初等变换与初等矩阵
初等变换与初等矩阵
1 (k 1,2,, r) ，然后再对矩阵作第三种
bk
初等行变换，则矩阵A就可以化为简化阶 梯形
0 0
1 0
0
0 1
0 0
0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0 0
r4 12r3
0 0 0
0 0 0
1 0 0
2 1
2 0
6 12
这就是矩阵 A的阶梯形. 再对其进行初
等行变换 1 3 2 2 1
A
0 0 0
0 0 0
1 0 0
2 1
2 0
6 12
1 3 0 6 3
( 12)rr13, r2112r4
0 0 0
0 0 0
1 0 0
2 1 0
1 13
Ps P2 P1 AQ1Q2 Qt B
若记P= P1,P2,…,Ps，Q=Q1,Q2,…,Qt ， 则 P为 m阶可逆矩阵， Q为 n阶可逆矩阵， 于是得到
推论1 mn矩阵A与B等价存在m阶 可逆矩阵P与n阶可逆矩阵 Q ,使得
PAQ B
结合定理2.5.2,我们有 推论2 对于任意非零mn矩阵A，必 存在m阶可逆矩阵 P与 n阶可逆矩阵Q,使 得
外，还满足条件： (3) 各非零行的第一个非零元素均为1，
且所在列的其它元素都为零，
则称 A为简化阶梯形矩阵.
例如
0 2 1 4 A 0 0 5 7
0 0 0 0
1 2 0 5 3
B
0 0 0
0 0 0
4 0 0
8 3 0
3 10
为阶梯形矩阵；
1 2 0 0 2 C 0 0 1 0 1
初等变换与初等矩阵
2.3初等变换与初等矩阵授课题目 2.3初等变换与初等矩阵授课时数：4课时教学目标：掌握初等变换的定义，初等矩阵与初等变换的关系，矩阵的等价标准形，阶梯形矩阵，和行简化阶梯形矩阵教学重点：用初等变换求矩阵的等价标准形、阶梯形矩阵，和行简化阶梯形矩阵教学难点：求矩阵的等价标准形、阶梯形矩阵，、行简化阶梯形矩阵教学过程：用初等变换化简矩阵A为B,通过B的性质来探讨A的性质，这是研究矩阵的重要手段。
为了把变换过程用运算的式子表示出来，我们要引入初等矩阵，研究初等矩阵与初等变换的关系。
一.初等变换与初等矩阵1.初等变换（1）定义定义1矩阵的初等行（列）变换是指下列三种变换：1）换法变换：交换矩阵某两行（列）的位置；2）倍法变换：用一个非零数乘矩阵的某一行（列）；3）消法变换：把矩阵的某一行（列）的k倍加到另一行（列）上去，k为任意数。
矩阵的初等行变换和初等列变换统称为初等变换。
（2）记法分别用[i,j],[i（k）],[i • j（k）]表示三种行（列）变换，写在箭头上面表示行变换,写在箭头下面表示列变换。
或者行变换用R.. R j,kR j,R j ■ kR j，列变换用C- C j,kC i,C i kC j例110-12if T10-12100 2A =2312033-203 3 -2-121丿J-121丿-1 3 1丿2.初等矩阵（1 ）初等矩阵的定义定义2由单位矩阵I 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵 每个初等变换都有一个与之相应的初等矩阵(110 1 :11 : 1 0 1i 行二 Di（k ）i 行= T j (k) j 行1 k+ .a1j 列(1i 行 = T j (k) j 行 bR j 、D j (k)、T ij (k)分别叫做换法阵、倍法阵、消法阵。
* T j (k)是从行的角度来定义，进行列消法变换时，要转化为行来表示。
二. 初等变换与初等矩阵的关系1、 问题能否用矩阵的乘积的等式把初等变换的过程表示出来？ 如果能够，这对研究矩阵的关系是有很大帮助的。
《线性代数》3.2矩阵的初等变换与初等矩阵
r1 r3 1 0 r2 r3 0 1 再r3 2 0 0 2 A 4 1 3
0 0 1
1 2 1
2 1 1 4 2 1 1 1 1 3 2 1 1 1 2
x1 BE3 1, 2 y1 x2 y2
x2 y2
0 1 0 x3 1 0 0 y3 0 0 1
x1 x3 y1 y3
1 3 0 a1 a2 E3 1, 2 3 A 0 1 0 b1 b2 0 0 1 c c 1 2 a1 3b1 a2 3b2 b1 b2 c c 1 2
ri krj ci kc j
初等行变换和初等列变换统称为初等变换.
2.等价 定义3.2.2
若矩阵A 经过有限次的初等行变换变成 B，
r 则称矩阵A与矩阵B 行等价，记为 A B
若矩阵 A 经过有限次的初等列变换变成B，
则称矩阵A与矩阵B 列等价，记为 A
c
B
若矩阵 A经过有限次的初等变换变成B， 则称矩阵A与矩阵B 等价，记为 A B
ET i, j E i, j ；ET i k E i k ； E i j k E j i k .
T
定理3.2.1 对于一个m×n 矩阵 A进行一次初等行变换， 相当于在A的左边乘以相应的 m阶初等矩阵；对A施行 一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的 n阶
初等矩阵. 验证 设初等矩阵为三阶的.
0 1 0 E3 1, 2 1 0 0 0 0 1 x1 B y1
初等变换与初等矩阵课件
0 0 0
3 0 0
2 0 0
1
0
0
1 0 0 0
c2
1 3
c3 2c2
c4 c2
0 0
1 0
0 0
0 0
I2 O
O O
，
0 0 0 0
最后一个分块矩阵称为矩阵C1的等价标准形矩阵， 简称标准形，分块矩阵的左上角的单位阵的阶数恰9
好等于行阶梯形（或行最简形）矩阵中非零行的行
1 0 2 0 0 1
0 2 3 1 0 1
1 0 2 0 0 1
1 0 2 0 0 1
r2 3r3
r1 r3
0
1
6
0
1
3
r3 2r2
0
1
6
0
1
3
0 2 3 1 0 1
0 0 9 1 2 5
1
r3
1 9
r2 6r3
0
r1 2r3
0
0 1 0
0 0 1
2
9 2 3 1 9
如果A是可逆矩阵，我们可以用初等行变换的方法
求A1B：
A1 A, B I, A1B ,
32
或用初等列变换的方法求BA1：
A
B
A1
I BA1
.
例2.27 求矩阵X，使AX B，其中
1 2 3 2 5
A
2
3
2 4
1 3
,
B
3 4
1 3
.
解 对分块矩阵 A, B施行初等行变换：
B
1 4 3
1 6
6
2 2
9
1 2
7
4 94
1 1 2
初等变换与初等矩阵
⎡ A⎤ 出 A-1[见 P.68 例 2 的运算（有小错）]；也可把 A 和 I 做成列分块矩阵 ⎢⎢L⎥⎥ ，右
⎢⎣ I ⎥⎦ 乘初等矩阵（即进行初等列变换），最后求出 A-1（结果相同）．
作业(P.71)：1(1) ； 2(2) ； * 6(1).
和
⎢⎢⎢⎡−116
⎢2
⎢⎢⎣−
1 6
− 13 6 3
2 −1
6
4⎤
3
⎥ ⎥
−1⎥ ．
⎥
1⎥
3 ⎥⎦
即
A−1 = ⎢⎢⎢⎡−116
− 13 6 3
4⎤
3
⎥ ⎥
−1⎥ ．
⎢2 2
⎥
⎢⎢⎣−
1 6
−1 6
1⎥ 3 ⎥⎦
四.分块矩阵的初等变换（简介）
仍以上面求 A 的逆矩阵 A-1 为例，可把 A 和 I 做成行分块矩阵 [A M I ]（把
⎥ ⎥ ⎥
⎢⎣
1⎥⎦ ⎢⎣ Am ⎥⎦ ⎢⎣ Am ⎥⎦
2.[ 关于矩阵的等价标准形 ] 表述①任意矩阵 Am×n 都有自己的等价标准形
⎡ Ir ⎢⎣0 q ×r
0r × p 0q×p
⎤ ⎥ ⎦
，其中
0
≤
r
≤
min(m,
n)
；表述②对任意矩阵
Am×n
都存在有限个
m
阶
的初等矩阵 P1 、P2 、… 、P s 和 n 阶的初等矩阵 Q1 、Q 2 、… 、Q t 、、、，使得
⎡2 3 1⎤ 以 A = ⎢⎢0 1 3⎥⎥ 为例[P.68 例 2]，对 A 和 I 进行同样的初等行变换：
初等矩阵及初等变换
初等矩阵及初等变换矩阵的初等变换⼜分为矩阵的初等⾏变换和矩阵的初等列变换。
1）初等⾏变换：所谓数域P上矩阵的初等⾏变换是指下列 3 种变换：a. 以P中⼀个⾮零的数k乘矩阵的第i⾏，即为E i(k)，那它的逆矩阵⾃然就是E i(1 k)。
b. 把矩阵第i⾏的k倍加到第j⾏，这⾥k是P中的任意⼀个数，记为E ij(k)，要想把第j⾏变回去，⾃然得减掉第i⾏的k倍，即E ij(−k)。
c. 互换矩阵中第i⾏和第j⾏，记为E ij，逆矩阵为E ij，这是很显然的，就是再交换⼀次就变回去了。
2）初等列变换：所谓数域P上矩阵的初等列变换是指下列 3 种变换：a. 以P中⼀个⾮零的数k乘矩阵的第i列，记为E i(k)。
b. 把矩阵的第i列的k倍加到第j列，这⾥k是P中的任意⼀个数，记为E ij(k)。
c. 互换矩阵中第i列和第j列，记为E ij。
初等矩阵：由单位矩阵E经过⼀次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。
矩阵经过初等变换后不会改变它原来的秩，因为初等矩阵是满秩的⽅阵，所以它是可逆的，如PA=B于是有r(B)≤r(A)因为P可逆，所以有A=P−1B于是r(A)≤r(B)所以r(A)=r(B)注：如果不了解这个过程，可以先去阅读。
左⾏右列定理：初等矩阵P左乘或(右乘) A得到PA(AP)，就是对A做了⼀次与P相同的初等⾏(列)变换。
即要使矩阵A做出和初等阵相同的列变换，则A右乘P。
要使矩阵A做出和初等阵相同的⾏变换，则A左乘P。
为什么是这样的呢？可以阅读。
其实就是从向量⾓度来理解矩阵乘法，对于矩阵相乘AB=C，我们可以这样理解：1）矩阵C的每⼀个⾏向量是矩阵B的⾏向量的线性组合，组合的系数是矩阵A的每⼀⾏。
2）矩阵C的每⼀个列向量是矩阵A的列向量的线性组合，组合的系数是矩阵B的每⼀列。
Processing math: 100%。
2.5 初等变换与初等矩阵
A1
A1
因此
A
E ERT
E
A 1
初等变换 求逆法
A 1 AA1 E 类似的 A A 1 EA1 E A 1 E 1 1 ps p2 p1 1 E A A ECT E 因此 A 1 E
a11 ai 1 ka j 1 Em ( i , j ( k )) A a j1 a m1 基本事实
ain a jn ( ri ) a jn ( r j ) amn a1n
a11 a12 a j1 a j 2 Em ( i , j ) A a ai 2 i1 a m 1 am 2 a11 a1 j a21 a2 j AEn ( i , j ) a m 1 amj ( ci )
例4
1 0 0 0 1 1 1 1 0 , B 1 0 1 ,求 X ，使 A 1 1 1 1 1 0
AXA BXB AXB BXA E .
四、小结
１、矩阵的初等变换（Elementary transformation） ri rj ci c j ; 初等行(列)变换 ri k ci k ; ri krj ci kc j .
Th A B AQ B
ECT 一次
ET ET ３、 Th if A B B A
定义 如果矩阵 A 经过有限次初等变换变成矩阵 B ， 就称矩阵 A 与 B 等价，记作 A ~ B 等价关系的性质： （1）反身性： A ~ A; （2）对称性： if A ~ B , B ~ A； （3）传递性： if A ~ B , B ~ C A ~ C. 具有上述三条性质的关系就称为等价． Th A B PAQ B 定理： , Q 为可逆阵 P Er O Th R A标准形 PAQ A r O O 1 p1 , p2 , , ps , 定理： Th if A 有限个初等矩阵
线性代数：矩阵的初等变换和初等矩阵
a12 3a22
a13 3a23
a11 a21
a12 a22
a13 a23
2 0 0
0 1 0
0 0 1
2a11 2a12
a12 a22
a13 a23
10
a11 a21
a12 a22
a13 a23
c1 2
2a11 2a12
a13 a23
a12 a22
3、以数k 0乘某行(列)加到另一行(列)上去
矩阵的初等变换和 初等矩阵
1
一、矩阵的初等变换初等矩阵
定义 下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
1 对调两行（对调i, j两行,记作ri rj）； 2 以数 k 0 乘以某一行的所有元素;
（第 i 行乘 k,记作 ri k）
3 把某一行所有元素的k 倍加到另一行
对应的元素上去（第 j 行的 k 倍加到第 i 行上
相当于对矩阵 A 施行第一种初等列变换： 把 A 的第 i 列与第 j 列对调(ci c j ).
7
2、以数 k 0 乘某行或某列
以数k 0乘单位矩阵的第i行(ri k)，得初等 矩阵E (i (k )).
1
1
E(i(k))
k
第
i
行
1
1
8
以 Em (i(k)) 左乘矩阵A，
25
三、初等变换法求逆矩阵
当A可逆时，由推论4，A P1P2 Pl，有 Pl1Pl11P11 A E, 及 Pl1Pl11P11E A1,
Pl1Pl11P11 A E
Pl1Pl11P11 A Pl1Pl11P11E E A1
即对 n 2n 矩阵 ( A E) 施行初等行变换， 当把 A 变成 E 时，原来的 E 就变成 A1.
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A A11
A12
A13
A14
A15 .
3
2.分块矩阵的运算规则 分块矩阵运算把握2点，第一，子块当元素看可运算， 第二，子块当矩阵看也可运算。如：
设矩阵A与B为同型矩阵，采用相同的分块法，有
A11 A1r A , A A sr s1
其中 Aij与 B ij 为同型矩阵，那么
第六讲时间： 年 月 日； 星期
教学目的 掌握等价概念，理解阶梯形、最简形和标准 作业
形矩阵。理解初等矩阵与初等变换的关系定 理，理解相应推论，会用初等变换求逆矩阵 和解方程组。
重点
难点 讲授方法
初等变换的代数化定理
初等变换与初等矩阵的关系 按照章节顺序讲授
讲授内容主 初等变换初等阵，分清左乘左边乘；左乘可 线 逆行变换，求逆还能解方程。子式定义求变 换
a12 a1n a 22 a 2 n a m 2 a mn a1n b1 a 2 n b2 , a mn bm
按分块矩阵的记法 B A | b, 或 B A, b a1 , a 2 ,, a n , b, 利用矩阵乘法，此方程组可记作
a12 a 22 am 2
a11 a 21 a m1
x1 x2 x , x n
b1 b2 b , b m
a11 a B 21 a m1
A11 A21 A . A 31 A 41
a11 a12 a 21 a 22 a a 32 31 a 41 a41
线性代数 第三章
a13 a 23 a 33 a43
a14 a 24 a 34 a44
a15 a 25 a 35 a45
（b）若 Ai 0 i 1,, s , 则 A 0, 并有
A11 O 1 A2 A 1 . O 1 As
线性代数 第三章
5
第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵
同理，容易验证如下结论
0 0 若B B r 0 B2 0 B1 0 0
且子块
Bi i 1,2,3r
均可逆，则B可逆，且
0 0 Br1 0 0
B 1
0 0 B 1 1
1 Br 1
线性代数 第三章
6
第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵
3.分块运算的作用
1.分块运算使得矩阵结构简单，利于诠释一些问题和概念
第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵
B11 B1r B , B B sr s1
A11 B11 A1r B1r A B . A B A B s1 sr sr s1
线性代数 第三章
4
ai 1 x1 ai 2 x2 ain x2 bi
即
线性代数 第三章
8
第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵
例1（2004、4）
0 1 0 设A 1 0 0 , B P 1 AP , 其 中P为3阶 可 逆 矩 阵 ， 则 B 2004 2 A2 __ 0 0 1 An A 0 分析：利用 0 B 0
练习册 第 17-21页 T1－5 其中交： P17－20， T1－3
内容概括
初等矩阵左右乘，变换成了乘逆阵，求逆还 能解方程。子式定义的秩初等行变换求
线性代数 第三章
1
第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵
本次课讲：
第三章第一节和第二节
下次课讲：
第三章第三节第四节 下次上课时交作业第17页到第18页
线性代数 第三章
2
第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵
一、分块矩阵——1.分块矩阵的概念
将矩阵 A用若干条纵线和横线分成许多小矩阵， 每一 个小矩阵称为 A 的子块， 以子块为元素的形式上的矩阵称为 分块矩阵 如
a11 a12 a 21 a 22 a a 32 31 a 41 a41 a13 a 23 a 33 a43 a14 a 24 a 34 a44 a15 a 25 a 35 a45
Ax b.
将B按列分块
7
线性代数 第三章
第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵
若将系数矩阵 A 按行分成 m 块，则线性方程组可记作
1T b1 T 2 b2 x , b T m m
如
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 a m 1 x1 a m 2 x 2 a mn x n bm
记 A a ij
第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵
4.分块对角矩阵：设 A 为 n 阶矩阵，如果A的对角线分块 矩阵为方阵，且只在对角线上有非零子块，其余子块都为 零矩阵，即 A1
A A2 , As
其中 A1 , A2 ,, As 都是方阵， 那么称 A 为分块对角矩阵。 分块对角矩阵有下列性质： （a) A A1 A2 As ;
这就相当于把每个方程
iT x bi i 1,2,, m. 记作 若将系数矩阵 A 按列分成 n 块，则线性方程组可记作
x1 a1 , a2 ,, an x 2 b, x n x1 a1 x2 a 2 xn a n b,