中考动点专题 【教案】
中考数学总复习课件(专题3：动点型问题)
MN 1 x2 S 16 2( 1 x2
8. 8)
1
x2
8.
2
2
根据二次函数的图形和性质，这个函数的图形是开口向下，
对称轴是y轴，顶点是（0，8），自变量的取值范围是0＜x
＜4．
故答案选C.
(三)面动问题 【例题 4】(2014·玉林市)如图，边长分别为1和2的两个等边 三角形，开始它们在左边重合，大三角形固定不动，然后把 小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止.设小三角形 移动的距离为x，两个三角形重叠的面积为y，则y关于x的函 数图象是( )
解:(1)①当△BPQ∽△BAC时，
∵ BP BQ , BP=5t，QC=4t，
BA BC
AB=10 cm，BC=8 cm，
∴ 5t 8 4t ,∴t=1.
10 8
②当△BPQ∽△BCA时，
∵
BP BC
BQ , BA
∴
5t 8 4t , 8 10
∴
t 32 . 41
∴t=1或 t 32 时，△BPQ与△ABC类似.
41
(2)如图a，过点P作PM⊥BC于点M，AQ，CP相交于点N.
则有PB=5t，PM=3t，CM=8-4t，
∵∠NAC+∠NCA=90°，
∠PCM+∠NCA=90°，
∴∠NAC=∠PCM且∠ACQ=∠PMC=90°.
∴△ACQ∽△CMP.
∴ AC QC .
CM PM
∴ 6 4t , 解得 t 7 ,
题型一 建立动点问题的函数关系式(或函数图象)
【例题 1】(2014·黑龙江省)如图，在平面直角坐标系中，边 长为1的正方形ABCD中，AD边的中点处有一动点P，动点P 沿P→D→C→B→A→P运动一周，则P点的纵坐标y与点P走
中考数学复习专题讲座十三 动点型问题
中考数学复习专题讲座十三:动点型问题中考数学复习专题讲座十三动点型问题（三）（函数引动点产生的相似三角形问题、以圆为载体的动点问题）一、中考专题诠释所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. “动点型问题” 题型繁多、题意创新，考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等，是近几年中考题的热点和难点。
二、解题策略和解法精讲解决动点问题的关键是“动中求静”. 从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。
在动点的运动过程中观察图形的变化情况，理解图形在不同位置的情况，做好计算推理的过程。
在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。
三、中考考点精讲专题五：函数引动点产生的相似三角形问题函数因动点产生的相似三角形问题一般有三个解决途径：①求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边．和角．的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。
根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。
②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。
③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。
例1 （2012�6�1义乌市）如图1，已知直线y=kx 与抛物线y= 交于点A（3，6）．（1）求直线y=kx 的解析式和线段OA 的长度；（2）点P 为抛物线第一象限内的动点，过点P 作直线PM，交x 轴于点M（点M、O 不重合），交直线OA 于点Q，再过点Q 作直线PM 的垂线，交y 轴于点N．试探究：线段QM 与线段QN 的长度之比是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由；（3）如图2，若点B 为抛物线上对称轴右侧的点，点E 在线段OA 上（与点O、A 不重合），点D（m，0）是x 轴正半轴上的动点，且满足∠BAE=∠BED=∠AOD．继续探究：m在什么范围时，符合条件的E 点的个数分别是1 个、2 个？思路分析：（1）利用待定系数法求出直线y=kx 的解析式，根据A 点坐标用勾股定理求出线段OA 的长度；（2）如答图1，过点Q 作QG⊥y 轴于点G，QH⊥x 轴于点H，构造相似三角形△ QHM 与△ QGN，将线段QM与线段QN 的长度之比转化为相似三角形的相似比，即为定值．需要注意讨论点的位置不同时，这个结论依然成立；（3）由已知条件角的相等关系∠BAE=∠BED=∠AOD，可以得到△ ABE∽△OED．设OE=x，则由相似边的比例关系可以得到m关于x 的表达式（），这是一个二次函数．借助此二次函数图象（如答图3），可见m在不同取值范围时，x 的取值（即OE 的长度，或E 点的位置）有1 个或2 个．这样就将所求解的问题转化为分析二次函数的图象与性质问题．另外，在相似三角形△ ABE与△ OED中，运用线段比例关系之前需要首先求出AB的长度．如答图2，可以通过构造相似三角形，或者利用一次函数（直线）的性质求得AB 的长度．解：（1）把点A（3，6）代入y=kx 得；∵6=3k，∴k=2，∴y=2x．（2 分）OA= ．…（3 分）（2）是一个定值，理由如下：如答图1，过点Q 作QG⊥y 轴于点G，QH⊥x 轴于点H．①当QH 与QM重合时，显然QG 与QN 重合，此时；②当QH 与QM不重合时，∵QN⊥QM，QG⊥QH 不妨设点H，G 分别在x、y 轴的正半轴上，∴∠MQH=∠GQN，又∵∠QHM=∠QGN=90° ∴△QHM∽△QGN…（5 分），∴，当点P、Q 在抛物线和直线上不同位置时，同理可得．…（7 分）①①（3）如答图2，延长AB 交x 轴于点F，过点F 作FC⊥OA 于点C，过点A 作AR⊥x 轴于点R∵∠AOD=∠BAE，∴AF=OF，∴OC=AC= OA=∵∠ARO=∠FCO=90°，∠AOR=∠FOC，∴△AOR∽△FOC，∴，∴OF= ，∴点F（，0），设点B（x，），过点B 作BK⊥AR 于点K，则△ AKB∽△ARF，∴，即，解得x 1 =6，x 2 =3（舍去），∴点B（6，2），∴BK=6－3=3，AK=6－2=4，∴AB=5 …（8 分）；（求AB 也可采用下面的方法）设直线AF 为y=kx+b（k≠0）把点A（3，6），点F（，0）代入得k= ，b=10，∴，∴，∴（舍去），，∴B（6，2），∴AB=5…（8 分）（其它方法求出AB 的长酌情给分）在△ ABE 与△ OED 中∵∠BAE=∠BED，∴∠ABE+∠AEB=∠DEO+∠AEB，∴∠ABE=∠DEO，∵∠BAE=∠EOD，∴△ABE∽△OED．…（9 分）设OE=x，则AE= －x （），由△ ABE∽△OED 得，∴∴（）…（10 分）∴顶点为（，）如答图3，当时，OE=x= ，此时E 点有1 个；当时，任取一个m的值都对应着两个x 值，此时E 点有2 个．∴当时，E 点只有1 个…（11 分）当时，E 点有2 个…（12 分）．点评：本题是中考压轴题，难度较大，解题核心是相似三角形与抛物线的相关知识，另外也考查了一次函数、勾股定理等重要知识点．解题的难点在于转化思想的运用，本题第（2），（3）问都涉及到了问题的转化，要求同学们能够将所求解的问题转化为常见的数学问题，利用自己所熟悉的数学知识去解决问题，否则解题时将不知道从何下手而导致失分．对应训练1．（2012�6�1绍兴）如图，矩形OABC 的两边在坐标轴上，连接AC，抛物线y=x 2 －4x－2 经过A，B 两点．（1）求A 点坐标及线段AB 的长；（2）若点P 由点A 出发以每秒1 个单位的速度沿AB 边向点B 移动，1 秒后点Q 也由点A 出发以每秒7 个单位的速度沿AO，OC，CB 边向点B 移动，当其中一个点到达终点时另一个点也停止移动，点P 的移动时间为t 秒．①当PQ⊥AC 时，求t 的值；②当PQ‖AC 时，对于抛物线对称轴上一点H，∠HOQ＞∠POQ，求点H 的纵坐标的取值范围．考点六：以圆为载体的动点问题与圆有关的动点问题也是中考的热点，此类问题以圆为载体，主要研究几何图形在点的运动中的位置关系和数量关系；这类问题集几何、代数知识于一体，是数形结合思想的完美表现，具有较强的综合性、灵活性和多样性。
中考数学专题 动点问题教案
A D
BG
E FC
解决动态几何问题的常见方法有:
一、 特殊探路，一般推证 二、 动手实践，操作确认 三、 建立联系，计算说明
A
E F
B
C O
例 3：如图，在等腰直角三角形 ABC 中，斜边 BC=4，OA BC 于 O,点 E 和点 F 分别在边 AB、AC 上滑动
并保持 AE=CF,但点 F 不与 A、C 重合，点 E 不与 B、A 重合。(1)判断 OEF 的形状，并加以证明。
并求出相应的长度.
(2)设 PH x ,GP y ,求 y 关于 x 的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量 x 的取值范围).
(3)如果△PGH 是等腰三角形,试求出线段 PH 的长.
B
P
N
y Gx
O
MHA
图1
二、应用比例式建立函数解析式
例 2（2006 年·山东）如图 2,在△ABC 中,AB=AC=1,点 D,E 在直线 BC 上运动.设 BD= x, CE= y . (1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定 y 与 x 之间的函数解析式；
上，任取一点 Q ，过点 Q 作直线 QA 平行于 y 轴交 x 轴于 A 点，交直线 PC 于 B 点，直线 QA 与直线 PC 及
初中动点的教案
初中动点的教案一、教学背景分析动点问题是初中数学中的一个重要内容，学生在学习这一部分内容时，往往因为难以理解动点的运动规律而感到困惑。
为了帮助学生更好地理解动点问题，提高他们的数学思维能力，我设计了这一教案。
二、教学目标1. 让学生理解动点的概念，掌握动点的运动规律。
2. 培养学生运用数形结合的思想解决实际问题的能力。
3. 提高学生分析问题、解决问题的能力，培养他们的逻辑思维能力。
三、教学内容1. 动点的概念及其运动规律。
2. 动点在平面直角坐标系中的运动规律。
3. 动点在实际问题中的应用。
四、教学过程1. 导入：通过一个简单的实例，让学生初步接触动点，引发学生对动点问题的兴趣。
2. 动点的概念及其运动规律：引导学生认识动点的概念，讲解动点的运动规律，让学生通过观察、思考、讨论，总结出动点的运动特点。
3. 动点在平面直角坐标系中的运动规律：讲解动点在平面直角坐标系中的运动规律，引导学生利用坐标系解决动点问题。
4. 动点在实际问题中的应用：通过具体实例，讲解动点在实际问题中的应用，培养学生运用数形结合的思想解决实际问题的能力。
5. 课堂练习：布置一些有关动点问题的练习题，让学生巩固所学知识，提高解决问题的能力。
6. 总结：对本节课的内容进行总结，强调动点问题的解题思路和方法。
五、教学策略1. 采用直观演示法，让学生通过观察、操作、思考，掌握动点的运动规律。
2. 运用实例分析法，让学生在实际问题中感受动点的作用，提高运用数形结合思想解决问题的能力。
3. 采用问题驱动法，引导学生主动探究、积极思考，培养学生的逻辑思维能力。
六、教学评价1. 学生能准确地描述动点的概念及其运动规律。
2. 学生能在平面直角坐标系中正确地表示出动点的运动轨迹。
3. 学生能运用动点的知识解决实际问题，提高解决问题的能力。
七、教学反思在教学过程中，要注意关注学生的学习情况，针对不同学生的特点进行引导和讲解。
同时，要注重培养学生的数学思维能力，让学生在学习过程中感受到数学的乐趣。
中考数学动点问题专题
中考动点专题所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.关键:动中求静.数学思想：分类思想 函数思想 方程思想 数形结合思想 转化思想 注重对几何图形运动变化能力的考查从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。
选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。
在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。
二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等．研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向．只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向．本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点．专题一：建立动点问题的函数解析式函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析. 一、应用勾股定理建立函数解析式例1(2000年·上海)如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上,有一个动点P,PH ⊥OA,垂足为H,△OPH 的重心为G.(1)当点P 在弧AB 上运动时,线段GO 、GP 、GH 中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度.(2)设PH x =,GP y =,求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量x 的取值范围).(3)如果△PGH 是等腰三角形,试求出线段PH 的长.解:(1)当点P 在弧AB 上运动时,OP 保持不变,于是线段GO 、GP 、GH中,有长度保持不变的线段，这条线段是GH=32NH=2132⋅OP=2.(2)在Rt △POH 中, 22236x PH OP OH -=-=, ∴HM NGPOAB图1xy2362121x OH MH -==. 在Rt △MPH 中,.∴y =GP=32MP=233631x + (0<x <6). (3)△PGH 是等腰三角形有三种可能情况: ①GP=PH 时,x x =+233631,解得6=x . 经检验, 6=x 是原方程的根,且符合题意.②GP=GH 时,2336312=+x ,解得0=x . 经检验, 0=x 是原方程的根,但不符合题意.③PH=GH 时,2=x .综上所述,如果△PGH 是等腰三角形,那么线段PH 的长为6或2.二、应用比例式建立函数解析式 例2（2006年·山东）如图2,在△ABC 中,AB=AC=1,点D,E 在直线BC 上运动.设BD=,x CE=y . (1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定y 与x 之间的函数解析式；(2)如果∠BAC 的度数为α,∠DAE 的度数为β,当α,β满足怎样的关系式时,(1)中y 与x 之间的函数解析式还成立?试说明理由.解:(1)在△ABC 中,∵AB=AC,∠BAC=30°,∴∠ABC=∠ACB=75°, ∴∠ABD=∠ACE=105°.∵∠BAC=30°,∠DAE=105°, ∴∠DAB+∠CAE=75°, 又∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°, ∴∠CAE=∠ADB,∴△ADB ∽△EAC, ∴AC BD CE AB =,∴11x y =, ∴xy 1=. (2)由于∠DAB+∠CAE=αβ-,又∠DAB+∠ADB=∠ABC=290α-︒,且函数关系式成立, ∴290α-︒=αβ-, 整理得=-2αβ︒90. 当=-2αβ︒90时,函数解析式xy 1=成立. 例3(2005年·上海)如图3(1),在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3. 点O 是边AC 上的一个动点,以点O 为圆心作半2222233621419x x x MH PH MP +=-+=+= AEDCB 图2O●F PDE ACB3(1)圆,与边AB 相切于点D,交线段OC 于点E.作EP ⊥ED,交射线AB 于点P,交射线CB 于点F.(1)求证: △ADE ∽△AEP.(2)设OA=x ,AP=y ,求y 关于x 的函数解析式,并写出它的定义域.(3)当BF=1时,求线段AP 的长.解:(1)连结OD. 根据题意,得OD ⊥AB,∴∠ODA=90°,∠ODA=∠DEP.又由OD=OE,得∠ODE=∠OED.∴∠ADE=∠AEP, ∴△ADE ∽△AEP.(2)∵∠ABC=90°,AB=4,BC=3, ∴AC=5. ∵∠ABC=∠ADO=90°, ∴OD ∥BC, ∴53x OD =,54xAD =, ∴OD=x 53,AD=x 54. ∴AE=x x 53+=x 58. ∵△ADE ∽△AEP, ∴AE AD AP AE =, ∴x x yx 585458=. ∴x y 516= (8250≤<x ). (3)当BF=1时，①若EP 交线段CB 的延长线于点F,如图3(1)，则CF=4.∵∠ADE=∠AEP, ∴∠PDE=∠PEC. ∵∠FBP=∠DEP=90°, ∠FPB=∠DPE, ∴∠F=∠PDE, ∴∠F=∠FEC, ∴CF=CE. ∴5-x 58=4,得85=x .可求得2=y ,即AP=2. ②若EP 交线段CB 于点F,如图3(2), 则CF=2. 类似①,可得CF=CE. ∴5-x 58=2,得815=x . 可求得6=y ,即AP=6.综上所述, 当BF=1时,线段AP 的长为2或6.三、应用求图形面积的方法建立函数关系式例4（2004年·上海）如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC=22,⊙A 的半径为1.若点O 在BC 边上运动(与点B 、C 不重合),设BO=x ,△AOC 的面积为y .(1)求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的定义域. (2)以点O 为圆心,BO 长为半径作圆O,求当⊙O 与⊙A 相切时, △AOC 的面积.解:(1)过点A 作AH ⊥BC,垂足为H.∵∠BAC=90°,AB=AC=22, ∴BC=4,AH=21BC=2. ∴OC=4-x . ●P D E AC B3(2) O FABCO 图8HF A B CED ∵AH OC S AOC ⋅=∆21, ∴4+-=x y (40<<x ). (2)①当⊙O 与⊙A 外切时,在Rt △AOH 中,OA=1+x ,OH=x -2, ∴222)2(2)1(x x -+=+. 解得67=x . 此时,△AOC 的面积y =617674=-. ②当⊙O 与⊙A 内切时,在Rt △AOH 中,OA=1-x ,OH=2-x , ∴222)2(2)1(-+=-x x . 解得27=x . 此时,△AOC 的面积y =21274=-. 综上所述,当⊙O 与⊙A 相切时,△AOC 的面积为617或21. 专题二：动态几何型压轴题动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
中考数学动点问题专题讲解
中考动点专题所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。
在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。
例2.如图2,在△ABC 中,AB=AC=1,点D,E 在直线BC 上运动.设BD=,x CE=y . (1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定y 与x 之间的函数解析式；(2)如果∠BAC 的度数为α,∠DAE 的度数为β,当α,β满足怎样的关系式时,(1)中y 与x 之间的函数解析式还成立?试说明理由.解:(1)在△ABC 中,∵AB=AC,∠BAC=30°,∴∠ABC=∠ACB=75°, ∴∠ABD=∠ACE=105°.∵∠BAC=30°,∠DAE=105°, ∴∠DAB+∠CAE=75°, 又∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°, ∴∠CAE=∠ADB,∴△ADB ∽△EAC, ∴ACBD CE AB =,∴11xy =, ∴x y 1=.(2)由于∠DAB+∠CAE=αβ-,又∠DAB+∠ADB=∠ABC=290α-︒,且函数关系式成立, ∴290α-︒=αβ-, 整理得=-2αβ︒90. 当=-2αβ︒90时,函数解析式xy 1=成立. 例3(2005年·上海)如图3(1),在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3. 点O 是边AC 上的一个动点,以点O 为圆心作半圆,与边AB 相切于点D,交线段OC 于点E.作EP ⊥ED,交射线AB 于点P,交射线CB 于点F.(1)求证: △ADE ∽△AEP.(2)设OA=x ,AP=y ,求y 关于x 的函数解析式,并写出它的定义域.(3)当BF=1时,求线段AP 的长. 解:(1)连结OD.根据题意,得OD ⊥AB,∴∠ODA=90°,∠ODA=∠DEP.AEDCB 图2A3(2)3(1)又由OD=OE,得∠ODE=∠OED.∴∠ADE=∠AEP, ∴△ADE ∽△AEP.(2)∵∠ABC=90°,AB=4,BC=3, ∴AC=5. ∵∠ABC=∠ADO=90°, ∴OD ∥BC, ∴53x OD =,54xAD =, ∴OD=x 53,AD=x 54. ∴AE=x x 53+=x 58. ∵△ADE ∽△AEP, ∴AE AD AP AE =, ∴x x yx 585458=. ∴x y 516= (8250≤<x ). (3)当BF=1时，①若EP 交线段CB 的延长线于点F,如图3(1)，则CF=4.∵∠ADE=∠AEP, ∴∠PDE=∠PEC. ∵∠FBP=∠DEP=90°, ∠FPB=∠DPE, ∴∠F=∠PDE, ∴∠F=∠FEC, ∴CF=CE. ∴5-x 58=4,得85=x .可求得2=y ,即AP=2. ②若EP 交线段CB 于点F,如图3(2), 则CF=2. 类似①,可得CF=CE. ∴5-x 58=2,得815=x . 可求得6=y ,即AP=6.综上所述, 当BF=1时,线段AP 的长为2或6.三、应用求图形面积的方法建立函数关系式例4（2004年·上海）如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC=22,⊙A 的半径为1.若点O 在BC 边上运动(与点B 、C 不重合),设BO=x ,△AOC 的面积为y .(1)求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的定义域. (2)以点O 为圆心,BO 长为半径作圆O,求当⊙O 与⊙A 相切时, △AOC 的面积.解:(1)过点A 作AH ⊥BC,垂足为H.∵∠BAC=90°,AB=AC=22, ∴BC=4,AH=21BC=2. ∴OC=4-x . ∵AH OC S AOC ⋅=∆21, ∴4+-=x y (40<<x ). (2)①当⊙O 与⊙A 外切时,在Rt △AOH 中,OA=1+x ,OH=x -2, ∴222)2(2)1(x x -+=+. 解得67=x . 此时,△AOC 的面积y =617674=-. ②当⊙O 与⊙A 内切时,在Rt △AOH 中,OA=1-x ,OH=2-x , ∴222)2(2)1(-+=-x x . 解得27=x . 此时,△AOC 的面积y =21274=-. ABCO 图8HC综上所述,当⊙O 与⊙A 相切时,△AOC 的面积为617或21.动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
中考动点问题专题教师讲义带答案
中考动点问题专题教师讲义带答案集团标准化工作小组 #Q8QGGQT-GX8G08Q8-GNQGJ8-MHHGN#中考动点型问题专题一、中考专题诠释所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.“动点型问题”题型繁多、题意创新，考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等，是近几年中考题的热点和难点。
二、解题策略和解法精讲解决动点问题的关键是“动中求静”.从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。
在动点的运动过程中观察图形的变化情况，理解图形在不同位置的情况，做好计算推理的过程。
在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。
三、中考考点精讲考点一：建立动点问题的函数解析式（或函数图像）函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.例1 （2015兰州）如图，动点P从点A出发，沿线段AB运动至点B后，立即按原路返回，点P在运动过程中速度不变，则以点B为圆心，线段BP长为半径的圆的面积S 与点P的运动时间t的函数图象大致为（）A．B．C．D．思路分析：分析动点P的运动过程，采用定量分析手段，求出S与t的函数关系式，根据关系式可以得出结论．解：不妨设线段AB长度为1个单位，点P的运动速度为1个单位，则：（1）当点P在A→B段运动时，PB=1-t，S=π（1-t）2（0≤t＜1）；（2）当点P在B→A段运动时，PB=t-1，S=π（t-1）2（1≤t≤2）．综上，整个运动过程中，S与t的函数关系式为：S=π（t-1）2（0≤t≤2），这是一个二次函数，其图象为开口向上的一段抛物线．结合题中各选项，只有B符合要求．故选B．点评：本题结合动点问题考查了二次函数的图象．解题过程中求出了函数关系式，这是定量的分析方法，适用于本题，如果仅仅用定性分析方法则难以作出正确选择．对应训练1．（2015白银）如图，⊙O的圆心在定角∠α（0°＜α＜180°）的角平分线上运动，且⊙O与∠α的两边相切，图中阴影部分的面积S关于⊙O的半径r（r＞0）变化的函数图象大致是（）A．B．C．D．1．C 考点二：动态几何型题目点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题. 它主要以几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题. 这类题综合性强，能力要求高，它能全面的考查学生的实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力.动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
2020～2021学年中考数学《数轴上的动点问题》专题讲义
《数轴上的动点问题》专题讲义一．动点问题的处理方法“点-线-式”三步二．动点问题的解题步骤1.列点：将已知点用具体的数表示，未知动点用含t的式子表示①点的左右移动：数轴上的点向左移动用减法，移动几个单位长度就减去几，向右移动用加法，移动几个单位长度就加上几。
②点的表示：通常用含t的式子表示数轴上的动点，可以根据动点的位置、速度和移动的方向将点表示出来。
例题1：如图，数轴上点A表示的数为-3，点B表示的数为6，动点P从A出发向右运动，速度2为每秒个单位长度，动点Q从B出发向左运动，速度为每秒3个单位长度，t秒后，求动点P、Q表示的数。
2.列线：利用两点间距离的表示方法将线段用具体的数或式子表示出来数轴上两点之间的距离三种表示方式：①如果两个点所表示的数的大小已知，直接用较大的数减去较小的数；②如果两个点所表示的数的大小未知，则用两个数的差的绝对值表示；③动点的起始点和终止点之间的线段可以用动点所走的路程表示。
例题2：数轴上点A表示的数为-3，点B表示的数为6，动点P从A出发向右运动，速度为每秒2个单位长度，动点Q从B出发向左运动，速度为每秒3个单位长度，t秒后，求线段AB、AQ、BP、PQ、AP、BQ的长。
3.列式：解决数轴上的动点问题的一个重要方法就是方程法，可以根据题目中的线段之间的数量关系，列出方程并解方程例题3：已知数轴上A、B两点对应数分别为-2和4，P为数轴上一点，对应的数为x。
若点P到A、B两点的距离相等，求点P对应的数。
三、动点问题的常用工具1.中点公式：如图，数轴上A点表示的数为a，B点表示的数为b，C点表示的数为c，且B为A、C中点，则b=2ca2.解绝对值方程：①|a|=b，则a=±b ②|a|=|b|，则a=±b ③|x-a|+|x-b|=c（零点分段法）3.分类讨论思想：例题4：已知数轴上两点A、B对应的数分别为-3、5，P为数轴上的动点，其对应的数为x。
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1中考动点型问题专题一、中考专题诠释所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.“动点型问题” 题型繁多、题意创新，考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等，是近几年中考题的热点和难点。
二、解题策略和解法精讲解决动点问题的关键是“动中求静”. 从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。
在动点的运动过程中观察图形的变化情况，理解图形在不同位置的情况，做好计算推理的过程。
在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。
考点一 建立动点问题的函数解析式（或函数图像）函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系. 例1、（2013•兰州）如图，动点P 从点A 出发，沿线段AB 运动至点B 后，立即按原路返回，点P在运动过程中速度不变，则以点B 为圆心，线段BP 长为半径的圆的面积S 与点P 的运动时间t 的函数图象大致为（ B ）思路分析：分析动点P 的运动过程，采用定量分析手段，求出S 与t 的函数关系式，根据关系式可以得出结论．解：不妨设线段AB 长度为1个单位，点P 的运动速度为1个单位，则：（1）当点P 在A→B 段运动时，PB=1-t ，S=π（1-t ）2（0≤t ＜1）；（2）当点P 在B→A 段运动时，PB=t-1，S=π（t-1）2（1≤t≤2）．综上，整个运动过程中，S 与t 的函数关系式为：S=π（t-1）2（0≤t≤2），这是一个二次函数，其图象为开口向上的一段抛物线．结合题中各选项，只有B 符合要求． 点评：本题结合动点问题考查了二次函数的图象．解题过程中求出了函数关系式，这是定量的分析方法，适用于本题，如果仅仅用定性分析方法则难以作出正确选择．例2、（2013•白银）如图，⊙O 的圆心在定角∠α（0°＜α＜180°）的角平分线上运动，且⊙O 与∠α的两边相切，图中阴影部分的面积S 关于⊙O 的半径r （r ＞0）变化的函数图象大致是（ C ）2例3、（2013山东临沂）如图，正方形ABCD 中，AB ＝8cm ，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 分别从B ，C 两点同时出发，以1cm/s 的速度沿BC ，CD 运动，到点C ，D 时停止运动．设运动时间为t (s )，△OEF 的面积为S (cm 2)，则S (cm 2)与t (s )的函数关系可用图象表示为（ B ）例4、（2013•安徽）图1所示矩形ABCD 中，BC=x ，CD=y ，y与x 满足的反比例函数关系如图2所示，等腰直角三角形AEF的斜边EF 过C 点，M 为EF 的中点，下列结论正确的是（ D ）A ．当x=3时，EC ＜EMB ．当y=9时，EC ＞EMC ．当x 增大时，EC•CF 的值增大D ．当y 增大时，BE•DF 的值不变 例5、（2013•盘锦）如图，将边长为4的正方形ABCD 的一边BC 与直角边分别是2和4的Rt △GEF 的一边GF 重合．正方形ABCD 以每秒1个单位长度的速度沿GE 向右匀速运动，当点A 和点E 重合时正方形停止运动．设正方形的运动时间为t 秒，正方形ABCD 与Rt △GEF 重叠部分面积为s ，则s 关于t 的函数图象为（ B ）A ．B ．C ．D ．考点二 动态几何型题目点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题. 它主要以几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题. 这类题综合性强，能力要求高，它能全面的考查学生的实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力.动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。
（一）点动问题．例1、（2013•龙岩）如图，在平面直角坐标系xOy 中，A （0，2），B （0，6），动点C 在直线y=x 上．若以A 、B 、C 三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C 的个数是（ B ）A ．2B ．3C ．4D ．5例2、（2013•新疆）如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm ，D 为BC 的中点，若动点E 以1cm/s 的速度从A 点出发，沿着A→B→A 的方向运动，设E 点的运动时间为t 秒（0≤t ＜6），连接DE ，当△BDE 是直角三角形时，t 的值为（D ）A ．2B ．2.5或3.5C ．3.5或4.5D ．2或3.5或4.53 例3、（2013•河北）如图，梯形ABCD 中，AB∥DC，DE ⊥AB ，CF ⊥AB ，且AE=EF=FB=5，DE=12动点P 从点A 出发，沿折线AD-DC-CB 以每秒1个单位长的速度运动到点B 停止．设运动时间为t 秒，y=S △EPF ，则y 与t 的函数图象大致是（ A ）（二）线动问题例1、（2013•荆门）如右图所示，已知等腰梯形ABCD ，AD ∥BC ，若动直线l 垂直于BC ，且向右平移，设扫过的阴影部分的面积为S ，BP 为x ，则S 关于x 的函数图象大致是（ A ）思路分析：分三段考虑，①当直线l 经过BA 段时，②直线l 经过AD 段时，③直线l 经过DC 段时，分别观察出面积变化的情况，然后结合选项即可得出答案．解：①当直线l 经过BA 段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度越来越快；②直线l 经过DC 段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度保持不变；4 ③直线l 经过DC 段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度越来越小；结合选项可得，A 选项的图象符合． 故选A ． 点评：本题考查了动点问题的函数图象，类似此类问题，有时候并不需要真正解出函数解析式，只要我们能判断面积增大的快慢就能选出答案．例2、（2013•永州）如图所示，在矩形ABCD 中，垂直于对角线BD 的直线l ，从点B 开始沿着线段BD 匀速平移到D ．设直线l 被矩形所截线段EF 的长度为y ，运动时间为t ，则y 关于t 的函数的大致图象是（ A ）（三）面动问题例1、（2013•牡丹江）如图所示：边长分别为1和2的两个正方形，其中一边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为t ，大正方形内去掉小正方形后的面积为s ，那么s 与t 的大致图象应为（ A ）思路分析：根据题意，设小正方形运动的速度为V ，分三个阶段；①小正方形向右未完全穿入大正方形，②小正方形穿入大正方形但未穿出大正方形，③小正方形穿出大正方形，分别求出S ，可得答案．解：根据题意，设小正方形运动的速度为V ，分三个阶段；①小正方形向右未完全穿入大正方形，S=2×2-Vt×1=4-Vt ， ②小正方形穿入大正方形但未穿出大正方形，S=2×2-1×1=3，③小正方形穿出大正方形，S=Vt×1，分析选项可得，A 符合；点评：解决此类问题，注意将过程分成几个阶段，依次分析各个阶段得变化情况，进而综合可得整体得变化情况． 例2、（2013•衡阳）如图所示，半径为1的圆和边长为3的正方形在同一水平线上，圆沿该水平线从左向右匀速穿过正方形，设穿过时间为t ，正方形除去圆部分的面积为S （阴影部分），则S 与t 的大致图象为（ A ）考点三 几何中的动点问题例1、（2013山东菏泽）如图所示，在△ABC 中，BC =6，E 、F 分别是AB 、AC的中点，动点P在射线EF 上，BP 交CE 于点D ，∠CBP 的平分线交CE 于Q ，当CQ =13CE 时，EP +BP =__________. 解：∵E 、F 分别是AB 、AC 的中点，∴EF//BC ，即EM//BC.5∴△EQM ∽△EQB ，∴123132===CE CE CQ EQ BC EM ， 即26=EM ，∴EM=12. ∵∠CBP 的平分线交CE 于Q ，∴∠PBM=∠CBM ，∵EM//BC ，∴∠EMB=∠CBM ， ∴∠PBM=∠EMB ，∴PB=PM ，所以EP +BP =EM=12.例2、（2013杭州4分）射线QN 与等边△ABC 的两边AB ，BC 分别交于点M ，N ，且AC ∥QN ，AM =MB =2cm ，QM =4cm ．动点P 从点Q 出发，沿射线QN 以每秒1cm 的速度向右移动，经过t 秒，以点P 为圆心，cm 为半径的圆与△ABC的边相切（切点在边上），请写出t 可取的一切值 （单位：秒）分析：求出AB =AC =BC =4cm ，MN =AC =2cm ，∠BMN =∠BNM =∠C =∠A =60°，分为三种情况：画出图形，结合图形求出即可；解：∵△ABC 是等边三角形，∴AB =AC =BC =AM +MB =4cm ，∠A =∠C =∠B =60°，∵QN ∥AC ，AM =BM ．∴N 为BC 中点，∴MN =AC =2cm ，∠BMN =∠BNM =∠C =∠A =60°，分为三种情况：①如图1，当⊙P 切AB 于M ′时，连接PM ′， 则PM ′=cm ，∠PM ′M =90°，∵∠PMM ′=∠BMN =60°，∴M ′M =1cm ，PM =2MM ′=2cm ，∴QP =4cm ﹣2cm =2cm ，即t =2；②如图2，当⊙P 于AC 切于A 点时，连接P A ，则∠CAP =∠APM =90°，∠PMA =∠BMN =60°，AP =cm ， ∴PM =1cm ， ∴QP =4cm ﹣1cm =3cm ， 即t =3，当当⊙P 于AC 切于C 点时，连接PC ， 则∠CP ′N =∠ACP ′=90°，∠P ′NC =∠BNM =60°，CP ′=cm ， ∴P ′N =1cm ， ∴QP =4cm +2cm +1cm =7cm ， 即当3≤t ≤7时，⊙P 和AC 边相切；③如图1，当⊙P 切BC 于N ′时，连接PN ′3 则PN ′=cm ，∠PM \N ′N =90°，∵∠PNN ′=∠BNM =60°， ∴N ′N =1cm ，PN =2NN ′=2cm ，∴QP =4cm +2cm +2cm =8cm ， 即t =8 故答案为：t =2或3≤t ≤7或t =8． 指导：本题考查了等边三角形的性质，平行线的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形性质，切线的性质的应用，主要考查学生综合运用定理进行计算的能力，注意要进行分类讨论啊． 例3、（2013湖南郴州）如图，△ABC 中，AB=BC ，AC=8，tanA=k ，P 为AC 边上一动点，设PC=x ，作PE ∥AB 交BC 于E ，PF ∥BC 交AB 于F ．（1）证明：△PCE 是等腰三角形；证明：∵AB=BC ，∴∠A=∠C ，∵PE ∥AB ，∴∠CPE=∠A ，∴∠CPE=∠C ，∴△PCE 是等腰三角形；（2）EM 、FN 、BH 分别是△PEC 、△AFP 、△ABC 的高，用含x 和k 的代数式表示EM 、FN ，并探究EM 、FN 、BH 之间的数量关系；解：∵△PCE 是等腰三角形，EM ⊥CP ， ∴CM=CP=，tanC=tanA=k ， ∴EM=CM •tanC=•k=，同理：FN=AN •tanA=•k=4k ﹣， 由于BH=AH •tanA=×8•k=4k ，6而EM+FN=+4k ﹣=4k ， ∴EM+FN=BH ；（3）当k=4时，求四边形PEBF 的面积S 与x 的函数关系式．x 为何值时，S 有最大值？并求出S 的最大值． 解：当k=4时，EM=2x ，FN=16﹣2x ，BH=16，所以，S △PCE =x•2x=x2，S △APF =（8﹣x ）•（16﹣2x ）=（8﹣x ）2，S △ABC=×8×16=64，S=S △ABC ﹣S △PCE ﹣S △APF ， =64﹣x 2﹣（8﹣x ）2，=﹣2x 2+16x ，配方得，S=﹣2（x ﹣4）2+32， 所以，当x=4时，S 有最大值32．考点四 函数中的动点问题例1、（2013·济宁）如图，直线y =－x ＋4与坐标轴分别交于点A 、B ，与直线y =x 交于点C ．在线段OA 上，动点Q 以每秒1个单位长度的速度从点O 出发向点A 做匀速运动，同时动点P 从点A 出发向点O 做匀速运动，当点P 、Q 其中一点停止运动时，另一点也停止运动．分别过点P 、Q 作x 轴的垂线，交直线AB 、OC 于点E 、F ，连接EF ．若运动时间为t 秒，在运动过程中四边形PEFQ 总为矩形（点P 、Q 重合除外）．（1）求点P 运动的速度是多少？解：∵直线y =－x ＋4与坐标轴分别交于点A 、B ， ∴x =0时，y =4，y =0时，x =8，∴==，当t 秒时，QO =FQ =t ，则EP =t ， ∵EP ∥BO ，∴==，∴AP =2t ，∵动点Q 以每秒1个单位长度的速度从点O 出发向点A 做匀速运动， ∴点P 运动的速度是每秒2个单位长度；（2）当t 为多少秒时，矩形PEFQ 为正方形？解：如图1，当PQ =PE 时，矩形PEFQ 为正方形，则OQ =FQ =t ，P A =2t ，∴QP =8－t －2t =8－3t ，∴8－3t =t ，解得：t =2，如图2，当PQ =PE 时，矩形PEFQ 为正方形，∵OQ =t ，P A =2t ，∴OP =8－2t ，∴QP =t －（8－2t ）=3t －8，∴t =3t －8，解得：t =4；（3）当t 为多少秒时，矩形PEFQ 的面积S 最大？并求出最大值．解：如图1，当Q 在P 点的左边时，∵OQ =t ，P A =2t ，∴QP =8－t －2t =8－3t ，当t =－=时，S 矩形PEFQ 的最大值为：=4，如图2，当Q 在P 点的右边时， ∵OQ =t ，P A =2t ，∴QP =t －（8－2t ）=3t －8， ∴S 矩形PEFQ =QP •QE =（3t －8）•t =3t 2－8t ，∵当点P 、Q 其中一点停止运动时，另一点也停止运动，∴0≤t ≤4，当t =－=时，S 矩形PEFQ 的最小， ∴t =4时，S 矩形PEFQ 的最大值为：3×42－8×4=16，综上所述，当t =4时，S 矩形PEFQ 的最大值为：16．点评：此题主要考查了二次函数与一次函数的综合应用，得出P ，Q 不同的位置进行分类讨论得出是解题关键．7 例2、（2013湖北孝感）如图1，已知正方形ABCD 的边长为1，点E 在边BC 上，若∠AEF=90°，且EF 交正方形外角的平分线CF 于点F ．（1）图1中若点E 是边BC 的中点，我们可以构造两个三角形全等来证明AE=EF ，请叙述你的一个构造方案，并指出是哪两个三角形全等；解：如图1，取AB 的中点G ，连接EG ．△AGE 与△ECF 全等．（2）如图2，若点E 在线段BC 上滑动（不与点B ，C 重合）．①AE=EF 是否总成立？请给出证明；②在如图2的直角坐标系中，当点E 滑动到某处时，点F 恰好落在抛物线y=﹣x 2+x+1上，求此时点F 的坐标． ①若点E 在线段BC 上滑动时AE=EF 总成立．证明：如图2，在AB 上截取AM=EC ．∵AB=BC ，∴BM=BE ，∴△MBE 是等腰直角三角形，∴∠AME=180°﹣45°=135°，又∵CF 平分正方形的外角，∴∠ECF=135°， ∴∠AME=∠ECF ．而∠BAE+∠AEB=∠CEF+∠AEB=90°，∴∠BAE=∠CEF ，∴△AME ≌△ECF ． ∴AE=EF ．②过点F 作FH ⊥x 轴于H ， 由①知，FH=BE=CH ，设BH=a ，则FH=a ﹣1， ∴点F 的坐标为F （a ，a ﹣1）∵点F 恰好落在抛物线y=﹣x 2+x+1上， ∴a ﹣1=﹣a 2+a+1，∴a 2=2，（负值不合题意，舍去）， ∴． ∴点F 的坐标为． 例3、（2013湖北宜昌）如图1，平面之间坐标系中，等腰直角三角形的直角边BC 在x 轴正半轴上滑动，点C的坐标为（t ，0），直角边AC=4，经过O ，C 两点做抛物线y 1=ax （x ﹣t ）（a 为常数，a ＞0），该抛物线与斜边AB 交于点E ，直线OA ：y 2=kx （k 为常数，k ＞0）（1）填空：用含t 的代数式表示点A 的坐标及k 的值：A （t ，4） ，k= （k ＞0） ；解：∵点C 的坐标为（t ，0），直角边AC=4，∴点A 的坐标是（t ，4）．又∵直线OA ：y 2=kx （k 为常数，k ＞0），∴4=kt ，则k=（k ＞0）．（2）随着三角板的滑动，当a=时：①请你验证：抛物线y 1=ax （x ﹣t ）的顶点在函数y=的图象上； ②当三角板滑至点E 为AB 的中点时，求t 的值；解：①当a=时，y 1=x （x ﹣t ），其顶点坐标为（，﹣）． 对于y=来说，当x=时，y=×=﹣，即点（，﹣）在抛物线y=上． 故当a=时，抛物线y 1=ax （x ﹣t ）的顶点在函数y=的图象上；8②如图1，过点E 作EK ⊥x 轴于点K ． ∵AC ⊥x 轴，∴AC ∥EK ．∵点E 是线段AB 的中点，∴K 为BC 的中点，∴EK 是△ACB 的中位线，∴EK=AC=2，CK=BC=2，∴E （t+2，2）．∵点E 在抛物线y1=x （x ﹣t ）上，∴（t+2）（t+2﹣t ）=2， 解得t=2．（3）直线OA 与抛物线的另一个交点为点D ，当t ≤x ≤t+4，|y 2﹣y 1|的值随x 的增大而减小，当x ≥t+4时，|y 2﹣y 1|的值随x 的增大而增大，求a 与t 的关系式及t 的取值范围．解：如图2，，则x=ax （x ﹣t ），解得x=+4，或x=0（不合题意，舍去）．．故点D 的横坐标是+t ．当x=+t 时，|y 2﹣y 1|=0，由题意得t+4=+t ， 解得a=（t ＞0）．例4、（2013湖南郴州）如图，在直角梯形AOCB 中，AB ∥OC ，∠AOC=90°，AB=1，AO=2，OC=3，以O 为原点，OC 、OA 所在直线为轴建立坐标系．抛物线顶点为A ，且经过点C ．点P 在线段AO 上由A 向点O 运动，点O 在线段OC 上由C 向点O 运动，QD ⊥OC 交BC 于点D ，OD 所在直线与抛物线在第一象限交于点E ．（1）求抛物线的解析式；解：∵A （0，2）为抛物线的顶点，∴设y=ax 2+2，∵点C （3，0），在抛物线上，∴9a+2=0，解得：a=﹣，∴抛物线为；y=﹣x 2+2；（2）点E ′是E 关于y 轴的对称点，点Q 运动到何处时，四边形OEAE ′是菱形？解：如果四边形OEAE ′是菱形，则AO 与EE ′互相垂直平分，∴EE ′经过AO 的中点，∴点E 纵坐标为1，代入抛物线解析式得：1=﹣x 2+2，解得：x=±， ∵点E 在第一象限，∴点E 为（，1），设直线BC 的解析式为y=kx+b ，把B （1，2），C （3，0），代入得：，解得：， ∴BC 的解析式为：y=﹣x+3，将E 点代入y=ax ，可得出EO 的解析式为：y=x ，由，得：， ∴Q 点坐标为：（，0），∴当Q 点坐标为（，0）时，四边形OEAE ′是菱形；（3）点P 、Q 分别以每秒2个单位和3个单位的速度同时出发，运动的时间为t 秒，当t 为何值时，PB ∥OD ？9解：设t 为m 秒时，PB ∥DO ，又QD ∥y 轴，则有∠APB=∠AOE=∠ODQ ， 又∵∠BAP=∠DQO ，则有△APB ∽△QDO ，∴=，由题意得：AB=1，AP=2m ，QO=3﹣3m ，又∵点D 在直线y=﹣x+3上，∴DQ=3m ， 因此：=，解得：m=，经检验：m=是原分式方程的解，∴当t=秒时，PB ∥OD ． 例5、（2013湖南娄底）如图，在△ABC 中，∠B=45°，BC=5，高AD=4，矩形EFPQ 的一边QP 在BC 边上，E 、F 分别在AB 、AC 上，AD 交EF 于点H ．（1）求证：；证明：∵矩形EFPQ ， ∴EF ∥BC ，∴△AHF ∽△ADC ，∴， ∵EF ∥BC ，∴△AEF ∽△ABC ，∴， ∴．（2）设EF=x ，当x 为何值时，矩形EFPQ 的面积最大？并求出最大面积；解：∵∠B=45°，∴BD=AD=4，∴CD=BC ﹣BD=5﹣4=1．∵EF ∥BC ，∴△AEH ∽△ABD ，∴，∵EF ∥BC ，∴△AFH ∽△ACD ，∴，∴，即，∴EH=4HF ， 已知EF=x ，则EH=x ． ∵∠B=45°，∴EQ=BQ=BD ﹣QD=BD ﹣EH=4﹣x ．S 矩形EFPQ =EF •EQ=x •（4﹣x ）=﹣x 2+4x=﹣（x ﹣）2+5，∴当x=时，矩形EFPQ 的面积最大，最大面积为5．（3）当矩形EFPQ 的面积最大时，该矩形EFPQ 以每秒1个单位的速度沿射线DA 匀速向上运动（当矩形的边PQ 到达A 点时停止运动），设运动时间为t 秒，矩形EFPQ 与△ABC 重叠部分的面积为S ，求S 与t 的函数关系式，并写出t 的取值范围．解：由（2）可知，当矩形EFPQ 的面积最大时，矩形的长为，宽为4﹣×=2．在矩形EFPQ 沿射线AD 的运动过程中：（I ）当0≤t ≤2时，如答图①所示．设矩形与AB 、AC 分别交于点K 、N ，与AD 分别交于点H 1，D 1．此时DD 1=t ，H 1D 1=2，∴HD 1=HD ﹣DD 1=2﹣t ，HH 1=H 1D 1﹣HD 1=t ，AH 1=AH ﹣HH 1=2﹣t ，．∵KN ∥EF ，∴，即，得KN=（2﹣t ）． S=S 梯形KNFE +S 矩形EFP1Q1=（KN+EF ）•HH1+EF•EQ1=[（2﹣t ）+]×t+（2﹣t ）=t2+5；（II ）当2＜t ≤4时，如答图②所示．设矩形与AB 、AC 分别交于点K 、N ，与AD 交于点D 2．此时DD 2=t ，AD 2=AD ﹣DD 2=4﹣t ，∵KN ∥EF ，∴，即，得KN=5﹣t ．10 S=S △AKN =KN•AD 2=（5﹣t ）（4﹣t ）=t 2﹣5t+10． 综上所述，S 与t 的函数关系式为： S= 例6、（2013湖南张家界）如图，抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象过点C （0，1），顶点为Q （2，3），点D 在x 轴正半轴上，且OD=OC ．（1）求直线CD 的解析式；解：∵C （0，1），OD=OC ，∴D 点坐标为（1，0）．设直线CD 的解析式为y=kx+b （k ≠0），将C （0，1），D （1，0）代入得：， 解得：b=1，k=﹣1，∴直线CD 的解析式为：y=﹣x+1．（2）求抛物线的解析式；解：设抛物线的解析式为y=a （x ﹣2）2+3， 将C （0，1）代入得：1=a ×（﹣2）2+3，解得a=． ∴y=（x ﹣2）2+3=x 2+2x+1． （3）将直线CD 绕点C 逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E ，求证：△CEQ ∽△CDO ；证明：由题意可知，∠ECD=45°，∵OC=OD ，且OC ⊥OD ，∴△OCD 为等腰直角三角形，∠ODC=45°，∴∠ECD=∠ODC ，∴CE ∥x 轴，则点C 、E 关于对称轴（直线x=2）对称，∴点E 的坐标为（4，1）． 如答图①所示，设对称轴（直线x=2）与CE 交于点F ，则F （2，1），∴ME=CM=QM=2，∴△QME 与△QMC 均为等腰直角三角形，∴∠QEC=∠QCE=45°．又∵△OCD 为等腰直角三角形，∴∠ODC=∠OCD=45°，∴∠QEC=∠QCE=∠ODC=∠OCD=45°， ∴△CEQ ∽△CDO ．（4）在（3）的条件下，若点P 是线段QE 上的动点，点F 是线段OD 上的动点，问：在P 点和F 点移动过程中，△PCF 的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．存在．证明：如答图②所示，作点C 关于直线QE 的对称点C′，作点C 关于x 轴的对称点C″，连接C′C″，交OD 于点F ，交QE 于点P ，则△PCF 即为符合题意的周长最小的三角形，由轴对称的性质可知，△PCF 的周长等于线段C′C″的长度．（证明如下：不妨在线段OD 上取异于点F 的任一点F′，在线段QE 上取异于点P 的任一点P′，连接F′C″，F′P′，P′C′．由轴对称的性质可知，△P′CF′的周长=F′C″+F′P′+P′C′； 而F′C″+F′P′+P′C′是点C′，C″之间的折线段，由两点之间线段最短可知：F′C″+F′P′+P′C′＞C′C″，即△P′CF′的周长大于△PCE 的周长．）如答图③所示，连接C′E ，∵C ，C′关于直线QE 对称，△QCE 为等腰直角三角形，∴△QC′E 为等腰直角三角形， ∴△CEC′为等腰直角三角形，∴点C′的坐标为（4，5）； ∵C ，C″关于x 轴对称，∴点C″的坐标为（﹣1，0）．过点C′作C′N ⊥y 轴于点N ，则NC′=4，NC″=4+1+1=6，在Rt △C′NC″中，由勾股定理得：C′C″===．综上所述，在P 点和F 点移动过程中，△PCF 的周长存在最小值，最小值为． 例7、（2013江苏泰州） 如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线2y x =-与y 轴相交于点A ，与反比例函数在第一象限内的图象相交于点B(m ，2).(1)求该反比例函数关系式；解：∵点B(m ，2) 在直线2y x =-上 ∴22m -=解得 4m =∴点B(4，2)又∵点B(4，2)在反比例函数k y x =的图象上 ∴8k = ∴反比例函数关系式为：8y x= (2)将直线2y x =-向上平移后与反比例函数在第一象限内的图象相交于点C ，且△ABC 的面积为18，求平移后的直线的函数关系式.解：设平移后的直线的函数关系式为：y x b =+，C 点坐标为8(,)x x ∵△ABC 的面积为18 ∴8118184(2)44(4)(2)(2)18222x x x x x⨯+-⨯⨯-⨯---+= 化简，得：2780x x +-= 解得：18x =- 21x = ∵0x >∴1x = ∴C 点坐标为（1,8） 把C 点坐标（1,8）代入y x b =+得：81b =+ ， ∴7b =∴平移后的直线的函数关系式为：7y x =+ 考点五 动点最值问题例1、（2013江苏苏州）如图，在平面直角坐标系中，Rt △OAB 的顶点A 在x 轴的正半轴上，顶点B 的坐标为（3，，点C 的坐标为（12，0），点P 为斜边OB 上的一动点，则P A ＋PC 的最小值为（ B ）．A B C D ．解：如图，作A 关于OB 的对称点D ，连接CD 交OB 于P ，连接AP ，过D 作DN ⊥OA于N ，则此时P A ＋PC 的值最小．∵DP =P A ， ∴P A ＋PC =PD ＋PC =CD ．∵B （3，∴AB OA =3，∠B =60°．由勾股定理得：OB 由三角形面积公式得：12×OA ×AB =12×OB ×AM ，即12×312×AM ．∴AM =32．∴AD =2×32=3． ∵∠AMB =90°，∠B =60°， ∴∠BAM =30°，∵∠BAO =90°，∴∠OAM =60°．∵DN ⊥OA ，∴∠NDA =30°，∴AN =12×AD =32． 由勾股定理得：DN ．∵C （12，0），∴CN =3－12－32=1．在Rt △DNC 中，由勾股定理得：DC 2．即P A ＋PC ． 指导：本题考查了三角形的内角和定理，轴对称的最短路线问题，勾股定理，含30度角的直角三角形性质的应用，关键是求出P 点的位置，题目比较好，难度适中． 考点六 双动点问题动态问题是近几年来中考数学的热点题型.这类试题信息量大,其中以灵活多变而著称的双动点问题更成为中考试题的热点中的热点，双动点问题对同学们获取信息和处理信息的能力要求更高高;解题时需要用运动和变化的眼光去观察和研究问题,挖掘运动、变化的全过程,并特别关注运动与变化中的不变量、不变关系或特殊关系,动中取静,静中求动.例1、如图1．E 为矩形ABCD 边AD 上一点，点P 从点B 沿折线BE —ED —DC 运动到点C 时停止，点Q 从点B 沿BC 运动到点C 时停止．它们的运动速度都是1cm /s .若点P ,Q 同时开始运动，设运动时间为t (s )，⊿BPQ 的面积y (cm 2).已知y 与t 的函数关系图像如图2，则下面结论错误的是（ A ）A . cm AE 6=B . 54sin =∠EBCC . 当100≤<t 时，252t y = D .当s t 12=时，PBQ ∆是等腰三角形 解：如图：利用数形结合思想方法，结合图1、图2分别求出BE =BC =10cm ，DE =4cm ，AE =6cm ；然后利用勾股定理求出AB ，即可求出sin ∠EBC =54；当100≤<t 时，根据△BPF ∽△EBA 可求出BQ 边上的高PF t 54=，然后利用三角形面积公式即可求出y 与t 的函数关系式y =⨯t 21t 54252t =，最后利用排除法即可选D .。