2时，其倾斜角α的正切值tan α叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母k 表示，即k ＝tan α.(2)过两点的直线的斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2) (x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1. (3) 直线的倾斜角α和斜率k 之间的对应关系每条直线都有倾斜角，但不是每条直线都有斜率，倾斜角是90°的直线斜率不存在．它们之间的关系如下：3．直线方程的五种形式4．说明：k 1＝k 2，且b 1≠b 2，则两直线平行；若斜率都不存在，还要判定是否重合． 5．利用一般式方程系数判断平行与垂直设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0， l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0，且B 1C 2－B 2C 1≠0. l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0. 6．三种距离公式 (1)两点间距离公式点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)间的距离：|AB |＝ (x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.(2)点到直线的距离公式点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离：d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.说明：求解点到直线的距离时，直线方程要化为一般式． (3)两平行线间距离公式两平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0 (C 1≠C 2)间的距离为d ＝|C 2－C 1|A 2＋B 2. 说明：求解两平行线间距离公式时，两直线x ，y 前系数要化为相同．圆的方程1．圆的定义在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆．确定一个圆最基本的要素是圆心和半径．2. 圆的标准方程(1) 以(a ，b )为圆心，r (r >0)为半径的圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2． (2) 特殊的，以(0，0)为圆心，r (r >0)为半径的圆的标准方程为x 2＋y 2＝r 2． 3. 圆的一般方程 方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0可变形为⎝⎛⎭⎫x ＋D 22＋⎝⎛⎭⎫y ＋E 22＝D 2＋E 2－4F4. (1) 当D 2＋E 2－4F >0时，方程表示以⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2为圆心，D 2＋E 2－4F 2为半径的圆；(2) 当D 2＋E 2－4F ＝0时，该方程表示一个点⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2；(3) 当D2＋E2－4F＜0时，该方程不表示任何图形．4. 直线与圆的位置关系的判断方法设直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)，圆为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.5.(1) 圆与圆的位置关系有五种，分别为外离、外切、相交、内切、内含．(2) 判断两圆位置关系的方法设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1>0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0)．圆心距O1O2＝d，则(1)几何法：设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则(l2)2＝r2－d2.(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：设直线与圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝（1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2].注意：常用几何法研究圆的弦的有关问题．椭圆1．椭圆的概念把平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆．这两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点F1，F2间的距离叫作椭圆的焦距．椭圆定义用集合语言表示如下：P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a >0，c >0，且a ，c 为常数．在椭圆定义中，特别强调到两定点的距离之和要大于|F 1F 2|．当到两定点的距离之和等于|F 1F 2|时，动点的轨迹是线段F 1F 2；当到两定点的距离之和小于|F 1F 2|时，动点的轨迹不存在． 2．椭圆的标准方程和几何性质－a ≤x ≤a －b ≤x ≤b 说明：当焦点的位置不能确定时，椭圆方程可设成Ax 2＋By 2＝1的形式，其中A ，B 是不相等的正常数，或设成x 2m 2＋y 2n2＝1(m 2≠n 2)的形式．3．椭圆中的弦长公式(1)若直线y ＝kx ＋b 与椭圆相交于两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k2|y 1－y 2|. (2)焦点弦(过焦点的弦)：最短的焦点弦为通径长2b 2a，最长为2a .双曲线1．双曲线的概念把平面内到两定点F 1，F 2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F 1F 2|)的点的集合叫作双曲线．定点F 1，F 2叫作双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距．用集合语言表示为：P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.说明：定义中，到两定点的距离之差的绝对值小于两定点间距离非常重要．令平面内一点到两定点F1，F2的距离的差的绝对值为2a(a为常数)，则只有当2a<|F1F2|且2a≠0时，点的轨迹才是双曲线；若2a＝|F1F2|，则点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线；若2a>|F1F2|，则点的轨迹不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a焦点在x轴上，若y2的系数为正，则焦点在y轴上．3．双曲线与椭圆的区别(1) 定义表达式不同：在椭圆中|PF1|＋|PF2|＝2a，而在双曲线中||PF1|－|PF2||＝2a；(2) 离心率范围不同：椭圆的离心率e∈(0，1)，而双曲线的离心率e∈(1，＋∞)；(3) a，b，c的关系不同：在椭圆中a2＝b2＋c2，a＞c；而在双曲线中c2＝a2＋b2，c＞a．抛物线1．抛物线的概念把平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不过F )的距离相等的点的集合叫作抛物线．这个定点F 叫作抛物线的焦点，这条定直线l 叫作抛物线的准线． 用集合语言描述：P ＝{M ||MF |d＝1}，即P ＝{M ||MF |＝d }．注意：抛物线的定义中不可忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与定直线垂直的直线． 2．抛物线的标准方程与几何性质。
平面解析几何的基本概念与性质知识点总结
平面解析几何的基本概念与性质知识点总结在平面解析几何中，有许多基本概念与性质需要我们掌握和理解。
本文将对这些知识点进行总结，并介绍它们在解析几何中的应用。
一、点、线和平面在解析几何中，点是最基本的概念，它没有大小和形状。
线由无限多个点组成，它是一个延伸无穷的对象。
平面由无限多条平行线组成，它在两个方向上都是无限延伸的。
二、向量的概念与性质向量是有大小和方向的，它可以用有向线段来表示。
向量的模表示大小，方向由向量的起点和终点确定。
向量的加法满足交换律和结合律，即两个向量之和与次序无关，而且与其他向量的结合也满足结合律。
三、点的坐标与向量的坐标在平面直角坐标系中，点的位置可以用坐标表示。
对于二维平面来说，一般用一个有序数对$(x, y)$表示一个点，其中$x$表示点在$x$轴上的投影，$y$表示点在$y$轴上的投影。
类似地，向量也可以用坐标表示，它的起点在原点$(0, 0)$，终点在$(x, y)$。
四、直线的方程直线可以用多种方程表示，常见的有点斜式和一般式。
点斜式方程为$y-y_1=k(x-x_1)$，其中$k$为斜率，$(x_1, y_1)$为直线上一点的坐标。
一般式方程为$Ax+By+C=0$，其中$A, B, C$为常数。
五、直线的性质直线的性质包括平行、垂直和相交。
两条直线平行的条件是它们的斜率相等，而两条直线垂直的条件是它们的斜率乘积为-1。
两条直线相交时，它们的交点坐标可以通过联立方程求解而得到。
六、圆的方程与性质圆可以用点的坐标表示，方程为$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，其中$(a,b)$为圆心的坐标，$r$为半径的长度。
圆的性质包括切线与法线的斜率关系、切点和法线的垂直性，以及余弦定理等。
七、曲线的方程与性质除了直线和圆外，解析几何还涉及到其他曲线的方程与性质。
比如椭圆、抛物线和双曲线等。
这些曲线有着各自特定的方程形式和性质，通过对其方程的分析可以揭示其几何特征。
总结：平面解析几何涉及的基本概念与性质非常丰富。
平面解析几何知识点总结
第一部分直线一、直线的斜率和倾斜角1.倾斜角α（1）定义：直线l 向上的方向与x 轴正方向所称的角叫直线的倾斜角（2）范围：1800<≤α2.斜率直线倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，记作αtan =k （1）倾斜角为 90的直线没有斜率（2）每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率（直线垂直x 轴时，其斜率不存在），这就决定了我们在研究直线的有关问题时应考虑到斜率的存在与不存在两种情况，否则会产生漏解。
（3）经过),(),,(2211y x B y x A 两点的直线的斜率为k ，则当21x x ≠时，1212tan x x y y k --==α；当21x x =时， 90=α，斜率不存在（4）切线斜率的求法：设平面曲线的方程为0),(=y x F ，则该曲线在),(00y x 点的斜率为)(')('00y F x F k -=，其中)('0x F 表示),(y x F 对x 求导得到的函数在0x x =下的值，)('0y F 表示),(y x F 对y 求导得到的函数在0y y =下的值。
若平面曲线方程为)(x f y =，则该曲线在),(00y x 点的斜率为)('0x f k =，其中)('0x f 表示)(x f 对x 求导得到的函数在0x x =下的值。
若平面曲线的参数方程为)(),(t y y t x x ==，则该曲线在0t t =时的点的斜率为)(')('00t x t y k =，其中)('0t y 表示)(t y 对t 求导得到的函数在0t t =下的值,其中)('0t x 表示)(t x 对t 求导得到的函数在0t t =下的值。
3.定比分点公式:定比分点公式是解决共线三点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，P(x ，y )之间数量关系的一个公式，其中λ的值是起点到分点与分点到终点的有向线段的数量之比.这里起点、分点、终点的位置是可以任意选择的，一旦选定后λ的值也就随之确定了.若以A 为起点，B 为终点，P 为分点，则定比分点公式是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=λλλλ112121y y y x x x .当P 点为AB 的中点时，λ=1，此时中点坐标公式是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=222121y y y x x x.线性规划问题平面区域的非线性规划第二部分解析几何中的范围问题（研究性学习之二）在直线与圆锥曲线相交问题中，关于直线的斜率或纵截距的取值范围，关于圆锥曲线的离心率、长轴长（或实轴长）、短轴长（或虚轴长）等有关参量的取值范围，是解析几何高考命题以及备考复习的重点问题。
高中数学解析几何总结
高中数学解析几何总结解析几何是数学中的一个重要分支，它是研究几何对象的位置、相互关系和性质的一种方法。
高中数学解析几何主要包括二维解析几何和三维解析几何两个方面。
下面我将从坐标系、直线、圆、曲线以及空间几何等方面，对高中数学解析几何进行全面总结。
一、坐标系坐标系是解析几何的基础。
平面直角坐标系由两个数轴（x轴和y轴）以及它们的交点（原点）组成。
空间直角坐标系由三个数轴（x轴、y轴和z轴）以及它们的交点（原点）组成。
使用坐标系可以通过坐标来表示几何对象的位置。
二、直线直线是解析几何中最基本的图形，也是其他图形的基础。
直线的一般方程为Ax+By+C=0，其中A、B和C是常数。
直线的斜率用k表示，斜截式方程为y=kx+b，其中k是斜率，b是截距。
两直线的位置关系可以通过它们的方程和斜率来确定。
三、圆圆是平面解析几何中的一个重要图形。
圆的一般方程为(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a,b)是圆心坐标，r是半径。
利用圆的方程，可以求解圆的相关性质，例如圆心、半径、切线方程以及与其他图形的位置关系。
四、曲线曲线是解析几何的又一个重要内容。
常见的曲线有抛物线、椭圆、双曲线等。
这些曲线可以通过几何性质或代数方程来描述。
例如，抛物线的一般方程为y=ax²+bx+c，其中a、b和c是常数，a≠0。
五、空间几何空间几何是解析几何的三维扩展。
在空间几何中，坐标系由三个轴（x轴、y轴和z轴）以及它们的交点（原点）构成。
与平面几何相似，利用坐标系可以表示一点、一直线以及一平面在空间中的位置。
此外，空间几何还包括点、直线、平面之间的位置关系以及空间几何体的性质等。
六、向量向量是解析几何中一个重要的工具。
向量具有大小和方向。
向量的表示可以使用它的起点和终点的坐标表示，也可以使用其分量表示。
向量的加法、减法、数量积和向量积等运算可以通过坐标的运算来进行。
向量的一些性质和定理，如平行向量的性质、垂直向量的性质以及柯西-斯瓦尔茨不等式等，也是解析几何中需要掌握的内容。
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高中平面解析几何知识点总结一.直线部分1．直线的倾斜角与斜率：（1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角. 倾斜角)180,0[︒∈α,︒=90α斜率不存在.（2）直线的斜率：αtan ),(211212=≠--=k x x x x y y k ．两点坐标为111(,)P x y 、222(,)P x y .2．直线方程的五种形式：（1）点斜式：)(11x x k y y -=- (直线l 过点),(111y x P ，且斜率为k )．注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0x x =．（2）斜截式：b kx y += (b 为直线l 在y 轴上的截距).（3）两点式：121121x x x x y y y y --=-- (12y y ≠，12x x ≠).注：① 不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线；② 方程形式为：0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时，方程可以表示任意直线．（4）截距式：1=+b ya x （b a ,分别为x 轴y 轴上的截距，且0,0≠≠b a ）．注：不能表示与x 轴垂直的直线，也不能表示与y 轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的直线．（5）一般式：0=++C By Ax (其中A 、B 不同时为0)．一般式化为斜截式：B C x B A y --=，即，直线的斜率：B Ak -=． 注：（1）已知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+或0x =． 已知直线横截距0x ，常设其方程为x my x =+(直线斜率k 存在时，m 为k 的倒数)或0y =．已知直线过点00(,)x y ，常设其方程为00()y k x x y =-+或x x =．（2）解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直线一般不重合．3．直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为0.（1）直线在两坐标轴上的截距相等⇔直线的斜率为1-或直线过原点． （2）直线两截距互为相反数⇔直线的斜率为1或直线过原点． （3）直线两截距绝对值相等⇔直线的斜率为1±或直线过原点． 4．两条直线的平行和垂直： （1）若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+，有① 212121,//b b k k l l ≠=⇔； ② 12121l l k k ⊥⇔=-.（2）若0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l ，有① 1221122121//C A C A B A B A l l ≠=⇔且； ② 0212121=+⇔⊥B B A A l l ．5．平面两点距离公式： （1）已知两点坐标111(,)P x y 、222(,)P x y ，则两点间距离22122121)()(y y x x P P -+-=．（2）x 轴上两点间距离：AB x x AB -=．（3）线段21P P 的中点是),(00y x M ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=22210210y y y x x x ． 6．点到直线的距离公式：点),(00y x P 到直线0=++C By Ax l ：的距离：2200B A CBy Ax d +++=．7．两平行直线间的距离公式：两条平行直线002211=++=++C By Ax l C By Ax l ：，：的距离：2221B A C C d +-=．8．直线系方程： （1）平行直线系方程：① 直线y kx b =+中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程． ② 与直线:0l Ax By C ++=平行的直线可表示为10Ax By C ++=．③ 过点00(,)P x y 与直线:0l Ax By C ++=平行的直线可表示为：00()()0A x xB y y -+-=．（2）垂直直线系方程：① 与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线可表示为10Bx Ay C -+=．② 过点00(,)P x y 与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线可表示为：00()()0B x x A y y ---=．（3）定点直线系方程：① 经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()y y k x x -=-(除直线x x =),其中k 是待定的系数．② 经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()()0A x xB y y -+-=,其中,A B 是待定的系数．（4）共点直线系方程：经过两直线0022221111=++=++C y B x A l C y B x A l ：，：交点的直线系方程为0)(222111=+++++C y B x A C y B x A λ (除开2l)，其中λ是待定的系数．9．两条曲线的交点坐标：曲线1:(,)0C f x y =与2:(,)0C g x y =的交点坐标⇔方程组{(,)0(,)0f x y g x y ==的解．10.平面和空间直线参数方程：① 平面直线方程以向量形式给出：nb y nax 21--=方向向量为()n n s 21，=→下面推导参数方程：⎪⎩⎪⎨⎧+=+===--tn b y tn a x tn b y na x 2121则有令：② 空间直线方程也以向量形式给出： nb z nb y nax 321---==方向向量为()n n n s 321,，=→下面推导参数方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+====---t n c z t n b y t n a x t nc z nb y na x 321321则有令：注意：只有封闭曲线才会产生参数方程，对于无限曲线，例如二次函数一般不会有化为如上的参数方程。
二.圆部分1．圆的方程：（1）圆的标准方程：222)()(r b y a x =-+-（0>r ）．（2）圆的一般方程：)04(02222>-+=++++F E D F Ey Dx y x ． （3）圆的直径式方程：若),(),(2211y x B y x A ，，以线段AB 为直径的圆的方程是：0))(())((2121=--+--y y y y x x x x ．注：(1)在圆的一般方程中，圆心坐标和半径分别是)2,2(E D --，F E D r 42122-+=．（2）一般方程的特点：① 2x 和2y 的系数相同且不为零；② 没有xy 项； ③ 0422>-+F E D （3）二元二次方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的等价条件是： ① 0≠=C A ； ② 0=B ； ③ 0422>-+AF E D ．2．圆的弦长的求法：（1）几何法：当直线和圆相交时，设弦长为l ，弦心距为d ，半径为r ，则：“半弦长2+弦心距2=半径2”——222)2(r d l =+；（2）代数法：设l 的斜率为k ，l 与圆交点分别为),(),(2211y x B y x A ，，则||11||1||22B A B A y y k x x k AB -+=-+=（其中|||,|2121y y x x --的求法是将直线和圆的方程联立消去y 或x ，利用韦达定理求解） 3．点与圆的位置关系： 点),(00y x P 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种① P 在在圆外22020)()(r b y a x r d >-+-⇔>⇔．② P 在在圆内22020)()(r b y a x r d <-+-⇔<⇔．③ P 在在圆上22020)()(r b y a x r d =-+-⇔=⇔．【P 到圆心距离d =4．直线与圆的位置关系：直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:圆心到直线距离为d (22B A C Bb Aa d +++=)，由直线和圆联立方程组消去x （或y ）后，所得一元二次方程的判别式为∆．0<∆⇔⇔>相离r d ； 0=∆⇔⇔=相切r d ；0>∆⇔⇔<相交r d ．5．两圆位置关系:设两圆圆心分别为21,O O ，半径分别为21,r r ，dO O =21条公切线外离421⇔⇔+>r r d ；无公切线内含⇔⇔-<21r r d ；条公切线外切321⇔⇔+=r r d ；条公切线内切121⇔⇔-=r r d ； 条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ．6．圆系方程：)04(02222>-+=++++F E D F Ey Dx y x （1）过直线0=++C By Ax l ：与圆C :022=++++F Ey Dx y x 的交点的圆系方程：0)(22=+++++++C By Ax F Ey Dx y x λ,λ是待定的系数．（2）过圆1C :011122=++++F y E x D y x 与圆2C :022222=++++F y E x D y x 的交点的圆系方程：0)(2222211122=+++++++++F y E x D y x F y E x D y x λ,λ是待定的系数． 特别地，当1λ=-时，2222111222()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=就是121212()()()0D D xE E yF F -+-+-=表示两圆的公共弦所在的直线方程，即过两圆交点的直线．7．圆的切线方程：（1）过圆222r y x =+上的点),(00y x P 的切线方程为:200r y y x x =+．（2）过圆222)()(r b y a x =-+-上的点),(00y x P 的切线方程为:200))(())((r b y b y a x a x =--+-- ．（3）当点),(00y x P 在圆外时，可设切方程为)(00x x k y y -=-，利用圆心到直线距离等于半径，即r d =，求出k ；或利用0=∆，求出k ．若求得k 只有一值，则还有一条斜率不存在的直线x x =．8. 圆的参数方程：圆方程参数方程源于： 1cos sin 22=+θθ那么1)()2222=+--Rb y R a x （设：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==--θθcos )sin )Rb y Ra x （（ 得：⎪⎩⎪⎨⎧==++θθcos sin R b y R a x9．把两圆011122=++++F y E x D y x 与022222=++++F y E x D y x 方程相减 即得相交弦所在直线方程:0)()()(212121=-+-+-F F y E E x D D ． 10．对称问题： （1）中心对称：① 点关于点对称：点),(11y x A 关于),(00y x M 的对称点)2,2(1010y y x x A --．② 直线关于点对称：法1：在直线上取两点，利用中点公式求出两点关于已知点对称的两点坐标，由两点式求直线方程．法2：求出一个对称点，在利用21//l l 由点斜式得出直线方程． （2）轴对称：① 点关于直线对称：点与对称点连线斜率是已知直线斜率的负倒数，点与对称点的中点在直线上．点 A A '、关于直线l 对称⎩⎨⎧''⇔上中点在⊥l A A l A A ⎩⎨⎧'-=⇔'方程中点坐标满足·l A A k k l A A 1． ② 直线关于直线对称：（设b a ,关于l 对称）法1：若b a ,相交，求出交点坐标，并在直线a 上任取一点，求该点关于直线l 的对称点． 若l a //，则l b //，且b a ,与l 的距离相等．法2：求出a 上两个点B A ,关于l 的对称点，在由两点式求出直线的方程． （3）其他对称：点(a,b)关于x 轴对称：(a,-b)； 关于y 轴对称：(-a,b)； 关于原点对称：(-a,-b)；点(a,b)关于直线y=x 对称：(b,a)； 关于y=-x 对称：(-b,-a)； 关于y =x+m 对称：(b-m 、a+m)； 关于y=-x+m 对称：(-b+m 、-a+m).11．若),(),(),(332211y x C y x B y x A ，，，则△ABC 的重心G 的坐标是⎪⎭⎫⎝⎛++++33321321y y y x x x ，． 12．各种角的范围：直线的倾斜角 ︒<≤︒1800α 两条相交直线的夹角 ︒≤<︒900α 两条异面线所成的角 ︒≤<︒900α三.椭圆部分1.椭圆定义：① 到两定点距离之和为一常数的平面几何曲线：即∣MO1∣+∣MO2∣=2a② 或定义：任意一条线段，在线段中任取两点（不包括两端点），将线段两端点置于这两点处，用一个钉子将线段绷直旋转一周得到的平面几何曲线即为椭圆。