线性代数矩阵的初等变换与初等矩阵32页PPT
合集下载
《线性代数》3.2矩阵的初等变换与初等矩阵
r1 r3 1 0 r2 r3 0 1 再r3 2 0 0 2 A 4 1 3
0 0 1
1 2 1
2 1 1 4 2 1 1 1 1 3 2 1 1 1 2
x1 BE3 1, 2 y1 x2 y2
x2 y2
0 1 0 x3 1 0 0 y3 0 0 1
x1 x3 y1 y3
1 3 0 a1 a2 E3 1, 2 3 A 0 1 0 b1 b2 0 0 1 c c 1 2 a1 3b1 a2 3b2 b1 b2 c c 1 2
ri krj ci kc j
初等行变换和初等列变换统称为初等变换.
2.等价 定义3.2.2
若矩阵A 经过有限次的初等行变换变成 B，
r 则称矩阵A与矩阵B 行等价，记为 A B
若矩阵 A 经过有限次的初等列变换变成B，
则称矩阵A与矩阵B 列等价，记为 A
c
B
若矩阵 A经过有限次的初等变换变成B， 则称矩阵A与矩阵B 等价，记为 A B
ET i, j E i, j ；ET i k E i k ； E i j k E j i k .
T
定理3.2.1 对于一个m×n 矩阵 A进行一次初等行变换， 相当于在A的左边乘以相应的 m阶初等矩阵；对A施行 一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的 n阶
初等矩阵. 验证 设初等矩阵为三阶的.
0 1 0 E3 1, 2 1 0 0 0 0 1 x1 B y1
同济大学线性代数课件__第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
0 0 0
1 0 0
1 0 0
1 2 0
0 6 0
B4
2020/12/12
12
1
rrr123rr1223
0 0 0
0 1 0 0
1 1
0 0
0 0 1 0
4
3 3 0
B5
行最简形
x1 x2
x3 x3
4 3
x4 3
令 x3 c
x1 c 4
x2 x3
c c
3
x4 3
3x2 3x3 4x4 3, ④
2020/12/12
(B1 )
(B2 )
3
② 1
x1
③52②
④3②
x2 2x3 x2 x3
x4 x4 2 x4
4, ① 0, ② 6, ③
x4 3.④
x1 x2 2x3 x4 4, ①
④ 12③
x2 x3 x4 0, ② 2x4 6, ③
2
用消元法
x1 x2 2x3 x4 4, ①
(1)
①③ 12② 22xx11
x2 3x2
x3 x4 2, ② x3 x4 2, ③
3x1 6x2 9x3 7 x4 9, ④
x1 x2 2x3 x4 4, ①
②③
③2①
④3①
2x2 2x3 2x4 0, ② 5x2 5x3 3x4 6, ③
1
1
01
第i行
1
E(i, j)
1 10
第
j
行
1
1
2020/12/12
17
1
1
E(i(k))
k
第i 行
1
西北工业大学《线性代数》课件-第三章 矩阵的初等变换
1 0 0 0
1 0 0 0
c2
1 4
1
1
0
0
c2 c1
0
1
0 0
3 2 0 0
1 2 0 0
列 最 简 形
定理秩3.为3 r的 矩阵m A，n 经过有限次初等变
换，总可化为如下等价标准形
O(
Er
mr
)r
Or(nr ) O(mr )(nr
)
mn
即有
A
Er O
O O
推论1 设A是n阶方阵，A满秩 A En
24
x1 x1
x2 2 x2
3x3 5x3
1 4
① ②
x1
x3 3 ③
②
2
①
2
x1
③
1①
2
x2
4x2
1 2
x2
3x3 1
x3 2
1 2
x3
5 2
①′ ②′ ③′
2 x1 x2 3x3 1 ①″
③'
1 8
②'
4 x2 x3 2 ②″
3 8
x3
9 4
③″
x1 x2
则称r为A的秩. 记做rank A r，或者 r(A) r.
规定：零矩阵的秩为0,即 rankO 0 .
➢ 矩阵秩的含义 A的所有r＋1阶子式都为0
1 1 2
A
2
2
4
3
6
DAr的2 所?有r＋2阶子式也都为0 1 1 2 3
A的所有大于r＋2阶的子式也都为0
数r=rankA是矩阵A中子式不为0子式的最高阶数
0 0 1 1 3
A有一个三阶子式
线性代数课件 矩阵的初等变换
第i列
第 j列
11
(2) 以数 k 0 乘某行或某列，得初等倍乘矩阵。
以数k 0乘单位矩阵的第i行( ri k )，得初等 矩阵E ( i ( k )).
1 1 E ( i ( k )) k 1 1
标准形矩阵
特点：左上角为一个单 位矩阵,其他位置上的元素全 都为 0 .
9
二、初等矩阵
矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应 用广泛. 定义 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的方 阵称为初等矩阵. 1 0 0 r 4r 1 0 4 1 3 例如 E 0 1 0 ~ 0 1 0 0 0 1 0 0 1 三种初等变换对应着三种初等方阵. 1. 对调两行或两列； 2. 以数 k 0 乘某行或某列； 3. 以数 k 乘某行（列）加到另一行（列）上去．
3
定义3 如果矩阵 A 经有限次初等变换变成 矩阵 B， 就称矩阵 A 与 B 等价，记作A ~ B．
等价关系的性质：
（1）自反性 A A；
（2）对称性 若 A B , 则 B A; （3）传递性 若 A B, B C, 则 A C.
4
行阶梯形矩阵：
特点： （1）可划出一 条阶梯线，线的 下方全为零； （2）每个台阶 只有一行，
对应的元素上去（第 j 行的 k 倍加到第 i 定义矩阵的初等列变换(所用记号是 把“r”换成“c”)．
定义2 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为 初等变换．
初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型 相同．
ri rj 逆变换 ri rj ; 1 ri k 逆变换 ri ( ) 或 ri k; k ri krj 逆变换 ri ( k )rj 或 ri krj .
《矩阵的初等变换》课件
《矩阵的初等变换》PPT 课件
矩阵的初等变换，简要介绍了初等行变换、初等列变换、矩阵的行等价与列 等价、初等矩阵的定义与性质、矩阵的初等变换与线性方程组、应用举例： 高斯消元法，最后总结结论与要点。
初等行变换
1
加倍某行
将某行的所有元素乘以非零数k.
2
行交换
交换两行的位置.
3
行加减
将一行的倍数加到另一行或将一行的倍数加到另一行的倍数上.
2 性质
初等矩阵的逆矩阵仍是初等矩阵，初等矩阵 的乘积仍是初等矩阵.
矩阵的初等变换与线性方程组系数矩阵可以通过矩
增广矩阵
2
阵的初等变换进行简化.
线性方程组对应的增广矩阵可以通过矩
阵的初等变换进行简化.
3
解的表示
矩阵的初等变换可以标记线性方程组的 解的个数和性质.
应用举例：高斯消元法
步骤
通过一系列初等变换将线性方程组化为阶梯形或简 化阶梯形，进而求解方程组的解.
示例
通过高斯消元法解决实际问题，如计算机图形学中 的求交问题.
结论及要点
结论
矩阵的初等变换能够简化矩阵的形式，标记线性方程组的性质和解的个数.
要点
掌握初等行变换和初等列变换的定义、性质和应用，理解矩阵的初等变换与线性方程组的关 系.
初等列变换
加倍某列
将某列的所有元素乘以非零数k.
列交换
交换两列的位置.
列加减
将一列的倍数加到另一列或将一列的倍数加到另一列的倍数上.
矩阵的行等价与列等价
行等价
两个矩阵之间可以通过一系列初等行变换互相转化.
列等价
两个矩阵之间可以通过一系列初等列变换互相转化.
初等矩阵的定义与性质
线性代数课件-05矩阵的初等变换与初等矩阵
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
练习题与答案
题目
设矩阵$A = begin{bmatrix} -2 & -3 -4 & -6 end{bmatrix}$，求$A^{-1}$。
答案
首先，对矩阵$A$进行初等行变换，将第一 行乘以-2加到第二行，得到矩阵$B = begin{bmatrix} -2 & -3 0 & -3 end{bmatrix}$。然后，对矩阵$B$进行初 等列变换，将第一列乘以-3加到第二列，得 到单位矩阵$I = begin{bmatrix} -2 & -3 0 & 1 end{bmatrix}$。因此，矩阵$A^{-1} = begin{bmatrix} -2 & -3 0 & 1 end{bmatrix}$。
具体操作为将第j列的每一个 元素都乘以k。
数学表达为$A_{.j} times k$ 。
用常数乘以矩阵的每一个元素
将矩阵的每一个元素都乘以常数k，记作$k times A$。 具体操作为将矩阵的每一个元素都乘以k。 数学表达为$k times A_{ij}$。
02 初等矩阵
单位矩阵
定义
单位矩阵是n阶方阵，其主对角线上的元素都是1，其余元素都是0。记作I 或E。
练习题与答案
题目
设矩阵$A = begin{bmatrix} 2 & -3 4 & -6 end{bmatrix}$，求$A^{-1}$。
VS
答案
首先，对矩阵$A$进行初等行变换，将第 二行乘以-2加到第一行，得到矩阵$B = begin{bmatrix} -2 & 3 4 & -6 end{bmatrix}$。然后，对矩阵$B$进行 初等列变换，将第一列乘以-4加到第二列 ，得到单位矩阵$I = begin{bmatrix} -2 & 3 0 & -6 end{bmatrix}$。因此，矩 阵$A^{-1} = begin{bmatrix} -2 & 3 0 & -6 end{bmatrix}$。
大学课程大一数学线性代数上册7.矩阵的初等变换课件
aMin caMi1
cai 2 M
L
amn am1 am2 L
类似可证 AEi (c) 相当于给 A 的第 i 列乘以非零数 c:
a1n
M
cain M
amn
8
第i列
第i行
1
O
1
k
O
1
O
第j列
a11 a12 L
M
M
ai1 M
ai 2 M
L
a
j1
aj2
L
M M
1 am1 am2 L
第i列 第j列
或看作是将 I 的第 j 列 的 k 倍加到第 i 列.
6
3) 交换单位矩阵 E 的第 i 行与第 j 行(或交换 E 的第 i 列 与第 j 列):
1 Ei, j
1 0 1
1
第i列
1
1
0
1
1
第j列
第i行 第j行
7
➢ 如果矩阵 A 经过一次初等变换变为 B, 那么 A 与 B 之间 究竟有何种关系?
1
Ei, j ()1 Ei, j ().
1
1
第i行
第j行
第j列
1
14
1 Ei, j
a11 a12
a11 a12
例如 a21
a22
r2
a21
a22
,
a31 a32
a31 a32
消法变换：将一行的 倍加到另一行
ri+rj rj
a11 a12
a11 a31 a12 a32
例如
a21
a22
r3 r1
a21
a22
线性代数：矩阵的初等变换和初等矩阵
a12 3a22
a13 3a23
a11 a21
a12 a22
a13 a23
2 0 0
0 1 0
0 0 1
2a11 2a12
a12 a22
a13 a23
10
a11 a21
a12 a22
a13 a23
c1 2
2a11 2a12
a13 a23
a12 a22
3、以数k 0乘某行(列)加到另一行(列)上去
矩阵的初等变换和 初等矩阵
1
一、矩阵的初等变换初等矩阵
定义 下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
1 对调两行（对调i, j两行,记作ri rj）； 2 以数 k 0 乘以某一行的所有元素;
（第 i 行乘 k,记作 ri k）
3 把某一行所有元素的k 倍加到另一行
对应的元素上去（第 j 行的 k 倍加到第 i 行上
相当于对矩阵 A 施行第一种初等列变换： 把 A 的第 i 列与第 j 列对调(ci c j ).
7
2、以数 k 0 乘某行或某列
以数k 0乘单位矩阵的第i行(ri k)，得初等 矩阵E (i (k )).
1
1
E(i(k))
k
第
i
行
1
1
8
以 Em (i(k)) 左乘矩阵A，
25
三、初等变换法求逆矩阵
当A可逆时，由推论4，A P1P2 Pl，有 Pl1Pl11P11 A E, 及 Pl1Pl11P11E A1,
Pl1Pl11P11 A E
Pl1Pl11P11 A Pl1Pl11P11E E A1
即对 n 2n 矩阵 ( A E) 施行初等行变换， 当把 A 变成 E 时，原来的 E 就变成 A1.
线性代数课件第三章
的元素都为零, 则称这个矩阵为标准形矩阵.
定理 任何矩阵都可经过单纯的初等行变换化为行
最简形矩阵. 任何矩阵都可经过初等变换化为标准形矩 阵.
下面我们还是通过例子来说明该定理.
单击这里开始
从上面的例子可见, 任何矩阵经单纯的初等行变换 必能化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵, 但不一定能化 成标准形矩阵, 如果再使用初等列变换, 则一定能化成 标准形矩阵. 将矩阵化为行阶梯形矩阵的方法不是唯一 的, 所得结果也不唯一. 但一个矩阵的标准形是唯一的, 这反映了矩阵的另一个属性, 即矩阵的秩的概念.
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
第一节 矩阵的初等变换 第二节 矩阵的秩 第三节 线性方程组的解 知识要点 释疑解难 习题课
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
本章先引进矩阵的初等变换, 建立矩阵的秩的概念; 然后利用矩阵的秩讨论齐次线性方程组有非零解的充要 条件和非齐次线性方程组有解的充要条件, 并介绍用初 等变换解线性方程组的方法.
(i) 对调两行(对调 i, j 两行, 记作 ri rj ); (ii) 以数 k 0 乘某一行中的所有元素
(第 i 行乘 k , 记作 ri k ); (iii) 把某一行所有元素的 k 倍加到另一行对应的元素 上去(第 j 行的 k 倍加到第 i 行上,记作 ri + krj).
把定义中的“行”换成“列”,即得矩阵的初等列变 定义换. 的矩阵的初等行变换与初等列变换, 统称初等变换.
①
①-② ②-③
x2 x3 3, x4 3,
② ③
(B5)
0 0. ④
至此消元结束, 且得到 (1) 的同解方程组 (B5), (B5) 是方程组 (1) 的所有同解方程组中最简单的一个, 其中
定理 任何矩阵都可经过单纯的初等行变换化为行
最简形矩阵. 任何矩阵都可经过初等变换化为标准形矩 阵.
下面我们还是通过例子来说明该定理.
单击这里开始
从上面的例子可见, 任何矩阵经单纯的初等行变换 必能化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵, 但不一定能化 成标准形矩阵, 如果再使用初等列变换, 则一定能化成 标准形矩阵. 将矩阵化为行阶梯形矩阵的方法不是唯一 的, 所得结果也不唯一. 但一个矩阵的标准形是唯一的, 这反映了矩阵的另一个属性, 即矩阵的秩的概念.
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
第一节 矩阵的初等变换 第二节 矩阵的秩 第三节 线性方程组的解 知识要点 释疑解难 习题课
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
本章先引进矩阵的初等变换, 建立矩阵的秩的概念; 然后利用矩阵的秩讨论齐次线性方程组有非零解的充要 条件和非齐次线性方程组有解的充要条件, 并介绍用初 等变换解线性方程组的方法.
(i) 对调两行(对调 i, j 两行, 记作 ri rj ); (ii) 以数 k 0 乘某一行中的所有元素
(第 i 行乘 k , 记作 ri k ); (iii) 把某一行所有元素的 k 倍加到另一行对应的元素 上去(第 j 行的 k 倍加到第 i 行上,记作 ri + krj).
把定义中的“行”换成“列”,即得矩阵的初等列变 定义换. 的矩阵的初等行变换与初等列变换, 统称初等变换.
①
①-② ②-③
x2 x3 3, x4 3,
② ③
(B5)
0 0. ④
至此消元结束, 且得到 (1) 的同解方程组 (B5), (B5) 是方程组 (1) 的所有同解方程组中最简单的一个, 其中
线性代数课件-05矩阵的初等变换与初等矩阵
伴随矩阵法
利用伴随矩阵的定义和性质，通 过计算伴随矩阵的元素，得到逆 矩阵的元素。
行列式计算
行列式定义
对于一个n阶方阵A，其行列式记 为|A|，定义为所有取自不同行不 同列的元素乘积的代数和。
初等行变换法
通过初等行变换将矩阵A化为阶梯 形矩阵，同时记录下每一步的变 换，最后得到的行列式即为所求 。
消元法
利用初等行变换将增广矩阵化为阶梯 形矩阵的过程，实际上是消元的过程 ，通过消元可以逐步求解线性方程组 。
求逆矩阵
逆矩阵定义
对于一个非奇异矩阵A，其逆矩阵 A^(-1)满足AA^(-1)=E，其中E为 单位矩阵。
初等行变换法
通过初等行变换将矩阵A化为单位 矩阵，同时记录下每一步的变换 ，最后得到的逆矩阵即为所求。
代数余子式
行列式中的每一项可以表示为对 应元素的代数余子式的乘积，代 数余子式是去掉某一元素所在的 行和列后得到的行列式的值乘以(1)^(i+j)，其中i和j分别为该元素 所在的行号和列号。
04
矩阵的初等变换与初等矩阵 的性质
初等矩阵的逆矩阵
定义
如果存在一个矩阵A，使得$AB=BA=I$， 则称A是B的逆矩阵，记作$A=B^{-1}$。
性质
如果$A$是可逆矩阵，则$A^{-1}$也是可逆的，且 $(A^{-1})^{-1}=A$。
计算方法
通过高斯消元法或LU分解等方法计算逆矩阵 。
初等变换的性质
01
交换两行（列）
如果矩阵A经过交换两行（列） 后得到矩阵B，则$det(A)=det(B)$。
02
某行（列）乘以常 数k
如果矩阵A经过某行（列）乘以 常数k后得到矩阵B，则 $det(A)=k*det(B)$。