§2.3.2 初等变换与初等矩阵
矩阵的初等变换与初等矩阵
§2.2 矩阵的初等变换与初等矩阵1．矩阵的初等变换定义2.1 下列三种变换称为矩阵的初等列变换： （1）交换矩阵的第,i j 列，用i j c c ↔记之； （2）用非零数k 乘矩阵的第i 列，用i kc 记之；（3）把矩阵的第i 列的k 倍加到第j 列，用j i c kc +记之。
矩阵的初等行变换与列变换，统称为矩阵的初等变换。
如果矩阵A 经过有限次初等(行，列)变换，化为矩阵B ，就称矩阵A 与B (行，列)等价，记作~A B 。
矩阵的等价具有以下性质： （1）反身性 ~A A ；（2）对称性 如果~A B ，则~B A ；（3）传递性 如果~A B ，~B C ，则~A C 。
利用初等行变换，将方程组的增广矩阵化为行最简形，从而得出方程组的解。
可见，讨论矩阵的某种结构简单、而形式特定的等价矩阵，在理论和实际应用上都是必要而有价值的。
对矩阵的行最简形再施行初等列变换，可得到一种结构最为简单的形式。
以§A 为例，矩阵A 的行最简形为11610039210103910001300000⎛⎫⎪⎪⎪-⎪ ⎪- ⎪⎪⎝⎭，再经初等列变换344151425253116211,,,,,39393c c c c c c c c c c c c ↔---++化为10000010000010000000⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭F 。
称矩阵F 为矩阵A 的等价标准形。
定理 2.1 矩阵()ij m n a ⨯=A 经过有限次初等变换可化为如下的等价标准形：()()()()rr n r m r r m r n r ⨯--⨯-⨯-⎛⎫=⎪⎝⎭I O F O O ，其中下方及右边的零行，零列可能空缺。
由行列式的性质可知，行列式不为零的方阵，其等价矩阵的行列式也不为零。
由此可得以下结论：可逆矩阵的等价矩阵也为可逆矩阵；可逆矩阵的行最简形就是等价标准形，且一定是单位矩阵。
2．初等矩阵定义2.2 由单位矩阵经一次初等变换而得的矩阵称为初等矩阵。
3.2初等变换与初等矩阵
三、实验材料
1、对一个四阶单位矩阵施行初等行（或列） 变换，先计算其行列式，再求它们的逆矩阵， 最后比较初等矩阵与初等矩阵的逆矩阵。
2、对一个矩阵（例如 , ） 施行一次初等行变换， 再用一个相应的初等矩阵左乘这个矩阵， 比较两次运算结果。同样地，对一个矩阵施行 一次初等列变换，再用一个相应的初等矩阵右 乘这个矩阵，比较两次运算结果。
1．2实验思路 例3.2.1 对于四阶单位矩阵 E4 ，写出经一次初等 变换的初等矩阵，分别计算各初等矩阵的 行列式及逆矩阵，并把初等矩阵和它的逆 矩阵比较。 再对三阶单位矩阵、五阶单位矩阵进行同 样的实验。
2、初等变换的初等矩阵表示及应用 2．1程序 对于矩阵 A和 B，其乘积 AB的Mathematica 程序如下： A=｛｛｝,｛｝,∙∙∙,｛｝｝； B=｛｛｝,｛｝,∙∙∙,｛｝｝； AB=A∙B 计算矩阵 A和 B乘积的Matlab程序如下： AB=A*B
分解为若干初等矩阵的乘积。 5、对一个矩阵（例如
1 3 2 4 3 5 2 1
5 6 7 5
7 9 8 10 9 11 8 4
）
施行若干次初等行（列）变换而化为阶梯 形矩阵，并求出秩。
四、实验解读
本实验主要做两方面的工作：一是理解初等 矩阵的性质。二是理解初等变换的初等矩阵 表示，掌握用初等变换求逆矩阵及初等矩阵 分解、化阶梯形矩阵及求秩的方法。
B 3 4 0 5 6 1
，Hale Waihona Puke 求逆矩阵，并对其进行初等分解。 考虑其它方阵。
1 3 2 4 例3.2.4对矩阵 C 3 5 2 1
5 6 7 5
7 9 8 10 施行若干次 9 11 8 4
初等行变换和初等矩阵的关系
初等行变换和初等矩阵的关系初等行变换是矩阵运算中的一种重要操作，而初等矩阵是初等行变换的矩阵表示形式。
初等行变换和初等矩阵之间存在着密切的关系，它们是线性代数中不可或缺的概念。
初等行变换是指对矩阵的行进行一系列的操作，包括交换两行、某一行乘以一个非零常数、某一行乘以一个非零常数后加到另一行上。
这些操作可以改变矩阵的形式，但不会改变它的行空间和列空间。
初等行变换的目的是简化矩阵的计算和处理，使得矩阵的求解更加方便。
而初等矩阵是由单位矩阵经过一次初等行变换得到的矩阵。
初等矩阵的定义是一个主对角线上全为1，其余元素全为0的方阵。
初等矩阵是一种特殊的矩阵，它具有很多重要的性质和应用。
初等行变换和初等矩阵之间的关系体现在以下几个方面：1. 初等矩阵可以表示初等行变换：对于给定的矩阵A，经过一次初等行变换可以得到一个新矩阵B，那么存在一个与初等行变换对应的初等矩阵P，使得B=PA。
这意味着对矩阵进行初等行变换等价于左乘一个初等矩阵。
2. 初等矩阵的乘积仍然是初等矩阵：对于两个初等矩阵P和Q，它们的乘积PQ仍然是一个初等矩阵。
这是因为初等矩阵具有特殊的形式，满足乘法的封闭性。
3. 初等矩阵是可逆的：初等矩阵是方阵，且行列式不为零，因此是可逆的。
对于每一个初等矩阵P，存在一个逆矩阵P^-1，使得PP^-1=P^-1P=I，其中I是单位矩阵。
4. 初等矩阵的逆仍然是一个初等矩阵：对于一个初等矩阵P，它的逆矩阵P^-1仍然是一个初等矩阵。
这是因为初等矩阵的定义决定了它的逆矩阵的形式。
初等行变换和初等矩阵在线性代数中有着重要的应用。
它们可以用于求解线性方程组、求解矩阵的秩、求矩阵的逆等问题。
通过初等行变换和初等矩阵，可以将一个复杂的矩阵化简为一个更简单的形式，从而简化了问题的求解过程。
初等行变换和初等矩阵是线性代数中的重要概念，它们之间存在着紧密的联系。
初等行变换通过对矩阵的行进行一系列操作，而初等矩阵则是初等行变换的矩阵表示形式。
初等变换与初等矩阵
2.3初等变换与初等矩阵授课题目 2.3初等变换与初等矩阵授课时数：4课时教学目标：掌握初等变换的定义，初等矩阵与初等变换的关系，矩阵的等价标准形，阶梯形矩阵，和行简化阶梯形矩阵教学重点：用初等变换求矩阵的等价标准形、阶梯形矩阵，和行简化阶梯形矩阵教学难点：求矩阵的等价标准形、阶梯形矩阵，、行简化阶梯形矩阵教学过程：用初等变换化简矩阵A为B,通过B的性质来探讨A的性质，这是研究矩阵的重要手段。
为了把变换过程用运算的式子表示出来，我们要引入初等矩阵，研究初等矩阵与初等变换的关系。
一.初等变换与初等矩阵1.初等变换（1）定义定义1矩阵的初等行（列）变换是指下列三种变换：1）换法变换：交换矩阵某两行（列）的位置；2）倍法变换：用一个非零数乘矩阵的某一行（列）；3）消法变换：把矩阵的某一行（列）的k倍加到另一行（列）上去，k为任意数。
矩阵的初等行变换和初等列变换统称为初等变换。
（2）记法分别用[i,j],[i（k）],[i • j（k）]表示三种行（列）变换，写在箭头上面表示行变换,写在箭头下面表示列变换。
或者行变换用R.. R j,kR j,R j ■ kR j，列变换用C- C j,kC i,C i kC j例110-12if T10-12100 2A =2312033-203 3 -2-121丿J-121丿-1 3 1丿2.初等矩阵（1 ）初等矩阵的定义定义2由单位矩阵I 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵 每个初等变换都有一个与之相应的初等矩阵(110 1 :11 : 1 0 1i 行二 Di（k ）i 行= T j (k) j 行1 k+ .a1j 列(1i 行 = T j (k) j 行 bR j 、D j (k)、T ij (k)分别叫做换法阵、倍法阵、消法阵。
* T j (k)是从行的角度来定义，进行列消法变换时，要转化为行来表示。
二. 初等变换与初等矩阵的关系1、 问题能否用矩阵的乘积的等式把初等变换的过程表示出来？ 如果能够，这对研究矩阵的关系是有很大帮助的。
《线性代数》3.2矩阵的初等变换与初等矩阵
r1 r3 1 0 r2 r3 0 1 再r3 2 0 0 2 A 4 1 3
0 0 1
1 2 1
2 1 1 4 2 1 1 1 1 3 2 1 1 1 2
x1 BE3 1, 2 y1 x2 y2
x2 y2
0 1 0 x3 1 0 0 y3 0 0 1
x1 x3 y1 y3
1 3 0 a1 a2 E3 1, 2 3 A 0 1 0 b1 b2 0 0 1 c c 1 2 a1 3b1 a2 3b2 b1 b2 c c 1 2
ri krj ci kc j
初等行变换和初等列变换统称为初等变换.
2.等价 定义3.2.2
若矩阵A 经过有限次的初等行变换变成 B，
r 则称矩阵A与矩阵B 行等价，记为 A B
若矩阵 A 经过有限次的初等列变换变成B，
则称矩阵A与矩阵B 列等价，记为 A
c
B
若矩阵 A经过有限次的初等变换变成B， 则称矩阵A与矩阵B 等价，记为 A B
ET i, j E i, j ；ET i k E i k ； E i j k E j i k .
T
定理3.2.1 对于一个m×n 矩阵 A进行一次初等行变换， 相当于在A的左边乘以相应的 m阶初等矩阵；对A施行 一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的 n阶
初等矩阵. 验证 设初等矩阵为三阶的.
0 1 0 E3 1, 2 1 0 0 0 0 1 x1 B y1
矩阵的初等变换和初等矩阵
23xxx111
x2 3x2 6x2
2x3 x3 9x3
x4 x4 7 x4
4 2 9
增广矩阵的比较
B
2 1 4 3
1 1
6 6
1 2
2 9
1 1 2 7
42 94
B2
1 2 2 3
1 1 3 6
2 1
1 9
1 1 1 7
24 92
显然 把B的第3行乘以(1/2)即得B2
即 方程③两端乘以(1/2) B的第3行乘以(1/2)
E1ij(k)Eij(-k)
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四、初等矩阵与初等变换的关系
设A是一个mn矩阵 对A施行一次初等行变换 相当于在 A的左边乘以相应的m阶初等矩阵 对A施行一次初等列变换 相当于在A的右边乘以相应的n 阶初等矩阵
3 0 1
例如
设
A 10
1 1
4 4 9
①②
①②
x1 x2 2x3 x4 4
423xxx111
x2 6x2 6x2
x3 2x3 9x3
x4 2x4 7 x4
2 4 9
增广矩阵的比较
B
21 43
1 1
6 6
1 2
2 9
1 1 2 7
42 94
1 1 2 1 4
B1
2 4 3
1 6
6
1 2 9
1 2
7
2 94
[i,j]
以数k乘第i行加到第j行上 记作 [i(k)j]
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三、初等矩阵
例如，对于3阶单位矩阵E
初等变换与初等矩阵课件
0 0 0
3 0 0
2 0 0
1
0
0
1 0 0 0
c2
1 3
c3 2c2
c4 c2
0 0
1 0
0 0
0 0
I2 O
O O
，
0 0 0 0
最后一个分块矩阵称为矩阵C1的等价标准形矩阵， 简称标准形，分块矩阵的左上角的单位阵的阶数恰9
好等于行阶梯形（或行最简形）矩阵中非零行的行
1 0 2 0 0 1
0 2 3 1 0 1
1 0 2 0 0 1
1 0 2 0 0 1
r2 3r3
r1 r3
0
1
6
0
1
3
r3 2r2
0
1
6
0
1
3
0 2 3 1 0 1
0 0 9 1 2 5
1
r3
1 9
r2 6r3
0
r1 2r3
0
0 1 0
0 0 1
2
9 2 3 1 9
如果A是可逆矩阵，我们可以用初等行变换的方法
求A1B：
A1 A, B I, A1B ,
32
或用初等列变换的方法求BA1：
A
B
A1
I BA1
.
例2.27 求矩阵X，使AX B，其中
1 2 3 2 5
A
2
3
2 4
1 3
,
B
3 4
1 3
.
解 对分块矩阵 A, B施行初等行变换：
B
1 4 3
1 6
6
2 2
9
1 2
7
4 94
1 1 2
初等变换与初等矩阵
解方程组： 把未知量系数和常数按原顺序写成下表
2 x1 x2 4 x1 2 x2
3 x3 5 x3
1 4
→
2 1 3 1
4
2
5
4
2 x1
2 x3 6
2 0 2 6
增广矩阵
把第1个方程分别乘以（-2）、 （-1）加到第2个、3个方程
把第1行分别乘以（-2）、 （-1）加到第2、3行
2 0 2 6
0
0
3
1
8
0 1 1 5
把第2行与第3行互换位置
2 x1
2 x3 6 x2 x3 5
3x3 18
→
2 0 2 6
0
1
1
5
0 0 3 1 8
高等代数
分别把第1个方程和第3个
方程乘以 1
2
和
1 3
x1
x3 3 x2 x3 5
→
x3 6
分别用 1
r 3 2r 0 1
2
0
r 3 3r20
1
2
0
0 3 8 3
0 0 2 3
高等代数
1 0 0 c 3 2c2 0 1 0
1
0
r3(2) 3
1 0 0 0
0 c 42 c3 0 1 0 0
0 0 2 3
0 0 1 0
对B施行一系列初等变换得
1 2 1 0 1 2 1 0 B1 3 0 20 1 1 2
高等代数
教学目的 理解初等矩阵的概念，理解矩阵的等价和 标准形，掌握初等变换和初等矩阵的关系，熟练掌握 矩阵等价的充要条件和初等变换法求逆矩阵. 教学重点 初等变换法求逆矩阵；初等变换 和初等矩阵的关系. 教学难 点 初等变换和初等矩阵的关系.
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Eij ( ) A
A 的第 j 行乘以 加到第 i 行 ; ：
AEij ( ) ：A的第 i 列乘以 加到第 j 列．
§4.6 初等矩阵
思考：初等变换是否改变矩阵的可逆性？ n 级方阵A可逆
A可经过有限次初等行（列）变换
化为E.
n 级方阵A可逆 A可以表示成一些初等矩阵的积,
即 A Q1Q2
3 2 1 0 0 1 3 2 1 3 3 5 5 1 3 0 1 0 A 3 . 2 2 2 2 1 1 0 0 1 1 1 1 1
§4.6 初等矩阵
利用初等行变换求逆阵 的方法，还可用于求 矩阵A1 B .
§4.6 初等矩阵
1 例１ 设 A 2 3 1 解 A E 2 3
2 3 2 1 , 求 A 1 . 4 3 2 3 1 0 0 2 1 0 1 0 4 3 0 0 1
1 2 3 1 0 0 r2 2r1 r1 r2 0 2 5 2 1 0 r3 3r1 0 2 6 3 0 1 r3 r2
一、初等矩阵的定义 二、初等矩阵的性质 三、用初等变换求矩阵的逆
一、初等矩阵
定义 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的
矩阵，称为初等矩阵. 三种初等变换对应着三种初等方阵:
1. 对调两行或两列； 2. 以数 ( 0) 乘某行或某列； 3. 以数 乘某行（列）加到另一行（列）上去．
即
A1 ( A B) ( E A1 B)
( A B)
初等行变换
E A 1 B
§4.6 初等矩阵
1 Eij ( )
§4.6 初等矩阵
1
1
第i行 第j行 1
二、 初等矩阵的性质
(1) 初等矩阵皆可逆，且 Eii ( ),
1
1
Eij ( ) Eij ( ).
§4.6 初等矩阵
1 0 2 1 1 0 r1 r2 r1 2r3 0 2 5 2 1 0 r3 r2 r2 5r3 0 0 1 1 1 1
r1 2r3
r2 5r3
1 0 0 1 3 2 0 2 0 3 6 5 0 0 1 1 1 1
1
§4.6 初等矩阵
(2) 定理 对任一矩阵 A 进行一次一初等行(列)变换 相当于对 A 左(右)乘一个相应的初等矩阵．
Eij A : 对换 A 的 i , j 两行；
AE ij : 对换 A 的 i , j 两列．
Eii ( ) A ：用非零数 乘 A 的第 i 列；
AEii ( ) ：用非零数 乘 A 的第 i 列．
§4.6 初等矩阵
1、 对调两行或两列
对调 E 中第 i, j(i j) 两行，即 (ri rj ) ，得初等方阵
1 Eij
1
0
1 1
1
1
0
1
1
第i 行
第 j 行
§4.6 初等矩阵
2、以数 λ( 0) 乘某行或某列
Qt .
§4.6 初等矩阵
三、利用初等变换求逆阵
原理:
当 A 0时，由 PP 1 2 PA l =E，有
P l P l 1
Pl Pl 1
1 P E A 1
Pl Pl 1 P E 1 A ，
P 1 A P l P l 1
P 1 E
E
A
1
即对 n 2n 矩阵 ( A E ) 施行初等行变换， 当把 A 变成 E 时，原来的 E 就变成 A1 .
以数 0 乘单位矩阵的第 i 行 ( ri ), 得初等矩阵
1 Eii ( )
1
1
1
第i 行
§4.6 初等矩阵
3、以数乘某行(列)加到另一行(列)上去
以 乘 E 的第 j 行加到第 i 行上 (ri rj ) [或以 乘 E 的第 i 列加到第 j 列上 (c j ci ) ，