2017-2018学年高一物理教师用书：第3章 3.万有引力定律的应用
高中物理-第三章 万有引力定律的应用 课件
可求中心天体质量
月
M地
4 2
GT12
r13
题目条件可以( ) B
A．求出“嫦娥三号”探月卫星的质量
= M地
B．求出月球的质量
周期定律表达形式
C．得出 r13 : T12＝r23 : T22 D．求出地球的密度 条件：中心天体相同
＝ M
V
3 (R＋h)3
GT22 R 3
二、计算天体质量和密度
变2发引的卫周题ABCD0．． ． ．1星式 力 半 期 目射3求求得求年做训常径为条，出出出出1圆练 量 为 件实T22月地“，月周为 可现1r嫦1r：1球球、3不2运以了G娥:日的的，周“T计动“(三1嫦2凌落质＝密期月其的号娥晨月r量度为球2他环3”三)在”:探绕T天月T的号1西2，2月地体轨新”昌“条卫球探的道阶周嫦卫件星做月期影半段娥：星的圆卫定响径．三中发律质周星，为若心号表射量运于根已天r”达2中探动、体据知形心月相式两同 个模月型：GG月MMrr同 理月12地可2M2Mmm求月卫地月中心G4mGm天4T卫22T2月体41rT2224质3T22r121量232r2 r1
m
4 2
T12
R
(1)则该天体的密度是多少？
V
天体的体积为: V
M＝
4 2R3
gT12
4 R3
(2)若这颗卫星距该天体表面的高度为h，
3
测得在该处做圆周运动的周期为T2，则该 故该天体的密度为
天体的密度又是多少？
M V
＝G3Tπ21
典例精析 二、计算天体质量和密度
例2 假设在半径为R的某天体上发射一 (2)卫星距天体表面为h时，忽
问题设计
2．设地面附近的重力加速度g＝9.8 m/s2，地球半径R＝6.4×106 m，引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，试估算地球的质量．
高中物理第三章3万有引力定律的应用教案3教科版必修2
第3节万有引力定律的应用教学准备：多媒体设备一套：可供PPT课件播放、实物投影等．教学过程：环节一：创设情景引入课题环节二：回顾行星发展史( 打出 PPT2)教师：到底谁首次发现了水星、木星、金星、火星和土星已无从考察．但发现天王星、海王星、冥王星的天文学家永远记载于历史史册中．（板书）一、预言未知星体教师：1781年，威廉·赫歇尔借助自己制造的高倍天文望远镜，观测到了太阳系中的一颗新行星——天王星．（注：屏幕上打出威廉·赫歇尔照）思考一：人们发现天王星的实际轨道与由万有引力算出的理论轨道有较大的偏差，引发了人们的各种猜想，你能举出一个印象较深刻的“猜想”吗？教师（引导学生猜想）：（ 1 ）万有引力定律是错误的．（ 2 ）天王星外还有一颗未知行星，它对天王星有较大的引力作用．人们根据猜想（ 2 ），用万有引力定律计算出天王星外未知星体的轨道半径 , 果然在所算出的位置发现海王星——人们称它为“笔尖下发现的行星”．多媒体演示：在 PPT2 上按时间顺序打出三位海王星的发现者照片并介绍海王星的发现过程．思考二：你觉得勒威耶能发现新的行星——海王星，最难能可贵的是什么？对你有什么启？学生活动：思考三：汤博用什么方法发现了第九颗行星——冥王星？（ PPT2 打出汤博照片，字幕：美国天文学家汤博发现冥王星．）海王星的引力部分解释了天王星轨道的误差，但不能完全解释之一决问题，天文学家相信海王星轨道之外还存在一颗未知行星．但这颗神秘行星太远太暗了，经过几代人近一个世纪的努力，才于 1930 年出现在美国天文学家汤博的视野里．这颗远离太阳的行星被称为冥王星．至此，“太阳系九大行星”的格局坚持了70多年．思考四：本文提到的科学家都运用了一种共同的科学研究方法，你知道是什么方法吗？学生活动：教师：发现海王星有什么意义？学生活动：教师总结：（ 1 ）进一步验证了万有引力定律的正确性．（ 2 ）根据同样的方法美国天文学家汤博发现了冥王星．（ 3 ）说明科学理论具有预见性． ( 一个成功的理论不仅要能解释已知的事实 , 更重要的是能预言未知现象 )学生举例说明：哈雷彗星回归．（板书）二、预言彗星的回归．教师：（打出 PPT3 ）哈雷，英国著名天文学家、数学家．哈雷彗星的发现者．过渡：万有引力定律作为一个自然界最基本的定律，无论是在理论研究还是工程设计方面都有着极其广泛的应用．宇宙物理中常常以测定天体的万有引力产生的效应来断定天体的位置和质量；在电磁探测受局限的地域，可以通过万有引力的测量计算，来探知地下物质的密度，从而断定地下矿藏的分布或是地下墓穴的规模和位置．环节三：复习准备 , 为计算天体的质量做铺垫教师：（回顾 PPT1 ）太阳系中的各大行星围绕不同半径的轨道运行 , 请你用圆周运动的有关知识分析它们的线速度 v 、角速度ω、向心加速度 a 、周期 T 与轨道半径 r 大小的关系．学生讨论与交流：（学生将讨论结果通过实物投影展示）（环节四：天体质量的计算方法）过渡：像太阳、地球这些天体，我们无法直接测量它们的质量 , 现在我们是否能用万有引力定律找出计算天体质量的方法？（板书）三、天体质量的计算方法【问题】（ 1 ）若地球 m 围绕太阳 M 做圆周运动的周期为 T ，圆周运动的轨道半径为 r ，万有引力常量为 G ， M ＝？学生讨论交流：①计算天体质量的基本方法：a. 天体（卫星、行星、恒星）之间存在着万有引力；b. 卫星绕行星、行星绕恒星的椭圆运动近似可看成匀速圆周运动；c. 匀速圆周运动的向心力来自它们之间的万有引力．②计算天体质量的基本思路：讨论与交流：变化 1：地球 m 围绕太阳 M 做圆周运动的线速度为 v ，圆周运动的轨道半径为 r. 求 M ＝？变化 2：若地球 m 围绕太阳 M 做圆周运动的线速度为 v ，圆周运动的周期为 T, M ＝？学生活动：自主思考，充分讨论，展示自己的解决方法，体验解决问题的喜悦．教师：如果知道太阳的半径 R, 如何估测太阳的平均密度？讨论交流：( 学生可能会混淆地球运行轨道半径 r 和太阳半径 R ，教师注意纠正 )教师：同学们运用万有引力定律求解天体质量的方法，能求出地球的质量吗？如果能，需要知道哪些量？怎样才能求出地球的质量？学生活动：自主思考并做答．（ 2 ）若已知万有引力常量 G 、地球半径 R 和重力加速度 g, 并认为地球表面的物体受到的重力等于地球对物体的万有引力 , 求地球的质量．学生讨论交流：基本思路：教师：计算中央天体质量时采用哪些方法？请同学归纳一下．学生活动：（环节五：拓展（根据实际教学情况进行）——第 52 页“发展空间中”估测太阳密度．环节六：课后小结这节课我们运用万有引力定律和圆周运动的规律, 讨论了两种计算天体质量的基本思路和方法．万有引力定律还有哪些应用？通过实例复习万有引力定律和圆周运动知识教学流程图：学习效果评价：（略）根据教学实际设计教学反思：1．在处理行星发展史教学环节上重描了一下．捕捉、搜集了大量天文学家的事迹，对这些教学资源信息进行甄别、筛选、优化整合，制作PPT课件，成为本节的一大亮点，激活学生学习的兴奋点，营造课堂教学氛围．2．天体质量的计算方法部分 , 将教师教转变为学生的学 , 教学环节的设计从学生的实际情况出发 , 力求充分调动学生的积极性，使他们积极参与问题的分析、讨论、交流、体验，强调教学互动 , 体现学生的自主合作学习．高考理综物理模拟试卷注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
新教材高中物理第三章万有引力定律第三节万有引力定律的应用pptx课件粤教版必修第二册
第三节 万有引力定律的应用
学习目标
学法指导
1．通过练习，掌握计算地球、太阳等中
1．学会应用万有引力定律“称 心天体质量和密度的方法
量”地球质量，计算太阳质量， 2．通过计算地球和太阳的质量、海王星
估算天体密度等
的发现及哈雷彗星的按时回归，认识万
2．知道海王星的发现过程，了 有引力定律的成就，并进一步体会人们
而处于平衡状态
【答案】B 【解析】物体在赤道上时，重力方向与万有引力方向相同，万有引 力等于重力与物体随地球自转所需要的向心力的合力，此时万有引力大 于重力，故A错误；物体在两极时向心力为零，重力方向与万有引力方 向相同，且万有引力等于重力，故B正确；重力是万有引力的一个分力， 它们不是作用力与反作用力，C错误；地球上的任一物体都会受万有引 力、重力和支持力三个力作用，由于物体随地球自转，处于非平衡状态， 故D错误．
课堂·重难探究
物体所受地球的引力与重力的关系
1．物体在一般位置 设物体随地球自转时的向心力为 F′，则 F′＝ mrω2．F′、F 引、G 不在一条直线上，重力 G 与万有引 力 F 引方向有偏差，重力大小 mg<GMRm2 ，三者之间的 关系如图所示．
2．物体在两个特殊位置 (1)当物体在赤道上时，F′达到最大值F′max， F′max＝mRω2，此时重力最小， Gmin＝F 引－F′max＝GMr2m－mRω2． (2)当物体在两极时，F′＝0，G＝F 引，重力达最大值 Gmax＝GMr2m．可 见只有在两极处重力等于万有引力，其他位置重力小于万有引力． 3．由于地球自转角速度很小，自转所需向心力很小，一般情况下认 为重力近似等于万有引力，mg≈GMRm2 ，g 为地球表面的重力加速度．
高中物理第3章3万有引力定律的应用课件教科版必修2
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双星模型的两个重要结论
(1)双星模型中，星体运动的轨道半径和质量成反比，即r1∶r2
＝m2∶m1，双星系统的转动中心离质量较大的星体近．
(2)双星系统的转动周期与双星的距离L、双星的总质量(m1＋m2)
有关，即T＝2π
L3 Gm1＋m2.
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3.现代观测表明，由于引力作用，恒星有“聚集”的特点，众 多的恒星组成了不同层次的恒星系统，最简单的恒星系统是两颗互 相绕转的双星，事实上，冥王星也是和另一星体构成双星，如图所 示，这两颗行星m1、m2各以一定速率绕它们连线上某一中心O匀速 转动，这样才不至于因万有引力作用而吸引在一起，现测出双星间 的距离始终为L，且它们做匀速圆周运动的半径r1与r2之比为3∶2， 则( )
或GMr2m＝mω2r 或GMr2m
＝m2Tπ2r
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中心天体质量：
天体(如地球)质
结果 量： M＝gGR2
M＝rGv2 或M＝r3Gω2 或M＝4GπT2r23
22
3.计算天体的密度 若天体的半径为R，则天体的密度ρ＝43πMR3 将M＝4GπT2r23代入上式得ρ＝G3Tπ2rR3 3. 特别地，当卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r等于天体半 径R，则ρ＝G3Tπ2.
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【例3】 月球与地球质量之比约为1∶80.有研究者认为月球和
地球可视为一个由两质点构成的双星系统，它们都围绕月地连线上
某点O做匀速圆周运动．据此观点，可知月球与地球绕O点运动的线
速度大小之比约为( )
A．1∶6 400
B．1∶80
C．80∶1
D．6 400∶1
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C [设地球和月球的质量分别为M、m，地月球心间距为r，地
2定量计算时，除抓住以上主线外，有时要借助于“黄金代换 式”才能顺利解决问题.
2017-2018学年高中物理(教科版必修二)教师用书：第3章 2.万有引力定律 Word版含答案
2.万有引力定律1．牛顿的假设(1)苹果从树上落向地面而不飞向天空，是因为受到了地球的吸引力． (2)月亮绕地球做圆周运动表明月球受到了地球的吸引力． 2．万有引力定律(1)内容：任何两个物体之间都存在相互作用的引力，引力的大小与这两个物体的质量的乘积成正比，与这两个物体之间的距离的平方成反比．(2)公式：F ＝Gm 1m 2r ，式中质量的单位用kg ，距离的单位用m ，力的单位用N ，G 为引力常量．是一个与物质种类无关的普适常量．(3)适用条件：①适用于相距很远的天体，这时可以将其看作质点． ②适用于质量均匀分布的球体，这时r 指球心间的距离．1．公式F ＝G Mmr2中G 是比例系数，与太阳和行星都没关系．(√) 2．地球对月球的引力大于月球对地球的引力．(×)3．根据万有引力公式可知，当两个物体的距离趋近于零时，万有引力趋近于无穷大．(×)我们听说过很多关于月亮的传说，如“嫦娥奔月”(如图321所示)已成了家喻户晓的神话故事．我们每个月都能看到月亮的圆缺变化．月球为什么会绕地球运动而没有舍弃地球或投向地球的怀抱？图321【提示】 地球与月球之间存在着引力，转动的月球既不会弃地球而去，也不会投向地球的怀抱，是因为地球对月球的万有引力提供了月球绕地球做圆周运动的向心力，使月球不停地绕地球运动．如图322所示，太阳系中的行星围绕太阳做匀速圆周运动．图322探讨1：为什么行星会围绕太阳做圆周运动？ 【提示】 因为行星受太阳的引力．探讨2：太阳对行星的引力与行星对太阳的引力大小是否相等？ 【提示】 根据牛顿第三定律可知引力相等．1．推导过程万有引力公式F ＝G Mmr2的得出，概括起来导出过程如下表所示：2．万有引力的四个特性1．甲、乙两个质点间的万有引力为F，若甲物体的质量不变，乙物体的质量增加到原来的2倍，同时，它们之间的距离减为原来的一半，则甲、乙两物体间的万有引力大小将变为( )【导学号：22852060】A．F B.F 2C．8F D．4F【解析】 由万有引力定律可得：F ＝Gm 甲m 乙r 2；F ′＝G m 甲2m 乙⎝ ⎛⎭⎪⎫r 22＝8G m 甲m 乙r 2＝8F ，故选项C 正确．【答案】 C2．某实心匀质球半径为R ，质量为M ，在球外离球面h 高处有一质量为m 的质点，则其受到的万有引力大小为( )【导学号：22852061】A ．G Mm R 2B ．G Mm R ＋h 2C ．G Mm h2D ．GMmR 2＋h 2【解析】 万有引力定律中r 表示两个质点间的距离，因为匀质球可看成质量集中于球心上，所以r ＝R ＋h .【答案】 B3．(多选)根据开普勒关于行星运动的规律和圆周运动的知识知：太阳对行星的引力F ∝m r 2，行星对太阳的引力F ′∝Mr2 ，其中M 、m 、r 分别为太阳、行星质量和太阳与行星间的距离．下列说法正确的是( )A ．由F ∝mr 2和F ′∝M r2，F ∶F ′＝m ∶M B ．F 和F ′大小相等，是作用力与反作用力 C ．F 和F ′大小相等，是同一个力D ．太阳对行星的引力提供行星绕太阳做圆周运动的向心力【解析】 F ′和F 大小相等、方向相反，是作用力和反作用力，太阳对行星的引力是行星绕太阳做圆周运动的向心力，故正确答案为B 、D.【答案】 BD万有引力定律的应用方法(1)首先分析能否满足用F ＝Gm 1m 2r 2公式求解万有引力的条件． (2)明确公式中各物理量的大小．(3)利用万有引力公式求解引力的大小及方向．1．在1798年，即牛顿发现万有引力定律一百多年以后，英国物理学家卡文迪许利用扭秤实验，较准确地测出了引力常量. G＝6.67×10－11N·m2/kg2.2．意义：应用万有引力定律能进行定量运算，显示出其真正的实用价值．3．知道G的值后，利用万有引力定律可以计算出天体的质量，卡文迪许也因此被称为“能称出地球质量的人”．1．引力常量是牛顿首先测出的．(×)2．卡文迪许通过改变质量和距离，证实了万有引力的存在及万有引力定律的正确性．(√)3．卡文迪许第一次测出了引力常量，使万有引力定律能进行定量计算，显示出真正的实用价值．(√)卡文迪许为什么被人们称为“能称出地球质量的人”？【提示】因为卡文迪许测出引力常量G值之后，它使万有引力定律有了真正的实用价值，利用万有引力定律便可以计算出地球的质量，所以卡文迪许被称为“能称出地球质量的人”．万有引力定律是自然界的基本规律之一，在物理学上占有非常重要的地位．然而，牛顿当时却未能给出准确的引力常量．一般物体间的引力太小，很难用实验测定引力常量．探讨1：是谁测出了引力常量？他是如何测出的？【提示】卡文迪许，巧妙地利用扭秤装置，如图．卡文迪许测定引力常量的实验原理图探讨2：为什么我们感觉不到两个人之间的万有引力？【提示】引力常量很小，两个人之间的万有引力很微弱，故我们感觉不到．1．关于引力常量的说明(1)测定引力常量的理论公式：G＝Fr2m1m2，单位为N·m2/kg2.(2)物理意义：引力常量在数值上等于两个质量都是1 kg的质点相距1 m时的相互吸引力．(3)由于引力常量G非常小，我们日常接触到的物体间的引力非常小，但天体间的万有引力却非常大.2．引力常量测定的意义(1)卡文迪许利用扭秤装置通过改变小球的质量和距离，证实了万有引力的存在及万有引力定律的正确性．(2)引力常量的确定使万有引力定律能够进行定量计算，显示出其真正的使用价值．(3)卡文迪许扭秤实验是物理学上非常著名和重要的实验，标志着力学实验精密程度的提高，开创了测量弱力的新时代，学习时要注意了解和体会前人是如何巧妙地将物体间的非常微小的力显现和测量出来的．4．(多选)关于引力常量，下列说法正确的是( )A．引力常量是两个质量为1 kg的质点相距1 m时的相互吸引力B．牛顿发现了万有引力定律时，给出了引力常量的值C．引力常量的测出，证明了万有引力的的正确性D．引力常量的测定，使人们可以测出天体的质量【解析】引力常量在数值上等于质量均为1 kg的两个均匀球体相距1 m时相互引力的大小，故A错．牛顿发现万有引力定律时，还不知道引力常量的值，故B错．引力常量的测出证明了万有引力定律的正确性，同时使万有引力定律具有实用价值，故C 、D 正确．【答案】 CD5．(多选)卡文迪许利用如图323所示的扭秤实验装置测量了引力常量G .为了测量石英丝极微小的扭转角，该实验装置中采取使“微小量放大”的主要措施是( )图323A ．减小石英丝的直径选修9B ．增大T 形架横梁的长度C ．利用平面镜对光线的反射D ．增大刻度尺与平面镜之间的距离【解析】 利用平面镜对光线的反射，可以将微小偏转放大，而且刻度尺离平面镜越远，放大尺寸越大，故只有选项C 、D 正确．【答案】 CD6．在某次测定引力常量的实验中，两金属球的质量分别为m 1和m 2，球心间的距离为r ，若测得两金属球间的万有引力大小为F ，则此次实验得到的引力常量为( )【导学号：22852062】A.Fr m 1m 2B.Fr 2m 1m 2C.m 1m 2Fr D.m 1m 2Fr 2【解析】 由万有引力定律F ＝G m 1m 2r 2得G ＝Fr 2m 1m 2，所以B 项正确．【答案】 B。
高中物理 第3章 万有引力定律 3 万有引力定律的应用教
3．万有引力定律的应用[先填空]1．预言彗星回归1743年，克雷洛预言哈雷彗星于1759年4月份经过近日点得到了证实，1986年此彗星又一次临近地球，下一次来访将是2062年．2．预言未知星体根据已发现的天体的运行轨道结合万有引力定律推算出未知星体的轨道，如海王星、冥王星就是这样发现的．[再判断]1．海王星、冥王星的发现表明了万有引力理论在太阳系内的正确性．(√)2．天王星是人们依据万有引力定律计算的轨道发现的．(×)3．科学家在观测双星系统时，同样可以用万有引力定律来分析．(√)[后思考]航天员翟志刚走出“神舟七号”飞船进行舱外活动时，要分析其运动状态，牛顿定律还适用吗？【提示】适用．牛顿将牛顿定律与万有引力定律综合，成功分析了天体运动问题．牛顿定律对物体在地面上的运动以及天体的运动都是适用的．[合作探讨]1846年9月23日晚，德国的伽勒发现了海王星．探讨：你知道海王星是如何发现的吗？【提示】根据天王星的“出轨”现象，法国的勒维耶和英国的亚当斯根据万有引力定律经过计算，预言了新行星的存在，伽勒在他们预言的位置发现了这颗新行星——海王星．[核心点击]万有引力定律对天文学的发展起到了非常大的推动作用，根据万有引力定律可以计算天体的轨道、周期、质量和位置等，万有引力定律的发现，给天文学的研究开辟了一条新的道路．1．下列说法正确的是( )A ．海王星是人们直接应用万有引力定律计算出轨道而发现的B ．天王星是人们依据万有引力定律计算出轨道而发现的C ．海王星是人们经过长期的太空观测而发现的D ．天王星的运行轨道与由万有引力定律计算的轨道存在偏差，其原因是天王星受到轨道外的行星的引力作用，由此人们发现了海王星【解析】 由行星的发现历史可知，天王星并不是根据万有引力定律计算出轨道而发现的；海王星不是通过观测发现，也不是直接由万有引力定律计算出轨道而发现的，而是人们发现天王星的实际轨道与理论轨道存在偏差，然后运用万有引力定律计算出“新”星的轨道，从而发现了海王星．由此可知，A 、B 、C 错误，D 正确．【答案】 D2．科学家们推测，太阳系内除八大行星之外还有另一颗行星就在地球的轨道上，从地球上看，它永远在太阳的背面，人类一直未能发现它，可以说是“隐居”着的地球的“孪生兄弟”．由以上信息可以确定( )A ．这颗行星的公转周期与地球相等B ．这颗行星的半径等于地球的半径C ．这颗行星的密度等于地球的密度D ．这颗行星上同样存在着生命【解析】 因只知道这颗行星的轨道半径，所以只能判断出其公转周期与地球的公转周期相等．由G Mm r 2＝m v 2r可知，行星的质量在方程两边可以消去，因此无法知道其密度．【答案】 A[先填空]1．地球质量的计算利用地球表面的物体：若不考虑地球自转，质量为m 的物体的重力等于地球对物体的万有引力，即mg ＝G Mm R 2，则M ＝gR 2G，只要知道g 、R 的值，就可计算出地球的质量．2．太阳质量的计算利用某一行星：质量为m 的行星绕太阳做匀速圆周运动，行星与太阳间的万有引力充当向心力，即G M s m r 2＝4π2mr T 2，由此可得太阳质量M s ＝4π2r3GT 2，由此式可知只要测出行星绕太阳运动的公转周期T 和距离r 就可以计算出太阳的质量．[再判断]1．地球表面的物体，重力就是物体所受的万有引力．(×) 2．绕行星匀速转动的卫星，万有引力提供向心力．(√) 3．利用地球绕太阳转动，可求地球的质量．(×) [后思考]若已知月球绕地球转动的周期T 和半径r ，由此可以求出地球的质量吗？能否求出月球的质量呢？图331【提示】 能求出地球的质量．利用G Mm r 2＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2r ，求出的质量M ＝4π2r3GT 2为中心天体的质量．做圆周运动的月球的质量m 在等式中已消掉，所以根据月球的周期T 、公转半径r ，无法计算月球的质量．[合作探讨]1969年7月21日，美国宇航员阿姆斯特朗在月球上烙下了人类第一只脚印(如图332所示)，迈出了人类征服宇宙的一大步．图332探讨1：宇航员在月球上用弹簧秤测出质量为m 的物体重力为F .怎样利用这个条件估测月球的质量？【提示】 设月球质量为M ，半径为R ，则F ＝G Mm R 2，故M ＝FR 2Gm.探讨2：宇航员驾驶指令舱绕月球表面飞行一周的时间为T ，怎样利用这个条件估测月球质量？【提示】 设月球质量为M ，半径为R ，由万有引力提供向心力，G Mm R 2＝m 4π2T 2R ，M ＝4π2R3GT 2.[核心点击]1．计算地球质量的两种方法(1)若已知地球的半径R 和地球表面的重力加速度g ，根据物体的重力近似等于地球对物体的引力，得mg ＝G M 地mR2解得地球质量为M 地＝R 2gG.(2)若已知月球绕地球做匀速圆周运动的周期为T ，半径为r ，根据万有引力等于向心力，即GM 地m 月r 2＝m 月⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2r 可求得地球质量M 地＝4π2r 3GT2.2．计算天体的密度若天体的半径为R ，则天体的密度ρ＝M43πR 3将M ＝4π2r 3GT 2代入上式得ρ＝3πr 3GT 2R3.特别地，当卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r 等于天体半径R ，则ρ＝3πGT2.3．据报道，最近在太阳系外发现了首颗“宜居”行星，其质量约为地球质量的6.4倍，一个在地球表面重量为600 N 的人在这个行星表面的重量将变为960 N ．由此可推知，该行星的半径与地球半径之比约为( )A ．0.5B ．2C ．3.2D ．4【解析】 在忽略地球自转的情况下，万有引力等于物体的重力．即G 地＝GM 地m R 2地， 同样在行星表面有G 行＝G M 行mR 2行，以上二式相比可得G 地G 行＝M 地R 2地×R 2行M 行＝16.4×R 2行R 2地， R 行R 地＝ 6.4×6001×960＝2.故该行星的半径与地球的半径之比约为2 故选B. 【答案】 B4．若有一艘宇宙飞船在某一行星表面做匀速圆周运动，设其周期为T ，引力常量为G ，那么该行星的平均密度为( )【导学号：67120049】A.GT 23πB ．3πGT2C.GT 24πD ．4πGT 2【解析】 设飞船的质量为m ，它做圆周运动的半径为行星半径R ，则G Mm R2＝m (2πT)2R ，所以行星的质量为M ＝4π2R 3GT 2，行星的平均密度ρ＝M 43πR 3＝4π2R3GT 243πR 3＝3πGT2，B 项正确． 【答案】 B5．火星绕太阳的运动可看作匀速圆周运动，火星与太阳间的引力提供火星运动的向心力，已知火星运行的轨道半径为r ，运行周期为T ，引力常量为G ，试写出太阳质量的表达式．【解析】 设太阳质量为M ，火星的质量为m 火星与太阳间的引力提供向心力，则有GMm r 2＝mv 2r ， v ＝2πrT.两式联立得M ＝4π2r3GT2.【答案】4π2r3GT 21．计算天体质量的方法不仅适用于地球，也适用于其他任何星体．注意方法的拓展应用．明确计算出的是中心天体的质量．2．要注意R 、r 的区分．R 指中心天体的半径，r 指行星或卫星的轨道半径．以地球为例，若绕近地轨道运行，则有R ＝r .学业分层测评(九) (建议用时：45分钟)[学业达标]1．一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v .假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m 的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为N .已知引力常量为G ，则这颗行星的质量为( )A.mv 2GN B ．mv 4GNC ．Nv 2GmD ．Nv 4Gm【解析】 由物体静止时的平衡条件N ＝mg 得g ＝N m ，根据G Mm R 2＝mg 和G Mm R 2＝m v 2R 得M ＝mv 4GN，故选B.【答案】 B2．“嫦娥二号”是我国月球探测第二期工程的先导星．若测得“嫦娥二号”在月球(可视为密度均匀的球体)表面附近圆形轨道运行的周期T ，已知引力常量为G ，半径为R 的球体体积公式V ＝43πR 3，则可估算月球的( )A ．密度B ．质量C ．半径D ．自转周期【解析】 由万有引力提供向心力有G Mm r 2＝m 4π2T2r ，由于在月球表面轨道有r ＝R ，由球体体积公式V ＝43πR 3，联立解得月球的密度ρ＝3πGT2，故选A.【答案】 A3．(2016·石家庄高一检测)设土星绕太阳的运动为匀速圆周运动，若测得土星到太阳的距离为R ，土星绕太阳运动的周期为T ，万有引力常量G 已知，根据这些数据，不能求出的量有( )A ．土星线速度的大小B ．土星加速度的大小C ．土星的质量D ．太阳的质量【解析】 根据已知数据可求：土星的线速度大小v ＝2πR T 、土星的加速度a ＝4π2T2R 、太阳的质量M ＝4π2R 3GT2，无法求土星的质量，所以选C.【答案】 C4．(多选)一行星绕恒星做圆周运动．由天文观测可得，其运行周期为T ，速度为v ，引力常量为G ，则( )【导学号：67120050】A ．恒星的质量为v 3T2πGB ．行星的质量为4π2v3GT2C ．行星运动的轨道半径为vT2πD ．行星运动的加速度为2πvT【解析】 行星绕恒星转动一圈时，运行的距离等于周长即v ·T ＝2πr 得r ＝vT2π，C选项正确；由万有引力公式及牛顿第二定律知GMm r 2＝mr 4π2T 2得M ＝4π2r 3GT 2＝4π2GT 2⎝ ⎛⎭⎪⎫vT 2π3＝v 3T2πG，A 选项正确；由a ＝v 2r ＝2πvT，D 选项正确．行星绕恒星的运动与其自身质量无关，行星的质量由已知条件无法求出，故B 选项错误．【答案】 ACD5．月球与地球质量之比约为1∶80，有研究者认为月球和地球可视为一个由两质点构成的双星系统，它们都围绕地月连线上某点O 做匀速圆周运动．据此观点，可知月球与地球绕O 点运动线速度大小之比约为( )图333A ．1∶6 400B ．1∶80C ．80∶1D ．6 400∶1【解析】 月球和地球绕O 点做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供各自的向心力，则地球和月球的向心力相等．且月球和地球与O 点始终共线，说明月球和地球有相同的角速度和周期．因此有m ω2r ＝M ω2R ，所以v v ′＝r R ＝Mm，线速度和质量成反比，正确答案为C. 【答案】 C6．假设地球是一半径为R 、质量分布均匀的球体．一矿井深度为d .已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零．矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为( )A ．1－d RB ．1＋d RC.⎝⎛⎭⎪⎫R －d R 2D ．⎝⎛⎭⎪⎫R R －d 2【解析】如图所示，根据题意“质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零”，可知：地面处的球壳对地面与矿井底部之间的环形部分的引力为零，设地面处的重力加速度为g ，地球质量为M ，由地球表面的物体m 1，受到的重力近似等于万有引力，故m 1g ＝GMm 1R 2，再将矿井底部所在的球体抽取出来，设矿井底部处的重力加速度为g ′，该球体质量为M ′，半径r ＝R －d ，同理可得矿井底部处的物体m 2受到的重力m 2g ′＝G M ′m 2r 2，且由M ＝ρV ＝ρ·43πR 3，M ′＝ρV ′＝ρ·43π(R －d )3，联立解得g ′g ＝1－dR，A 对．【答案】 A7．“嫦娥一号”是我国首次发射的探月卫星，它在距月球表面高度为200 km 的圆形轨道上运行，运行周期为127分钟．已知引力常量G ＝6.67×10－11N·m 2/kg 2，月球半径约为1.74×103km.利用以上数据估算月球的质量约为( )A ．8.1×1010kg B ．7.4×1013 kg C ．5.4×1019 kg D ．7.4×1022 kg【解析】 天体做圆周运动时都是万有引力提供向心力．“嫦娥一号”绕月球做匀速圆周运动，由牛顿第二定律知：GMm r 2＝4π2mr T 2，得M ＝4π2r3GT 2，其中r ＝R ＋h ，代入数据解得M＝7.4×1022kg ，选项D 正确．【答案】 D8．(2016·西城区高一检测)地球绕太阳公转的轨道半径为1.49×1011m ，公转的周期是3.16×107s ，太阳的质量是多少？【解析】 根据牛顿第二定律得：F 向＝ma 向＝m (2πT)2r ①又因为F 向是由万有引力提供的，所以F 向＝F 万＝G Mmr2②由①②式联立可得： M ＝4π2r 3GT 2＝4×3.142113 6.67×10－1172kg＝1.96×1030kg. 【答案】 1.96×1030kg[能力提升]9．一物体从某行星表面某高度处自由下落．从物体开始下落计时，得到物体离行星表面高度h 随时间t 变化的图象如图334所示，不计阻力．则根据h t 图象可以计算出( )图334A ．行星的质量B ．行星的半径C ．行星表面重力加速度的大小D ．物体受到行星引力的大小【解析】 根据图象可得物体下落25 m ，用的总时间为2.5 s ，根据自由落体公式可求得行星表面的重力加速度，C 项正确；根据行星表面的万有引力约等于重力，只能求出行星质量与行星半径平方的比值，不能求出行星的质量和半径，A 项和B 项错误；因为物体质量未知，不能确定物体受到行星的引力大小，D 项错误．【答案】 C10．如图335所示，极地卫星的运行轨道平面通过地球的南北两极(轨道可视为圆轨道)．若已知一个极地卫星从北纬30°的正上方，按图示方向第一次运行至南纬60°正上方时所用时间为t，地球半径为R(地球可看做球体)，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G.由以上条件可以求出( )【导学号：67120051】图335A．卫星运行的周期B．卫星距地面的高度C．卫星的质量D．地球的质量【解析】根据t时间内转过的圆心角可求出周期T；由GmMR ＋h2＝m4π2T2(R＋h)，可求出卫星距地面的高度h；由GM＝gR2可求出地球质量M，故A、B、D正确．【答案】ABD11．宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，而不至于因万有引力的作用吸引到一起．设二者的质量分别为m1和m2，二者相距为L，求：(1)双星的轨道半径之比；(2)双星的线速度之比．【解析】这两颗星必须各以一定速率绕某一中心转动才不至于因万有引力作用而吸引在一起，所以两天体间距离L应保持不变，二者做圆周运动的角速度ω必须相同．如图所示，设二者轨迹圆的圆心为O，圆半径分别为R1和R2由万有引力提供向心力有G m1m2L2＝m1ω2R1①G m1m2L2＝m2ω2R2②11 (1)①②两式相除，得R 1R 2＝m 2m 1.(2)因为v ＝ωR ，所以v 1v 2＝R 1R 2＝m 2m 1.【答案】 (1)m 2∶m 1 (2)m 2∶m 112．进入21世纪，我国启动了探月计划——“嫦娥工程”．同学们也对月球有了更多的关注．(1)若已知地球半径为R ，地球表面的重力加速度为g ，月球绕地球运动的周期为T ，月球绕地球的运动近似看做匀速圆周运动，试求出月球绕地球运动的轨道半径；(2)若宇航员随登月飞船登陆月球后，在月球表面某处以速度v 0竖直向上抛出一个小球，经过时间t ，小球落回抛出点．已知月球半径为r ，万有引力常量为G ，试求出月球的质量M 月.【导学号：67120052】【解析】 (1)根据万有引力定律和向心力公式G M 月M 地R 2月＝M 月R 月(2πT)2① mg ＝G M 地m R 2② 联立①②得R 月＝3gR 2T 24π2. (2)设月球表面的重力加速度为g 月，根据题意：v 0＝g 月t 2③ mg 月＝G M 月m r2④ 联立③④得 M 月＝2v 0r 2Gt. 【答案】 (1)3gR 2T 24π2 (2)2v 0r 2Gt。
高中物理第3章万有引力定律及其应用第1节万有引力定律教师用书粤教版必修2
第一节 万有引力定律天 体 的 运 动[先填空]1．地心说与日心说 (1)地心说地球是宇宙的中心，是静止不动的，太阳、月亮以及其他行星都绕地球运动．以古希腊科学家托勒密为代表人物．(2)日心说太阳是宇宙的中心，地球和其他行星都围绕太阳运动．由波兰天文学家哥白尼提出． 2．开普勒行星运动规律(1)所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上． (2)行星和太阳之间的连线，在相等的时间内扫过相同的面积．(3)行星绕太阳公转周期的平方和轨道半长轴的立方成正比．公式表示则为T 2a＝k ，a 为轨道的半长轴．[再判断]1．为了便于研究问题，通常认为行星绕太阳做匀速圆周运动．(√) 2．太阳系中所有行星的运动速率是不变的．(×) 3．太阳系中轨道半径大的行星其运动周期也长．(√) [后思考]图311如图311所示，所有行星都绕太阳在椭圆轨道上运行，某一行星绕太阳运动的速率在不同位置都一样大吗？【提示】不一样，在行星距离太阳较近时速率大，在行星距离太阳较远时速率小．[合作探讨]如图312所示为地球绕太阳运动的示意图，A、B、C、D分别表示春分、夏至、秋分、冬至时地球所在的位置．图312探讨1：太阳是否在轨道平面的中心？夏至、冬至时地球到太阳的距离是否相同？【提示】太阳不在轨道平面中心，夏至、冬至地球到太阳的距离不同．探讨2：一年之内秋冬两季比春夏两季为什么要少几天？根据地球的公转周期计算火星的公转周期还需要知道什么数据？【提示】根据开普勒第二定律，地球在秋冬两季比在春夏两季离太阳距离近，线速度大，所以秋冬两季比春夏两季要少几天．根据r3T2＝k，要计算火星的公转周期还要知道火星轨道半径与地球轨道半径的比值．[核心点击]图3131．开普勒第一定律(1)认识：第一定律告诉我们，尽管各行星的轨道大小不同，但它们的共同规律是所有行星都沿椭圆轨道绕太阳运动，太阳则位于所有椭圆的一个公共焦点上，开普勒第一定律又叫椭圆轨道定律，如图313所示．(2)意义：否定了行星圆形轨道的说法，建立了正确的轨道理论，给出了太阳准确的位置．2．开普勒第二定律图314(1)认识：行星靠近太阳时速度增大，远离太阳时速度减小．近日点速度最大，远日点速度最小，又叫面积定律，如图314所示．(2)意义：描述了行星在其轨道上运行时，线速度的大小不断变化，并阐明了速度大小变化的数量关系．3．开普勒第三定律图315(1)认识：它揭示了周期与轨道半长轴之间的关系，椭圆轨道半长轴越长的行星，其公转周期越大；反之，其公转周期越小．因此又叫周期定律，如图315所示．(2)意义：比例常数k与行星无关，只与太阳有关，因此定律具有普遍性，即不同星系具有不同的常数，且常数是由中心天体决定的．1．日心说的代表人物是( )A．托勒密B．哥白尼C．布鲁诺D．第谷【解析】日心说的代表人物是哥白尼，布鲁诺是宣传日心说的代表人物．【答案】 B2．(2013·江苏高考)火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知( )A．太阳位于木星运行轨道的中心B．火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等C．火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方D．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积【解析】根据开普勒行星运动定律，火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行时，太阳位于椭圆的一个焦点上，选项A 错误；行星绕太阳运行的轨道不同，周期不同，运行速度大小也不同，选项B 错误；火星与木星运行的轨道半长轴的立方与周期的平方之比是一个常量，选项C 正确；火星与太阳连线在相同时间内扫过的面积相等，木星与太阳连线在相同时间内扫过的面积相等，但这两个面积不相等，选项D 错误．【答案】 C3．已知两颗行星的质量m 1＝2m 2，公转周期T 1＝2T 2，则它们绕太阳运转轨道的半长轴之比为( )【导学号：35390039】A.a 1a 2＝12 B.a 1a 2＝21C.a 1a 2＝34 D.a 1a 2＝134【解析】 由T 2a 3＝k 知(a 1a 2)3＝(T 1T 2)2，则a 1a 2＝34，与m 1、m 2无关【答案】 C1．应用开普勒定律注意的问题(1)适用对象：开普勒定律不仅适用于行星，也适用于卫星，只不过此时r 3T2＝k ，比值k是由中心天体所决定的另一恒量，与环绕天体无关．(2)定律的性质：开普勒定律是总结行星运动的观察结果而总结出来的规律。
高中物理第三章3万有引力定律的应用教案1教科版必修2
第3节万有引力定律的应用本节教材分析（1）三维目标一、知识与技能1．通过了解万有引力定律在天文学上的重要应用，体会科学定律对人类认识世界的作用．2．知道天体间的相互作用主要是万有引力，以及如何应用万有引力定律计算天体质量的方法．二、过程与方法1．预测未知天体是万有引力定律最辉煌的成就之一，通过对海王星发现过程的了解，体会科学理论对探索未知世界思想的指导作用．2．通过自主思考和讨论与交流，掌握计算天体质量的思路和方法三、情感态度与价值观1. 利用万有引力定律可以预言未知天体和彗星回归，让学生懂得理论来源于实践，反过来又可以指导实践的辩证唯物主义．知道实践是检验真理的唯一标准．2. 利用万有引力定律计算太阳、地球的质量，发展学生对科学的好奇心与求知欲，体验探索自然规律的艰辛和喜悦．（2）教学重点1.行星（人造卫星）绕中心天体运动的向心力是由万有引力提供的。
2.会用已知条件来求中心天体的质量（3）教学难点会用已知条件来求中心天体的质量（4）教学建议这节课通过对一些天体运动的实例分析，使学生了解：通常物体之间的万有引力很小，常常觉察不出来，但在天体运动中，由于天体的质量很大，万有引力将起决定性作用，对天文学的发展起了很大的推动作用，其中一个重要的应用就是计算天体的质量.在讲课时，应用万有引力定律有两条思路要交待清楚：1.把天体（或卫星）的运动看成是匀速圆周运动，即F引=F向，用于计算天体（中心体）的质量，讨论卫星的速度、角速度、周期及半径等问题.2.在地面附近把万有引力看成物体的重力，即F引=mg.主要用于计算涉及重力加速度的问题.这节内容是这一章的重点，这是万有引力定律在实际中的具体应用.主要知识点就是如何求中心体质量及其他应用，还是可发现未知天体的方法.万有引力定律是物理学中的重要基本定律，为了使学生对定律的发现历史和背景有所了解，如果条件允许，希望教师能讲一讲.还可补充讲讲地球上物体重量的变化.这样有助于学生认识万有引力定律的意义，并可起到巩固知识、应用知识的作用.通过这节的教学应使学生了解，通常物体之间的万有引力很小，以致察觉不出，但在天体运动中，由于天体的质量很大，万有引力将起决定性的作用，万有引力定律的发现对天文学的发展起了很大推动作用.新课导入设计导入一环节一：创设情景引入课题（多媒体屏幕打出 PPT1. ）教师：请同学描述一下这幅图片．学生活动：这是我们生活的太阳系 , 它是由水星、金星、地球、火星、木星、土星、天王星、海王星、冥王星等组成一个庞大的家族．九大行星围绕太阳做圆周运动．教师：九大行星为什么能围绕太阳做圆周运动？学生活动：太阳与行星之间存在万有引力，万有引力是使行星绕太阳运动的向心力：．过渡：自从卡文迪许测出了万有引力常量，万有引力定律就对天文学的发展起了很大的推动作用，这节课我们来学习万有引力定律在天文学上的应用 . （ PPT1 上打出课题）（板书）§ 3.3 万有引力定律的应用导入二教学环节教学内容教学说明（一）设置问题，引起思考引入：通过学习万有引力定律，我们知道，任何有质量的物体间都存在着相互的吸引力．问题一：两个质量都为 60 kg 可以看成质点的人，相距 1 m ，试估算他们之间的万有引力是多大？感性认识：一般物体间的万有引力极其微弱，是感觉不到的，一般的测量方法也无法测出，所以一般不考虑．另一方面，体现出卡文迪许在当时的条件下测量 G 值，是很有开创性的．说明：两个人相距 1m 时，不能把人看成质点而简单套用万有引力定律公式．上面的计算是一种估算．进一步设问：体验性计算：计算常态物体、超大物体间的万有引力的大小，体会万有引力常量的“小”，以及万有引力对大质量的物体更有意义．显示构建的“质点模型”图片．如果两物体质量是 60 × 1021kg ，相距１ｍ，它们之间的万有引力是多广呢？ F ＝2.4 × 1035N感性认识：超大质量物体间的万有引力是巨大的，不可忽略．引言：阿基米德曾说过，如果给他一个支点，他可以撬起地球．我们知道天体之间的运动是遵循万有引力定律的．那么——问题二：你用万有引力定律，能“称”出地球的质量吗？明确给出学习的任务：“测”地球的质量．显示地球图片．高考理综物理模拟试卷注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
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3．万有引力定律的应用
1．预言彗星回归
1743年，克雷洛预言哈雷彗星于1759年4月份经过近日点得到了证实，1986年此彗星又一次临近地球，下一次来访将是2062年．
2．预言未知星体
根据已发现的天体的运行轨道结合万有引力定律推算出未知星体的轨道，如海王星、冥王星就是这样发现的．
1．海王星、冥王星的发现表明了万有引力理论在太阳系内的正确性．(√) 2．天王星是人们依据万有引力定律计算的轨道发现的．(×) 3．科学家在观测双星系统时，同样可以用万有引力定律来分析．(√)
如何通过天文观测计算月球绕地球转动时的向心加速度呢？
【提示】 通过天文观测我们可以获得月球与地球之间的距离以及月球的公转周期，所以我们可以利用a n ＝4π
2
T
2r 计算月球绕地球运动时的向心加速度．
1846年9月23日晚，德国的伽勒发现了海王星． 探讨：你知道海王星是如何发现的吗？
【提示】 根据天王星的“出轨”现象，法国的勒维耶和英国的亚当斯根据万有引力定律经过计算，预言了新行星的存在，伽勒在他们预言的位置发现了这颗新行星——海王星．
万有引力定律对天文学的发展起到了非常大的推动作用，根据万有引力定律可以计算天体的轨道、周期、质量和位置等，万有引力定律的发现，给天文学的研究开辟了一条新的道路．
1．下列说法正确的是( )
A ．海王星是人们直接应用万有引力定律计算出轨道而发现的
B ．天王星是人们依据万有引力定律计算出轨道而发现的
C ．海王星是人们经过长期的太空观测而发现的
D ．天王星的运行轨道与由万有引力定律计算的轨道存在偏差，其原因是天王星受到轨道外的行星的引力作用，由此人们发现了海王星
【解析】 由行星的发现历史可知，天王星并不是根据万有引力定律计算出轨道而发现的；海王星不是通过观测发现，也不是直接由万有引力定律计算出轨道而发现的，而是人们发现天王星的实际轨道与理论轨道存在偏差，然后运用万有引力定律计算出“新”星的轨道，从而发现了海王星．由此可知，A 、B 、C 错误，D 正确．
【答案】 D
2．科学家们推测，太阳系内除八大行星之外还有另一颗行星就在地球的轨道上，从地球上看，它永远在太阳的背面，人类一直未能发现它，可以说是“隐居”着的地球的“孪生兄弟”．由以上信息可以确定( )
A ．这颗行星的公转周期与地球相等
B ．这颗行星的半径等于地球的半径
C ．这颗行星的密度等于地球的密度
D ．这颗行星上同样存在着生命
【解析】 因只知道这颗行星的轨道半径，所以只能判断出其公转周期与地球的公转周期相等．
由G Mm r 2＝m v 2
r
可知，行星的质量在方程两边可以消去，因此无法知道其密度．
【答案】 A
1．地球质量的计算
选择地球表面的物体为研究对象，若不考虑地球自转，质量为m 的物体的重力等于地球
对物体的万有引力，即mg ＝G Mm R 2，则M ＝gR 2
G
，只要知道g 、R 的值，就可计算出地球的质量．
2．太阳质量的计算
选择某一行星为研究对象，质量为m 的行星绕太阳做匀速圆周运动，行星与太阳间的万
有引力充当向心力，即G M s m r 2＝4π2mr T 2，由此可得太阳质量M s ＝4π2r
3
GT ，由此式可知只要测出
行星绕太阳运动的公转周期T 和距离r 就可以计算出太阳的质量．
1．地球表面的物体，重力就是物体所受的万有引力．(×) 2．绕行星匀速转动的卫星，万有引力提供向心力．(√) 3．利用地球绕太阳转动，可求地球的质量．(×)
若已知月球绕地球转动的周期T 和半径r ，由此可以求出地球的质量吗？能否求出月球的质量呢？
图331
【提示】 能求出地球的质量．利用G Mm r 2＝m ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2πT 2r ，求出的质量M ＝4π2r
3
GT 2为中心天体
的质量．做圆周运动的月球的质量m 在等式中已消掉，所以根据月球的周期T 、公转半径r ，无法计算月球的质量．
1969年7月21日，美国宇航员阿姆斯特朗在月球上烙下了人类第一只脚印(如图332所示)，迈出了人类征服宇宙的一大步．
图332
探讨1：宇航员在月球上用弹簧秤测出质量为m 的物体重力为F .怎样利用这个条件估测月球的质量？
【提示】 设月球质量为M ，半径为R ，则F ＝G Mm R 2，故M ＝FR 2Gm
.
探讨2：宇航员驾驶指令舱绕月球表面飞行一周的时间为T ，怎样利用这个条件估测月球质量？
【提示】 设月球质量为M ，半径为R ，由万有引力提供向心力，G Mm R 2＝m 4π2T 2R ，M ＝4π2R
3
GT 2
.
1．天体质量的计算
若天体的半径为R ，则天体的密度ρ＝M
43πR 3
将M ＝4π2r 3
GT 2代入上式得ρ＝3πr 3
GT 2R
3.
特别地，当卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r 等于天体半径R ，则ρ＝3πGT
2.
3．(多选)由下列哪一组物理量可以计算地球的质量( )
【导学号：22852067】
A ．月球的轨道半径和月球的公转周期
B ．月球的半径和月球的自转周期
C ．卫星的质量和卫星的周期
D ．卫星离地面的高度、卫星的周期和地球的半径
【解析】 只要知道天体的一颗卫星或行星的周期和轨道半径，利用公式G Mm r 2＝mr 4π
2
T
2就
可以计算出中心天体的质量，故选项A 、D 正确．
【答案】 AD
4．若有一艘宇宙飞船在某一行星表面做匀速圆周运动，设其周期为T ，引力常量为G ，那么该行星的平均密度为( )
【导学号：22852068】
A.GT 2
3π
B.3π
GT 2
C.
GT 2
4π
D.
4πGT 2
【解析】 设飞船的质量为m ，它做圆周运动的半径为行星半径R ，则G Mm R
2＝m (2πT
)2
R ，
所以行星的质量为M ＝4π2R 3
GT 2，行星的平均密度ρ＝
M 43πR 3＝4π2R
3
GT 243
πR 3＝3π
GT
2，B 项正确． 【答案】 B
5．火星绕太阳的运动可看作匀速圆周运动，火星与太阳间的引力提供火星运动的向心力，已知火星运行的轨道半径为r ，运行周期为T ，引力常量为G ，试写出太阳质量的表达式．
【解析】 设太阳质量为M ，火星的质量为m 火星与太阳间的引力提供向心力，则有
GMm r 2＝mv 2
r ， v ＝
2πr
T
.
两式联立得M ＝4π2r
3
GT
2.
【答案】
4π2
r
3
GT 2
1．计算天体质量的方法不仅适用于地球，也适用于其他任何星体．注意方法的拓展应用．明确计算出的是中心天体的质量．
2．要注意R、r的区分．R指中心天体的半径，r指行星或卫星的轨道半径．以地球为例，若绕近地轨道运行，则有R＝r.。