矩阵的初等变换ppt课件
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6讲2.6初等矩阵 PPT课件
20
2.6.3 矩阵等价的充要条件
*定理2.4 A可逆 初等阵 P1, , Pk 使:
证 显然
A可逆
A P1 Pk
r(A)=n A 初E
即存在初等阵 P1, P2 , , Ps , Q1, Q2, , Qt
使 P1P2…PsAQ1Q2…Qt=E
A
P P 1 1 s s1
P11 EQt1Qt11
A
E
列
E A1
26
例3 用初等行变换求矩阵A的逆矩阵:
0 2 1
A
1
1
2
1 1 1
解 先将A化为行阶梯阵,再化为单位阵
27
0 2 1 1 0 0 1 1 2 0 1 0
[A
E]
1
1
2
0 1 0 0 2 1 1 0 0
a24
a21
a22
a23
a24
2
a31 a32 a33 a34 a31 a32 a33 a34 3
3 6
31
预习完 2.8
(^-^) Bye!
32
例6
将
A
1 1
1
1
表示成为初等方阵
之积.
解
A
1 1
1
1
1 0
1
2
1 0
1
1
E
33
E(1,2(1))E(2(1))E(2,1(1))A E
初等变换与初等矩阵课件
0 0 0
3 0 0
2 0 0
1
0
0
1 0 0 0
c2
1 3
c3 2c2
c4 c2
0 0
1 0
0 0
0 0
I2 O
O O
，
0 0 0 0
最后一个分块矩阵称为矩阵C1的等价标准形矩阵， 简称标准形，分块矩阵的左上角的单位阵的阶数恰9
好等于行阶梯形（或行最简形）矩阵中非零行的行
1 0 2 0 0 1
0 2 3 1 0 1
1 0 2 0 0 1
1 0 2 0 0 1
r2 3r3
r1 r3
0
1
6
0
1
3
r3 2r2
0
1
6
0
1
3
0 2 3 1 0 1
0 0 9 1 2 5
1
r3
1 9
r2 6r3
0
r1 2r3
0
0 1 0
0 0 1
2
9 2 3 1 9
如果A是可逆矩阵，我们可以用初等行变换的方法
求A1B：
A1 A, B I, A1B ,
32
或用初等列变换的方法求BA1：
A
B
A1
I BA1
.
例2.27 求矩阵X，使AX B，其中
1 2 3 2 5
A
2
3
2 4
1 3
,
B
3 4
1 3
.
解 对分块矩阵 A, B施行初等行变换：
B
1 4 3
1 6
6
2 2
9
1 2
7
4 94
1 1 2
线性代数课件--05矩阵的初等变换与初等矩阵-PPT精品文档
课件 7
Go
由此可知，方程组的三种同解变换很自然地要引 入到矩阵上，导出矩阵矩阵的三种初等行变换. 同时，必须注意，原方程组能同解变换成什么样 的最简单方程组，就是相当于增广矩阵在初等行 变换下能变成什么样的最简单矩阵（行最简形矩 阵）. 就本例来说，四个未知数划分为自由未知数 x 3 和 非自由未知数 x 1, x 2, x 4.
《线 性 代 数》
电子教案之五
课件
1
主要内容
第 矩阵的初等变换的概念； 五 阶梯形矩阵的概念； 讲
矩 阵 的 初 等 变 换 与 初 等 矩 阵 矩阵等价的概念； 三种初等矩阵，初等矩阵与初等变换的联系.
基本要求
熟悉掌握用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩 阵，知道矩阵等价的概念； 知道初等矩阵，了解初等矩阵与初等变换的联 系，掌握用初等变换求可逆矩阵的逆阵的方法.
1 2 3 4
Байду номын сангаас
( B2 )
x x 2 x x 4 , 1 2 3 4 2 12 x x x 0 , 2 3 4 2 x 6 , 3 52 4 4 32 x 3 . 4
课件
( B3 )
4
2
1 2
3 52 4 32 3
1 2
4 3 0 . 3
课件
6
说明
求解线性方程组可分为消元与回代两过程。消元 过程的实质，就是通过一系列方程组的同解变换 找到一个形式上较简单的方程组，然后进行回代， 这里方程组的同解变换是指下列三种变换： 对调两个方程； 以不为零的数乘某一个方程； 把一个方程的倍数加到另一个方程上. 从原方程组 ( 1 ) 同解变换到方程组( B 5 ) 的过程可见， 除去代表未知数的文字外，矩阵与方程组是一一 对应的.换言之，方程组有没有解，有什么样解完 全由各方程组的系数和常数项连同它们相互位置 所成数表，即增广矩阵所决定.而且，对方程组作 同解变换，相当于对它的增广矩阵作相应的变换.
Go
由此可知，方程组的三种同解变换很自然地要引 入到矩阵上，导出矩阵矩阵的三种初等行变换. 同时，必须注意，原方程组能同解变换成什么样 的最简单方程组，就是相当于增广矩阵在初等行 变换下能变成什么样的最简单矩阵（行最简形矩 阵）. 就本例来说，四个未知数划分为自由未知数 x 3 和 非自由未知数 x 1, x 2, x 4.
《线 性 代 数》
电子教案之五
课件
1
主要内容
第 矩阵的初等变换的概念； 五 阶梯形矩阵的概念； 讲
矩 阵 的 初 等 变 换 与 初 等 矩 阵 矩阵等价的概念； 三种初等矩阵，初等矩阵与初等变换的联系.
基本要求
熟悉掌握用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩 阵，知道矩阵等价的概念； 知道初等矩阵，了解初等矩阵与初等变换的联 系，掌握用初等变换求可逆矩阵的逆阵的方法.
1 2 3 4
Байду номын сангаас
( B2 )
x x 2 x x 4 , 1 2 3 4 2 12 x x x 0 , 2 3 4 2 x 6 , 3 52 4 4 32 x 3 . 4
课件
( B3 )
4
2
1 2
3 52 4 32 3
1 2
4 3 0 . 3
课件
6
说明
求解线性方程组可分为消元与回代两过程。消元 过程的实质，就是通过一系列方程组的同解变换 找到一个形式上较简单的方程组，然后进行回代， 这里方程组的同解变换是指下列三种变换： 对调两个方程； 以不为零的数乘某一个方程； 把一个方程的倍数加到另一个方程上. 从原方程组 ( 1 ) 同解变换到方程组( B 5 ) 的过程可见， 除去代表未知数的文字外，矩阵与方程组是一一 对应的.换言之，方程组有没有解，有什么样解完 全由各方程组的系数和常数项连同它们相互位置 所成数表，即增广矩阵所决定.而且，对方程组作 同解变换，相当于对它的增广矩阵作相应的变换.
西北工业大学《线性代数》课件-第三章 矩阵的初等变换
1 0 0 0
1 0 0 0
c2
1 4
1
1
0
0
c2 c1
0
1
0 0
3 2 0 0
1 2 0 0
列 最 简 形
定理秩3.为3 r的 矩阵m A，n 经过有限次初等变
换，总可化为如下等价标准形
O(
Er
mr
)r
Or(nr ) O(mr )(nr
)
mn
即有
A
Er O
O O
推论1 设A是n阶方阵，A满秩 A En
24
x1 x1
x2 2 x2
3x3 5x3
1 4
① ②
x1
x3 3 ③
②
2
①
2
x1
③
1①
2
x2
4x2
1 2
x2
3x3 1
x3 2
1 2
x3
5 2
①′ ②′ ③′
2 x1 x2 3x3 1 ①″
③'
1 8
②'
4 x2 x3 2 ②″
3 8
x3
9 4
③″
x1 x2
则称r为A的秩. 记做rank A r，或者 r(A) r.
规定：零矩阵的秩为0,即 rankO 0 .
➢ 矩阵秩的含义 A的所有r＋1阶子式都为0
1 1 2
A
2
2
4
3
6
DAr的2 所?有r＋2阶子式也都为0 1 1 2 3
A的所有大于r＋2阶的子式也都为0
数r=rankA是矩阵A中子式不为0子式的最高阶数
0 0 1 1 3
A有一个三阶子式
免费第3章课件 线性代数 矩阵的初等变换与线性方程组
矩阵初等变换前后两个矩阵之间的关系是
什么？
A B , 如何把它们用等号联系起来？
-17-
T 回顾 ei A ? Ae j ?
a11 a12 A a 21 a 22 a 31 a 32
a13 r1 r3 a 23 a 33
a 31 a 32 a 21 a 22 a11 a12
( 2) kci ( k 0) ( 3) ci kc j
以上六种变换统称为矩阵的初等变换
-6-
初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型相同．
ri rj 逆变换 ri rj ; 1 kri ri 逆变换 k ri krj 逆变换 ri kr j
初等列变换也有类似的结果
-7-
B [ Ae1 , Ae2 , A( ke3 )] A[e1 , e2 , ke3 ]
a11 a12 a 21 a 22 a 31 a 32
a13 1 0 0 a 23 0 1 0 a 33 0 0 k
把单位矩阵作同样变换得 到的矩阵放在A的右边！
方程组与增广矩阵是一一对应关系, 我们用增广 矩阵来写求解过程
2 1 2 4 ~ A 1 1 2 1 4 1 4 2
-2-
首先搞清一个概念:什么是同解方程组?同解方程
组也称等价方程组.(注:等价与同解有点小区别,这里
就不区分了)
2 1 2 4 ~ r1 r2 A 1 1 2 1 4 1 4 2
1 0 0 0
0 2 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0
1 2 0 1 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0
什么？
A B , 如何把它们用等号联系起来？
-17-
T 回顾 ei A ? Ae j ?
a11 a12 A a 21 a 22 a 31 a 32
a13 r1 r3 a 23 a 33
a 31 a 32 a 21 a 22 a11 a12
( 2) kci ( k 0) ( 3) ci kc j
以上六种变换统称为矩阵的初等变换
-6-
初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型相同．
ri rj 逆变换 ri rj ; 1 kri ri 逆变换 k ri krj 逆变换 ri kr j
初等列变换也有类似的结果
-7-
B [ Ae1 , Ae2 , A( ke3 )] A[e1 , e2 , ke3 ]
a11 a12 a 21 a 22 a 31 a 32
a13 1 0 0 a 23 0 1 0 a 33 0 0 k
把单位矩阵作同样变换得 到的矩阵放在A的右边！
方程组与增广矩阵是一一对应关系, 我们用增广 矩阵来写求解过程
2 1 2 4 ~ A 1 1 2 1 4 1 4 2
-2-
首先搞清一个概念:什么是同解方程组?同解方程
组也称等价方程组.(注:等价与同解有点小区别,这里
就不区分了)
2 1 2 4 ~ r1 r2 A 1 1 2 1 4 1 4 2
1 0 0 0
0 2 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0
1 2 0 1 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0
线性代数课件 矩阵的初等变换
第i列
第 j列
11
(2) 以数 k 0 乘某行或某列，得初等倍乘矩阵。
以数k 0乘单位矩阵的第i行( ri k )，得初等 矩阵E ( i ( k )).
1 1 E ( i ( k )) k 1 1
标准形矩阵
特点：左上角为一个单 位矩阵,其他位置上的元素全 都为 0 .
9
二、初等矩阵
矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应 用广泛. 定义 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的方 阵称为初等矩阵. 1 0 0 r 4r 1 0 4 1 3 例如 E 0 1 0 ~ 0 1 0 0 0 1 0 0 1 三种初等变换对应着三种初等方阵. 1. 对调两行或两列； 2. 以数 k 0 乘某行或某列； 3. 以数 k 乘某行（列）加到另一行（列）上去．
3
定义3 如果矩阵 A 经有限次初等变换变成 矩阵 B， 就称矩阵 A 与 B 等价，记作A ~ B．
等价关系的性质：
（1）自反性 A A；
（2）对称性 若 A B , 则 B A; （3）传递性 若 A B, B C, 则 A C.
4
行阶梯形矩阵：
特点： （1）可划出一 条阶梯线，线的 下方全为零； （2）每个台阶 只有一行，
对应的元素上去（第 j 行的 k 倍加到第 i 定义矩阵的初等列变换(所用记号是 把“r”换成“c”)．
定义2 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为 初等变换．
初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型 相同．
ri rj 逆变换 ri rj ; 1 ri k 逆变换 ri ( ) 或 ri k; k ri krj 逆变换 ri ( k )rj 或 ri krj .
线性代数课件-05矩阵的初等变换与初等矩阵
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练习题与答案
题目
设矩阵$A = begin{bmatrix} -2 & -3 -4 & -6 end{bmatrix}$，求$A^{-1}$。
答案
首先，对矩阵$A$进行初等行变换，将第一 行乘以-2加到第二行，得到矩阵$B = begin{bmatrix} -2 & -3 0 & -3 end{bmatrix}$。然后，对矩阵$B$进行初 等列变换，将第一列乘以-3加到第二列，得 到单位矩阵$I = begin{bmatrix} -2 & -3 0 & 1 end{bmatrix}$。因此，矩阵$A^{-1} = begin{bmatrix} -2 & -3 0 & 1 end{bmatrix}$。
具体操作为将第j列的每一个 元素都乘以k。
数学表达为$A_{.j} times k$ 。
用常数乘以矩阵的每一个元素
将矩阵的每一个元素都乘以常数k，记作$k times A$。 具体操作为将矩阵的每一个元素都乘以k。 数学表达为$k times A_{ij}$。
02 初等矩阵
单位矩阵
定义
单位矩阵是n阶方阵，其主对角线上的元素都是1，其余元素都是0。记作I 或E。
练习题与答案
题目
设矩阵$A = begin{bmatrix} 2 & -3 4 & -6 end{bmatrix}$，求$A^{-1}$。
VS
答案
首先，对矩阵$A$进行初等行变换，将第 二行乘以-2加到第一行，得到矩阵$B = begin{bmatrix} -2 & 3 4 & -6 end{bmatrix}$。然后，对矩阵$B$进行 初等列变换，将第一列乘以-4加到第二列 ，得到单位矩阵$I = begin{bmatrix} -2 & 3 0 & -6 end{bmatrix}$。因此，矩 阵$A^{-1} = begin{bmatrix} -2 & 3 0 & -6 end{bmatrix}$。
线性代数课件第三章
的元素都为零, 则称这个矩阵为标准形矩阵.
定理 任何矩阵都可经过单纯的初等行变换化为行
最简形矩阵. 任何矩阵都可经过初等变换化为标准形矩 阵.
下面我们还是通过例子来说明该定理.
单击这里开始
从上面的例子可见, 任何矩阵经单纯的初等行变换 必能化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵, 但不一定能化 成标准形矩阵, 如果再使用初等列变换, 则一定能化成 标准形矩阵. 将矩阵化为行阶梯形矩阵的方法不是唯一 的, 所得结果也不唯一. 但一个矩阵的标准形是唯一的, 这反映了矩阵的另一个属性, 即矩阵的秩的概念.
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
第一节 矩阵的初等变换 第二节 矩阵的秩 第三节 线性方程组的解 知识要点 释疑解难 习题课
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
本章先引进矩阵的初等变换, 建立矩阵的秩的概念; 然后利用矩阵的秩讨论齐次线性方程组有非零解的充要 条件和非齐次线性方程组有解的充要条件, 并介绍用初 等变换解线性方程组的方法.
(i) 对调两行(对调 i, j 两行, 记作 ri rj ); (ii) 以数 k 0 乘某一行中的所有元素
(第 i 行乘 k , 记作 ri k ); (iii) 把某一行所有元素的 k 倍加到另一行对应的元素 上去(第 j 行的 k 倍加到第 i 行上,记作 ri + krj).
把定义中的“行”换成“列”,即得矩阵的初等列变 定义换. 的矩阵的初等行变换与初等列变换, 统称初等变换.
①
①-② ②-③
x2 x3 3, x4 3,
② ③
(B5)
0 0. ④
至此消元结束, 且得到 (1) 的同解方程组 (B5), (B5) 是方程组 (1) 的所有同解方程组中最简单的一个, 其中
定理 任何矩阵都可经过单纯的初等行变换化为行
最简形矩阵. 任何矩阵都可经过初等变换化为标准形矩 阵.
下面我们还是通过例子来说明该定理.
单击这里开始
从上面的例子可见, 任何矩阵经单纯的初等行变换 必能化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵, 但不一定能化 成标准形矩阵, 如果再使用初等列变换, 则一定能化成 标准形矩阵. 将矩阵化为行阶梯形矩阵的方法不是唯一 的, 所得结果也不唯一. 但一个矩阵的标准形是唯一的, 这反映了矩阵的另一个属性, 即矩阵的秩的概念.
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
第一节 矩阵的初等变换 第二节 矩阵的秩 第三节 线性方程组的解 知识要点 释疑解难 习题课
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
本章先引进矩阵的初等变换, 建立矩阵的秩的概念; 然后利用矩阵的秩讨论齐次线性方程组有非零解的充要 条件和非齐次线性方程组有解的充要条件, 并介绍用初 等变换解线性方程组的方法.
(i) 对调两行(对调 i, j 两行, 记作 ri rj ); (ii) 以数 k 0 乘某一行中的所有元素
(第 i 行乘 k , 记作 ri k ); (iii) 把某一行所有元素的 k 倍加到另一行对应的元素 上去(第 j 行的 k 倍加到第 i 行上,记作 ri + krj).
把定义中的“行”换成“列”,即得矩阵的初等列变 定义换. 的矩阵的初等行变换与初等列变换, 统称初等变换.
①
①-② ②-③
x2 x3 3, x4 3,
② ③
(B5)
0 0. ④
至此消元结束, 且得到 (1) 的同解方程组 (B5), (B5) 是方程组 (1) 的所有同解方程组中最简单的一个, 其中
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B 4231
1 1
6 6
1 2
2 9
1 1 2 7
9442
1 1 2 1 4
B1
2 4 3
1 6
6
1 2 9
1 2
7
942
显然 交换B的第1行与第2行即得B1
2
❖方程组的同解变换与增广矩阵的关系 在解线性方程组的过程中 我们可以把一个方程变为另
一个同解的方程 这种变换过程称为同解变换 同解变换有 交换两个方程的位置 把某个方程乘以一个
例如
2x1 x2 x3 x4 2
43xxx111
x2 6x2 6x2
2x3 2x3 9x3
x4 2x4 7 x4
4 4 9
①②
①②
x1 x2 2x3 x4 4
423xxx111
x2 6x2 6x2
x3 2x3 9x3
x4 2x4 7 x4
2 4 9
增广矩阵的比较
4 4 9
增广矩阵的比较
B 4231
1 1
6 6
1 2
2 9
1 1 2 7
9442
B3
0 1 4 3
3 1
6 6
3 2
2 9
1 1
2 7
46 94
显然 把B的第2行乘以(2)加到第1行即得B3
4
❖方程组的同解变换与增广矩阵的关系 在解线性方程组的过程中 我们可以把一个方程变为另
一个同解的方程 这种变换过程称为同解变换 同解变换有 交换两个方程的位置 把某个方程乘以一个
与B行等价 记作 A ~r B 如果矩阵A经有限次初等列变换变成矩阵B 就称矩阵A
与B列等价 记作 A ~c B 如果矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B 就称矩阵A与B
等价 记作 A ~ B ❖等价关系的性质
(i)反身性 A~A (ii)对称性 若A~B 则B~A (iii)传递性 若A~B B~C 则A~C
1 1
4 0Βιβλιοθήκη r43r10 5 0 3
5 3 6 3 4 3
r43r2
0 0
0 0
0 2 6 0 1 3
~ ~ r3r4
r42r3
1 0
1 2 1 1
1 1
4 0
r1r2 r2r3
1 0
0 1 1 1
0 0
4 3
0 0 0 1 3
0 0 0 1 3
0 0 0 20 06
0 0 0 0 0
4 2 9
增广矩阵的比较
B 4231
1 1
6 6
1 2
2 9
1 1 2 7
9442
B2
21 23
1 1 3 6
2 1
1 9
1 1 1 7
24 92
显然 把B的第3行乘以(1/2)即得B2
3
❖方程组的同解变换与增广矩阵的关系 在解线性方程组的过程中 我们可以把一个方程变为另
一个同解的方程 这种变换过程称为同解变换 同解变换有 交换两个方程的位置 把某个方程乘以一个
非零数 某个方程的非零倍加到另一个方程上
例如
2x1 x2 x3 x4 2
43xxx111
x2 6x2 6x2
2x3 2x3 9x3
x4 2x4 7 x4
4 4 9
①2②
①2②
3x2 3x3 x4 6
43xxx111
x2 6x2 6x2
2x3 2x3 9x3
x4 2x4 7x4
非零数 某个方程的非零倍加到另一个方程上
例如
2x1 x2 x3 x4 2
43xxx111
x2 6x2 6x2
2x3 2x3 9x3
x4 2x4 7 x4
4 4 9
③2
③2
2x1 x2 x3 x4 2
23xxx111
x2 3x2 6x2
2x3 x3 9x3
x4 x4 7 x4
❖初等变换的符号 rirj(cicj)对调i j两行(列) 换法变换 rik(cik)表示第i行(列)乘非零数k 倍法变换 ri+krj(ci+kcj)表示第j行(列)的k倍加到第i行(列)上 消法变换 这三种变换都是可逆的 且其逆变换是同一类型的初等
变换
6
❖矩阵的等价关系 如果矩阵A经有限次初等行变换变成矩阵B 就称矩阵A
7
❖矩阵初等变换举例
2 1 1 1 2 r1r2 1 1 2 1 4
~ 1 1 2 1 4 r32 2 1 1 1 2
4 3
6 6
2 9
2 7
94
2 3 1 1 2 3 6 9 7 9
~ ~ r2r3
r32r1
1 0
1 2 2 2
1 2
4 0
r22 r35r2
1 0
1 2 1 1
行阶梯形矩阵
行最简形矩阵
8
行阶梯形矩阵特点：
行最简形矩阵特点：
可画出一条阶梯线，线的下方全为0；
非零行的第一个非零元为1，且这
每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行 些非零元所在列的其它元素都为0．
数，阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）
后面的第一个元素为非零元，也就是非零行 的．第一个非零元
1 1 2 1 4 0 1 1 1 0 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0
1 0 1 0 4 0 1 1 0 3 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0
行最简形矩阵
行阶梯形矩阵
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❖矩阵初等变换举例
2 1 1 1 2 r1r2 1 1 2 1 4
~ 1 1 2 1 4 r32 2 1 1 1 2
4 3
6 6
2 9
2 7
94
2 3 1 1 2 3 6 9 7 9
非零数 某个方程的非零倍加到另一个方程上 线性方程组与其增广矩阵相互对应 对方程组的变换完
全可以转换为对方程组的增广矩阵的变换 把方程组的上述三种同解变换移植到矩阵上 就得到矩
阵的三种初等变换
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❖矩阵的初等变换 下面三种变换称为矩阵的初等行(列)变换 (i)对调两行(列) (ii)以非零数k乘某一行(列)中的所有元素 (3)把某一行(列)的k倍加到另一行(列)上去
矩阵的初等变换
矩阵的初等变换是矩阵的一种十分重要的运 算 它在解线性方程组、求逆阵及矩阵理论的探讨 中都可起重要的作用
1
❖方程组的同解变换与增广矩阵的关系 在解线性方程组的过程中 我们可以把一个方程变为另
一个同解的方程 这种变换过程称为同解变换 同解变换有 交换两个方程的位置 把某个方程乘以一个
非零数 某个方程的非零倍加到另一个方程上
~ ~ r2r3
r32r1
1 0
1 2 2 2
1 2
4 0
r22 r35r2
1 0
1 2 1 1
1 1
4 0
r43r1
0 5 0 3
5 3 6 3 4 3
r43r2
0 0
0 0
0 2 6 0 1 3
~ ~ r3r4
r42r3
1 0
1 2 1 1
1 1
4 0
r1r2 r2r3