等式与不等式
等式与不等式的认识与运算知识点总结
等式与不等式的认识与运算知识点总结等式和不等式是数学中非常重要的概念。
等式表示两个数量相等的关系，而不等式则表示两个数量之间的大小关系。
在数学中，对这两个概念的理解和应用至关重要。
本文将对等式与不等式的认识和运算知识点进行总结。
一、等式的认识与性质等式是数学中用“=”号表示的两个表达式相等的关系。
对于任意的数值和变量，可以用等式来表达它们之间的相等关系。
1. 等式的性质（1）等式有自反性：对于任意的数值或表达式，它永远等于自己，即a = a。
（2）等式有对称性：如果a = b，则b = a。
（3）等式有传递性：如果a = b，且b = c，则a = c。
（4）等式可以进行加、减、乘、除的运算。
对等式的两边同时进行相同的运算，等式仍然成立。
二、不等式的认识与性质不等式是用“<”、“>”、“≤”、“≥”等符号表示的两个数量大小关系的式子。
不等式可以表示两个数的大小关系，也可以表示一组数的大小关系。
1. 符号的含义（1）< 符号表示小于，表示左边的数小于右边的数。
（2）> 符号表示大于，表示左边的数大于右边的数。
（3）≤ 符号表示小于等于，表示左边的数小于或等于右边的数。
（4）≥ 符号表示大于等于，表示左边的数大于或等于右边的数。
2. 不等式的性质（1）不等式有传递性：如果a < b，且b < c，则a < c。
（2）对于不等式，可以进行加、减、乘、除运算，但需要注意不等号的方向。
三、等式与不等式的运算1. 等式的运算对于等式，可以进行以下运算：（1）加法运算：若a = b，则a + c = b + c。
（2）减法运算：若a = b，则a - c = b - c。
（3）乘法运算：若a = b，则a * c = b * c。
（4）除法运算：若a = b，则a / c = b / c（其中c ≠ 0）。
2. 不等式的运算对于不等式，可以进行以下运算：（1）加法运算：若a < b，则a + c < b + c。
专题2.1 等式与不等式(精讲精析篇)(解析版)
专题2.1等式与不等式（精讲精析篇）提纲挈领点点突破热门考点01 不等式的性质及应用1.比较大小的常用方法(1)作差法一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差．(2)作商法一般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④结论．*(3)函数的单调性法将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数的单调性得出大小关系． 2．判断不等式是否成立的方法(1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．(2)在判断一个关于不等式的命题的真假时，可结合不等式的性质，对数函数、指数函数的性质进行判断． 3．求代数式的取值范围利用不等式性质求某些代数式的取值范围时．一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围，是避免错误的有效途径． 4.不等式性质 (1)对称性：a >b ⇔b <a . (2)传递性：a >b ，b >c ⇒a >c . (3)可加性：a >b ⇒a ＋c >b ＋c .(4)可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b ，c <0⇒ac <bc . (5)加法法则：a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d . (6)乘法法则：a >b >0，c >d >0⇒ac >bd . (7)乘方法则：a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥2)． (8)开方法则：a >b >0⇒n a >nb (n ∈N ，n ≥2)．【典例1】（2018·上海高考真题）已知R a ∈，则“1a >”是“11a<”的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件【答案】A 【解析】a ∈R ，则“a ＞1”⇒“11a＜”， “11a＜”⇒“a ＞1或a ＜0”， ∴“a ＞1”是“11a＜”的充分非必要条件． 故选：A ．【典例2】（2018·上海曹杨二中高一期末）如果,a b c d >>，则下列不等式成立的是（ ）A.a c b d ->-B.a c b d +>+C.a b d c> D.ac bd >【答案】B 【解析】A 项，当54,31a b c d =>==>=时，2,3a c b d -=-=，则a c b d -<-，故A 项不一定成立； 因为,a b c d >>，两式相加得a c b d +>+，故B 项一定成立；当21,11a b c d =>==>=-时，2,1a bd c =-=，则a b d c<，故C 项不一定成立； D 项，当12,34a b c d =->=-=->=-时，3,8ac bd ==，则ac bd <，故D 项不一定成立；故选：B 【典例3】若,则的大小关系是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 ∵，∴又，∴∴ 故选：D 【特别提醒】考查的命题角度，主要有三个，比较数（式）值的大小、不等式的性质、不等式的性质与其它知识点的交汇．热门考点02 一元二次不等式的解法1.解一元二次不等式的一般步骤(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式． (2)判：计算对应方程的判别式．(3)求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根． (4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集． *2．分式不等式的解法求解分式不等式的关键是对原不等式进行恒等变形，转化为整式不等式(组)求解．(1)()()0f x g x ＞()()()0)00(·f x g x ⇔＜＞＜；(2)()()0f x g x ≥ ()0≤⇔()()()0(0)0f x g x g x ≥≤⎧≠⋅⎪⎨⎪⎩3．含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论．(1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论．(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式． (3)对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．【典例4】（（2019·全国高考真题（理））已知集合{}}242{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ⋂=A ．}{43x x -<<B ．}{42x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<【答案】C 【解析】分析：本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．详解：由题意得，{}{}42,23M x x N x x =-<<=-<<，则{}22M N x x ⋂=-<<．故选C ．【典例5】（2018·上海曹杨二中高一期末）若集合{}31,2,3,4,0,1x A B xx R x ⎧⎫-==<∈⎨⎬+⎩⎭，则A B ⋂=__________；【答案】{}1,2 【解析】 由301x x -<+⇒ (3)(1)0x x -+< ⇒ 13x ，所以}{13,B x x x R =-<<∈， 又因为{}1,2,3,4A =，所以}{1,2A B ⋂=. 故答案为：{}1,2【典例6】（2015·广东高考真题（文））不等式的解集为 ．（用区间表示）【答案】【解析】 由得：，所以不等式的解集为，所以答案应填：．【特别提醒】随着学习的深入，对一元二次不等式的解法解法的独立考查，越来越少，往往作为一种工具、技能，与其它知识点交汇考查．热门考点03 一元二次不等式恒成立问题1.一元二次不等式恒成立问题的求解策略 (1)不等式ax 2＋bx ＋c ＞0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝b ＝0，c ＞0或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，b 2－4ac ＜0.(2)不等式ax 2＋bx ＋c ＜0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0，c ＜0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，b 2－4ac ＜0.2．一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题的求解方法(1)若f (x )＞0在集合A 中恒成立，即集合A 是不等式f (x )＞0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)．*(2)转化为函数值域问题，即已知函数f (x )的值域为[m ，n ]，则f (x )≥a 恒成立⇒f (x )min ≥a ，即m ≥a ；f (x )≤a 恒成立⇒f (x )max ≤a ，即n ≤a .*3．一元二次不等式在参数某区间上恒成立确定变量x 范围的方法解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解．【典例7】若关于x 的不等式222321x x a a -+>--对一切实数x 都成立，则实数a 的取值范围是______. 【答案】{}13a a -<< 【解析】分析：根据题意可知，只需223x x -+的最小值大于221a a --即可，解不等式即可求出． 详解：因为()2223122y x x x =-+=-+，所以2212a a --<，解得13a -<<.故答案为：{}13a a -<<．【典例8】（2018·天津高考真题（文））已知a R ∈，函数()22220220x x a x f x x x a x ⎧++-≤=⎨-+->⎩，，，．若对任意x ∈［–3，+∞），f (x )≤x 恒成立，则a 的取值范围是__________．【答案】1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】分类讨论：①当0x >时，()f x x ≤即：222x x a x -+-≤， 整理可得：21122a x x ≥-+， 由恒成立的条件可知：()2max 11022a x x x ⎛⎫≥-+> ⎪⎝⎭，结合二次函数的性质可知：当12x =时，2max 1111122848x x ⎛⎫-+=-+= ⎪⎝⎭，则18a ≥； ②当30x -≤≤时，()f x x ≤即：222x x a x ++-≤-，整理可得：232a x x ≤--+， 由恒成立的条件可知：()()2min3230a x x x ≤--+-≤≤，结合二次函数的性质可知： 当3x =-或0x =时，()2min322x x --+=，则2a ≤；综合①②可得a 的取值范围是1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故答案为1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【典例9】【2018河南南阳第一中学模拟】已知当11a -≤≤时， ()24420x a x a +-+->恒成立，则实数x 的取值范围是_____________. 【答案】()(),13,-∞⋃+∞【解析】设()()()2244g a x a x x =-+-+，由于()24420x a x a +-+->恒成立，所以()0g a >，因此()()10{ 10g g ->->，整理得22560{ 320x x x x -+>-+>，解得13x x 或，即实数 的取值范围是()(),13,-∞⋃+∞.【总结提升】三道例题，分别代表如下类型：（1）一元二次不等式在R 上的恒成立问题 （2）一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题． （3）一元二次不等式给定参数范围的恒成立问题.在这三种类型中，转化与化归思想的应用意识要强，要体会具体转化方法的应用热门考点04 绝对值不等式1．绝对值不等式的解法（1）形如|ax ＋b|≥|cx ＋d|的不等式，可以利用两边平方的形式转化为二次不等式求解． （2）形如|ax ＋b|≤c(c>0)和|ax ＋b|≥c(c>0)型不等式 ①绝对值不等式|x|>a 与|x|<a 的解集②|ax ＋b|≤c(c>0)和|ax ＋b|≥c(c>0)型不等式的解法|ax ＋b|≤c ⇔－c≤ax ＋b≤c (c>0)， |ax ＋b|≥c ⇔ax ＋b≥c 或ax ＋b≤－c(c>0)． 2. 绝对值不等式的应用如果a ，b 是实数，那么|a ＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．【典例10】（2019·天津高考真题（理））设x R ∈，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】化简不等式，可知 05x <<推不出11x -<； 由11x -<能推出05x <<，故“250x x -<”是“|1|1x -<”的必要不充分条件， 故选B.【典例11】（2019·上海曹杨二中高一月考）若关于x 的不等式11x x a -++≥的解集为R ，则实数a 的取值范围为______. 【答案】2a ≤ 【解析】由绝对值不等式的性质可得： 1111112-++=-++≥-++=x x x x x x ， 又关于x 的不等式11x x a -++≥的解集为R ， 即11x x a -++≥恒成立； 所以只需2a ≤. 故答案为： 2a ≤【典例12】解下列不等式：（1）343x ->；（2）523x -≤；（3）115x x ++-≤．【答案】(1)17,,33⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）[]1,4（3）55,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】分析：根据公式()0x a a x a >>⇔>或x a <-，()0x a a a x a ≤>⇔-≤≤可以解出（1）（2）；利用零点分段法可以解出（3）.详解：（1）343343x x ->⇔->或343x -<-，解得73x >或13x <，所以不等式的解集为17,,33⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）5233253x x -≤⇔-≤-≤，解得14x ≤≤，所以不等式的解集为[]1,4； （3）原不等式等价为1115x x x ≥⎧⎨++-≤⎩ 或11115x x x -<<⎧⎨++-≤⎩ 或()1115x x x ≤-⎧⎨-++-≤⎩解得512x ≤≤或11x -<<或512x -≤≤-，即5522x -≤≤，所以不等式的解集为55,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【总结提升】1.绝对值不等式的常用解法有：定义法，公式法，零点分段法，数形结合法，以及平方法.2. 形如|x －a|＋|x －b|≥c(或≤c)型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a]，(a ，b]，(b ，＋∞)(此处设a<b)三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集． (2)几何法：利用|x －a|＋|x －b|>c(c>0)的几何意义：数轴上到点12x a x b ＝和＝的距离之和大于c 的全体，|||||()||.|x a x b x a x b a b ≥－＋－－－－＝－(3)图象法：作出函数12||||y x a x b y c ＝－＋－和＝的图象，结合图象求解．热门考点05 基本（均值）不等式及其应用1.通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形； (2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标； (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提． 2．条件最值的求解通常有三种方法一是“配凑法”.常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数等，以便于应用基本不等式. 二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值． 三是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解. *3. 利用基本不等式求解实际应用题的方法(1)此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解． 【典例13】（2019·浙江高考真题）若0,0ab >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】当0, 0a >b >时，a b +≥，则当4a b +≤时，有4a b +≤，解得4ab ≤，充分性成立；当=1, =4a b 时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成立，综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件.【典例14】（2019·上海交大附中高一期末）已知x ,R y *∈，且满足–20xy x y -=，则x y +的最小值为___________．【答案】3+【解析】分析：由题知2xy x y =+，同除xy ，得211x y+=，再借助基本不等式得最小值． 详解：由题知x ，y ，满足20xy x y --=，则2xy x y =+，同除xy ，得211x y+=，212()()3322x yx y x yx y y x +=++=+++，当且仅当2x =1y =时取到等号．故答案为：3+．【典例15】（2019·江苏高一月考）周长为12的矩形，其面积的最大值为（ ） A.6 B.7C.8D.9【答案】D 【解析】设矩形的长宽分别为 x ，y ， 则2(x +y )=12，化为x +y =6.292x y S xy +⎛⎫∴== ⎪⎝⎭，当且仅当 x =y =3 时取等号.因此面积的最大值是 9.故选：D.【典例16】已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：11119a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 【答案】见解析【解析】∵0a >，0b >，1a b ＋＝，∴11+=1+=2+a b b a a a+.同理，11+=2+a b b .∴111122b a a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝5+25+4=9b a a b ⎛⎫+≥⎪⎝⎭，当且仅当b a a b =，即1a=b=2时取“＝”．∴11119a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当12a b ==时等号成立． 【总结提升】1.基本不等式的综合应用求解策略(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解． (2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得到参数的值或范围． 2. 基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解．热门考点06．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式： 一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0).顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)，顶点坐标为(m ，n ). 零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，x 1，x 2为f (x )的零点. (2)二次函数的图象和性质解析式f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0)图象定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞)值域⎣⎡⎭⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎤－∞，4ac －b 24a单调性在⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a 上单调递减； 在⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞上单调递增 在⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a 上单调递增； 在⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞上单调递减 对称性函数的图象关于x ＝－b2a对称【典例17】（2019·北京临川学校高二期末（文））若函数f(x)＝8x 2－2kx －7在[1，5]上为单调函数，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(－∞，8] B ．[40，＋∞)C ．(－∞，8]∪[40，＋∞)D ．[8，40]【答案】C 【解析】由题意得，函数()2827f x x kx ＝－－图象的对称轴为8kx =，且抛物线的开口向上， ∵函数()2827f x x kx ＝－－在[1,5] 上为单调函数， ∴18k ≤或58k≥， 解得8k ≤或40k ≥，∴实数k 的取值范围是][(),840,∞∞⋃－＋． 故选C ．【典例18】（浙江省名校新高考研究联盟（Z20)2019届联考）】设函数，当时，记的最大值为，则的最小值为______．【答案】 【解析】 去绝对值，利用二次函数的性质可得，在的最大值为，，，中之一，所以可得，， ，，上面四个式子相加可得即有，可得的最小值为．故答案为．【总结提升】1.研究二次函数单调性的思路(1)二次函数的单调性在其图象对称轴的两侧不同，因此研究二次函数的单调性时要依据其图象的对称轴进行分类讨论．(2)若已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)在区间A 上单调递减(单调递增)，则A ⊆⎝⎛⎦⎤－∞，－b 2a ⎝⎛⎭⎫A ⊆⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞，即区间A 一定在函数对称轴的左侧(右侧)． 2.二次函数最值问题的类型及求解策略(1)类型：①对称轴、区间都是给定的；②对称轴动、区间固定；③对称轴定、区间变动．(2)解决这类问题的思路：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成．热门考点07. 三个“二次”之间的关系（1）关于x 的一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)或ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)的解集；若二次函数为f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则一元二次不等式f (x )>0或f (x )<0的解集，就是分别使二次函数f (x )的函数值为正值或负值时自变量x 的取值的集合． （2）三个“二次”之间的关系：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)，方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式Δ＝b 2－4ac判别式Δ＝b 2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0解不等式f (x )>0求方程f (x )＝0的解有两个不等的实数解x 1，x 2有两个相等的实数解x 1＝x 2没有实数解或f (x )< 0的步骤画函数y ＝f (x )的示意图得不等式 的解集f (x )>0__{x |x <x 1 或x >x 2}__ {x |x ≠－b2a} Rf (x )<0__{x |x 1<x <x 2}____∅____∅__【典例19】（2020·宜宾市叙州区第一中学校高一月考（理））已知函数2()1(0)f x x ax a =++>.（1）若()f x 的值域为[0,)+∞，求关于x 的方程()4f x =的解；（2）当2a =时，函数22()[()]2()1g x f x mf x m =-+-在[2,1]-上有三个零点，求m 的取值范围.【答案】（1）3x =-或1x =.（2）(1,2] 【解析】（1）因为()f x 的值域为[)0,+∞，所以()22min 1110242a f x f a a ⎛⎫=-=-+= ⎪⎝⎭. 因为0a >，所以2a =，则()221f x x x =++.因为()4f x =，所以2214x x ++=，即2230x x +-=， 解得3x =-或1x =.（2）()()()2221g x f x mf x m ⎡⎤=-+-⎣⎦在[]2,1-上有三个零点等价于方程()()22210f x mf x m ⎡⎤-+-=⎣⎦在[]2,1-上有三个不同的根. 因为()()22210f x mf x m ⎡⎤-+-=⎣⎦，所以()1f x m =+或()1f x m =-. 因为2a =，所以()221f x x x =++.结合()f x 在[]2,1-上的图象可知，要使方程()()22210f x mf x m ⎡⎤-+-=⎣⎦在[]2,1-上有三个不同的根，则()1f x m =+在[]2,1-上有一个实数根，()1f x m =-在[]2,1-上有两个不等实数根， 即114011m m <+≤⎧⎨<-≤⎩，解得12m <≤.故m 的取值范围为(]1,2.【典例20】（2015·浙江省高考真题（文））设函数2(),(,)f x x ax b a b R =++∈.（1）当214a b时，求函数()f x 在[1,1]-上的最小值()g a 的表达式； （2）已知函数()f x 在[1,1]-上存在零点，021b a ≤-≤，求b 的取值范围.【答案】（1）222,2,4(){1,22,2,24a a a g a a a a a ++≤-=-<≤-+>；（2）[3,9--【解析】 （1）当214a b时，2()()12a f x x =++，故其对称轴为2a x =-.当2a ≤-时，2()(1)24a g a f a ==++.当22a -<≤时，()()12a g a f =-=.当2a >时，2()(1)24a g a f a =-=-+.综上，222,2,4(){1,22,2,24a a a g a a a a a ++≤-=-<≤-+>（2）设,s t 为方程()0f x =的解，且11t -≤≤，则{s t ast b+=-=.由于021b a ≤-≤，因此212(11)22t ts t t t --≤≤-≤≤++. 当01t ≤≤时，222222t t t b t t --≤≤++， 由于222032t t --≤≤+和212932t t t --≤≤-+所以293b -≤≤-当10t -≤≤时，222222t t t b t t --≤≤++， 由于22202t t --≤<+和2302t t t --≤<+，所以30b -≤<.综上可知，b 的取值范围是[3,9--. 【规律总结】一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根，也是函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交点的横坐标．巩固提升1.（2017·浙江省高考真题）若函数()2f x =x ax b ++在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M m -的值（ ）A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关【答案】B 【解析】因为最值在2(0),(1)1,()24a a fb f a b f b ==++-=-中取，所以最值之差一定与b 无关，选B ．2．（2019·上海市吴淞中学高一月考）设集合{}0,1,2,3,4,5U =，{}1,2A =，{}2|230B x Z x x =∈--<，则()A B =U（ ）A.{}0,1,2,3B.{}5C.{}1,2,4D.{}0,3,4,5【答案】D 【解析】{}{}{}2|230|130,1,2B x Z x x x Z x =∈--<=∈-<<=，所以{}1,2A B =，所以(){}0,3,4,5UA B =，故选：D.3.（2017天津，文2）设x ∈R ，则“20x -≥”是“|1|1x -≤”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】20x -≥，则2x ≤，11x -≤，则111,02x x -≤-≤≤≤，{}{}022x x x x ≤≤⊂≤ ，据此可知：“20x -≥”是“11x -≤”的的必要的必要不充分条件，本题选择B 选项.4．（2019·上海曹杨二中高一月考）如果a ，b ，c ，满足c b a <<，且0ac <，那么下列不等式不成立的是（ ） A.ab ac > B.()0c b a ->C.2ab ab <D.()0ac a c -<【答案】C 【解析】因为c b a <<，且0ac <，所以0a >，0c <，因此ab ac >；A 正确； 又0b a -<，所以()0c b a ->；B 正确； 当13b =时，219=b ，此时2ab ab >，C 错误； 因为0a c ->，所以()0ac a c -<；D 正确. 故选：C5．（2018·上海市川沙中学高一期末）若2x =是方程222160x ax b ++-=的解，则ab 的最大值是（ ） A.16 B.12C.8D.4【答案】D 【解析】因为2x =是方程222160x ax b ++-=的解， 所以822160++-=a b ，即4a b +=，所以242+⎛⎫≤= ⎪⎝⎭a b ab ，当且仅当2a b ==时，取等号. 故选：D6．（2019·上海市吴淞中学高一月考）已知{}|0A x x =≥，{}2|10B x x bx =++=，若AB =∅，则实数b 的取值范围是（ ） A.{}|2b b ≥ B.{}|2b b ≥ C.{}|22b b -<< D.{}|2b b >-【答案】D 【解析】 ∵AB =∅，∴方程210x bx ++= 有两负根或无根，则240b b ⎧-⎨-<⎩ 或240b -<， 解得：2b ≥ 或22b -<<， ∴实数b 的取值范围是{}|2b b >- 故选：D7．已知关于x 的不等式210x x a -+-≥在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A.5,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B.5,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C.5,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D.5,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】记()21f x x x a =-+-，则原问题等价于二次函数()21f x x x a =-+-的最小值大于或等于0．而()21524f x x a ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，当12x =时，()min 54f x a =-，所以504a -≥，即54a ≥． 故选：D ．8．（2014·全国高考真题（文））不等式组(2)0{1x x x +><的解集为( )A ．{|21}x x -<<-B ．{|10}x x -<<C ．{|01}x x <<D ．{|1}x x >【答案】C 【解析】(2)020{{01111x x x x x x x +>-∴∴<<<-<<或，所以不等式的解集为{|01}x x <<9．若关于x 的不等式2162a b x x b a+<+对任意的0a >，0b >恒成立，则实数x 的取值范围是（ ） A.{}20x x -<< B.{|2x x <-或}0x > C.{}42x x -<< D.{|4x x <-或}2x >【答案】C 【解析】因为0a >，0b >，所以161628a b a bb a b a+⋅=（当且仅当4a b =时等号成立），所以由题意，得228x x +<，解得42x -<<，故选：C10.（2019·上海市莘庄中学高一期中）已知,x y R +∈且2xy =,则当x =________时，224x y +取得最小值.【答案】2 【解析】因为2xy =，所以2y x=222222216448x y x x x x ⎛⎫+= =++≥⎝⎭=⎪当且仅当2216x x=，即2x =时，224x y +取得最小值. 故答案为：211.（2018·上海高一期末）设{}2=320A x x x -+≤，(]=,B n -∞，如果AB =∅，则实数n 的取值范围是_________. 【答案】1n < 【解析】 由题知,{}12A x x =≤≤{}B x x n =≤,A B =∅,∴ 作图如下：由图得,n<1. 故答案为：n<112．（2019·上海闵行中学高一期中）若关于x 的不等式0x bx a-<-的解集是(2,3)，则a b +=________ 【答案】5 【解析】 因为不等式0x bx a-<-的解集是(2,3) 即2,3x x ==是方程()()0x b x a --=的解 所以2,3b a ==或2,3a b == 则5a b += 故答案为:513.（2019·海南高一期中）设0x >，0y >，且18x y +=，则xy 的最大值为_______. 【答案】81 【解析】0x ，0y >，2x yxy +∴≥ 即2812x y xy +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭， 当且仅当9x y ==时等号成立，()max 81xy ∴=. 故答案为：8114．（2020·山东省微山县第一中学高一月考）已知函数2()2(1)4f x x k x =+-+.（1）若函数()f x 在区间[]2,4上具有单调性，求实数k 的取值范围; （2）若()0f x >对一切实数x 都成立，求实数k 的取值范围. 【答案】（1）(,3][1,)-∞-⋃-+∞（2）()1,3-【解析】（1）由函数2()2(1)4f x x k x =+-+知，函数()f x 图象的对称轴为1x k =-.因为函数()f x 在区间[]2,4上具有单调性，所以12k -≤或14k -≥，解得3k ≤-或1k ≥-，所以实数k 的取值范围为(,3][1,)-∞-⋃-+∞.（2）解法一：若()0f x >对—切实数x 都成立，则∆<0，所以24(1)160k --<，化简得2230k k --<，解得13k -<<，所以实数k 的取值范围为()1,3-.解法二：若()0f x >对一切实数x 都成立，则min ()0f x >， 所以2min 164(1)()04k f x --=>， 化简得2230k k --<， 解得13k -<<，所以实数k 的取值范围为()1,3-.15.（2019·上海市吴淞中学高一月考）已知全集U =R ，集合{}2|340A x x x =+-≤，{}|11B x m x m =-≤≤+.（1）若1m =，求()U A B ；（2）若B A ⊆，求m 的取值范围.【答案】（1）(){}|40U B A x x =-≤<；（2）[]3,0- 【解析】（1）若1m =，则{}|02B x x =≤≤，所以{|0U B x x =<或}2x >，又因为{}|41A x x =-≤≤，所以(){}|40U B A x x =-≤< .（2）由（1）得，{}|41A x x =-≤≤，又因为B A ⊆，所以1411m m -≥-⎧⎨+≤⎩ ，解得[]3,0m ∈-. 16．（2019·上海曹杨二中高一月考）若关于x 的不等式()()21120k x k x -+-+>的解集为R ，求k 的取值范围.【答案】[)1,9【解析】当10k -=，即1k =时，原不等式可化为20>，显然恒成立，满足题意；当10k -≠，即1k ≠时，由不等式()()21120k x k x -+-+>的解集为R ， 可得：()()2101810k k k ->⎧⎪⎨∆=---<⎪⎩，即1(1)(9)0k k k >⎧⎨--<⎩，解得：19k <<. 综上，k 的取值范围是[)1,9.。
等式与不等式的区别
等式与不等式的区别等式和不等式是数学中常见的两种数学表达式，它们在解方程、比较大小等方面起着重要的作用。
本文将探讨等式与不等式的概念、特点以及它们之间的区别。
一、等式的概念及特点等式是指左右两边相等的数学表达式。
它可以使用等号“=”进行表示，例如：2 + 3 = 5。
在等式中，等号的左边称为等式的左边（左式），右边称为等式的右边（右式）。
等式的左右两边可以有相同或者不同的数学运算。
等式的特点主要有以下几点：1. 对称性：等式的左右两边可以互换位置，等式仍然成立。
例如：3 + 2 = 2 + 3。
2. 运算性：等式的左右两边可以进行相同的运算，等式仍然成立。
例如：2 + 3 - 1 = 4。
3. 等价性：等式的左右两边具有相同的数值，可以互相代替。
例如：2 +3 = 5，可以将5代替等式的左边或右边。
二、不等式的概念及特点不等式是指左右两边不相等的数学表达式。
它可以使用不等号“<”、“>”、“≤”、“≥”等进行表示，例如：2 + 3 < 7。
在不等式中，不等号的左边称为不等式的左边（左式），右边称为不等式的右边（右式）。
不等式的左右两边可以有不同的数学运算。
不等式的特点主要有以下几点：1. 不对称性：不等式的左右两边不能互换位置，不等式的方向性很重要。
例如：2 + 3 < 7，不能写成7 < 2 + 3。
2. 运算性：不等式的左右两边可以进行相同或者不同的运算，但是不等式的方向可能发生改变。
需要注意运算的结果对不等式的影响。
例如：2 + 3 < 5，可以进行运算得到5 < 5，进而可以推断出不等式不成立。
3. 范围性：不等式可以表示一定范围的数值大小关系。
例如：2 + 3 < x，表示x的取值范围大于5。
三、等式和不等式的区别主要体现在以下几个方面：1. 符号差异：等式使用等号“=”进行表示，而不等式使用不等号“<”、“>”、“≤”、“≥”。
等式和不等式学习等式和不等式的概念和表示方法
等式和不等式学习等式和不等式的概念和表示方法等式和不等式是数学中常见的概念和表示方法。
它们被广泛应用于各个领域，尤其在代数和数论中起着重要的作用。
本文将介绍等式和不等式的基本概念和表示方法，帮助读者更好地理解和运用这两个概念。
1. 等式的概念和表示方法等式是指两个表达式相等的关系。
在数学中，等式的表示形式为“左边表达式 = 右边表达式”，其中左边和右边的表达式可以是数字、变量或者其他代数式。
例如，2 + 3 = 5就是一个等式，其中左边表达式为“2 + 3”，右边表达式为“5”。
2. 不等式的概念和表示方法不等式是指两个表达式不相等的关系。
与等式不同的是，不等式表示了两个表达式之间的大小关系。
在数学中，不等式的表示形式有多种，常见的有大于和小于符号。
例如，2 + 3 < 6就是一个不等式，表示左边表达式小于右边表达式。
3. 等式和不等式的解集表示对于一个等式或不等式，它可能有多个或者无解。
解集是指满足等式或不等式的所有可能的值组成的集合。
以等式为例，我们可以通过求解找到所有满足等式的解。
例如，对于方程2x + 1 = 5，我们可以通过移项和化简的步骤得到解x = 2。
不等式的解集表示与等式类似，但存在一些区别。
对于不等式，由于存在大小关系，解集可以是一个范围或者多个离散的值。
例如，对于不等式3x < 9，我们可以通过除以3的方式得到解集{x | x < 3}，表示满足不等式的x的取值范围为负无穷至3之间的所有实数。
4. 等式和不等式的性质等式和不等式都有一些重要的性质，可用于简化和推导解集。
下面列举一些常见的性质：（1）等式的性质：等式具有传递性和对称性。
传递性表示如果a =b且b = c，则a = c。
对称性表示如果a = b，则b = a。
（2）不等式的性质：不等式具有加法性质、乘法性质和传递性。
加法性质表示如果a < b，则a + c < b + c。
乘法性质表示如果a < b且c > 0，则ac < bc。
第二章 等式与不等式
章末整合知识结构·理脉络等式与不等式⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧等式⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧等式的性质与方程的解集一元二次方程：ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)⎩⎨⎧求根公式：x ＝－b ±b 2－4ac2a 根与系数的关系：x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝ca 方程组的解集⎩⎪⎨⎪⎧二元一次方程组三元一次方程组二元二次方程组等式与不等式⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧不等式⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧不等关系与不等式⎩⎪⎨⎪⎧不等式的概念实数(代数式)大小的比较⎩⎪⎨⎪⎧ 依据⎩⎪⎨⎪⎧a －b <0⇔a <b a －b ＝0⇔a ＝ba －b >0⇔a >b基本方法：作差法、作商法不等式的性质：对称性、传递性、可加性、可乘性等式与不等式⎩⎪⎨⎪⎧一元二次不等式及其解法⎩⎪⎨⎪⎧概念解法⎩⎪⎨⎪⎧ 因式分解法、配方法含参不等式的解法应用⎩⎪⎨⎪⎧ 解分式不等式——化归为整式不等式从实际问题中建立一元二次不等式模型等式与不等式⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧均值不等式⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧内容：a＋b2≥ab(a>0，b>0)，当且仅当a＝b时，等号成立证明⎩⎪⎨⎪⎧几何证明代数证明应用⎩⎪⎨⎪⎧比较大小证明不等式求最值⎩⎪⎨⎪⎧⎦⎥⎤积定和最小和定积最大具备条件一正、二定、三相等解决实际问题要点梳理·晰精华1．不等式基本性质中注意问题(1)不等式的基本性质中性质4、6要注意符号，另外还有一些常用的结论，同学们也要掌握．如：“a>b且ab>0，则1a<1b”，“a>b，c<d，则a－c>b－d”，“a>b>0，c>d>0，则ad>bc”．在使用这些性质时，要注意上述各不等式成立的条件．(2)不等式的基本性质中，对表达不等式性质的各不等式要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说，每条性质是否具有可逆性．运用不等式的基本性质解答不等式问题时，要注意不等式成立的条件，否则将会出现一些错误．2．一元二次不等式的解法判别式Δ＝b2－4ac Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图像一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两相异实数根x1＝－b－Δ2a，x2＝－b＋Δ2a(x1<x2)有两相等实数根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1，或x>x2}{x|x∈R，x≠－b2a}Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}∅∅3．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为x1，x2，则x1＋x2＝－ba，x1＋x2＝ca，若bc ＝0时，关系式仍然成立．4．不等式组、简单分式不等式、绝对值不等式的解法(1)不等式组的解集等于组成该不等式组的每个不等式解集的交集． (2)解简单分式不等式应等价转化为整式不等式(整式不等式组)求解．(3)解绝对值不等式可根据绝对值的几何意义求解，也可按零点分段法逐段脱去绝对值号求解．5．均值不等式及有关结论(1)均值不等式：如果a >0，b >0，那么a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立，即正数a 与b 的算术平均数不小于它们的几何平均数．(2)几个常用的重要结论：①b a ＋ab≥2(a 与b 同号，当且仅当a ＝b 时取等号)． ②a ＋1a ≥2(a >0，当且仅当a ＝1时取等号)，a ＋1a ≤－2(a <0，当且仅当a ＝－1时取等号)．③ab ≤(a ＋b 2)2(a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b 时取等号)．(3)利用均值不等式求最值 已知x >0，y >0，则①如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p (简记：积定和最小)． ②如果x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值s 24(简记：和定积最大)．素养突破·提技能类型 特殊不等式的解法 ┃┃典例剖析__■ 1．一元高次不等式的解法典例1 解不等式：(x ＋2)(x 2－x －12)>0.思路探究：可转化为不等式组或用数轴标根法两种方法求解．归纳提升：解简单的一元高次不等式，主要通过数轴标根法来求解，其步骤是(1)将f(x)最高次项系数化为正数．(2)将f(x)分解为若干个一次因式或二次不可分解的因式的积，然后求出f(x)＝0的解，并在数轴上标出．(3)自数轴正方向起，用曲线从右至左、自上而下依次从各解穿过数轴．(4)记数轴上方为正，下方为负，根据不等式写出解集．在用数轴标根法求解高次不等式的过程中要注意：①区间端点能否取到；②各因式中最高次项的系数要全为正数；③奇数个等根，穿过，偶数个等根，穿而不过．2．分式不等式的解法典例2解不等式：x2＋2x－3－x2＋x＋6<0.思路探究：一般地，解分式不等式的基本思想是化分式不等式为整式不等式或整式不等式组．归纳提升：分式不等式的求解在高考中比较常见，解分式不等式的过程就是转化的过程，通过不等式的性质和符号运算规律将其转化为整式不等式问题，注意不等式的等价变形．类型含参不等式恒成立问题的求解策略┃┃典例剖析__■不等式恒成立问题是高考中的热点内容，它以多种形式出现在高中数学的各个分支中，扮演着重要的角色．求解含参不等式的恒成立问题的关键是转化与化归思想．一般而言，针对不等式的表现形式，有如下两种策略．1．判别式法典例3对于x∈R，不等式x2－2x＋3－m≥0恒成立，求实数m的取值范围．思路探究：不等式x2－2x＋3－m≥0恒成立，可转化为函数y＝x2－2x＋3－m图像恒在x 轴及其上方，即Δ≤0.归纳提升：有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化为二次函数或一元二次方程，通过根的判别式或数形结合思想，可使问题得到顺利解决．2．分离变量法典例4 若关于x 的不等式ax 2－2x ＋2>0对于满足1<x <4的一切实数x 恒成立．求实数a 的取值范围．思路探究：可先将参数的a 分离出来即a >2x －2x 2，然后再求2x －2x 2的最值．归纳提升：如果能够将参数分离出来，建立明确的参数和变量x 的关系，那么可以利用函数的最值求解．a >y 恒成立⇔a >y max ，a <y 恒成立⇔a <y min .类型 均值不等式的变形技巧 ┃┃典例剖析__■ 1．技巧一：添项典例5 求函数y ＝3x 2＋162＋x 2的最小值．思路探究：当求和的最小值时，尽可能凑定积，本题需添6，减6.2．技巧二：放入根号内或两边平方典例6 求函数y ＝x 1－x 2(0<x <1)的最大值．思路探究：求积的最值(因式中含根号)，把变量都放在同一条件下的根号里或者将两边平方去根号，整合结构形式，凑成定和，是解决本题的关键所在．3．技巧三：分子常数化典例7设x∈(0，＋∞)，求函数y＝2xx2＋4的最大值．思路探究：当分子的变量因子次数比分母的小且变量因子不为零时，都可同时除以分子所含变量因子使分子变量常数化，以实现变量形式的统一，从而使问题得以解决．归纳提升：运用均值不等式求解函数最值的关键是在求解过程中充分重视运用“一正、二定、三相等”这三个条件的基础上，观察结果，合理变形．其中，成功实现变形是关键．。
数学中的等式与不等式
数学中的等式与不等式在数学中，等式和不等式是最基本也最常见的数学概念之一。
它们在解方程、解不等式、证明等许多数学问题中起着重要的作用。
本文将介绍等式和不等式的基本概念、性质以及在数学中的应用。
一、等式的概念与性质1. 等式的定义：等式是指两个表达式之间用等号连接的数学语句。
例如，2 + 3 = 5，表示“2加3等于5”。
2. 等式的性质：a. 等式的对称性：如果等式中的两个表达式交换位置，仍然成立。
例如，2 + 3 = 5等于5 = 2 + 3。
b. 等式的传递性：如果等式A = B和等式B = C成立，那么等式A = C也成立。
c. 等式的替换性：等式中的相同的量可以互相替换，等式仍然成立。
例如，如果2 + 3 = 5成立，那么可以将其中的2替换为5-3，得到5-3 + 3 = 5。
二、不等式的概念与性质1. 不等式的定义：不等式是指两个表达式之间用不等号（<、>、≤、≥）连接的数学语句。
例如，3 < 5，表示“3小于5”。
2. 不等式的性质：a. 不等式的传递性：如果不等式A > B和不等式B > C成立，那么不等式A > C也成立。
b. 不等式的加减性：两个不等式如果一个大于一个数，那么它们相加或相减的结果仍然成立。
例如，如果A > B，C > D，那么A + C > B + D，A - C > B - D。
c. 不等式的乘除性：如果不等式A > B成立，而C是一个正数，则AC > BC。
如果是一个负数，则AC < BC。
但当C为零时，不等式无法确定。
三、等式和不等式在数学中的应用1. 解方程：等式用于解决方程问题，即找到使得等式成立的未知数的值。
2. 解不等式：不等式用于解决不等式问题，即找到使得不等式成立的未知数的范围。
3. 证明：等式和不等式被广泛用于数学证明中，通过运用等式和不等式的性质，推导出新的等式和不等式，从而得出结论。
等式性质与不等式性质
一元二次函数、方程和不等式一、等式与不等式性质在数量关系上，相等用等式表示，不相等用不等式表示。
由于数轴上的点与实数一一对应，所以可以利用数轴上点的位置关系来规定实数的大小关系。
关于实数a ，b 的大小比较，有以下基本事实：1、如果a -b 是正数，那么a>b ；2、如果a -b 是等于0，那么a=b ；3、如果a -b 是负数，那么a<b 。
反过来也对。
从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为它们的差和0的大小。
在正方形ABCD 中，有四个全等的直角三角形。
设直角三角形的两条直角边的长为a ，b.那么正方形的边长为22a b +，四个直角三角形的面积和为2ab,正方形的面积为a 2+b 2，由于正方形的面积大于或等于四个直角三角形的面积和，因此ab b a 222≥+.一般地，,,R b a ∈∀有ab b a 222≥+，当且仅当a=b 时，等号成立。
利用完全平方公式，得()2222-b a ab b a -≥+，当且仅当a=b 时，等号成立。
（一）等式的基本性质：性质一、如果a=b ，那么b =a ；性质二、如果a=b ，b=c ，那么a =c ；性质三、如果a=b ，那么c b c a ±=±；性质四、如果a=b ，那么ac=bc ；性质五、如果a=b ，0≠c ,那么.（二）不等式的基本性质：性质一、如果a>b ，那么b<a ；如果a<b ，那么b>a 。
性质二、如果a>b ，b>c ，那么a>c 。
性质三、如果a>b ，那么a+c>b+c 。
性质四、如果a>b ，c>0,那么ac>bc ；如果a>b ，c<0,那么ac<bc 。
性质五、如果a>b ，c>d,那么a+b>c+d 。
性质六、如果a>b>0，c>d>0,那么ac>bd 。
等式与不等式知识点总结
等式与不等式知识点总结1. 等式与不等式基本概念等式是指两个表达式之间通过等号连接的关系，表示两个量相等。
不等式是指两个表达式之间通过不等号连接的关系，表示两个量之间的大小关系。
2. 等式与不等式的性质•等式的性质：–自反性：任何数与自身相等，即 a = a。
–对称性：若 a = b，则 b = a。
–传递性：若 a = b 且 b = c，则 a = c。
•不等式的性质：–自反性：任何数与自身不等，即a ≠ a。
–对称性：若 a > b，则 b < a；若 a < b，则 b > a。
–传递性：若 a > b 且 b > c，则 a > c；若 a < b 且 b < c，则 a < c。
3. 等式的解•等式的解是指能够使等式成立的值。
对于一元一次方程 a*x + b = 0，解为x = -b/a。
•对于高次方程，可以使用因式分解、配方法、求根公式等方法求解。
4. 不等式的解•不等式的解是指能够使不等式成立的值的集合。
对于一元一次不等式 a*x +b > 0，解为 x > -b/a。
•对于复杂的不等式，可以使用图像法、代入法、分析法等方法求解。
5. 等式与不等式的性质运用•等式与不等式的性质可以用于证明与推理。
•可以通过等式的性质将一个等式转化为另一个等价的等式，从而简化计算过程。
•可以通过不等式的性质确定不等式的解集，并进行进一步的推导和分析。
6. 一元一次不等式•一元一次不等式是指只含有一个未知数的一次不等式。
•解一元一次不等式的方法有图像法、代入法、分析法等。
7. 一元二次不等式•一元二次不等式是指含有一个未知数的二次不等式。
•解一元二次不等式的方法有图像法、代入法、分析法等。
8. 系统的等式与不等式•系统的等式与不等式是指含有多个未知数的等式与不等式。
•解系统的等式与不等式的方法有代入法、消元法、图像法等。
9. 不等式的加减乘除性质•加减乘除性质是指对不等式两边同时进行加减乘除运算，不等号的方向会发生改变。
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等式与不等式
在数学中，等式与不等式是两种不同的数学表达方式。
等式是指两
个数或者表达式之间相等的关系，通常用等号（=）表示；而不等式则
表示两个数或者表达式之间不相等或者大小关系的一种数学形式。
本
文将对等式和不等式进行详细介绍，包括其定义、性质以及在数学中
的应用。
一、等式的定义与性质
等式是指数学表达式中两个数或者表达式之间相等的关系。
等式使
用等号（=）进行表示，左右两边的数或表达式具有相等的值。
例如：
2 +
3 = 5
在这个等式中，左边的表达式2 + 3与右边的数5具有相等的值，
因此该等式成立。
等式具有以下性质：
1. 反身性：任何数与自身相等，即a = a。
2. 对称性：如果a = b，则b = a。
3. 传递性：如果a = b且b = c，则a = c。
4. 替换性：在等式的两边同时加上（或减去）相同的数或者表达式，等式仍然成立。
表达式，等式仍然成立。
等式在数学中有着广泛的应用，可以用于解方程、证明等各个领域。
二、不等式的定义与性质
与等式相比，不等式表示的是两个数或者表达式之间不相等或者大
小关系。
常见的不等式有大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）、小
于等于（≤）等符号。
例如：
3 +
4 > 7
这个不等式表示左边的表达式3 + 4大于右边的数7，因此该不等式成立。
不等式具有以下性质：
1. 反身性：任何数与自身不相等，即a ≠ a。
2. 对称性：如果a > b，则b < a；如果a ≥ b，则b ≤ a。
3. 传递性：如果a > b且b > c，则a > c；如果a ≥ b且b ≥ c，则a ≥ c。
4. 替换性：在不等式的两边同时加上（或减去）相同的正数，不等
式的大小关系保持不变；在不等式的两边同时加上（或减去）相同的
负数，不等式的大小关系发生改变。
等式的大小关系保持不变；在不等式的两边同时乘以（或除以）相同
的负数，不等式的大小关系发生改变，并且需要反转不等号的方向。
不等式在数学中也有着重要的应用，尤其在解不等式、不等式证明
以及线性规划等领域。
三、等式与不等式的应用
等式和不等式在数学中有着广泛的应用。
1. 解方程和不等式：等式和不等式可以用于解决各种数学问题，尤
其是方程和不等式相关的问题。
通过解方程和不等式，我们可以求出
未知数的值域或者满足条件的解集。
2. 几何问题：等式和不等式也可以用于解决几何问题。
例如，在求
解三角形的边长或者角度时，通常需要利用等式和不等式的性质进行
推导和计算。
3. 经济与优化问题：在经济学和优化理论中，等式和不等式被广泛
用于描述和解决资源分配、生产最优方案等问题。
线性规划就是一种
基于等式和不等式的优化方法。
总结：
等式和不等式是数学中重要的概念和工具。
等式表示两个数或者表
达式之间的相等关系，而不等式则表示它们之间的不相等或者大小关系。
通过等式和不等式，我们可以解方程、解不等式，求解几何问题，
解决经济和优化相关的问题。
掌握等式和不等式的定义、性质和应用，对于理解和应用数学具有重要意义。