第5节对角矩阵

二 矩阵的对角化 1．矩阵对角化的定义
定义 6’设 A∈ Pnn , A可看作n维线性空间 V的线性变换 / A关于某组 基的矩阵,若/A 可对角化,则称 A 在 P 上可对角化。
如
A


1 2
2 1
2 2
在任一数域P上可对角化。
2 2 1
2．矩阵可对角化的判别
定理 7’ A ∈ Pnn ,则 A 在 P 上可对角化的充要条件是 A 在 Pn 中有 n 个线性无关的特征向量。
定理 8 属于不同特征值的特征向量是线性无关的。
推论 1 设 / A L(V ), 若 / A的特征多项式 f / A 在数域P中有n个不同的根 。
即/A 有 n 个不同的特征值，那么/A 可对角化。 推论 2 在复数域 上的线性空间中,如果 线性变换/A 的特征多项式没有重
根,那/A 在某组基下的矩阵是对角矩阵．
V 的恒等变换．零变换都可以对角化。
例 2 设线性变换/A 在基 ε1 ,ε 2 , 3 下的矩阵是
1 2 2 A= 2 1 2
2 2 1 则 / A可以对角化。
2．线性变换可对角化的条件
定理 7 设/A 是 n 维线性空间 V 的一个线性变换,那么/A 可对角化的充 要条件是/A 有 n 个线性无关的特征向量。
§5对角矩阵
一、线性变换的对角化 1、线性变换对角化定义
定义 6 设 V 是数域 P 上 n 维线性空间，/A L(V ) ，若/A 在 V 的 某个基下的矩阵是对角矩阵，则称线性变换/A 可对角化．
例 1 设 V 是数域 P 上 n 维线性空间，/K 是由 P 中数 k 确定的数乘
变换,即 / K k ,则/K 可对角化。
习题 13 /A 是数域 P 上 n 维线性空间 V 的一个线性变换，证明：如果/A 在任意一组基下的矩阵都相同，那么/A 是数乘变换。
n
注意：若 A 相似于对角矩阵．则对角矩阵主对角线上的元素正是 A 的所有特征值。
例 3 设 R 上的矩阵 1 4 2
A 0 3 4 0 4 3
(1)证明 A 可对角化；
(2) 求可逆矩阵 T 使 T 1 AT为对角矩阵 ；
(3)求 A100 =?
习题 12 设 V 是数域 P 上 n 维线性空间，证明：V 的与全体线性变换可以 交换的线性变换是数乘变换.
定理 10 设 V 是数域 P 上的 n 维线性空间，/A∈L(V), 1, 2 ,, r
r
是/A 的全部不同的特征值，则/A 可对角化 dim Vi n 。 i 1 定理 11 设 V 是数域 P 上 n 维线性空间，/A∈L(V)，/A 可对角化．则 /A 相应的对角矩阵主对角线上元素除排列次序外是唯一确定的,它们正是 f/ A 全部的根(重根按重数计算)。
定 理 9 如 果 1, 2 ,, k 是 线 性 变 换 /A 的 不 同 的 特 征 值 ， 而
i1,i2 ,, iri 是属于特征值 i的线性无关的特征向量 , i 1,2,, k ， 那么向量组11,12 ,,1r1 ,, k1, k 2 ,, krk 也线性无关。
r
P 上可对角化 dim Vi n 。 i 1
定理 12 设 A∈ Pnn ，则 A 可对角化 A 相似于对角阵。即存在 P
上 n 阶可逆矩阵 T 使
1 0 0
T
1 AT


0
0
2

0
Βιβλιοθήκη 0 ， 其中i

P, i
1,2,, n
。
推论 1’ 设 A∈ Pnn ,若 A 在数域 P 上有 n 个不同的特征值，则 A 可对角化。
推论 2’ 设 A 是复矩阵,若 f A 在复数域上的根都是单根，则 A 可对角化。
定理 10’ 设 A∈ Pnn , 1, 2 ,, r 是 A 在 P 中全部不同的特征值,则 A 在