经典高三极坐标练习题

师道教育高三极坐标练习题一．解答题（共30小题）的参数方程方程为（α．在平面直角坐标系中，已知曲线C为参数），在极1．坐标系中，点Mπ的极坐标为（），（I）写出曲线C的普通方程并判断点M与曲线C的位置关系；（Ⅱ）设直线l过点M且与曲线C交于A、B两点，若|AB|=2|MB|，求直线l的方程．2．已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x的参数方程是（tl是参数）轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；|AB|=，求直线的倾斜角α的值． C相交于A、B两点，且（2）若直线l与曲线3．已知曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x的参数方程是（t为参数）L轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线．（1）求曲线C的直角坐标方程和直线L的普通方程；（2）设点P（m，0），若直线L与曲线C交于A，B两点，且|PA|?|PB|=1，求实数m的值．4．已知曲线C的极坐标方程是ρ=1，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角的参数方程为为参数）．坐标系，直线l（1）写出直线l与曲线C的直角坐标方程；经过伸缩变换得到曲线C′，设曲线C′上任一点为M（x，y），求2（）设曲线C的最小值．5．已知曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面的参数方程为（t为参数）直角坐标系，设直线l．（1）求曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程；（2）设曲线C与直线l相交于P、Q两点，以PQ为一条边作曲线C的内接矩形，求该矩形的面积．6．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知：（θC，为参数）．为参数）（：曲线C t21（Ⅰ）化C，C 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；21．t=，Q 为C上的动点，求PQ中点P对应的参数为M到直线C：ρ（cosθ（Ⅱ）若C上的点312﹣2sinθ）=7距离的最小值．7．极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线C的极坐标方程为ρ=2（cosθ+sinθ）．（1）求C的直角坐标方程；：为参数）与曲线C交于A，B两点，与y轴交于E，求|EA|+|EB|（2）直线l 的值．8．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，﹣）=aθ，且点A，直线，）l的极坐标方程为ρ已知点Acos 的极坐标为（（在直线l上．（1）求a的值及直线l的直角坐标方程；的参数方程为（α为参数），试判断直线l）若圆C与圆C的位置关系．（29．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知2θ=acosθ（a＞0），过点Psin曲线C的极坐标方程为ρ（﹣2，﹣4）的直线l的参数方程为（t为参数），直线l与曲线C相交于A，B两点．（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；2，求a的值．（Ⅱ）若|PA|?|PB|=|AB|：（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立10．已知直线l极坐标系，曲线C的坐标方程为ρ=2cosθ．（1）将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程；，），直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|?|MB|（2）设点M的直角坐标为（5的值．：（t为参数）+=1，直线C11．已知曲线l：（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．12．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C，[0]θ=2cosθ，∈ρ的极坐标方程为（Ⅰ）求C的参数方程；y=：D处的切线与直线l在上，半圆1x+2垂直，根据（）中你在半圆（Ⅱ）设点DCC 的坐标．D的倾斜角及CD得到的参数方程，求直线22=1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线．将圆13xC+y．（Ⅰ）写出C的参数方程；（Ⅱ）设直线l：2x+y﹣2=0与C的交点为P，P，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴21建立极坐标系，求过线段PP的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．2114．（选修4﹣4：坐标系与参数方程）的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，已知曲线Cx轴的正半轴为1极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ．2（Ⅰ）把C的参数方程化为极坐标方程；1（Ⅱ）求C与C交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）2115．选修4﹣4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知点A的的极坐标方程为，且点A在直线ll 上．极坐标为，直线（Ⅰ）求a的值及直线l的直角坐标方程；的参数方程为，试判断直线l与圆CC的位置关系．（Ⅱ）圆；坐标系与参数方程16．选修4﹣﹣4α=2：上，对应参数分别为β=α与β已知动点P，Q都在曲线C（0＜α＜2π），M为PQ的中点．（Ⅰ）求M的轨迹的参数方程（Ⅱ）将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．的参数方程为（为参数），曲线C17．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数（t为参数）．试求直线l方程为和曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．的为参数）的参数方程为（φ，曲线C中，曲线18．在平面直角坐标系xOyC21（a＞b＞0，φ为参数）在以O为极点，参数方程为x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ=α与C，C各有一个交点．当α=0时，这两个交点间的距离为2，21=时，这两个交点重合．当α（I）分别说明C，C是什么曲线，并求出a与b的值；21﹣时，l与Cα=，C的交点，）设当α与=时，lC，C的交点分别为AB，当（II221111为A，B，求四边形AABB的面积．122221的参数方程为（tC为参数），以该直角坐标系的19．在直角坐标系xOy中，直线1+22cosθ的方程为ρ=﹣圆Oθsin．原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系下，C2（Ⅰ）求直线C的普通方程和圆C的圆心的极坐标；21（Ⅱ）设直线C和圆C 的长．AB，求弦B，A的交点为21．20．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐1的参数方程为，（θC为参数，（θ0+）≤=a，曲线标方程为ρsin2θ≤π）．（Ⅰ）求C的直角坐标方程；1（Ⅱ）当C与C有两个公共点时，求实数a的取值范围．21：（θC为参数）．C ：（t为参数），21．已知曲线21（1）化C，C的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；21：C中点M到直线Q为C上的动点，求PQ（2）若C上的点P对应的参数为，t=312（t为参数）距离的最小值．轴正半轴为xl为参数）的参数方程为（t，以坐标原点为极点，22．已知直线=．的极坐标方程是ρ极轴，建立极坐标系，曲线C（1）写出直线l的极坐标方程与曲线C 的普通方程；（2）若点 P是曲线C上的动点，求 P到直线l的距离的最小值，并求出 P点的坐标．的直线（t为参数）与曲线．在直角坐标系xOy中，设倾斜角为α23．，B（θ为参数）相交于不同两点A的坐标；中点（1M）若，求线段AB2，其中l的斜率． 2）若|PA|?|PB|=|OP|（，求直线：为参数）（θ，将C上的所有点的横坐C．在平面直角坐标系xOy中，已知2411标、纵坐标分别伸长为原来的和2倍后得到曲线C以平面直角坐标系xOy的原点O为2极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l：ρ（cosθ+sinθ）=4（1）试写出曲线C的极坐标方程与曲线C的参数方程；21（2）在曲线C上求一点P，使点P到直线l的距离最小，并求此最小值．225．选修4﹣4：坐标系与参数方程已知曲线C的极坐标方程是ρ=2，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐的参数方程为（t为参数）．标系，直线l 的直角坐标系下的方程；C与曲线l（Ⅰ）写出直线经过伸缩变换得到曲线C′设曲线C′上任一点为M（x（Ⅱ）设曲线C，y），求的取值范围．，曲线C的极坐标方程是26．已知曲线C的参数方程是21是参数）．（1）写出曲线C的直角坐标方程和曲线C的普通方程；21（2）求t的取值范围，使得C，C没有公共点．2127．已知平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲的参数方程为（t为参数）．ρ=2sinθ；C 线C方程为21（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和C的普通方程；21（Ⅱ）设点P为曲线C上的任意一点，求点P 到曲线C距离的取值范围．21的参数方程：C，曲线的参数方程：（t为参数）28．已知直线l（α为参数），且直线交曲线C于A，B两点．=时，|AB|的参数方程化为普通方程，并求θ的长度；（Ⅰ）将曲线C（Ⅱ）已知点P：（1，0），求当直线倾斜角θ变化时，|PA|?|PB|的范围．的参数方程为（?为参数），以O29．在平面直角坐标系中，曲线C为极点，x1射线是圆心在极轴上且经过极点的圆，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 与2交于点．C 曲线2（1）求曲线C，C的普通方程；21上的两点，求的值．）是曲线C（21（φ为参数），以坐标原点O为极点，．己知圆30C的参数方程为x轴的正半轴1=2的极坐标方程为ρ．为极轴建立极坐标系，圆Ccos（θ﹣）2（Ⅰ）将圆C 的参数方程他为普通方程，将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；21（Ⅱ）圆C，C是否相交，若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由．21参考答案与试题解析小题）30一．解答题（共．的参数方程方程为C江西校级二模）在平面直角坐标系中，已知曲线1．（2016?，π）．为参数），在极坐标系中，点M 的极坐标为（（α（I）写出曲线C的普通方程并判断点M与曲线C的位置关系；（Ⅱ）设直线l过点M且与曲线C交于A、B两点，若|AB|=2|MB|，求直线l的方程．【分析】（I）利用同角三角函数的关系消参数得出曲线C的普通方程，将M点坐标代入曲线C的方程即可判断点M与曲线C的位置关系；（II）由|AB|=2|MB|，可知M为AB的中点，将直线l的参数方程代入曲线的方程则方程有两个互为相反数的实根，根据根与系数的关系求出l的斜率，得出l 方程．得：，（α为参数）消（【解答】解：Iα）由，∵，，1）将化成直角坐标得M（﹣1故点M在曲线C内．的参数方程为（t为参数，α为（Ⅱ）设直线ll的倾斜角）．22+（8sinα﹣6cosα）t﹣5=0（代入得：3+sin．α）t∵|AB|=2|MB|，∴M为AB的中点，即t+t=0．21=．tanα﹣6cosα=0，∴∴8sin α的方程为：，即3x﹣∴l4y+7=0．2．（2016?鹰潭一模）已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的参数方程是（ltx轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直的原点，极轴为是参数）（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；|AB|=，求直线的倾斜角α两点，且的值．、）若直线l与曲线C相交于AB（2【分析】本题（1）可以利用极坐标与直角坐标互化的化式，求出曲线C的直角坐标方程；的参数方程是（lt是参数）化成普通方程，再求出弦心距，利（2）先将直用勾股定理求出弦长，也可以直接利用直线的参数方程和圆的普通方程联解，求出对应的参数t，t的关系式，利用|AB|=|t﹣t|，得到α的三角方程，解方程得到α的值，要2121注意角α范围．222， +ysinθ=y，ρ=x，ρ解：【解答】（1）∵cosθ=xρ∴曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ可化为：2=4ρcosθ，ρ22=4x，∴x+y22．=4+y）2﹣x∴（．22=4得：2） +y（2）将代入圆的方程（x﹣22=4，（tsinα（tcosα﹣1））+2﹣2tcosα﹣3=0．化简得t 设A、B两点对应的参数分别为t、t，21则，=|=，∴|AB|=|t﹣t 21∵|AB|=， =．∴ cos．∴∵α∈[0，π），或．∴∴直线的倾斜角或．3．（2016?洛阳二模）已知曲线C的极坐标方程是ρ=2cos θ，以极点为平面直角坐标系的参数方程是（Ltx轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的原点，极轴为为参数）．（1）求曲线C的直角坐标方程和直线L的普通方程；（2）设点P（m，0），若直线L与曲线C交于A，B两点，且|PA|?|PB|=1，求实数m的值．2，利用可ρcos=2cosθ，化为ρθ=2【分析】（1）曲线C的极坐标方程是ρ代入+m消t的参数方程是（为参数），把得直角坐标方程．直线Lt=2y 去参数即可得出．t222﹣2m=0化为：2（为参数））把，代入方程：x+m+y=2x，（t由△＞0，得﹣1＜m＜3．利用|PA|?|PB|=tt，即可得出．212=2ρcos，化为ρθ，可得直角坐标θρC1解：【解答】（）曲线的极坐标方程是=2cos22．=2x+yx方程：可得． t为参数），消去参数直线Lt的参数方程是（222﹣2m=0，，代入方程：x化为：+y+m=2x（2 ）把（t为参数）由△＞0，解得﹣1＜m＜3．2﹣2m=m．∴tt21∵|PA|?|PB|=1=|tt|，212﹣2m=±1，∴m解得，1．又满足△＞0．m=1，1．∴实数4．（2016?汕头模拟）已知曲线C的极坐标方程是ρ=1，以极点为原点，极轴为x轴的正的参数方程为为参数）．半轴建立平面直角坐标系，直线l C）写出直线l与曲线的直角坐标方程；（1，求x，yC）经过伸缩变换得到曲线C′，设曲线C′上任一点为M（（2）设曲线的最小值．222，将ρ+y=1（1）利用ρ转化成直角坐标方程，然后将直线的参数方程的上=x 【分析】式化简成t=2（x﹣1）代入下式消去参数t即可；（2）根据伸缩变换公式求出变换后的曲线方程，然后利用参数方程表示出曲线上任意一点，代入，根据三角函数的辅助角公式求出最小值．的参数方程为为参数）．（1）直线l【解答】解：）代入下式得1 t=2（x﹣由上式化简成22222分）（C：x2ρ根据+y=x+y=1，进行化简得（5分）代入C （2）∵得∴ 7为参数）（分）设椭圆的参数方程（则9分）分）10（．4的最小值为﹣则．5．（2016?邯郸二模）已知曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，以极点为原点，极轴为x的参数方程为（t为参数）轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l．（1）求曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程；（2）设曲线C与直线l相交于P、Q两点，以PQ为一条边作曲线C的内接矩形，求该矩形的面积．【分析】（1）利用公式x=ρcosθ，y=ρsinθ即可把曲线C的极坐标方程化为普通方程；消去参数t即可得到直线l的方程；|PQ|=2）利用弦长和圆的内接矩形，得对角线是圆的直径即可求出圆的内接（2矩形的面积．222=4x；x ρ+y=4ρcosθ，进而（【解答】解：1）对于C：由ρ=4cosθ，得：由（t为参数），对于l，即．（5分）得（2）由（1）可知C为圆，且圆心为（2，0），半径为2，则弦心距，，弦长的内接矩形面积．（10PQ为边的圆C分）因此以6．（2016?太原三模）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建：（θC，为参数）．立极坐标系．已知曲线C ：（t为参数）21（Ⅰ）化C，C的方程为普通方程，并（Ⅱ）说明它们分别表示什么曲线；21t=，Q为C上的动点，求PQ中点M到直线C：若C上的点P对应的参数为ρ（cosθ321﹣2sinθ）=7距离的最小值．22即可化为普通方 t=1【分析】（Ⅰ）曲线C：t+cossin为参数）（t，利用122θ：=1+sin 化为普通方程．cos（θ为参数），利用θC程；2M，）3sinθ，故θ，4时，P （﹣，4）Q（8cost=（Ⅱ）当，直线C：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7化为x﹣2y=7，利用点到直线的距离公式与三角函数的3单调性即可得出．22=1，3）） +（y【解答】解：（Ⅰ）曲线C﹣：（t为参数），化为（x+41∴C为圆心是（﹣4，3），半径是1的圆．1，化为．θ为参数）C ：（2C为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．2M，，故θ，3sinθ）P（﹣4，4），Q （（Ⅱ）当8cost=时，直线C：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7化为x﹣2y=7，3=|5sin （θ+φ）M到C的距离+13|d=，3取得最小值时，θ=d 从而当cossinθ﹣=，sin．7．（2016?漳州二模）极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线C的极坐标方程为ρ=2（cos θ+sinθ）．（1）求C的直角坐标方程；：为参数）与曲线C交于A，B两点，与y轴交于）（2直线lE，求|EA|+|EB|的值．222，x=ρcosθ，y=ρsin【分析】（1）将极坐标方程两边同乘ρ，进而根据ρθ=x+y，可求出C的直角坐标方程；（2）将直线l的参数方程，代入曲线C的直角坐标方程，求出对应的t值，根据参数t的几何意义，求出|EA|+|EB|的值．【解答】解：（1）∵曲线C的极坐标方程为ρ=2（cosθ+sinθ）2=2ρcosθ+2ρsinρ∴θ22=2x+2y+y∴x22=2﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5）分）） +（y﹣1即（x﹣1（2）将l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，2﹣t﹣1=0，得t=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣|=|EA|+|EB|=|t|+|t|=|t﹣t所以2121﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）8．（2016?梅州二模）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极，），直线l的极坐标方程为ρcos（θ﹣轴建立极坐标系，已知点A 的极坐标为（上．lA=a），且点在直线 l的值及直线的直角坐标方程；a1（）求的位置关系．C与圆l，试判断直线为参数）α（的参数方程为C）若圆2（．【分析】（1）利用点在直线上，代入方程求出a，利用极坐标与直角坐标的互化，求出直线的直角坐标方程．（2）化简圆的参数方程与直角坐标方程，求出圆心与半径，利用圆心到直线的距离与半径比较即可得到直线与圆的位置关系．﹣）（θl的极坐标方程为ρ解：（1）点Acos的极坐标为（，），直线【解答】 l 上．=a，且点A在直线）=a，解得可得：cos．（a=﹣﹣θcos（直线）=，即：ρcosθ+ρsinθ=2， l的极坐标方程为ρ直线l的直角坐标方程为：x+y ﹣2=0．22．）+y=1为参数），可得圆的直角坐标方程为：（x﹣1（（2）圆C的参数方程为α．0），半径为：1圆心（1， 1=＜因为圆心到直线的距离，d=所以直线与圆相交．9．（2016?开封四模）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建2θ=acosθ（a＞0），过点P（﹣sin立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ2，﹣4）的参数方程为（t为参数），直线l与曲线C相交于的直线lA，B两点．（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；2，求a的值．（Ⅱ）若|PA|?|PB|=|AB|【分析】（Ⅰ）把曲线C的极坐标方程、直线l的参数方程化为普通方程即可；（Ⅱ）把直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程中，得关于t的一元二次方程，由根与系数的关系，求出t、t的关系式，结合参数的几何意义，求出a 的值．212θ=acosθ（a＞0C的极坐标方程ρsin），【解答】解：（Ⅰ）曲线22θ=aρcosθ（a＞0），可化为ρ sin2=ax（a＞0）；（2分）即y的参数方程为（tl为参数），直线消去参数t，化为普通方程是y=x﹣2；（4分）2=ax（a＞0的参数方程代入曲线lC的直角坐标方程y）中，（Ⅱ）将直线得；设A、B两点对应的参数分别为t，t，21则分）6（；2|PA|?|PB|=|AB|，∵∴?t，t=21．=+4t?t=5t?t，（9分）∴2211；即解得：a=2或a=﹣8（不合题意，应舍去）；∴a的值为2．（12分）：（t为参数）l．以坐标原点为极点，x轴的正半10．（2015?湖南）已知直线轴为极轴建立极坐标系，曲线C的坐标方程为ρ=2cosθ．（1）将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程；，），直线l与曲线C的交点为5A，B，求|MA|?|MB|的值．的直角坐标为（（2）设点M2【分析】（1）曲线的极坐标方程即ρ=2ρcosθ，根据极坐标和直角坐标的互化公式得22=2x，即得它的直角坐标方程；x +y（2）直线l的方程化为普通方程，利用切割线定理可得结论．222=2x，故它的直角坐标方程为（xx+y=2ρcosθ，∴θ【解答】解：（1）∵ρ=2cos，∴ρ22=1；+y ﹣1），）在直线l上，，普通方程为，（5（2）直线l（：t为参数）22+3﹣1=18，5﹣1）作圆的切线，切点为过点MT，则|MT| =（2=|MA|?|MB|=18．|MT| 由切割线定理，可得：（t，直线l为参数）新课标I）已知曲线C： +=1．11（2014?（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．【分析】（Ⅰ）联想三角函数的平方关系可取x=2cosθ、y=3sinθ得曲线C的参数方程，直接消掉参数t得直线l的普通方程；（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．由点到直线的距离公式得到P 到直线l的距离，除以sin30°进一步得到|PA|，化积后由三角函数的范围求得|PA|的最大值与最小值．+=1，可令x=2cosθ、：y=3sinθ， C【解答】解：（Ⅰ）对于曲线，故曲线C （的参数方程为θ为参数）．，对于直线l：由①得：t=x﹣2，代入②并整理得：2x+y﹣6=0；．）θ3sin，θ2cos（P上任意一点C（Ⅱ）设曲线的距离为．到直线l P，其中α为锐角．则取得最大值，最大值为|PA|﹣1时，θ+α）=．当sin（取得最小值，最小值为|PA|=1时，αsin（．θ+）当12．（2014?新课标II）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立，]∈[0ρ=2cosθ，θ极坐标系，半圆C的极坐标方程为（Ⅰ）求C的参数方程；y=：处的切线与直线l）中上，半圆C在D（Ⅱ）设点D在半圆C垂直，根据（x+21你得到的参数方程，求直线CD的倾斜角及D的坐标．22t=1t+sincos）利用即可得出直角坐标方程，利用进而得出参【分析】（1数方程．y=x+2垂直，则直线CD的斜率与直线l的斜2）利用半圆C在D处的切线与直线l：（率相等，即可得出直线CD的倾斜角及D的坐标．2=2ρcosθ，θ∈[0]，，即ρ解：【解答】（1）由半圆C的极坐标方程为ρ=2cos θ，22 1x﹣1））+y．=1（0≤y≤C可得的普通方程为（）可得C．的参数方程为（t为参数，0≤t≤π（2）设D（1+cos t，sin t），由（1）知C是以C（1，0）为圆心，1为半径的上半圆，t=． l的斜率相等，∴，tant=∵直线CD的斜率与直线故D．的直角坐标为），即（，22=1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的x2+y倍，得13．（2014?辽宁）将圆曲线C．（Ⅰ）写出C的参数方程；（Ⅱ）设直线l：2x+y﹣2=0与C的交点为P，P，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴21建立极坐标系，求过线段PP的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．21 22上，求出=1，）在圆x，再根据点（（Ⅰ）在曲线C上任意取一点（x，y）x+y 【分析】的方程，化为参数方程．C垂直的直线的P的中点坐标．再根据与lP （Ⅱ）解方程组求得P、的坐标，可得线段P2211可得所求的 y=ρsinαα，用点斜式求得所求的直线的方程，再根据斜率为x=ρcos、直线的极坐标方程．22=1x），上任意取一点（（Ⅰ）在曲线【解答】解：Cxy，由题意可得点（，）在圆+yx 上，22（0≤θ＜2C=1，即曲线的方程为 x+π，=1，化为参数方程为∴x+θ为参数）．，，不妨设P（1，0）、，可得P （0，2），（Ⅱ）由21的中点坐标为（，1）则线段PP，21﹣），即x1=（x再根据与l，故所求的直线的方程为垂直的直线的斜率为y﹣﹣2y+=0．+=0，ρsinααsinα可得所求的直线的极坐标方程为ρcos﹣2再根据x=ρcosα、y=ρ=．即ρ14．（2013?新课标Ⅰ）（选修4﹣4：坐标系与参数方程）的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为已知曲线C1极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ．2（Ⅰ）把C的参数方程化为极坐标方程；1（Ⅱ）求C与C交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）2122【分析】（Ⅰ）对于曲线C利用三角函数的平方关系式sint+cost=1即可得到圆C的普11通方程；再利用极坐标与直角坐标的互化公式即可得到C的极坐标方程；1（Ⅱ）先求出曲线C的极坐标方程；再将两圆的方程联立求出其交点坐标，最后再利用极2坐标与直角坐标的互化公式即可求出C与C交点的极坐标．21的参数方程式（t为参数）解：（Ⅰ）曲线C，【解答】122=25即为圆C5）的普通方程，得（x﹣4）﹣+（y122﹣8x﹣+y10y+16=0．即x将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上式，得．2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16=0ρ，此即为C的极坐标方程；122﹣2y=0，化为直角坐标方程为：x +y=2sin（Ⅱ）曲线C的极坐标方程为ρθ2或．由，解得，2，C∴与C（，交点的极坐标分别为（））．2115．（2013?福建）选修4﹣4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知点A的的极坐标方程为，且点A在直线l上．l极坐标为，直线的直角坐标方程；l的值及直线a（Ⅰ）求．的参数方程为，试判断直线l与圆C（Ⅱ）圆C的位置关系．【分析】（Ⅰ）根据点A在直线l上，将点的极坐标代入直线的极坐标方程即可得出a值，再利用极坐标转化成直角坐标的转换公式求出直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）欲判断直线l和圆C的位置关系，只需求圆心到直线的距离与半径进行比较即可，根据点到线的距离公式求出圆心到直线的距离然后与半径比较．a=，，∴ A在直线l上，得【解答】解：（Ⅰ）点故直线l的方程可化为：ρsin θ+ρcosθ=2，得直线l的直角坐标方程为x+y﹣2=0；22=1 ）+yC的普通方程为（x﹣1（Ⅱ）消去参数α，得圆d=＜1，到直线l的距离圆心C所以直线l和⊙C相交．16．（2013?新课标Ⅱ）选修4﹣﹣4；坐标系与参数方程：上，对应参数分别为β=α与β已知动点P，Q都在曲线C=2α（0＜α＜2π），M为PQ的中点．（Ⅰ）求M的轨迹的参数方程（Ⅱ）将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．【分析】（I）根据题意写出P，Q两点的坐标：P（2cosα，2sinα），Q（2cos2α，2sin2α），再利用中点坐标公式得PQ的中点M的坐标，从而得出M的轨迹的参数方程；=，d=再验证当II）利用两点间的距离公式得到M到坐标原点的距离（α=π时，d=0，故M的轨迹过坐标原点．【解答】解：（I）根据题意有：P（2cosα，2sinα），Q（2cos2α，2sin2α），∵M为PQ的中点，故M（cosα+cos2α，sin2α+sinα），的轨迹的参数方程为：（α为参数，0＜α＜2π）．∴求M（=0＜α＜d=2π）．）（IIM到坐标原点的距离当α=π时，d=0，故M的轨迹过坐标原点．的参数方程为（中，直线l为参数），．17（2013?江苏）在平面直角坐标系xOy （t为参数）的参数方程为．试求直线l和曲线C的普通方程，并求出它们曲线C的公共点的坐标．【分析】运用代入法，可将直线l和曲线C的参数方程化为普通方程，联立直线方程和抛物线方程，解方程可得它们的交点坐标．的参数方程为，为参数）（解：直线【解答】l ，1，代入y=2t﹣可得由x=t+1t=x ．2=0﹣y﹣2x的普通方程：l可得直线2=2x，为参数），化为曲线Cy 的参数方程为（t，，联立，解得，）2 ．，2于是交点为（的参数方程为（φ为参数），辽宁）在平面直角坐标系xOy中，曲线C18．（2011?1（a＞b＞0，曲线Cφ的参数方程为为参数）在以O为极点，x轴的正半轴为2极轴的极坐标系中，射线l：θ=α与C，C各有一个交点．当α=0时，这两个交点间的21=时，这两个交点重合．，当α距离为2（I）分别说明C，C是什么曲线，并求出a与b的值；21﹣时，l与C，C的交点的交点分别为C，CA，B，当α（II）设当α==时，l与211211为A，B，求四边形AABB的面积．122122的参数方程为曲线C（φ为参数）【分析】（I）有曲线C，的参数方程为21（a＞b＞0，φ为参数），消去参数的C是圆，C是椭圆，并利用．当α=0时，这两个交21=时，这两个交点重合，求出a及b．点间的距离为2，当α=α，C的普通方程，当﹣（II）利用CA时，l与C，C的交点分别为，B，当α=211211时，l与C，C的交点为A，B，利用面积公式求出面积．2221【解答】解：（Ⅰ）C是圆，C是椭圆．21当α=0时，射线l与C，C交点的直角坐标分别为（1，0），（a，0），21因为这两点间的距离为2，所以a=3当时，射线l与C，C交点的直角坐标分别为（0，1）（0，b），21因为这两点重合所以b=1．22和．=1C的普通方程为x+y （Ⅱ）C，21，交点A的横坐标为 l当时，射线与C11的横坐标为交点． B与C12当时，射线l与C，C的两个交点A，221B分别与A，B关于x轴对称，因此四边形AABB为梯形．1122211．BBA故四边形A的面积为1221．的参数方程为（t为参数），2016?离石区二模）在直角坐标系xOy中，直线C19．（1以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系下，圆C的方程为ρ=2+2sinθ．﹣2cosθ（Ⅰ）求直线C的普通方程和圆C的圆心的极坐标；21（Ⅱ）设直线C和圆C的交点为A，B，求弦AB的长．21【分析】（Ⅰ）把参数方程化为直角坐标方程，求出圆心的直角坐标，再把它化为极坐标．，）到直线x﹣y+1=0 的距离d，再利用弦长公式求得弦长．（Ⅱ）由（Ⅰ）求得（﹣1（Ⅰ）由C的参数方程消去参数t得普通方程为 x﹣y+1=0，12+=4x+1），【解答】解：的直角坐标方程（圆C2，），所以圆心的直角坐标为（﹣1所以圆心的一个极坐标为（2），． d=的距离=1（Ⅱ）由（Ⅰ）知（﹣，， x﹣y+1=0 ）到直线 AB=2．=所以20．（2016?焦作一模）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标的参数方程为，aθ（，曲线+）C=系，曲线C的极坐标方程为ρsin21（θ为参数，0≤θ≤π）．。