多带FIR数字滤波器的频域设计

πL ( l/ N - k/ L) j2
1
N
l =0
1 - e H1 ( l) π( 1 - ej2 l/ N - k/ L)
( 2)
89
通信设备 令: m = H ( k) = lL - kN , 代入式 ( 2 ) 得 : LN
郑佳春 : 多带 FIR 数字滤波器的频域设计
( 2) 目标滤波器的模型
Abstract : FF T algorit hm realizatio n of FIR filter is int roduced. The calculation fo rmula of H ( k ) of FIR DF in f requency do main is deduced. According to t he technical index of t he p hysical application , taking t he multi2band FIR filter wit h linear p hase as an example to int roduce t he design in t he way of f requency sampling. The optimizing way of t he t ransition point is dis2 cussed in detail. A met hod to calculate o r search t he sampling value of t he boundary f requency is p ut forward. Through t he design wit h Matlab ,t he result shows t hat it can satisf y t he need of technical index. Keywords : FIR digital filter ; FF T ; sampling in f requency domain ;digital signal p rocessing
图2 优化前的频率响应
《现代电子技术》 2009 年第 7 期总第 294 期 由图 2 可见 ,滤波器的边界频率符合要求 ,但是 ,阻 带衰减仅达到 16 dB ,因此 ,必须进行优化 。
1. 3 优化设计 1. 3. 1 简易优化设计法
通信与信息技术 则均方误差为 :
π 1 2 ε ) - H (ω ) | 2 dω = | H d (ω π -π 2 为了编程计算 ,将上述算法离散化 ,得 :
方法 。 1. 2 滤波器的阶数和 H1 ( k) 确定方法 在设计一个滤波器之前 , 必须首先根据工程实际 的需要确定滤波器的技术指标 。数字滤波器常常被用 来实现选频操作 ,因此 , 指标的形式一般在频域中给出 幅度和相位响应 ,并且对于 FIR 滤波器的设计 , 相位响 应指标通常希望系统在通频带中具有线性相位 。确定 了技术指标后 , 就可以建立一个目标的数字滤波器模 型 。确定滤波器的阶数和 H1 ( k) 。 下面以一个实际例子来说明计算过程 。假设要设 计一个多带 FIR 线性相位数据滤波器的技术指标为 : 对模拟信号进行采样的周期 T = 01 000 1 s , 在 f p = [ 1 000 ,2 000 ,3 000 ] Hz 处的衰减小于 2 dB , 在 f r = [ 1 250 ,1 750 ,3 250 ] Hz 处的衰减大于 40 dB 。则 : ( 1) 滤波器的技术指标 滤波器的技术指标如下 : 通带截止频率 : ωp = Ωp T = 2 πf p T = [ 01 2 π ,01 4 π ,01 6 π] 阻带截止频率 : ωr = Ωr T = [ 01 25 π ,01 35 π ,01 65 π] ω = ωr - ωp = 01 05 π。 因此 ,过渡带 : Δ
H 1 ( k) ( H1 k ) 就 可 计 算 出 H ( k ) 。下 面 讨 论 其 确 定
以理想滤波器为目标滤波器进行设计 ,则幅度函数 采样点为 :
1 , k = 0 , 1 , …, 4 0, 1,
k = 5 ,6 ,7 k = 8 , 9 , …, 12 k = 13 , 14 , …, 27 k = 28 , 29 , …, 32 k = 33 , 34 , 35 k = 36 , 37 , 38 , 39 ( 8) ( 9) ( 7)
图1 目标滤波器的幅度模型
H ( k) =
0,
其他
( 3) 确定滤波器的阶数和 H1 ( k)
可见 ,当 L 为 N 的整数倍时只要通过对 H 1 ( k) 内 插 0 ,再进行比例放大 ,就可得到 H ( k) 。 ( 2) 假设滤波器具有线性相位特性 , 则 H1 ( k) 可用 幅度函数和相位函数的采样表示 ,记为 :
( 3)
考虑下面两种特殊情况 : ( 1) 当 L 为 N 的整数倍时 ,记为 :
L = iN , 其中 i 为大于 0 的正整数 ; m =il - k ; mL = k - il 为整数 ,由式 ( 3) 可得 : L L H 1 ( l) , l = int ( k/ i) N ( 4)
收稿日期 :2008211211 基金项目 : 福建省自然科学基金资助项目 (2006J 0410) ; 福建省科 技计划资助项目 (2008 H0032)
根据 FIR 滤波器频域采样法设计 , 如果滤波器的 类型和阶数 N 确定 , 可以在频域上确定 h ( n) 的 N 点
FF T ,用 H1 ( k) 表示 。因此 ,有 : 1 h ( n) = IFF T [ H1 ( k) ] = N
A r = 40 ; H p = 10^( - A p / 20 ) ; H r = 10^( - A r / 20) ;
《现代电子技术》 2009 年第 7 期总第 294 期
通信与信息技术
多带 FIR 数字滤波器的频域设计
郑佳春
( 集美大学 信息工程学院 福建 厦门 361021)
摘 要 : 介绍 FIR 滤波器的 FF T 快速算法实现方法 ,推导了 FIR 数字滤波器的频域直接计算 H ( k) 的计算公式 ,并进行 分析与讨论 。根据实际应用需要的滤波器的技术指标 ,以一个多带 FIR 线性相位数字滤波器为例进行设计 。详细讨论了过 渡点的优化设计方法 ,给出了边界频率点幅度搜索算法 ,通过用 Matlab 进行设计和性能分析 ,结果表明优化后的滤波器能够 满足指标要求 。 关键词 : FIR 数字滤波器 ; FF T ; 频域取样 ; 数字信号处理 中图分类号 : TN713 文献标识码 :B 文章编号 :10042373X ( 2009) 072089203
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ90
H1 k = 0 ,
- 1,
0,
- 1,
N - 1 θ πk = - 39 πk k = N 40 H1 ( k) = H1 k e
θ j k
( 4) 设计结果性能分析 根据内插公式 [ 2 ] 可求出所设计的滤波器的频率响 应 。这里 ,直接利用 Matlab 编程 [ 5 ,6 ] 分析得到的结果 如图 2 所示 。
采用理想滤波器模型作为所要设计的目标滤波器 模型 。根据指标要求 ,选用如图 1 所示的幅度模型 。
1
N
N- 1
l =0
∑
1 - e - j2 mL H 1 ( l) = π 1 - e - j2 m
1
π
1
N
N- 1
l =0
∑H
πmL ) j m( L - 1) sin ( ( l) e - π πm) sin (
∫
M- 1 k=0
由内插公式可知 ,频率采样滤波器的频响在采样点 上等于采样点的值 ,因此 ,在不增加阶数的情况下 ,可通 过修改边界频率点的采样值进行优化 。根据指标要求 : 通带衰减小于 A p = 2 dB ,阻带衰减大于 A r = 40 dB 。将 通带和阻带的边界采样点的值按式 ( 10) ,式 ( 11) 计算 : - A / 20 ( 10) H p = 10 p
N
( 5)
代入式 ( 3) 得 :
H ( k) =
1
N
N- 1
l =0
∑
H1 l e
-π j l ( 1 - L/ N)
e- j
-1 πkL L
πmL ) sin ( πm) sin (
求出边界频率采样点 k p = [ 4 , 8 , 12 ] 。
( 6)
从上面分析可见 , 只要确定滤波器的阶数 N 和
FIR 滤波器频域直接计算 H ( k) 的方法 。 1 FIR 滤波器的频域设计 1. 1 H ( k) 计算公式
随着信息时代和数字世界的到来 ,数字信号处理已 成为当今一门极其重要的学科和技术领域 。数字信号 处理在通信 、 语音 、 图像 、 自动控制 、 雷达 、 军事 、 航空航 天、 医疗和家用电器等众多领域得到了广泛的应用 。在 数字信号处理应用中 ,数字滤波器十分重要并已获得广 泛应用 。数字滤波器根据其冲激响应函数的时域特性 , 可分为两种 , 即无限长冲激响应 ( IIR) 滤波器和有限长 冲激响应 ( FIR) 滤波器 [ 1 ] 。IIR 滤波器的特征是具有无 限持续时间的单位脉冲响应 ; FIR 滤波器的单位脉冲响 应只能延续一定时间 ,它由于可以很方便地实现线性相 位特性和容易实现而在工程上得到广泛应用 。FIR 数 字滤波器的设计方法有多种 ,如 : 窗函数设计法 、 频率采 样法 、 最优设计法 ( 雷米兹法) 等 。鉴于现有的文献多数 都是仅介绍设计思想和方法 ,没有从实际应用和实现的 角度来考虑多带 FIR 滤波器的设计 。 FIR 滤波器的滤波运算 , 当输入序列是有限长时 ,
0 引 言
用 FF T 快速卷积进行计算只要进行 2 次 FF T , 1 次 IFF T就可完成线性卷积 ( 滤波) 计算 。对于无限长序列 可以采用重叠相加法或者重叠保留法将它化为有限长 序列卷积运算 [ 224 ] 。而 H ( k) 如果可以在滤波器设计时 直接获得 , 则只要 1 次 FF T ,1 次 IFF T 就可完成滤波 运算 ,因此称为 FIR 滤波器 FF T 快速算法 。下面讨论