2015届高考数学大一轮复习 命题及其关系、充分条件与必要条件精品试题 理(含2014模拟试题)
高考数学一轮总复习 12命题及其关系、充分条件与必要条件课后强化作业 北师大版 (1)
"【走向高考】2015届高考数学一轮总复习1-2命题及其关系、充分条件与必要条件课后强化作业北师大版"基础达标检测一、选择题1．(文)若a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件[答案] A[解析]本题考查充要条件．a＝1成立，则|a|＝1成立．但|a|＝1成立时a＝1不一定成立，所以a＝1是|a|＝1的充分不必要条件．(理)设集合M＝{1,2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N⊆M”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件[答案] A[解析]本小题考查的内容是充分与必要条件的判定．若a＝1，则N＝{1}，∴N⊆M，反之不成立．2．(2013·湖南高考)“1<x<2”是“x<2”成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[答案] A[解析]因为“1<x<2”⇒“x<2”，而x<2⇒/“1<x<2”，故“1<x<2”是“x<2”的充分不必要条件，故选A.3．(文)命题“若a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为()A．1 B．2C．3 D．4[答案] B[解析] 原命题为真命题，从而其逆否命题也为真命题；逆命题：若a >－6，则a >－3为假命题，则否命题也为假命题，故选B.(理)若命题p 的逆命题是q ，否命题是r ，则命题q 是命题r 的( ) A ．逆命题 B ．否命题 C ．逆否命题 D ．不等价命题[答案] C[解析] 因为命题p 的逆命题是q ，即命题q 的逆命题是p ，又p 的否命题是r ，所以命题q 是命题r 的逆否命题，故选C.4．(文)a <0，b <0的一个必要条件是( ) A ．a ＋b <0 B ．a －b >0 C.ab >1 D.ab<－1 [答案] A[解析] 由a <0，b <0可得a ＋b <0，所以a <0，b <0的一个必要条件是a ＋b <0，故选A. (理)对于非零向量a 、b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 考查平面向量平行的条件． ∵a ＋b ＝0，∴a ＝－b .∴a ∥b .反之，a ＝3b 时也有a ∥b ，但a ＋b ≠0.故选A. 5．有下列四个命题：①“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题； ②“相似三角形的周长相等”的否命题；③“若b ≤－1，则方程x 2－2bx ＋b 2＋b ＝0有实根”的逆否命题； ④“若A ∪B ＝B ，则A ⊇B ”的逆否命题． 其中真命题是( ) A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．③④[答案] C[解析] 写出相应命题并判定真假．①“若x ，y 互为倒数，则xy ＝1”为真命题；②“不相似三角形的周长不相等”为假命题；③“若方程x 2－2bx ＋b 2＋b ＝0没有实根，则b >－1”为真命题；④“若A ⊉B ，则A ∪B ≠B ”为假命题．6．(文)“m ＝1”是“直线x －y ＝0和直线x ＋my ＝0互相垂直”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] C[解析] 两直线垂直的充要条件是1－m ＝0，即m ＝1，故选C. (理)“sin α＝12”是“cos2α＝12”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 本题主要考查充要条件和三角公式． ∵cos2α＝1－2sin 2α＝12，∴sin α＝±12，∴sin α＝12⇒cos2α＝12，但cos2α＝12 ⇒ sin α＝12，∴“sin α＝12”是“cos2α＝12”的充分而不必要条件．二、填空题7．命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实数根”的否命题是____________________． [答案] 若m ≤0，则方程x 2＋x －m ＝0没有实数根．8．在命题“若m >－n ，则m 2>n 2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是________．[答案] 3[解析] 原命题为假命题，所以逆否命题也是假命题，逆命题“若m 2>n 2，则m >－n ”也是假命题，从而否命题也是假命题．9．设有如下三个命题：甲：m ∩l ＝A ，m ，l α，m ，l β； 乙：直线m ，l 中至少有一条与平面β相交； 丙：平面α与平面β相交．当甲成立时，乙是丙的__________条件． [答案] 充要[解析] 由题意乙⇒丙，丙⇒乙． 故当甲成立时乙是丙的充要条件． 三、解答题10．已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．(1)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件，若存在，求出m 的范围； (2)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的必要条件，若存在，求出m 的范围． [解析] (1)由x 2－8x －20≤0， 得－2≤x ≤10.∴P ＝{x |－2≤x ≤10}， ∵x ∈P 是x ∈S 的充要条件，∴P ＝S ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ＝－2，1＋m ＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，m ＝9.∴这样的m 不存在．(2)由题意x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则S ⊆P ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≥－2，1＋m ≤10，∴m ≤3.综上可知m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件.能力强化训练一、选择题1．(文)有下列命题：①两组对应边相等的三角形是全等三角形； ②“若xy ＝0，则|x |＋|y |＝0”的逆命题； ③“若a >b ，则2x ·a >2x ·b ”的否命题； ④“矩形的对角线互相垂直”的逆否命题． 其中真命题共有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个[答案] B[解析] ①是假命题，②是真命题，③是真命题，④是假命题．(理)下列命题中，假命题为()A．存在四边相等的四边形不是正方形B．z1，z2∈C，z1＋z2为实数的充分必要条件是z1，z2互为共轭复数C．若x，y∈R，且x＋y>2，则x，y至少有一个大于1D．对于任意n∈N＋，C0n＋C1n＋…＋C n n都是偶数[答案] B[解析]本题考查了命题的真假判断，选项A中，菱形满足条件，选项B中只需z1与z2的虚部互为相反数即可，故B错；选项C、D显然正确，故选B.2．(2013·山东高考)给定两个命题p，q，若綈p是q的必要而不充分条件，则p是綈q 的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] A[解析]由q⇒綈p且綈p⇒/q可得p⇒綈q且綈q⇒/p，所以p是綈q的充分不必要条件．二、填空题3．有下列判断：①命题“若q则p”与命题“若綈p则綈q”互为逆否命题；②“am2<bm2”是“a<b”的充要条件；③“平行四边形的对角相等”的否命题；④命题“∅⊆{1,2}或∅∈{1,2}”为真．其中正确命题的序号为________．[答案]①④[解析]①两个命题的条件与结论互逆且否定，故正确．②am2<bm2，∴m2>0，∴可以推出a<b；但反之不能(如m＝0)．故错误．③命题“平行四边形的对角相等”的否命题是“若一个四边形不是平行四边形，则它的对角不相等”是假命题．④∅⊆{1,2}是真命题，∅∈{1,2}是假命题，故正确．4．(文)设集合A＝{x|xx－1<0}，B＝{x|x2－4x<0}，那么“m∈A”是“m∈B”的________条件．[答案] 充分不必要[解析] 若m ∈A ，则mm －1<0，∴0<m <1.若m ∈B ，则m 2－4m <0，即0<m <4. 故“m ∈A ”是“m ∈B ”的充分条件． 取m ＝2，则m m －1＝2，于是mm －1<0不成立，所以m ∈A 不成立．故“m ∈A ”不是“m ∈B ”的必要条件． 综上所述，“m ∈A ”是“m ∈B ”的充分不必要条件． (理)对于下列四个结论：①若A 是B 的必要不充分条件，则綈B 也是綈A 的必要不充分条件；②“⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝b 2－4ac ≤0”是“一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为R ”的充要条件； ③“x ≠1”是“x 2≠1”的充分不必要条件； ④“x ≠0”是“x ＋|x |>0”的必要不充分条件． 其中，正确结论的序号是________． [答案] ①②④[解析] ∵“A ⇐B ”，∴“綈A ⇒綈B ”，故①正确．“一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为R ”的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝b 2－4ac ≤0，故②正确．∵x ≠1⇒ x 2≠1，例如x ＝－1，故③错误． ∵x ＋|x |>0⇒x ≠0，但x ≠0⇒ x ＋|x |>0， 例如x ＝－1.故④正确． 三、解答题5．(文)判断下列命题的真假，并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题，并判断真假． (1)若四边形的对角互补，则该四边形是圆内接四边形；(2)在二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，若b 2－4ac <0，则该函数图像与x 轴有交点． [解析] (1)该命题为真命题．逆命题：若四边形是圆内接四边形，则该四边形的对角互补．真命题．否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆内接四边形．真命题． 逆否命题：若四边形不是圆内接四边形，则该四边形的对角不互补．真命题． (2)该命题是假命题.逆命题：在二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，若该函数的图像与x 轴有交点，则b 2－4ac <0.假命题．否命题：在二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，若b 2－4ac ≥0， 则该函数图像与x 轴没有交点．假命题．逆否命题：若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像与x 轴没有交点，则b 2－4ac ≥0.假命题． (理)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线y 2＝2x 相交于A 、B 两点． (1)求证：“如果直线l 过点(3,0)，那么OA →·OB →＝3”是真命题． (2)写出(1)中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由． [解析] (1)设l ：x ＝ty ＋3，代入抛物线y 2＝2x ， 消去x 得y 2－2ty －6＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴y 1＋y 2＝2t ，y 1·y 2＝－6， OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋3)(ty 2＋3)＋y 1y 2 ＝t 2y 1y 2＋3t (y 1＋y 2)＋9＋y 1y 2 ＝－6t 2＋3t ·2t ＋9－6＝3. ∴OA →·OB →＝3，故为真命题．(2)(1)中命题的逆命题是：“若OA →·OB →＝3，则直线l 过点(3,0)”它是假命题． 设l ：x ＝ty ＋b ，代入抛物线y 2＝2x ， 消去x 得y 2－2ty －2b ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2t ，y 1·y 2＝－2b . ∵OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋b )(ty 2＋b )＋y 1y 2＝t 2y 1y 2＋bt (y 1＋y 2)＋b 2＋y 1y 2＝－2bt 2＋bt ·2t ＋b 2－2b ＝b 2－2b ， 令b 2－2b ＝3，得b ＝3或b ＝－1，此时直线l 过点(3,0)或(－1,0)．故逆命题为假命题．6．(文)(2014·江西盟校第二次联考)求证：方程x 2＋ax ＋1＝0(a ∈R )的两实根的平方和大于3的必要条件是|a |>3，这个条件充分吗？为什么？[解析] ∵方程x 2＋ax ＋1＝0(a ∈R )有两实根， 则Δ＝a 2－4≥0，∴a ≤－2或a ≥2.设方程x 2＋ax ＋1＝0的两实根分别为x 1，x 2，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－a ，x 1x 2＝1， ∴x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝a 2－2≥3.∴|a |≥5> 3.∴方程x 2＋ax ＋1＝0(a ∈R )的两实根的平方和大于3的必要条件是|a |>3；但当a ＝2时，x 21＋x 22＝2≤3.因此这个条件不是其充分条件．(理)已知集合M ＝{x |x <－3或x >5}，P ＝{x |(x －a )·(x －8)≤0}． (1)求实数a 的取值范围，使它成为M ∩P ＝{x |5<x ≤8}的充要条件；(2)求实数a 的一个值，使它成为M ∩P ＝{x |5<x ≤8}的一个充分但不必要条件． [解析] (1)由 M ∩P ＝{x |5<x ≤8}，得－3≤a ≤5， 因此M ∩P ＝{x |5<x ≤8}的充要条件是{a |－3≤a ≤5}．(2)求实数a 的一个值，使它成为M ∩P ＝{x |5<x ≤8}的一个充分但不必要条件，就是在集合{a |－3≤a ≤5}中取一个值，如取a ＝0，此时必有M ∩P ＝{x |5<x ≤8}；反之，M ∩P ＝{x |5<x ≤8}未必有a ＝0.故a ＝0是M ∩P ＝{x |5<x ≤8}的一个充分不必要条件．。
2015届高考数学大一轮复习 命题及其关系、充分条件与必要条件精品试题 理(含2014模拟试题)
2015届高考数学大一轮复习命题及其关系、充分条件与必要条件精品试题理（含2014模拟试题）1.（2014重庆一中高三下学期第一次月考，2）已知条件：是两条直线的夹角，条件：是第一象限的角。
则“条件” 是“条件” 的（）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件[解析] 1. 当是两条直线的夹角时, 可得, 不一定是第一象限角, 故“条件” 是“条件” 的不充分条件; 显然“条件” 是“条件” 的不必要条件, 故选D.2.(2014天津蓟县第二中学高三第一次模拟考试，3) “” 是“” 的( )[解析] 2. 当时，可得，所以“” 是“” 的充分条件；当时，可得时，或，推不出是, 故“” 是“” 的不必要条件，故选A.3. (2014山西太原高三模拟考试（一），5) 已知命题p: q:, 若p∨（q）为假命题，则实数m的取值范围是( )A. （-∞，0）∪（2，B. [0,2]C. RD.+∞）[解析] 3. 由p∨（q）为假命题可得命题p为假，命题q为真. 当命题p为假时，也即是对任意的方程都没有实数根，也即函数与函数没有公共点，由此可得；当命题q为真命题时，可得，解得，综上可得.4. (2014福州高中毕业班质量检测, 2) “实数” 是“复数(为虚数单位) 的模为” 的( )A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既不是充分条件又不是必要条件[解析] 4.因为，复数，其模为；若复数的模为，则或，故“实数” 是“复数(为虚数单位) 的模为” 的充分非必要条件.5. (2014湖北黄冈高三4月模拟考试，2) 下列命题，正确的是（）A. 存在，使得的否定是：不存在使得B. 存在，使得的否定是：任意均有C. 若，则的否命题是：若，则D. 若为假命题，则命题与必一真一假[解析] 5. 存在，使得的否定是：使得，故A错误；存在，使得的否定是：任意均有，故B错误；若为假命题，则命题与都是假命题，故D错误.正确的是C.6. (2014山东实验中学高三第一次模拟考试，4) 下列有关命题的说法正确的是（）A. 命题“若” 的否命题为：“若” ；B. “” 是“直线互相垂直” 的充要条件C. 命题“，使得” 的否定是：“，均有” ；D. 命题“已知x, y为一个三角形的两内角，若x=y，则” 的逆命题为真命题. [解析] 6. A. 否命题应同时否定条件合结论；B. 两直线垂直的充要条件是；C.该命题的否定是：“，均有；D. 由正弦定理可证此命题的逆命题为真命题.7. （2014广东汕头普通高考模拟考试试题，5）在下列命题①②是的充要条件③的展开式中的常数项为2④设随机变量～，若，则其中所有正确命题的序号是（）A. ①②③B. ①③④C. ①②④D. ②③④[解析] 7. ①显然正确；②应该是充分不必要条件；③展开式中的常数项为，正确；④.8. (2014北京东城高三第二学期教学检测，3) 设，则“” 是“直线与直线平行” 的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件[解析] 8. 直线∥，即或，从而“” 是“直线∥” 的充分不必要条件.9. (2014黑龙江哈尔滨第三中学第一次高考模拟考试，3) 若表示两个不同的平面，表示两条不同的直线，则的一个充分条件是（）A. B. C. D.[解析] 9.选项A、B、C都可能出现直线，故的一个充分条件是，.10. (2014重庆铜梁中学高三1月月考试题，4) 给出下列四个结论：①若命题，则；②“” 是“” 的充分而不必要条件；③命题“若，则方程有实数根” 的逆否命题为：“若方程没有实数根，则0” ；④若，则的最小值为.其中正确结论的个数为（）A.B. 2C. 3D. 41[解析] 10.若命题，则，故①正确；若，则或，所以“” 是“” 的必要不充分条件，故②错误；命题“若，则方程有实数根” 的逆否命题为：“若方程没有实数根，则0” ，故③正确；若，则，当且仅当时取等号，故③正确.故正确的命题为①③④.11.（2014山东潍坊高三3月模拟考试数学（理）试题，3）已知命题p、q，“为真” 是“p为假” 的（）(A) 充分不必要条件(B) 必要不充分条件(C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件[解析] 11. 为真，则p为假；p为假，则说明p或q中至少有一个为假，所以“为真” 是“p为假” 的充分不必要条件.12.（2014江西重点中学协作体高三第一次联考数学（理）试题，2）若集合，集合，则“” 是“” 的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件[解析] 12. 当m=3时，，所以，故“” 是“” 充分条件；当时，可得，解得m=±3，所以“” 是“” 不必要条件，故选A.13.（2014吉林实验中学高三年级第一次模拟，3）设为平面，为直线，则的一个充分条件是（）A．Ｂ．Ｃ．Ｄ．[解析] 13. 当时可得，又因为，所以可得，所以选项D是的一个充分条件.14.（2014湖北八校高三第二次联考数学（理）试题，3）．下列说法正确的是（）A．“” 是“” 的必要条件B．自然数的平方大于0C．“若都是偶数，则是偶数” 的否命题为真D．存在一个钝角三角形，它的三边长均为整数[解析] 14. 当a=－4，b=2满足，但不满足，故“” 是“”的不必要条件；0的平方等于0，故选项B说法错误；“若都是偶数，则是偶数” 的否命题为：若不都是偶数，则不是偶数，当a和b都是奇数时，其为假命题，故选项C说法错误；边长分别为3,4, 6的三角形为钝角三角形，故选项D的说法正确.15. (2014重庆五区高三第一次学生调研抽测，2) “” 是“” 的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件[解析] 15. 当时，，故是充分条件. 当时，所以，所以也是必要条件. 选C.16.(2014河南豫东豫北十所名校高中毕业班阶段性测试（四）数学（理）试题, 10) 已知数列为等比数列，则是的( )(A) 充分而不必要条件(B) 必要而不充分条件(C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件[解析] 16. 当可得，解得，则一定有，即，即p是q的充分条件；当时，可得，因为，可得，即，而由于q的符号未知，所以不能判断的符号，故p是q的不必要条件，故选A.17.(2014湖北武汉高三2月调研测试，7) 设a，b∈R，则“a＋b＝1” 是“a2＋b2＝1” 的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[解析] 17. 因为，所以，，，即：所以，即 . 所以是的充分条件.反过来，由，取，＝，所以，不是的必要条件. 故选A.18.(2014周宁、政和一中第四次联考，5) 下列选项中，说法正确的是（）A．命题“” 的否定是“”B．命题“为真” 是命题“为真” 的充分不必要条件C．命题“若，则” 是假命题D．命题“若，则” 的逆否命题为真命题[解析] 18. 命题“” 的否定是“，” ，故A错误；命题“为真” 是命题、至少有一个为真；命题“为真” 是命题、都真，故B错误；命题“若，则或，原命题为假命题，则逆否命题也为假命题. 故正确的是C.19. (2014湖南株洲高三教学质量检测（一），2) 下列有关命题正确的是（）A. “” 是“的必要不充分条件”B. 命题“使得” 的否定是：“均有”C. 命题“若，则” 的逆否命题为真命题D. 已知，则[解析] 19. 由，则成立，而由，则或6，故选项A错误；命题“使得” 的否定是：“均有” ，故选项B错误；已知，则, 故选项D错误；故正确的是C.20. (2014重庆七校联盟, 5) 下列说法错误的是（）A．命题“若，则” 的逆否命题是“若，则”B．“” 是“” 的充分不必要条件C．若为假命题, 则、均为假命题D．命题P: “, 使得”, 则[解析] 20. A, B, D均正确，对命题C, 是假命题，则、至少有一个为假命题，故选项C错误.21. (2014天津七校高三联考, 4) “” 是“函数在区间[-1,2]上存在零点” 的（）条件（A）充分不必要（B）必要不充分（C）充分必要（D）既不充分也不必要[解析] 21. 要函数在区间[-1,2]上存在零点，则，即，解得或，故“” 是“函数在区间[-1,2]上存在零点” 的充分不必要条件.22. (2014成都高中毕业班第一次诊断性检测，10) 已知和是定义在上的两个函数，则下列命题正确的的是（）（A）关于的方程恰有四个不相等的实数根的充要条件是（B）关于的方程恰有四个不相等的实数根的充要条件是（C）当时，对，，成立（D）若，，成立，则[解析] 22. 函数的图象如图所示，故函数的图象关于直线对称，即①正确；由图象知，关于的方程恰有四个不相等的实数根的充要条件是，故②正确；当时，，时，，时，，故时，不存在，使得成立，故③错误；时，，若，，成立，则，故④正确.故正确的命题是D.23. (2014兰州高三第一次诊断考试, 9) 下列五个命题中正确命题的个数是( )①对于命题，则，均有②是直线与直线互相垂直的充要条件③已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为(4,5) ，则回归直线方程为＝1.23x＋0.08④若实数，则满足的概率为⑤ 曲线与所围成图形的面积是A. 2B. 3C. 4D. 5[解析] 23. 对①，因为命题，则，均有，故①错误；对②，由于直线与直线垂直的充要条件是或0，故②错误；对③，设线性回归方程为，由于样本点的坐标满足方程，则，解得，回归直线方程为，故③正确；对④，有几何概型知，所求概率为，故④错误；对⑤，曲线与所围成图形的面积是，正确.故正确的是③⑤，共2个.24. (2014湖北黄冈高三期末考试) “” 是“函数在区间上单调递增” 的（）A. 充分必要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件[解析] 24.当时，，在上单调递增；令，，若函数在上单调递增，则或在上恒成立，即或在上恒成立，或.故“” 是函数在上单调递增的充要条件.25. (2014湖北黄冈高三期末考试) 命题，使；命题直线与圆相切. 则下列命题中真命题为（）A.B.C.D.[解析] 25. 命题的真假判断. 对命题，当时，成立，则命题为真；又圆心到直线的距离为圆的半径，则命题真，故为真.26. (2014北京东城高三12月教学质量调研) 对于具有相同定义域的函数和，若存在函数h（x）=kx+b（k，b为常数），对任给的正数，存在相应的，使得当且时，总有，则称直线为曲线和的“分渐近线”. 给出定义域均为D=的四组函数如下：①；②；③；④.其中，曲线和存在“分渐近线” 的是（）（A）①④（B）②③（C）②④（D）③④[解析] 26. 曲线y=f（x）和y=g（x）存在“分渐近线” 的充要条件是时，，对于①，，当时，令，由于，为增函数，不符合时，，①不存在；对于②，，，当且时，，存在分渐近线；对于③，，，当且时，函数与均单调递减，但函数的递减速度比快，当时，会越来越小，不会趋近于0，不存在分渐近线；对于④，因此存在分渐近线. 故存在分渐近线的是②④.27. (2014北京东城高三12月教学质量调研) 设向量，，则“” 是“” 的（）（A）充分但不必要条件（B）必要但不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件[解析] 27. 当，，，，；由，，即，解得，故向量，，则“” 是“” 的充分但不必要条件.28.(2014陕西宝鸡高三质量检测(一), 2) 设为向量，则是的（）A . 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也必要条件[解析] 28. 设向量的夹角为，若，则；若，则，从而，是的充分必要条件.答案和解析理数[答案] 1.D[解析] 1. 当是两条直线的夹角时, 可得, 不一定是第一象限角, 故“条件” 是“条件” 的不充分条件; 显然“条件” 是“条件” 的不必要条件, 故选D.[答案] 2. A[解析] 2. 当时，可得，所以“” 是“” 的充分条件；当时，可得时，或，推不出是, 故“” 是“” 的不必要条件，故选A.[答案] 3. B[解析] 3. 由p∨（q）为假命题可得命题p为假，命题q为真. 当命题p为假时，也即是对任意的方程都没有实数根，也即函数与函数没有公共点，由此可得；当命题q为真命题时，可得，解得，综上可得.[答案] 4. A[解析] 4.因为，复数，其模为；若复数的模为，则或，故“实数” 是“复数(为虚数单位) 的模为” 的充分非必要条件.[答案] 5. C[解析] 5. 存在，使得的否定是：使得，故A错误；存在，使得的否定是：任意均有，故B错误；若为假命题，则命题与都是假命题，故D错误.正确的是C.[答案] 6.D[解析] 6. A. 否命题应同时否定条件合结论；B. 两直线垂直的充要条件是；C.该命题的否定是：“，均有；D. 由正弦定理可证此命题的逆命题为真命题.[答案] 7.B[解析] 7. ①显然正确；②应该是充分不必要条件；③展开式中的常数项为，正确；④.[答案] 8.A[解析] 8. 直线∥，即或，从而“” 是“直线∥” 的充分不必要条件.[答案] 9. D[解析] 9.选项A、B、C都可能出现直线，故的一个充分条件是，.[答案] 10.C[解析] 10.若命题，则，故①正确；若，则或，所以“” 是“” 的必要不充分条件，故②错误；命题“若，则方程有实数根” 的逆否命题为：“若方程没有实数根，则0” ，故③正确；若，则，当且仅当时取等号，故③正确.故正确的命题为①③④.[答案] 11. A[解析] 11. 为真，则p为假；p为假，则说明p或q中至少有一个为假，所以“为真” 是“p为假” 的充分不必要条件.[答案] 12. A[解析] 12. 当m=3时，，所以，故“” 是“” 充分条件；当时，可得，解得m=±3，所以“” 是“” 不必要条件，故选A.[答案] 13. D[解析] 13. 当时可得，又因为，所以可得，所以选项D是的一个充分条件.[答案] 14. D[解析] 14. 当a=－4，b=2满足，但不满足，故“” 是“”的不必要条件；0的平方等于0，故选项B说法错误；“若都是偶数，则是偶数” 的否命题为：若不都是偶数，则不是偶数，当a和b都是奇数时，其为假命题，故选项C说法错误；边长分别为3,4, 6的三角形为钝角三角形，故选项D的说法正确.[答案] 15. C[解析] 15. 当时，，故是充分条件. 当时，所以，所以也是必要条件. 选C.[答案] 16. A[解析] 16. 当可得，解得，则一定有，即，即p是q的充分条件；当时，可得，因为，可得，即，而由于q的符号未知，所以不能判断的符号，故p是q的不必要条件，故选A.[答案] 17. A[解析] 17. 因为，所以，，，即：所以，即 . 所以是的充分条件.反过来，由，取，＝，所以，不是的必要条件. 故选A.[答案] 18. C[解析] 18. 命题“” 的否定是“，” ，故A错误；命题“为真” 是命题、至少有一个为真；命题“为真” 是命题、都真，故B错误；命题“若，则或，原命题为假命题，则逆否命题也为假命题. 故正确的是C.[答案] 19. C[解析] 19. 由，则成立，而由，则或6，故选项A错误；命题“使得” 的否定是：“均有” ，故选项B错误；已知，则, 故选项D错误；故正确的是C.[答案] 20. C[解析] 20. A, B, D均正确，对命题C, 是假命题，则、至少有一个为假命题，故选项C错误.[答案] 21. A[解析] 21. 要函数在区间[-1,2]上存在零点，则，即，解得或，故“” 是“函数在区间[-1,2]上存在零点” 的充分不必要条件.[答案] 22. D[解析] 22. 函数的图象如图所示，故函数的图象关于直线对称，即①正确；由图象知，关于的方程恰有四个不相等的实数根的充要条件是，故②正确；当时，，时，，时，，故时，不存在，使得成立，故③错误；时，，若，，成立，则，故④正确.故正确的命题是D.[答案] 23. A[解析] 23. 对①，因为命题，则，均有，故①错误；对②，由于直线与直线垂直的充要条件是或0，故②错误；对③，设线性回归方程为，由于样本点的坐标满足方程，则，解得，回归直线方程为，故③正确；对④，有几何概型知，所求概率为，故④错误；对⑤，曲线与所围成图形的面积是，正确.故正确的是③⑤，共2个.[答案] 24. A[解析] 24.当时，，在上单调递增；令，，若函数在上单调递增，则或在上恒成立，即或在上恒成立，或.故“” 是函数在上单调递增的充要条件.[答案] 25. A[解析] 25. 命题的真假判断. 对命题，当时，成立，则命题为真；又圆心到直线的距离为圆的半径，则命题真，故为真.[答案] 26. C[解析] 26. 曲线y=f（x）和y=g（x）存在“分渐近线” 的充要条件是时，，对于①，，当时，令，由于，为增函数，不符合时，，①不存在；对于②，，，当且时，，存在分渐近线；对于③，，，当且时，函数与均单调递减，但函数的递减速度比快，当时，会越来越小，不会趋近于0，不存在分渐近线；对于④，因此存在分渐近线. 故存在分渐近线的是②④.[答案] 27. A[解析] 27. 当，，，，；由，，即，解得，故向量，，则“” 是“” 的充分但不必要条件.[答案] 28. C[解析] 28. 设向量的夹角为，若，则；若，则，从而，是的充分必要条件.。
2015届高考数学一轮复习考点解析课件《命题及其关系、充分条件与必要条件》
解析：已知 a，b，c∈R，命题“若 a＋b＋c＝3，则 a2＋b2 ＋c2≥3”的否命题是“若 a＋b＋c≠3，则 a2＋b2＋c2＜3”，应 选 A.
答案：A
题型一
四种命题及其关系
1 3 【例 1】 原命题：“若 a＝1，则函数 f(x)＝3x ＋ 1 2 1 2ax ＋2ax＋1 没有极值”以及它的逆命题、否命题、逆否命 题中，真命题的个数为( A．0 B．1 ) C．2 D．4
1.考查内容：(1)考查命题及其关系、命题真假判断及命题的 四种形式的相互转化．(2)考查充分条件、必要条件的概念． 2．题型：以选择或填空的形式考查命题及其关系；以选择 题的形式考查充分条件、必要条件的概念． 3．命题切入点：以数学相关知识为载体，考查命题真假判 断及充分条件与必要条件．
1.2015 年高考对本节的考查仍将以命题真假判断、 四种命题 的关系及充分条件与必要条件为主，题型将会延续选择、填空的 形式． 2．以数学知识为载体，考查命题真假判断及充分条件与必 要条件仍将是命题热点，并且有加大考查力度的趋势.
条件 定义法 集合法(A＝{x|p(x)}， B＝{x|q(x)} A⊆B A⊇B A＝B A B A B A B 且 A⊉B
p 是 q 的充分条件 p⇒q p 是 q 的必要条件 q⇒p p 是 q 的充要条件 p⇒q 且 q⇒p p 是 q 的充分不必 p⇒q 且 q p 要条件 p 是 q 的必要不充 p q 且 q⇒p 分条件 p 是 q 的既不充分 p q且q p 也不必要条件
3．充分条件与必要条件 (1)“若 p，则 q”为真命题，记 p⇒q，则 p 是 q 的充分条 件， q 是 p 的必要条件． (2)如果既有 p⇒q， 又有 q⇒p， 记作： p⇔q， 则 p 是 q 的 充要条件，q 也是 p 的 充要条件 ．
2015届高考数学一轮复习 命题及其关系、充分条件与必要条件跟踪检测 理(含解析)新人教A版
课时跟踪检测(二) 命题及其关系、充分条件与必要条件第Ⅰ组：全员必做题1．设集合M ＝{x |0<x ≤3}，N ＝{x |0<x ≤2}，那么“a ∈M ”是“a ∈N ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．(2013·潍坊模拟)命题“若△ABC 有一内角为π3，则△ABC 的三内角成等差数列”的逆命题( )A ．与原命题同为假命题B ．与原命题的否命题同为假命题C ．与原命题的逆否命题同为假命题D ．与原命题同为真命题3．(2013·乌鲁木齐质检)“a >0”是“a 2＋a ≥0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．(2013·潍坊模拟)命题“任意x ∈[1,2]，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )A ．a ≥4B ．a ≤4C ．a ≥5D ．a ≤55．下列命题中为真命题的是( )A ．命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题B ．命题“x >1，则x 2>1”的否命题C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题D ．命题“若x 2>0，则x >1”的逆否命题6．(2013·江西七校联考)已知条件p ：x ≤1，条件q ：1x<1，则綈p 是q 的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．即非充分也非必要条件 7．(2014·日照模拟)已知直线l 1：x ＋ay ＋1＝0，直线l 2：ax ＋y ＋2＝0，则命题“若a ＝1或a ＝－1，则直线l 1与l 2平行”的否命题为( )A ．若a ≠1且a ≠－1，则直线l 1与l 2不平行B ．若a ≠1或a ≠－1，则直线l 1与l 2不平行C ．若a ＝1或a ＝－1，则直线l 1与l 2不平行D ．若a ≠1或a ≠－1，则直线l 1与l 2平行8．在命题p 的四种形式(原命题、逆命题、否命题、逆否命题)中，真命题的个数记为f (p )，已知命题p ：“若两条直线l 1：a 1x ＋b 1y ＋c 1＝0，l 2：a 2x ＋b 2y ＋c 2＝0平行，则a 1b 2－a 2b 1＝0”．那么f (p )等于( )A ．1B ．2C ．3D ．49．命题“若f (x )是奇函数，则f (－x )是奇函数”的否命题是________．10．(2013·南京模拟)有下列几个命题：①“若a >b ，则a 2>b 2”的否命题；②“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；③“若x 2<4，则－2<x <2”的逆否命题．其中真命题的序号是________．11．下列命题：①若ac 2>bc 2，则a >b ；②若sin α＝sin β，则α＝β；③“实数a ＝0”是“直线x －2ay ＝1和直线2x －2ay ＝1平行”的充要条件；④若f (x )＝log 2x ，则f (|x |)是偶函数．其中正确命题的序号是________．12．已知α：x ≥a ，β：|x －1|<1.若α是β的必要不充分条件，则实数a 的取值范围为________．第Ⅱ组：重点选做题1．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＝x 2－32x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求实数m 的取值范围．2．已知集合A ＝{x |x 2－4mx ＋2m ＋6＝0}，B ＝{x |x <0}，若命题“A ∩B ＝∅”是假命题，求实数m 的取值范围．答 案第Ⅰ组：全员必做题1．选B M ＝{x |0<x ≤3}，N ＝{x |0<x ≤2}，所以N M ，故a ∈M 是a ∈N 的必要不充分条件．2．选D 原命题显然为真，原命题的逆命题为“若△ABC 的三内角成等差数列，则△ABC 有一内角为π3”，它是真命题． 3．选A a >0⇒a 2＋a ≥0；反之a 2＋a ≥0⇒a ≥0或a ≤－1，不能推出a >0，选A.4．选C 命题“任意x ∈[1,2]，x 2－a ≤0”为真命题的充要条件是a ≥4.故其充分不必要条件是集合[4，＋∞)的真子集，正确选项为C.5．选A 对于A ，其逆命题是：若x >|y |，则x >y ，是真命题，这是因为x >|y |≥y ，必有x >y ；对于B ，否命题是：若x ≤1，则x 2≤1，是假命题．如x ＝－5，x 2＝25>1；对于C ，其否命题是：若x ≠1，则x 2＋x －2≠0，由于x ＝－2时，x 2＋x －2＝0，所以是假命题；对于D ，若x 2>0，则x >0或x <0，不一定有x >1，因此原命题与它的逆否命题都是假命题．6．选A 由x >1得1x <1；反过来，由1x<1不能得知x >1，即綈p 是q 的充分不必要条件，选A.7．选A 命题“若A ，则B ”的否命题为“若綈A ，则綈B ”，显然“a ＝1或a ＝－1”的否定为“a ≠1且a ≠－1”，“直线l 1与l 2平行”的否定为“直线l 1与l 2不平行”．8．选B 原命题p 显然是真命题，故其逆否命题也是真命题．而其逆命题是：若a 1b 2－a 2b 1＝0，则两条直线l 1与l 2平行，这是假命题，因为当a 1b 2－a 2b 1＝0时，还有可能l 1与l 2重合，逆命题是假命题，从而否命题也为假命题，故f (p )＝2.9．解析：否命题既否定题设又否定结论．答案：若f (x )不是奇函数，则f (－x )不是奇函数10．解析：①原命题的否命题为“若a ≤b 则a 2≤b 2”错误．②原命题的逆命题为：“x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”正确．③原命题的逆否命题为“若x ≥2或x ≤－2，则x 2≥4”正确．答案：②③11．解析：对于①，ac 2>bc 2，c 2>0，∴a >b 正确；对于②，sin 30°＝sin 150° ⇒/ 30°＝150°， 所以②错误；对于③，l 1∥l 2⇔A 1B 2＝A 2B 1，即－2a ＝－4a ⇒a ＝0且A 1C 2≠A 2C 1， 所以③正确；④显然正确．答案：①③④12．解析：α：x ≥a ，可看作集合A ＝{x |x ≥a }，∵β：|x －1|<1，∴0<x <2，∴β可看作集合B ＝{x |0<x <2}．又∵α是β的必要不充分条件，∴B A ，∴a ≤0.答案：(－∞，0]第Ⅱ组：重点选做题1．解：y ＝x 2－32x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －342＋716，∵x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，∴716≤y ≤2，∴A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪ 716≤y ≤2.由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2，∴B ＝{x |x ≥1－m 2}．∵“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件， ∴A ⊆B ，∴1－m 2≤716，解得m ≥34或m ≤－34，故实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－34∪⎣⎡⎭⎫34，＋∞.2．解：因为“A ∩B ＝∅”是假命题， 所以A ∩B ≠∅.设全集U ＝{m |Δ＝(－4m )2－4(2m ＋6)≥0}， 则U ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫m |m ≤－1或m ≥32.假设方程x 2－4mx ＋2m ＋6＝0的两根x 1，x 2均非负，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧ m ∈U ，x 1＋x 2≥0x 1x 2≥0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧ m ∈U ，4m ≥0，2m ＋6≥0⇒m ≥32. 又集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪ m ≥32关于全集U 的补集是{m |m ≤－1}，所以实数m 的取值范围是{m |m ≤－1}．。
【金版学案】2015届高考数学总复习 第一章 第二节命题及其关系、充分条件与必要条件课时精练 理
第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件1.命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆否命题是( )A ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 不都是偶数B ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 都不是偶数C ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 不都是偶数D ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 都不是偶数答案：C2．给出命题：若函数y ＝f (x )是幂函数，则函数y ＝f (x )的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：易知原命题是真命题，则其逆否命题也是真命题，而逆命题、否命题是假命题．故它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中的真命题只有一个．故选C.答案：C3．“x 2＞2”是“x ＞2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若“x ＞2”，则“x 2＞2”，反之，若“x 2＞2”，则“x ＞2或x ＜－2”，所以“x 2＞2”是“x ＞2”的必要不充分条件．故选B.答案：B4．(2013·浙江卷)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，φ∈R )，则“f (x )是奇函数”是“φ＝π2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：由f (x )是奇函数可知f (0)＝0，即cos φ＝0，解出φ＝π2＋k π，k ∈Z ，所以选项B 正确．答案：B5．在△ABC 中，已知p ：三个内角A ，B ，C 成等差数列，q ：B ＝60°，则p 是q 的( )A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若A ，B ，C 成等差数列，则A ＋C ＝2B .又A ＋B ＋C ＝180°，所以B ＝60°；反之，若B ＝60°，则A ＋C ＝120°＝2B ，则A ，B ，C 成等差数列．故选A.答案：A6．(2013·陕西五校第三次联考)已知p ：2x －1≤1，q ：(x －a )(x －a －1)≤0.若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 C ．(－∞，0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ D ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞解析：令A ＝{}x | 2x －1≤1，得A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 12≤x ≤1，令B ＝{x |(x －a )(x －a －1)≤0}，得B ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}，若p 是q 的充分不必要条件，则A B ，需⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤12，a ＋1>1或⎩⎪⎨⎪⎧ a <12，a ＋1≥1.∴0≤a ≤12，故选A. 答案：A7．若“x 2>1”是“x <a ”的必要不充分条件，则a 的最大值为________．解析：由x 2>1，得x <－1或x >1，又“x 2>1”是“x <a ”的必要不充分条件，知由“x <a ”可以推出“x 2>1”，反之不成立，所以a ≤－1，即a 的最大值为－1.答案：－18．已知命题p ：|2x －3|>1，命题q ：log 12(x 2＋x －5)<0，则￢p 是￢q 的____________条件．答案：充分不必要9．求证：关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个正根和一个负根的充要条件是ac ＜0.证明：充分性：∵ac ＜0，∴a ≠0且b 2－4ac >0. ∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不等实根x 1，x 2.∵ac ＜0，∴a ，c 异号．∴x 1x 2＝ac <0.∴x 1，x 2异号，即关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个正根和一个负根．必要性：若关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个正根x 1和一个负根x 2，则x 1x 2<0.∵x 1x 2＝c a ＜0，∴a ，c 异号，∴ac <0. 综上所述，关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个正根和一个负根的充要条件是ac <0.10．已知p ：|x －3|≤2，q ：(x －m ＋1)(x －m －1)≤0，若￢p 是￢q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．解析：由题意p ：－2≤x －3≤2，∴1≤x ≤5.∴￢p ：x ＜1或x ＞5.q ：m －1≤x ≤m ＋1，∴￢q ：x ＜m －1或x ＞m ＋1.又∵￢p 是￢q 的充分不必要条件， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ m －1＞1，m ＋1≤5或⎩⎪⎨⎪⎧ m －1≥1，m ＋1＜5，∴2≤m ≤4.因此实数m 的取值范围是[2,4]．。
【三维设计】2015届高考数学一轮复习 第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件课件 理 新人教A版
答案：B
2． (2013· 九江一模)命题“若 x2>y2， 则 x>y”的逆否命题是( A．“若 x<y，则 x2<y2” C．“若 x≤y，则 x2≤y2” B．“若 x>y，则 x2>y2” D．“若 x≥y，则 x2≥y2”
)
解析：根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命 题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是“若x≤y，则 x2≤y2”．
答案：A
5．命题“若 a>b，则 a－1>b－1”的否命题是________．
答案：若 a≤b，则 a－1≤b－1
创新题已知集合 A＝{x|y＝lg(4－x)}， 6． 集合 B＝{x|x<a}， 若 P： “x∈A”是 Q：“x∈B”的充分不必要条件，则实数 a 的取值 范围是________．
4．充分条件与必要条件
(1)如果 p⇒q，则 p 是 q 的 充分条件 ，q 是 p 的 必要条件 ．
(2)如果 p⇒q，q⇒p，则 p 是 q 的 充要条件 ．
1．易混否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又 否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论．
2． 注意区别 A 是 B 的充分不必要条件(A⇒B 且 B 与 A 的充分不必要条件是 B(B⇒A 且 A A)；
①“若 log2a>0，则函数 f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是 减函数”是真命题；
②命题“若 a＝0， 则 ab＝0”的否命题是“若 a≠0， 则 ab≠0”；
③命题“若 x，y 都是偶数，则 x＋y 也是偶数”的逆命题为真命 题；
④命题“若 a∈M， 则 b∉M”与命题“若 b∈M， 则 a∉M”等价．
2015届高考数学总复习第一章 第二节命题及其关系、充分条件与必要条件精讲课件 文
)
点评：在进行充分条件、必要条件的判断时，首先要明确
哪个论断是条件，哪个论断是结论，而且将条件进行适当的化
简及合理的表示条件间的推出关系也是解决问题的关键．常用 的判断方法有三种：直接法、集合法、等价法．利用集合法进
行判断时，借助数轴能直观显示两个集合的关系，从而刮题易
于求解．对于条件或结论是否定形式的充分条件、必要条件的 判断，要善于利用等价命题进行判断．
解析：由a>b⇒a>b－1，但由a>b－1不能得出a>b， ∴ a>b － 1 是 a>b 成 立 的 必 要 不 充 分 条 件 ； 由 a>b ＋
1⇒a>b，但由a>b不能得出a>b＋1，∴a>b＋1是a>b成
－b2＝0.
点评： 有关充要条件的证明问题，要分清哪个是条件， 哪个是结论，由“条件”⇒“结论”是证明命题的充分性，由
“结论”⇒“条件”是证明命题的必要性．证明要分两个环节：
一是充分性，二是必要性．对于充要条件问题，我们不仅要会 利用定义进行证明，而且要掌握充要条件的探求．
变式探究 3．求方程ax2＋2x＋1＝0有且只有一个负实数根的充要条件． 解析：当a＝0时，x＝－ ，方程ax2＋2x＋1＝0有且仅有一负根． 当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0有实根，则Δ＝4－4a≥0， ∴a≤1， 当a＝1时，方程只有一负根x＝－1. 当a<1时，若方程有且仅有一负根，则x1x2 ＝ 或a＝1. <0，∴a<0.
这与“p2＋q2＝2”相矛盾，假设不成立，因此原命题成立．
点评： 使用反证法的基本步骤是： (1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立． (2)从这个假设出发，经过正确的逻辑推理，得出矛盾．
高考数学一轮复习 真题模拟汇编 12 命题及其关系、充分条件与必要条件 理(1)
2015年高考数学一轮复习真题模拟汇编 1-2 命题及其关系、充分条件与必要条件理1. [2014·荷泽模拟]有以下命题：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；②“面积相等的三角形全等”的否命题；③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；④“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．其中真命题为( )A. ①②B. ②③C. ④D. ①②③解析：①②③显然正确；若A∩B＝B，则B⊆A，所以原命题为假，故它的逆否命题也为假．答案：D2. [2013·湖南高考]“1<x<2”是“x<2”成立的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件解析：当1<x<2时，必有x<2；而x<2时，如x＝0，推不出1<x<2，所以“1<x<2”是“x<2”的充分不必要条件．答案：A3. [2014·潍坊模拟]命题“∀x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )A. a≥4B. a≤4C. a≥5D. a≤5解析：∵a≥x2(x∈[1,2])恒成立，即a≥4，∴a≥5是a≥4成立的充分不必要条件，故选C项．答案：C4. [2013·福建高考]已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件解析：当a＝3时，A是B的子集，当A⊆B时，a＝2或3，所以“a＝3”是“A⊆B”的充分不必要条件，选A.答案：A5. [2014·河源模拟]对任意实数a，b，c，给出下列命题：①“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件；②“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件；③“a>b”是“a2>b2”的充分条件；④“a<5”是“a<3”的必要条件．其中真命题的序号是________．解析：①中“a＝b”可得ac＝bc，但c＝0时逆命题不成立，所以不是充要条件，②正确，③中a>b时a2>b2不一定成立，所以③错误，④中“a<5”得不到“a<3”，但“a<3”可得出“a<5”，“a<5”是“a<3”的必要条件，正确．答案：②④。
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2015届高考数学大一轮复习命题及其关系、充分条件与必要条件精品试题理（含2014模拟试题）1.（2014重庆一中高三下学期第一次月考，2）已知条件：是两条直线的夹角，条件：是第一象限的角。
则“条件” 是“条件” 的（）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件[解析] 1. 当是两条直线的夹角时, 可得, 不一定是第一象限角, 故“条件” 是“条件” 的不充分条件; 显然“条件” 是“条件” 的不必要条件, 故选D.2.(2014天津蓟县第二中学高三第一次模拟考试，3) “” 是“” 的( )[解析] 2. 当时，可得，所以“” 是“” 的充分条件；当时，可得时，或，推不出是, 故“” 是“” 的不必要条件，故选A.3. (2014山西太原高三模拟考试（一），5) 已知命题p: q:, 若p∨（ q）为假命题，则实数m的取值范围是( )A. （-∞，0）∪（2，B. [0,2]C. RD.+∞）[解析] 3. 由p∨（ q）为假命题可得命题p为假，命题q为真. 当命题p为假时，也即是对任意的方程都没有实数根，也即函数与函数没有公共点，由此可得；当命题q为真命题时，可得，解得，综上可得.4. (2014福州高中毕业班质量检测, 2) “实数” 是“复数(为虚数单位) 的模为” 的( )A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既不是充分条件又不是必要条件[解析] 4.因为，复数，其模为；若复数的模为，则或，故“实数” 是“复数(为虚数单位) 的模为” 的充分非必要条件.5. (2014湖北黄冈高三4月模拟考试，2) 下列命题，正确的是（）A. 存在，使得的否定是：不存在使得B. 存在，使得的否定是：任意均有C. 若，则的否命题是：若，则D. 若为假命题，则命题与必一真一假[解析] 5. 存在，使得的否定是：使得，故A错误；存在，使得的否定是：任意均有，故B错误；若为假命题，则命题与都是假命题，故D错误.正确的是C.6. (2014山东实验中学高三第一次模拟考试，4) 下列有关命题的说法正确的是（）A. 命题“若” 的否命题为：“若” ；B. “” 是“直线互相垂直” 的充要条件C. 命题“，使得” 的否定是：“，均有” ；D. 命题“已知x, y为一个三角形的两内角，若x=y，则” 的逆命题为真命题. [解析] 6. A. 否命题应同时否定条件合结论；B. 两直线垂直的充要条件是；C.该命题的否定是：“，均有；D. 由正弦定理可证此命题的逆命题为真命题.7. （2014广东汕头普通高考模拟考试试题，5）在下列命题①②是的充要条件③的展开式中的常数项为2④设随机变量～，若，则其中所有正确命题的序号是（）A. ①②③B. ①③④C. ①②④D. ②③④[解析] 7. ①显然正确；②应该是充分不必要条件；③展开式中的常数项为，正确；④.8. (2014北京东城高三第二学期教学检测，3) 设，则“” 是“直线与直线平行” 的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件[解析] 8. 直线∥，即或，从而“” 是“直线∥” 的充分不必要条件.9. (2014黑龙江哈尔滨第三中学第一次高考模拟考试，3) 若表示两个不同的平面，表示两条不同的直线，则的一个充分条件是（）A. B. C. D.[解析] 9.选项A、B、C都可能出现直线，故的一个充分条件是，.10. (2014重庆铜梁中学高三1月月考试题，4) 给出下列四个结论：①若命题，则；②“” 是“” 的充分而不必要条件；③命题“若，则方程有实数根” 的逆否命题为：“若方程没有实数根，则0” ；④若，则的最小值为.其中正确结论的个数为（）A.B. 2C. 3D. 41[解析] 10.若命题，则，故①正确；若，则或，所以“” 是“” 的必要不充分条件，故②错误；命题“若，则方程有实数根” 的逆否命题为：“若方程没有实数根，则0” ，故③正确；若，则，当且仅当时取等号，故③正确.故正确的命题为①③④.11.（2014山东潍坊高三3月模拟考试数学（理）试题，3）已知命题p、q，“为真” 是“p为假” 的（）(A) 充分不必要条件(B) 必要不充分条件(C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件[解析] 11. 为真，则p为假；p为假，则说明p或q中至少有一个为假，所以“为真” 是“p为假” 的充分不必要条件.12.（2014江西重点中学协作体高三第一次联考数学（理）试题，2）若集合，集合，则“” 是“” 的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件[解析] 12. 当m=3时，，所以，故“” 是“” 充分条件；当时，可得，解得m=±3，所以“” 是“” 不必要条件，故选A.13.（2014吉林实验中学高三年级第一次模拟，3）设为平面，为直线，则的一个充分条件是（）A．Ｂ．Ｃ．Ｄ．[解析] 13. 当时可得，又因为，所以可得，所以选项D是的一个充分条件.14.（2014湖北八校高三第二次联考数学（理）试题，3）．下列说法正确的是（）A．“” 是“” 的必要条件B．自然数的平方大于0C．“若都是偶数，则是偶数” 的否命题为真D．存在一个钝角三角形，它的三边长均为整数[解析] 14. 当a=－4，b=2满足，但不满足，故“” 是“”的不必要条件；0的平方等于0，故选项B说法错误；“若都是偶数，则是偶数” 的否命题为：若不都是偶数，则不是偶数，当a和b都是奇数时，其为假命题，故选项C说法错误；边长分别为3,4, 6的三角形为钝角三角形，故选项D的说法正确.15. (2014重庆五区高三第一次学生调研抽测，2) “” 是“” 的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件[解析] 15. 当时，，故是充分条件. 当时，所以，所以也是必要条件. 选C.16.(2014河南豫东豫北十所名校高中毕业班阶段性测试（四）数学（理）试题, 10) 已知数列为等比数列，则是的( )(A) 充分而不必要条件(B) 必要而不充分条件(C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件[解析] 16. 当可得，解得，则一定有，即，即p是q的充分条件；当时，可得，因为，可得，即，而由于q的符号未知，所以不能判断的符号，故p是q的不必要条件，故选A.17.(2014湖北武汉高三2月调研测试，7) 设a，b∈R，则“a＋b＝1” 是“a2＋b2＝1” 的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[解析] 17. 因为，所以，，，即：所以，即 . 所以是的充分条件.反过来，由，取，＝，所以，不是的必要条件. 故选A.18.(2014周宁、政和一中第四次联考，5) 下列选项中，说法正确的是（）A．命题“” 的否定是“”B．命题“为真” 是命题“为真” 的充分不必要条件C．命题“若，则” 是假命题D．命题“若，则” 的逆否命题为真命题[解析] 18. 命题“” 的否定是“，” ，故A错误；命题“为真” 是命题、至少有一个为真；命题“为真” 是命题、都真，故B错误；命题“若，则或，原命题为假命题，则逆否命题也为假命题. 故正确的是C.19. (2014湖南株洲高三教学质量检测（一），2) 下列有关命题正确的是（）A. “” 是“的必要不充分条件”B. 命题“使得” 的否定是：“均有”C. 命题“若，则” 的逆否命题为真命题D. 已知，则[解析] 19. 由，则成立，而由，则或6，故选项A错误；命题“使得” 的否定是：“均有” ，故选项B错误；已知，则, 故选项D错误；故正确的是C.20. (2014重庆七校联盟, 5) 下列说法错误的是（）A．命题“若，则” 的逆否命题是“若，则”B．“” 是“” 的充分不必要条件C．若为假命题, 则、均为假命题D．命题P: “, 使得”, 则[解析] 20. A, B, D均正确，对命题C, 是假命题，则、至少有一个为假命题，故选项C错误.21. (2014天津七校高三联考, 4) “” 是“函数在区间[-1,2]上存在零点” 的（）条件（A）充分不必要（B）必要不充分（C）充分必要（D）既不充分也不必要[解析] 21. 要函数在区间[-1,2]上存在零点，则，即，解得或，故“” 是“函数在区间[-1,2]上存在零点” 的充分不必要条件.22. (2014成都高中毕业班第一次诊断性检测，10) 已知和是定义在上的两个函数，则下列命题正确的的是（）（A）关于的方程恰有四个不相等的实数根的充要条件是（B）关于的方程恰有四个不相等的实数根的充要条件是（C）当时，对，，成立（D）若，，成立，则[解析] 22. 函数的图象如图所示，故函数的图象关于直线对称，即①正确；由图象知，关于的方程恰有四个不相等的实数根的充要条件是，故②正确；当时，，时，，时，，故时，不存在，使得成立，故③错误；时，，若，，成立，则，故④正确.故正确的命题是D.23. (2014兰州高三第一次诊断考试, 9) 下列五个命题中正确命题的个数是( )①对于命题，则，均有②是直线与直线互相垂直的充要条件③已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为(4,5) ，则回归直线方程为＝1.23x＋0.08④若实数，则满足的概率为⑤ 曲线与所围成图形的面积是A. 2B. 3C. 4D. 5[解析] 23. 对①，因为命题，则，均有，故①错误；对②，由于直线与直线垂直的充要条件是或0，故②错误；对③，设线性回归方程为，由于样本点的坐标满足方程，则，解得，回归直线方程为，故③正确；对④，有几何概型知，所求概率为，故④错误；对⑤，曲线与所围成图形的面积是，正确.故正确的是③⑤，共2个.24. (2014湖北黄冈高三期末考试) “” 是“函数在区间上单调递增” 的（）A. 充分必要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件[解析] 24.当时，，在上单调递增；令，，若函数在上单调递增，则或在上恒成立，即或在上恒成立，或.故“” 是函数在上单调递增的充要条件.25. (2014湖北黄冈高三期末考试) 命题，使；命题直线与圆相切. 则下列命题中真命题为（）A.B.C.D.[解析] 25. 命题的真假判断. 对命题，当时，成立，则命题为真；又圆心到直线的距离为圆的半径，则命题真，故为真.26. (2014北京东城高三12月教学质量调研) 对于具有相同定义域的函数和，若存在函数h（x）=kx+b（k，b为常数），对任给的正数，存在相应的，使得当且时，总有，则称直线为曲线和的“分渐近线”. 给出定义域均为D=的四组函数如下：①；②；③；④.其中，曲线和存在“分渐近线” 的是（）（A）①④（B）②③（C）②④（D）③④[解析] 26. 曲线y=f（x）和y=g（x）存在“分渐近线” 的充要条件是时，，对于①，，当时，令，由于，为增函数，不符合时，，①不存在；对于②，，，当且时，，存在分渐近线；对于③，，，当且时，函数与均单调递减，但函数的递减速度比快，当时，会越来越小，不会趋近于0，不存在分渐近线；对于④，因此存在分渐近线. 故存在分渐近线的是②④.27. (2014北京东城高三12月教学质量调研) 设向量，，则“” 是“” 的（）（A）充分但不必要条件（B）必要但不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件[解析] 27. 当，，，，；由，，即，解得，故向量，，则“” 是“” 的充分但不必要条件.28.(2014陕西宝鸡高三质量检测(一), 2) 设为向量，则是的（）A . 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也必要条件[解析] 28. 设向量的夹角为，若，则；若，则，从而，是的充分必要条件.答案和解析理数[答案] 1.D[解析] 1. 当是两条直线的夹角时, 可得, 不一定是第一象限角, 故“条件” 是“条件” 的不充分条件; 显然“条件” 是“条件” 的不必要条件, 故选D.[答案] 2. A[解析] 2. 当时，可得，所以“” 是“” 的充分条件；当时，可得时，或，推不出是, 故“” 是“” 的不必要条件，故选A.[答案] 3. B[解析] 3. 由p∨（ q）为假命题可得命题p为假，命题q为真. 当命题p为假时，也即是对任意的方程都没有实数根，也即函数与函数没有公共点，由此可得；当命题q为真命题时，可得，解得，综上可得.[答案] 4. A[解析] 4.因为，复数，其模为；若复数的模为，则或，故“实数” 是“复数(为虚数单位) 的模为” 的充分非必要条件.[答案] 5. C[解析] 5. 存在，使得的否定是：使得，故A错误；存在，使得的否定是：任意均有，故B错误；若为假命题，则命题与都是假命题，故D错误.正确的是C.[答案] 6.D[解析] 6. A. 否命题应同时否定条件合结论；B. 两直线垂直的充要条件是；C.该命题的否定是：“，均有；D. 由正弦定理可证此命题的逆命题为真命题.[答案] 7.B[解析] 7. ①显然正确；②应该是充分不必要条件；③展开式中的常数项为，正确；④.[答案] 8.A[解析] 8. 直线∥，即或，从而“” 是“直线∥” 的充分不必要条件.[答案] 9. D[解析] 9.选项A、B、C都可能出现直线，故的一个充分条件是，.[答案] 10.C[解析] 10.若命题，则，故①正确；若，则或，所以“” 是“” 的必要不充分条件，故②错误；命题“若，则方程有实数根” 的逆否命题为：“若方程没有实数根，则0” ，故③正确；若，则，当且仅当时取等号，故③正确.故正确的命题为①③④.[答案] 11. A[解析] 11. 为真，则p为假；p为假，则说明p或q中至少有一个为假，所以“为真” 是“p为假” 的充分不必要条件.[答案] 12. A[解析] 12. 当m=3时，，所以，故“” 是“” 充分条件；当时，可得，解得m=±3，所以“” 是“” 不必要条件，故选A.[答案] 13. D[解析] 13. 当时可得，又因为，所以可得，所以选项D是的一个充分条件.[答案] 14. D[解析] 14. 当a=－4，b=2满足，但不满足，故“” 是“”的不必要条件；0的平方等于0，故选项B说法错误；“若都是偶数，则是偶数” 的否命题为：若不都是偶数，则不是偶数，当a和b都是奇数时，其为假命题，故选项C说法错误；边长分别为3,4, 6的三角形为钝角三角形，故选项D的说法正确.[答案] 15. C[解析] 15. 当时，，故是充分条件. 当时，所以，所以也是必要条件. 选C.[答案] 16. A[解析] 16. 当可得，解得，则一定有，即，即p是q的充分条件；当时，可得，因为，可得，即，而由于q的符号未知，所以不能判断的符号，故p是q的不必要条件，故选A.[答案] 17. A[解析] 17. 因为，所以，，，即：所以，即 . 所以是的充分条件.反过来，由，取，＝，所以，不是的必要条件. 故选A.[答案] 18. C[解析] 18. 命题“” 的否定是“，” ，故A错误；命题“为真” 是命题、至少有一个为真；命题“为真” 是命题、都真，故B错误；命题“若，则或，原命题为假命题，则逆否命题也为假命题. 故正确的是C.[答案] 19. C[解析] 19. 由，则成立，而由，则或6，故选项A错误；命题“使得” 的否定是：“均有” ，故选项B错误；已知，则, 故选项D错误；故正确的是C.[答案] 20. C[解析] 20. A, B, D均正确，对命题C, 是假命题，则、至少有一个为假命题，故选项C错误.[答案] 21. A[解析] 21. 要函数在区间[-1,2]上存在零点，则，即，解得或，故“” 是“函数在区间[-1,2]上存在零点” 的充分不必要条件.[答案] 22. D[解析] 22. 函数的图象如图所示，故函数的图象关于直线对称，即①正确；由图象知，关于的方程恰有四个不相等的实数根的充要条件是，故②正确；当时，，时，，时，，故时，不存在，使得成立，故③错误；时，，若，，成立，则，故④正确.故正确的命题是D.[答案] 23. A[解析] 23. 对①，因为命题，则，均有，故①错误；对②，由于直线与直线垂直的充要条件是或0，故②错误；对③，设线性回归方程为，由于样本点的坐标满足方程，则，解得，回归直线方程为，故③正确；对④，有几何概型知，所求概率为，故④错误；对⑤，曲线与所围成图形的面积是，正确.故正确的是③⑤，共2个.[答案] 24. A[解析] 24.当时，，在上单调递增；令，，若函数在上单调递增，则或在上恒成立，即或在上恒成立，或.故“” 是函数在上单调递增的充要条件.[答案] 25. A[解析] 25. 命题的真假判断. 对命题，当时，成立，则命题为真；又圆心到直线的距离为圆的半径，则命题真，故为真.[答案] 26. C[解析] 26. 曲线y=f（x）和y=g（x）存在“分渐近线” 的充要条件是时，，对于①，，当时，令，由于，为增函数，不符合时，，①不存在；对于②，，，当且时，，存在分渐近线；对于③，，，当且时，函数与均单调递减，但函数的递减速度比快，当时，会越来越小，不会趋近于0，不存在分渐近线；对于④，因此存在分渐近线. 故存在分渐近线的是②④.[答案] 27. A[解析] 27. 当，，，，；由，，即，解得，故向量，，则“” 是“” 的充分但不必要条件.[答案] 28. C[解析] 28. 设向量的夹角为，若，则；若，则，从而，是的充分必要条件.。