2.2 矩阵变换(PPT)
2.2矩阵的运算
2). 矩阵乘法不满足消去律
AB = AC ⇒ B = C
1 0 0 0 0 0 如 A= , B = 0 1 , C = 0 0 . AB = AC , 但B ≠ C 0 0
3).两个非零矩阵相乘的结果可能是零矩阵 3).两个非零矩阵相乘的结果可能是零矩阵 AB=0时 一般不能得出A 若 AB=0时,一般不能得出A、B中至少有一个为零矩阵的 结论. 结论.
b1 b2 例 3 设矩阵 A = (a1 , a 2 , L,a n ) , B = , 求AB，BA . M b n
解 A1×n Bn×1 = a1b1 + a2b2 + L anbn = ∑ ai bi
n
Bn×1 A1× n
b1a1 b2 a1 = M b a n 1
k =1 i =1 i =1 k =1 i =1
n
n
n
n
n
故 AB 与 BA 的主对角线上的元素之 和相等 .
例6 用矩阵方程表示下式线性方程组
a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + L + a2 n xn = b2 LLLLLLLLLLLLL am1 x1 + am1 x2 + L + amn xn = bm
(1)
( 3)
(λ µ ) A = λ ( µ A)
λ ( A + B) = λ A + λ B
矩阵相加与数乘矩阵合 起来 ,统称为矩阵的线性运算 . 统称为矩阵的线性运算
二 、矩阵与矩阵的乘法
矩阵及其应用ppt课件
线性方程组
• 根据矩阵乘法的定义，第三页中的线性方 程组可以表示成：
• Ax = y • 其中A是第五页中的系数矩阵，x是列向量
[x1, x2, ..., xn]，y是列向量[y1, y2, ..., ym]。 • 当n=m时，A是n阶方阵，如果A可逆，那么：
• x = A-1y
方阵的幂
• 已知n阶方阵A和正整数m，计算Am。其中n 不超过50，m不超过1000000。
方阵的幂（二）
• 已知n阶方阵A和正整数m，计算A1 + A2 + ... + Am。其中n不超过50，m不超过1000000。
路径计数
• 给定一个有向图，问从A点恰好经过k步 （允许多次经过同一条边）走到B点的方案 总数。图中顶点数不超过50，边数不超过 1000000。
线性递推式
已知x1, x2 ,...,xn的值和线性递推关系 xk a1xk1 a2xk2 ... an xkn , 其中k n, a1, a2,...,an是常数。对于任给的正整 数m，计算xm的值。（n不超过50，m 不超过1000000）
数乘矩阵
类似地，矩阵与数c相乘定义为cy1, ..., cym的系数所对应的矩阵：
a11 ... a1n ca11 ... ca1n c ... ... ... ... ... mn
矩阵乘法
设有如下两个方程组：
z1 a11 y1 ... a1m ym .................................. zk ak1 y1 ... akm ym 和 y1 b11x1 ... b1n xn ................................ ym bm1x1 ... bmnxn
矩阵与变换
一般地，对于平面上的任意一点（向量） ( x, y ), 若按照对应法则T，总能对应唯一的一个 平面点(向量） x, y ), 则称T 为一个变换，简记 （ 为 T： , y ) x, y )， (x （ 或 x x T： . y y
一般地，对于平面向量的变换T，如果变换 规则为 x x ax + by T： y , 坐标变换的形式 y cx + dy 那么，根据二阶矩阵与向量的乘法规则可以改写为 x x a b x T： y y 矩阵乘法的形式 y c d 的矩阵形式，反之亦然（a, b, c, d R ).
一般地，称形如M1,M2,M3,M4,M5这 样的矩阵为反射变换矩阵，对应的变换叫 做反射变换，其中（2）叫做中心反射， 其余叫轴反射.其中定直线叫做反射轴， 定点称为反射点.
M(l1+l2b) l1M+l2Mb 上式表明，在矩阵M的作用下，直线 l1+l2b 变成直线 l1M+l2Mb. 这种把直线变成直线的变换，通常叫做线 性变换。
切变变换
矩阵
1 k 0 1 把平面上的点P(x,
y)沿x轴方向
平移|ky|个单位: 当ky>0时，沿x轴正方向移动； 当ky<0时，沿x轴负方向移动； 当ky=0时，原地不动. 在此变换作用下，图形在x轴上的点是不动点。
像由矩阵
1 k 0 1 确定的变换通常叫做切变变换,
二阶单位矩阵一般记为E
1 M 垂直伸压变换矩阵： 0
0 1 2
2 N 0
0 1
将平面图形作沿y轴方向伸长或压缩,或作 沿x轴方向伸长或压缩的变换矩阵,通常称做沿 y轴或x轴的垂直伸压变换矩阵. 伸压变换：
2.1,2.2矩阵的初等变换与标准形
化成标准形。
从定理2可以看出，若A B, 则A与B有相同的标 准形.设A是n阶方阵，经初等变换后化成B，据行 列式的性质及初等变换的定义可知，当 | A | 0时
必有 | B | 0，当 | A | 0时必有 | B | 0，即初等变换 不改变矩阵的可逆性因此，对于 . n阶可逆方阵A， 它的标准形I 也可逆，故I 是n阶单位矩阵En；反之 若n阶方阵A的标准形I En，则A可逆，故我们又 有如下定理
T
思考题解答
答 相等.
因为对于任一实向量 x 0, 当Ax 0时,
必有AT Ax 0, 反之当AT Ax 0时, 有x T AT Ax 0
即
Ax Ax 0 Ax 0;
T
由此可知
T
Ax 0与AT Ax 0同解,
故 RA A R A.
1 2
9 r4 r3 4 3 r3 ( ) 4
1 0 0 0
1 2
1
1 1 1 3 0 0 1 0 0 0
4 2 B 3 0
一般地，对任何矩阵均可类似上例进行， 从而有以下定理 定理1 任何非零矩阵A (aij )mn可以只用
2.1初等变换与矩阵等价
一. 初等（行/列）变换
定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
ri rj 1 对调两行（对调i , j 两行, 记作ri rj）； ; kri 2 以数 k 0 乘以某一行的所有元素 r kr （第 i 行乘 k , 记作 ri k） i j 3 把某一行所有元素的k 倍加到另一行
1 4 1 1 2 r 5r 1 2 0 1 1 2 3 3 r 3r 2 0 5 5 3 6 4 0 3 3 4 3
人教B版高中数学选修4-2课件 1.2.2 矩阵变换课件2
1 0
0 1 2
x y
x y 2
T
:
x y
x
y
x y 2
1 0 2 0
0
2 , 0
1
2.2 几种常见的平面变换
4.反射变换矩阵是指将平面图形变为关于定直线或定 点对称的平面图形的变换矩阵.
1 0
0
1
x
y
y
x
x x x
T
:
y
1 1
0
0
x y
11
x0 0x
1 , 0
0 0 0, 1T
0x
0: y
x
y
x x
2.2 几种常见的平面变换
8.切变变换矩阵是指类似于对纸牌实施的变换矩阵.
设A（a,b）, A(a
m, b)，则T
:
a
b
a b
m
变换矩阵为
1 0
k 1
,
k
m b
2.2 几种常见的平面变换
θ的变换矩阵.其中θ称为旋转角,点O为旋转中心.
P(x, y) r
r P(x, y)
x r cos
y
r
sin
x r cos( ) r cos cos r sin sin x cos y sin
y
r
sin(
)
r
sin
cos
r
cos
sin
y
cos
x sin
cos sin
sin cos
x
y
x x
cos sin
y sin y cos
x y
2.2 几种常见的平面变换
cos sin
3-2.2齐次变换矩阵及其运算
T-1 =
式中的 “ . ” 表示向量的点积。
上海电机学院 机械学院
计算T矩阵的逆矩阵。
0.5 0.866 T 0 0 0 0.866 3 0 -0.5 5 2 1 0 5 0 0 1
0.5 0.866 0 (3 0.5 2 0.866 5 0) 0 0 1 (3 0 2 0 5 1) 1 T 0.866 0.5 0 (3 0.866 2 0.5 5 0) 0 0 1 0
根据变换方程，可以立即求出
B W S G W 1 T B T T TT TT S G
上海电机学院 机械学院
旋转变换通式
问题描述： 令 k kxi k y j kzk 是过原点的单位矢量，求绕k旋转
θ角的旋转矩阵R(k,θ)。
令
A B
R Rot(k , )
即R(k,θ)表示坐标系{B}相对于参考系{A}的方位。
0 sin 1 0 0 cos 0 0
0 0 0 1
上海电机学院 机械学院
如图所示单操作手臂，并且手腕 也具有一个旋转自由度。已知手 部的起始位姿矩阵为G1.
若手臂绕Z0轴旋转90°，则手臂 到达G2；若手臂不动，仅手部绕 手腕Z1轴转90°，则手部到达 G3.写出手部坐标系G2、G3表达 式。
T
W Rot(Y ,90)Rot( Z ,90)U
0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 7 3 0 0 2 1 1
B B C p C T p
A
B A B C p A T p T p B BT C
《矩阵的初等变换》课件
《矩阵的初等变换》PPT 课件
矩阵的初等变换，简要介绍了初等行变换、初等列变换、矩阵的行等价与列 等价、初等矩阵的定义与性质、矩阵的初等变换与线性方程组、应用举例： 高斯消元法，最后总结结论与要点。
初等行变换
1
加倍某行
将某行的所有元素乘以非零数k.
2
行交换
交换两行的位置.
3
行加减
将一行的倍数加到另一行或将一行的倍数加到另一行的倍数上.
2 性质
初等矩阵的逆矩阵仍是初等矩阵，初等矩阵 的乘积仍是初等矩阵.
矩阵的初等变换与线性方程组系数矩阵可以通过矩
增广矩阵
2
阵的初等变换进行简化.
线性方程组对应的增广矩阵可以通过矩
阵的初等变换进行简化.
3
解的表示
矩阵的初等变换可以标记线性方程组的 解的个数和性质.
应用举例：高斯消元法
步骤
通过一系列初等变换将线性方程组化为阶梯形或简 化阶梯形，进而求解方程组的解.
示例
通过高斯消元法解决实际问题，如计算机图形学中 的求交问题.
结论及要点
结论
矩阵的初等变换能够简化矩阵的形式，标记线性方程组的性质和解的个数.
要点
掌握初等行变换和初等列变换的定义、性质和应用，理解矩阵的初等变换与线性方程组的关 系.
初等列变换
加倍某列
将某列的所有元素乘以非零数k.
列交换
交换两列的位置.
列加减
将一列的倍数加到另一列或将一列的倍数加到另一列的倍数上.
矩阵的行等价与列等价
行等价
两个矩阵之间可以通过一系列初等行变换互相转化.
列等价
两个矩阵之间可以通过一系列初等列变换互相转化.
初等矩阵的定义与性质
高中数学选修4-2矩阵与变换ppt版
a b x bx ax＋by ＋ ＝ ，这是矩阵 与向量 的乘 y d y cx＋dy c d ＋
5．线性变换的基本性质 ． 性质 1.设 A 是一个二阶矩阵，α，β 是平面上的任意两个向 设 是一个二阶矩阵， ， 是任意实数， 量，λ 是任意实数，则 ①A(λα)＝λAα. ＝
理科
│知识梳理
a A＝ ＝ c x b ＝ ，a＝y ，规定二阶矩阵 A 与向量 a 的乘积为 d
设
ax＋by ＋ 向量 ，记为 cx＋dy ＋
Aa
a 或 c
bx ， d y
即 法．
a Aa＝ ＝ c
理科
│要点探究
【点评】 要理解二阶矩阵变换的定义，熟悉五种常 点评】 要理解二阶矩阵变换的定义， 见的矩阵变换，明确矩阵变换的特点． 见的矩阵变换，明确矩阵变换的特点．
理科
│要点探究
变式题 已知变换 T 把平面上的点 A(2,0)，B(3,1)分 ， 分 别变换成点 A′(2,1)，B′(3,2)，试求变换 T 对应的矩阵 M. ， ，
理科
│二阶矩阵与平面图形的变换
理科
│知识梳理
知识梳理
1．二阶矩阵的定义 ． (1)由 4 个数 a，b，c，d 由 ，，， 矩阵． 矩阵． (2)元素全为 0 元素全为
1 矩阵 0 0 的二阶矩阵 0 a 排成的正方形数表 c
b 称为二阶 d
0 0 . 称为零矩阵， 称为零矩阵，简记为 0
0 E 称为二阶单位矩阵， 称为二阶单位矩阵，记为 2 . 1
理科
│知识梳理
2．几种特殊线性变换 ． (1)旋转变换 旋转变换 直线坐标系 xOy 内的每个点绕原点 O 按逆时针方向旋 转 α 角的旋转变换的坐标变换公式是
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
专题二 MATLAB矩阵处理
2.2 矩阵变换
☐对角阵
☐三角阵
☐矩阵的转置
☐矩阵的旋转
☐矩阵的翻转
☐矩阵求逆
1．对角阵
☐对角阵：只有对角线上有非零元素的矩阵。
☐数量矩阵：对角线上的元素相等的对角矩阵。
☐单位矩阵：对角线上的元素都为1的对角矩阵。
(1) 提取矩阵的对角线元素
☐diag(A)：提取矩阵A主对角线元素，产生一个列向量。
☐diag(A,k)：提取矩阵A第k条对角线的元素，产生一个列向量。
矩阵的对角线：与主对角线平
行，往上为第1条、第2条、一
直到第n条对角线，往下为第-
1条、-2条、一直到-n条对角
线。
主对角线为第0条对角线。
(2) 构造对角阵
☐diag(V)：以向量 V为主对角线元素，产生对角矩阵。
☐diag(V,k)：以向量 V为第k条对角线元素，产生对角矩阵。
例1 先建立5×5矩阵A ，然后将A 的第一行元素乘以1，第二行乘以2，…，第五行乘以5。
用一个对角阵左乘一个矩阵时，相当于用对角阵对角线的第1个元素乘以该矩阵的第一行，用对角阵对角线的第2个元素乘以该矩阵
的第二行，…，依此类推。
>> A=[7,0,1,0,5;3,5,7,4,1;4,0,3,0,2;1,1,9,2,3;1,8,5,2,9] A =
7 0 1 0 5 3 5 7 4 1
4 0 3 0 2
1 1 9
2
3 1 8 5 2 9
>> D=diag(1:5);
>> D*A
ans =
7 0 1 0 5
6 10 14 8 2 12 0 9 0 6 4 4 36 8 12 5 40 25 10 45
要将A 的各列元素分别乘以对角阵的对角线元素，如何实现？
要将A 的各列元素分别乘以对角阵的对角线元素，可以用一个对角阵右乘矩阵A 。
>> A=[7,0,1,0,5;3,5,7,4,1;4,0,3,0,2;1,1,9,2,3;1,8,5,2,9] A =
7 0 1 0 5 3 5 7 4 1 4 0 3 0 2 1 1 9 2 3 1 8 5 2 9 >> D=diag(1:5); >> A*D ans =
7 0 3 0 25 3 10 21 16 5 4 0 9 0 10 1 2 27 8 15 1 16 15 8 45
2．三角阵
☐上三角阵：矩阵的对角线以下的元素全为零的矩阵。
☐下三角阵：对角线以上的元素全为零的矩阵。
（1）上三角矩阵
☐triu(A)：提取矩阵A的主对角线及以上的元素。
☐triu(A,k)：提取矩阵A的第k条对角线及以上的元素。
>> triu(ones(4),-1)
ans =
1 1 1 1
1 1 1 1
0 1 1 1
0 0 1 1
(2) 下三角矩阵
在MATLAB中，提取矩阵A的下三角矩阵的函数是tril，其用法与triu函数完全相同。
☐转置运算符是小数点后面接单引号（.'）。
☐
共轭转置，其运算符是单引号（'），它在转置的基础上还要取每个数的复共轭。
3．矩阵的转置
●
矩阵的转置：把源矩阵的第一行变成目标矩阵的第一列，第二行变成第二列，…，依此类推。
●如果矩阵的元素是实数，那么转置和共轭转置的结果是一样的。
>> A=[1,3;3+4i,1-2i] A =
1.0000 + 0.0000i 3.0000 + 0.0000i 3.0000 + 4.0000i 1.0000 -
2.0000i >> A.' ans =
1.0000 + 0.0000i 3.0000 + 4.0000i 3.0000 + 0.0000i 1.0000 -
2.0000i >> A' ans =
1.0000 + 0.0000i 3.0000 - 4.0000i 3.0000 + 0.0000i 1.0000 +
2.0000i
4．矩阵的旋转
rot90(A,k)：将矩阵A逆时针方向旋转90º的k倍，当k为1时可省略。
>> A=[1,3,2;-3,2,1;4,1,2]
A =
1 3 2
-3 2 1
4 1 2
>> rot90(A)
ans =
2 1 2
3 2 1
1 -3 4
>> rot90(A,2)
ans =
2 1 4
1 2 -3
2 3 1
5．矩阵的翻转
对矩阵实施左右翻转是将原矩阵的第一列和最后一列调换，第二列和倒数第二列调换，…，依此类推。
☐fliplr(A)：对矩阵A实施左右翻转
☐flipud(A)：对矩阵A实施上下翻转。
>> A=magic(5); >> D1=diag(A);
>> sum(D1)
ans =
65
>> B=flipud(A); >> D2=diag(B); >> sum(D2)
ans =
65 ☐对矩阵A实施上下翻转得到矩阵B，这样A的副对角线就移到了B的主对角线
☐5阶魔方阵的主对角线、副对角线元素之和相等，都为65。
例2 验证魔方阵的主对角线、副对角线元素之和相等。
6．矩阵的求逆
☐对于一个方阵A，如果存在一个与其同阶的方阵B，使得AB=BA=I (I为单位矩阵)，则称B为A的逆矩阵，当然，A也是B的逆矩阵。
☐inv(A)：求方阵A的逆矩阵。
例3 用求逆矩阵的方法解线性方程组。
⎪⎩
⎪⎨⎧=++-=++=++62782
94532z y x z y x z y x 在线性方程组Ax=b 两边各左乘A -1，得x=A -1b 。
>> A=[1,2,3;1,4,9;1,8,27]; >> b=[5;-2;6]; >> x=inv(A)*b x = 23.0000 -14.5000 3.6667 >> x=A\b x = 23.0000 -14.5000 3.6667。