矩阵的初等变换
矩阵的初等变换
o 等价。 o
13
第一章
例2.3 问矩阵
设
1 1 4 0 1 2 1 0 A 0 1 2 0 , B 1 3 0 2 2 2 0 1 0 1 1 2
A
与矩阵
B
是否等价？
解 先求矩阵 A 与矩阵
1 4 1 2 0 2 4 0 0 11 3 2r3r1 2 2 r1 0 0 0 r 0 00 0 0 0
B 的标准形
11 11 4 4
4 4 2 2 8 8 11 1 14 0 r3r3 44r4 4r 0 0 0 1 1 2 0 0 0 0 0 0 0
1 1 A 0 A 0 1 2 2 2
3 2
0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
第一章
0 1 2 1 0 1 2 1 0 1 1 0 2 0 1 0 r r2 r1 rr32 0 1 1 2 r3 2 B 1 3 0 2 0 1 1 2 0 1 1 2 0 1 1 2 0 1 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0
r1 4 r2 1 r3 143
5 1 0 59 0 1 14 3 0 0 1 0
1 0 0 5 0 1 0 3 0 0 1 0
r2 14 r3 r1 59 r3
1 0 0 5 D 0 1 0 3 0 0 1 0
1 0 3 D. 0 1 0 0 0 1
例2：写出上题中初等矩阵的逆
线性代数-矩阵的初等变换
线性代数-矩阵的初等变换
矩阵的初等变换是线性代数中的基本运算，初等变换包括三种初等⾏变换与三种初等列变换。
分别为：
对换变换，即i ⾏与j ⾏进⾏交换，记作r i <->r j ;数乘变换，⾮零常数k 乘以矩阵的第i ⾏，记作kr i ;倍加交换，矩阵第i ⾏的k 倍加到第j ⾏上，记作r j + kr i
对应关系换成列，即为三种初等列变换。
矩阵变换可以化简矩阵、解线性⽅程组、求矩阵的逆矩阵。
⾏阶梯形的定义：
1、对于⾏⽽⾔，若有零⾏，则零⾏均在⾮零⾏的下⽅；
2、从第⼀⾏开始，每⾏第⼀个⾮零元素前⾯的零逐⾏增加。
对于矩阵A，很显然符合⾏阶梯形的定义：
1234502456000070
对第⼀⾏作 r1 - r2 变换得到矩阵：
10−1−1−10245600007
继续作 0.5 r2 变换
10−1−1−10125/23000070
r2 - 3/7 r3； r1 + 1/7r3 变换10−1−100125/200000700000
1/7 r3 变换
10−1−100125/20000010
对于矩阵A mxn ，通过有限次初等变换可以转换成⾏阶梯形的形式。
A的最简形：⾮零⾏的第⼀个⾮零元素是1，且1所在的列，⾮零元素均为零。
显然最后⼀个⾏阶梯形矩阵符合A的⾏最简形定义。
A的标准型：左上⾓是⼀个r阶的单位矩阵，其余元素为零。
[
]
[
][
]
[][
]
Processing math: 100%。
6.6矩阵的初等变换
矩阵的秩
定义9· 18 在 m n 矩阵中，任取 k 行 k 列 (k min{m, n}) ，位 于这些行列交叉处的 k 2个元素，不改变他们在 A 中所处的位置次序而得到的 k 阶行列式，称为矩 阵 A 的 k 阶子行列式（简称 k 阶子式）．
0 1 6 4 1 3 2 3 6 1 r1 r4 2 0 1 5 3 4 3 2 0 5
6.6.2 矩阵的秩
解： 1 6 r 3r r3 2 r1 0 20 r4 3r1 0 12 0 16 1 6 r3 3r2 0 4 r4 5r2 0 0 0 0
矩阵的初等变换
解：
1 0 1 0 2 1 r r 1 1 1 r1 33r 1 0 0 3 3 1 2 2 3 3 5 r1 2 r2 0 1 0 0 1 0 3 2 2 2 2 2 0 0 1 1 3 2 0 0 1 1 3 2
4 5
22 34
5
矩阵的初等变换
2.用初等变换求逆矩阵 定理 设 A 为 n 阶可逆矩阵， E 为 n 阶单位矩阵，若 对 n 2n 阶矩阵 ( A E) 作一系列初等行变换，使它 变为 (E B)，则 B A1 ．
矩阵的初等变换
例23
3 2 1 用初等行变换求矩阵 A 1 2 2 的逆矩阵 . 3 4 3
1 2 2 0 1 0 1 2 2 0 1 0 1 r2 3 3 1 r3 4 r2 3 3 1 2 0 1 0 0 1 0 2 2 2 2 2 2 0 4 5 1 3 0 0 0 1 1 3 2
矩阵的初等变换
论 A m 结 :设 是 ×n矩 , 阵
A 过 干 初 行 变 变 B A 若 经 若 次 等 列 换 成 ,即 → B, 在 阶 等 逆 阵1 2L l n 初 ⇔存 m 初 (可 )矩 P ,P , ,P和 阶 等 逆 阵 1 (可 )矩 Q ,Q2, ,Qt使 L 得 B = PP LPAQQ2LQt 1 2 l 1
所以,对AX = B ⇒ X = A−1B,
行 可构造[ AB] [ EX] , X = A−1B →
−1 −1 −1 k 2 1 : k 行 P−1LP−1P−1 −1 2 1
特别Ax = β ⇒ x = A−1β ,
可构造[ Aβ ] [ Ex] , x = A β →
行 −1
1 1 1 3 (2) 例 已知A = , B = 2 5且AX = B.求解X. 3 −2
应 初 行 换 相 的 等 变 .
a1 a2 a3 1 0 k a1 a2 a3 + ka1 b b b 0 1 0 b b b kb 再 1 2 3 看 = 1 2 3 + 1 c1 c2 c3 0 0 1 c1 c2 c3 + kc1
0 0 0 1 0 0 −2 1 0 0 0 1 0 1 −2 1 0 0 0 1 0 1 −2 1 0 0 0 1
1 0 −2 1 ∴[(C − B)T ]−1 = 1 −2 0 1 1 0 0 1 ∴A = D[(C − B)T ]−1 = 0 0 0 0
1 性 : P(i(k)) = k ≠ 0, P(i(k)) = P(i( )) 质 k
−1
1 1 O O 1 1 k ri + krj (3)E = O O (c + kc ) = P(i, j(k)) j i uuuuuuuuu r 1 1 O O 1 1
第三章 矩阵的初等变换
第三章 矩阵的初等变换矩阵是数学中一个重要的概念，它在科学和工程应用中有着广泛的用途。
矩阵的初等变换是矩阵学中的一项基本操作，对矩阵进行初等变换可以用于求解线性方程组、矩阵的逆以及矩阵的特征值与特征向量等问题。
本章将从初等变换的定义、性质、分类以及应用方面进行阐述。
一、初等变换的定义及性质1. 初等变换的定义初等变换是矩阵学中对矩阵的一种基本操作，它包括三种类型的变换：（1）交换矩阵的任意两行或两列；（2）用非零常数乘矩阵的任意一行或一列；（3）把矩阵的任意一行或一列加上另一行或一列的某个倍数。
这三种变换分别称为行变换、列变换和倍加行变换 （或倍加列变换）。
通过对矩阵进行这三种变换，可以使得矩阵的某些特性变得更加清晰，可以方便地进行矩阵运算、矩阵求解等操作。
2. 初等变换的性质（1）初等变换不改变矩阵的秩。
（2）初等变换不改变矩阵的行列式的值。
（3）若矩阵A经过一次初等变换得到矩阵B，则存在一个可逆矩阵P，使得P·A=B。
（4）由矩阵A经过若干次初等变换得到的矩阵B和矩阵A之间可通过一系列的初等矩阵相乘得到，即B=E1·E2·...·En·A，其中Ei为第i种初等矩阵。
二、初等变换的分类根据初等变换的不同类型，我们可以把初等变换分为三类：行初等变换、列初等变换和整体初等变换。
1. 行初等变换行初等变换是对矩阵的一行进行变换，包括以下三种类型：（1）交换矩阵的两行；（2）用一个非零常数乘以矩阵的某一行；（3）把矩阵的某一行加上另一行的某个倍数。
对于一个n阶矩阵A，我们可以用行向量$(a_{1i} ,a_{2i} ,...,a_{ni})^{T}$表示A的第i行，例如A的第1行可以表示为$(a_{11} ,a_{12} ,...,a_{1n})^{T}$。
那么通过上述变换，我们可以得到新的矩阵A'，它的第i行表示为：（1）若把矩阵第i行和第j行交换，则$A'_{i}=A_{j}$，$A'_{j}=A_{i}$，其余行不变；（2）若用非零常数k乘以矩阵的第i行，则$A'_{i}=kA_{i}$，其余行不变；（3）若把矩阵的第j行的k倍加到第i行上，则$A'_{i}=A_{i}+kA_{j}$，其余行不变。
矩阵的初等变换
矩阵的初等变换矩阵的初等变换是指矩阵的元素可以通过运用一系列简单的操作进行变换，而不改变矩阵的表达式形式。
它主要有三种：行变换、列变换和对角变换。
1、行变换行变换就是对矩阵进行以下操作：（1）把矩阵的一行或者多行乘以一定的非零常数；（2）把矩阵的一行或者多行加上矩阵的另一行乘以一定的非零常数；（3）交换矩阵的两行。
2、列变换列变换就是对矩阵进行以下操作：（1）把矩阵的一列或者多列乘以一定的非零常数；（2）把矩阵的一列或者多列加上矩阵的另一列乘以一定的非零常数；（3）交换矩阵的两列。
3、对角变换对角变换就是把矩阵的一行或者一列乘以一定的非零常数，改变的只有矩阵的对角线上的元素。
二、矩阵的初等变换的作用矩阵的初等变换在数学中被用来解方程组，对矩阵进行相应的变换，可以使矩阵变得简单易懂，方便求解。
1、消元消元是指用初等变换将不完全行列式变为下三角形式，也就是将原有的矩阵通过初等变换转化为更简单易懂的形式。
消元可以解决线性方程组，求解使方程组成立的一组解。
2、求逆矩阵求逆矩阵是指找到可以使一个矩阵的乘积等于单位矩阵的矩阵，如果形式方程有唯一解，则可以通过求逆矩阵来求解。
三、矩阵的初等变换的实践1、求解线性方程组例1：求解下列线性方程组x1+x2+x3=22x1+x2+2x3=5x1+2x2+2x3=4通过消元法可以将方程转化为x2+2x3=32x2+4x3=7又因为，x3=3-2x2，于是有x2=1/2x3=7/4因此，原方程的解为：x1=2-x2-x3=2-1/2-7/4=9/4x2=1/2x3=7/42、求逆矩阵例2：求解矩阵A的逆矩阵A=[2 34 5]首先，计算矩阵A的行列式，即|A|=2*5-3*4=-2，所以|A|不等于0，A是可逆矩阵。
计算A的逆矩阵A^(-1)，A^(-1)=[5/2 -3/2-2 1]最终A^(-1)=[5/2 -3/2-2 1]四、结论矩阵的初等变换是一种重要的数学工具，它可以利用简单的操作改变矩阵的形式，从而解决一些数学方程，例如求解线性方程组和求逆矩阵。
矩阵的初等变换
定义:如果矩阵A经过有限次初等列变换变成矩阵B,就 定义 称矩阵 与B列等价 矩阵A与 列等价 列等价,记作A~B ; 矩阵
定义:如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B,就称 定义 矩阵A与 等价 等价,记作A~B . 矩阵 与B等价
§1 矩阵的初等变换
例
1 2 A= 1 2
2 3 4 5 1 4 6 8 10 r2 −2r1 0 1 3 3 4 5 4 5 8 10 2
2 3 4 0 0 0
5 0 = A3 3 3 4 5 4 5 8 10
§1 矩阵的初等变换
§1
矩阵的初等变换
主要内容： 主要内容： 一、矩阵的初等行变换 二、矩阵的初等变换 三、矩阵之间等价 四、行阶梯形矩阵 五、行最简形矩阵
§1
矩阵的初等变换
定义:下面三种变换称为矩阵的初等行变换 初等行变换: 定义 初等行变换 (1) 对调两行 (对调i , j 两行,记作ri↔rj ); (2)以数k≠0乘某一行中的所有元素 (第i行乘k,记作ri×k) ; (3)把某一行中的所有元素的k倍加到另一行对应的元素上 去(第j行的k倍加到第i行上,记作ri+krj) .
r 2 − 2 r1 r3 − r1 r 4 − 2 r1
§1 矩阵的初等变换
r 2 ↔ r3
A1
− 1 × r4
1 0 0 0 2 1 0 0
2 1 0 0 3 0 1 0
3 0 0 1 4 0 0 0
4 0 0 0
5 0 = A2 0 0 5 0 = A3 0 0
第三节 矩阵的初等变换
6 3 9 3
(2) A r113
2 0
1 3 1 1 3 4
2 3 9 6
0 (3)A r13r3 0
6 18 21 1 3 4
定义2 矩阵的初等列变换:
设A是m n矩 阵,
(i) 对调A的两列(对调 i, j 两列, 记作 ci cj );
设A是m n矩阵,
(i) 对调A的两行(对调 i, j 两行, 记作 ri rj );
(ii) 以一个非零数 k 乘以A的某一行中的所有元素 (第 i 行乘以 k , 记作 kri );
(iii) 把A的某一行所有元素的 k倍加到另一行 对应的元素上去 (第 j 行的 k倍加到第 i 行上,记作 ri +krj).
定
，
其 中r就 是 行 阶 梯 形 矩 阵 中 非零 行 的 行 数.
(2)所 有与A矩 阵等 价 的 矩阵 组 成 的一 个集 合 ， 称 为一 个 等 价类. 标 准形F 是 这个 等 价 类中 形 状最 简 单 的矩 阵.
(3) 矩阵A可以 只通过初等行变换 化为 行阶梯形、行最简单形. 再通过初等列变换 化 为 标 准 形.
1 6 4 1 4
r2 r4
0 2 3
4 0 2
3 1 0
1 1
5 5
03
1 6 4 1 4
rr43 32rr11
0 0 0
4 12 16
3 9 12
1 7 8
1
1121
1 6 4 1 4
(ii) 以非零数k 乘以A的某一列中的所有元素 (第 i 列乘以 k , 记作 kci );
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二、消元法解线性方程组
同解方程组
分析：用消元法解下列方程组的过程．
引例 求解线性方程组
2 x1 x2 x3 x4 2, 1
4
x1 x2 2 x3 x1 6 x2 2 x3
x4 2 x4
4, 4,
2
32
(1)
3 x1 6 x2 9 x3 7 x4 9, 4
一、矩阵的初等变换
1、定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
1 对调两行（对调i, j 两行,记作ri rj）； 2以数 k 0 乘以某一行的所有元素;
（第 i 行乘 k,记作 ri k）
3 把某一行所有元素的k 倍加到另一行
对应的元素上去（第 j 行的 k 倍加到第i 行上 记作ri krj）.
由于三种变换都是可逆的，所以变换前的 方程组与变换后的方程组是同解的．故这三种 变换是同解变换．
因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组
的系数和常数进行运算，未知量并未参与运
算．
若记
2 1 1 1 2
B
(
A
b)
1 4
1 6
2 2
1 2
4 4
3 6 9 7 9
3、定义3 如果矩阵A经有限次初等变换变成矩 阵B，就称矩阵A与B等价，记作A ～ B
r
A～B ,
c
A～B ,
等价关系的性质： （1） 反身性 A A； （2）对称性 若 A B ,则 B A; （3）传递性 若 A B, B C,则 A C. 具有上述三条性质的关系称为等价．
（1）交换方程次序； （ i 与 j 相互替换）
（2）以不等于０的数乘某个方程； （以 i k替换 i ）
（3）一个方程加上另一个方程的k倍． （以 i k j 替换 i ）
3．上述三种变换都是可逆的．
若( A) i j (B), 则(B) i j ( A); 若( A) i k (B), 则(B) i k ( A); 若( A) i k j (B), 则(B) i k j ( A).
解得 x1 x3 4, x2 x3 3, x4 3, x3可任意取值.
令x3 c,方程组的解为
x1 c 4
x2 c 3
x3
c
x4 3
小结：
1．上述解方程组的方法称为消元法．
2．始终把方程组看作一个整体变形，用到如 下三种变换
a11 a12
A
a21
a22
am1 am2
系数矩阵
a1n a2n
x1
X
x2
amn
xn
b1
b
b2
bn
(1) 可以表示为 AX b.
称B =(A b)为A的增广矩阵
同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是 把“r”换成“c”)．
2、定义2 矩阵的初等列变换与初等行变换统 称为初等变换．
初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型 相同．
ri rj ri k ri krj
逆变换 逆变换 逆变换
ri rj;
ri
(1) k
或
ri
k;
ri (k)rj 或 ri krj .
x2 x3 x4 0, 2x4 6,
x4 3,
1 2 3 4
x1 x2 2 x3 x4 4, 1
3 4
4 23
x2 x3 x4 0, x4 3,
2 3
0 0,
4
用“回代”的方法求出解：
(B3 ) (B4 )
x1 x2 2 x3 x4 4, 1
2 x2 5 x2
2 x3 5 x3
2 x4 3 x4
0, 6,
2 3
3 x2 3 x3 4 x4 3, 4
(B1 ) (B2 )
2 1 2
3 52 4 32
x1 x2 2 x3 x4 4,
定义 如果两个线性方程组同解，则称这两个线 性方程组等价。
线性方程组的矩阵表示式
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
a21 x1 a22 x2 a2n xn b2
(1)
am1 x1 am2 x2 amn xn bm
则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B(方 程组 (1) 的增广矩阵）的变换．
用矩阵的初等行变换 解方程组（2）：
2 1 1 1 2
B
1 4
1 6
2 2
1 2
4 4
3 6 9 7 9
1 1 2 1 4
r1 r2 r3 2
2 2 3
1 0
1 0
0 1
3 3
B
5
0 0 0 0 0
B5
对应的方程组为
x1 x2
ห้องสมุดไป่ตู้
x3 x3
4 3
1 3
6
1 1
9
1 1
7
2 2
B1
9
r2 r3 1 1 2 1 4
r3 2r1 r4 3r1
0 0 0
2 5
3
2 5
3
2 3
4
0 6
B2
3
r2 2 r3 5r2
r4 3r2
1 1 2 1 4
解
(1)
1 2 3 2
23 3 21
4 31
x1 x2 2 x3 x4 4, 1
2 x1 x2 x3 x4 2, 2 x1 3 x2 x3 x4 2,
2 3
3 x1 6 x2 9 x3 7 x4 9, 4
0 0
1 0
1 0
1 2
0 6
B3
0 0 0 1 3
r3 r4 r4 2r3
1 1 0 1 0 0 0 0
2 1 1 1
01 00
4
0 3
B
4
0
r1 r2 r2 r3
1 0 1 0 4
0 0