【2018新课标 高考必考知识点 教学计划 教学安排 教案设计】高二数学：巧思妙解解析几何问题
【2018新课标 高考必考知识点 教学计划 教学安排 教案设计】高三数学：高考冲刺：巧解数学创新题
高考对考生创新意识和创新能力的要求逐步提高。
“出活题，考能力”，要求考生能活用所学数学知识，思想方法，对新概念、新知识、新信息、新情景、新问题进行分析，探索、创造性的解决问题。
这类问题主要以选择填空的形式考查，难度较大。
1. 新定义概念型问题所谓“定义新概念”，主要是指在问题中定义了高中数学中没有学过的一些新概念，要求考生读懂题意并结合已有的知识、能力进行理解，并根据新定义进行推理、迁移的一种题型。
按内容大致可分为新定义集合、新定义函数、新定义数列等。
2. 新定义运算型问题定义新运算是指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算。
（1）解决此类问题，关键是要正确理解新定义的算式含义，严格按照新定义的计算顺序，将数值代入算式中，再把它转化为一般的四则运算，然后进行计算。
（2）我们还要知道，这是一种人为的运算形式。
它是使用特殊的运算符号，如：*、▲、★、◎、⊕、⊙等来表示的一种运算。
新定义的算式中，有括号的，要先算括号里面的。
3. 创新背景型问题这类的题目通常是以高等数学符号、概念直接出现或以高等数学概念、定理作为依托融于初等数学知识中。
此类问题的设计虽来源于高等数学，但一般是起点高，落点低，它的解决的方法还是运用中学数学的基本知识和基本技能。
这要求学生认真阅读相关定义或方法，在充分理解题意的基础上，结合已有的知识进行解题。
例题 1 项数为n 的数列123,,,,n a a a a 的前k 项和为(1,2,3,,)k S k n =，定义12n S S S n +++为该数列的“凯森和”。
如果项系数为99项的数列12399,,,,a a a a 的“凯森和”为1000，那么项数为100的数列100，12399,,,,a a a a 的“凯森和”为（ ）A.991B.1001C.1090D.1100解析：（1）正确理解凯森和的定义，根据数列求和知识求解；（2）准确理解正对数的定义和所给四个命题的信息，结合所学的对数的相关知识解决问题。
【2018新课标 高考必考知识点 教学计划 教学安排 教案设计】高二数学：揭开杨辉三角的“秘密”
n
n
1 5 1 5 n n A A 5 1 5 1 5 2 2 （ n N ） （2） 或 ， an 。 5 2 2 B 1 5 B 1 5 2 2 点拨：杨辉三角有很多性质，与此类似我们还可以得出以下结论： 结论 1：杨辉三角中，第 m 条斜线（从右上到左下）上前 n 个数字的和，等于第 m＋1 r r r r r 1 条斜线上第 n 个数，即 Cr Cr 1 Cr 2 Cn1 Cn (n r )
1
A. 144 B. 146 C. 164 D. 461 2 1 1 解析：由图知，数列中的首项是 C2，第 2 项是 C2，第 3 项是 C2 3，第 4 项是 C3，„，第
1 15 项是 C2 9，第 16 项是 C9， 2 1 2 1 2 ∴S（16）＝C1 2＋C2＋C3＋C3＋„＋C9＋C9 1 1 1 2 2 ＝（C2 ＋C3 ＋„＋C9 ）＋（C2 ＋C3 ＋„＋C2 9） 2 1 1 1 2 2 2 ＝（C2 ＋C2 ＋C3 ＋„＋C9 －C2 ）＋（C2 2＋C3＋„＋C9） 3 ＝C2 10＋C10－1＝164。
1 5 1 5 设 an k1 k 2 2 2 ，则由 a1 a2 1 得
1 5 1 5 k1 2 k2 2 1 1 1 ， k1 , k2 5 5 3 5 3 5 k1 2 k2 2 1 n n 5 1 5 1 5 （ n N ） 因此， an 。 5 2 2 答案： （1） an 2 an1 an ；
【2018新课标 高考必考知识点 教学计划 教学安排 教案设计】高二数学：数学归纳法的解题策略
例题 2 用数学归纳法证明：对于一切大于 1 的自然数 n，不等式
1 1 1 1 3 5
用到假设。
1 2n 1 均成立。 1 2 2n 1
解析：运用数学归纳法证明不等式时，要考虑到 n＝k 到 n＝k＋1 的变化，同时要必须 1 4 5 答案：证明： （1）当 n＝2 时，左边＝1＋ ＝ ；右边＝ 。 3 3 2 ∵左边>右边，∴不等式成立。 （2）假设当 n＝k （k≥2，且 k∈N*）时不等式成立， 即 1 1 则当 n＝k＋1 时，
n
解析：证明： （1）当 n＝1 时，原不等式成立； 当 n＝2 时，左边＝1＋2x＋x2，右边＝1＋2x， 因为 x2≥0，所以左边≥右边，所以原不等式成立。 （2）假设当 n＝k（k≥2，且 k∈N*）时，不等式成立， 即（1＋x）k≥1＋kx，则当 n＝k＋1 时， ∵x>－1，∴1＋x>0。
2
于是在不等式（1＋x）k≥1＋kx 两边同时乘以 1＋x 得， （1＋x）k· （1＋x）≥（1＋kx） （1＋x）＝1＋（k＋1）x＋kx2 ≥1＋（k＋1）x。 所以（1＋x）k 1≥1＋（k＋1）x，
＋
即当 n＝k＋1 时，不等式也成立。 综合（1） （2）知，对一切正整数 n，不等式都成立。 点拨：用数学归纳法证明不等式问题时，从 n＝k 到 n＝k＋1 的推证过程中，证明不等 式的常用方法有比较法、分析法、综合法、放缩法、数学归纳法等。
验 证 n n0 时 命 题 成立 假设当 n k (k n0 , k N ) 时命题
*
成立，证明当 n k 1 时命题也成立
命题对从 n0 开始的所有正整数 n 都成立
【易错点剖析】 1. 严格按照数学归纳法的三个步骤书写，特别是对初始值的验证不可省略，有时要取两 个（或两个以上）初始值进行验证；初始值的验证是归纳假设的基础。 2. 在进行 n＝k＋1 命题证明时，一定要用 n＝k（ k n0 , k N ）时的命题，没有用到该
【2018新课标 高考必考知识点 教学计划 教学安排 教案设计】高二数学：快速突破解析几何客观题
1. 解答客观题的原则：基本原则——正确、合理、迅速为此要做到以下几点：快——运算要快，力戒小题大做；稳——变形要稳，不可操之过急；全——答案要全，力戒残缺不全；活——解题要活，不要生搬硬套；细——审题要细，不要粗心大意。
2. 解决客观题的几种方法：（1）“特殊”法——当答案是确定的结果，而直接解答也很困难时，用“特殊”代替题设中的普遍条件，得出一般的结论，也即定值结论。
常用的特例有特殊数值、特殊图形、特殊角、特殊点、特殊函数、特殊方程、特殊位置、特殊数列等，这种方法是一种“小题小做”的解题策略，对解答某些选择题、填空题有时十分奏效。
（2）几何法——利用图象和数学结果，将问题与某些图形结合，利用几何直观性，再辅以计算，求出正确答案的方法，而解析几何首先是几何，所以常常结合初中平面几何知识以及圆锥曲线的定义和性质，比如对称性等知识解决。
a b c的几何含（3）特殊意义的几何法——主要是针对椭圆和双曲线中涉及离心率时,,义，即直角三角形。
如图椭圆中的Rt△BOF，双曲线中的Rt△AOB和Rt△POF。
（4）运动观点解决问题——主要是利用图象的平移变换，伸缩变换，翻折变换等把问题由“静”化“动”解决问题。
例题1 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，点,A F 分别是椭圆C 的左顶点和左焦点，点P 是圆O ：222x y b +=上的动点。
若PA PF是常数，则椭圆C 的离心率为（ ）A.21 B.32 C.215- D.213- 解析：常数问题与定点定值问题类似，往往转化为与参数无关的问题解决，本题若用常规思维解决，即设点(,)P x y ，然后利用两点距离公式把PA PF表达出来，结合222x y b+=化简，转化为比值与x 无关的问题，较为麻烦。
不如取特殊位置，如1(0,)P b 和2(,0)P b 。
答案：由题意知(,0),(,0)A a C c --，取1(0,)P b 和2(,0)P b ，且1212P A P A PF P F=，a b b c+=+，化简得2ac b =，即22210ac a c e e =-∴+-=，e ∴=e =（舍），故答案选D 。
【2018新课标 高考必考知识点 教学计划 教学安排 教案设计】高二数学：圆锥曲线中的定值问题
BM 与两坐标轴均不平行，kAM、kBM 分别表示直线 AM、BM 的斜率，则 kAM· kBM＝（ ） c2 b2 A. － 2 B. － 2 a a 2 c a2 C. － 2 D. － 2 b b x2 y2 5. 已知对 k∈R， 直线 y－kx－1＝0 与椭圆 ＋ ＝1 恒有公共点， 则实数 m 的取值范围是 5 m （ ）
当 m1 2k 时， l 的方程 y k ( x 2) ，直线过点 (2， 0) ，与已知矛盾； 当 m2
2k 2 2 时， l 的方程为 y k x ，直线过定点 ， 0 7 7 7
所以，直线 l 过定点，定点坐标为 ， 0。
又 y1 y2 (kx1 m)(kx2 m) k x1 x2 mk ( x1 x2 ) m
2 2
3(m2 4k 2 ) 3 4k 2
因为以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 D(2， 0) ，
k AD kBD 1 ，即
y1 y2 1 x1 2 x2 2
y kx m， 2 2 2 联立 x 2 y 2 得 (3 4k ) x 8mkx 4(m 3) 0 ，则 1 3 4
64m2 k 2 16(3 4k 2 )(m 2 3) 0，即3 4k 2 m 2 0， 8mk x1 x2 3 4k 2 4(m2 3) x1 x2 3 4k 2
2 7
x2 y 2 2 答案： （1）椭圆的标准方程为 （2）直线 l 过定点，定点坐标为 ， 1； 0。 4 3 7
【2018新课标高考必考知识点教学计划教学安排教案设计】高三数学：巧解等比数列(1)
精品文档m年 级 高三 学 科 数学 版 本 通用版课程标题 巧解等比数列 编稿老师黄志坚一校吕丽娟二校黄楠审核宋树庆1. 等比数列的判定方法： ①定义法：a n 1 a nq （ n ∈N *， q 0 是常数）a n 是等比数列；②通项公式法： a cqn 1cq0的常数， n N a 是等比数列 ；nn③中项公式法： a2 a a （ n ∈ N *）且 a0 a 是等比数列；n 1④前 n 项和公式法： S nnn 2a 1q nq 1na 1= kqq 1k （ kna 是常数，且 qq 10 ，q 1 ）a n 是等比数列 。
2. 等比中项：如果在 a 与 b 之间插入一个数 G ，使 a 、 G 、 b 成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项。
也就是，如果 G 是 a 与 b 的等比中项，那么 Ga 3. 等比数列的性质：b ，即 G 2 G ab 。
①等比数列任意两项间的关系： 如果 a n 是等比数列的第n 项，a m 是等比数列的第 m 项，且 m n ，公比为 q ，则有 a n a qn m②对于等比数列a n ，若 n m u v ，则 a n a ma u a v也就是： a 1 a n a 2 a n 1 a 3 a n 2 。
③若数列 a 是等比数列， S 是其前 n 项的和， kN *，那么 S ， SS ， SSn n成等比数列。
如下图所示：S 3 kk2kk3k2ka 1 a 2 a 3S ka ka k1S 2 k a 2k S ka 2k1S 3 kS 2 ka 3kS 3 n例 题 1（ 1 ） 已 知 。
S n 为 等 比 数 列a n 的 前 n 项 和 ， S n54 ， S 2 n 60 ， 则（ 2）已知等比数列a n 中， a 2 1，则其前 3 项的和 S 3 的取值范围是。
解析：（ 1）结合题意考虑利用等比数列前 n 项和的性质求解。
【2018新课标 高考必考知识点 教学计划 教学安排 教案设计】高三数学：巧解等差数列
ab 或 2A a b 。 2
在一个等差数列中，从第 2 项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项 与后一项的等差中项；事实上等差数列中的某一项是与其等距离的前后两项的等差中项。 3. 等差数列的性质： ①等差数列任意两项间的关系： 如果 a n 是等差数列的第 n 项， a m 是等差数列的第 m 项， 且 m n ，公差为 d ，则有 an am (n m)d ②对于等差数列 a n ，若 n m p q ，则 an am a p aq 。 也就是： a1 an a2 an1 a3 an2 „„ 成等差数列。如下图所示：
*
④奇数项的和与偶数项的和的关系：设数列 a n 是等差数列， S 奇 是奇数项的和， S 偶 是偶数项的和， S n 是前 n 项的和，则有如下性质： 当 n 为偶数时， S 偶 S 奇 当 n 为奇数时，则 S 奇
n d ，其中 d 为公差； 2 S n 1 n 1 n 1 a中 ， S 偶 a中 ， 奇 ， S偶 a中 ， S 奇 2 2 S偶 n 1
年
级
高三
学
科
数学
版
本
通用版
课程标题 编稿老师
巧解等差数列 黄志坚 一校 林卉 二校 黄楠 审核 宋树庆
1. 等差数列的判定方法： ①定义法：对于数列 a n ，若 an1 an d （常数） ，则数列 a n 是等差数列。
②中项公式法：对于数列 a n ，若 2an1 an an 2 ，则数列 a n 是等差数列。 ③通项公式法：数列 a n 是等差数列 an pn q( p 、 q为常数，n N ) 。 ④前 n 项和公式法： Sn An Bn A, B为常数 数列 a n 是等差数列。
【2018新课标 高考必考知识点 教学计划 教学安排 教案设计】高三数学：探究充分条件和必要条件
【知识脉络图】【难点释疑】（1）从集合的角度看命题p q 必要条件（2）等价转化法的原理是原命题与逆否命题、逆命题与否命题同真假。
若⌝A ⇒⌝B ，则A 是B 的必要条件，B 是A 的充分条件； 若⌝A ⇒⌝B 且⌝B ≠>⌝A ，则A 是B 的必要不充分条件； 若⌝A ⇔⌝B ，则A 与B 互为充要条件。
例题1 （1）若非空集合,,A B C 满足AB C =，且B 不是A 的子集，则（ ）A. “x C ∈”是“x A ∈”的充分条件但不是必要条件B. “x C ∈”是“x A ∈”的必要条件但不是充分条件C. “x C ∈”是“x A ∈”的充要条件D. “x C ∈”既不是“x A ∈”的充分条件也不是“x A ∈”的必要条件 （2）使不等式2x 2－5x －3≥0成立的一个充分而不必要条件是（ ） A. x ＜0B. x ≥0C. x ∈{－1，3，5}D. x ≤－21或x ≥3 解析：（1）x A x C ∈⇒∈，但是x C x A ∈⇒∈不能，所以B 正确。
另外画出韦恩图，也能判断B 选项正确。
（2）∵2x 2－5x －3≥0成立的充要条件是x ≤－21或x ≥3，∴对于A ，当x =－31时2x 2－5x －3≥0，同理其他选项也可用特殊值验证。
答案：（1）B （2）C点拨：（1）题是用集合法解答，常可用韦恩图进行判断。
如果是由小范围推导大范围，则充分性成立；由大范围中找到小范围，则必要性成立。
（2）题提醒我们用特殊值验证是解决有些问题的一条捷径。
例题2 命题甲：“a 、b 、c 成等差数列”，命题乙：“a b ＋cb ＝2”，则甲是乙的（ ）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件解析：∵a ＝b ＝c ＝0，则a 、b 、c 也成等差数列，但推不出a b ＋cb＝2；反过来可由a b ＋cb＝2⇒a ＋c ＝2b ，即a 、b 、c 成等差数列。
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本节所授几种方法主要是利用初中平面几何知识、对称知识、圆锥曲线定义、圆锥曲线性质解题。
1.定义法：圆锥曲线的定义反映了其曲线的本质。
有一类最值问题可利用定义转化去求。
若为椭圆或双曲线，已知条件中涉及到一个焦点的距离，利用定义转化为到另一个焦点的距离；若是抛物线，已知条件中涉及到焦点（或准线）的距离，利用定义转化为到准线（或到焦点）的距离。
再用平面几何中的知识解决（例如两点之间线段最短等解决）。
2.对称性法：在直线上寻找一点使其距直线同侧的两点之和最小的问题，常采用对称法解决。
即寻找其中一点关于直线的对称点，然后与另一点的连线与直线的交点即为所求。
除此光线问题、直线上寻找一点使其距直线异侧的两点之差的绝对值的最小问题也用对称法解决。
3.几何性质法：圆锥曲线从本质上来说是几何图形，充分利用圆锥曲线的几何性质就能把一些问题化繁为简，并注意抛物线中直角梯形这一图形往往结合初中的平行知识、中位线定理、比例知识巧妙解决问题。
例题 已知椭圆
22
1123
x y
+=和直线l :x －y ＋9＝0 ，在l 上取一点M ，经过点M 且以椭圆的焦点12,F F 为焦点作椭圆，求M 在何处时所作椭圆的长轴最短，并求此椭圆方程。
解析：设1F '是1F 关于l 对称点，可求出1F '坐标，过12F F '的直线方程与x －y ＋9＝0联立得交点M 为所求。
答案：由椭圆方程22
1123
x y +=，得12(3,0),(3,0)F F -，设1F '是1F 关于l 对称点，可
求出1F '坐标为（－9，6），过12F F '的直线方程:x ＋2y －3＝0与x －y ＋9＝0联立，得交点M
（－5，4），即过M 的椭圆长轴最短。
由 12||||2MF MF a +=，得2a =
245a ∴=，29c =，2
36b ∴=
所求椭圆方程为 22
14536
x y +=。
点拨：在求圆锥曲线最值问题中，如果用代数方法求解比较复杂，可考虑用几何知识求解，其中“三角形两边之和大于第三边”是求最值常用的定理。
同时，利用平面几何知识求解，蕴涵了数形结合的思想。
一道解析问题的多种解法比较
【满分训练】过抛物线23y x =的焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，设坐标原点
为O ，若3AOF BOF S S ∆∆=，则AB = 。
解析：（1）所求为弦长，可虑用弦长求解，故需求出直线l 的斜率k ，把3A O F B O F
S S ∆∆=转化为关于斜率k 的方程即可。
（2）由于弦AB 过焦点，可考虑抛物线定义，结合初中平面几何知识求解，即利用平面几何法解决。
（3）过焦点的弦并非一般意义上的弦，联想有关结论，该题又是客观题，可利用结论快速求解，即利用性质法解决问题。
答案：（解法一）设直线l 的方程为3
()4
y k x =-，1122(,),(,)A x y B x y 120,0y y >< 由3AOF BOF S S ∆∆=知，123y y =- ①
由23()43y k x y x ⎧
=-⎪⎨⎪=⎩
得241290ky y k --= 0k ∴≠且21441440k ∆=+>
123
y y k += ②
129
4
y y =- ③
由①②③以及120,0y y ><
得k =
所以4AB ===
（解法二）如图，过A 作1AA 垂直于准线于1A ，过B 作1BB 垂直于准线于1B ，准线与
x 轴交于1F ，延长AB 交准线于M ，则1AA ∥1BB 。