矩阵的初等变换
矩阵的初等变换
o 等价。 o
13
第一章
例2.3 问矩阵
设
1 1 4 0 1 2 1 0 A 0 1 2 0 , B 1 3 0 2 2 2 0 1 0 1 1 2
A
与矩阵
B
是否等价？
解 先求矩阵 A 与矩阵
1 4 1 2 0 2 4 0 0 11 3 2r3r1 2 2 r1 0 0 0 r 0 00 0 0 0
B 的标准形
11 11 4 4
4 4 2 2 8 8 11 1 14 0 r3r3 44r4 4r 0 0 0 1 1 2 0 0 0 0 0 0 0
1 1 A 0 A 0 1 2 2 2
3 2
0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
第一章
0 1 2 1 0 1 2 1 0 1 1 0 2 0 1 0 r r2 r1 rr32 0 1 1 2 r3 2 B 1 3 0 2 0 1 1 2 0 1 1 2 0 1 1 2 0 1 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0
r1 4 r2 1 r3 143
5 1 0 59 0 1 14 3 0 0 1 0
1 0 0 5 0 1 0 3 0 0 1 0
r2 14 r3 r1 59 r3
1 0 0 5 D 0 1 0 3 0 0 1 0
1 0 3 D. 0 1 0 0 0 1
例2：写出上题中初等矩阵的逆
第五节 矩阵的初等变换
第五节 矩阵的初等变换一：矩阵的初等变换与初等矩阵（一）定义1；定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换1）对换矩阵A 的i ，j 两行，记作j i r r ↔ （获得的矩阵记作)(j i r r A ↔），称为对换；2）用数0≠k 乘矩阵的第i 行，记作i kr （获得的矩阵记作)(i kr A ），称为倍乘；3）把矩阵的第i 行的k 倍加到第j 行上去，记作i j kr r +（获得的矩阵记作)(i j kr r A +）， 称为倍加。
类似地，可定义矩阵的初等列变换，并依次记为（4）j i C C ↔获得的矩阵记作)(j i C C A ↔）（5）i kC （获得的矩阵记作)(i kC A ）（6）i j kC C +（获得的矩阵记作)(i j kC C A +初等行变换与初等列变换统称为矩阵的初等变换。
2：定义2；若矩阵A 经过有限次初等变换变成矩阵B ，则称矩阵A 与B 等价，记作A ~B 。
3：定义3 由单位矩阵E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵三种初等行变换对应着三种初等矩阵（1）对换单位矩阵E 的i , j 两行j i r r ↔，所得初等矩阵记为)(j i r r E ↔例如⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=↔001010100)(313r r E （2）用非零数k 乘单位矩阵E 的第i 行i kr ，所得初等矩阵记为)(i kr E例如⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=200010001)2(33r E3）把单位矩阵E 的第i 行的k 倍加到第j 行上i j kr r +，所得初等矩阵记为)(i j kr r E +，例如⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+100010031)3(213r r E注：三种初等列变换也对应着三种初等矩阵，易知（1）)(j i r r E ↔=)(j i C C E ↔（2）)(i kr E =)(i kC E （3）)(i j kr r E +=)(j i kC C E +故同一个初等矩阵既可以由一次初等行变换获得也可以由一次初等列变换获得。
§1 矩阵的初等变换
1 2
3
4
÷2
(1)
解
1↔ 2 3 ÷2
(1)
x1 + x2 − 2 x3 + x4 = 4, 2 x − x − x + x = 2, 1 2 3 4 2 x1 − 3 x2 + x3 − x4 = 2, 3 x1 + 6 x2 − 9 x3 + 7 x4 = 9, x1 + x2 − 2 x3 + x4 = 4, 2 x − 2 x + 2 x = 0, 2 3 4 − 5 x2 + 5 x3 − 3 x4 = −6, 3 x 2 − 3 x 3 + 4 x 4 = − 3,
r2 − r3
1 0 0 0
4 3 = B5 0 1 −3 0 0 0
x1 = x3 + 4 B 5 对应的方程组为 x2 = x3 + 3 x = −3 4
或令 x 3 = c , 方程组的解可记作
x1 c + 4 1 4 x2 c + 3 1 3 x= = = c 1 + 0 x3 c 0 − 3 x −3 4
1 2Βιβλιοθήκη 34 1 23
( B3 )
3
4
↔4 −23
( B4 )
4
用“回代”的方法求出解： 回代”的方法求出解：
解得 x1 = x3 + 4, x2 = x3 + 3, x4 = −3, x3可任意取值 . x1 = c + 4 x = c + 3 令x3 = c , 方程组的解为 2 x3 = c x4 = − 3
矩阵的初等变换规则
矩阵的初等变换规则
（一）初等变换的规则
1. 交换行法：将矩阵中的两行互换，行对应元素也随之改变。
2. 改变系数法：将矩阵中的某行乘以一定的非零常数，行对应的元素也随之改变。
3. 复合法：将矩阵中的某行乘以一定的非零常数后，与另一行按和或差的方法结合，行对应的元素也随之改变。
4. 交换列法：将矩阵中的两列互换，列对应的元素也随之改变。
（二）初等变换的意义
初等变换是用来将一个线性方程组转化为一个有解的线性方程。
使用初等变换的原则，如将两个方程乘以不同的负数，甚至一步就能解出有解的线性方程，使方程系数矩阵更加简洁，容易操作。
同时这也可以使我们更加清楚地理解线性方程和不同解的对应关系。
（三）初等变换的应用
1. 运用初等变换可以将零向量和零矩阵转换为方便求解的标准乘法型和齐次方程组。
2. 初等变换可以用来求解边界值来解决边界值问题，为做出最终的选择提供保障。
3. 使用初等变换可以有效地求解线性方程组，给出正确的结果，对计
算机科学方面有很大帮助。
4. 初等变换可以用来求解有关矩阵与特征值、特征向量的求解问题，计算机硬件和软件设计中也有着广泛的应用。
线性代数-矩阵的初等变换
线性代数-矩阵的初等变换
矩阵的初等变换是线性代数中的基本运算，初等变换包括三种初等⾏变换与三种初等列变换。
分别为：
对换变换，即i ⾏与j ⾏进⾏交换，记作r i <->r j ;数乘变换，⾮零常数k 乘以矩阵的第i ⾏，记作kr i ;倍加交换，矩阵第i ⾏的k 倍加到第j ⾏上，记作r j + kr i
对应关系换成列，即为三种初等列变换。
矩阵变换可以化简矩阵、解线性⽅程组、求矩阵的逆矩阵。
⾏阶梯形的定义：
1、对于⾏⽽⾔，若有零⾏，则零⾏均在⾮零⾏的下⽅；
2、从第⼀⾏开始，每⾏第⼀个⾮零元素前⾯的零逐⾏增加。
对于矩阵A，很显然符合⾏阶梯形的定义：
1234502456000070
对第⼀⾏作 r1 - r2 变换得到矩阵：
10−1−1−10245600007
继续作 0.5 r2 变换
10−1−1−10125/23000070
r2 - 3/7 r3； r1 + 1/7r3 变换10−1−100125/200000700000
1/7 r3 变换
10−1−100125/20000010
对于矩阵A mxn ，通过有限次初等变换可以转换成⾏阶梯形的形式。
A的最简形：⾮零⾏的第⼀个⾮零元素是1，且1所在的列，⾮零元素均为零。
显然最后⼀个⾏阶梯形矩阵符合A的⾏最简形定义。
A的标准型：左上⾓是⼀个r阶的单位矩阵，其余元素为零。
[
]
[
][
]
[][
]
Processing math: 100%。
矩阵的初等变换
二、消元法解线性方程组
同解方程组
分析：用消元法解下列方程组的过程．
引例 求解线性方程组
2 x1 x2 x3 x4 2, 1
4
x1 x2 2 x3 x1 6 x2 2 x3
x4 2 x4
4, 4,
2
32
(1)
3 x1 6 x2 9 x3 7 x4 9, 4
一、矩阵的初等变换
1、定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
1 对调两行（对调i, j 两行,记作ri rj）； 2以数 k 0 乘以某一行的所有元素;
（第 i 行乘 k,记作 ri k）
3 把某一行所有元素的k 倍加到另一行
对应的元素上去（第 j 行的 k 倍加到第i 行上 记作ri krj）.
由于三种变换都是可逆的，所以变换前的 方程组与变换后的方程组是同解的．故这三种 变换是同解变换．
因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组
的系数和常数进行运算，未知量并未参与运
算．
若记
2 1 1 1 2
B
(
A
b)
1 4
1 6
2 2
1 2
4 4
3 6 9 7 9
3、定义3 如果矩阵A经有限次初等变换变成矩 阵B，就称矩阵A与B等价，记作A ～ B
r
A～B ,
c
A～B ,
等价关系的性质： （1） 反身性 A A； （2）对称性 若 A B ,则 B A; （3）传递性 若 A B, B C,则 A C. 具有上述三条性质的关系称为等价．
（1）交换方程次序； （ i 与 j 相互替换）
矩阵的初等变换
E (i, j ( k )) = E ( j, i ( k ))
初等矩阵的转置仍为同类型的初等矩阵. 初等矩阵的转置仍为同类型的初等矩阵 2. E (i, j ) = −1
E (i ( k )) = k E (i, j ( k )) = 1
初等矩阵都是非奇异的. 初等矩阵都是非奇异的
行变换相当于左乘初等矩阵; 行变换相当于左乘初等矩阵 列变换相当于右乘初等矩阵. 列变换相当于右乘初等矩阵
矩阵的初等变换
矩阵的初等变换是线性代数中一个重要的工具. 矩阵的初等变换是线性代数中一个重要的工具
以下三种变换分别称为矩阵的第一、第二、 以下三种变换分别称为矩阵的第一、第二、 第三种初等变换： 第三种初等变换：
(i ) 对换矩阵中第i, j两行(列)的位置，记作 rij ( cij )或ri ↔ rj ( ci ↔ c j ) (ii ) 用非零常数 k乘第 i行(列）记作 kri ( kc i ). ,
利用初等变换将 A化为 B， A与 B之间用记号 → 或 ≅ 连接。
矩阵的等价
对矩阵A实行有限次初等变换得到矩阵 ， 对矩阵 实行有限次初等变换得到矩阵B，则称矩 实行有限次初等变换得到矩阵 等价， 阵A与B等价，记作 A ≅ B. 与 等价
A ≅ A;
1 0 M A ≅ 0 0 M 0
(iii ) 将矩阵的第j行(列)乘以常数k后加到第i行 （列）对应元素上去, 记作ri + krj ( ci + kc j ).
矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换。 矩阵的初等行变换与初等列变换统称为换可以将矩阵化为梯形阵。 例如：
E (i ( k )) =
E ( i , j ( k )) =
6.6矩阵的初等变换
矩阵的秩
定义9· 18 在 m n 矩阵中，任取 k 行 k 列 (k min{m, n}) ，位 于这些行列交叉处的 k 2个元素，不改变他们在 A 中所处的位置次序而得到的 k 阶行列式，称为矩 阵 A 的 k 阶子行列式（简称 k 阶子式）．
0 1 6 4 1 3 2 3 6 1 r1 r4 2 0 1 5 3 4 3 2 0 5
6.6.2 矩阵的秩
解： 1 6 r 3r r3 2 r1 0 20 r4 3r1 0 12 0 16 1 6 r3 3r2 0 4 r4 5r2 0 0 0 0
矩阵的初等变换
解：
1 0 1 0 2 1 r r 1 1 1 r1 33r 1 0 0 3 3 1 2 2 3 3 5 r1 2 r2 0 1 0 0 1 0 3 2 2 2 2 2 0 0 1 1 3 2 0 0 1 1 3 2
4 5
22 34
5
矩阵的初等变换
2.用初等变换求逆矩阵 定理 设 A 为 n 阶可逆矩阵， E 为 n 阶单位矩阵，若 对 n 2n 阶矩阵 ( A E) 作一系列初等行变换，使它 变为 (E B)，则 B A1 ．
矩阵的初等变换
例23
3 2 1 用初等行变换求矩阵 A 1 2 2 的逆矩阵 . 3 4 3
1 2 2 0 1 0 1 2 2 0 1 0 1 r2 3 3 1 r3 4 r2 3 3 1 2 0 1 0 0 1 0 2 2 2 2 2 2 0 4 5 1 3 0 0 0 1 1 3 2
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就称这两个线性方程组等价
用矩阵的初等行变换 解方程组（1）：
2 1 1 1 2
B
1 4
1 6
2 2
1 2
4 4
3 6 9 7 9
1 1 2 1 4
r1 r2 r3 2
0 0
1 0
1 0
1 2
0 6
B3
0 0 0 1 3
1 rBr343 2rr34000
11 10 00 00
12 11 00 00
12 11 20 10
14 10 16 03
4 030rr34 2Brr344
r1 r2 r2 r3
1 0 1 0 4
0 0
1 0
1 0
0 1
3 3
（3）一个方程加上另一个方程的k倍． （以 i k j 替换 i ）
3．上述三种变换都是可逆的．
若( A) i j (B), 则(B) i j ( A); 若( A) i k (B), 则(B) i k ( A); 若( A) i k j (B), 则(B) i k j ( A).
由于三种变换都是可逆的，所以变换前的 方程组与变换后的方程组是同解的．故这三种 变换是同解变换．
0 1
A
B,
1 0 0
0
1
0B A
k
0 0 1
例1：计算
1 0 0 a11 a12 L
(1)
0 0
k 0
0 1
a21 a31
a22 a32
L L
a1n a2n a3n
a11 ka21 a31
a12 ka22 a32
L L L
a1n
ka2n
a3n
1
(2)
0 0
0 1 0
统称为矩阵的
(1) 对调矩阵的两行。
初等行变换
(2) 用非零常数k乘矩阵的某一行的所有元素。
(3) 将矩阵的某一行所有元素乘以非零常数k后
加到另一行对应元素上。
二、矩阵的初等变换
定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
1 对调两行（对调i, j两行,记作ri rj）； 2 以数 k 0 乘以某一行的所有元素;
a21
x1
a22 x2
a2n xn
b2
am1 x1 am2 x2 amn xn bm
用矩阵形式表示此线性方程组：
a11
a21
M
a12 L a1n x1 b1
a22 L
a2n
x2
b2
M M M M M
am1
am 2
L
amn
xn
bm
令 A aij mn
（第 i 行乘 k,记作 ri k）
3 把某一行所有元素的k 倍加到另一行
对应的元素上去（第 j 行的 k 倍加到第 i 行上 记作ri krj）.
同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是 把“r”换成“c”)．
矩阵的初等变换
初 等 行 变 换 初 等 列 变 换
通常称 (1) 对换变换 (2) 倍乘变换 (3) 倍加变换
x1 x2 2 x3 x4 4, 1
2 x2 5 x2
2 x3 5 x3
2 x4 3 x4
0, 6,
2 3
3 x2 3 x3 4 x4 3, 4
(B1 ) (B2 )
2 1 2
3 52 4 32
x1 x2 2 x3 x4 4,
x2 x3 x4 0, 2x4 6,
3.矩阵等价具有的性质
1反身性; 2 对称性; 3传递性.
思考题
已知四元齐次方程组
I
:
x1 x2
x2 x4
0 0
及另一
四元齐次方程组II 的通解为
k10,1,1,0T k2 1,2,2,1T k1,k2 R.
问I 与II 是否有非零公共解?若有,求出来;若没
有,说明理由.
思考题解答
2
32
(1)
3 x1 6 x2 9 x3 7 x4 9, 4
解
(1)
1 2 3 2
23 3 21
4 31
x1 x2 2 x3 x4 4, 1
2 x1 x2 x3 x4 2, 2 x1 3 x2 x3 x4 2,
2 3
3 x1 6 x2 9 x3 7 x4 9, 4
一般记法：
Ei, jA表示A的第i行与第j行对换, AEi, j表示A的第i列与第j列对换.
E i k A表 示A的 第i行 乘k , AE i k 表 示A的 第i列 乘k .
E ijk A表 示A的 第j行 乘k加 到 第i行 上, AE ijk 表 示A的 第i列 乘k加 到 第j列 上.
例2： (1) 设初等矩阵
2 2 3
1 3
6
1 1
9
1 1
7
2 2
B1
9
r2 r31
1
12
12
4 1
r2 4r3
Br13 r4
22r1 332r1
01
03 06
21 51 39
12 15 73
2 2 9243
r3 r4
36032rr11
B2
r2 2 r3 5r2 r4 3r2
1 1 2 1 4
解 将II 的通解代入I 得
kk1 22kk12
2k2 0 k2 0
k1 k2 .
故II 与I 的公共解为
k10,1,1,0T k2 1,2,2,1T k2 1,1,1,1T
所有非零公共解为
k 1,1,1,1T k 0.
一、初等矩阵的概念
矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应 用广泛. 定义 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的方 阵称为初等矩阵.
1
E(ij(k))
1 k
第i行
1
第j行
1
初等矩阵是可逆的，逆矩阵仍为初等矩阵。
变换 ri rj 的逆变换是其本身， 则E(i, j)1 E(i, j) ；
变换
ri
k
的 逆 变 换 为 ri
1 k
，
则 E(i(k ))1 E(i( 1 )); k
变换 ri krj 的逆变换为ri (k )rj， 则 E(ij(k))1 E(ij(k)) .
k a11
0 1
a21 a31
a12
a22
a32
a11 ka31
a21
a31
a12 a32
a22
a32
b11
(3)
b21
b31
b12 b22 b32
b13 1
b23 b33
0 0
0 0 1
0 1 0
b11 b21 b31
b13 b23 b33
b12
x1
x
x2
M
xn
b1
b
b2
M
bm
Ax b 则，线性方程组可表示为
一、消元法解线性方程组
分析：用消元法解下列方程组的过程．
引例 求解线性方程组
2 x1 x2 x3 x4 2, 1
4
x1 x2 2 x3 x1 6 x2 2 x3
x4 2 x4
4, 4,
初等变换
初等矩阵
初等逆变换
初等逆矩阵
a11 a12 L
A
a21
a22
L
a31 a32 L
a1n a2n
初 uuu等uu变 uuu换ur
suuuuuuuuuuu
a11 ka21
a3n 初等逆变换 a31
a12 L ka22 L a32 L
a1n
ka2n
B
a3n
1 0 0
0 0
k 0
1 0
0
c5
4c1
3c2
3c3
0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 1 044
0 0 0
1 0 0
000033033
F
矩阵 F 称为矩阵 B 的标准形.
特点：F的左上角是一个单位矩阵，其余元素全 为零.
m n 矩阵 A 总可经过初等变换化为 标准形
F Er O O O mn
此标准形由m,n,r 三个数唯一确定，其中r 就是 行阶梯形矩阵中非零行的行数.
对于任何矩阵Amn ,总可经过有限次初等行 变换把他变为行阶梯形和行最简形.
注意：行最简形矩阵是由方程组唯一确定的，行 阶梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的．
行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标 准形．
1 0 1 0 4
例如，B 5
0 0
1 0
1 0
0 1
3 3
0 0 0 0 0
c3 c4 c4 c1 c2
因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组
的系数和常数进行运算，未知量并未参与运
算．
若记
2 1 1 1 2
B
(
A
b)
1 4
1 6
2 2
1 2
4 4
3 6 9 7 9
则对方程组的变换完全可以转换为 对矩阵B(方程组（1）的增广矩阵）的变换．
即，求解线性方程组实质上是对增广矩阵施行 3种初等运算：
2、以数 k 0 乘某行或某列
以数k 0乘单位矩阵的第i行(ri k)，得初等 矩阵E (i (k )).
1
1
E(i(k))
k
第
i
行
1
1
3、以数k 0乘某行(列)加到另一行(列)上去