第六章几何变换
七年级上数学五六章知识点
七年级上数学五六章知识点在七年级上数学中，五六章是一个非常重要的学习阶段。
本篇文章将为读者详细介绍这两章的知识点。
第五章：数与代数1.正数、负数和零在这一章中，同学们需要了解正数、负数和零这三个概念。
在日常生活中，我们经常会遇到这些数字。
比如，气温超过0度为正数，低于0度为负数，等于0度为零。
同时，在数学中，这三个数字也有着非常重要的地位。
2.代数式代数式主要是指包含数字、字母、运算符等成分的表达式。
在学习代数式时，同学们需要了解如何对其进行加、减、乘和除等运算。
同时，在计算代数式时，同学们还需要学习化简和因式分解等方法。
3.方程方程是指包含未知数的等式。
在学习方程时，同学们需要了解如何求解未知数的具体方法，比如利用加减消元、代入法等等。
第六章：图形的认识1.图形的种类这一章主要介绍了一些基础的图形，包括三角形、四边形、圆形等。
同时，同学们还需要了解如何对这些图形进行分类和比较。
2.几何变换几何变换是指对图形进行平移、旋转、翻折等变换。
在学习几何变换时，同学们需要了解如何将图形变换到指定位置，并且可以通过一些特殊方法来快速计算出变换后的图形。
3.坐标系坐标系是指在二维平面上建立的一个直角坐标系。
在学习坐标系时，同学们需要了解如何利用坐标来确定图形在平面上的位置，并且可以通过一些特殊的坐标表示方法来简化计算过程。
总结：以上就是七年级数学五六章的知识点了。
同学们在学习这些知识时，需要认真听讲，积极完成课堂作业，并且多做练习题。
只有这样才能够掌握这些知识点，更好地应对数学考试。
线性变换的定义
第六章 线性变换
6.1 线性变换的定义
授课题目： 6.1 线性变换的定义 授课时数：4学时 教学目标：理解线性变换的概念，掌
握线性变换的基本性质 教学重点：线性变换的基本性质 教学难点：线性变换的象与核的求法
一. 定义及例子
1.两个实例 例1 在二维几何空
间V
中，令σ 是将
2
每个向量旋转角φ
的一个旋转变换
（见图6.1）
图 6.1
容易看出：对任意向量α,β及实数 k 均有
σ(α+β)＝σ(α)+σ(β)
σ(kα)＝kσ(α)
例2 在 V 3 中对平面H
的正投影变换
（图6.2）
线性变换，叫做C[a, b]的积分变换.
二. 线性变换的基本性质 1) 线性变换σ把零向量变成零向量；
把任一向量α的负向量-α变成α的象 σ(α)的负向量-σ(α).
证 任取一向量α，有 σ(0)＝σ(0α)＝0σ(α)＝0．
σ(α)+σ(-α)＝σ(α-α)＝σ(0)＝0， 所以σ(-α)＝-σ(α)
σ(α)= (1,3,0,)σ(β)= (4,6,,0) σ(α)+σ(β)= (5,1,0而,0σ)(α+β)=
, (9,9,0)
σ(α+β) ____≠σ(α)+σ(β).
例4 在Mn(F)中, 对任意的n阶方阵X, 规定 σ(X)=AXB，其中A和B为F上两个固定的 方阵. 由于：
1）对任意的X、Y∈Mn(F)，则有σ(X+Y) = A(X+Y)B =AXB+AYB =σ(X)+ σ(Y) ; 2)对任意的k∈F，有σ(kX)= A(kX)B = k(AXB) = kσ(X) ． 所以,σ是 Mn(F )的一个线性变换.
计算机图形学6(陈永强)
Y
X (e)关于x=-y对称
X (d)关于x=y对称
11
基本几何变换——对称变换
(1)关于x轴对称
Y
1a 0 b 0 1 c d m 0l 0
0 p 0 q s 1
P(x,y) X P'(x,-y)
图6-5 关于x轴对称
12
基本几何变换——对称变换
24
复合变换——二维复合旋转
cos1 sin 1 0 cos 2 Tr Tr1 Tr 2 sin 1 cos1 0 sin 2 0 1 0 0 cos(1 2 ) sin(1 2 ) 0 sin(1 2 ) cos(1 2 ) 0 0 0 1 sin 2 cos 2 0 0 0 1
1 b 0 c 1 0 0 0 1
(3)两个方向错切
18
二维图形几何变换的计算
几何变换均可表示成P’=P*T的形式。 1. 点的变换
x'
y ' 1 x
a b y 1 c d l m
p q r
19
二维图形几何变换的计算
2. 直线的变换
0 cos 0 0 0 1
1 0 tg 1 0
0
tg 1 0
0 1
0
26
6.3.5相对任一参考点的二维几何变换
相对某个参考点(xF,yF)作二维几何变换，其变 换过程为： (1) 平移； (2) 针对原点进行二维几何变换； (3) 反平移。
27
相对任一参考点的二维几何变换
P' P T P (T1 T2 T3 Tn ) P T1 T2 T3 Tn (n 1)
北师大地理信息系统原理与应用课件第6章 几何变换
第三步——用估算系 数和变换方程，计算 数字化地图的要素或 影像像元的x，y坐标， 这一步也称之为纠正。
REC
地理信息系统
仿射变换的原理
X = Ax+By+C Y = Dx+Ey+F
x、y 是输入坐标 X、Y是输出坐标 A, B, C, D, E, F是转换系数
地理信息系统
第六章 几何变换
• 为使数字化地图可用，必须对其进行几何变换，只有 经过几何变换，新的数字化地图才能与其他图层匹配。 • 卫星遥感数据也需要通过几何变换转换到投影坐标系统， 还可以纠正几何误差。
几何变换（ Geometric Transformations ） ：利用一系列 控制点和转换方程式在投影坐标上配准数字化地图、卫星图 像或航空像片的过程。
解算：最少3对数据（控制点），一般大于等于4对数据（控制点）， 采用最小二乘法。
REC
地理信息系统
仿射变换中控制点的选择
仿射变换使用的系数是由转换数字化地图或卫星影像 的一系列控制点推出的，因此控制点的选择直接影响变换 的结果，通常运用4个以上的控制点，减少测量误差的错 误，同时可以运用最小二乘法。控制点选择后将它们与地 图要素一起进行数字化生成数字化地图。
REC
地理信息系统
一、几何变换
地图到地图的变换 Map-to-Map Transformation
刚数字化完毕的地图转换到投影坐标的几何变换过程
图像到地图的变换 Image-to-Map Transformation
把卫星影像的行和列转变为投影坐标பைடு நூலகம்
REC
地理信息系统
➢ 几何变换的方法
高等几何(第六章)
0 0
二阶曲线 秩为2
（实、虚、平行、相交、普通直 线、无穷远直线等5种情况）
秩为1
一对重合的普通直线：x12
0
一对重合的无穷远直线：x32 0
5 11
§4 二次曲线的度量性质
➢我们在引入了复元素的仿射平面上讨 论二次曲线的度量性质。
➢在讨论二次曲线的仿射性质时，仿射 不变图形无穷远直线起了至关重要的作 用，那么正交变换下保持不变的元素除 了无穷远直线外还有什么？
➢为什么要讨论圆点呢？ ➢定理4.2 正交变换保持圆点不变。
x'
y'
x x
cos sin
y y
sin cos
a13 a23
或
x' y'
x cos -x sin -
y y
sin cos
a13 a23
前者I(1,i,0)，J(1,-i,0)保持不变， 后者I(1,i,0)，J(1,-i,0)分别变为J，I.
➢定理2.1 双曲线、椭圆各有唯一的中 心，且为普通点，抛物线的中心为无穷 远点。
二次曲线的中心坐标：
A11 A12
A21 A22
A31 0 A31 A32 0 A32
A13 A23 A33 1 A33
➢例1. 判定二次曲线：x12-2x1x2+x222x1x3+x2x3-x32=0的类型，并求出它的 中心。
直径与共轭直径的关系是相互的。
一直径的方向与该直径的共轭直径的方向(该直 径的极点的方向)称为一对共轭方向。注意抛物线 的情形。
例：过一直径两端点的切线平行于该直径的共轭 直径。
P
✓过一直径两端点的切线的交点为该直径 的极点即为一个无穷远点。
第六章 Z变换
6.3 z变换的反变换
2π j , 柯西公式： ∫ z dz = C 0,
n
m = −1 m ≠ −1
6.3 z变换的Βιβλιοθήκη 变换6.3 z变换的反变换
6.3 (1)幂级数展开法
6.3 (1)幂级数展开法
6.3 (1)幂级数展开法
例2 、 x[ n] = u[ n]
X ( z) = ∑ z
n =0
+∞
−n
1 = , z >1 −1 1− z
+∞ 1 X (ω ) = + π ∑ δ (ω − 2kπ ) − jω 1− e k = −∞
例3、
x[n] = − a u[− n − 1]
n
−1 n −n
a z X ( z) = − ∑ a z = − ∑ a z = − −1 1− a z n = −∞ n =1 1 = ,z <a −1 1 − az
第6章 Z变换 章 变换
引言
x(n) = z
n
LTI
y(n) = H(z)z
n
h(n)
H (z) =
jω
n = −∞
∑
+∞
h(n ) z −n ,
H ( z ) 为 h ( n )的 z 变换 .
z = re , 当r＝1时，即为h( n)的傅立叶变换。
z变换是离散时间傅里叶变换的推广，在连续时 变换是离散时间傅里叶变换的推广， 变换是离散时间傅里叶变换的推广 间域内与拉氏变换相对应。 间域内与拉氏变换相对应。
(3) ZT[δ (n +1)] = ∑δ (n +1)z + ∑δ (n +1)z
n=0
数字图像处理课件第6章图像的几何变换
x Hx H
y Hy H
第6章 图像的几何变换
齐次坐标的几何意义相当于点(x, y)落在3D空间H＝1
的平面上，如图6-2所示。如果将xOy平面内的三角形abc的 各顶点表示成齐次坐标(xi, yi, 1)(i=1, 2, 3)的形式，就变成H ＝1平面内的三角形a1b1c1的各顶点。
图6-2 齐次坐标的几何意义
第6章 图像的几何变换
齐次坐标在2D图像几何变换中的另一个应用是：如某 点S(60 000，40 000)在16位计算机上表示，由于大于32767 的最大坐标值，需要进行复杂的处理操作。但如果把S的坐 标形式变成(Hx, Hy, H)形式的齐次坐标，则情况就不同了。 在齐次坐标系中，设H＝1/2，则S(60 000，40 000)的齐次坐 标为(x/2，y/2，1/2)，那么所要表示的点变为(30 000， 20 000，1/2)，此点显然在16位计算机上二进制数所能表示 的范围之内。
(图像上各点的新齐次坐标)
(图像上各点的原齐次坐标)
第6章 图像的几何变换 设变换矩阵T为
a b p
T c
d
q
l m s
则上述变换可以用公式表示为
=
T
Hx1' Hy1'
Hx2' Hy2'
Hxn' Hyn'
x1 x2 xn
T
y1
y2
yn
H H H 3n
1 1 1 3n
第6章 图像的几何变换
6.4 图像镜像
6.4.1 图像镜像变换 图像的镜像(Mirror)变换不改变图像的形状。 镜像变换分为两种：一种是水平镜像，另外一种是垂直镜
高等几何教案与课后答案
高等几何教案与课后答案教案章节：第一章绪论教学目标：1. 了解高等几何的研究对象和基本概念。
2. 掌握几何图形的性质和相互关系。
3. 理解几何变换的基本原理。
教学内容：1. 高等几何的研究对象和基本概念。
2. 几何图形的性质和相互关系。
3. 几何变换的基本原理。
教学步骤：1. 引入高等几何的概念，引导学生思考几何图形的性质和相互关系。
2. 讲解几何图形的性质和相互关系，举例说明。
3. 介绍几何变换的基本原理，解释其应用。
教学方法：1. 采用讲授法，系统地讲解高等几何的基本概念和性质。
2. 利用图形和实例，直观地展示几何图形的相互关系。
3. 通过练习题，巩固学生对几何变换的理解。
教学评估：1. 课堂提问，检查学生对高等几何概念的理解。
2. 课后作业，评估学生对几何图形性质和相互关系的掌握。
3. 期中期末考试，全面检验学生对几何变换的应用能力。
课后答案：1. 高等几何是研究几何图形的性质、相互关系和几何变换的学科。
2. 几何图形包括点、线、面及其相关性质。
3. 几何变换包括平移、旋转、反射等，它们可以改变几何图形的形状和位置。
教案章节：第二章直线与平面教学目标：1. 掌握直线的性质和方程。
2. 理解平面的性质和方程。
3. 学会利用直线和平面解决几何问题。
教学内容：1. 直线的性质和方程。
2. 平面的性质和方程。
3. 直线与平面的相互关系。
教学步骤：1. 讲解直线的性质和方程，举例说明。
2. 介绍平面的性质和方程，解释其应用。
3. 分析直线与平面的相互关系，引导学生思考。
教学方法：1. 采用讲授法，系统地讲解直线和平面的性质。
2. 利用图形和实例，直观地展示直线与平面的相互关系。
3. 通过练习题，巩固学生对直线与平面几何问题的解决能力。
教学评估：1. 课堂提问，检查学生对直线性质的理解。
2. 课后作业，评估学生对平面方程的掌握。
3. 期中期末考试，全面检验学生对直线与平面几何问题的解决能力。
课后答案：1. 直线的性质包括方向、斜率、截距等，直线的方程可以表示为y = kx + b。
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特性：
直线变换后仍为直线
平行线变换后仍为平行线
不同方向上的长度比发生变化。
求解上式中的6个未知数，需不在一直线上的3 对已知控制点，由于误差，需多余观测，所以， 用于图幅定向至少需要四对控制点。
解决四个问题
不均匀缩放 旋转
倾斜 平移
设Vx、Vy表示同一点转换坐标和理论坐标之差， 即两坐标系变换产生的误差，则有：
操作对象：
矢量（数字地图）——重投影过程 栅格（图像）——重采样过程 转换精度评价 用均方根误差——度量控制点从真实位置到估算位
置之间的偏移。
几何变换方法
1、等积变换：允许旋转矩形，保持形状与大小不 变
2、相似变换：允许旋转矩形，保持形状不变，单 大小改变
3、仿射变换：GIS常用。允许矩形角度改变，保留 线的平行性
控制点选取原则 四个角点为控制点
控制点选取误区：控制点越多越好（误差越大，接 边出差错），控制点越准越好
根据RMS判断残差：该值小于容差范围，则接受； 该值大于容差范围，则重新选点。
如何判断选取控制点精度——均方根误差
均方根误差是控制点实际位置与估算位置间偏差的 估量，决定了几何变换精度和数字化定位精度。
使用多个坐标变换参考点（或称：控制点）， 根据最小二乘原理，由[Vx2 + Vy2]为最小的条 件，可得两组法方程：
和
式中：n为控制点个数；x、y为控制点的数字化坐标； X、Y为控制点的理论坐标。由上述法方程，通过消 元a2、b，0、可b求1得和b完2成。仿射变换所需的6个参数a0、a1、
仿射变换时，控制点的选取是关键 如何选取控制点？ 1、地图到地图的变换 图面坐标直接从图上选取，常用的是图廓点坐标 真实坐标按照国家测绘标准 控制点个数少，与几何变换方法有关 2、影像到地图的变换 图面坐标直接从影像上选取明显的像元 真实坐标或GPS，或数字化地图上获取 控制点个数多，与几何变换方法有关
X a0 (m1 cos)x (m2sin) y Y b0 (m1 sin)x (m2 cos) y
x a1x1 a2 y1 a0 y b1x1 b2 y1 b0
式中： X1和y1是源控制点坐标，xy是转 换后汇控制点坐标 参数a0b0控制原点坐标平移 A1b1a2b2控制缩放和旋转程度
仿射变换三部曲
1、图上控制点坐标
真实世界坐标
2、解放射变换方程，检查每个点的RMS误差。若 超标，则删除，直到所有点不超标为止。
3、代入估算系统，用变换方程，计算整幅图坐标
如果几何变换的是影像图 由于变换前后，数据点不对等 按照变换方程估算，有的像元有值，有的像元
没有值 如果像元没有值 通过重采样填充像元值
仿射变换与相似变换相比，前者是假设地图因变形而 引起的实际比例尺在x和y向都不相同，而后者则假设 二者相同，因此，仿射变换还具有图纸变形的纠正功 能。
仿射变换的特点是：同时考虑x和y方向上的变形，纠 正后的坐标数据在不同方向上的长度比将发生变化。
在保持目标平行的条件下，允许进行旋转、平移、 倾斜、不均匀缩放等。实质是两坐标系之间的旋 转变换。
2014-3-19
为什么需要从几何变换入手 几何变换的定义 几何变换的方法（像元值重采样） 像元值重采样
当空间数据获取时 无论什么数据源 现有GIS数据 新创建的数据 无论什么数据采集方法 数据格式转换 屏幕数字化
定义 ：利用一套控制点和变换方程，将数字地图或 图像从一种坐标系转换成另一种坐标系的过程
重采样：以原始像元值或导出像元值填充新图像的 每个像元
三种方法
邻近点插值法：用最邻近像元值填充到新像元，计 算速度快
双线性插值法：基于三次线性内插，四个最邻近像 元
三次卷积插值法：5次多项式，16个相邻像元
4、投影变换：允许角度和长度变形 5、拓扑变换：保持拓扑不变
仿射变换是GIS数据处理中使用最多的一种几何纠正 方法，它是通过利用适合控制点的一阶转换经验多项 式完成从数字化表格坐标到输入地图实际投影坐标转 换的。
在控制点，表格坐标和输入数据的投影坐标都是已知 的；输入数据的投影类型是已知的。