矩阵的初等行变换与初等矩阵
矩阵的初等变换与初等矩阵
§2.2 矩阵的初等变换与初等矩阵1．矩阵的初等变换定义2.1 下列三种变换称为矩阵的初等列变换： （1）交换矩阵的第,i j 列，用i j c c ↔记之； （2）用非零数k 乘矩阵的第i 列，用i kc 记之；（3）把矩阵的第i 列的k 倍加到第j 列，用j i c kc +记之。
矩阵的初等行变换与列变换，统称为矩阵的初等变换。
如果矩阵A 经过有限次初等(行，列)变换，化为矩阵B ，就称矩阵A 与B (行，列)等价，记作~A B 。
矩阵的等价具有以下性质： （1）反身性 ~A A ；（2）对称性 如果~A B ，则~B A ；（3）传递性 如果~A B ，~B C ，则~A C 。
利用初等行变换，将方程组的增广矩阵化为行最简形，从而得出方程组的解。
可见，讨论矩阵的某种结构简单、而形式特定的等价矩阵，在理论和实际应用上都是必要而有价值的。
对矩阵的行最简形再施行初等列变换，可得到一种结构最为简单的形式。
以§A 为例，矩阵A 的行最简形为11610039210103910001300000⎛⎫⎪⎪⎪-⎪ ⎪- ⎪⎪⎝⎭，再经初等列变换344151425253116211,,,,,39393c c c c c c c c c c c c ↔---++化为10000010000010000000⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭F 。
称矩阵F 为矩阵A 的等价标准形。
定理 2.1 矩阵()ij m n a ⨯=A 经过有限次初等变换可化为如下的等价标准形：()()()()rr n r m r r m r n r ⨯--⨯-⨯-⎛⎫=⎪⎝⎭I O F O O ，其中下方及右边的零行，零列可能空缺。
由行列式的性质可知，行列式不为零的方阵，其等价矩阵的行列式也不为零。
由此可得以下结论：可逆矩阵的等价矩阵也为可逆矩阵；可逆矩阵的行最简形就是等价标准形，且一定是单位矩阵。
2．初等矩阵定义2.2 由单位矩阵经一次初等变换而得的矩阵称为初等矩阵。
矩阵的初等行变换与初等矩阵
阵A 阵 的
初等行变换 是 的
下
例题讲解
0 2 0 1 0 0 例1．运用初等行变换将矩阵 A = ． 转化成单位矩阵 3 0 1 对换变换
解： 0 2 0 1 0 1 0 0 1 ( 2 )× )× (1 ) ↔ ( 2 ) 1 0 0 → 0 2 0 2 → 0 1 I 3 0 3 0 1 3 0 1 倍加变换 倍乘变换 1 0 0 ( 3 ) − 3× (1 ) 0 1 0 → 0 0 1
1 0 0 2 0 初等行变换 0 1 0 4 0 → 0 0 1 3 1 − 2
−1 1 −2 1 1 1 − 2
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课堂小结
1．三种初等行变换 2．三类初等矩阵 3. 使用初等行变换求矩阵的逆
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作业
）（3）（ 书P87 1（1）（ ）（ ） （ ）（ ）（6）
个方程 x − 2 y = 5 第1个方程 个方程 −3 −4 2 x + 7 y = −14 第2个方程
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初等行变换
定义2.13 矩阵的初等行变换是指对矩阵进行下列三种变换： 矩阵的初等行变换是指对矩阵进行下列三种变换： 定义 什 么 是 非 奇 异 变换 定 2.7 A是 是 将矩阵的某 行 B 行 k 阵B 阵 变换 将矩阵的某 行 k 对换变换 将矩阵的某两行对换位置
1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 = −3 0 1 3 0 1
1 0 0 0 1 0 0 0 1
初等矩阵
0 1 0 1 0 0 0 0 1
初等变换与初等矩阵
1 (k 1,2,, r) ，然后再对矩阵作第三种
bk
初等行变换，则矩阵A就可以化为简化阶 梯形
0 0
1 0
0
0 1
0 0
0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0 0
r4 12r3
0 0 0
0 0 0
1 0 0
2 1
2 0
6 12
这就是矩阵 A的阶梯形. 再对其进行初
等行变换 1 3 2 2 1
A
0 0 0
0 0 0
1 0 0
2 1
2 0
6 12
1 3 0 6 3
( 12)rr13, r2112r4
0 0 0
0 0 0
1 0 0
2 1 0
1 13
Ps P2 P1 AQ1Q2 Qt B
若记P= P1,P2,…,Ps，Q=Q1,Q2,…,Qt ， 则 P为 m阶可逆矩阵， Q为 n阶可逆矩阵， 于是得到
推论1 mn矩阵A与B等价存在m阶 可逆矩阵P与n阶可逆矩阵 Q ,使得
PAQ B
结合定理2.5.2,我们有 推论2 对于任意非零mn矩阵A，必 存在m阶可逆矩阵 P与 n阶可逆矩阵Q,使 得
外，还满足条件： (3) 各非零行的第一个非零元素均为1，
且所在列的其它元素都为零，
则称 A为简化阶梯形矩阵.
例如
0 2 1 4 A 0 0 5 7
0 0 0 0
1 2 0 5 3
B
0 0 0
0 0 0
4 0 0
8 3 0
3 10
为阶梯形矩阵；
1 2 0 0 2 C 0 0 1 0 1
初等行变换和初等矩阵的关系
初等行变换和初等矩阵的关系初等行变换是矩阵运算中的一种重要操作，而初等矩阵是初等行变换的矩阵表示形式。
初等行变换和初等矩阵之间存在着密切的关系，它们是线性代数中不可或缺的概念。
初等行变换是指对矩阵的行进行一系列的操作，包括交换两行、某一行乘以一个非零常数、某一行乘以一个非零常数后加到另一行上。
这些操作可以改变矩阵的形式，但不会改变它的行空间和列空间。
初等行变换的目的是简化矩阵的计算和处理，使得矩阵的求解更加方便。
而初等矩阵是由单位矩阵经过一次初等行变换得到的矩阵。
初等矩阵的定义是一个主对角线上全为1，其余元素全为0的方阵。
初等矩阵是一种特殊的矩阵，它具有很多重要的性质和应用。
初等行变换和初等矩阵之间的关系体现在以下几个方面：1. 初等矩阵可以表示初等行变换：对于给定的矩阵A，经过一次初等行变换可以得到一个新矩阵B，那么存在一个与初等行变换对应的初等矩阵P，使得B=PA。
这意味着对矩阵进行初等行变换等价于左乘一个初等矩阵。
2. 初等矩阵的乘积仍然是初等矩阵：对于两个初等矩阵P和Q，它们的乘积PQ仍然是一个初等矩阵。
这是因为初等矩阵具有特殊的形式，满足乘法的封闭性。
3. 初等矩阵是可逆的：初等矩阵是方阵，且行列式不为零，因此是可逆的。
对于每一个初等矩阵P，存在一个逆矩阵P^-1，使得PP^-1=P^-1P=I，其中I是单位矩阵。
4. 初等矩阵的逆仍然是一个初等矩阵：对于一个初等矩阵P，它的逆矩阵P^-1仍然是一个初等矩阵。
这是因为初等矩阵的定义决定了它的逆矩阵的形式。
初等行变换和初等矩阵在线性代数中有着重要的应用。
它们可以用于求解线性方程组、求解矩阵的秩、求矩阵的逆等问题。
通过初等行变换和初等矩阵，可以将一个复杂的矩阵化简为一个更简单的形式，从而简化了问题的求解过程。
初等行变换和初等矩阵是线性代数中的重要概念，它们之间存在着紧密的联系。
初等行变换通过对矩阵的行进行一系列操作，而初等矩阵则是初等行变换的矩阵表示形式。
2-5初等变换与初等矩阵
1 1 1 1 1 1 1 1 r3 ( 1) r1 2 1 5 2 2 1 5 2 3 2 6 3 2 1 5 2
1 1 1 1 r3 ( 1) r2 2 1 5 2 0 0 0 0
定义1 下面三种变换称为矩阵的初等变换: (1) 以数k≠0乘矩阵某一行(列)中的所有元素; (2) 把矩阵的某一行(列）所有元素的k倍加到另一行 (列）对应的元素上去;
(3) 对调矩阵的两行(列).
※ 矩阵初等行变换与初等列变换,统称为初等变换. （Elementary Transformations ）
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注意到这些初等变换不改变B的第1行及第1列的元素.至此， 已将矩阵A化为
1 0 C 0 0
0 1 0
0 0 c33
0 cm 3
0 0 c3n , cmn
如此继续下去，最后必能得到一个标准形矩阵.根据等价 的定义，显然A ≌ D.
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结束
初等行变换的背景
刘徽注释《九章算术》说，“ 程，课程也．二物者再程，三物者 三程，皆如物数程之，并列为行， 故谓之方程．” 古代是将它用算筹布置起来解 的（如下图所示），图中各行由上 而下列出的算筹表示 x，y，z 的系 数与常数项．一次方程组各未知数 的系数用算筹表示时好比方阵，所 以叫做方程．
1 1 1 1 1 r1 (1) r2 r3 ( 1) r2 0 1 3 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 ( 1) r3 c3 3c2 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 4 1 1 0 0 0 c3 ( 4) c1 1 3 0 0 1 3 0 c4 ( 1) c1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 E2 O 0 0 O O 0 0
1.6 矩阵的初等变换
A E
初等行变换
E A-1
相同的行变
初等行变换
设计求法：将 A 与 E 并排放在一起，组成一个
n 2n 矩阵 ( A , E ) . 对矩阵 ( A , E ) 作一系列的行初 等变换，将其左半部分化为单位矩阵 E，这时其右半 部分就是 A-1。即 ( A , E ) 初等行变换 (E , A-1 ) 分析二：应用分块乘法 A-1( A , E ) = (E , A-1 )
第六节 矩阵的初等变换
一、矩阵的初等变换与初等矩阵
矩阵的初等变换 定义 矩阵的初等行（列）变换是指下列三种变换：
列行 变变 写写 在在 箭箭 号号 下上 方方 (1) 互换矩阵中i, j两行（列）的位置，记为 ⓘ ⓙ (2) 用非零常数k乘矩阵的第i 行（列），记为 ⓘ k
(3) 把矩阵第i行（列）的k 倍加到第j 行（列），记为
0 0 1 E 0 0 1 (
1 0 0 1 0 0
E(
初等变换与初等矩阵的关系
定理1 设 A = ( aij ) 是 m n 矩阵，则
(1) 对 A 进行一次行初等变换，相当于用一个相 应的 m 阶初等矩阵左乘 A ; (2) 对 A 进行一次列初等变换，相当于用一个相 应的 n 阶的初等矩阵右乘 A .
P (i(k )) P (i(k 1 ))
0 0 1
E (1, 2) 1 0 0 E (1 0 0 1 验证 证明提示
A可表为有限个初等矩阵的乘积
（证明略） 3 1 0
0 1 0 0 1 0 0E ( P (i, j (k ))1 1 P (i0,j (k )) E ( 2(3) ) 0 3 0 则 E ( 2(3) )T 0 3 0 E ( (3) 方阵 A 可逆 设 E (1, 2) 1 0 0
初等变换与初等矩阵课件
0 0 0
3 0 0
2 0 0
1
0
0
1 0 0 0
c2
1 3
c3 2c2
c4 c2
0 0
1 0
0 0
0 0
I2 O
O O
，
0 0 0 0
最后一个分块矩阵称为矩阵C1的等价标准形矩阵， 简称标准形，分块矩阵的左上角的单位阵的阶数恰9
好等于行阶梯形（或行最简形）矩阵中非零行的行
1 0 2 0 0 1
0 2 3 1 0 1
1 0 2 0 0 1
1 0 2 0 0 1
r2 3r3
r1 r3
0
1
6
0
1
3
r3 2r2
0
1
6
0
1
3
0 2 3 1 0 1
0 0 9 1 2 5
1
r3
1 9
r2 6r3
0
r1 2r3
0
0 1 0
0 0 1
2
9 2 3 1 9
如果A是可逆矩阵，我们可以用初等行变换的方法
求A1B：
A1 A, B I, A1B ,
32
或用初等列变换的方法求BA1：
A
B
A1
I BA1
.
例2.27 求矩阵X，使AX B，其中
1 2 3 2 5
A
2
3
2 4
1 3
,
B
3 4
1 3
.
解 对分块矩阵 A, B施行初等行变换：
B
1 4 3
1 6
6
2 2
9
1 2
7
4 94
1 1 2
2-4初等变换、初等阵
1 例如， 例如， 0 B5 = 0 0
0 −1 0 4 1 −1 0 3 0 0 1 − 3 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0
11 1 0 00 00 0 c5 − 4c1 − 3c2 + 3c3 0 0 0
←第i 行
以E (i(k)) 左 矩 A 乘 阵， m a11 a12 ⋯ a1n ⋮ ⋮ ⋮ E m ( i ( k )) A = kai 1 kai 2 ⋯ kain ←第i 行 ⋮ ⋮ ⋮ a am 2 ⋯ amn m1
当 以 相 于 数k 乘A的 i 行(r ×k) 第 ； i
初等变换 初等矩阵
初等逆变换
初等逆矩阵
的逆变换是其本身， 变换 ri ↔ r j 的逆变换是其本身， 则 E ( i , j ) −1 = E ( i , j ) ；
1 变换 ri × k 的逆变换为 ri × ， k 1 −1 则 E ( i ( k )) = E ( i ( )); k 变换 ri × kr j 的逆变换为 ri × ( − k ) r j， 则 E ( ij ( k )) −1 = E ( ij ( − k )) .
相当于对矩阵 A 施行第一种初等列变换 ： 把 A 的第 i 列与第 j 列对调 (ci ↔ c j ).
2、以数 k ≠ 0 乘某行或某列
以数k ≠ 0乘单位矩阵的第 i行( ri × k )，得初等 矩阵E ( i ( k )).
1 ⋱ 1 E ( i ( k )) = k 1 ⋱ 1
二、初等矩阵的概念 矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算， 矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应 用广泛. 用广泛 定义 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的方 阵称为初等矩阵. 阵称为初等矩阵. 三种初等变换对应着三种初等方阵. 三种初等变换对应着三种初等方阵
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课堂中段小结
初等行变换
初等矩阵
对换变换
初等对换矩阵
倍乘对换
初等倍乘矩阵
倍加变换
初等倍加矩阵
初等行变换中，两个矩阵之间之所以用箭头连 接，是因为两个矩阵之间相差了初等矩阵
矩阵的初等行变换可以解决什么问题呢？
2020/7/26
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初等行变换的应用——求逆矩阵
回顾： 满 足 A B B A I 的 两 个 矩 阵 A , B 互 为 逆 矩 阵 其 中 BA1
2020/7/26
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初等行变换的引入
将矩阵的两行对调
2 3 4
1
2
5
第1行 第2行
对调矩阵两行的变换 称为对换变换
两个方程对应也发生对调
2x3y4 第1个方程
x2y5 第2个方程
2020/7/26
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初等行变换的引入
将矩阵的第一行乘以2
12 24 5
2
3
4
第1行 第2行
因此有： A1AI
假设P t, P t 1 ,, P 2 , P 1 都是初等矩阵，根据初等行变换的原理
A P t Pt1 P 2 P 1 I 结论：
初等行变换中省略的初等
A 1
矩阵的乘积就是逆矩阵
2020/7/26
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用初等行变换法求逆矩阵
A I 初 等 行 变 换 IA 1
4 0
的逆
答案：
0 1 21 0 0
1 0 0 2 1 1
1
1
40 1 0 初 等 行 变 换 0 1 0 4
2
1
2 1 00 0 1
0
0
13
1
1
2 2
2 1 1
A 1
4
2
1
3
1
1
2
2
2020/7/26
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课堂小结
1．三种初等行变换 2．三类初等矩阵 3. 使用初等行变换求矩阵的逆
2020/7/26
学习目标
目标 一
目标 二
目标 三
理解什么是初等行变换 知道什么是初等矩阵 掌握初等行变换的应用
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初等行变换的背景
1801年德国数学家高斯把线性方程组的全部系数 作为一个整体
22x 33 y 44
x 22y 55
收获：线性方程组可以用矩阵来表示
0 2 0
例1（续）：用初等行变换求矩阵
A
1 3
0 0
0
1
的逆
解： 初等行变换法（软件显示）
检验：
1 03
0 1 0
100100
0 1 2 0
100100
1 0 0
0
10
0
1
2
0
1 0 3
0
0
1
2020/7/26
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练习
0 1 2
练习
用初等行变化求矩阵
A
1 2
1 1
什
对换变换
将矩阵的某两行对换位置
么
是 非
倍乘变换
将矩阵的某一行遍乘一个非零常数k
奇
异
倍加变换 将矩阵的某一行遍乘一个常数k加至
另一行
定理2.7 设方阵A经过若干次初等行变换后得到方阵B， 如果A是非奇异的，则B也是非奇异的。反之亦然。
2020/7/26
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例题讲解
0 2 0
例1．运用初等行变换将矩阵 对换变换
2020/7/26
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初等矩阵的引入
为什么在初等行变换的过程中， 矩阵之间是用箭头连接呢？
0 1 00 2 0 1 0 01 0 0 0 0 13 0 1
1
0
0
0 1 2 0
0
0
1
1 0 3
0 2 0
0 10
1 0 01 0 0
03
1 0
1003
1 0
10
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0 3
1 0
0 1
三个矩阵的特点：单位矩阵经过一次初等行变换而得到
定义2.14 将单位矩阵作一次初等行变换得到的矩阵，称 为初等矩阵
初等对换矩阵 初等倍乘矩阵 初等倍加矩阵
由单位矩阵第i,行j行乘对k得换加到得，到第记，j行作记得E作到i(Ek，i)j 记作Eij(k)
2020/7/26
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A
1 30 00 1源自转化成单位矩阵解： 0
1
3
2 0 0
0
1
0 1
( 1) (2) 0 倍加变换 3
0 2 0
0 0 1
( 2)12
1 0
3
0 0 1
1I 0
10 00
0 1 0
0
0
1
倍乘变换
1 0 0
( 3) 3(1 )0 1 0 0 0 1
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初等行变换的练习
0 1 2
练习．运用初等行变换将矩阵
A
1 2
1 1
4 0
转化成单位矩阵
1、把主对角线上第一个元素变为1 2、把主对角线上第一个元素下方的所有元素变为0 3、把主对角线上第二个元素变为1
4、把主对角线上第一个元素下方的所有元素变为0
5、如此类推，直至将主对角线最后一个元素变为1
6、从最后一列开始往第一列，把主对角线上方的 元素变为0
第2行
矩阵某一行的倍数加到另一 行上的变换称为倍加变换
第二个方程对应也在等号两边 同时加上第一个方程的（-2）倍
21(2)
x2y5 第1个方程
3(2)(2)
45(2)
2x 7 3yy 4 第2个方程
2020/7/26
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初等行变换
定义2.13 矩阵的初等行变换是指对矩阵进行下列三种变换：
2020/7/26
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作业
书P87 1（1）（3）（6）
2020/7/26
高斯（1777-1855）
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矩阵某一行乘以一个常数的 变换称为倍乘变换
1注矩2意阵：数2倍乘2乘的变区5换别与2
第一个方程对应也在等号两边同乘以2
2x x 4 2y y 5第1个方程
2x3y4 第2个方程
2020/7/26
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初等行变换的引入
矩阵的第2行加上第1行乘以（-2）
1 2 5 第1行
02 37 4
1 0 0
0
2
0
3 0 1
1 0 0
0 3
1 0
0 1
1 0 0
0 0
1 0
0 1
红色框的三
个矩阵与单 请
位矩阵有何 三
联系？
位 同
学
1 0 0
0 0
1 0
0 1
说 出 结 果
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初等矩阵
0 1 0
1 0
0 0
0 1
1 0 0
0
1
0
2
0 0 1
1 0 0