2017-2018九年级数学上册 圆中的基本概念及定理讲义 (新版)新人教版
九年级数学圆的知识点讲解
九年级数学圆的知识点讲解在九年级数学学科中，圆是一个重要的几何概念。
它不仅在几何学中起到基础作用，还在其他学科中得到广泛应用。
本文将对九年级数学中关于圆的知识点进行逐一讲解。
1. 圆的定义和性质圆是平面上一组离一个定点距离相等的点的集合。
这个定点称为圆心，到圆心距离称为半径。
圆的性质有：圆上任意两点之间的距离相等；圆是由无数个点组成的集合；圆的半径相等；圆上的任意直径将圆分成两等分。
2. 圆的周长和面积圆的周长是指圆上一周的长度，也称为圆的周长。
圆的周长公式是C = 2πr，其中r是圆的半径，π（pi）约等于3.14。
圆的面积是指圆所围成的面积，也称为圆的面积。
圆的面积公式是 A = πr²。
3. 弧、弦和扇形在圆上，两个点之间的部分称为弧。
两个弧之间的部分称为弦。
当两个弦的交点在圆的内部时，被这两个弦所围成的部分称为扇形。
扇形的面积公式是A = ½r²θ，其中r是扇形的半径，θ是扇形的对应圆心角的度数。
4. 圆与直线的位置关系直线和圆的位置关系有三种情况：相离、相切和相交。
当直线与圆不相交时，它们是相离的；当直线与圆有且只有一个交点时，它们是相切的；当直线与圆有两个交点时，它们是相交的。
5. 切线和割线当直线与圆相交时，如果直线只与圆有一个交点，并且与该交点的切线垂直，那么这条直线称为切线。
如果直线与圆有两个交点，并且不与任何交点的切线垂直，那么这条直线称为割线。
6. 相似圆如果两个圆的圆心在同一条直线上，并且两个圆的半径成比例，那么这两个圆称为相似圆。
相似圆之间的半径比值等于它们的周长比值，也等于它们的面积比值。
7. 圆锥圆锥是由一个圆和一条从圆心指向圆外一点的线段组成的几何体。
从圆心的直线叫做母线，连接圆心和圆外一点的线段叫做侧面生成线。
圆锥的体积公式是V = 1/3πr²h，其中r是圆的半径，h是圆锥的高。
通过以上对九年级数学圆的知识点的讲解，我们可以看出圆在几何学中起到了重要的作用。
人教版九级数学上册 圆及其有关概念 课件
人教版九年 级级 数数 学学 上上 册册圆2及4.其1.有1关圆概及念其有课关件概念 课件
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3、圆中最长的弦长为8cm,则该圆的半径为
4cm . 4、下列说法错误的有（ A）个
①经过P点的圆有无数个. ②以P为圆心的圆有无数个. ③半径为3cm且经过P点的圆有无数个. ④以P为圆心，以3cm为半径的圆有无数个. A、1 B、2 C、3 D、4
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每 一条弧都叫做半圆．
人教版九级数学上册 圆及其有关概念 课件
B
O
A
C
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劣弧与优弧
小于半圆的弧（如图中的 AC）叫做劣弧． 大于半圆的弧（用三个字母表示，如图中的 ABC） 叫做优弧．
人教版九级数学上册 圆及其有关概念 课件
广东省怀集县马宁镇初级中学
徐志才
人教版九级数学上册 圆及其有关概念 课件
人教版九级数学上册 圆及其有关概念 课件
研学教材
认真阅读课本第80页最后三个自 然段的内容，理解弦、直径、弧、 优弧、劣弧、半圆、等圆、等弧 的含义及弧的表示方法.
人教版九级数学上册 圆及其有关概念 课件
人教版九级数学上册 圆及其有关概念 课件
人教版九年 级级 数数 学学 上上 册册圆2及4.其1.有1关圆概及念其有课关件概念 课件
课堂小结
同心圆 定义
圆 同圆
有关 概念
等圆
旋转定义
要画一个确定的 圆，关键是 确定圆心和半径
集合定义
弦（直径） 劣弧
弧 半圆 优弧
同圆半径相等 直径是圆中 最长的弦
2017-2018学年人教版九年级数学《圆》章节知识点复习专题
外离（图 1）
无交点
外切（图 2） 有一个交点
相交（图 3） 有两个交点
内切（图 4） 有一个交点
内含（图 5）
无交点
d R r； d R r； R r d R r； d R r； d R r；
d
R
r
图1
d
R
r
图2
d
R
r
图3
d Rr
d
r
R
图4
图5
五、垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
即：∵ MN OA 且 MN 过半径 OA 外端
∴ MN 是⊙ O 的切线
O
（ 2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）
推论 1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论 2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。
M
A
N
以上三个定理及推论也称二推一定理：
即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。
在⊙ O 中△ ABC 是正三角形，有关计算在 Rt BOD 中进行：
O
OD : BD : OB 1: 3 : 2 ；
B
A D
（ 2）正四边形
B
同理，四边形的有关计算在 Rt OAE 中进行， OE : AE : OA 1:1: 2 ：
A
C
O
E
D
（ 3）正六边形
同理，六边形的有关计算在 Rt OAB 中进行， AB : OB :OA 1: 3 : 2 .
此定理也称 1 推 3 定理，即上述四个结论中，
只要知道其中的 1 个相等，则可以推出其它的 3 个结论，
E
即：① AOB DOE ；② AB DE ； ③ OC OF ；④ 弧 BA 弧 BD
初中九年级数学圆的讲义
初中九年级数学圆的讲义圆一、基本概念与性质在平面内把线段OP绕着端点O旋转一周，端点P所形成的图形叫做圆。
其中，点O叫做圆心，线段OP叫做半径。
以点O为圆心的圆，记作⊙O ，读作圆O 。
点和圆的位置关系：如果⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则d>r时，点P在__________d=r时，点P在__________d<r时，点p在__________< p="">圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。
圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴。
弦与弧连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，是圆最长的弦。
圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，符号：以C、D为端点的弧，记作，读作圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧。
顶点在圆心的角叫做圆心角，顶点在圆上且两边与圆相交的角叫做圆周角。
圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆，能够互相重合的两个圆叫做等圆，能够互相重合的弧叫做等弧。
同圆或等圆的半径相等。
圆心角、弧、弦之间的关系：1.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
2.推论：在同圆或等圆中，若两条弧相等，那么它们所对的圆心角和弦都相等。
在同圆或等圆中，若两条弦相等，则它们所对的圆心角和弧都相等。
3.圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。
圆心角与圆周角的关系：1.同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
2.推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°圆周角所对的弦是直径。
垂径定理：1.垂直弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
2.推论：平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧确定圆的条件：1.经过一点A作圆2.经过A、B两点作圆3.经过A、B、C三点作圆——a)当三点位于一条直线时b)当三点不在一条直线上时4.结论：不在同一条直线上的三点确定一个圆三角形的三个顶点确定一个圆。
初三数学圆的性质定理讲义
（1）BC 的长；
（2）AB 边上高的长。
A
B
D
C
O
例3图
例题 12（06 上海中考） 已知点 P 在线段 AB 上，点 O 在线段 AB 的延长线上。以点 O 为圆心，OP 为半径作圆，点 C 是圆 O 上的一点。 （1） 如图，如果 AP=2PB，PB=BO。求证：△CAO∽△BCO； （2） 如果 AP=m（m 是常数，且 m〉1），BP=1，OP 是 OA、OB 的比例中项。当点 C 在圆 O 上运动时，求 AC：BC 的值（结果用含 m 的式子表示）； （3） 在（2）的条件下，讨论以 BC 为半径的圆 B 和以 CA 为半径的圆 C 的位置关系，并写出相应 m 的取值 范围。
5．圆的半径为 12cm，弦 AB 的长为 12cm，求弦 AB 的中点到它所对弧 AB 的中点的距离。
6．⊙O 的半径是 6cm，弦 AB=10cm，弦 CD=8cm 且 AB⊥CD 于 P，求 OP 的长。
C
O
A
B
P
D
7．如图，在以 O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 AB 交小圆于 C、D 两点，且圆心 O 到 AB 的距离为 OE=5cm，
A . 300 B. 350
C. 450 D . 700
10.如图⊙O 的直径为 10，弦 AB=8，P 是弦 AB 上的一个动点，
那么 OP 长的取值范围是（ ）
A．3≤op≤5
B．4≤op≤5 C．4≤op≤8 D．8≤op≤10
二、填空题
1. 已知⊙O 的半径为 R , 弦 AB 的长也是 R，则∠AOB 的度数是
已知 BC=8cm, DE=2cm ，则 AB 的长为
cm.
9．已知圆锥的侧面积为 10лcm2，底面半径为 2cm，则圆锥的母线长为
九年级上册圆的知识点
九年级上册圆的知识点咱来唠唠九年级上册圆的那些知识点哈。
一、圆的基本概念。
1. 圆的定义。
- 圆就是在一个平面内，到一个定点（这个定点就叫圆心，一般用字母O表示）的距离等于定长（这个定长就是半径，用字母r表示）的所有点组成的图形。
你可以想象一下，就像有个中心，周围的点都离它一样远，就围成了一个圆，就像一群小伙伴以一个人为中心，大家都站在离他同样距离的地方，就形成了一个圆乎乎的形状。
2. 弦、直径。
- 弦就是连接圆上任意两点的线段。
那直径呢，它可特殊了，它是圆里最长的弦，而且它得通过圆心。
就好比在一个圆的世界里，弦是连接圆上两点的普通道路，而直径就是通过圆心这个城市中心的超级大道。
3. 弧、半圆、优弧、劣弧。
- 弧就是圆上任意两点间的部分。
半圆就很好理解啦，圆的一半嘛。
那优弧和劣弧呢？优弧是大于半圆的弧，劣弧是小于半圆的弧。
你可以把圆想象成一个大饼，咬掉一半就是半圆，咬掉一小口那剩下的大弧就是优弧，咬掉一大口剩下的小弧就是劣弧。
4. 等圆、等弧。
- 等圆就是能够完全重合的圆，它们的半径是相等的。
等弧呢，是在同圆或等圆中，能够互相重合的弧。
这就像双胞胎圆，一模一样，它们上面能重合的弧就是等弧。
二、圆的性质。
1. 圆的对称性。
- 圆可是个对称小能手呢。
它是轴对称图形，它的对称轴就是任意一条通过圆心的直线。
你把圆沿着这条线对折，两边就完全重合了。
而且圆还是中心对称图形，它的对称中心就是圆心。
就像一个圆形的镜子，不管你从通过圆心的哪条线对折，或者绕着圆心转，它都能保持对称。
2. 垂径定理及其推论。
- 垂径定理可重要啦。
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
就好像一个大柱子（直径）垂直穿过一根小绳子（弦），这个大柱子就把小绳子从中间平分了，而且小绳子两边对应的弧也被平分了。
推论就是：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧等。
这里要注意弦不是直径哦，要是直径的话就不一定垂直啦。
3. 弧、弦、圆心角的关系。
初中九年级圆的知识点详解
初中九年级圆的知识点详解在初中九年级数学课程中，圆是一个重要的几何概念。
我们将在本文中详细解释圆的知识点，包括定义、性质和常见的相关公式。
一、圆的定义圆是一个平面上所有到圆心距离都相等的点的集合。
这个距离被称为半径，用字母r表示。
圆的圆心和半径是确定一个圆的基本要素。
二、圆的性质1. 圆的直径和半径关系：圆的直径是通过圆心，并且两个端点在圆上的线段，它的长度是半径的两倍，即直径d=2r。
2. 圆的周长和面积：圆的周长是指圆上一周的长度，用字母C表示，它可以通过公式C=2πr来计算，其中π≈3.14是一个无理数，代表圆周率。
圆的面积是指圆内部的区域，用字母A表示，它可以通过公式A=πr²来计算。
3. 圆的切线和法线：圆上的切线是与圆切于一点的直线，切线与半径的夹角为90度。
圆上的法线是与圆相交于一点，并且与切线垂直的直线。
4. 圆的弧度制和度制：在解决一些圆相关问题时，我们通常使用弧度制来度量角度。
弧度制的角度是通过圆的弧长和半径之间的比值来定义的。
一个完整的圆的弧长等于2πr，所以一个完整圆的角度为360°。
三、常见的圆相关公式1. 圆的周长公式：C = 2πr2. 圆的面积公式：A = πr²3. 圆的弧长公式：L = 2πr(θ/360°)，其中θ是所对应的圆心角的角度。
4. 扇形面积公式：S = 0.5r²(θ/360°)，其中θ是所对应的圆心角的角度。
五、相关解题方法1. 已知圆的半径求周长和面积：根据上述公式直接计算即可。
2. 已知圆的周长求半径和面积：由C=2πr可得r=C/(2π)，再带入A=πr²即可计算面积。
3. 已知圆的面积求半径和周长：由A=πr²可得r=√(A/π)，再带入C=2πr即可计算周长。
4. 已知圆心角和半径求弧长和扇形面积：根据相应的公式计算即可。
六、例题解析1. 已知一个圆的半径为5cm，求其周长和面积。
九年级圆基础知识点圆讲义
一对一讲课教案一、圆的概念：1. 描述性概念：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，其中固定端点O叫做圆心，OA叫做半径．2 圆的表示方式：通经常使用符号⊙表示圆，概念中以O为圆心，OA为半径的圆记作“O⊙”，读作“圆O”．3 同圆、同心圆、等圆：圆心相同且半径相等的圆叫同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；能够重合的两个圆叫做等圆.注意：同圆或等圆的半径相等．1. 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦．2. 直径：通过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的2倍．3. 弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距．4. 弧：圆上任意两点间的部份叫做圆弧，简称弧．以A B、为端点的圆弧记作AB，读作弧AB．5. 等弧：在同圆或等圆中，能够相互重合的弧叫做等弧．6. 半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆．7. 优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．8. 弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．1. 圆心角：极点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分为360等份，每一份的弧对应1︒的圆心角，咱们也称如此的弧为1︒的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等．2. 圆周角：极点在圆上，而且两边都和圆相交的角叫做圆周角．3. 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90︒的圆周角所对的弦是直径．推论3：若是三角形一边上的中线等于这边的一半，那么那个三角形是直角三角形．4. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．推论：在同圆或等圆中，若是两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量别离相等．一、圆的对称性1. 圆的轴对称性：圆是轴对称图形，对称轴是通过圆心的任意一条直线．2. 圆的中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是圆心．3. 圆的旋转对称性：圆是旋转对称图形，不管绕圆心旋转多少角度，都能与其自身重合．二、垂径定理1. 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，而且平分弦所对的两条弧．2. 推论1：⑴平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，而且平分弦所对的两条弧；⑵弦的垂直平分线通过圆心，而且平分弦所对的两条弧；⑶平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，而且平分弦所对的另一条弧．3. 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等．练习题；1.判定：（1）直径是弦，是圆中最长的弦。
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圆中的基本概念及定理（讲义）
课前预习
在小学的时候，我们知道“一中同长”表示的是圆，中心称为，固定的线段长称为，还知道半径为r 的圆的周长为，面积为
．
在七年级我们学习了圆的另外一种说法：平面上，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点形成的图形叫做圆．固定的端点O 称为圆心，线段OA 称为半径．
一条弧AB 和经过这条弧的两条半径OA，OB 所组成的图形叫做扇形．顶点在圆心的角叫做圆心角．
知识点睛
1.在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个
端点A 所形成的图形叫做．其固定的端点O叫做，线段OA 叫做．以点O 为圆心的圆，记作，读作“圆O”．
2.圆中概念：
弧：，弧包括和；
弦：；
圆周角：；
圆心角：；
弦心距：；
等圆：；
等弧：．
3.圆的对称性：
圆是轴对称图形，其对称轴是；
圆是中心对称图形，其对称中心为．4.圆中基本定理：
*（1）垂径定理：
．推论：
．（2）四组量关系定理：在中，如果
、、、
中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
（3）圆周角定理：．推论1：．
推论2：，
．推论3：．
注：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，那么这个多边
形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆．
圆中处理问题的思路：
①找圆心，连半径，转移边；
②遇弦，作垂线，垂径定理配合勾股定理建等式；
③遇直径，找直角，由直角，找直径；
④由弧找角，由角看弧．
C
D A
R
B
精讲精练
1.
如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD ⊥AB ，垂足为 M ，下列结论不一定成立
的是（ ） ︵ ︵ A
．CM =DM
B ．
C B =B
D C ．∠ACD =∠ADC
D ．OM =MB
第 1 题图
第 2 题图
2. 如图，⊙O 的弦 AB 垂直平分半径 OC ，若 AB = 的半径为
．
，则⊙O
3.
工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是 10 mm
，测得钢珠顶端离零件表面的距离为 8 mm ，如图所示，则这个小圆孔的宽口 AB 的长度为 mm ．
第 3 题图 第 4 题图
4. 如图，圆拱桥桥拱的跨度 AB =12 m ，桥拱高 CD =4 m ，则拱桥的直径为
．
5.
如图，在⊙O 中，直径 CD 垂直于弦 AB ，垂足为 E ，连接 OB ，
CB ．已知⊙O 的半径为 2，AB = 2
，则∠BCD =
．
6
3
E C
D
A
O B
6.
如图，⊙O 的弦 CD 与直径 AB 相交，若∠BAD =50°，则
∠ACD = ．
B
第 6 题图
第 7 题图
7.
一个圆形人工湖如图所示，弦 AB 是湖上的一座桥，已知桥 AB 长 100 m ，测得圆周角∠ACB =45°，则这个人工湖的直径 AD 为 ． 8.
如图，在半径为 3 的⊙O 中，直径 AB 与弦 CD 相交于点 E ， 连接 AC ，BD ，若 AC =3，则∠D = ．
B
9.
如图，∠AOB =100°，点 C 在⊙O 上，且点 C 不与 A ，B 重合， 则∠ACB
的度数为（ ）
A ．50°
B ．80°或 50°
C ．130°
D ．50°或 130°
10. 如图，点 D 为边 AC 上一点，点 O 为边 AB 上一点，AD =DO ．以
O 为圆心，OD 长为半径作半圆，交 AC 于另一点 E ，交 AB
于 F ，G 两点，连接 EF ．若∠BAC =22°，则∠EFG =
．
A
O
G B
O D
B
C
E
11. 如图，已知四边形 ABCD 内接于⊙O ，如果它的一个外角
∠DCE =64°，那么∠BOD 的度数为
_．
A
12. 如图，⊙O 的两条弦 AB ，CD 互相垂直，垂足为 E ，且 AB =CD ， 已知 CE =1，
ED =3，则⊙O 的半径是
．
13. 已知⊙O 的半径为 13 cm ，弦 AB ∥CD ，AB =24 cm ，CD =10 cm ，则 AB ，CD 之
间的距离为
．
2 【参考答案】
课前预习
圆心；半径；2πr ；πr 2
知识点睛
1. 圆；圆心；半径；⊙O ．
2. 圆上任意两点间的部分叫做圆弧；优弧；劣弧； 连接圆
上任意两点的线段叫做弦；
顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角； 顶点在圆心的角叫做圆心角； 圆心到弦的距离叫做弦心距； 能够重合的两个圆叫做等圆；
在同圆或等圆中，能够相互重合的弧叫做等弧
3. 任意一条过圆心的直线；圆心．
4. （1）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧； 平分弦（不
是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．
（2）同圆或等圆，两个圆心角，两条弧，两条弦，两个弦心距． （3）圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半； 同弧或
等弧所对的圆周角相等；
直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 圆内接四边形对角互补．
精讲精练
1. D
2.
2 3. 8
4. 13 m
5. 30°
6. 40°
7. 100 cm
8. 60°
9. D 10. 33° 11. 128°
12. 13. 7 cm 或 17 cm
5
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