第3章 3.7 DFT的应用-线性卷积-谱分析概要
DFT在信号频谱分析中的应用
DFT在信号频谱分析中的应用目录Ⅰ.设计题目 (1)Ⅱ.设计目的 (1)Ⅲ.设计原理 (1)Ⅳ.实现方法 (1)Ⅴ.设计内容及结果 (5)Ⅵ.改进及建议 (11)Ⅶ.思考题及解答 (14)Ⅷ.设计体会及心得 (15)Ⅸ.参考文献 (16)Ⅰ.设计题目DFT 在信号频谱分析中的应用Ⅱ.设计目的掌握离散傅里叶变换的有关性质，利用Matlab 实现DFT 变换。
了解DFT 应用，用DFT 对序列进行频谱分析，了解DFT 算法存在的问题及改进方法。
学习并掌握FFT 的应用。
Ⅲ.设计原理所谓信号的频谱分析就是计算信号的傅里叶变换。
连续信号与系统的傅里叶分析显然不便于直接用计算机进行计算，使其应用受到限制，而DFT 是一种时域和频域均离散化的变换，适合数值运算，成为分析离散信号和系统的有力工具。
工程实际中，经常遇到的连续信号Xa(t),其频谱函数Xa(jW)也是连续函数。
数字计算机难于处理，因而我们采用DFT 来对连续时间信号的傅里叶变换进行逼近，进而分析连续时间信号的频谱。
Ⅳ.实现方法离散傅里叶变换是有限长序列的傅里叶变换，它相当于把信号的傅里叶变换进行等频率间隔采样，并且有限长序列的离散傅里叶变换和周期序列的离散傅里叶级数本质是一样的。
快速傅里叶变换（FFT ）并不是一种新的变换，它是离散傅里叶变换的一种快速算法，并且主要是基于这样的思路而发展起来的：（1）把长度为N 的序列的DFT 逐次分解成长度较短的序列的DFT 来计算。
（2）利用WN(nk)的周期性和对称性，在DFT 运算中适当的分类，以提高运算速度。
（对称性nkNnk NW W N-=+2，12-=NN W ;周期性nkN nk N nrN N k rN n NW W W W ---==)(，r 为任意整数,1=nrNN W ）离散傅里叶变换的推导：离散傅里叶级数定义为nk j N k p p ek x Nn x N21)(1)(π∑-==（1-1） 将上式两端乘以nm j Neπ2-并对n在0~N-1求和可得⎥⎦⎤⎢⎣⎡==∑∑∑∑∑-=---=-=-=---=-10)(110101)(1N2N2N2)()(1)(N n m k n j N N k p N n N k m k n j pN n nm j pe k X ek XNen xπππ 因为{m k 1mk 0)(N )(1)(N 2N2N2-1-1N 11=≠---=-==∑m k j m k j N n m k n je eeNπππ所以∑∑-=-=--=110)()()(N2N k p N n nm j p m k k X en x δπ 这样∑-=-=10N2)()(N n nm j p p en x m X π用k 代替m 得∑-=-=1N2)()(N n nk j p P en x k X π（1-2）令N2πj N eW -=则（1-2）成为DFS []∑-===10)()()(N n nkN p p p W n x k X n x （1-3）（1-1）成为IDFS []∑-=-==1)(1)()(N n nkN pp p W k XNn x k X （1-4）式（1-3）、（1-4）式构成周期序列傅里叶级数变换关系。
《离散傅里叶变换-第三章》
n0 0 = kn 8 7
3
3
2π − j kn 8
3 − j kπ 8
(2) 设变换区间N=16， 则
X(k) = ∑ x(n)W
n= 0
3π k −j 16
π
N= 0 = n0 0
2 = ∑ e, k = 0,1, ⋅ ⋅ ⋅, 7 π N =0 sin( k ) 8
2. 时域循环移位定理 设x(n)是长度为N的有限长序列，y(n)为x(n)的循环移位，即： y(n)=x((n+m))NRN(n) 则: Y(k)=DFT[y(n)]=W-kmNX(k) 其中:X(k)=DFT[x(n)], 0≤k≤N-1
kn 证明： Y ( k ) = DFT [ y (n )] = x (( n + m )) N RN (n )WN ∑ N− 令n+m=n′，则有1 n =0 N −1
~
~ ∞
x (n ) =
m =−∞
∑
x ( n + mN )
(3.1.5)
(3.1.6) ••
~
x (n ) ••
0
••
N-1
•
n
x (n ) = x ( n ) ⋅ RN (n )
~
~
••
••
~(n ) x
•• •
0
••
•
••
•• •
~
••
N-1
•
n
一般定义周期序列 x(n) 中从n=0到N-1的第一个周期为 x(n)的主 n) x(n) (3.1.7) x( 值区间，而主值区间上的序列称为x(n) 的主值序列。(3.1.7) x(n)
利用DFT计算线性卷积PPT课件
x2[n] 1
012
n
第4页/共23页
n 0123
x1[n] 1 012
x2[n] 1
线性卷积与循环卷积的关 系
n
0 1 2 3 n y1[k] {1, 2, 2, 2,1,1}
1
x1[n]
n 2 1 0
1
x1[1n]
1
x1[2n]
1
x1[3n]
n
n
n
1 1
2
3
1
x1[(n)4]
第3页/共23页
线性卷积与循环卷积的关系：
例1：x1[k]={1,1,1}, x 2[k]={1,1,0,1} , 计算 (1) x1[k]和x2[k]的线性卷积y1[k] ； (2) x1[k]和x2[k]的4点循环卷积y4[k] ； (3) x1[k]和x2[k]的5点、6点和7点循环卷积。
解:
谢谢您的观看！
DFT计算卷积
第23页/共23页
x[k] h[k] xn[k nL] h[k] yn[k nL]
n0
n0
y0[k]的非零范围：
0k LM 2
y1[kL]的非零范围： L k 2L M 2
序列 y0[k], y1[k]的重叠部分： L k L M 2
重叠的点数：
[(L+M2)L]+1=M1
依次将相邻两段的M1个重叠点相加，即得到最终的线性卷积结果。
x[k ]
一段分别与短序列进行循环卷积，对重叠部分相加
x0[k]
x1[k ]
x2[k]
x3 [k ]
L
2L
3L
x[k] xn[k nL]
n0
其中
第3章 3.4 DFT的应用-线性卷积-谱分析
2014-12-19
0≤k≤L-1
1
0≤k≤L-1
第3章 离散傅立叶变换（DFT）
循环卷积可以在时域计算，也可以在频域计算，而 DFT有快速算法FFT，当N很大时，在频域计算的速度 要快的多，故常用DFT来计算循环卷积。
l
N 1
yc (n)
q
yl (n qL) RL (n)
(3.4.3)
4
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第3章 离散傅立叶变换（DFT）
yc (n)
q
y (n qL)R (n)
l L
循环卷积 yc (n) 是线性卷积 yl (n) 以循环卷积点数L为周 期的周期延拓序列的主值序列。 循环卷积长度：L; 线性卷积长度：N+M-1;
s 0
2 j kn 0 N 1 N X ( jk ) e a 0 2 k 0
2 j kn N 0 1 N 1 X a ( jk 0 )e N 2 N k 0
1 IDFT [ X a ( jk 0 )] T
(6)
15
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第3章 离散傅立叶变换（DFT）
n 0 N 1
，共N个采样点
(3)
由于时域采样周期为T，则由时域采样定理，频 域产生以Ωs=2πfs=2π/Ts为周期的周期延拓。 如果xa(t)是带限信号，则采样信号的频谱不会 产生混叠，周期为Ωs=2π/Ts，取其中的一个周 期的FT，则（2）变为：
1 xa (nT ) 2
s
h (n ) 补 L－ N 个 零 点 L 点 DFT y(n )
数字信号处理DFT
DFT[x(n)]
1 N
X1(k)
X 2 (k )
3.3 频率域采样
1、对于有限长（N点）序列x(n)
Z[x(n)]=X (Z)
取单位圆上的Z变换
X (e j ) FT[x(n)]
会引起x(n)周期延拓
频域一周内等间隔N点采样
~
~
X (k) DFS[x(n)]
X (k) DFT[x(n)]
00
tt
T TpTp / N
XXXaa(a((jjfjff)))
fs 2 fc
T (2 fc )1
N 1
X ( jf ) T xa (nT )e j2 fnT n0
令f kF
00
F fs2/fNsc
N 1
j 2 kn
X ( jkF) T xa (nT )e N
n0
N 1
j 2 kn
时域信号 频域信号
连续的 非周期的
周期的 离散的
三 离散时间、连续频率的序列傅里叶变换
x(nT) T
X e j 或 X (e jT )
---
-T 0 T 2T t
0
时域信号 频域信号
离散的 周期的 非周期的 连续的
---
s
2 T
四 离散时间、离散频率的离散傅里叶变换
x(nT)=x(n)
Tp
1 F
1
W k4 4
1 W4k
4 0
k 0 k 1, 2,3
x(n)的8点DFT为
X (k)
7
x(n)WNkn
3
j 2 kn
e8
n0
n0
x(n)的幅频特性特性曲线及其4点、8点、16点DFT.
用DFT对时域离散信号进行频谱分析
用DFT对时域离散信号进行频谱分析DFT（离散傅里叶变换）和FFT（快速傅里叶变换）是用于对时域离散信号进行频谱分析的常用方法之一、在本文中，我将介绍DFT和FFT的原理和应用，并探讨它们的优势和劣势。
频谱分析是一种研究信号频率成分的方法。
它可以用于分析信号的频域特征，例如信号频谱的幅度和相位信息。
频谱分析广泛应用于通信、声学、图像处理、金融等领域。
DFT是傅里叶变换在时域离散信号上的一种离散形式。
傅里叶变换将信号从时域转换到频域，使我们能够分析信号包含的不同频率的成分。
DFT计算离散信号的系数，这些系数表示了信号在不同频率上的幅度和相位信息。
DFT的计算复杂度为O(N^2)，其中N是信号的长度。
这意味着DFT对于长时间序列的计算是非常昂贵的。
为了解决DFT计算复杂度高的问题，人们引入了FFT算法。
FFT是一种基于DFT的快速算法，可以大大提高计算效率。
FFT的计算复杂度为O(NlogN)。
当信号的长度是2的幂次时，FFT的计算速度尤为快速。
FFT算法利用了傅里叶变换中的对称和周期性特性，通过分治法将DFT计算分解成多个小规模的DFT计算，从而加快了计算速度。
FFT算法有多种变体，包括Cooley-Tukey算法、Gentleman-Sande算法等。
使用DFT和FFT进行频谱分析有很多应用。
其中一种常见的应用是信号滤波。
通过分析信号的频谱，我们可以确定信号中所包含的不同频率的成分，从而选择性地滤除或增强一些频率的信号成分。
另一种应用是频谱分析可用于频率识别。
通过观察信号频谱的峰值和分布情况，我们可以确定信号的主要频率成分，从而进行信号的识别和辨别。
尽管DFT和FFT在频谱分析中非常有用，但它们也存在一些局限性。
首先，这些方法假设信号是离散、周期且稳定的。
对于非周期信号和突发信号，DFT和FFT的结果可能会产生混淆或误导。
其次，DFT和FFT的分辨率取决于采样率和信号长度，这可能会导致频域分辨率较低。
第3章离散傅里叶变换(DFT)09-10-1
§3.2 离散傅里叶变换的基本性质
一. 线性性质
x1(n)和x2(n)是两个有限长序列，长度分别为N1和N2
y(n)=ax1(n)+bx2(n)
式中a、 b为常数， 即N≥max［N1, N2］， 则y(n)的N
点DFT为：
（补零问题！）
Y(k)=DFT［y(n)］=aX1(k)+bX2(k), 0≤k≤N-1
➢再 反 转 形 成 x2((-m))N ， 取 主 值 序 列 则 得 到 x2((m))NRN(m)，通常称之为x2(m)的圆周反转； ➢对x2(m)的圆周反转序列圆周右移n，形成
x2((n-m))NRN(m)； ➢当n=0,1,2,…,N-1时，分别将x1(m)与x2((n-m))NRN(m)相 乘，并在m=0到N-1区间内求和，便得到其循环卷积y(n)。
y(n) x((n m))N RN (n)
则循环移位后的DFT为
Y (k) DFT [ y(n)] DFT [x((n m))N RN (n)] WNmk X (k)
证：利用周期序列的移位性质加以证明
DFS [x((n m)) N ] DFS [~x (n m)] WNmk X~(k)
x1(n)
0
N-1
~x2 (n)
0
N-1
n n
~x2 (m)
x2 0 mN RN (m)
0
m
x2 1 mN RN (m)
0
x2
2
mN
RN
(m)
m
0
m
x2 3 mN RN (m)
0
m
y(n) x1(n) N x2 (n) ➢两个长度
第3章--离散傅里叶变换(DFT)
设x(n)是一种长度为M旳有限长序列， 则定义x(n)旳N点
离散傅里叶正变换为
N 1
j 2 nk
X (k ) DFT[x(n)] x(n)e N
N 1
x(n)WNnk
n0
n0
离散傅里叶逆变换为
离散傅里叶变换对
x(n)
IDFT[ X (k )]
1 N
N 1
j 2 nk
X (k )e N
3.2 离散傅里叶变换旳基本性质
1 线性性质 假如x1(n)和x2(n)是两个有限长序列，长度分别为N1和N2。 y(n)=ax1(n)+bx2(n) 式中a、 b为常数， 即N=max［N1, N2］，
则y(n)旳N点DFT为 Y(k)=DFT［y(n)］=aX1(k)+bX2［k］, 0≤k≤N-1(3.2.1) 其中X1(k)和X2(k)分别为x1(n)和x2(n)旳N点DFT。 若N1<N2，则N=N2,那么需将x1(n)补上N2-N1个零值点后变
k 2 k f f s k
N
N
以上所讨论旳三种频率变量之间旳关系，在对模 拟信号进行数字处理以及利用模拟滤波器设计数 字滤波器乃至整个数字信号处理中十分主要，望 同学们高度注重。
第三章 离散傅里叶变换DFT
3.1.2 DFT旳隐含周期性------ DFT与 DFS旳关系
DFT变换对中，x(n)与X(k)均为有限长序列,但因为WknN旳周
第三章 离散傅里叶变换DFT
例2 ： x(n) R8 (n)，分别计算x(n)旳8点、16点DFT。
解: x(n)旳8点DFT为
X (k)
7 n0
R8 (n)W8k n
7 j2k n
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xa (t )e jt dt X a ( j)e jt d
(1) (2 )
1）、将xa(t)采样，即，等间隔(T)分段
t nT dt T
X a ( j)
xa (t )e
jt
dt
n
第3章 离散傅立叶变换（DFT）
3.4 DFT的应用举例
3.4.1 用DFT计算线性卷积 1. 循环卷积定理： L 1 如果： y(n) x1 (n) x2 (n) x1 (m) x2 ((n m)) L RL (n)
m0
X 1 (k ) DFT [ x1 (n)] X 2 (k ) DFT [ x2 (n)]
矛盾
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第3章 离散傅立叶变换（DFT） 2.用DFT对连续信号进行谱分析的过程：
信号的频谱分析：计算信号的傅立叶变换
xa(t)
抽样 x(n) 截短
周期延拓 周期延 xN(n) x(n)d(n) 拓 xN((n))N 取一个周期
t=nTs
FT
周期延拓
DTFT
DTFT
DFS
DFT
抽样 周期延拓 卷积 jw jw XN((k))N Xa(e )*D(e Xa(ejw) Xa(jΩ) XN(k 取一个周期 Ω =Ω/N Ωs=2π/Ts 0 ) )
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第3章 离散傅立叶变换（DFT）
yc (n) h(m) x(n m qL) RL (n)
m 0 q
N 1
q
N 1
m0
h(m) x(n m qL) RL (n)
对照式(3.4.1)可以看出， 上式中
m 0
h(m) x(n qL m) y (n qL)
FT要求：“时域有限，频域无限”； “频域有限，时域无限”； DFT要求：时域频域均有限。 工程上经过预处理： 频谱很宽的信号，预滤波器滤除幅度较小的高频成分，使 连续信号的带宽小于折叠频率。 对于持续时间很长的信号，截取有限点进行DFT。 用DFT对连续信号进行频谱分析必然是近似的，其近似程 度与信号带宽、采样频率和截取长度有关。
如何利用XN(k)近似Xa(jΩ)?
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第3章 离散傅立叶变换（DFT）
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第3章 离散傅立叶变换（DFT）
假设xa(t)是经过预滤波和截取处理的有限长带限信号。已
知连续信号xa(t)持续时间为Tp，最高频率为fc。
X a ( j ) 1 xa (t ) 2
yl (n) h(n) x(n) h(m) x(n m)
m0
N 1
(3.4.1)
yc (n) h(n) x(n) h(m) x((n m)) L RL (n)
m0
L 1
(3.4.2)
其中， L≥max［N, M］，
x((n)) L
3
q
x(n qL),
l
N 1
yc (n)
q
yl (n qL) RL (n)
(3.4.3)
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第3章 离散傅立叶变换（DFT）
yc (n)
q
y (n qL)R (n)
l L
循环卷积 yc (n) 是线性卷积 yl (n) 以循环卷积点数L为周 期的周期延拓序列的主值序列。 循环卷积长度：L; 线性卷积长度：N+M-1;
L= 6 n
L= 8 n
(c)
L=10 n
£ 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
图 3.4.2 线性卷积与循环卷积
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第3章 离散傅立叶变换（DFT）
3.4.2 用DFT对信号进行谱分析
1． 用DFT
目的：时域频域都离散化，便于计算机处理。
只有当循环卷积 yc (n) 的长度L≥M+N-1时，以L为Байду номын сангаас期 进行周期延拓才无混叠现象。此时，取主值才有
yl (n) yc (n)
线性卷积和循环卷积相等的条件： L≥M+N-1
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第3章 离散傅立叶变换（DFT）
当循环卷积的长度L≥M+N-1 时，线性卷积和 循环卷积相等，这时，可用DFT来计算线性 卷积，框图如下：
h (n ) 补 L－ N 个 零 点 L 点 DFT y(n )
L点 IDFT x(n ) 补 L－ M 个 零 点 L 点 DFT
图 3.4.3 用DFT计算线性卷积框图
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第3章 离散傅立叶变换（DFT）
h(n) 1 (a) 0 1 2 3 x(n) 1 (b) 0 1 2 3 4 h(n) * x(n) 4 3 2 1 N+M-1=8 (f) n 4 3 2 1 n M=5 (e) n N= 4 (d) h(n) ¡ ðx(n) * 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 ðx(n) h(n) ¡ * 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 ðx(n) h(n) ¡ *
用DFT计算循环卷积
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第3章 离散傅立叶变换（DFT）
2.线性卷积的计算：
希望用DFT(FFT)计算线性卷积。 而DFT只能直接 用来计算循环卷积，为此导出线性卷积和循环卷积之 间的关系以及循环卷积与线性卷积相等的条件。 假设h(n)和x(n)都是有限长序列， 长度分别是N和 M。 它们的线性卷积和循环卷积分别表示如下：
FT DFT
连续信号xa(t)
离散信号xa(nT)
连续函数Xa(jΩ)
离散信号X(k)
X(k)则是x(n)的傅里叶变换X(ejω)在频率区间［0，2π］ 上的N点等间隔采样。这里x(n)和X(k)均为有限长序列。
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第3章 离散傅立叶变换（DFT）
用DFT对信号进行谱分析是一个近似的过程：
则由时域循环卷积定理有 Y(k)=DFT［y(n)］=X1(k)X2(k),
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第3章 离散傅立叶变换（DFT）
循环卷积可以在时域计算，也可以在频域计算，而 DFT有快速算法FFT，当N很大时，在频域计算的速度 要快的多，故常用DFT来计算循环卷积。
图 3.4.1