四川大学660数学(微积分、线性代数)2007年专业课真题试卷
(NEW)四川大学《690高等数学(微积分、级数)》历年考研真题汇编
6 （12分）一质量为m的物体，最初静止于x0处，在力F＝－k/x2 的作用下沿直线运动，试求物体在任意位置x处的速度．
7 （13分）质量为m的摩托车，在恒定的牵引力F的作用下工作， 它所受的阻力与其速率的平方成正比，它能达到的最大速率是vm．试计 算从静止加速到vm/2所需的时间以及所走过的路程．
3 求下列不定积分（共50分）： （1） （2）
（3）
（4） （5） （6） （7） （8） （9） （10）
4 用级数展开计算下列积分的近似值（计算前三项）（共20 分）：
（1） （2）
5 （5分）甲乙两船同时从一码头出发，甲船以30km/h的速度向北 行驶，乙船以40km/h的速度向东行驶，求两船间距离增加的速度为多 少？
2012年四川大学690高等数学（微 积分、级数）考研真题
2013年四川大学690高等数学（微 积分、级数）考研真题
2014年四川大学690高等数学（微 积分、级数）考研真题
2015年四川大学690高等数学（微 积分、级数）考研真题
2016年四川大学690高等数学（川大学690高等数学（微 积分、级数）考研真题
1 请写出下列初等函数的级数展开式（共20分）： （1）ax （2）sin（x/2） （3） （4）ln（1＋x） （5）1/（1＋x）
2 求下列平面图形的面积（共30分）： （1）曲线y＝x3与y轴和直线y＝1所围成的图形； （2）曲线y＝x2与y＝2－x2所围成的图形．
目 录
2012年四川大学690高等数学（微积分、级数）考研真题 2013年四川大学690高等数学（微积分、级数）考研真题 2014年四川大学690高等数学（微积分、级数）考研真题 2015年四川大学690高等数学（微积分、级数）考研真题 2016年四川大学690高等数学（微积分、级数）考研真题 2017年四川大学690高等数学（微积分、级数）考研真题
四川大学信号与系统考研真题+答案07年
¥
x(t) = [Re ct(t) · cosp t]* å d (t - n)
n = -¥
x(t) « c( jkp ) = 1 {[sin c 1 w * 1 [d (w - p ) + d (w + p )]}
2p
22
¥
·2p å d (w - 2p k )
k =-¥
¥
å x(t) = c( jkp )e jkp t
k =-¥
6，己知奇信号 FT 的正频率部份有 x( jw) = 1 ，求 x(t) jw
解：因为
ò ò x( jw) =
¥
x(t)[coswt - j sin wt]dt = - j
¥ x(t) sin wtdt = - j 1
-¥
-¥
w
3
由此可知， x(t) 是实奇信号，故有
x ( jw ) w > 0 = x * ( jw ) w < 0
s =1 = - e -tu (t )
x(t) = (3e-t - e-t )u (t)
4，求 x(n) = -n, n £ 1的 ZT
解：先识别信号，可草画其波形
…… …
2
10
n
－2 －1 0 1 －1
从图可见，信号 x(n) 可表示为 x(n) = -d (n -1) - nu(-n)
则有
-d (n -1) « -z-1 , z > 0
1，已知 x(n) = n + 2, -2 £ n £ 3, 求 x(2n -1) 的波形。
X(n) 2 01
···
-2 -1 0
X(n-1)
34
34
00 12
2007线性代数考试试题A
诚信应考,考试作弊将带来严重后果！华南理工大学期末考试《 线性代数－2007》试卷A注意事项：1. 考前请将密封线内填写清楚；2. 所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上)； 3．考试形式：开（闭）卷；一、单项选择题（每小题2分，共30分）。
1．设矩阵，则下列矩阵运算无意义的是【 】A . BAC B. ABC C . BCA D. CAB2.设n 阶方阵A 满足A 2–E =0，其中E 是n 阶单位矩阵，则必有 【 】A. A=A -1B. A=-EC. A=ED. det(A)=13.设A 为3阶方阵，且行列式det(A)= ,则 【 】A. 14-B. 14C. 1-D. 1 4.设A 为n 阶方阵，且行列式det(A)=0，则在A 的行向量组中 【 】A.必存在一个行向量为零向量B.必存在两个行向量，其对应分量成比例C. 存在一个行向量，它是其它n-1个行向量的线性组合D. 任意一个行向量都是其它n-1个行向量的线性组合5．设向量组321,,a a a 线性无关，则下列向量组中线性无关的是 【 】A ．133221,,a a a a a a --- B. 212132,,a a a a - C. 32322,2,a a a a + D. 3121,,a a a a +6.向量组(I): )3(,,1≥m a a m 线性无关的充分必要条件是 【 】A.(I)中任意一个向量都不能由其余m-1个向量线性表出B.(I)中存在一个向量,它不能由其余m-1个向量线性表出C.(I)中任意两个向量线性无关D.存在不全为零的常数0,,,111≠++m m m a k a k k k 使7．设a 为n m ⨯矩阵，则n 元齐次线性方程组0=Ax 存在非零解的充分必要条件是【 】A ．A 的行向量组线性相关B . A 的列向量组线性相关 C. A 的行向量组线性无关 D. A 的列向量组线性无关8.设i a 、i b 均为非零常数（i =1，2，3），且齐次线性方程组⎩⎨⎧=++=++00332211332211x b x b x b x a x a x a的基础解系含2个解向量，则必有 【 】A.03221= b b a a B.02121≠ b b a a C. 332211b a b ab a == D. 02131= b b a a9.方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++ax x x x x x x x x 32132132123 3 12 12 有解的充分必要的条件是 【 】A. a=-3B. a=-2C. a=3D. a=210. 设η1，η2，η3是齐次线性方程组Ax = 0的一个基础解系，则下列向量组中也为该方程组的一个基础解系的是 【 】A. 可由η1，η2，η3线性表示的向量组B. 与η1，η2，η3等秩的向量组C.η1－η2，η2－η3，η3－η1D. η1，η1+η3，η1+η2+η3 11. 已知非齐次线性方程组的系数行列式为0，则【 】A. 方程组有无穷多解B. 方程组可能无解，也可能有无穷多解C. 方程组有唯一解或无穷多解D. 方程组无解12. n 阶方阵A 相似于对角矩阵的充分必要条件是A 有n 个 【 】A.互不相同的特征值B.互不相同的特征向量C.线性无关的特征向量D.两两正交的特征向量13. 下列子集能作成向量空间R n 的子空间的是 【 】A. }0|),,,{(2121=a a a a a nB. }0|),,,{(121∑==ni i n a a a a C. 121{(,,,)|1}n a a a a = D. }1|),,,{(121∑==n i inaa a a14. 下列矩阵中为正交矩阵的是【 】A. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1- 1 01 1 00 0 1 B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡1- 22 151C. 1 -10 -1⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 1 00 -1⎡⎤⎢⎥⎣⎦15.若矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=8020001 a a A 正定,则实数a 的取值范围是 【 】 A ．a < 8 B. a ＞4 C ．a ＜-4 D ．-4 ＜a ＜4二、填空题（每小题2分，共20分）。
2007年考研数学试题详解及评分参考
f (x, y)dy =
G
G dy = y2 - y1 < 0 ，是正确选项；
ò ò 对选项(C)，有 f (x, y)ds = ds = l > 0 ，（其中 l 为的弧长），应排除；
G
G
ò ò 对选项(D)，有
G
f
¢
x
(
x,
y)dx
+
f
¢
y
(
x,
y)dy
=
0dx + 0dy = 0 ，应排除.
G
郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2007 年数学试题详解及评分参考
2007 年全国硕士研究生入学统一考试
数学试题详解及评分参考
数 学（一）
一、选择题 （ 1 ～ 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。）
(1) 当 x ® 0+ 时，与 (A) 1- e x
【答】 应选 (B) .
x 等价的无穷小量是
1- x
1- x 1- x
x+x:
x ，1- cos
x
:
1 2
(
x )2
=
1 2
x
.
故选 (B) .
(2)
曲线 y
=
1 x
+ ln(1+ ex ) 渐近线的条数为
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
【答】 应选 (D) .
【解】
因 lim y x®+¥
=
lim [1 x x®+¥
+ ln(1+ ex )] = +¥ ， lim x®-¥
y
=
lim [1 x x®-¥
2007全国硕士研究生入学考试数学真题详解——线性代数部分
2007-2010年全国硕士研究生入学考试数学真题详解——线性代数部分一、2007年：1、(2007年数学一、二、三、四) 设向量组321,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是(A) 133221,,αααααα---. (B) 133221,,αααααα+++.(C) 1332212,2,2αααααα---. (D) 1332212,2,2αααααα+++. [ ] 【答案】A【详解】用定义进行判定:令0)()()(133322211=-+-+-ααααααx x x ，得 0)()()(332221131=+-++-+-αααx x x x x x .因321,,ααα线性无关，所以 1312230,0,0.x x x x x x -=⎧⎪-+=⎨⎪-+=⎩ 又 011011101=---， 故上述齐次线性方程组有非零解, 即133221,,αααααα---线性相关. 类似可得(B), (C), (D)中的向量组都是线性无关的.2、(2007年数学一、二、三、四) 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=211121112A , ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000010001B , 则A 与B(A) 合同, 且相似. (B) 合同, 但不相似 .(C) 不合同, 但相似. (D) 既不合同, 又不相似. [ ] 【答案】B【详解】 由0||=-A E λ 得A 的特征值为0, 3, 3, 而B 的特征值为0, 1, 1,从而A 与B 不相似.又r (A )=r (B )=2, 且A 、B 有相同的正惯性指数, 因此A 与B 合同. 故选(B) .3、(2007年数学一、二、三、四) 设矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0000100001000010A , 则3A 的秩为 . 【答案】1【详解】 依矩阵乘法直接计算得 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00000000000010003A , 故r (3A )=1.4、(2007年数学一、二、三、四)设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++04,02,03221321321xa x x ax x x x x x ①与方程12321-=++a x x x ②有公共解，求a 的值及所有公共解．【分析】 两个方程有公共解就是①与②联立起来的非齐次线性方程组有解. 【详解】 将①与②联立得非齐次线性方程组:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=++=++=++=++.12,04,02,03213221321321a x x x x a x x ax x x x x x ③ 若此非齐次线性方程组有解, 则①与②有公共解, 且③的解即为所求全部公共解. 对③的增广矩阵A 作初等行变换得:→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=112104102101112a a a A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----11000)1)(2(0001100111a a a a a .于是1° 当a =1时，有)()(A r A r ==2<3，方程组③有解, 即①与②有公共解, 其全部公共解即为③的通解，此时⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→0000000000100101A ， 此时方程组③为齐次线性方程组，其基础解系为: ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-101,所以①与②的全部公共解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-101k ，k 为任意常数.2° 当a =2时，有)()(A r A r ==3，方程组③有唯一解, 此时⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→0000110010100001A ，故方程组③的解为:011⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭, 即①与②有唯一公共解: 为123011x x x x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭.5、(2007年数学一、二、三、四)设3阶对称矩阵Ａ的特征值,2,2,1321-===λλλ T)1,1,1(1-=α是Ａ的属于1λ的一个特征向量,记E A A B +-=354其中E 为3阶单位矩阵.(I) 验证1α是矩阵Ｂ的特征向量，并求B 的全部特征值与特征向量．(II) 求矩阵Ｂ．【分析】 根据特征值的性质可立即得B 的特征值, 然后由B 也是对称矩阵可求出其另外两个线性无关的特征向量.【详解】 (I) 由11αα=A 得 1112ααα==A A , 进一步 113αα=A , 115αα=A ， 故 1351)4(ααE A A B +-=113154ααα+-=A A1114ααα+-=12α-=，从而1α是矩阵Ｂ的属于特征值−2的特征向量.因E A A B +-=354, 及Ａ的3个特征值,2,2,1321-===λλλ 得 B 的3个特征值为1,1,2321==-=μμμ.设32,αα为B 的属于132==μμ的两个线性无关的特征向量, 又Ａ为对称矩阵，得B 也是对称矩阵, 因此1α与32,αα正交, 即0,03121==ααααT T 所以32,αα可取为下列齐次线性方程组两个线性无关的解：0)1,1,1(321=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x x ,其基础解系为: ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛011,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-101 , 故可取2α=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛011, 3α=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-101.即B 的全部特征值的特征向量为: ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1111k , ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10101132k k , 其中01≠k ,是不为零的任意常数, 32,k k 是不同时为零的任意常数.(II) 令),,(321ααα=P =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--101011111, 则 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-1121BP P ，得 1112-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=P P B =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--101011111⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-112⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--21112111131=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---102012112⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--21112111131⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=011101110.二、2008年：1、（2008年数学一、二、三、四）设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵．若30A =，则[ ]则下列结论正确的是：(A) E A -不可逆，则E A +不可逆. (B) E A -不可逆，则E A +可逆.(C) E A -可逆，则E A +可逆. (D) E A -可逆，则E A +不可逆. 【答案】应选(C).【详解】23()()E A E A A E A E -++=-=，23()()E A E A A E A E +-+=+=． 故E A -，E A +均可逆．故应选(C).2、（2008年数学一）设A 为3阶实对称矩阵，如果二次曲面方程()1x x yz A y z ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭在正交变换下的标准方程的图形如图，则A 的正特征值个数为[ ](A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3. 【答案】 应选(B).【详解】此二次曲面为旋转双叶双曲面，此曲面的标准方程为222221x y z a c +-=．故A 的正特征值个数为1．故应选(B).3、（2008年数学二、三、四）设1221A ⎛⎫=⎪⎝⎭，则在实数域上，与A 合同矩阵为[ ] (A) 2112-⎛⎫⎪-⎝⎭ . (B)2112-⎛⎫ ⎪-⎝⎭. (C) 2112⎛⎫ ⎪⎝⎭. (D) 1221-⎛⎫ ⎪-⎝⎭. 【答案】 应选(D). 【详解】2212(1)423(1)(3)021E A λλλλλλλλ---==--=--=+-=--则121,3λλ=-=，记1221D -⎛⎫=⎪-⎝⎭，则2212(1)423(1)(3)021E D λλλλλλλλ--==--=--=+-=-则121,3λλ=-=，正负惯性指数相同.故选D.4、(2008年数学一) 设A 为2阶矩阵，12,αα为线性无关的2维列向量，10A α=，2122A ααα=+．则A 的非零特征值为___________.【答案】应填1．【详解】根据题设条件，得1212121202(,)(,)(0,2)(,)01A A A αααααααα⎛⎫==+= ⎪⎝⎭．记12(,)P αα=，因12,αα线性无关，故12(,)P αα=是可逆矩阵．因此0201AP P ⎛⎫= ⎪⎝⎭，从而10201P AP -⎛⎫= ⎪⎝⎭．记0201B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则A 与B 相似，从而有相同的特征值． 因为2||(1)01E B λλλλλ--==--，0λ=，1λ=．故A 的非零特征值为1．5、（2008年数学二）设3阶矩阵A 的特征值为2,3,λ．若行列式|2|48A =-，则λ=___________. 【答案】应填1-．【详解】由482-=A ，依据方阵行列式的性质，则有48223-==A A ，即6-=A .又A 等于其特征值的乘积，即632321-=⨯⨯=⨯⨯=λλλλA ,得1-=λ. 6、（2008年数学三）设3阶方阵A 的特征值为1,2,2,E 为单位矩阵，则=--E A 14 .【答案】应填3．【详解】由方阵特征值的性质，E AA f -=-14)(，则14)(1-=-λλf ，故方阵EA --14的特征值分别为1,1,3，又由方阵行列式等于其特征值的乘积，则有341=--E A .7、（2008年数学四）设3阶方阵A 的特征值互不相同，若行列式0=A ，则A 的秩为 . 【答案】应填2．【详解】由题可知，方阵A 的特征值含有0，而其余两个非零，故A 的秩为2.8、（2008年数学一）设,αβ为3维列向量，矩阵TTA ααββ=+，其中,TTαβ分别是,αβ得转置．证明： （I ） 秩()2r A ≤；（II ）若,αβ线性相关，则秩()2r A <．【详解】（I ）【证法1】()()()()()()2TTTTr A r r r r r ααββααββαβ=+≤+≤+≤． 【证法2】因为TTA ααββ=+，A 为33⨯矩阵，所以()3r A ≤． 因为,αβ为3维列向量，所以存在向量0ξ≠，使得0,0T T αξβξ==于是 0T T A ξααξββξ=+= 所以0Ax =有非零解，从而()2r A ≤．【证法3】因为TTA ααββ=+，所以A 为33⨯矩阵．又因为()00T TTT A αααββαββ⎛⎫⎪=+= ⎪ ⎪⎝⎭， 所以|||0|00TT a A αββ==故 ()2r A ≤．（II ）【证法】由,αβ线性相关，不妨设k αβ=．于是()2()()(1)()12TT T r A r r k rααβββββ=+=+≤≤<． 9、(2008年数学一、二、三、四) 设n 元线性方程组Ax b =，其中2222212121212a a a a a A a a a a ⎛⎫ ⎪⎪⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，12n x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，b 100⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．（I ）证明行列式||(1)n A n a =+；（II ）当a 为何值时，该方程组有惟一解，并求1x ． （III ）当a 为何值时，该方程组有无穷多解，并求其通解．【详解】（I ）【证法1】数学归纳法．记2222212121||212n na a a a aD A a a a a ==以下用数学归纳法证明(1)nn D n a =+．当1n =时，12D a =，结论成立． 当2n =时，2222132a D a a a==，结论成立． 假设结论对小于n 的情况成立．将n D 按第一行展开得n n n a a a aD aD a a a a 2212211021212212--=-2122n n aD a D --=-1222(1)n n ana a n a --=-- (1)n n a =+故 (1)nA n a =+．【注】本题（1）也可用递推法．由2122n n n D aD a D --==-得，2211221()()n n n n n n n D aD a D aD a D a D a ------=-==-=．于是(1)n n D n a =+（I ）【证法2】消元法．记2222212121||212na a a a aA a a a a =22122213121212212na a a ar ar a a a a -322222130124123321212naa a r ar a aa a a a -=n n na a a n r ar nn a n n a n 121301240113111----+(1)n n a =+．（II ）【详解】当0a ≠时，方程组系数行列式0n D ≠，故方程组有惟一解．由克莱姆法则，将n D 得第一列换成b ，得行列式为22211222211121021212121212122n n nn a aa a a aa aD na a a a a a a a a ---===所以，11(1)n n D ax D n a-==+． （III ）【详解】 当0a =时，方程组为12101101001000n n x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 此时方程组系数矩阵得秩和增广矩阵得秩均为1n -，所以方程组有无穷多组解，其通解为()()010100TTx k =+，其中k 为任意常数．10、(2008年数学二、三、四)设A 为3阶矩阵，12,αα为A 的分别属于特征值1,1-的特征向量，向量3α满足321A ααα=+，(I)证明123,,ααα线性无关； (II)令123(,,)P ααα=，求1P AP -．【详解】(I)【证明】设有一组数123,,k k k ，使得 122330k k k ααα++=． 用A 左乘上式，得112233()()()0k A k A k A ααα++=． 因为 11A αα=-, 22A αα=，321A ααα=+， 所以 1123233()0k k k k ααα-+++=， 即113220k k αα-=．由于12,αα是属于不同特征值得特征向量，所以线性无关，因此130k k ==，从而有20k =．故 123,,ααα线性无关．（II ）由题意，100011001AP P -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．而由（I ）知，123,,ααα线性无关，从而123(,,)P ααα=可逆．故1100011001P AP --⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．三、2009年：1、（2009年数学一）设123,,ααα是3维向量空间3R 的一组基，则由基12311,,23ααα到基 122331,,αααααα+++的过渡矩阵为()A 101220033⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭. ()B 120023103⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭.()C 111246111246111246⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭.()D 111222111444111666⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. 【答案】A【解析】因为()()1212,,,,,,n n A ηηηααα=，则A 称为基12,,,n ααα到12,,,nηηη的过渡矩阵。
07年考研数学试题（线性代数）
07年考研数学试题（线性代数）第一篇：07年考研数学试题(线性代数)07年考研数学试题（线性代数）选择题（每小题4分）⎡2-1-1⎤⎢⎥1.（07010804、07021004、07030804、07040804）设矩阵A=-12-1，⎢⎥⎢⎣-1-12⎥⎦⎡100⎤⎥，则A与B（）B=⎢010⎢⎥⎢⎣000⎥⎦（A）合同，且相似；（B）合同，但不相似；（C）不合同，但相似；（D）合同，但不相似；2.（07020904、07030704、07040704）设向量组α1,α2,α3线性无关，则下列向量组线性相关的是（）（A）α1-α2,α2-α3,α3-α1 ；（B）α1+α2,α2+α3,α3+α1；（C）α1-2α2,α2-2α3,α3-2α1 ；（D）α1+2α2,α2+2α3,α3+2α1.二、填空题（每小题4分）⎡0⎢03.（07011504、07021604、07030504、07041504）设矩阵A=⎢⎢0⎢⎣0秩为.三、解答题 100001000⎤0⎥⎥，则 A3 的1⎥⎥0⎦⎧x1+x2+x3=0⎪4.（07012111、07022311、07032111、07042111）设线性方程组⎨x1+2x2+ax3=0①⎪2⎩x1+4x2+ax3=0与方程 x1+2x2+x3 = a-1② 有公共解，求a的值及所有公共解.5.（07012211、07022411、07032211、07042211）设3阶对称矩阵A的特征值为λ1 = 1，λ2 =2，λ3 =-2 ；向量α1=(1,-1,1)是A的属于λ1 的一个特征向量，记 TB = A5-4A3 + E，其中E为3阶单位矩阵.（Ⅰ）验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；（Ⅱ）求矩阵B.第二篇：考研数学一线性代数公式1、行列式1.n行列式共有n2个元素，展开后有n!项，可分解为2n行列式；2.行列式的重要公式：①、主对角行列式：主对角元素的乘积；n(n-1)②、副对角行列式：副对角元素的乘积⨯ (-1)③、上、下三角行列式（④、 ◤◥ = ◣2；）：主对角元素的乘积；n(n-1)2和◢：副对角元素的乘积⨯ (-1)ACOB=AOCB；、CBAO=OBAC=(-1)mγn⑤、拉普拉斯展开式：=ABAB⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； 3.证明①、A=0的方法：；③构造齐次方程组Ax=0A=-A，证明其有非零解；④证明r(A)<n⑤证明0是其特征值；2、矩阵1.是n阶可逆矩阵：⇔A≠0（是非奇异矩阵）；A⇔⇔⇔⇔⇔⇔r(A)=nA（是满秩矩阵）有非零解；的行（列）向量组线性无关；=0齐次方程组Ax∀b∈Rn，Ax=b总有唯一解；A与E等价；可表示成若干个初等矩阵的乘积；的特征值全不为0；TAA⇔⇔⇔⇔AAA是正定矩阵；的行（列）向量组是Rn的一组基；是Rn中某两组基的过渡矩阵；=AA=AE*A2.对于n阶矩阵A：AA*3.(A-1无条件恒成立；-1)=(A)TT**-1(A-1)T=(A)**T(A)*T=(A)-1T*-1(AB)=BAT(AB)=BA*(AB)=B-1A4.矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；5.关于分块矩阵的重要结论，其中均A、B可逆：若⎛A1 A=⎝A2O⎫⎪⎪⎪⎪As⎭-1，则：Ⅰ、A=A1A2ΛAs ；Ⅱ、A-1⎛A1 =⎝-1-1A2OAs⎫⎪O⎭-1-1-1⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎭；⎛A②、⎝O⎛A④、⎝OO⎫⎪B⎭C⎫⎪B⎭-1⎛A=⎝OO⎫-1⎪B⎭-A-1⎛O；（主对角分块）③、 ⎝BCB-1-1A⎫⎪O⎭-1⎛O=-1⎝A-1B；（副对角分块）O⎫-1⎪B⎭-1⎛A=⎝O-1B⎫⎪⎭⎛A；（拉普拉斯）⑤、⎝CO⎫⎪B⎭⎛A=-1-1⎝-BCA；（拉普拉斯）3、矩阵的初等变换与线性方程组1.一个m⨯n矩阵A，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：F⎛Er=⎝OO⎫⎪O⎭m⨯n；等价类：所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵A、B，若r(A) =r(B) ⇔ AγB；2.行最简形矩阵：①、只能通过初等行变换获得；②、每行首个非0元素必须为1；③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；3.初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）①、若(A , E) γ (E , X)，则A可逆，且X②、对矩阵(A,B)做初等行变化，当Ar=AE-1；就变成A-1变为时，BB，即：(A,B) ~ (E,A-1B)；rc③、求解线形方程组：对于n个未知数n个方程Ax=b，如果(A,b)γ(E,x)，则A可逆，且x=A-1b；4.初等矩阵和对角矩阵的概念：①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；⎛λ1②、Λ=⎝λ2O⎫⎪⎪⎪⎪λn⎭，左乘矩阵A，λi乘A的各行元素；右乘，λi乘A的各列元素；③、对调两行或两列，符号E(i,5.矩阵秩的基本性质：①、0≤r(Am⨯n)≤min(m⑥、r(A+j)，且E(i,j)-1⎛=E(i,j)，例如：1⎝⎫⎪⎪1⎪⎭-1⎛=1 ⎝⎫⎪⎪1⎪⎭；,n)；②、r(A)=r(A)T；③、若AγB，则r(A)=r(B)；④、若P、Q可逆，则；（※）r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)；（可逆矩阵不影响矩阵的秩）⑤、max(r(A),r(B))≤；（※）⑦、r(AB)≤min(r(A),r(B))r(A,B)≤r(A)+r(B)B)≤r(A)+r(B)⨯n；（※）⑧、如果A是m矩阵，B是n⨯s矩阵，且AB=0n=0，则：（※）Ⅰ、B的列向量全部是齐次方程组AXⅡ、r(A)+r(B)≤解（转置运算后的结论）；；⑨、若A、B均为n阶方阵，则r(AB)≥r(A)+r(B)-n6.三种特殊矩阵的方幂：①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）⨯行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；⎛1②、型如 00⎝a10c⎫⎪b⎪1⎪⎭的矩阵：利用二项展开式；③、利用特征值和相似对角化：7.伴随矩阵：⎧n⎪①、伴随矩阵的秩：r(A*)=⎨1⎪⎩0r(A)=n r(A)=n-1r(A)<n-1*-1*；②、伴随矩阵的特征值：Aλ(AX=λX,A=AA ⇒ AX=AλX)；③、A*=AA-1、A*=An-18.关于A矩阵秩的描述：①、r(A)=n，A中有n阶子式不为0，n+1阶子式全部为0；（两句话）②、r(A)<n，A中有n阶子式全部为0；③、r(A)≥n，A中有n阶子式不为0；9.线性方程组：Ax=b，其中A为m⨯n矩阵，则：①、m与方程的个数相同，即方程组Ax=b有m个方程；②、n与方程组得未知数个数相同，方程组Ax=b为n元方程；10.线性方程组Ax=b的求解：①、对增广矩阵B进行初等行变换（只能使用初等行变换）；②、齐次解为对应齐次方程组的解；③、特解：自由变量赋初值后求得；4、向量组的线性相关性11.①、向量组的线性相关、无关⇔Ax=0有、无非零解；（齐次线性方程组）②、向量的线性表出⇔Ax=b是否有解；（线性方程组）③、向量组的相互线性表示⇔AX=B是否有解；（矩阵方程）12.矩阵Am⨯n与Bl⨯n行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组Ax=0和Bx=0同解；(P101例14)13.14.r(AA)=r(A)nT；(P101例15)⇔α=0维向量线性相关的几何意义：；③、α,β,γ线性相关⇔α,β,γ①、α线性相关②、α,β线性相关共面；⇔α,β坐标成比例或共线（平行）；15.线性相关与无关的两套定理：若α1,α2,Λ,αs线性相关，则α1,α2,Λ,αs,αs+1必线性相关；若α1,α2,Λ,αs线性无关，则α1,α2,Λ,αs-1必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）若r维向量组A的每个向量上添上n -r个分量，构成n维向量组B：若A线性无关，则B也线性无关；反之若B线性相关，则A也线性相关；（向量组的维数加加减减）简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；16.向量组A（个数为r）能由向量组B（个数为s）线性表示，且A线性无关，则r向量组A能由向量组B线性表示，则r(A)≤向量组A能由向量组B 线性表示⇔AX=Br(B)≤s(二版P74定理7)；；（P86定理3）r(A)=r(A,B)有解；⇔（P85定理2）向量组A能由向量组B等价⇔ r(A)=①、矩阵行等价：A~crr(B)=r(A,B)（P85定理2推论）=P1P2ΛPl17.方阵A可逆⇔存在有限个初等矩阵P1,P2,Λ,Pl，使AB⇔PA=B；=0（左乘，P可逆）⇔Ax=0与Bx同解18.19.20.21.②、矩阵列等价：A~B⇔AQ=B（右乘，Q可逆）；③、矩阵等价：A~B⇔PAQ=B（P、Q可逆）；对于矩阵Am⨯n与Bl⨯n：①、若A与B行等价，则A与B的行秩相等；②、若A与B行等价，则Ax=0与Bx=0同解，且A与B的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性；④、矩阵A的行秩等于列秩；若Am⨯sBs⨯n=Cm⨯n，则：①、C的列向量组能由A的列向量组线性表示，B为系数矩阵；②、C的行向量组能由B的行向量组线性表示，AT为系数矩阵；（转置）齐次方程组Bx=0的解一定是ABx=0的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明；①、ABx=0 只有零解⇒ Bx=0只有零解；②、Bx=0 有非零解⇒ ABx=0一定存在非零解；设向量组Bn⨯r:b1,b2,Λ,br可由向量组An⨯s:a1,a2,Λ,as线性表示为：（P110题19结论）（B=AK）其中K为s⨯r，且A线性无关，则B组线性无关⇔r(K)=r；（B与K的列向量组具有相同线性相关性）（必要性：Θr=r(B)=r(AK)≤r(K),r(K)≤r,∴r(K)=r；充分性：反证法）(b1,b2,Λ,br)=(a1,a2,Λ,as)K=m注：当r=s时，K为方阵，可当作定理使用；22.①、对矩阵Am⨯n，存在Qn⨯m，AQ=Em ⇔r(A)②、对矩阵Am⨯n，存在Pn⨯m，PA=En、Q的列向量线性无关；（P87）、P的行向量线性无关；⇔r(A)=n23.若η*为Ax=b的一个解，ξ1,ξ2,Λ,ξn-r为Ax=0的一个基础解系，则η*,ξ1,ξ2,Λ,ξn-r线性无关5、相似矩阵和二次型1.正交矩阵⇔AA=ET或A-1=AT（定义），性质：⎧1=⎨⎩0i=ji≠j(i,j=1,2,Λn)①、A的列向量都是单位向量，且两两正交，即aiTaj②、若A为正交矩阵，则A-1=AT；也为正交阵，且A=±1；③、若A、B正交阵，则AB也是正交阵；注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化； 2.施密特正交化：(a1,a2,Λ,ar) b1=a1；b2=a2-[b1,a2][b1,b1]γb1ΛΛΛ[b1,ar][b1,b1]γb1-[b2,ar][b2,b2]γb2-Λ-[br-1,ar][br-1,br-1]γbr-1br=ar-;3.对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交；4.①、A与B等价⇔A经过初等变换得到B；⇔PAQ=B，P、Q可逆；⇔r(A)=r(B)，A、B同型；②、A与B 合同⇔CTAC=B，其中可逆；TT⇔xAx与xBx有相同的正、负惯性指数；③、A与B相似⇔P-1AP=B； 5.相似一定合同、合同未必相似；若C为正交矩阵，则CTAC=B⇒AγB，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）； 6.n元二次型xTAx为正定：T⇔A的正惯性指数为n⇔A与E合同，即存在可逆矩阵C，使CAC=E⇔A的所有特征值均为正数；⇔A的各阶顺序主子式均大于0⇒aii>0,A>0；(必要条件)第三篇：2013线性代数考研复习建议2013考研线性代数复习建议2013考研备考已经开始了，网校老师结合往年考研复习情况，也2013年考研的学生们一点建议。
自学考试线性代数2007-2012历年真题及答案
全国2012年10月自学考试线性代数试题请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
说明：在本卷中，A T 表示矩阵A 的转置矩阵，A *表示矩阵A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，A表示方阵A 的行列式，r(A )表示矩阵A 的秩。
选择题部分一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将“答题 纸”的相应代码涂黑。
错涂、多涂或未涂均无分。
1．设行列式1122=1a b a b ，11221a c a c -=--，则行列式111222=a b c a b c -- A ．-1 B ．0C ．1D ．22．设矩阵123456709⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，则*A 中位于第2行第3列的元素是A ．-14B ．-6C ．6D ．143．设A 是n 阶矩阵，O 是n 阶零矩阵，且2-=A E O ，则必有 A ．1-=A A B ．=-A E C ．=A ED ．1=A4．已知4×3矩阵A 的列向量组线性无关，则r (A T )= A ．1 B ．2 C ．3 D ．45．设向量组T T12(2,0,0),(0,0,-1)αα==，则下列向量中可以由12,αα线性表示的是A ．(-1，-1，-1)TB ．(0，-1，-1)TC ．(-1，-1，0)TD ．(-1，0，-1)T6．齐次线性方程组134234020x x x x x x ++=⎧⎨-+=⎩的基础解系所含解向量的个数为A.1B.2C.3D.47．设12,αα是非齐次线性方程组Ax =b 的两个解向量，则下列向量中为方程组解的是A ．12αα-B ．12αα+C ．1212αα+D ．121122αα+8．若矩阵A 与对角矩阵111-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭D 相似，则A 2= A.EB.AC.-ED.2E9．设3阶矩阵A 的一个特征值为-3，则-A 2必有一个特征值为 A.-9 B.-3 C.3 D.910．二次型222123123121323(,,)222f x x x x x x x x x x x x =+++++的规范形为A ．2212z z -B ．2212z z + C ．21zD ．222123z z z ++二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）11.行列式123111321的值为______. 12.设矩阵011001000⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，则A 2=______．13.若线性方程组12323323122(1)x x x x x x λλ++=⎧⎪-+=-⎨⎪+=-⎩无解，则数λ=______．14.设矩阵43012110⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，=A P ,则PAP 2=______.15.向量组T T 12,-2,2,(4,8,8)k αα==-（）线性相关，则数k =______. 16.已知A 为3阶矩阵，12,ξξ为齐次线性方程组Ax =0的基础解系，则=A ______. 17.若A 为3阶矩阵，且19=A ，则-1(3)A =______． 18．设B 是3阶矩阵，O 是3阶零矩阵，r (B )=1,则分块矩阵⎛⎫⎪⎝⎭E O B B 的秩为______．19．已知矩阵211121322⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，向量11k ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α是A 的属于特征值1的特征向量，则数k =______.20.二次型1212(,)6f x x x x =的正惯性指数为______. 三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21．计算行列式a ba b D a a b b aba b+=++的值．22．设矩阵100112210,022222046A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，求满足方程AX =B T 的矩阵X ．23.设向量组123411212142,,,30614431αααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，求该向量组的秩和一个极大线性无关组.24．求解非齐次线性方程组123412341234124436x x x x x x x x x x x x +--=⎧⎪+++=⎨⎪+--=⎩.(要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示）.25．求矩阵200020002⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 的全部特征值和特征向量．26．确定a ，b 的值，使二次型22212312313(,,)222f x x x ax x x bx x =+-+的矩阵A 的特征值之和为1，特征值之积为-12. 四、证明题（本题6分）27．设矩阵A 可逆，证明：A *可逆，且*11*--=（）（）A A ．全国2012年7月高等教育自学考试一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．设A 为三阶矩阵，且13A -=，则 3A -( )A.-9B.-1C.1D.92.设[]123,,A a a a =,其中 (1,2,3)i a i = 是三维列向量，若1A =，则[]11234,23,a a a a - ( )A.-24B.-12C.12D.243.设A 、B 均为方阵，则下列结论中正确的是（ ） A.若AB =0，则A=0或B=0 B. 若AB =0，则A =0或B =0 C ．若AB=0，则A=0或B=0 D. 若AB ≠0，则A ≠0或B ≠04. 设A 、B 为n 阶可逆阵，则下列等式成立的是（ ） A. 111()AB A B ---=B. 111()A B A B ---+=+ C ．11()AB AB-= D. 111()A B A B ---+=+5. 设A 为m ×n 矩阵，且m ＜n ，则齐次方程AX=0必 （ ） A.无解B.只有唯一解 C ．有无穷解 D.不能确定6. 设12311102103A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦则()r A = A.１ B.２ C.3 D.４7. 若A 为正交矩阵，则下列矩阵中不是正交阵的是（ ） A. 1A -B.２A C ．A ²D. T A8.设三阶矩阵Ａ有特征值0、1、2,其对应特征向量分别为123ξξξ、、，令[]312,,2P ξξξ＝ 则1P AP -=（ ） A. 200010000⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ B. 200000001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦C ．000010004⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ D. 200000002⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦9.设A 、B 为同阶方阵，且()()r A r B =,则（ ） A.A 与B 等阶 B. A 与B 合同 C ．A B =D. A 与B 相似10.设二次型22212312123(,,)22f x x x x x x x x =+-+则f 是（ ） A.负定 B.正定 C ．半正定 D.不定二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 11.设A 、B 为三阶方阵，A =4，B =5， 则2AB = 12.设121310A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ , 120101B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ ，则TA B 13.设120010002A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦则1A - =14.若22112414A t ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦且()2r A =,则t= 15.设1231120,2,2110a a a -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦则由 123,,a a a 生成的线性空间123(,,)L a a a的维数是16. 设A 为三阶方阵，其特征值分别为1、2、3，则1A E --=17.设111,21t a β-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,且a 与β正交，则t = 18.方程1231x x x +-=的通解是19.二次型212341223344(,,,)5f x x x x x x x x x x x =+++所对应的对称矩阵是20.若00100A x =⎢⎥⎢⎥⎥⎥⎦是正交矩阵，则x =三、计算题 （本大题共6小题，每小题9分，共54分）21.计算行列式1112112112112111⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 22.设010111101A ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦＝ 112053-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦B ＝ ,且X 满足X=AX+B,求X23.求线性方程组的123412345221.53223x x x x x x x x +=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩12x x 的通解，24.求向量组 (2,4,2),(1,1,0),(2,3,1),(3,5,2)====1234a a a a 的一个极大线性无关组，并把其余向量用该极大线性无关组表示。
【历年经典高考】2007年理科数学试卷及答案-四川卷
2007年普通高等学校招生全国统一·考试·（四川卷）理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷1至2页.第Ⅱ卷3到10页.·考试·结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、·考试·科目涂写在答题卡上. 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.不能答在试题卷上.3．本卷共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球是表面积公式)()()(B P A P B A P +=+ 24R S π=如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径)()()(B P A P B A P ⋅=⋅ 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么334R V π=n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径k n kk n n P P C k P --=)1()(一．选择题： (1)复数211i ii +-+的值是 （A ）0 (B)1 (C)-1 (D)1(2)函数f (x )=1+log 2x 与g(x )=2-x +1在同一直角坐标系下的图象大致是(3)2211lim 21x x x x --=-- （A ）0 (B)1 (C)21 (D)32(4)如图，ABCD -A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论错误．．的是 （A ）BD ∥平面CB 1D 1 （B ）AC 1⊥BD（C ）AC 1⊥平面CB 1D 1 （D ）异面直线AD 与CB 1角为60°（5）如果双曲线12422=-y x 上一点P 到双曲线右焦点的距离是2，那么点P 到y 轴的距离是（A ）364 （B ）362 （C ）62 （D ）32（6）设球O 的半径是1，A 、B 、C 是球面上三点，已知A 到B 、C两点的球面距离都是2π，且三面角B -OA -C 的大小为3π，则从A 点沿球面经B 、C 两点再回到A 点的最短距离是（A ）67π （B ）45π （C ）34π （D ）23π（7）设A ｛a ,1｝，B ｛2，b ｝，C ｛4,5｝，为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若方向在与→→→OC OB OA 上的投影相同，则a 与b 满足的关系式为(A)354=-b a (B)345=-b a (C)1454=+b a(D)1445=+b a（8）已知抛物线32+-=x y 上存在关于直线0=+y x 对称的相异两点A 、B ，则|AB |等于（A ）3（B ）4（C ）23（D ）24（9）某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的32倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为（A ）36万元 （B ）31.2万元 （C ）30.4万元 （D ）24万元 （10）用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有（A ）288个 （B ）240个 （C ）144个 （D ）126个 （11）如图，l1、l2、l 3是同一平面内的三条平行直线，l 1与l 2间的距离是1，l 2与l 3间的距离是2，正三角形ABC 的三顶点分别在l 1、l 2、l 3上，则△ABC 的边长是（A ）32（B ）364 （C ）4173 （D ）3212 （12）已知一组抛物线1212++=bx ax y ，其中a 为2,4,6,8中任取的一个数，b 为1,3,5,7中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线x =1交点处的切线相互平行的概率是（A ）121 （B ）607 （C ）256 （D ）255二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在横线上. （13）若函数f (x )=e -(m -u )2 (c 是自然对数的底数)的最大值是m ,且f (x )是偶函数，则m +u = .(14)如图，在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱长为2，底面三角形的边长为1，则BC 1与侧面ACC 1A 1所成的角是 .(15)已知⊙O 的方程是x 2+y 2-2=0, ⊙O ’的方程是x 2+y 2-8x +10=0,由动点P 向⊙O 和⊙O ’所引的切线长相等，则动点P 的轨迹方程是 .(16)下面有五个命题：①函数y =sin 4x -cos 4x 的最小正周期是π. ②终边在y 轴上的角的集合是{a |a =Z k k ∈π,2|. ③在同一坐标系中，函数y =sin x 的图象和函数y =x 的图象有三个公共点. ④把函数.2sin 36)32sin(3的图象得到的图象向右平移x y x y =ππ+= ⑤函数.0)2sin(〕上是减函数，在〔ππ-=x y 其中真命题的序号是 （写出所言 ）三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分）已知0,1413)cos(,71cos 且=β-α=α<β<α<2π,(Ⅰ)求α2tan 的值. （Ⅱ）求β.（18）（本小题满分12分）厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品. （Ⅰ）若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8，从中任意取出4件进行检验.求至少有1件是合格品的概率;（Ⅱ）若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任取2件，都进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品，否则拒收.求该商家可能检验出不合格产品数ξ的分布列及期望ξE ，并求该商家拒收这批产品的概率.（19）（本小题满分12分）如图，PCBM 是直角梯形，∠PCB ＝90°，PM ∥BC ，PM ＝1，BC ＝2，又AC ＝1，∠ACB ＝120°，AB ⊥PC ，直线AM 与直线PC 所成的角为60°.（Ⅰ）求证：平面PAC ⊥平面ABC ; （Ⅱ）求二面角B AC M --的大小; （Ⅲ）求三棱锥MAC P -的体积.（20）（本小题满分12分）设1F 、2F 分别是椭圆1422=+y x 的左、右焦点. （Ⅰ）若P 是该椭圆上的一个动点，求1PF ·2PF的最大值和最小值; （Ⅱ）设过定点)2,0(M 的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且∠AOB 为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围.已知函数42)(+=x x f ,设曲线)(x f y =在点()处的切线与x 轴线发点()()其中xn 为实数（21）（本小题满分12分）已知函数42)(+=x x f ,设曲线)(x f y =在点()处的切线与x 轴线发点()()其中xn 为实数 (Ⅰ)用表示 (Ⅱ)(22)(本小题满分14分)设函数),1,(11)(N x n N n n x f n∈∈⎪⎭⎫⎝⎛+= 且.(Ⅰ)当x =6时,求nn ⎪⎭⎫⎝⎛+11的展开式中二项式系数最大的项;(Ⅱ)对任意的实数x ,证明2)2()2(f x f +＞);)()()((的导函数是x f x f x f ''(Ⅲ)是否存在N a ∈,使得an ＜∑-⎪⎭⎫⎝⎛+nk k 111＜n a )1(+恒成立?若存在,试证明你的结论并求出a的值;若不存在,请说明理由.2007年普通高等学校招生全国统一·考试·（四川卷）理科数学参考答案一．选择题：本题考察基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分（1） A （2） C （3） D （4） D （5） A （6） C （7） A （8） C （9） B （10） B （11） D （12） B 二．填空题：本题考察基础知识和基本运算，每小题4分，满分16分 （13）1 （14）6π （15）32x = （16）① ④三．解答题：（17）本题考察三角恒等变形的主要基本公式、三角函数值的符号，已知三角函数值求角以及计算能力.解：（Ⅰ）由1cos ,072παα=<<，得sin α=∴sin 7tan cos 1ααα===22tan tan 21tan 1ααα===--（Ⅱ）由02παβ<<<，得02παβ<-<又∵()13cos 14αβ-=，∴()sin αβ-==由()βααβ=--得：()cos cos βααβ=--⎡⎤⎣⎦()()cos cos sin sin ααβααβ=-+-11317142=⨯= 所以3πβ=（18）本题考察相互独立事件、互斥事件等的概率计算，考察随机事件的分布列，数学期望等，考察运用所学知识与方法解决实际问题的能力. 解：（Ⅰ）记“厂家任取4件产品检验，其中至少有1件是合格品”为事件A 用对立事件A 来算，有()()4110.20.9984P A P A =-=-=（Ⅱ）ξ可能的取值为0,1,2()2172201360190C P C ξ===，()11317220511190C C P C ξ===，()2322032190C P C ξ===136513301219019019010E ξ=⨯+⨯+⨯= 记“商家任取2件产品检验，都合格”为事件B ，则商家拒收这批产品的概率()136271119095P P B =-=-= 所以商家拒收这批产品的概率为2795（19）本题主要考察异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角、三棱锥体积等有关知识，考察思维能力和空间想象能力、应用向量知识解决数学问题的能力、化归转化能力和推理运算能力. 解法一：（Ⅰ）∵,,PC AB PC BC ABBC B ⊥⊥=∴PC ABC ⊥平面， 又∵PC PAC ⊂平面 ∴PAC ABC ⊥平面平面（Ⅱ）取BC 的中点N ，则1CN =，连结,AN MN ，∵//PMCN =，∴//MN PC =，从而MN ABC ⊥平面 作NH AC ⊥，交AC 的延长线于H ，连结MH ，则由三垂线定理知，AC NH ⊥，从而MHN ∠为二面角M AC B --的平面角 直线AM 与直线PC 所成的角为060 ∴060AMN ∠=在ACN ∆中，由余弦定理得AN 在AMN ∆中，cot 1MN AN AMN =⋅∠== 在CNH ∆中，sin 1NH CN NCH =⋅∠==在MNH ∆中，tan MN MN MHN NH =∠===故二面角M AC B --的平面角大小为（Ⅲ）由（Ⅱ）知，PCMN 为正方形∴011sin12032P MAC A PCM A MNC M ACN V V V V AC CN MN ----====⨯⋅⋅⋅=解法二：（Ⅰ）同解法一（Ⅱ）在平面ABC 内，过C 作CD CB ⊥，建立空间直角坐标系C xyz -（如图）由题意有1,02A ⎫-⎪⎪⎝⎭，设()()000,0,0P z z >， 则()()000310,1,,,,,0,0,2M z AM z CP z ⎛⎫=-= ⎪⎪⎝⎭由直线AM 与直线PC 所成的解为060，得0cos60AM CP AM CP ⋅=⋅⋅，即200z z =，解得01z =∴()310,0,1,,02CM CA ⎛⎫==- ⎪⎪⎝⎭，设平面MAC 的一个法向量为{}111,,n x y z =，则11110102yz y z +=⎧-=，取11x =，得{1,3,n = 平面ABC 的法向量取为()0,0,1m = 设m 与n 所成的角为θ，则3cos 7m n m nθ⋅-==⋅显然，二面角M AC B --的平面角为锐角， 故二面角M AC B --的平面角大小为 （Ⅲ）取平面P C M 的法向量取为()11,0,0n =，则点A 到平面P C M 的距离113CA n h n ⋅==∵1,1PC PM ==，∴11111326212P MAC A PCM V V PC PM h --===⨯⋅⋅=⨯⨯⨯=（20）本题主要考察直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合应用数学知识解决问题及推理计算能力.解：（Ⅰ）解法一：易知2,1,a bc ==所以())12,F F ，设(),P x y ，则())2212,,,3PF PF x y x y x y ⋅=--=+-()2221133844x x x =+--=-因为[]2,2x ∈-，故当0x =，即点P 为椭圆短轴端点时，12PF PF ⋅有最小值2- 当2x =±，即点P 为椭圆长轴端点时，12PF PF ⋅有最大值1解法二：易知2,1,ab c ===())12,F F ，设(),P x y ，则22212121212121212cos 2PF PF F F PF PF PF PF F PF PF PF PF PF +-⋅=⋅⋅∠=⋅⋅⋅((22222211232x y x y x y ⎡⎤=++++-=+-⎢⎥⎣⎦（以下同解法一）（Ⅱ）显然直线0x =不满足题设条件，可设直线()()1222:2,,,,l y kx A x y B x y =-，联立22214y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，整理得：2214304k x kx ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭ ∴12122243,1144k x x x x k k +=-⋅=++由()2214434304k k k ⎛⎫∆=-+⨯=-> ⎪⎝⎭得：k <或k > 又00090cos 000A B A B OA OB <∠<⇔∠>⇔⋅>∴12120OA OB x x y y ⋅=+>又()()()2121212122224y y kx kx k x x k x x =++=+++22223841144k k k k -=++++22114k k -+=+∵2223101144k k k -++>++，即24k < ∴22k -<<故由①、②得22k -<<-或22k <<（21）本题综合考察数列、函数、不等式、导数应用等知识，以及推理论证、计算及解决问题的能力.解：（Ⅰ）由题可得()'2fx x =所以过曲线上点()()00,x f x 的切线方程为()()()'n n n y f x f x x x -=-，即()()42n n n y x x x x --=-令0y =，得()()2142n n n n x x x x +--=-，即2142n n n x x x ++=显然0n x ≠ ∴122n n nx x x +=+ （Ⅱ）证明：（必要性）若对一切正整数1,n n n x x +≤，则21x x ≤，即11122x x x +≤，而10x >，∴214x ≥，即有12x ≥ （充分性）若120x ≥>，由122n n nx x x +=+ 用数学归纳法易得0n x >，从而()12212n n n x x n x +=+≥=≥，即()22n x n ≥≥ 又12x ≥ ∴()22n x n ≥≥于是214222n n n n n n n x x x x x x x +--=+-=()()2202n n nx x x -+=≤，即1n n x x +≤对一切正整数n 成立（Ⅲ）由122n n nx x x +=+，知()21222n n n x x x +++=，同理，()21222n n n x x x +--=故2112222n n n n x x x x ++⎛⎫++= ⎪--⎝⎭从而1122lg2lg 22n nn n x x x x ++++=--，即12n n a a += 所以，数列{}n a 成等比数列，故111111222lg2lg32n n n n x a a x ---+===-， 即12lg2lg32n n n x x -+=-，从而21232n n n x x -+=- 所以()212123131n n n x --+=-（22）本题考察函数、不等式、导数、二项式定理、组合数计算公式等内容和数学思想方法.考查综合推理论证与分析解决问题的能力及创新意识.（Ⅰ）解：展开式中二项式系数最大的项是第4项，这项是335631201C n n ⎛⎫= ⎪⎝⎭（Ⅱ）证法一：因()()22112211n f x f n n ⎛⎫⎛⎫+=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥11211nn n ⎛⎫⎛⎫=+⋅+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭121nn ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭1121ln 12nn ⎛⎫⎛⎫>++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()'1121ln 12nf x n n ⎛⎫⎛⎫≥++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭证法二：因()()22112211nf x f n n ⎛⎫⎛⎫+=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥11211nn n ⎛⎫⎛⎫=+⋅+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭而()'11221ln 1nf x n n ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故只需对11n ⎛⎫+⎪⎝⎭和1ln 1n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭进行比较.令()()ln 1g x x x x =-≥，有()'111x g x x x-=-= 由10x x-=，得1x = 因为当01x <<时，()'0g x <，()g x 单调递减；当1x <<+∞时，()'0g x >，()g x 单调递增，所以在1x =处()g x 有极小值1 故当1x >时，()()11g x g >=，从而有ln 1x x ->，亦即ln 1ln x x x >+> 故有111ln 1n n ⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立. 所以()()()'222f x f f x +≥，原不等式成立.（Ⅲ）对m N ∈，且1m >有2012111111mkmk m m m m mmC C C C C m m m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()2111121111112!!!k mm m m m m k m m m k m m m ---+-⋅⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11112111121111112!!!k m m k m m m m m m --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++---++-- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111122!3!!!k m <++++++ ()()11112213211k k m m <++++++⨯⨯--11111112122311k k m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭133m=-< 又因()102,3,4,,kk mC k m m ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，故1213mm ⎛⎫<+< ⎪⎝⎭∵1213mm ⎛⎫<+< ⎪⎝⎭，从而有11213knk n n k =⎛⎫<+< ⎪⎝⎭∑成立，即存在2a =，使得11213knk n n k =⎛⎫<+< ⎪⎝⎭∑恒成立.笔记卡。