第十五讲 不等式(一)
不等式知识点详解
不等式知识点详解不等式是数学中的一种重要的表示关系的方式，它利用不等号（大于号、小于号、大于等于号、小于等于号等）来表示数之间的大小关系。
不等式在数学中的运用广泛，特别在代数、几何、经济学等领域中起到了重要的作用。
下面将详细介绍一些有关不等式的基本知识点。
一、不等式的基本形式1. 一元一次不等式：形如ax+b>0（或<0）、ax+b≥0（或≤0）的不等式，其中a、b为已知的实数，x为未知数。
2. 一元二次不等式：形如ax^2+bx+c>0（或<0）、ax^2+bx+c≥0（或≤0）的不等式，其中a、b、c为已知的实数，x为未知数。
3.绝对值不等式：形如，f(x)，>g(x)（或，f(x)，<g(x)，f(x)，≥g(x)，f(x)，≤g(x)）的不等式，其中f(x)和g(x)均为含有x的函数。
4.分式不等式：形如f(x)/g(x)>0（或<0、≥0、≤0）的不等式，其中f(x)和g(x)均为含有x的函数。
二、不等式的性质1.基本性质：不等式在数轴上表示一组数，一般情况下是一个区间或它的余区间。
对于不等式来说，如果它的一个解是真解，则它关于这个解的两边均成立。
2.四则运算性质：对于不等式，可以进行加减乘除等四则运算，但需要注意乘除以负数时不等号的方向要翻转。
3.取绝对值性质：对于不等式中的绝对值，可以将其加上取非的表示方式，即，a，>b等价于a>b或a<-b。
4.平方性质：对于一元不等式中的平方项，当平方项为正时，等号成立时解可能为空集；当平方项为负时，等号成立时解为全集；当平方项与常数同号时，等号成立时解由其他项决定。
三、不等式的求解方法1.绝对值不等式的求解方法：-对于，f(x)，>g(x)的不等式，可以考虑f(x)>g(x)和f(x)<-g(x)两个不等式，然后求解得出解集。
-对于，f(x)，<g(x)的不等式，可以考虑-f(x)<g(x)和f(x)<g(x)两个不等式，然后求解得出解集。
不等式讲解
不等式讲解不等式定义：不等式是表示两个变量，其中一个变量不随另一个变量的变化而变化。
有些常见的情形，例如圆的标准方程为x^2+y^2=r(1)1、方程的意义及性质(1)方程的意义。
一般地，方程就是含有未知数的等式。
设，当且仅当为等式时，我们就说方程成立，这个条件称为方程的成立条件，记作，也称为方程的条件，方程的解称为方程的解或解得。
(2)方程的性质。
如果方程在x→x，则，是方程的解的充分条件;是方程的解的必要条件;是方程的解的任意条件;是方程的解。
(3)不等式的意义和性质。
不等式是表示两个变量，其中一个变量不随另一个变量的变化而变化。
它既不同于命题，也不同于判断，但可以用等式的判别式来刻画它。
通常把“不等式”写成不等号后面的式子与原不等式的左边对齐，然后再在不等式的左边写上不等号右边的式子，并注上不等号表示的意义，从而使不等式的含义比较明确。
(二)不等式的解集不等式的解集的概念如下：若，则称是不等式的解集，简称为解集。
如何求解不等式？。
注意！这里的求解只能是按照不等式的性质来进行推导。
可以使用代入法，观察法，图象法等。
2、不等式的解法。
(1)含有未知数的一元一次不等式的解法。
①将一元一次不等式转化为整式一元一次不等式组，再解决②的过程(先利用相似，找出一条相似曲线，再利用相似三角形的性质求解)。
③的过程(利用垂直平分线性质，设已知点，用勾股定理求出点，再利用点到直线的距离等于斜率的平方求解)。
(2)含有未知数的一元二次不等式的解法。
①含有一元二次不等式，无法直接解决时，利用合并同类项来解决。
②将含有一元二次不等式转化为[gPARAGRAPH3]类型的一元二次不等式组，利用这种方法求解。
③解决时，采用同样的方法。
④，若具有分类讨论思想方法，可直接进行讨论，从而得到结果。
⑤，将一元二次不等式转化为标准形式后，利用待定系数法，构造辅助函数，使用分析综合法进行求解。
⑥，将一元二次不等式解决完后，利用待定系数法，构造辅助函数，将一元二次不等式的根与方程联立，解方程，然后即可解答了。
不等式知识结构及知识点
不等式知识结构及知识点不等式是数学中常见的一种表示数值关系的方法。
它描述了数值的大小关系，其中包括大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）和小于等于（≤）四种基本形式。
不等式有着广泛的应用，在代数、几何、数论、概率论等数学分支中都有重要的应用。
不等式的知识结构主要包括以下几个方面：1. 不等式的基本性质：不等式的基本性质是不等式研究的基础。
其中包括传递性、对称性、可乘性、可加性等性质。
例如，如果a>b，b>c，则必有a>c；如果a>b，则必有ca>cb（c为正数或负数）等。
2.不等式的解集表示：解集表示是研究不等式的关键，通过确定不等式的解集，可以得到不等式的解集的性质和特点。
解集表示一般包括用区间表示、用集合表示、用图形表示等方法。
3.不等式的化简与等价变形：不等式的化简与等价变形是研究不等式的重要方法，可以通过这些方法将复杂的不等式化简为简单的形式，或将不等式转化为等价的形式从而得到解的性质。
4.不等式的求解：不等式的求解是研究不等式的一个重要问题，可以通过代数法、函数法、图形法、符号法等方法来求解不等式。
求解不等式的过程包括确定不等式类型、化简不等式、确定解集等步骤。
5.不等式的应用：不等式在实际问题中有广泛的应用，例如在优化问题中的最大值、最小值的求解，约束条件下的最优化问题等都可以通过不等式的方法进行求解。
不等式的常见知识点包括：1. 一元线性不等式：一元线性不等式是最基本的一类不等式，其形式为ax+b>0或ax+b<0，其中a、b为实数，x为未知数。
求解一元线性不等式可以通过移项、合并同类项、分析系数的正负等方法进行。
2. 一元二次不等式：一元二次不等式是一种含有一元二次函数的不等式，其形式为ax^2+bx+c>0或ax^2+bx+c<0，其中a、b、c为实数，x 为未知数。
求解一元二次不等式可以利用一元二次函数的凹凸性质、判别式等方法进行。
不等式基本概念与性质
不等式基本概念与性质不等式是数学中重要的概念之一，用于表示两个数的大小关系。
与等式相比，不等式描述的是不等关系，由此引出了不等式的基本概念与性质。
本文将从不等式的定义、不等式的解集、不等式性质等方面进行论述，旨在让读者更全面地了解不等式的基本概念与性质。
一、不等式的定义不等式是表示两个数的大小关系的数学式子，用不等号（>、<、≥、≤）进行表示。
其中，>表示“大于”，<表示“小于”，≥表示“大于等于”，≤表示“小于等于”。
二、不等式的解集不等式的解集由使不等式成立的所有实数组成。
解集的表示方法有两种：用区间表示和用集合表示。
（1）用区间表示解集当不等式中含有“>”、“<”时，解集用开区间表示。
例如，不等式x > 3的解集表示为(3, +∞)，表示所有大于3的实数。
当不等式中含有“≥”、“≤”时，解集用闭区间表示。
例如，不等式x≤ 5的解集表示为(-∞, 5]，表示所有小于等于5的实数。
（2）用集合表示解集当解集中的元素不连续时，用集合表示解集。
例如，不等式2 < x < 5的解集表示为{x ∈ R | 2 < x < 5}，表示所有大于2且小于5的实数。
三、不等式的性质不等式具有一些基本的性质，这些性质对于解不等式方程非常有帮助。
（1）加减性质若a > b，则a + c > b + c，a - c > b - c，其中c为任意实数。
（2）乘除性质若a > b 且 c > 0，则ac > bc；若a > b 且 c < 0，则ac < bc。
（3）倒数性质若a > b 且 c > 0，则1/a < 1/b；若a > b 且 c < 0，则1/a > 1/b。
这些性质可以用来化简不等式的形式，使得求解不等式更加简单。
四、不等式的图示为了更直观地理解不等式的解集，我们可以将不等式的解集用数轴表示出来。
初中数学知识点：不等式
初中数学知识点：不等式（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
文档下载后可定制修改，请根据实际需要进行调整和使用，谢谢!并且，本店铺为大家提供各种类型的经典范文，如职场文书、合同协议、策划方案、规章制度、演讲致辞、应急预案、心得体会、教学资料、作文大全、其他范文等等，想了解不同范文格式和写法，敬请关注!Download tips: This document is carefully compiled by this editor. I hope that after you download it, it can help you solve practical problems. The document can be customized and modified after downloading, please adjust and use it according to actual needs, thank you!Moreover, our store provides various types of classic sample essays, such as workplace documents, contract agreements, planning plans, rules and regulations, speeches, emergency plans, experiences, teaching materials, essay summaries, and other sample essays. If you want to learn about different sample formats and writing methods, please stay tuned!初中数学知识点：不等式初中数学知识点必备：不等式在我们平凡的学生生涯里，不管我们学什么，都需要掌握一些知识点，知识点也不一定都是文字，数学的知识点除了定义，同样重要的公式也可以理解为知识点。
不等式性质的ppt
x＜-1
例3.设a＞b，用“＜”或“＞”填空： (1)a-3 b-3 (2) a b (3) -4a -4b
解：(1) ∵a＞b 2 2 ∴两边都减去3，由不等式基本性质1 得 a-3＞b-3
(2) ∵a＞b，并且2＞0 ∴两边都除以2，由不等式基本性质2 得
(3) ∵a＞b，并且-4＜0 ∴两边都乘以-4，由不等式基本性质3 得 -4a＜-4b
（2）当不等式两边都乘以（或除以）同 一个数时，一定要看清是正数还是
负数；对于未给定范围的字母，应
分情况讨论.
1. 下列各数中,哪些是不等是x+3>6的 解?哪些不是?
-4; -2.5; 0;
1; 2.5 ;
3; 3.2; 4.8;
2. 用不等式表示: (1)a是正数;
8; 12. (2)y的2倍与1的差大于3;
0下载券文档一键搜索 VIP用户可在搜索时使用专有高级功能：一键搜索0下载券文档，下载券不够用不再有压力！
内容特 无限次复制特权 权 文档格式转换
VIP有效期内可以无限次复制文档内容，不用下载即可获取文档内容 VIP有效期内可以将PDF文档转换成word或ppt格式，一键转换，轻松编辑！
阅读页去广告
6×(-5) ＜ 2×(-5) (4)-2<3, (-2)×6 ＜ 3×6,
(-2)×(-6) ＞ 3×(-6)
由上面规律填空: (1)当不等式两边加上或减去同一个数
(正数或负数)时,不等号的方向 不变 ;
(2)当不等式两边乘同一个正数时,不等号
的方向不变 ;而乘同一个负数时,不等号的方向 ___改__变____
不等式的性质(1)
1.什么是等式？ 2.等式的基本性质是什么？
不等式ppt课件
不等式的应用场景
01
02
03
04
数学领域
解决各种不等关系的问题，如 最值、范围等。
物理领域
描述物理现象和规律，如力学 、电磁学等。
经济领域
描述经济变量之间的关系，如 价格、成本等。
实际生活
描述日常生活中的不等关系， 如时间、距离等。
02
不等式的类型
算术平均数与几何平均数的不等式
总结词
算术平均数与几何平均数的不等式是一种基本的不等式，它反映了平均值与方 差之间的关系。
实际应用定义
描述实际生活中两个量之 间的不等关系，如价格、 距离等。
不等式的性质
加法单调性
即同向不等式相加，不等号不 改变方向。
反身性
任何实数都大于它本身。
传递性
如果a>b，b>c，则a>c。
乘法单调性
即不等式乘以一个正数，不等 号不改变方向；乘以一个负数 ，不等号改变方向。
非空性
不等式的两边都可以取无穷大 或无穷小。
03
不等式的证明方法
利用导数证明不等式
总结词
导数是一阶导数的简称，它描述了函数在某一点的变化率， 可以用来判断函数的单调性和凹凸性，从而帮助我们证明不 等式。
详细描述
首先，我们需要找到不等式两边的函数，然后求导，通过比 较导数值的大小来判断函数的单调性，从而得出不等式的证 明结论。
利用拉格朗日中值定理证明不等式
详细描述
柯西不等式表明，对于任何实数x 和y，都有$x^2+y^2 \geq 2xy$ ，当且仅当x=y时等号成立。这 个不等式在解决一些最优化问题 时非常有用。
排序不等式
总结词
排序不等式是一种基于排序原理的不 等式，它反映了有序实数之间的差值 与乘积之间的关系。
中考数学专题复习课件 --- 第十五讲函数与方程(组)、不等式
的取值范围.
【思路点拨】把(-1，0)，(0，3)分别代入y=-x2+bx+c，得关
于b、c的二元一次方程组,解方程组得b、c的值,从而得到函 数值y为正数时，自变量x的取值范围.
【自主解答】(1)把(-1，0)，(0，3)分别代入y=-x2+bx+c， 得 1 b c 0 ，解得
所以直线AB与直线CD的交点坐标为(-2，2).
1.(2010· 孝感中考)若直线x+2y=2m与直线2x+y=2m+3(m为常 数)的交点在第四象限，则整数m的值为( (A)-3，-2，-1，0 )
(B)-2，-1，0，1
(C)-1，0，1，2
(D) 0，1，2，3
【解析】选B.解方程组 x 2y 2m
x 2 2 x 2 8. (2010·黄冈中考)若函数 y , 则当函数值 2x x 2
y＝8时，自变量x的值是( (A) 6 (C) 6 或4
)
(B)4 (D)4或 6
【解析】选D.本题函数有两种情况(1)y=x2+2,当 y＝8时 ,有
3 y x，整理得 3.5 2
4.(2011·连云港中考)因长期 干旱，甲水库蓄水量降到了正 常水位的最低值.为灌溉需要， 由乙水库向甲水库匀速供水， 20 h后，甲水库打开一个排灌闸为农田匀速灌溉，又经过20 h，甲水库打开另一个排灌闸同时灌溉，再经过40 h，乙水库 停止供水.甲水库每个排泄闸的灌溉速度相同，图中的折线表
【例3】(2010 ·株洲中考)二次函数 y=x2-mx+3的图象与x轴的交点如图所 示,根据图中信息可得到m的值是_____. 【思路点拨】由图象可以看出抛物线与 x轴的一个交点的坐标,把这个交点坐标 代入二次函数y=x2-mx+3,解方程得m的值.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
L3数学：高三考前冲刺复习资料 第十五讲 不等式（一）
知识点：
1、回顾不等式的解法；
2、线性规划中的最优解；
3、基本不等式。
一、选择题
1、不等式
26
01
x x x ---＞的解集为（ ） （A ）}32|{>-<x x x 或 （B ）}312|{<<-<x x x 或 （C ）}312|{><<-x x x 或 （D ）}3112|{<<<<-x x x 或
2、不等式
3
2
x x -+＜0的解集为（ ） (A){}23x x -<< (B){}2x x <- (C)}32|{>-<x x x 或 (D){}3x x >
3、不等式0ln ln 2<+x x 的解集是（ ）
（A ）)1,(1-e （B ）),1(e
（C ）)1,0(
（D ）),0(1-e
4、满足线性约束条件23,23,0,0
x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪
⎨≥⎪⎪≥⎩的目标函数z x y =+的最大值是（ ）
（A ）1 （B ）3
2
（C ）2 （D ）3
4、已知0,0>>y x ,822=++xy y x ，则y x 2+的最小值是（ ） （A ）3 （B ）4 （C ）29 （D ）2
11
5、设y x ,为正数, 则)4
1)((y
x y x ++的最小值为（ ）
（A ）6 （B ）9 （C ）12 （D ）15
6、已知b a <<0，且1=+b a ，则下列不等式中，正确的是（ ）
（A ）0log 2>a （B ）21
2<-b a
（C ）2log log 22-<+b a （D ）212<
+a
b b a
7、若直线
1=+b
y
a x 通过点)sin ,cos αα（M ,则（ ） （A ）
122≤+b a （B ）12
2≥+b a （C ）11122≤+b a （D ）1112
2≥+b a
8、设0a b c >>>，则221121025()
a ac c a
b a a b +
+-+-的最小值是（ ） （A ）2 （B ）4 （C ）25 （D ）5
9、设0a ＞b ＞，则()
211a ab a a b +
+-的最小值是（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
10、已知
a b +<<10,若关于x 的不等式2()x b -＞2
()ax 的解集中的整数恰有3个，
则（ ）
（A ）01<<-a （B ）10<<a （C ）31<<a （D ）63<<a
11、不等式2
313x x a a +--≤-对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） （A ）(,1][4,)-∞-+∞ （B ）(,2][5,)-∞-+∞ （C ）[1,2] （D ）(,1][2,)-∞+∞
二、填空题
12、若正实数y x ,满足xy y x =++62，则xy 的最小值是
13、已知,,x y z R +
∈，230x y z -+=，则2
y xz
的最小值
14、函数)1,0(1)3(log ≠>-+=a a x y a 的图象恒过定点A ，若点A 在直线
01=++ny mx 上，其中0>mn ,则
n
m 2
1+的最小值为
15、已知()()[]432,0,1f x a x b a x =-+-∈，若()2f x ≤恒成立，则t a b =+的最大值为
16、已知点P 是边长为23的等边三角形内一点，它到三边的距离分别为x 、y 、z ，则x 、y 、z 所满足的关系式为 ，222x y z ++的最小值是 ．
知识巩固 1、不等式
2
5
2(1)x x +-≥的解集是 （ ）
（A ）132⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， （B ）132⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， （C ）(]11132⎡⎫⎪⎢⎣⎭ ，， （D ）(]
11132⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ ，，
2、若变量y x ,满足约束条件1
325x y x x y ≥-⎧⎪
≥⎨⎪+≤⎩
则y x z +=2的最大值为（ ）
（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
3、若b a >，则下列不等式中正确的是（ ）
（A ）b a 1
1< （B ）22a b > （C ）2a b ab +> （D ）222a b ab +>
4、已知0,0a b >>，则11
2ab a b ++的最小值是（ ）
（A ）2 （B ）22 （C ）4 （D ）5
5、已知,x y R +∈，且满足13
4
x y
+=，则xy 的最大值为
6、已知,x y R +∈，且41x y +=，则x y ⋅的最大值为_____
7、已知点),(y x P 满足条件)(020为常数k k y x x y x ⎪⎩
⎪
⎨⎧≤++≤≥，若y x z 3+=的最大值为8，则k =。