1.2_初等变换与初等矩阵
矩阵的初等变换与初等矩阵
§2.2 矩阵的初等变换与初等矩阵1．矩阵的初等变换定义2.1 下列三种变换称为矩阵的初等列变换： （1）交换矩阵的第,i j 列，用i j c c ↔记之； （2）用非零数k 乘矩阵的第i 列，用i kc 记之；（3）把矩阵的第i 列的k 倍加到第j 列，用j i c kc +记之。
矩阵的初等行变换与列变换，统称为矩阵的初等变换。
如果矩阵A 经过有限次初等(行，列)变换，化为矩阵B ，就称矩阵A 与B (行，列)等价，记作~A B 。
矩阵的等价具有以下性质： （1）反身性 ~A A ；（2）对称性 如果~A B ，则~B A ；（3）传递性 如果~A B ，~B C ，则~A C 。
利用初等行变换，将方程组的增广矩阵化为行最简形，从而得出方程组的解。
可见，讨论矩阵的某种结构简单、而形式特定的等价矩阵，在理论和实际应用上都是必要而有价值的。
对矩阵的行最简形再施行初等列变换，可得到一种结构最为简单的形式。
以§A 为例，矩阵A 的行最简形为11610039210103910001300000⎛⎫⎪⎪⎪-⎪ ⎪- ⎪⎪⎝⎭，再经初等列变换344151425253116211,,,,,39393c c c c c c c c c c c c ↔---++化为10000010000010000000⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭F 。
称矩阵F 为矩阵A 的等价标准形。
定理 2.1 矩阵()ij m n a ⨯=A 经过有限次初等变换可化为如下的等价标准形：()()()()rr n r m r r m r n r ⨯--⨯-⨯-⎛⎫=⎪⎝⎭I O F O O ，其中下方及右边的零行，零列可能空缺。
由行列式的性质可知，行列式不为零的方阵，其等价矩阵的行列式也不为零。
由此可得以下结论：可逆矩阵的等价矩阵也为可逆矩阵；可逆矩阵的行最简形就是等价标准形，且一定是单位矩阵。
2．初等矩阵定义2.2 由单位矩阵经一次初等变换而得的矩阵称为初等矩阵。
第二节矩阵的初等变换与初等矩阵
同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是 把“r”换成“c”)． 定义2 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为 矩阵的初等变换． 初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型 相同．
ri rj 逆变换 ri rj ; 1 ri k 逆变换 ri ( ) 或 ri k ; k ri krj 逆变换 ri ( k )rj 或 ri krj .
二.初等矩阵的概念
矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应 用广泛. 定义2.2.3 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得 到的方阵称为初等矩阵. 三种初等变换对应着三种初等方阵.
1. 对调两行或两列； 2. 以数 k 0 乘某行或某列； 3. 以数 k 乘某行（列）加到另一 行（列）上去．
类似地，以 En ( i ( k )) 右乘 矩阵 A，其结果
相当于以数 k 乘 A 的第 i 列 (ci k ).
3、以数k 0乘某行(列)加到另一行(列)上去
以 k 乘 E 的第 j 行加到第 i 行上 ( ri krj ) [或以 k 乘 E 的第 i 列加到第 j 列上 (c j kci )， 1 第i行 1 k E ( ij ( k )) 第j行 1 1
消元法解线性方程组
分析：用消元法解下列方程组的过程．
引例 求解线性方程组
2 x1 x2 x3 x4 2, x x 2 x x 4, 1 2 3 4 4 x1 6 x2 2 x3 2 x4 4, 3 x1 6 x2 9 x3 7 x4 9,
以 Em ( ij( k )) 左乘矩阵 A，
a11 a ka i1 j1 Em ( ij ( k )) A a j1 a m1 a12 ai 2 ka j 2 a j2 am 2 ain a jn a jn amn a1n
初等行变换和初等矩阵的关系
初等行变换和初等矩阵的关系初等行变换是矩阵运算中的一种重要操作，而初等矩阵是初等行变换的矩阵表示形式。
初等行变换和初等矩阵之间存在着密切的关系，它们是线性代数中不可或缺的概念。
初等行变换是指对矩阵的行进行一系列的操作，包括交换两行、某一行乘以一个非零常数、某一行乘以一个非零常数后加到另一行上。
这些操作可以改变矩阵的形式，但不会改变它的行空间和列空间。
初等行变换的目的是简化矩阵的计算和处理，使得矩阵的求解更加方便。
而初等矩阵是由单位矩阵经过一次初等行变换得到的矩阵。
初等矩阵的定义是一个主对角线上全为1，其余元素全为0的方阵。
初等矩阵是一种特殊的矩阵，它具有很多重要的性质和应用。
初等行变换和初等矩阵之间的关系体现在以下几个方面：1. 初等矩阵可以表示初等行变换：对于给定的矩阵A，经过一次初等行变换可以得到一个新矩阵B，那么存在一个与初等行变换对应的初等矩阵P，使得B=PA。
这意味着对矩阵进行初等行变换等价于左乘一个初等矩阵。
2. 初等矩阵的乘积仍然是初等矩阵：对于两个初等矩阵P和Q，它们的乘积PQ仍然是一个初等矩阵。
这是因为初等矩阵具有特殊的形式，满足乘法的封闭性。
3. 初等矩阵是可逆的：初等矩阵是方阵，且行列式不为零，因此是可逆的。
对于每一个初等矩阵P，存在一个逆矩阵P^-1，使得PP^-1=P^-1P=I，其中I是单位矩阵。
4. 初等矩阵的逆仍然是一个初等矩阵：对于一个初等矩阵P，它的逆矩阵P^-1仍然是一个初等矩阵。
这是因为初等矩阵的定义决定了它的逆矩阵的形式。
初等行变换和初等矩阵在线性代数中有着重要的应用。
它们可以用于求解线性方程组、求解矩阵的秩、求矩阵的逆等问题。
通过初等行变换和初等矩阵，可以将一个复杂的矩阵化简为一个更简单的形式，从而简化了问题的求解过程。
初等行变换和初等矩阵是线性代数中的重要概念，它们之间存在着紧密的联系。
初等行变换通过对矩阵的行进行一系列操作，而初等矩阵则是初等行变换的矩阵表示形式。
矩阵的初等变换和初等矩阵
23xxx111
x2 3x2 6x2
2x3 x3 9x3
x4 x4 7 x4
4 2 9
增广矩阵的比较
B
2 1 4 3
1 1
6 6
1 2
2 9
1 1 2 7
42 94
B2
1 2 2 3
1 1 3 6
2 1
1 9
1 1 1 7
24 92
显然 把B的第3行乘以(1/2)即得B2
即 方程③两端乘以(1/2) B的第3行乘以(1/2)
E1ij(k)Eij(-k)
Henan Agricultural University
四、初等矩阵与初等变换的关系
设A是一个mn矩阵 对A施行一次初等行变换 相当于在 A的左边乘以相应的m阶初等矩阵 对A施行一次初等列变换 相当于在A的右边乘以相应的n 阶初等矩阵
3 0 1
例如
设
A 10
1 1
4 4 9
①②
①②
x1 x2 2x3 x4 4
423xxx111
x2 6x2 6x2
x3 2x3 9x3
x4 2x4 7 x4
2 4 9
增广矩阵的比较
B
21 43
1 1
6 6
1 2
2 9
1 1 2 7
42 94
1 1 2 1 4
B1
2 4 3
1 6
6
1 2 9
1 2
7
2 94
[i,j]
以数k乘第i行加到第j行上 记作 [i(k)j]
Henan Agricultural University
三、初等矩阵
例如，对于3阶单位矩阵E
初等变换与初等矩阵课件
0 0 0
3 0 0
2 0 0
1
0
0
1 0 0 0
c2
1 3
c3 2c2
c4 c2
0 0
1 0
0 0
0 0
I2 O
O O
，
0 0 0 0
最后一个分块矩阵称为矩阵C1的等价标准形矩阵， 简称标准形，分块矩阵的左上角的单位阵的阶数恰9
好等于行阶梯形（或行最简形）矩阵中非零行的行
1 0 2 0 0 1
0 2 3 1 0 1
1 0 2 0 0 1
1 0 2 0 0 1
r2 3r3
r1 r3
0
1
6
0
1
3
r3 2r2
0
1
6
0
1
3
0 2 3 1 0 1
0 0 9 1 2 5
1
r3
1 9
r2 6r3
0
r1 2r3
0
0 1 0
0 0 1
2
9 2 3 1 9
如果A是可逆矩阵，我们可以用初等行变换的方法
求A1B：
A1 A, B I, A1B ,
32
或用初等列变换的方法求BA1：
A
B
A1
I BA1
.
例2.27 求矩阵X，使AX B，其中
1 2 3 2 5
A
2
3
2 4
1 3
,
B
3 4
1 3
.
解 对分块矩阵 A, B施行初等行变换：
B
1 4 3
1 6
6
2 2
9
1 2
7
4 94
1 1 2
初等矩阵及初等变换
初等矩阵及初等变换矩阵的初等变换⼜分为矩阵的初等⾏变换和矩阵的初等列变换。
1）初等⾏变换：所谓数域P上矩阵的初等⾏变换是指下列 3 种变换：a. 以P中⼀个⾮零的数k乘矩阵的第i⾏，即为E i(k)，那它的逆矩阵⾃然就是E i(1 k)。
b. 把矩阵第i⾏的k倍加到第j⾏，这⾥k是P中的任意⼀个数，记为E ij(k)，要想把第j⾏变回去，⾃然得减掉第i⾏的k倍，即E ij(−k)。
c. 互换矩阵中第i⾏和第j⾏，记为E ij，逆矩阵为E ij，这是很显然的，就是再交换⼀次就变回去了。
2）初等列变换：所谓数域P上矩阵的初等列变换是指下列 3 种变换：a. 以P中⼀个⾮零的数k乘矩阵的第i列，记为E i(k)。
b. 把矩阵的第i列的k倍加到第j列，这⾥k是P中的任意⼀个数，记为E ij(k)。
c. 互换矩阵中第i列和第j列，记为E ij。
初等矩阵：由单位矩阵E经过⼀次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。
矩阵经过初等变换后不会改变它原来的秩，因为初等矩阵是满秩的⽅阵，所以它是可逆的，如PA=B于是有r(B)≤r(A)因为P可逆，所以有A=P−1B于是r(A)≤r(B)所以r(A)=r(B)注：如果不了解这个过程，可以先去阅读。
左⾏右列定理：初等矩阵P左乘或(右乘) A得到PA(AP)，就是对A做了⼀次与P相同的初等⾏(列)变换。
即要使矩阵A做出和初等阵相同的列变换，则A右乘P。
要使矩阵A做出和初等阵相同的⾏变换，则A左乘P。
为什么是这样的呢？可以阅读。
其实就是从向量⾓度来理解矩阵乘法，对于矩阵相乘AB=C，我们可以这样理解：1）矩阵C的每⼀个⾏向量是矩阵B的⾏向量的线性组合，组合的系数是矩阵A的每⼀⾏。
2）矩阵C的每⼀个列向量是矩阵A的列向量的线性组合，组合的系数是矩阵B的每⼀列。
Processing math: 100%。
1.2矩阵的初等变换与逆矩阵的求法-文档资料
※1.4 可逆矩阵经过有限次初等行变换可以化为单 位矩阵.
※定理1.5 方阵P为可逆矩阵的充要条件是P可以表示
为有限个初等矩阵的乘积。
证明1.3，1.4，1.5
10
用初等行变换求逆矩阵
原理：可逆矩阵A可以分解为若干初等矩阵的乘积，
设
AP1P2 Pt
记为
矩阵A经过初等变换化为矩阵B表示为A→B。
习惯上在箭头的上面写出行变换，下面写出列变换。
返回24
初等矩阵的性质
※定理1.2 有限个初等矩阵的乘积必可逆.
※用初等矩阵左乘某矩阵，相当于对该矩阵进行相应 的初等行变换；用初等矩阵右乘矩阵，相当于对该 矩阵进行相应的初等列变换；反之亦然。
※若矩阵B是矩阵A经过有限次初等变换得到的，那么 可以记为B＝PAQ，其中P、Q为初等矩阵的乘积
根据逆矩阵的定义，容易验证以上各式。
同时，上面等式表明：初等矩阵的逆仍然是初等矩阵。
9
初等矩阵的性质
※定理1.2 有限个初等矩阵的乘积必可逆.
※用初等矩阵左乘某矩阵，相当于对该矩阵进行相应 的初等行变换；用初等矩阵右乘矩阵，相当于对该 矩阵进行相应的初等列变换；反之亦然。
※若矩阵B是矩阵A经过有限次初等变换得到的，那么 可以记为B＝PAQ，其中P、Q为初等矩阵的乘积
则
P t 1 P 2 1P 1 1AI
P t 1 P 2 1P 1 1IA 1
上式表明，对矩阵A与I进行相同的行变换，
在把A化为单位阵的同时，就把I化为了A的逆
矩阵。
做法：将A与I按照行的方向组合成一个大矩阵，对
大矩阵进行行变换，在A部分成为I的时候，
原来的I部分就成为A的逆。
11
例题
线性代数：矩阵的初等变换和初等矩阵
a12 3a22
a13 3a23
a11 a21
a12 a22
a13 a23
2 0 0
0 1 0
0 0 1
2a11 2a12
a12 a22
a13 a23
10
a11 a21
a12 a22
a13 a23
c1 2
2a11 2a12
a13 a23
a12 a22
3、以数k 0乘某行(列)加到另一行(列)上去
矩阵的初等变换和 初等矩阵
1
一、矩阵的初等变换初等矩阵
定义 下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
1 对调两行（对调i, j两行,记作ri rj）； 2 以数 k 0 乘以某一行的所有元素;
（第 i 行乘 k,记作 ri k）
3 把某一行所有元素的k 倍加到另一行
对应的元素上去（第 j 行的 k 倍加到第 i 行上
相当于对矩阵 A 施行第一种初等列变换： 把 A 的第 i 列与第 j 列对调(ci c j ).
7
2、以数 k 0 乘某行或某列
以数k 0乘单位矩阵的第i行(ri k)，得初等 矩阵E (i (k )).
1
1
E(i(k))
k
第
i
行
1
1
8
以 Em (i(k)) 左乘矩阵A，
25
三、初等变换法求逆矩阵
当A可逆时，由推论4，A P1P2 Pl，有 Pl1Pl11P11 A E, 及 Pl1Pl11P11E A1,
Pl1Pl11P11 A E
Pl1Pl11P11 A Pl1Pl11P11E E A1
即对 n 2n 矩阵 ( A E) 施行初等行变换， 当把 A 变成 E 时，原来的 E 就变成 A1.
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例
解线性方程组
方程组的增广矩阵 一一对应
2 x2 x3 1 x1 x2 x3 0 2 x x x 2 1 2 3
方程之间的变换
0 2 1 1 1 1 1 0 2 1 1 2
矩阵的行之间的变换
一一对应
定义 下面三种变换称为矩阵的行（列）初等变换:
由定理1.4得出求逆矩阵的另一种方法:
原理:
P l P
1 1 l 1
P l P
1
1 l 1
P IA
1 1
1
1 1 P l P l 1
1 P 1 A I
P
1 1
A
I I
行
A
1
实际做法:
A
I I
A1
例
求下列矩阵的逆
解
1 2 2 0 0 1 3 4 4 1 0 0 r1 r3 2 2 1 0 1 0 A I 2 2 1 0 1 0 1 2 2 0 0 1 3 4 4 1 0 0
注意： 在这两种求逆矩阵的过程中，
初等行变换和初等列变换不能 混用。
习题1 P39 1.7(2) 1.8(2）
1 rj ri I ci c j 注意！
1
1
Rij ( ) C ji ( ) 1
结论：初等矩阵可逆, 并且其逆矩阵也是同一类型的初等矩阵
R Rij
1 ij
( Ri ( )) Ri ( )
1 2 3 0 1 2 1 5 9
用初等矩阵左乘 ( 右乘 ) 一个矩阵 , 相当于对该 矩阵施行了使单位阵变成这个初等矩阵的同一 行(列)的初等变换, 即
（１）
Rij A 对换A的第i行和第j行, BCij 对换B的第i列和第j列;
（２） （３）
Ri (k ) A A的第i行乘k (k 0), BCi (k ) B的第i列乘k (k 0);
r1 1r3 r2 3r3
●课堂练习：
1、利用矩阵的初等变换求下列矩阵的逆矩阵
1 2 3 (1) A 2 2 1 3 4 3
2、利用初等变换求解线性方程组
x1 2 x2 3 x3 1 2 x1 2 x2 5 x3 2 3 x 5 x x 3 2 3 1
1 ri rj ci c j
对调I 中的第 i, j 列,得到的矩阵记为 Cij
0 1 1 1
1
I
0
1
Rij Cij
(2) 用不为零的数λ 乘以I 中的第i行,得到的矩阵记为Ri ( ) 用不为零的数λ乘以I 中的第 i 列,得到的矩阵记为 Ci ( )
●答案
3 2 1 1 1、（1） A 3 / 2 3 5 / 2 1 1 1
2、
x1 1; x2 x3 0
同理可以用初等列变换求逆矩阵
A I
I A 1
1 b12 0 1 0 0
b1n d2n 1
1 0 0
0 1 0
……
定理1.4
Ａ为可逆方阵的充分必要条件是存在有限个初等矩阵
P ,P 使 1, P 2, l, 证明：（必要性）
A PP 1 2
P l
因为Ａ为可逆方阵, 故存在初等矩阵 Q1 , Q2 , , Ql 使得 Q1 Q2 Ql A I
得到.
同学们可以验证一下.
●小结
矩阵A左乘一个初等矩阵，相当于将A作相应的初等行变换；
右乘一个初等矩阵，相当于将A作相应的列初等变换。即如下式
子成立：
（1）
（2）
（3） A
rj k ri
Rij (k ) A
ci kc j A AC ji (k )
定理1.3 可逆矩阵A可以经过有限次初等行变换化为单位阵I， 即可逆矩阵A与单位矩阵I 等价.
(1)
m个方程，
n个未知数
对此线性方程组,可做如下三种同解变换: (1) 互换两个方程的位置; (2) 把某一个方程的两边同乘以一个非零常数c; (3) 将某一个方程加上另一个方程的k倍. 这三种变换都称为初等变换.
这三种 变换都 是可逆 的
设方程组 (1) 经过某一初等变换后变为另一个方程组, 则新方程组与原方程组同解.
1
1
( Rij ( )) Rij ( )
1
定理1.2 性质1.5
有限个初等矩阵的乘积必可逆.
用初等矩阵左乘某矩阵,其结果等价于对该矩阵作 相应的初等行变换;用初等矩阵右乘某矩阵,其结果等效于对该 矩阵作相应的初等列变换. 例
1 0 0 1 2 3 1 2 3 R12 (1) A 1 1 0 1 3 5 0 1 2 0 0 1 1 5 9 1 5 9 1 2 3 r2 (1) r1 A 1 3 5 1 5 9
证明
a11 a12 a21 a22 A a a n1 n 2
a1n a2 n ann
1 b12 b21 b22 b b n1 n 2 b1n d2n d nn d1n d2n 1
I
ri ci
1
1
1
Ri ( ) Ci ( ) 1
(3) 以数λ 乘以I 中的第i行加到第j行去,得到的矩阵记为Rij ( )
以数λ乘以I 中的第j列加到第i列去,得到的矩阵记为 C
ji
( )
(Ql
1
Q2 Q )Q1 Q2 A Ql -1 Q21Q11
1
1 1
Ql A Ql
1
Q2 Q I
1
1 1
故
即 A P 1 P 2
P IA
1 1
1 1 1
P l
现在给出求逆阵的另一种方法:
原理:
因为
P l P
1
1
1 l 1
P l P
1 l 1
P A I
1.2.3 初等变换与逆矩阵
第i、j列变
第i列变
第j列变
c j kci
例 利用矩阵的行初等变换解方程组
解 将方程组的增广矩阵作行初等变换
0
3
3 2
0
1
2 3
续解
0
0
3
7
得同解方程组
原方程组的解为
1.2.2 初等矩阵及其性质
初等矩阵有三种类型:
定义 由单位阵I 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。
(1) 对调I 中的第 i, j 行,得到的矩阵记为Rij
a13 a23 a33
a14 a24 a34
我们将第二列和第三列交换一下, 可以用
a11 a21 a 31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
a14 a24 a34
1 0 0 0
0 0 1 2) r1 r3 ( 3) r1
1 0 0 1 0 2 1 0 0 1 0 2 ) r2 ( 1 2 3 5 0 2 0 3 2 5 0 1 0 2 1 2 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1
矩阵初等变换的符号表示
行变换
Row
列变换
Column
交换i, j两行
ri rj
k ri
第i、j行变
第 i 行乘数K
第 i行乘数K后加 到第 j 行上去 交换i, j两列 第 i 列乘数K 第 i 列乘数K后加 到第 j 列上去
第i行变
第j行变
r j kri
ci c j
k ci
(1) 交换矩阵的两行（列）; (2) 以任意非零数λ乘以矩阵的某一行（列）的每一个元素; (3) 某一行（列）的每个元素乘以同一常数加到另一行（列） 的对应元素上去。 矩阵的行初等变换、列初等变换统称为矩阵的初等变换。
定义
若矩阵A经过有限次的初等变换后化为矩阵B，则 称矩阵A与B等价（equation），记为 A B
多媒体教学课件
华南农业大学理学院应用数学系
1.2 初等变换与初等矩阵
1.2.1 初等变换 1.2.2 初等矩阵及其性质
1.2.3 初等变换与逆矩阵
1.2.1 初等变换
a11 x 1 a12 x 2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 ........................................ am1 x 1 am 2 x 2 amn xn bm
a12 a22 a32
a13 a23 a33
a14 a24 a34
a31 a32 a33 a34 a a a a 21 22 23 24 a a a a 11 12 13 14
而得到.
例
a11 a21 a 31
a12 a22 a32
b1n b2 n bnn 1 b12 0 1 0 0 b1n d2n d nn
1 0 0
b12 c22 cn 2
b1n c2 n cnn
1 0 0
b12 1 dn2