第六章 三维变换与投影
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计算机图形学第6章(2)概述
e=1/3，j=1/2，求变换后的长方形体各点坐标。
z 2 E F 2 B x A C x 3 G D y 1 H z 1 1 y
其矩阵计算形式如下:
计算机图形学
0 2 2 0 0 2 2 0 0 0 1 0 0 1 3 0 1 1 / 2 0 3 0 1 0 1 / 3 0 2 1 0 0 0 2 1 0 0 3 2 1 3 2 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1/ 2 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1
0 0 0 1
O
z
B''(0,b,c)
y
计算机图形学
绕任意轴的三维旋转变换
(3) 将OB '绕y轴顺时针旋转β角，则OB '旋转到z轴
上；
cos( ) 0 TRy sin( ) 0
0 sin( ) 1 0 0 cos( ) 0 0
计算机图形学
4.
对称变换
1 0 TFxy 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1
(1)关于坐标平面对称
关于xoy平面进行对称变换的
矩阵计算形式为：
p' x' y' z ' 1 p TF xy [ x y z 1]
计算机图形学
(1)绕z轴旋转
cos sin 0 0 sin cos 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
z
TRZ
y X
p' x' y' z' 1 p TRt [ x cos y sin x sin y cos z 1]
z 2 E F 2 B x A C x 3 G D y 1 H z 1 1 y
其矩阵计算形式如下:
计算机图形学
0 2 2 0 0 2 2 0 0 0 1 0 0 1 3 0 1 1 / 2 0 3 0 1 0 1 / 3 0 2 1 0 0 0 2 1 0 0 3 2 1 3 2 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1/ 2 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1
0 0 0 1
O
z
B''(0,b,c)
y
计算机图形学
绕任意轴的三维旋转变换
(3) 将OB '绕y轴顺时针旋转β角，则OB '旋转到z轴
上；
cos( ) 0 TRy sin( ) 0
0 sin( ) 1 0 0 cos( ) 0 0
计算机图形学
4.
对称变换
1 0 TFxy 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1
(1)关于坐标平面对称
关于xoy平面进行对称变换的
矩阵计算形式为：
p' x' y' z ' 1 p TF xy [ x y z 1]
计算机图形学
(1)绕z轴旋转
cos sin 0 0 sin cos 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
z
TRZ
y X
p' x' y' z' 1 p TRt [ x cos y sin x sin y cos z 1]
计算机图形学-三维图形变换与投影
5.关于yoz面的反射
坐标表示为：
x' x y' y z' z
0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
1 0 变换矩阵为： T 0 0
6.关于zox面的反射
坐标表示为：
x' x y' y z' z
J
z
x y
34
三维复合变换
步骤：
1。J轴绕Z轴转φ 角至yoz平面，成为J1。 2。J1轴绕X轴转γ 角后与z轴平行，成为J2。 3。立体绕J2轴转θ 角 4。从J2返回J1。 5。从J1返回J。
J2 J
J2
z
J1
z
J1
z
J1
x
y
x
y
x
y
35
投影变换
36
投影变换
显示器只能用二维图形表示三维物体，因此三维 物体就要靠投影来降低维数得到二维平面图形 把三维物体转变为二维图形的过程称为投影变换
1 b d 1 T g h 0 0 c f 1 0 0 0 0 1
错切变换
1 b d 1 T g h 0 0
c f 1 0
0 0 0 1
三维错切变换中，一个坐标的变化受另外两个坐
标变化的影响。
如果变换矩阵第一列中元素d和g不为0，产生沿x
同理可得，绕y轴旋转变换：
x ' z sin x cos y' y z ' z cos x sin
z 绕y轴旋转 x
cos 0 T sin 0
0 sin 1 0 0 cos 0 0
画法几何与土木建筑制图 第6章 投影变换
b d c
b d c
b1
a1(d1)
c1
4、 投影面垂直面变换为投影面平行面
换H面
正垂面
“水平面”（实形）
换V面
b
铅垂面
“正平面”（实形）
V V1
a1
X1
b1
c1
A a
b
a
B
V X
a
H
c
C
X
a
b(c)
H
c
b(c) c1
b1
a1
实形
5、 一般位置线变换为投影面垂直线:二次换面
b a
a2 (b2) H2
（2）轨迹圆在旋转轴所平行面上的投影，为平行于投影轴的直线。
三、 换面法的投影规律
1. 换面法的投影规律（1）以点的一次变换为例-替换V面
替换投影面
V a
新投影面
V a 替换投影
A
a1 V1
X ax
新投影
旧轴
X ax
新投影
a1
a
ax1
X1 H
a
ax1
保留投影面
H
保留投影
新轴
X1
新投影到不变投影连线垂直于新投影轴:a1a ⊥ X1
新投影到新投影轴的距离等于旧投影到旧投影轴的距
V1称为新投影面；V称为被更换的投影面；H称为被保留的 投影面。 X1称为新投影轴；X称为被更换的投影轴。
二、 新投影面的选择原则
V1
a1
X1
b1
c1
A a
V
b
B
a
c
C
b(c) H
V1∥ABC
V1┴H
新投影面的选择必须符合以下两个基本条件： (1) 新投影面必须和空间几何元素处于有利解题的位置(平行或垂直) (2) 新投影面必须垂直于于原投影体系中的一个被保留的投影面。
数学8三维变换与投影
uz ' u (uz1',uz2 ',uz3')
uy
'
|
u u
ux ux
|
(uy1', uy2
',uy3')
ux ' uy 'uz ' (ux1',ux2 ',ux3')
则所需复合矩阵为
u x1 ' R uy1'
u0z1 '
ux2 ' ux3' 0 uy2 ' uy3 ' 0
uz2 ' 0
x' cos 0 sin 0 x
y'
0
1
0
0
y
z' sin 0 cos 0 z
1
0
0
0
1
1
沿 y 轴 Ry ( )
x' 1 0
0
y'
0
cos
sin
z' 0 sin cos
1
0
0
0
沿 x 轴 Rx ( )
0 x0y0 z11
x' cos sin 0 0 x
b/d c/d
0 0
0 0
0 1
R Ry ( ) Rx ()
d 0 a 0
Ry
(
)
0 a
1 0
0 d
0 0
0 0 0 1
M T 1 Rx ()1 Ry ( )1 Rz ( ) Ry ( ) Rx () T
2020/5/10
12
旋转（二）
得到复合矩阵 R Ry ( ) Rx () 的更快的方法是利用正交矩阵的乘积仍然是正交
第六章 三维图形变换
1 d T = h 0
b c 0 1 f 0 i 1 0 0 0 1
6.1.6 错切变换
1 d Tx = g 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
1 0 Ty = 0 0
b 0 0 1 0 0 h 1 0 0 0 1
6.1 三维几何变换
实现比例、对 称、旋转、错切 四种基本变换 把H=1平面上 的齐次点变换为 H=px+qy+rz+1 平面上的点
a d T = h 实现平移变换 x0
b c p e f q i j r y0 z0 s
使图形产生 全比例变换
6.1.1 比例变换
比例变换矩阵：
第六章 三维图形变换
6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 三维几何变换 三维投影变换 鼠标追踪球旋转 三维观察 OpenGL视点变换
6.1 三维几何变换
• 三维图形变换是对三维物体图形的操作，它使得人们 能方便地从不同的角度观察物体而得到物体的视图； 必要时可放大物体局部进行观察，或者把整个物体对 平面进行投影得到其轴侧图或透视图 • 在讨论三维变换时，也同二维图形变换一样，引入齐 次坐标(x, y, z, 1)来表示三维空间点(x, y, z)，以使得三 维图形变换可以统一用矩阵表示
0 0 0 0 0 0 0 1
6.2.1 平行投影－正轴测
2 6 － 6 2 6 0 T正等 = 3 － 2 － 6 6 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
2 2 － sin β 0 2 2 0 cosβ 0 T正二 = 2 2 － 2 － 2 sin β 0 0 0 0
6.1.2 全比例变换
三维图像投影变换——透视投影
三维图像投影变换——透视投影⼆、投影变换1、平⾯⼏何投影投影变换就是把三维物体投射到投影⾯上得到⼆维平⾯图形。
【计算机绘图是产⽣三维物体的⼆维图象，但屏幕上绘制图形的时候，必须在三维坐标系下考虑画法。
】常⽤的投影法有两⼤类两种投影法的本质区别在于【透视投影】的投影中⼼到投影⾯之间的距离是【有限的】，⽽【平⾏投影】的投影中⼼到投影⾯之间的距离是【⽆限的】。
（1）中⼼（透视）投影透视投影是3D渲染的基本概念，也是3D程序设计的基础。
其中的[p,q,r]能产⽣透视变换的效果1、透视基本原理因为⼀条直线段是由两点确定，多边形平⾯由围城该多边形的各顶点和边框线段确定，⽽任何⽴体也可以看成是由它的顶点和各棱边所构成的⼀个框体。
也就是说，可以通过求出这些【顶点的透视投影】⽽获得空间【任意⽴体的透视投影】。
三维世界的物体可以看作是由点集{X i}构成的，这样依次构造起点为E，并经过点X i的射线R i，这些射线与投影⾯P的交点集合便是三维世界在当前视点的透视图。
投影线均通过投影中⼼，在投影中⼼【相对】投影⾯【确定的】情况下，空间的⼀个点在投影⾯上只存在【唯⼀⼀个】投影。
2、⼀点透视先假设q≠0，p=r=0。
然后对点(x,y,z)进⾏变换图70对其结果进⾏齐次化处理得：A、当y=0时，有说明处于y=0平⾯内的点，经过变换以后没有发⽣变化B、当y→∞时，有说明当y→∞时，所有点的变换结果都集中到了y轴上的1/q处，即所有平⾏于y轴的直线将延伸相较于(0,1/q,0)，该点称为【灭点】，⽽像这样形成⼀个灭点的透视变换称为【⼀点透视】。
同理可知，当p≠0，q=r=0时，则将在x轴上的1/p处产⽣⼀个灭点，坐标为(1/p,0,0)，在这种情况下，所有平⾏于x轴的直线将延伸交于该点。
同理，当r≠0,q=p=0时，则将在z轴上的1/r处产⽣⼀个灭点，其坐标为(0,0,1/r)，这种情况下，所有平⾏于z轴的直线将延伸交于该点。
第六章 三维变换与投影
1 0 T1 0 x 0
0 1 0 y0
0 0 1 z0
0 0 0 1
（6-18）
(2)将P0 P1 绕y轴顺时针旋转y角，与yoz平面重合
cos y 0 T2 sin y 0 0 sin y 1 0 0 cos y 0 0 0 0 0 1
。
（6-26） （6-27）
n3 cos cos y cos x cos2 cos2
（6-28）
将式（6-25）～（6-28）代入（6-19）、（6-20）、
（6-22）和（6-23）中，即可计算出T2、T3、T5和T6。
复合变换矩阵
T T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7
第六章
本章学习目标
三维几何变换矩阵 正交投影 斜投影 透视投影
本章内容
6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7
三维图形几何变换 三维基本几何变换矩阵 三维复合变换 坐标系变换 平行投影 透视投影 本章小结
6.1 三维图形几何变换
6.1.1三维几何变换矩阵
sin( ) 0 cos cos sin T sin( ) cos 0 0 0 1 0 sin cos 0 0 0 1
（6-30）
坐标系反射变换相当于坐标系不动，点进行反射， 二者效果一致，坐标系变换的反射变换矩阵保持不 变。
6.3.1相对于任一参考点的三维几何变换
在三维基本几何变换中，比例变换和旋转变换是与参 考点相关的。相对于任一参考点Q（x,y,z）的比例变换 和旋转变换应表达为复合变换形式。变换方法是首先 将参考点平移到坐标原点，相对于坐标原点作比例变 换或旋转变换，然后再进行反平移将参考点平移回原 位置。
0 1 0 y0
0 0 1 z0
0 0 0 1
（6-18）
(2)将P0 P1 绕y轴顺时针旋转y角，与yoz平面重合
cos y 0 T2 sin y 0 0 sin y 1 0 0 cos y 0 0 0 0 0 1
。
（6-26） （6-27）
n3 cos cos y cos x cos2 cos2
（6-28）
将式（6-25）～（6-28）代入（6-19）、（6-20）、
（6-22）和（6-23）中，即可计算出T2、T3、T5和T6。
复合变换矩阵
T T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7
第六章
本章学习目标
三维几何变换矩阵 正交投影 斜投影 透视投影
本章内容
6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7
三维图形几何变换 三维基本几何变换矩阵 三维复合变换 坐标系变换 平行投影 透视投影 本章小结
6.1 三维图形几何变换
6.1.1三维几何变换矩阵
sin( ) 0 cos cos sin T sin( ) cos 0 0 0 1 0 sin cos 0 0 0 1
（6-30）
坐标系反射变换相当于坐标系不动，点进行反射， 二者效果一致，坐标系变换的反射变换矩阵保持不 变。
6.3.1相对于任一参考点的三维几何变换
在三维基本几何变换中，比例变换和旋转变换是与参 考点相关的。相对于任一参考点Q（x,y,z）的比例变换 和旋转变换应表达为复合变换形式。变换方法是首先 将参考点平移到坐标原点，相对于坐标原点作比例变 换或旋转变换，然后再进行反平移将参考点平移回原 位置。
第六章投影变换
sinφ 1]
• z轴上C点［0 0 1 1］。
• 变换后为： ［0 0 1 1］·H = [sinθ -
cosθ·sinφ cosθ·cosφ 1]
2021/6/29
13
6.2.2 正轴测投影
•
在观察坐标系中的正投影是去掉z分量，上
述三点到坐标原点的长度是
,按正等轴测投
影的要求，原用户坐标系中x、y和z方向单位长
平面与二个坐标轴相交，这种投影被称为二点透
视。
二点透视示意图
2021/6/29
27
6.4 透视投影
• 3、三点透视 • 三点透视：按照投影面的方向可对在
用户坐标系中正放的矩形体产生三主消失 点，即投影平面与三个坐标轴相交，这种 投影被称为三点透视。
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28
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ题
1.为什么需要做投影变换？
2.什么叫投影变换?
3.试述投影变换的分类
4.沿Z方向正投影的变换矩阵是什么样的？
5.若给出投影方向矢量［A，B，C］，且以Z=0的 平面作为投影平面，则斜平行投影变换矩阵是什 么样的？
6.若投影中心处于观察坐标系的原点，投影平面与Z 轴垂直并距原点的距离为d，则透视投影变换矩阵 是什么样的？
2021/6/29
2、平行投影变换：平行投影可以看成投影中
心在无限远处的投影。见下图（b）。
2021/6/29
3
6.1 投影概念分类
a透视投影变换示意图 b平行投影变换示意图
2021/6/29
4
6.1 投影概念分类
• 二、投影的分类
2021/6/29
5
6.2 正平行投影
• 正平行投影的投影中心是在无限远处， 且投影射线与投影平面垂直。
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（6-4）
6.2.3 旋转变换
1.绕x轴旋转
0 1 0 cos T 0 sin 0 0 0 sin cos 0 0 0 0 1
（6-5）
2.绕y轴旋转
cos 0 T sin 0 0 sin 1 0 0 cos 0 0 0 0 0 1
（6-16）
3.沿z方向错切
1 0 T 0 0 0 1 0 0 c f 1 0 0 0 0 1
（6-17）
三维图形几何变换
6.3 三维复合变换
P' P T P T1 T2 Tn
T为复合变换矩阵，T1，T2……Tn为n个单次基本几 何变换矩阵。
1 0 T1 0 x 0
0 1 0 y0
0 0 1 z0
0 0 0 1
（6-18）
(2)将P0 P1 绕y轴顺时针旋转y角，与yoz平面重合
cos y 0 T2 sin y 0 0 sin y 1 0 0 cos y 0 0 0 0 0 1
6.4 坐标系变换
在进行三维观察时，需要将物体的描述从世界坐标系 变换到观察坐标系，然后通过旋转视点可以观察物体的全 貌。 同一种变换既可以看作是点变换也可以看作是坐标系 变换。点变换是顶点位置发生改变，但坐标系位置不发生 改变。坐标系变换是建立新坐标系描述旧坐标系内的顶点， 坐标系位置发生改变，但顶点位置不发生改变。
sin( ) 0 cos cos sin T sin( ) cos 0 0 0 1 0 sin cos 0 0 0 1
（6-30）
坐标系反射变换相当于坐标系不动，点进行反射， 二者效果一致，坐标系变换的反射变换矩阵保持不 变。
b e h m
c f i n
p q r s
（6-1）
6.1.2 三维几何变换
P' P T
x1' ' x2 ' xn y1' ' y2 ' yn z1' 1 x1 ' z2 1 x 2 ' z n 1 xn y1 y2 yn z1 1 a d z 2 1 g z n 1 l b e h m c f i n p q r s
6.4.1 二维坐标系变换
y
y' y
y
P(3,3)
0
P(3,3)
x x'
0
0
P(1,1) （a） 原图
x
x
0'
（b）点变换
（c）坐标系变换
平移变换矩阵
1 T 0 Tx 0 1 Ty 0 0 1
（6-29）
坐标系的旋转变换，应使用相反方向的旋转变换矩 阵。如绕z轴的逆时针旋转变换，应使用顺时针旋转变 换矩阵，反之亦然。
（6-2）
6.2 三维基本几何变换矩阵
6.2.1 平移变换
1 0 T 0 Tx 0 1 0 Ty 0 0 1 Tz 0 0 0 1
（6-3）
6.2.2 比例变换
S x 0 T 0 0 0 Sy 0 0 0 0 Sz 0 0 0 0 1
第六章
本章学习目标
三维几何变换矩阵 正交投影 斜投影 透视投影
本章内容
6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7
三维图形几何变换 三维基本几何变换矩阵 三维复合变换 坐标系变换 平行投影 透视投影 本章小结
6.1 三维图形几何变换
6.1.1三维几何变换矩阵
（6-6）
3.绕z轴旋转
cos sin T 0 0 sin cos 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
（6-7）
β为正向旋转角
6.2.4 反射变换
1.关于x轴的反射
1 0 0 0 1 0 T 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1
同二维变换类似，三维变换同样引入了齐次坐标技 术，在四维空间（x,y,z,w）内进行讨论。定义了规范化 齐次坐标以后，三维图形几何变换就可以表示为物体顶 点集合的规范化齐次坐标矩阵与某一变换矩阵相乘的形 式。用规范化齐次坐标表示的三维图形几何变换矩阵是 一个4×4方阵，简称为三维几何变换矩阵。
a d T g l
（6-33）
绕z轴的逆时针三维旋转变换矩阵为
cos sin T 0 0 sin cos 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
（6-34）
β为顺时针旋转角。 坐标系的三维反射变换，直接采用点变换的反射变换矩 阵。
主视图 正交投影 俯视图 侧视图 正投影 正等测 平行投影 正轴测投影 正二测 正三测 投影 斜等测 斜投影 斜二测 一点透视 透视投影二点透视 三点透视
（6-25）
2 2 2 2 2 2 由 n1 n2 n3 1 ，得到 cos cos cos 1
则， 1 cos2 cos2 cos2
所以， cos x cos 2 cos 2
n1 cos sin y cos x cos2 cos2
n2
n3
0 1 0 cos x 1 0 0 1 1 0 sin x 0 0
0 sin x cos x 0
0 cos y 0 0 0 sin y 1 0
0 sin y 1 0 0 cos y 0 0
0 0 0 1
y
P0 P 1
v θx
z O
θy
u
x
将 P0 P 1 规范为单位矢量n，它在三个坐标轴上的投影 分别为 n1 cos n2 cos n3 cos 。取z轴上一单位矢量k 将其绕x轴顺时针旋转θx角，再绕y轴逆时针旋转θy角， 则单位矢量k将同单位矢量n重合，变换过程为
n1
。
（6-26） （6-27）
n3 cos cos y cos x cos2 cos2
（6-28）
将式（6-25）～（6-28）代入（6-19）、（6-20）、
（6-22）和（6-23）中，即可计算出T2、T3、T5和T6。
复合变换矩阵
T T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7
6.4.2 三维坐标系变换
平移变换矩阵
1 0 T 0 Tx 0 1 0 Ty 0 0 1 Tz 0 0 0 1
（6-31）
相对于点变换而言，坐标系变换的平移参数需要取为负值。
同二维坐标系的旋转变换类似，三维坐标系的旋转变化 矩阵应使用点变换的反向旋转变换矩阵表示。 绕x轴的逆时针三维旋转变换矩阵为
相对于任意方向的变换方法是首先对任意方向做旋转 变换，使变换方向与某个坐标轴重合，然后对该坐标轴 进行三维基本几何变换，最后做反向旋转变换，将任意 方向还原到原来的方向。三维几何变换中需要进行两次 旋转变换，才能使任意方向与某个坐标轴重合。一般做 法是先将任意方向旋转到某个坐标平面内，然后再旋转 到与该坐标平面内的某个坐标轴重合。 例6-1 已知空间矢量
cos y 0 T6 sin y 0 0 sin y 1 0 0 cos y 0 0 0 0 0 1
（6-23）
（7）将P0(x0，y0，z0)点平移回原位置
1 0 T7 0 x0 0 1 0 y0 0 0 1 z0 0 0 0 1
（6-21）
（5）将 P0 P1 绕x轴旋转-x角，即顺时针旋转x角
0 1 0 cos x T5 0 sin x 0 0
0 sin x cos x 0
0 0 0 1
（6-22）
（6）将 P0 P1 绕y轴旋转-y角间变量sinθx、sinθy、cosθx、cosθy 将 P0 P 1 投影到y＝0的平面上，投影矢量为u
u与z轴正向的夹角为θy
将 P0 P 1 投影到x＝0的平面上，投影矢量为v v与z轴正向的夹角为θx 不需要计算 θx 和θy的值，只需计算其正弦值与余弦值， 就可以计算出变换矩阵T2、T3、T5和T6。
6.3.1相对于任一参考点的三维几何变换
在三维基本几何变换中，比例变换和旋转变换是与参 考点相关的。相对于任一参考点Q（x,y,z）的比例变换 和旋转变换应表达为复合变换形式。变换方法是首先 将参考点平移到坐标原点，相对于坐标原点作比例变 换或旋转变换，然后再进行反平移将参考点平移回原 位置。
6.3.2 相对于任意方向的三维几何变换
（6-13）
6.2.5 错切变换
1 b d 1 T g h 0 0 c f 1 0 0 0 0 1
（6-14）
1.沿x方向错切
1 d T g 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
（6-15）
2.沿y方向错切
1 0 T 0 0 b 1 h 0 0 0 1 0 0 0 0 1
（6-8）
2.关于y轴的反射
1 0 T 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1
（6-9）
3.关于z轴的反射
1 0 0 1 T 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
（6-10）
4.关于xoy面的反射
cos x sin y
sin x
cos x cos y 1