山西省运城市2019-2020学年高二上学期期末调研测试试题 数学(文)【含答案】
山西省运城市2019-2020学年高二上学期期末调研测试试题
数学（文）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“∀x∈R，3x2－2x＋2>0”的否定是
A.∃x0∈R，3x02－2x0＋2>0
B.∀x0∈R，3x02－2x0＋2>0
C.∀x0∈R，3x02－2x0＋2≤0
D.∃x0∈R，3x02－2x0＋2≤0
2.已知两条直线l1：(a－1)x＋2y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0平行，则a＝
A.－1
B.2
C.0或－2
D.－1或2
3.l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l//α”的
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
4.圆(x－1)2＋y2＝1与x2＋(y3)2＝1圆的位置关系为
A.内切
B.相交
C.外切
D.相离
5.设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为
A.(x－1)2＋y2＝4
B.(x－1) 2＋y2＝16
C.(x－2) 2＋y2＝16
D.(x＋2) 2＋y2＝4
6.在正方体ABCD－A1B1C1D中，AB的中点为M，DD1的中点为N，则异面直线B1M与CN所成角为
A.30°
B.60°
C.90°
D.120°
7.已知双曲线C：
22
22
1(0,0)
x y
a b
a b
-=>>的一条渐近线与直线3x－2y－5＝0垂直，则此双曲线的离心
率为
A.15
3
B.
15
2
C.
13
3
D.
13
2
8.设函数f(x)＝xsinx＋cosx的图象在点(t，f(t))处切线的斜率为k，则函数k＝g(t)的部分图象为
9.某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，其俯视图为等边三角形，则该几何体的体积(单位：cm3)是
A.43
B.8
3
3
C.23
D.
10
3
3
10.已知函数f(x)＝e x－ax，若对于任意的x∈R，都有f(x)≥0恒成立，则实数a的取值范围是
A.(－∞，e)
B.[0，e]
C.(0，e)
D.(0，e]
11.若函数f(x)＝lnx＋1
2
x2－bx存在单调递减区间，则实数b的取值范围为
A.[2，＋∞)
B.(2，＋∞)
C.(－∞，2)
D.(－∞，2]
12.如图，OPAB所在的平面α和四边形ABCD所在的平面β垂直，且AD⊥α，BC⊥α，AD＝4，BC＝6，AB＝7，∠APD＝∠CPB，则点P在平面α内的轨迹是
A.圆的一部分
B.一条直线
C.一条线段
D.两条直线
二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数f(x)＝x2－lnx的极值点是。
14.已知点P(2，1)为圆C：x2＋y2－8x＝0的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为。
15.P是双曲线C：
2
21
4
x
y
-=右支上一点，直线l是双曲线C的一条渐近线，P在l上的射影为Q，F1是
双曲线C的左焦点，则|PF1|＋|PQ|的最小值为。
16.已知菱形ABCD边长为6，A＝60°，将△ABD沿对角线BD翻折形成四面体ABCD，当AB与平面BCD所成的线面角为60°时，四面体ABCD的外接球的表面积为。
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分10分)
已知抛物线C：y2＝4x与直线y＝2x－4交于A，B两点，求弦AB的长度。
18.(本小题满分12分)
已知曲线C：x2＋y2－2x－4y＋m＝0表示圆，圆心为C。
(1)求实数m的取值范围；
(2)若曲线C与直线x＋2y－4＝0交于M、N两点，且CM⊥CN，求实数m的值。
19.(本小题满分12分)
如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，E为CD的中点。
(1)求证：平面PAB⊥平面PAE；
(2)棱PB上是否存在点F，使得CF//平面PAE?说明理由。
20.(本小题满分12分)
2
已知椭圆C：
22
22
1(0)
x y
a b
a b
+=>>的一个顶点A(2，0)，过左焦点且垂直于x轴的直线截椭圆C得到的
弦长为2，直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N。
(1)求椭圆C的方程；
(2)当△AMN的面积为10
3
时，求实数k的值。
21.(本小题满分12分)
如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，平面AA1C1C⊥平面AA1B1B，AB＝2AA1＝2，M是AB的中点，△A1MC1是等腰三角形，D为CC1的中点，E为棱BC上一点，且满足DE//平面A1MC1。
(1)求CE EB。
(2)求三棱锥E－AB1D的体积。
22.(本小题满分12分)
设函数f(x)＝1
3
x3－ax(a>0)，g(x)＝
2
b
x2＋6－1。
(1)若曲线y＝f(x)与y＝g(x)在它们的交点(1，c)处有相同的切线，求实数a，b的值；
(2)当a＋b＝1时，若函数h(x)＝f(x)＋g(x)在区间(－2，0)内恰有两个零点，求实数a的取值范围。
山西省2018-2019学年高二上学期期末测评考试数学(理)试题答案①(pdf版)
一、选择题1.D 【解析】因为全称命题的否定是特称命题.第一步是将全称量词改写为存在量词，第二步是将结论加以否定.2.B 【解析】∵直线l 1：x-y+3姨-1=0的倾斜角为45°，再沿逆时针方向旋转15°，则直线l 2的倾斜角为60°，即直线l 2的斜率为3姨，根据点斜式可得直线l 2的方程为y -3姨=3姨（x -1），即3姨x -y =0.3.B 【解析】平行于同一平面的两条直线的位置关系可能是平行、相交或异面.4.B 【解析】∵在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AC 1B B =A B B B +B B B C +DD 1B B ，∴x =1，y =-12，z =13，即x +y +z =56.5.D 【解析】由圆O ：x 2+y 2=1可得圆心O （0，0），半径r =1，∵△OAB 为正三角形，∴圆心O 到直线x -y +m =0的距离为3姨2r =3姨2，即d =m 2姨=3姨2，解得m =6姨2或-6姨2.6.C 【解析】曲线x 216+y 29=1表示椭圆，焦距为2c =2a 2-b 2姨=216-9姨=27姨，当9＜k ＜16时，曲线x 216-k +y 29-k=1表示双曲线，焦距为2c =2a 2+b 2姨=216-k +k -9姨=27姨，两条曲线的焦距相等.7.B 【解析】∵抛物线y =12x 2的准线方程为y =-12，∴m =14，则离心率e =1+14姨12=5姨.8.B 【解析】∵M BB P =23M B B N ，∴O B B P -O B B M =23（O B B N -O B B M ）.即O B B P =13O B B M +23O B B N =13×12a +23×12（b +c ）=16a +13b +13c .9．A 【解析】由ab ＞c 2可得，cos C =a 2+b 2-c 22ab ≥2ab -c 22ab ＞ab 2ab =12圯C ＜60°，当C ＜60°时，可得cos C =a 2+b 2-c 22ab ＞12，即c 2-ab ＜（a -b ）2，推不出c 2＜ab ，故“ab ＞c 2”是“C ＜60°”的充分不必要条件.10.C 【解析】法一：将直三棱柱补成正方体如图1所示，则异面直线BA 1与AC 1所成角的大小与∠A 1BD 1相等.∵△A 1BD 1为正三角形，故异面直线BA 1与AC 1所成的角为60°.图1图2法二：如图2，以点A 为坐标原点建立空间直角坐标系A-xyz ，设AB =1，则A （0，0，0），B （1，0，0），A 1（0，0，1），C 1（0，1，1）.秘密★启用前2018－2019学年度第一学期高二期末测评考试理科数学（Ⅰ）参考答案及评分参考cos 〈BA 1A A ，AC 1A A 〉=BA 1A A ·AC 1A A BA 1A A ·AC 1A A =（-1，0，1）·（0，1，1）2姨×2姨=12.∴异面直线BA 1与AC 1所成的角为60°.11.A 【解析】∵抛物线x 2=8y 的焦点为（0，2），∴椭圆的焦点在y 轴上，且c =2，又∵离心率为12，∴n =4，m =42-22姨=23姨∴m -n =23姨-4.12.B 【解析】法一：如图建系D-xyz ，A （2，0，0），A 1（2，0，2），D （0，0，0），E （0，2，1）.设M （x ，2，z ），设平面A 1DE 的法向量为n =（x ′，y ′，z ′），∵DA 1A A ·n =0，D A A E ·n =0姨姨姨姨姨姨姨姨姨，∴n =（2，1，-2），又∵A A A M =（x -2，2，z ）,∵AM ∥平面A 1DE ，∴A A A M ·n =2（x -2）+2-2z =0，即x -z -1=0，∴动点M 的轨迹是以BC ，BB 1的中点为端点的线段，且这条线段的长为2姨.法二：取BB 1的中点P ，BC 中点为Q ，则平面APQ ∥平面A 1DE ，∴M 的轨迹为线段PQ ，且PQ =2姨.二、填空题13.“若x ≠1且x ≠2，则x 2-3x +2≠0”.【解析】若原命题为“若p ，则q ”，那么它的逆否命题为“若劭q ，则劭p ”.14.x 2+y 2=16【解析】设M （x ，y ），由MA =2MB 化简可得x 2+y 2=16.15.（-1，0，2）【解析】∵A A A P =（x ，-1，z )，B A A A =（1，1，1），A A A C =（2，0，1），∵PA ⊥AB ，PA ⊥AC ，∴A A A P ·B A A A =0，A A A P ·A A A C =0⊥，即x -1+z =0，2x +z =0⊥，解得x =-1，z =2⊥，则点P 的坐标为（-1，0，2）.16.12【解析】设Q （x 0，y 0），∴重心G 的坐标为（x 03，y 03）.又∵I 为△QF 1F 2的内心，设r 为△QF 1F 2的内切圆半径，则S △QF 1F 2=12·（QF 1+QF 2+F 1F 2）·r =12·F 1F 2·y 0，即r =c y 0，∵G A A I =姿F 1F 2A A ，∴y 0=c y 0，解得e =12.三、解答题17.解：由p 可得k>a !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!，2分由q 知x 2k +1+y 23-k=1表示双曲线，则（k+1）（3-k ）<0，即k<-1或k >3!!!!!!!!!!!!!!，5分∴劭q ：k ∈［-1，3］.又∵劭q 是p 的充分不必要条件，∴a<-1!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!.10分18.解：（1）∵圆C ：x 2+y 2-2x +my =0经过（3，-1），∴将（3，-1）代入圆C 的方程，解得m =4!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!.2分∴圆C 的方程为x 2+y 2-2x +4y =0，即（x -1）2+（y +2）2=5.∵直线l :x -2y +t =0与圆C 相切，∴圆心C 到直线l 的距离为d =1+4+t 5姨=5姨，即t +5=5，解得t =0或t =-10!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!.6分（2）∵圆M ：（x +2）2+（y -4）2=r 2与圆C 有3条公切线，∴圆M 与圆C 相外切，即CM =5姨+r ，∴解得r =25姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨.12分19.解：（1）∵直线x -y -2=0经过抛物线C 的焦点，∴抛物线C 的焦点坐标为（2，0），∴抛物线C 的准线方程为x =-2.姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨4分（2）设过抛物线C 的焦点且斜率为-1的直线方程为y=-x+p 2，且直线与C 交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由y=-x+p 2，y 2=2p 姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨x 化简得x 2-3px+p 24=0，∴x 1+x 2=3p .又∵AB =x 1+x 2+p =4p =2，解得p =12，∴抛物线C 的方程为y 2=x 姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨.12分20.（1）证明：如图1，连接A 1C ，A 1C ∩AC 1=R ，连接RQ ，∵R 为A 1C 的中点，Q 为BC 的中点，∴RQ ∥A 1B.又A 1B 埭平面AC 1Q ，RQ 奂平面AC 1Q.∴A 1B ∥平面AC 1Q 姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨.6分（2）解：以Q 为坐标原点，建立如图2所示的空间直角坐标系Q-xyz ，则Q （0，0，0），A （3姨，0，0），C （0，-1，0），C 1（0，-1，2）.设平面AQC 1的法向量为n =（x ，y ，z ），∵Q 奂奂A =（3姨，0，0），QC 1奂奂=（0，-1，2），由Q 奂奂A ·n =0，QC 1奂奂·n =奂姨姨姨奂姨姨姨姨0得3姨x =0，-y +2z =0奂，令z =1得n =（0，2，1）.又∵CC 1奂奂=（0，0，2），设直线CC 1与平面AQC 1所成的角为φ，∴sin φ=cos 〈CC 1奂奂，n 〉=225姨=5姨5.故直线CC 1与平面AQC 1所成角的正弦值为5姨5姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨.12分21.（1）证明：连接OB ，∵PA =PC ，O 为AC 的中点，∴PO ⊥AC ，∴PO =4×3姨2=23姨.又∵AB =BC =22姨，AC =4，∴AB 2+BC 2=AC 2，即AB ⊥BC .在Rt △ABC 中，OA =OB =OC=2，∵PO 2+OB 2=PB 2，∴PO ⊥OB∵AC ∩OB =O ，∴PO ⊥平面ABC .姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨6分（2）解：∵OB ⊥AC ，PO ⊥平面ABC，（第20题答图2）（第20题答图1）（第21题答图）∴以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz ，则A （0，-2，0），C （0，2，0），B （2，0，0），P（0，0，23姨）.设M （x m ，y m ，0），又∵B 姨姨M =13B 姨姨C ，∴M 43，23，，，0.设平面PAM 的法向量为m =（x ，y ，z ），由A 姨姨P ·m =0，A 姨姨M ·m =，0得y +3姨z =0,x +2y =0，.取z =1，∴m =（23姨，-3姨，1）.又∵平面PAC 的法向量为n =（1，0，0），∴cos 〈m ，n 〉=m ·n m ·n =23姨（23姨）2+（3姨）2+1姨=23姨4=3姨2!!!!!!!!!!!!!!.10分故所求二面角M -PA -C 的大小为30°!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!.12分22.解：（1）由题意得c a =2姨2，a 2=b 2+c 2，6a 2+1b 2=1姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨.解得a 2=8，b 2=4,∴椭圆C 的标准方程为x 28+y 24=1!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!.4分（2）设M （x 0,y 0），且x 02+y 02=12，由题意知，过点M 引椭圆C 的切线方程可设为y -y 0=k （x -x 0），由y -y 0=k （x -x 0），x 28+y 24=姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨1化简得（1+2k 2）x 2+4k （y 0-kx 0）x +2（y 0-kx 0）2-8=0.∵直线与椭圆相切，∴Δ=4k （y 0-kx 0姨姨）2-4（1+2k 2）2（y 0-kx 0）2-姨姨8=0.化简得（x 02-8）k 2-2x 0y 0k +y 02-4=0，!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!10分∴k 1·k 2=y 02-4x 02-8=y 02-412-y 02-8=y 02-44-y 02=-1.∴两条切线斜率的积为定值!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!.12分。
山西省运城市2022高二数学上学期期末调研测试试题 理
山西省运城市2022高二数学上学期期末调研测试试题理2022.1本试题满分150分，考试时间120分钟。
答案一律写在答题卡上。
注意事项：1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2.答题时使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4.保持卡面清洁，不折叠，不破损。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.曲线221169x y-=的焦距是A.6B.10C.8D.272.设直线l1的方向向量a＝(1，2，－2)，直线l2的方向向量b＝(－2，3，m)，若l1⊥l2，则实数m的值为A.1B.2C.12D.33.命题“在△ABC中，若sinA＝12，则A≠30°”的否命题是A.在△ABC中，若sinA＝12，则A≠30° B.在△ABC中，若sinA≠12，则A＝30°C.在△ABC中，若sinA≠12，则A≠30° D.在△ABC中，若A≠30°，则sinA≠124.已知命题p：“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－4＝0与l2：x＋(a＋1)y＋2＝0平行”的充要条件；命题q：对任意x∈R，总有2x>0。
则下列命题为真命题的是A.(⌝p)∨(⌝q)B.p∧(⌝q)C.p∧qD.(⌝p)∧q5.已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是A.若α//β，m⊂α，n⊂β，则m//nB.若α//β，m⊥β，则m⊥αC.若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nD.若α⊥β，m⊥β，则m//α6.如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，∠DAD＝45°，∠CDC1＝30°，那么异面直线AD1与DC1所成角的余弦值是A.24B.28C.34D.387.圆C1：x2＋y2－4x＋3＝0与圆C2：(x＋1) 2＋(y－a) 2＝16恰有两条公切线，则实数a的取值范围是A.[－4，4]B.(－4，4)C.(－4，0)∪(0，4)D.[－4，0)∪(0，4]8.过焦点为F的抛物线y2＝12x上一点M向其准线作垂线，垂足为N，若|NF|＝10，则|MF|＝A.163B.253C.283D.3239.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面A1B1C1，∠ACB＝90°，BC＝CC1＝1，AC＝32，P为BC1上的动点，则CP＋PA1的最小值为A.25B.1＋32C.1＋25D.510.我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童。
山西省运城市2019-2020学年高二下学期期中考试数学(文)试题Word版含解析
山西省运城市2019-2020学年高二下学期期中考试数学（文）试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数的共轭复数是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：,,故选D.考点：复数的运算与复数相关的概念.2. 用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于”时，应假设（）A. 三个内角都不大于B. 三个内角都大于C. 三个内角至多有一个大于D. 三个内角至多有两个大于【答案】B【解析】试题分析：命题的反面是：三个内角都大于，故选B.考点：反证法.3. 下面用“三段论”形式写出的演绎推理：因为指数函数在上是增函数，是指数函数，所以在上是增函数，该结论显然是错误的，其原因是（）A. 大前提错误B. 小前提错误C. 推理形式错误D. 以上都可能【答案】A【解析】分析：分析该演绎推理的大前提、小前提和结论，可以得出正确的答案.详解：根据题意，该演绎推理的大前提是：指数函数在上是增函数，小前提是是指数函数，结论是在上是增函数.其中大前提是错误的，因为时，函数在上是减函数，致使得出的结论错误，故选A.点睛：该题考查的是有关演绎推理的定义问题，在解决问题的过程中，需要先分清大前提、小前提和结论分别是什么，之后结合定义以及对应的结论的正确性得出结果.4. 学校教职成员、教师、后勤人员、理科教师、文科教师的结构图正确的是（）A.B.C.D.【答案】B..................详解：教师和后勤人员都属于学校教职成员，理科教师和文科教师是并列关系，属于教师，故B中结构图正确，A、C、D不正确，故选B.点睛：本题是一道关于结构图设计的题目，解答本题的关键是熟悉结构图的设计规则.5. 已知的取值如下表所示：若从散点图分析，与线性相关，且，则的值等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：首先求出这组数据的横坐标和纵坐标的平均数，写出这组数据的样本中心点，把样本中心点代入回归直线方程求出的值.详解：根据回归直线过均值点，将其代入求得，故选A.点睛：该题考查的是有关回归直线过样本中心点，即均值点的结论，所以求其横纵坐标的平均值，得到样本中心点，代入方程求参数即可.6. 分析法证明不等式的推理过程是寻求使不等式成立的（）A. 必要条件B. 充分条件C. 必要条件D. 必要条件或成分条件【答案】B【解析】试题分析：分析法是果索因，基本步骤：要证…只需证…，只需证…,分析法是从求证的不等式出发，找到使不等式成立的充分条件，把证明不等式的问题转化为判定这些充分条件是否具有的问题．因此“分析法”证题的理论依据：寻找结论成立的充分条件或者是充要条件.考点：1.必要条件、充分条件与充要条件的判断；2.分析法和综合法．7. 如图，5个数据，去掉后，下列说法错误的是（）A. 相关系数变大B. 残差平方和变大C. 相关指数变大D. 解释变量与预报变量的相关性变强【答案】B【解析】分析：由散点图可知，去掉后，的线性相关性加强，由相关系数r，相关指数以及残差平方和与相关性的关系得出选项.详解：因为点距离回归直线越近，说明相关系数会越大，对应的残差平方和会越小，相关性就会越强，从散点图可以发现，将去掉之后，明显的所有的点里对应的回归直线就会越近，从而得到B是错误的，故选B.点睛：该题考查的是有关相关系数、相关指数以及残差平方和与相关性强弱的关系，明确对应的结论，该题很容易求得结果.8. 下列说法正确的是（）A. 在统计学中，回归分析是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法B. 线性回归方程对应的直线至少经过其样本数据点中的，，一个点C. 在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高D. 在回归分析中，相关指数为的模型比相关指数为的模型拟合的效果差【答案】C【解析】分析：首先对每个选项一一进行分析，需要明确独立性检验是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法，回归直线可能不过任何一个样本数据点，残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模拟精度越高，相关指数越大，拟合效果越好的结论，就可以正确选出结果.详解：对于A，统计学中，独立性检验是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法，所以A错；对于B，线性回归方程对应的直线可能不过任何一个样本数据点，所以B错误；对于C，残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高，所以C正确；对于D，回归分析中，相关指数为的模型比相关指数为的模型拟合的效果好，所以D错误.故选C.点睛：根据概率统计中变量间的相关关系，线性回归方程以及残差图与相关指数的概念，对选项中的命题进行分析、判断正误即可.9. 某程序框图如下图所示，若输出的，则判断框内为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由程序框图知第一次运行，第二次运行，第三次运行，第四次运行，输出，所以判断框内为，故选C.考点：程序框图.视频10. 下列表述正确的是（）①归纳推理是由特殊到一般的推理；②演绎推理是由一般到特殊的推理；③类比推理是由特殊到一般的推理；④分析法是一种间接证明法；A. ②④B. ①③C. ①④D. ①②【答案】D【解析】分析：根据题意，结合合情推理、演绎推理的定义，依次分析4个命题，综合即可得答案.详解：根据题意，依次分析4个命题：对于①，归纳推理是由特殊到一般的推理，符合归纳推理的定义，所以正确；对于②，演绎推理是由一般到特殊的推理，符合演绎推理的定义，所以正确；对于③，类比推理是由特殊到特殊的推理，所以错误；对于④，分析法、综合法是常见的直接证明法，所以错误；则正确的是①②，故选D.点睛：该题考查的是有关推理的问题，对归纳推理、演绎推理和类比推理的定义要明确，以及清楚哪些方法是直接证明方法，哪些方法是间接证明方法，就可以得结果.11. 已知下表：则的位置是（）A. 第13行第2个数B. 第14行第3个数C. 第13行第3个数D. 第17行第2个数【答案】C【解析】分析：根据数阵，第n行的最后个数为第项，从而求得结果.详解：根据题中所给的条件，可以发现第n行最后一项为，故当时，最后一个数为，所以是第13行第3个数，故选C.点睛：该题考查的是有关数列的问题，需要从数阵中关察，得出其特征，将数列的项顺次往下写，所以关键是清楚第n行的最后一个数是第多少项，也可以从第n行的第一个数去分析，这样都可以求得结果.12. 满足条件的复数在复平面上对应点的轨迹是（）A. 一条直线B. 两条直线C. 圆D. 椭圆【答案】C【解析】因为，所以，因此复数在复平面上对应点的轨迹是圆，选C.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 小明每天起床后要做如下事情：洗漱5分钟，收拾床褥4分钟，听广播15分钟，吃早饭8分钟.要完成这些事情，小明要花费的最少时间为__________．【答案】17【解析】分析：根据统筹安排可得小明在完成洗漱、收拾床褥、吃饭的同时听广播最节省时间，进而得到答案.详解：由题意可知，在完成洗漱、收拾床褥、吃饭的同时听广播，故小明花费最少时间为分钟，故答案为17分钟.点睛：该题考查的是有关统筹安排的问题，在解题的过程中，需要明确哪些项目是必须独立完成的，哪些是可以边做还可以边做其他任务的，从而求得结果.14. 若复数满足，则的最大值为__________．【答案】2【解析】分析：首先根据题中的条件，结合复数的几何意义，可以明确复数对应点的轨迹是以为圆心，以1为半径的圆，取最大值时，就是圆上的点到原点的距离的最大值，结合原的性质，其为圆心到原点的距离加半径求得结果.详解：依题意，设复数，因为，所以有，由复数的几何意义，可知对应的点的轨迹为以为圆心，以1为半径的圆，因为表示圆周上的点到原点的距离，所以的最大值为，所以答案为2.点睛：该题考查的是有关复数z的模的问题，利用复数的几何意义，结合题中的条件，最后将其转化为圆上的点到某个点的距离的最值问题，等于圆心到对应点的距离加半径，从而求得结果.15. 学校艺术节对同一类的四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：甲说：“是C或D作品获得一等奖”；乙说：“B作品获得一等奖”；丙说：“A、D两项作品未获得一等奖”；丁说：“是C作品获得一等奖”．若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是____________．【答案】B【解析】若是一等奖，则甲丙丁都对，不合题意；若是一等奖，则甲乙丁都错，不合题意；若是一等奖，则乙丙正确，甲丁错，符合题意；若是一等奖，则甲乙丙错，不合题意，故一等奖是．16. 下面给出了关于复数的四种类比推理：①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则；②由向量的性质，类比得到复数的性质；③方程有两个不同实数根的条件是可以类比得到：方程有两个不同复数根的条件是；④由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义，其中类比错误的是__________．【答案】②③【解析】分析：①由两者运算规则判断；②由定义判断；③可由两者运算特征进行判断；④由两者加法的几何意义判断.详解：①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算，两者用的都是合并同类项的规则，可以类比；②由向量的性质，类比得到复数的性质，两者属性不同，一个是数，一个是既有大小又有方向的量，不具有类比性，故错误；④由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义，由两者的几何意义知，此类比正确；综上，②③是错误的，故答案为②③.点睛：该题考查的是有关类比推理的问题，在解题的过程中，需要对相关的结论要熟悉，再者就是对类比推理要清楚对应的结果是什么，从而判断其正确与否.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 证明：.【答案】见解析【解析】分析：首先观察式子，实质问题是比较大小，题中不等号两侧各有两个根号，所以利用不等式的性质，对其两边进行平方运算然后化简，结合分析法的步骤完成任务.详解：要证：，只要证：，只要证：只要证：，即证：，即证：也就是要证：，该式显然成立，所以得证.点睛：该题考查的是证明不等式的方法，在解题的过程中，可以应用分析法，结合不等式的性质证得结果，也可以移项，将不等式变为，之后对式子进行分子有理化，再应用不等式的性质证明即可.18. 设复数，试求取何值时，（1）是实数；（2）是纯虚数；（3）对应的点位于复平面的第一象限.【答案】（1）或；（2）；（3）或【解析】分析：首先分析该复数的实部和虚部是什么，之后结合复数是实数、纯虚数以及复数在复平面内对应的点所在的象限，对其实部和虚部进行对应的约束，求得其范围，得出结果即可.详解：（1）当复数的虚部且时，即或时，复数表示实数；（2）当实部等于零且虚部不为零时，复数表示纯虚数，由，得：时，复数表示纯虚数；（3）由，复数对应的点位于复平面的第一象限，解得：或，故当或时，复数对应的点位于复平面的第一象限.点睛：该题考查的是有关复数的概念性的问题，要明确复数是实数的条件为虚部为零，复数为纯虚数的条件为实部为零，且虚部不为零，复数对应的点落在第一象限即为实部和虚部都大于零，最后求得相应的结果即可.19. 已知数列的前项和为，，满足，计算，并猜想的表达式. 【答案】见解析【解析】分析：首先根据题中所给的条件，对赋上相应的值，一一计算，得出结果，首先令，结合求得，之后利用，再结合题中所给的条件，分别对赋值，最后求得的值，然后根据式子的特征，猜想出结果.详解：，即，即，，同理解得：，，可猜想：.点睛：该题考查的是有关数列的项与和之间的关系，利用题中所给的递推关系式，结合有关结论，对n赋值，求得结果，下一步就需要对所求的式子进行分析，判断其对应的关系，之后猜想出相应的结果即可.20. 某企业通过调查问卷（满分50分）的形式对本企业900名员工的工作满意程度进行调查，并随机抽取了其中30名员工（16名女工，14名男工）的得分，如下表：女47 36 32 48 34 44 43 47 46 41 43 42 50 43 35 49 男37 35 34 43 46 36 38 40 39 32 48 33 40 34（1）根据以上数据，估计该企业得分大于45分的员工人数；（2）现用计算器求得这30名员工的平均得分为40.5分，若规定大于平局得分为“满意”，否则为“不满意”，请完成下列表格：“满意”的人数“不满意”的人数合计女员工16男员工14合计30（3）根据上述表中数据，利用独立性检验的方法判断，能否在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为该企业员工“性别”与“工作是否满意”有关？参考数据：P(K2K) 0.10 0.050 0.025 0.010 0.001K 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828【答案】（1）240；（2）见解析；（3）见解析【解析】分析：第一问首先从表中查找得分大于45分的人数，求得比值即为概率，应用对应的关系式求得相应的人数；第二问按照条件，将男女员工对应的分数分析比较，进行分类，从而将相应的数据填入表中，得到列联表；第三问利用公式求得观测值，判断出结果即可.详解：（1）从表中可知，30名员工有8名得分大于45分，所以任选一名员工，他（她）的得分大于45分的概率是，所以估计此次调查中，该单位约有名员工的得分大于45分；（2）依题意，完成列联表如下：“满意”的人数“不满意”的人数合计女员工12 4 16男员工 3 11 14合计15 15 30（3）假设：性别与工作是否满意无关，根据表中数据，求得的观测值：查表得能在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为性别与工作是否满意有关.点睛：该题考查的是有关统计的问题，一是利用样本数据中满足条件的人数所占的比例估计对应的概率，再用总人数乘以概率得到总体当中满足条件的人数，二是利用分数要求将对应的分类，得到列联表，三是应用公式求得观测值，再与表中的临界值比较得出结果.21. 禽流感一直在威胁我们的生活，某疾病控制中心为了研究禽流感病毒繁殖个数（个）随时间（天）变化的规律，收集数据如下：天数 1 2 3 4 5 6繁殖个数 6 12 25 49 95 190作出散点图可看出样本点分布在一条指数型函数的周围.保留小数点后两位数的参考数据：，，，，，，，，其中（1）求出关于的回归方程（保留小数点后两位数字）；（2）已知，估算第四天的残差.参考公式：【答案】（1）；（2）0.58【解析】分析：第一问首先利用相应的公式，对其式子进行变形，利用线性回归分析取解决非线性回归分析的问题，注意公式的正确使用，二是要明确残差的定义，残差是确切值域估计值的差，所以将变量代入回归方程，求得对应的值，作差即可得结果.详解：（1）因为，令，则，，，，所以关于的回归方程为；（2）当时，，，，所以第四天的残差估计为0.58.点睛：该题考查的是有关回归分析的问题，要明确利用线性回归分析作为桥梁解决非线性回归方程的问题的方法，再者要明确残差的定义，认真运算即可得结果.22. 以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位建立坐标系.已知直线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数）.（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；（2）直线上有一点，设直线与曲线相交于两点，求的值.【答案】（1），；（2）【解析】分析：第一问首先利用平方关系将参数消掉，将其化为普通方程，将与直线l的极坐标方程对比，代入，即可得其直角坐标方程；第二问将直线的参数方程与椭圆方程联立，利用韦达定理求得两根积，结合直线参数方程中其几何意义求得结果.详解：（1）曲线的参数方程为（为参数），利用可得普通方程：，由直线的极坐标方程为，可得直角坐标方程为：（2）由于在直线上，可得直线的参数方程：（为参数）代入椭圆方程可得：，，所以点睛：该题考查的是有关坐标系与参数方程的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与平面直角坐标方程的互化，应用直线的参数方程中参数的几何意义求其有关线段所满足的条件，要认真分析，细心求解.23. 已知函数（1）求不等式的解集；（2）若不等式的解集非空，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】分析：第一问利用零点分段法将绝对值符号去掉，将绝对值不等式转化为三个不等式组，最后对其解集取并集求得结果；第二问将对应的不等式解集非空，转化为其函数的最小值满足条件，从而将问题转化为求函数的最值问题，利用绝对值不等式的性质求得其最小值，之后解关于a的不等式即可.详解：（1）由可化为：或或不等式解集为：（2）因为，所以，即的最小值为；要使不等式解集非空，需从而，解得或所以的取值范围为点睛：该题考查的是有关绝对值不等式的问题，在解题的的过程中，一是利用绝对值表达式，通过x的范围，去掉绝对值符号，然后求解不等式的解集；二是利用绝对值三角不等式，转化求解最小值，然后求解即可.。
山西省运城市2024届高三上学期期末调研测试数学试题含答案解析
运城市2023-2024学年第一学期期末调研测试高三数学试题考试时间120分钟．答案一律写在答题卡上.注意事项：1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上.2.答题时使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.4.保持卡面清洁，不折叠，不破损.一、单项选择题：本题共8小题，在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数i12i z =-，则z 等于（）A .1B.C.2D.552.设x ∈R ，则“03x ≤≤”是“02xx ≤-”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知e ()1exaxf x =-是奇函数，则=a （）A.2- B.1- C.2D.14.第33届夏季奥运会预计2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举办，这届奥运会将新增2个竞赛项目和3个表演项目．现有三个场地A ，B ，C 分别承担这5个新增项目的比赛，且每个场地至少承办其中一个项目，则不同的安排方法有（）A.150种B.300种C.720种D.1008种5.设0.814a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.3log 0.2b =，0.3log 0.4c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A.a b c >>B.b a c >>C.c a b >>D.b c a>>6.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，A 为C 的右顶点，以12F F 为直径的圆与C 的一条渐近线交于P ，Q 两点，且3π4PAQ ∠=，则双曲线C 的离心率为（）A.B.213C.D.37.已知等差数列{}n a 中，97π12a =，设函数44()cos sin cos 1f x x x x x =---，记()n n y f a =，则数列{}n y 的前17项和为（）A.51- B.48- C.17- D.08.已知四棱锥P ABCD -的底面是边长为4的正方形，3PA PB ==，45PAC ∠= ，则直线PD 与平面ABCD 夹角的正弦值为（）A.31717B.21717 C.53D.23二、多项选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.关于下列命题中，说法正确的是（）A.若事件A 、B 相互独立，则()()P A B P A =B.数据63，67，69，70，74，78，85，89，90，95的第45百分位数为78C.已知()0.65P A =，()0.32P AB =，则()0.33P AB =D.已知~(0,1)N ξ，若(1)P p ξ≤=，则()1102P p ξ-≤≤=-10.已知函数()ππtan 124f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则（）A.()f x 的一个周期为2B.()f x 的定义域是1,Z 2x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭C.()f x 的图象关于点1,12⎛⎫⎪⎝⎭对称D.()f x 在区间[]1,2上单调递增11.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，P 是直线1A D 上的一个动点，则下列结论中正确的是（）A.1C P 的最小值为B.PB PC +的最小值为C.三棱锥1B ACP -的体积为83D.以点B 为球心，263为半径的球面与面1AB C 在正方体内的交线长为33π12.已知抛物线()220x py p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线交于A 、B 两点，与其准线交于点D ，F 为AD 的中点，且6AF =，点M 是抛物线上 BA间不同于其顶点的任意一点，抛物线的准线与y 轴交于点N ，抛物线在A 、B 两点处的切线交于点T ，则下列说法正确的是（）A.抛物线焦点F 的坐标为()0,3B.过点N 作抛物线的切线，则切点坐标为33,24⎛⎫± ⎪⎝⎭C.在FMN 中，若MN t MF =，t ∈R ，则tD.2TFAF BF=⋅三、填空题：本题共4小题.13.已知向量(2,1)a =- ，(1,)b λ=，若()a a b ⊥- ，则λ=____________.14.512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为______.15.过原点的动直线l 与圆22410x y x +-+=交于不同的两点A ，B .记线段AB 的中点为P ，则当直线l 绕原点转动时，动点P 的轨迹长度为____________.16.设12,x x 是函数21()e 1,()2xf x ax a =-+∈R 的两个极值点，若213x x ≥，则a 的范围为____________.四、解答题：本题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且2cos 2b C a c =-.（1）求角B 的大小；（2）若b =，D 为AC 边上的一点，3BD =，且______________，求ABC 的面积．①BD 是B ∠的平分线；②D 为线段AC 的中点.（从①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答）.18.已知递增的等比数列{}n a 满足22a =，且1a ，2a ，31a -成等差数列.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设()()112n n n a n b a n ⎧-⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，求数列{}n b 的前20项和.19.如图，在圆柱体1OO 中，1OA =，12O O =，劣弧11A B 的长为π6，AB 为圆O的直径．（1）在弧AB 上是否存在点C （C ，1B 在平面11OAAO 同侧），使1BC AB ⊥，若存在，确定其位置，若不存在，说明理由；（2）求二面角111A O B B --的余弦值．20.某学校进行趣味投篮比赛，设置了A ，B 两种投篮方案.方案A ：罚球线投篮，投中可以得2分，投不中得0分；方案B ：三分线外投篮，投中可以得3分，投不中得0分.甲、乙两位员工参加比赛，选择方案A 投中的概率都为()0001p p <<，选择方案B 投中的概率都为13，每人有且只有一次投篮机会，投中与否互不影响.（1）若甲选择方案A 投篮，乙选择方案B 投篮，记他们的得分之和为X ，()334P X ≤=，求X 的分布列；（2）若甲、乙两位员工都选择方案A 或都选择方案B 投篮，问：他们都选择哪种方案投篮，得分之和的均值较大？21.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为12,A A ，上顶点为B ，且1tan 2A BO ∠=．（1）求椭圆C 的方程；（2）若过2A 且斜率为k 的直线l 与椭圆C 在第一象限相交于点Q ，与直线1A B 相交于点P ，与y 轴相交于点M ，且223PA MQ QA MP =．求k 的值．22.已知函数2()ln x f x e a x =-，函数ln ()m xg x n x+=+的图象在点(1,(1))g 处的切线方程为30y -=.（1）讨论()f x 的导函数()f x '的零点的个数；（2）若0a ≤，且()f x 在[),e +∞上的最小值为2e e ，证明：当0x >时，()()f x g x ≥.运城市2023-2024学年第一学期期末调研测试高三数学试题考试时间120分钟．答案一律写在答题卡上.注意事项：1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上.2.答题时使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.4.保持卡面清洁，不折叠，不破损.一、单项选择题：本题共8小题，在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数i12iz=-，则z等于（）A.1B. C.2D.5【答案】D【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后直接利用复数模的公式求解即可.【详解】结合题意可得：()()()i12ii2i2i12i12i12i555 z+-+-====+ --+，所以55z==.故选：D.2.设x∈R，则“03x≤≤”是“02xx≤-”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】解分式不等式，求出解集，根据真子集关系得到答案.【详解】()20220x xxx x⎧-≤≤⇒⎨--≠⎩，解得02x≤<，由于02x≤<是03x≤≤的真子集，故03x≤≤是02xx≤-的必要不充分条件.故选：B3.已知e()1exaxf x=-是奇函数，则=a（）A.2-B.1-C.2D.1【答案】C 【解析】【分析】根据()()f x f x -=-得到方程，求出2a =.【详解】由题意得()()f x f x -=-，即e e1e 1ex x ax ax--=---，所以e e e 11eax x xax ax-=---，故e e ax x x -=，所以ax x x -=，解得2a =.故选：C4.第33届夏季奥运会预计2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举办，这届奥运会将新增2个竞赛项目和3个表演项目．现有三个场地A ，B ，C 分别承担这5个新增项目的比赛，且每个场地至少承办其中一个项目，则不同的安排方法有（）A.150种B.300种C.720种D.1008种【答案】A 【解析】【分析】分3,1,1和2,2,1两种情况，结合排列组合知识进行求解.【详解】若三个场地分别承担3,1,1个项目，则有3113521322C C C A 60A ⋅=种安排，若三个场地分别承担2,2,1个项目，则有2213531322C C C A 90A ⋅=种安排，综上，不同的安排方法有6090150+=种.故选：A5.设0.814a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.3log 0.2b =，0.3log 0.4c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A.a b c >> B.b a c >> C.c a b>> D.b c a>>【答案】D 【解析】【分析】首先将对数式和指数式与临界值比较，再判断大小关系.【详解】 1.61122a ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，即102a <<，0.3log 0.21b =>，即1b >，因为20.40.3<，所以20.30.3log 0.4log 0.31>=，即0.31log 0.42>，且0.30.3log 0.4log 0.31<=，则112c <<，所以b c a >>.故选：D6.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，A 为C 的右顶点，以12F F 为直径的圆与C 的一条渐近线交于P ，Q 两点，且3π4PAQ ∠=，则双曲线C 的离心率为（）A.B.213C.D.3【答案】C 【解析】【分析】联立圆与渐近线方程，得到()(),,,P a b Q a b --，进而得到π4OAQ ∠=，利用直线斜率得到方程，求出2b a =，得到离心率.【详解】由题意得，以12F F 为直径的圆的方程为222x y c +=，(),0A a ，渐近线方程为b y x a=±，联立222x y c by xa ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得x a =±，不妨令()(),,,P a b Q a b --，故π2OAP ∠=，因为3π4PAQ ∠=，所以3πππ424OAQ ∠=-=，所以0tan 1π4AQ b k a a --===--，解得2b a =，故离心率c e a ===.故选：C7.已知等差数列{}n a 中，97π12a =，设函数44()cos sin 3cos 1f x x x x x =---，记()n n y f a =，则数列{}n y 的前17项和为（）A.51- B.48- C.17- D.0【答案】C 【解析】【分析】根据三角恒等变换化简()f x 的表达式，判断其图象关于点7π(,1)12-成中心对称，结合等差数列性质可得11721697π2212a a a a a +=+===⨯ ，从而得117216810()()()()()()2f a f a f a f a f a f a +=+==+=- ，由此即可求得答案.【详解】由题意知44()cos sin 3cos 1f x x x x x =---()()2222cos sin cos sin 321x x x x x =+--πcos 23212cos 213x x x ⎛⎫=-=+- ⎪⎝⎭，当7π12x =时，7ππ2cos 20123⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，即()f x 关于点7π(,1)12-成中心对称，由于等差数列{}n a 中，97π12a =，故11721697π2212a a a a a +=+===⨯ ，故117216810()()()()()()2(1)2f a f a f a f a f a f a +=+==+=⨯-=- ，97ππ()2cos 211123f a ⎛⎫=⨯+-=- ⎪⎝⎭，故数列{}n y 的前17项和为1217()()()f a f a f a +++[][][]1172168109()()()()()()()f a f a f a f a f a f a f a =+++++++ 8(2)117=⨯--=-，故选：C8.已知四棱锥P ABCD -的底面是边长为4的正方形，3PA PB ==，45PAC ∠= ，则直线PD 与平面ABCD 夹角的正弦值为（）A.31717B.21717 C.53D.23【答案】B 【解析】【分析】首先求AC ，再作出PO ⊥平面ABCD ，根据垂直关系，以及等面积转化，确定垂足点O 的位置，以及PO ，再求线面角的正弦值.【详解】如图，由题意可知，AC =PAC △中，根据余弦定理可知293223172PC =+-⨯⨯=，则PC =过点P 作PO ⊥平面ABCD ，OM AB ⊥，连结PM ，ON BC ⊥，连结PN ，因为PO ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以PO AB⊥OM PO O = ，且,OM PO ⊂平面POM所以AB ⊥平面POM ，PM ⊂平面POM ，所以AB PM ⊥，又因为3PA PB ==，所以2MA MB ==，同理PN BC ⊥，PBC 中，916171cos 2343PBC +-∠==⨯⨯，则22sin 3PBC ∠=，根据等面积公式，11344232PN ⨯⨯⨯=⨯⨯，所以PN =，3NC ===，OD ==又2ON MB ==，所以2PO ==，则PD ==直线PD 与平面ABCD 夹角的夹角为PDO ∠，sin17PO PDO PD ∠===.故选：B【点睛】关键点点睛：本题的关键是确定垂足O 的位置，以及垂直关系的转化.二、多项选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.关于下列命题中，说法正确的是（）A.若事件A 、B 相互独立，则()()P A B P A =B.数据63，67，69，70，74，78，85，89，90，95的第45百分位数为78C .已知()0.65P A =，()0.32P AB =，则()0.33P AB =D.已知~(0,1)N ξ，若(1)P p ξ≤=，则()1102P p ξ-≤≤=-【答案】AC 【解析】【分析】根据独立事件的乘法公式以及条件概率的概率公式可判断A ；根据百分位数的定义求出第45百分位数判断B ；根据对立事件的概率公式以及条件概率的概率公式可判断C ；根据正态分布的对称性可判断D.【详解】对于A ，若事件A 、B 相互独立，则()()()P AB P A P B =,而()()()()()()()P AB P A P B P A B P A P B P B ===，A 正确；对于B ，数据63，67，69，70，74，78，85，89，90，95已为从小到大排列，共10个数，又45%10 4.5⨯=，故第45百分位数为第5个数74，B 错误；对于C ，由于()0.65P A =，()0.32P AB =，故()03232()()06565P BA .P B |A P A .===，则3233()1()16565P B |A P B |A =-=-=，故()()33(|)()0.650.3365P B A P A P AB P BA ====⨯，C 正确；对于D ，由于~(0,1)N ξ，(1)P p ξ≤=，故(1)1P p ξ>=-，故(1)(1)1P P p ξξ<-=>=-，故()11(1)(1)221102P p p P ξξ<-=--≤≤==---，D 错误，故选：AC10.已知函数()ππtan 124f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则（）A.()f x 的一个周期为2B.()f x 的定义域是1,Z 2x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭C.()f x 的图象关于点1,12⎛⎫⎪⎝⎭对称D.()f x 在区间[]1,2上单调递增【答案】ACD 【解析】【分析】利用正切函数的图象与性质一一判定选项即可.【详解】对于A ，由()ππtan 124f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭可知其最小正周期π2π2T ==，故A 正确；对于B ，由()ππtan 124f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭可知πππ1π2,Z 2422x k x k k +≠+⇒≠+∈，故B 错误；对于C ，由()ππtan 124f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭可知1πππ2242x x =⇒+=，此时()f x 的图象关于点1,12⎛⎫⎪⎝⎭对称，故C 正确；对于D ，由()ππtan 124f x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭可知[]ππ3π5π1,2,2444x x ⎡⎤∈⇒+∈⎢⎣⎦，又tan y x =在π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，显然3π5π,44⎡⎤⊂⎢⎥⎣⎦π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故D 正确.故选：ACD11.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，P 是直线1A D 上的一个动点，则下列结论中正确的是（）A.1C P的最小值为B.PB PC +的最小值为C.三棱锥1B ACP -的体积为83D.以点B 为球心，263为半径的球面与面1AB C 在正方体内的交线长为33π【答案】ABD 【解析】【分析】对于选项A ，即求正三角形的高，判断为正确；对于选项B ，将空间问题平面化即可判定为正确；对于选项C ，去一个特殊点，计算其体积，判断为错误；对于选项D ，先求出球与平面的交线，然后判断有多少在正方体内，求出其长度即可.【详解】对于A ，11C A D为边长为的等边三角形，1C P 的最小值即该等边三角形的高，为3cos302== A正确；对于B，如图，将等边1A BD 绕1A D 旋转到与平面11A DCB 共面，显然()min PB PC BC +=====，故B 正确；对于C，当P 在D 上时，1111148223333B ACP B ACD ACD V V S BB --==⋅⋅=⨯=≠ ，故C 错误；对于D，设点B 到平面1AB C 的距离为d ,11B AB C B ABC V V --= ，111133AB C ABC S d S BB ∴⋅=⋅ ，11222222d ∴⨯=⨯⨯⨯，3d =，以点B 为球心，3为半径的球面与面1AB C 在正方体内的交线是以1AB C V 中心为圆心，233==为半径的圆，如图，圆有一部分在正方体外，233OM =，由A 得133OH h ==，cos 2OH MOH OM ∠==，所以45MOH ∠= ，90MON ∠= ，所以有36090313604-⨯=圆周在正方体内部，其长度为12332ππ433⨯⨯=，故D 对.故选：ABD.12.已知抛物线()220x py p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线交于A 、B 两点，与其准线交于点D ，F 为AD 的中点，且6AF =，点M 是抛物线上 BA间不同于其顶点的任意一点，抛物线的准线与y 轴交于点N ，抛物线在A 、B 两点处的切线交于点T ，则下列说法正确的是（）A.抛物线焦点F 的坐标为()0,3B.过点N 作抛物线的切线，则切点坐标为33,24⎛⎫± ⎪⎝⎭C.在FMN 中，若MN t MF =，t ∈R ，则tD.2TFAF BF=⋅【答案】CD 【解析】【分析】设点,2p D t ⎛⎫-⎪⎝⎭，可得出点A 的坐标，利用抛物线的定义可求得p 的值，可判断A 选项；设切线方程为32y kx =-，将切线方程与抛物线方程联立，由判别式为零求出k 的值，可求得切点的坐标，可判断B 选项；利用抛物线的定义结合B 选项可判断C 选项；证明出AT BT ⊥，FT AB ⊥，结合直角三角形的几何性质可判断D 选项.【详解】对于A 选项，抛物线()220x py p =>的焦点为0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线方程为2py =-，设点,2p D t ⎛⎫-⎪⎝⎭，因为F 为线段AD 的中点，则3,2p A t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由抛物线的定义可得32622p p AF p =+==，解得3p =，则30,2F ⎛⎫⎪⎝⎭，A 错；对于B 选项，由A 选项可知，抛物线的方程为26x y =，点30,2N ⎛⎫-⎪⎝⎭，若切线的斜率不存在，则该直线与抛物线26x y =相交，且只有一个交点，不合乎题意，所以，切线的斜率存在，设切线的方程为32y kx =-，联立2326y kx x y⎧=-⎪⎨⎪=⎩可得2690x kx -+=，则236360k ∆=-=，解得1k =±，所以，切点横坐标为33k =±，纵坐标为()2393662k ==，故切点坐标为33,2⎛⎫± ⎪⎝⎭，B 错；对于C 选项，过点M 作ME 与直线32y =-垂直，垂足点为点E ，由抛物线的定义可得FM ME =，1cos MN MN t MFMEMNE===∠，由图可知，当直线MN 与抛物线26x y =相切时，锐角MNE ∠取最大值，此时，t取最大值，由B 选项可知，锐角MNE ∠的最大值为π4，故t的最大值为1πcos 4=，C 对；对于D 选项，设点()11,A x y 、()22,B x y ，若直线AB 的斜率不存在，则直线AB 与抛物线26x y =只有一个交点，不合乎题意，所以，直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为32y kx =+，联立2632x y y kx ⎧=⎪⎨=+⎪⎩可得2690x kx --=，236360k '∆=+>，由韦达定理可得126x x k +=，129x x =-，对函数26x y =求导得3x y '=，所以，直线AT 的方程为()1113x y y x x -=-，即21136x x x y =-，同理可知，直线BT 的方程为22236x x x y =-，因为1219AT BT x x k k ==-，则AT BT ⊥，联立2112223636x x x y x x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩可得121232362x x x k x x y +⎧==⎪⎪⎨⎪==-⎪⎩，即点33,2T k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则()3,3FT k =-，而()()()21212121,,AB x x y y x x k x x =--=-- ，所以，()()2121330FT AB k x x k x x ⋅=---=，则FT AB ⊥，所以，90TBF BTF ATF ∠=-∠=∠ ，由tan tan TBF ATF ∠=∠可得TF AF BFTF=，所以，2TFAF BF =⋅，D 对.故选：CD.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．三、填空题：本题共4小题.13.已知向量(2,1)a =- ，(1,)b λ=，若()a a b ⊥- ，则λ=____________.【答案】7【解析】【分析】运用平面向量垂直及减法、数乘、数量积坐标运算即可.【详解】因为(2,1)a =- ，(1,)b λ= ，所以(3,1)a b λ-=--，因为()a ab ⊥-，所以()()()()23110a a b λ⋅-=-⨯-+⨯-= ，解得7λ=.故答案为：7.14.512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为______.【答案】80-【解析】【分析】根据通项公式中x 的指数为3，列方程解得1r =，从而可得展开式中3x 的系数.【详解】512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为()5521512r r r rr T C x--+=-⋅⋅(0,1,2,3,4,5)r =，令523-=r ，得1r =，所以展开式中3x 的系数为5115(1)2C --⋅⋅=80-.故答案为：80-【点睛】本题考查了根据通项公式求项的系数，属于基础题.15.过原点的动直线l 与圆22410x y x +-+=交于不同的两点A ，B .记线段AB 的中点为P ，则当直线l 绕原点转动时，动点P 的轨迹长度为____________.【答案】4π3【解析】【分析】根据垂径定理结合圆的定义及动直线过定点两圆位置关系确定P 的轨迹为圆弧计算即可.【详解】由题意可知圆22410x y x +-+=的圆心为()2,0C ，半径为r =，根据圆的性质可知CP l ⊥，则OCP △为直角三角形，即P 在以OC 为直径的圆上，设OC 中点为E ，该圆半径为R ，易知1R EC ==，又线段AB 的中点为P ，则P 在圆22410x y x +-+=的内部，如图所示其轨迹即 FCG.因为CF r ===，易得120FEC ∠= ，则120GEC ∠= ，所以 FCG 的弧长为21204π2π3603R ⨯⨯⨯=.故答案为：4π316.设12,x x 是函数21()e 1,()2xf x ax a =-+∈R 的两个极值点，若213x x ≥，则a 的范围为____________.【答案】23,ln 3⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭【解析】【分析】根据极值点定义可将问题转化为y a =与exy x=有两个不同交点；利用导数可求得单调性，并由此得到()e xg x x=的图象；采用数形结合的方式可确定1201,x x <<<且e a >；假设213x x t ==，由()()12g x g x =可确定3ln 3t =，进而得到()()1223ln 3g x g x ==的值，结合图象可确定a 的取值范围.【详解】由21()e 1,()2xf x ax a =-+∈R ，可得()x f x ax e '=-，因为12,x x 是函数()f x 的两个极值点，所以12,x x 是e 0x ax -=的两根，当0x =时，方程不成立，故12,x x 是exa x=的两根，即y a =与e x y x =的图象有两个交点，令()e ,x g x x =则()()21e xx g x x -'=，当()(),00,1x ∞∈-⋃时，()0g x '<，当()1,x ∞∈+时，()0g x '>，所以()e xg x x =在()(),0,0,1∞-单调递减；在()1,∞+上单调递增.则()e xg x x=图象如下图所示，由图象可知：1201,x x <<<且e a >因为213x x ≥，所以213x x ≥，当213x x =时，不妨令213x x t ==，则13e e 3t tt t=，即13e 3et t =，化简得13e =3ln t =，当213x x =时，()()12ln 3g x g x ====，若213x x ≥，则23ln 3a ≥，即a 的取值范围为23,ln 3∞⎡⎫+⎪⎢⎪⎣⎭.故答案为：,ln 3∞⎡⎫+⎪⎢⎪⎣⎭.【点睛】方法点睛：本题考查根据极值点求解参数范围问题，可将问题转化为已知函数零点(方程根)的个数求参数值(取值范围)的问题，解决此类问题的常用的方法有：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.四、解答题：本题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且2cos 2b C a c =-.（1）求角B 的大小；（2）若b =，D 为AC 边上的一点，3BD =，且______________，求ABC 的面积．①BD 是B ∠的平分线；②D 为线段AC 的中点.（从①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答）.【答案】（1）π3B =（2）选①或选②均为【解析】【分析】（1）利用正弦定理将边化成角，然后利用sin Asin()B C =+进行代换，求出1cos 2B =，即可得出答案；（2）若选①：由等面积法得到)ac a c =+，由余弦定理得到2212a c ac +-=，联立求解即可得出答案；若选②：得()12BD BA BC =+，两边平法化简得2236a c ac ++=，由余弦定理得到2212a c ac +-=，联立求解即可得出答案.【小问1详解】由正弦定理知，2sin cos 2sin sin B C A C =-，sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+ ，代入上式得2cos sin sin 0B C C -=，(0,π)C ∈ ，sin 0C ∴>，1cos 2B ∴=，(0,π)B ∈ ，π3B ∴=.【小问2详解】若选①：由BD 平分ABC ∠得：ABC ABD BCD S S S =+△△△，111sin 3sin 3sin 232626πππac a c ∴=⨯+⨯，即)ac a c =+.在ABC 中，由余弦定理得222π2cos3b ac ac =+-，2212a c ac ∴+-=，联立)2212ac a c a c ac ⎧=+⎪⎨+-=⎪⎩，得2()936ac ac -=，解得12ac =，11sin 12222ABC S ac B ∴==⨯⨯=△若选②：得()12BD BA BC =+，()()222211244BD BA BCBA BA BC BC =+=+⋅+，得2236a c ac ++=，在ABC 中，由余弦定理得222π2cos3b ac ac =+-，2212a c ac ∴+-=，联立22223612a c ac a c ac ⎧++=⎨+-=⎩，得12ac =，113sin 12222ABC S ac B ∴==⨯⨯=△18.已知递增的等比数列{}n a 满足22a =，且1a ，2a ，31a -成等差数列.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设()()112n n n a n b a n ⎧-⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，求数列{}n b 的前20项和.【答案】（1）12n n a -=（2）212323-【解析】【分析】（1）根据等差中项的性质得到13212a a a +-=，然后根据等比数列的通项公式列方程求解即可；（2）利用分组求和的方法计算即可.【小问1详解】设公比为()1q q >，因为1a ，2a ，31a -成等差数列，所以1314a a +-=，所以2250q q+-=，解得2q =或12q =（舍去），所以12n n a -=.【小问2详解】根据题意得()1234192013519246201102b b b b b b a a a a a a a a ++++++=++++-+++++ ()()02418024182222102222=++++-+++++ 101421014-=⨯--212323-=.19.如图，在圆柱体1OO 中，1OA =，12O O =，劣弧11A B 的长为π6，AB 为圆O 的直径．（1）在弧AB 上是否存在点C （C ，1B 在平面11OAAO 同侧），使1BC AB ⊥，若存在，确定其位置，若不存在，说明理由；（2）求二面角111A O B B --的余弦值．【答案】（1）存在，1B C 为圆柱1OO 的母线（2）25117【解析】【分析】（1）1B C 为圆柱1OO 的母线时，证明BC ⊥平面1AB C ，从而得出1BC AB ⊥；（2）以O 为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法即可求得二面角111A O B B --的余弦值.【小问1详解】存在，当1B C 为圆柱1OO 的母线时，1BC AB ⊥．证明如下：连接BC ，AC ，1B C ，因为1B C 为圆柱1OO 的母线，所以1B C ⊥平面ABC ，又因为BC ⊂平面ABC ，所以1B C BC ⊥．因为AB 为圆O 的直径，所以BC AC ⊥．又1AC B C C ⋂=，1,AC B C ⊂平面1AB C ，所以BC ⊥平面1AB C ，因为1AB ⊂平面1AB C ，所以1BC AB ⊥．【小问2详解】以O 为原点，OA ，1OO 分别为y ，z 轴，垂直于y ，z 轴的直线为x 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则1(0,1,2)A ，1(0,0,2)O ，(0,1,0)B -，因为劣弧11A B 的长为π6，所以111π6AO B ∠=，113,,222B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则1(0,1,2)O B =--，111,,022O B ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭．设平面11O BB 的法向量(,,)m x y z =，则111201022O B m y z O B m x y ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令3x =-，解得y =，32z =-，所以2m ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ．因为x 轴垂直平面11A O B ，所以平面11A O B 的一个法向量(1,0,0)n =．所以cos ,17m n 〈〉==- ，又二面角111A O B B --的平面角为锐角，故二面角111A O B B --的余弦值为25117．20.某学校进行趣味投篮比赛，设置了A ，B 两种投篮方案.方案A ：罚球线投篮，投中可以得2分，投不中得0分；方案B ：三分线外投篮，投中可以得3分，投不中得0分.甲、乙两位员工参加比赛，选择方案A 投中的概率都为()0001p p <<，选择方案B 投中的概率都为13，每人有且只有一次投篮机会，投中与否互不影响.（1）若甲选择方案A 投篮，乙选择方案B 投篮，记他们的得分之和为X ，()334P X ≤=，求X 的分布列；（2）若甲、乙两位员工都选择方案A 或都选择方案B 投篮，问：他们都选择哪种方案投篮，得分之和的均值较大？【答案】（1）分布列见解析（2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据()334P X ≤=得到方程，求出034p =，求出X 的所有可能值及对应的概率，得到分布列；（2）设甲、乙都选择方案A 投篮，投中次数为1Y ，都选择方案B 投篮，投中次数为2Y ，则()10~2,Y B p ，21~2,3Y B ⎛⎫⎪⎝⎭，计算出两种情况下的均值，由不等式，得到相应的结论.【小问1详解】依题意，甲投中的概率为0p ，乙投中的概率为13，于是得013(3)1(5)134P X P X p ≤=-==-=，解得034p =，X 的所有可能值为0，2，3，5，311(0)11436P X ⎛⎫⎛⎫==-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，311(2)1432P X ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭，131(3)13412P X ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭，311(5)434P X ==⨯=，所以X 的分布列为：X 0235P161211214【小问2详解】设甲、乙都选择方案A 投篮，投中次数为1Y ，都选择方案B 投篮，投中次数为2Y ，则()10~2,Y B p ，21~2,3Y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则两人都选择方案A 投篮得分和的均值为()12E Y ，都选择方案B 投篮得分和的均值为()23E Y ，则()()100142222E E Y p p Y ==⨯=，()()221333322E Y Y E ==⨯⨯=，若()()1223E Y E Y >，即042p >，解得0112p <<；若()()1223E Y E Y =，即042p =，解得012p =；若()()1223E Y E Y <，即042p <，解得0102p <<.所以当0112p <<时，甲、乙两位同学都选择方案A 投篮，得分之和的均值较大；当012p =时，甲、乙两位同学都选择方案A 或都选择方案B 投篮，得分之和的均值相等；当0102p <<时，甲、乙两位同学都选择方案B 投篮，得分之和的均值较大.21.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为12,A A ，上顶点为B ，且1tan 2A BO ∠=．（1）求椭圆C 的方程；（2）若过2A 且斜率为k 的直线l 与椭圆C 在第一象限相交于点Q ，与直线1A B 相交于点P ，与y 轴相交于点M ，且223PA MQ QA MP =．求k 的值．【答案】（1）2214x y +=（2）1-【解析】【分析】（1）根据焦距和角的正切值得到方程，求出21b =，24a =，得到椭圆方程；（2）设出直线l 的方程，与椭圆方程联立，得到228214Q k x k-=+，再与直线1A B 方程联立，得到2421P kx k +=-，根据题干条件得到方程30P Q Q P x x x x +-=，代入求出答案，舍去不合要求的解.【小问1详解】由题意得2c =c =又1,AO a OB b ==，故1tan 2aA BO b∠==，即2a b =，又222a b c =+，解得21b =，24a =，故椭圆方程为2214x y +=；【小问2详解】直线l 的方程为()2y k x =-，0k <，与2214x y +=联立得()222214161640k x k x k +-+-=，设(),Q Q Q x y ，则22164214Q k x k -=+，解得228214Q k x k -=+，因为点Q 在第一象限，所以2282014Q k x k -=>+，解得214k >，直线1A B 方程为112y x =+，与()2y k x =-联立得2421k x k +=-，故2421P k x k +=-，()2y k x =-中，令0x =得2y k =-，故()0,2M k -，因为223PA MQ QA MP =，所以()()()()20320P Q Q Px x x x--=--，整理得30P Q Q P x x x x +-=，即2222248282243021141421k k k k k k k k +--+⋅+-⋅=-++-，化简得22310k k ++=，解得12k =-或1-，其中12k =-不满足214k >，舍去，1k =-满足要求，故1k =-.22.已知函数2()ln x f x e a x =-，函数ln ()m xg x n x+=+的图象在点(1,(1))g 处的切线方程为30y -=.（1）讨论()f x 的导函数()f x '的零点的个数；（2）若0a ≤，且()f x 在[),e +∞上的最小值为2e e ，证明：当0x >时，()()f x g x ≥.【答案】（1）当0a >时，()f x '存在唯一零点，当0a ≤时，()f x '无零点.（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意得()f x 的定义域为(0,)+∞，2()2x af x e x'=-，然后分0a ≤和0a >两种情况讨论即可（2）先由条件求出1ln ()2x g x x+=+，然后要证()()f x g x ≥，即证()22ln 1xx e x --≥，令()2()2ln xh x x ex =--，然后利用导数得出min ()1h x =即可【详解】（1）由题意，得()f x 的定义域为(0,)+∞，2()2xa f x e x'=-.显然当0a ≤时，()0f x '>恒成立，()f x '无零点.当0a >时，取2()()2xa t x f x e x'==-，则22()40xa t x ex'=+>，即()f x '单调递增，又()0f a '>，2202a aa e a a f e e e ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭，所以导函数()f x '存在唯一零点.故当0a >时，()f x '存在唯一零点，当0a ≤时，()f x '无零点.（2）由（1）知，当0a ≤时，()f x 单调递增，所以22min ()()ee f x f e e a e ==-=，所以0a =.因为21ln ()m xg x x --'=，函数()g x 的图象在点(1,(1))g 处的切线方程为30y -=，所以1(1)01mg -'==，所以1m =.又1ln1(1)31g n +=+=，所以2n =，所以1ln ()2xg x x+=+.根据题意，要证()()f x g x ≥，即证2ln 12xx e x+≤-，只需证()22ln 1x x e x --≥.令()2()2ln xh x x e x =--，则22121()(21)(21)x x x h x x e x e x x +⎛⎫'=+-=+- ⎪⎝⎭.令21()(0)xF x ex x =->，则221()20x F x e x'=+>，所以()F x 在(0,)+∞上单调递增.又1404F ⎛⎫=-<⎪⎝⎭，1202F e ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，所以()F x 有唯一的零点,x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭01142.当()00,x x ∈时，()0<F x ，即()0h x '<，()h x 单调递减，当()0,x x ∈+∞时，()0F x >，即()0h x '>，()h x 单调递增，所以()()2min 000()2ln x h x h x x e x ==--.又因为()00F x =，所以0201ex x =，所以()0000020112ln 1221x h x x x x x e ⎛⎫⎛⎫=--=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()()f x g x ≥.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的零点个数，利用导数证明不等式，属于较难题.。
山西省2019_2020学年高二数学上学期10月联合考试试题理(含解析)
山西省2019-2020学年高二数学上学期10月联合考试试题 理（含解析）考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上．3．本试卷主要考试内容：人教A 版立体几何、空间向量．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知空间向量()1,0,1=r a ，()1,1,n =r b ，且3⋅=r r a b ，则向量a r 与b r 的夹角为()A.π6B.π3C.π3或2π3D.π6或5π6【答案】A 【解析】 【分析】由数量积的坐标求法，可得n 的值，再利用向量的夹角公式即可求解.【详解】∵13n ⋅=+=rr a b ，∴2n =，又a =r ()1,1,2=r b ，∴cos ,⋅===r r r r r ra b a b a b ．又[],0,π∈r r a b ，∴向量a r 与b r 的夹角为π6． 【点睛】设向量()()111222,,,,,x y z x y z ==r ra b ，则121212,cos x x y y z z ,⋅⋅=++〈〉=r r r r r r r r a ba b a b =a b..2.下列说法中正确的是() A. 圆锥的轴截面是等边三角形B. 用一个平面去截棱锥，一定会得到一个棱锥和一个棱台C. 将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所围成的几何体是由一个圆台和两个圆锥组合而成D. 有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆锥的结构特征即可判断A 选项；根据棱台的定义即可判断选项B;结合圆柱、圆锥、圆台的旋转特征，举出反例即可判断选项C ；由棱柱的定义即可判断选项D.【详解】圆锥的轴截面是两腰等于母线长的等腰三角形，A 错误；只有用一个平行于底面的平面去截棱锥，才能得到一个棱锥和一个棱台，B 错误；等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周的几何体，是由一个圆柱和两个圆锥组合而成，故C 错误；由棱柱的定义得，有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱，故D 正确．【点睛】解决空间几何体结构特征问题的3个策略 (1)把握几何体的结构特征，提高空间想象力． (2)构建几何模型、变换模型中的线面关系． (3)通过反例对结构特征进行辨析．3.已知圆柱的轴截面为正方形，且圆柱的体积为54π，则该圆柱的侧面积为() A. 27π B. 36πC. 54πD. 81π【答案】B 【解析】 【分析】由圆柱的轴截面为正方形可知，底面圆直径与圆柱的高相等，根据圆柱的体积公式，可求得底面圆的半径，再由圆柱的侧面积公式即可求解.【详解】设圆柱的底面半径为r ．因为圆柱的轴截面为正方形，所以该圆柱的高为2r ．因为该圆柱的体积为54π，23π2π54πr h r ==，解得3r =，所以该圆柱的侧面积为2π236r r ⨯=π．【点睛】设圆柱的底面圆半径为r,高为h,则侧面积=2S rh π侧，体积2V Sh r h π==.4.如图，某四边形的斜二测直观图是上底为2，下底为4，高为1的等腰梯形，则原四边形的面积为()A. 4B. 2C. 6D. 62【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可求出斜二测图形的面积，再结合原图的面积与斜二测图形面积的关系即可求解. 【详解】原图的面积是斜二测图形面积的22倍．该四边形的斜二测图形面积为()243211⨯+⨯=，故原图面积为32262⨯=． 【点睛】按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：2S 直观图原图形．5.设α，β为两个不同的平面，m ，n 为两条不同的直线，则下列判断正确的是() A. 若n α⊥，m α⊥，则m n ⊥ B. 若αβ∥，m α⊥，则m β⊥C. 若αβ⊥，l αβ=I ，m l ⊥，则m β⊥D. 若m n P ，m αP ，则n αP 【答案】B 【解析】 【分析】选项A 由线面垂直的性质定理可得；选项B ，由面面平行的定义找两组相交直线，结合线面垂直的判定定理即可证明；选项C,D ，找到反例即可.【详解】A 选项不正确，根据垂直于同一个平面的两个直线平行，可得m n P ；B 选项正确，若αβ∥，则存在,,a b a b αα⊂⊂⋂，在平面β内存在',',''a a b b a b ⋂∥∥，由m α⊥，可得,','m a m b m a m b ⊥⊥⇒⊥⊥ ，由线面垂直的判定定理可得m β⊥；C 选项不正确，因为根据面面垂直的性质定理，需要加上“m 在平面α内或者平行于α”这个条件，才能判定m β⊥；D 选项不正确，直线n 可能在平面α上． 【点睛】解决平行、垂直关系基本问题的3个注意点(1)注意判定定理与性质定理中易忽视的条件，如线面平行的条件中线在面外易忽视． (2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断． (3)会举反例或用反证法推断命题是否正确．6.设1e r ，2e r ，3r e 为空间的三个不同向量，如果112233λλλ++=0rr r r e e e 成立的等价条件为1230λλλ===，则称1e r ，2e r，3r e 线性无关，否则称它们线性相关．若()2,1,3=-r a ，()1,0,2=r b ，()1,1,m =-rc 线性相关，则m =()A. 9B. 7C. 5D. 3【答案】A 【解析】 【分析】根据定义列出向量坐标的关系，即可求解.【详解】依题意，三个向量线性相关，则存在不全为0的实数x ，y ，z ，使得x y z ++=0rrrra b c 成立．故20,0,320,x y z x z x y mz ++=⎧⎪-=⎨⎪-++=⎩由20,0x y z x z ++=⎧⎨-=⎩得x z =，3y z =-，代入320x y mz -++=，得()90m z -=，由于x ，y ，z 不全为0，故0z ≠，则9m =．【点睛】设向量()()111222,,,,,x y z x y z ==r ra b ,则()121212,,x x y y z z λμλμλμλμ+++r ra +b = .7.在三棱柱111ABC A B C -中，11111B ABCABC A B CV V --=()A.18B.12C. 13D.16【答案】C 【解析】 【分析】利用等体积转化法，则有1111B ABC C ABB V V --=，又1CC P 平面1ABB ,所以点1,C C 到平面1ABB 的距离相等，故可得111111B ABC C ABB C ABB B ABC V V V V ----===，求解即可. 【详解】设三棱柱111ABC A B C -的高为h,因为1CC P 平面11ABB A ， 所以1111111111133B ABC C ABB C ABB B ABC ABC ABC A B C V V V V h S V -----====⋅=V ． 故选：C【点睛】本题考查椎体体积，注意若直线a ∥平面α，则直线a 上的任一点到平面α的距离都相等的应用8.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为()A.23B.23C.323D.643【答案】C 【解析】 【分析】根据三视图的长度，可在棱长为4的正方体中还原几何体，进一步计算即可. 【详解】根据题意，得该几何体是如图所示的三棱锥A BCD -，1132444323A BCD V -=⨯⨯⨯⨯=．【点睛】求以三视图为背景的几何体的体积．应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．9.把边长为2的正ABC ∆沿BC 边上的高线AD 折成直二面角，则点A 到BC 的距离是() A. 1 B.62C.142D.154【答案】C 【解析】 【分析】对比翻折前、翻折后，,,,AC BC CD BD 的长度都不变，得翻折后ABC △为等腰三角形，故求AO 的长度即可.【详解】如图，取BC 的中点O ，连接AO ，DO ．∵翻折前ABC △为正三角形，∴2,1AC AB CD BD ====． ∴AO BC ⊥，即AO 为点A 到BC 的距离.∵翻折前AD 为BC 边上的高，∴CD AD ⊥，BD AD ⊥， ∴BDC ∠即为二面角的平面角，即90BDC ∠=︒， ∴222BC CD BD =+=．∴22142BC AO AB ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭． 【点睛】折叠问题中的平行与垂直关系的处理关键是结合图形弄清折叠前后变与不变的数量关系，尤其是隐含量的垂直关系.10.在四面体PABC 中，PC PA ⊥，PC PB ⊥，22AP BP AB PC ====，则四面体PABC 外接球的表面积是()A.17π12B.19π12C.19π3D.17π3【答案】C 【解析】 【分析】由△PAB 为等边三角形，且PC ⊥平面PAB 可知，OH PC ∥，即可找到球心所在的位置，列出等量关系即可求出半径.【详解】∵PC PA ⊥，PC PB ⊥，∴PC ⊥平面PAB ．设O 是外接球球心，半径为R ，H 是ABP △的中心，OH ⊥ 平面PAB ，则()222PC OH PH R -+=，222OH PH R += ,322323PH =⨯⨯=，所以1122OH PC == ,2221912R OH PH =+=，故四面体外接球的表面积是219π4π3S R ==．【点睛】“切”“接”问题处理的注意事项 (1)“切”的处理解决与球的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作． (2)“接”的处理把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题．解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．11.已知三棱锥D ABC -的体积为3，且AB BC ⊥，AB =AD BC +=三棱锥D ABC - 的表面积为()A. 2+B. 2+C. 2+D.2+【答案】A 【解析】 【分析】三棱锥D ABC -以△ABC 为底面，则高AD ≤，即可得到2AD BC ⋅≥，再结合基本不等式即可得到AD,BC 的长，且AD 为三棱锥D ABC -的高，利用线面垂直的判定定理可得BC ⊥平面ABD ，即可得三棱锥D ABC -的四个面均为直角三角形，即可计算其表面积.【详解】因为11323D ABC AD AB BC V -⎛⎫⋅⋅≥=⎪⎝⎭，AB =，即2AD BC ⋅≥．因为AD BC =+≥=，当且仅当AD BC ==时，等号成立，此时2AC =，AD =，且AD ⊥平面ABC ，2BD =，易得BC ⊥平面ABD ，所以三棱锥D ABC-的表面积为ABC ABD ACD BCD S S S S +++=V V V V 11112222222⨯⨯=+． 【点睛】根据几何体特征求表面积(1)求多面体的侧面积时，应对每一个侧面分别求解后再相加；求旋转体的侧面积时，一般要将旋转体展开为平面图形后再求面积．(2)对于组合体，要弄清它是由哪些简单几何体组成的，要注意“表面(和外界直接接触的面)”的定义，以确保不重复、不遗漏．12.如图,正方形ABCD 中,E F 、分别是AB BC 、的中点将,,ADE CDF BEF ∆V V 分别沿DE DF EF 、、折起,使、、A B C 重合于点P .则下列结论正确的是（ ）A. PD EF ⊥B. 平面PDE PDF ⊥平面C. 二面角P EF D --的余弦值为13D. 点P 在平面DEF 上的投影是DEF ∆的外心 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A 选项，只需取EF 中点H ，证明EF ⊥平面PDH ；对于B 选项，知,,PE PF PD 三线两两垂直，可知正确；对于C 选项，通过余弦定理计算可判断；对于D 选项，由于PE PF PD =≠，可判断正误.【详解】对于A 选项，作出图形，取EF 中点H ，连接PH ，DH ，又原图知BEF ∆和DEF ∆为等腰三角形，故PH EF ⊥,DH EF ⊥，所以EF ⊥平面PDH ，所以PD EF ⊥，故A 正确；根据折起前后，可知,,PE PF PD 三线两两垂直，于是可证平面PDE PDF ⊥平面，故B 正确；根据A 选项可知 PHD ∠为二面角P EF D --的平面角，设正方形边长为2，因此1PE PF ==，22PH =，2322222DH =-=，222PD DF PF =-=，由余弦定理得：2221cos 23PH HD PD PHD PH HD +-∠==⋅，故C 正确；由于PE PF PD =≠，故点P 在平面DEF 上的投影不是DEF ∆的外心，即D 错误；故答案为ABC.【点睛】本题主要考查异面直线垂直，面面垂直，二面角的计算，投影等相关概念，综合性强，意在考查学生的分析能力，计算能力及空间想象能力，难度较大.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡中的横线上． 13.在空间直角坐标系O xyz -中，点()5,3,1A -关于y 轴的对称点的坐标为______． 【答案】()5,3,1--- 【解析】 【分析】点A 关于y 轴的对称点,则纵坐标不变，其它坐标变为相反数即可. 【详解】点()5,3,1A -关于y 轴的对称点的坐标为()5,3,1---．【点睛】在空间直角坐标系中，点(),,P x y z 关于x 轴的对称点的坐标为(),,x y z --；关于y 轴的对称点的坐标为(),,x y z --；关于z 轴的对称点的坐标为(),,x y z --.14.如图，PA ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，且PA AD =，E ，F 分别是线段PA ，CD 的中点，则异面直线EF 与BD 所成角的余弦值为______．3 【解析】 【分析】作BD 的平行线FG ,即可证明EFG Ð （或其补角）就是异面直线EF 与BD 所成的角，计算出EF,EG,FG 的长度，在△EFG 中，利用余弦定理即可求解.【详解】如图，取BC 的中点G ，连接FG ，EG ，AG ,则BD FG P ，通过异面直线所成角的性质可知EFG Ð （或其补角）就是异面直线EF 与BD 所成的角． 设2AD =，则226EF EA AF =+=，同理可得6EG =．又122FG BD ==，所以在EFG V 中，2223cos 2EF FG EG EFG EF FG +-∠==⋅， 故异面直线EF 与BD 所成角的余弦值为3．【点睛】用平移法求异面直线所成角的3个步骤(1)一作：即据定义作平行线，作出异面直线所成的角； (2)二证：即证明作出的角是异面直线所成的角；(3)三求：解三角形，求出作出的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．15.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，且22PA =．E 为棱BC 上的动点，若PE DE +17，则PB =______． 【答案】3 【解析】 【分析】由,BC AB PA BC ⊥⊥,可得BC ⊥平面PAB ,则将PBC V 沿棱BC 翻折至与底面ABCD 共面，点P '在AB 的延长线上，则问题转化为BC 上的动点E 到定点P '，D 的距离和的最小值，显然当三点共线时最小，即可计算求解.【详解】易证BC ⊥平面PAB ，则BC PB ⊥，将PBC V 沿棱BC 翻折至与底面ABCD 共面，如图所示．设AB x =，则3PB x =，当P '，D ，E 三点共线时，PE DE +取得最小值，故()22417x x +=，解得1x =，则3PB =．【点睛】几何体中，最短路径问题通常将曲面展开，研究两点连线最短的问题，从而将曲面的最短路径问题转化为平面最短路径问题.16.在四面体PABC 中，PC PA ⊥，PC PB ⊥，22AP BP AB PC ====，则四面体PABC 外接球的表面积是_______．【答案】19π3【解析】 【分析】由△PAB 为等边三角形，且PC ⊥平面PAB 可知，OH PC ∥，即可找到球心所在的位置，列出等量关系即可求出半径.【详解】∵PC PA ⊥，PC PB ⊥，∴PC ⊥平面PAB ．设O 是外接球球心，H 是ABP △的中心，OH ⊥ 平面PAB ，则1122OH PC ==，322323PH =⨯⨯=，则22221912R OP OH PH ==+=，故四面体外接球的表面积是219π4π3S R ==．【点睛】“切”“接”问题处理的注意事项 (1)“切”的处理解决与球的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作． (2)“接”的处理把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题．解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.已知正方体1111ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点.求证：（1）1//C O 面11AB D ； （2）1A C ⊥面11AB D ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）取11AB D ∆ 的边11B D 的中线1AO ，由证四边形11AOC O 是平行四边形，得11//OC AO ，由线面平行的判定定理可得结论；（2）由1111111,D B AA D B AC ⊥⊥ 证得11D B ⊥面1A C ，可得面1A C ⊥ 面11AB D 【详解】(1)连结，设 连结，Q是正方体四边形11ACC A 是平行四边形 ． ,∴A1C1∥AC 且．又分别是的中点，∴11C O //AO 且,四边形11AOC O 是平行四边形 ．11C O //AO ,1AO ⊂面，面11AB D ,∴1C O ∥面．（2）在正方体中，AA1⊥平面A1B1C1D1，11D B ⊂平面A1B1C1D1，111D B AA ⊥ ．在平面A1B1C1D1内，1111D B A C ⊥,1111AA A C A ⋂=，111A C A C ⊂面，11AA A C 面⊂,111D B A C ⊥面 ． 1111D B AB D ⊂面,面A1C⊥面AB1D1 ．点睛：处理直线、平面平行问题时应注意的事项(1)在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误。
2019-2020年高二下学期期末数学试卷(文科)含解析
2019-2020年高二下学期期末数学试卷（文科）含解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集U=R，A={x|x（x﹣2）＜0}，B={x|x﹣1＞0}，则A∩B=（）A．（﹣2，1）B．[1，2）C．（﹣2，1] D．（1，2）2．已知数列…，则2是这个数列的（）A．第6项B．第7项C．第11项D．第19项3．下列四个命题中的真命题为（）A．∃x0∈Z，1＜4x0＜3 B．∃x0∈Z，5x0+1=0C．∀x∈R，x2﹣1=0 D．∀x∈R，x2+x+2＞04．函数y=在x=1处的导数等于（）A．1 B．2 C．3 D．45．“a=﹣2”是“复数z=（a2﹣4）+（a+1）i（a，b∈R）为纯虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件6．已知a=30.2，b=log64，c=log32，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a7．设函数f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）=，f（x+2）=f（x）+f（2），则f（5）=（）A．0 B．1 C．D．58．高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班级学生数学考试成绩优秀和不优秀统计后，得到如表：A．0.600 B．0.828 C．2.712 D．6.0049．已知函数f（x）=x|x|﹣2x，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数，递增区间是（0，+∞）B．f（x）是偶函数，递减区间是（﹣∞，1）C．f（x）是奇函数，递减区间是（﹣1，1）D．f（x）是奇函数，递增区间是（﹣∞，0）10．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，a i∈{0，1}（i=0，1，2），传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0=a0⊕a1，h1=h0⊕a2，⊕运算规则为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（）A．11010 B．01100 C．10111 D．00011二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=_______．12．函数y=的值域为_______．13．若P=﹣1，Q=﹣，则P与Q的大小关系是_______．14．已知变量x，y具有线性相关关系，测得（x，y）的一组数据如下：（0，1），（1，2），（2，4），（3，5），其回归方程为=1.4x+a，则a的值等于_______．15．已知函数则的值为_______．16．按程序框图运算：若x=5，则运算进行_______次才停止；若运算进行3次才停止，则x的取值范围是_______．三、解答题（本大题共5小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）=log a（x+1）﹣log a（1﹣x），a＞0且a≠1．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明．18．命题p方程：x2+mx+1=0有两个不等的实根，命题q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实根．若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求m的取值范围．19．在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？20．已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．21．在无穷数列{a n}中，a1=1，对于任意n∈N*，都有a n∈N*，且a n＜a n+1．设集合A m={n|a n ≤m，m∈N*}，将集合A m中的元素的最大值记为b m，即b m是数列{a n}中满足不等式a n≤m的所有项的项数的最大值，我们称数列{b n}为数列{a n}的伴随数列．例如：数列{a n}是1，3，4，…，它的伴随数列{b n}是1，1，2，3，…．（I）设数列{a n}是1，4，5，…，请写出{a n}的伴随数列{b n}的前5项；（II）设a n=3n﹣1（n∈N*），求数列{a n}的伴随数列{b n}的前20项和．2015-2016学年北京市东城区高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集U=R，A={x|x（x﹣2）＜0}，B={x|x﹣1＞0}，则A∩B=（）A．（﹣2，1）B．[1，2）C．（﹣2，1] D．（1，2）【考点】交集及其运算．【分析】先求出不等式x（x﹣2）＜0的解集，即求出A，再由交集的运算求出A∩B．【解答】解：由x（x﹣2）＜0得，0＜x＜2，则A={x|0＜x＜2}，B={x|x﹣1＞0}={x|x＞1}，∴A∩B═{x|1＜x＜2}=（1，2），故选D．2．已知数列…，则2是这个数列的（）A．第6项B．第7项C．第11项D．第19项【考点】数列的概念及简单表示法．【分析】本题通过观察可知：原数列每一项的平方组成等差数列，且公差为3，即a n2﹣a n﹣12=3从而利用等差数列通项公式an2=2+（n﹣1）×3=3n﹣1=20，得解，n=7【解答】解：数列…，各项的平方为：2，5，8，11，…则a n2﹣a n﹣12=3，又∵a12=2，∴a n2=2+（n﹣1）×3=3n﹣1，令3n﹣1=20，则n=7．故选B．3．下列四个命题中的真命题为（）A．∃x0∈Z，1＜4x0＜3 B．∃x0∈Z，5x0+1=0 C．∀x∈R，x2﹣1=0 D．∀x∈R，x2+x+2＞0【考点】四种命题的真假关系．【分析】注意判断区分∃和∀．【解答】解：A错误，因为，不存在x0∉ZB错误，因为C错误，x=3时不满足；D中，△＜0，正确，故选D答案：D4．函数y=在x=1处的导数等于（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】导数的运算．【分析】先求原函数的导函数，再把x=1的值代入即可．【解答】解：∵y′=，∴y′|x=1==1．故选：A．5．“a=﹣2”是“复数z=（a2﹣4）+（a+1）i（a，b∈R）为纯虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复数的基本概念．【分析】把a=﹣2代入复数，可以得到复数是纯虚数，当复数是纯虚数时，得到的不仅是a=﹣2这个条件，所以得到结论，前者是后者的充分不必要条件．【解答】解：a=﹣2时，Z=（22﹣4）+（﹣2+1）i=﹣i是纯虚数；Z为纯虚数时a2﹣4=0，且a+1≠0∴a=±2．∴“a=2”可以推出“Z为纯虚数”，反之不成立，故选A．6．已知a=30.2，b=log64，c=log32，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a【考点】对数值大小的比较．【分析】a=30.2＞1，利用换底公式可得：b=log64=，c=log32=，由于1＜log26＜log29，即可得出大小关系．【解答】解：∵a=30.2＞1，b=log64=，c=log32==，∵1＜log26＜log29，∴1＞b＞c，则a＞b＞c，故选：B．7．设函数f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）=，f（x+2）=f（x）+f（2），则f（5）=（）A．0 B．1 C．D．5【考点】函数奇偶性的性质；函数的值．【分析】利用奇函数的定义、函数满足的性质转化求解函数在特定自变量处的函数值是解决本题的关键．利用函数的性质寻找并建立所求的函数值与已知函数值之间的关系，用到赋值法．【解答】解：由f（1）=，对f（x+2）=f（x）+f（2），令x=﹣1，得f（1）=f（﹣1）+f（2）．又∵f（x）为奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1）．于是f（2）=2f（1）=1；令x=1，得f（3）=f（1）+f（2）=，于是f（5）=f（3）+f（2）=．故选：C．8．高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班级学生数学考试成绩优秀和不优秀统计后，得到如表：A．0.600 B．0.828 C．2.712 D．6.004【考点】独立性检验的应用．【分析】本题考查的知识点是独立性检验公式，我们由列联表易得：a=11，b=34，c=8，d=37，代入K2的计算公式：K2=即可得到结果．【解答】解：由列联表我们易得：a=11，b=34，c=8，d=37则K2===0.6004≈0.60故选A9．已知函数f（x）=x|x|﹣2x，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数，递增区间是（0，+∞）B．f（x）是偶函数，递减区间是（﹣∞，1）C．f（x）是奇函数，递减区间是（﹣1，1）D．f（x）是奇函数，递增区间是（﹣∞，0）【考点】函数奇偶性的判断．【分析】根据奇函数的定义判断函数的奇偶性，化简函数解析式，画出函数的图象，结合图象求出函数的递减区间．【解答】解：由函数f（x）=x|x|﹣2x 可得，函数的定义域为R，且f（﹣x）=﹣x|﹣x|﹣2（﹣x ）=﹣x|x|+2x=﹣f（x），故函数为奇函数．函数f（x）=x|x|﹣2x=，如图所示：故函数的递减区间为（﹣1，1），故选C．10．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，a i∈{0，1}（i=0，1，2），传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0=a0⊕a1，h1=h0⊕a2，⊕运算规则为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（）A．11010 B．01100 C．10111 D．00011【考点】抽象函数及其应用．【分析】首先理解⊕的运算规则，然后各选项依次分析即可．【解答】解：A选项原信息为101，则h0=a0⊕a1=1⊕0=1，h1=h0⊕a2=1⊕1=0，所以传输信息为11010，A选项正确；B选项原信息为110，则h0=a0⊕a1=1⊕1=0，h1=h0⊕a2=0⊕0=0，所以传输信息为01100，B 选项正确；C选项原信息为011，则h0=a0⊕a1=0⊕1=1，h1=h0⊕a2=1⊕1=0，所以传输信息为10110，C 选项错误；D选项原信息为001，则h0=a0⊕a1=0⊕0=0，h1=h0⊕a2=0⊕1=1，所以传输信息为00011，D 选项正确；故选C．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=﹣1+i．【考点】复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算．【分析】由条件利用两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，计算求得结果．【解答】解：∵复数z满足（1﹣i）z=2i，则z====﹣1+i，故答案为：﹣1+i．12．函数y=的值域为{y|y≠2} ．【考点】函数的值域．【分析】函数y===2+，利用反比例函数的单调性即可得出．【解答】解：函数y===2+，当x＞1时，＞0，∴y＞2．当x＜1时，＜0，∴y＜2．综上可得：函数y=的值域为{y|y≠2}．故答案为：{y|y≠2}．13．若P=﹣1，Q=﹣，则P与Q的大小关系是P＞Q．【考点】不等式比较大小．【分析】利用作差法，和平方法即可比较大小．【解答】解：∵P=﹣1，Q=﹣，∴P﹣Q=﹣1﹣+=（+）﹣（+1）∵（+）2=12+2，（ +1）2=12+2∴+＞+1，∴P﹣Q＞0，故答案为：P＞Q14．已知变量x，y具有线性相关关系，测得（x，y）的一组数据如下：（0，1），（1，2），（2，4），（3，5），其回归方程为=1.4x+a，则a的值等于0.9．【考点】线性回归方程．【分析】求出横标和纵标的平均数，写出样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程，得到关于a的方程，解方程即可．【解答】解：∵==1.5，==3，∴这组数据的样本中心点是（1.5，3）把样本中心点代入回归直线方程，∴3=1.4×1.5+a，∴a=0.9．故答案为：0.9．15．已知函数则的值为﹣．【考点】函数的值；函数迭代．【分析】由题意可得=f（﹣）=3×（﹣），运算求得结果．【解答】解：∵函数，则=f（﹣）=3×（﹣）=﹣，故答案为﹣．16．按程序框图运算：若x=5，则运算进行4次才停止；若运算进行3次才停止，则x 的取值范围是（10，28] ．【考点】循环结构．【分析】本题的考查点是计算循环的次数，及变量初值的设定，在算法中属于难度较高的题型，处理的办法为：模拟程序的运行过程，用表格将程序运行过程中各变量的值进行管理，并分析变量的变化情况，最终得到答案．【解答】解：（1）程序在运行过程中各变量的值如下表示：x x 是否继续循环循环前5∥第一圈15 13 是第二圈39 37 是第三圈111 109 是第四圈327 325 否故循环共进行了4次；（2）由（1）中数据不难发现第n圈循环结束时，经x=（x0﹣1）×3n+1：x 是否继续循环循环前x0/第一圈（x0﹣1）×3+1 是第二圈（x0﹣1）×32+1 是第三圈（x0﹣1）×33+1 否则可得（x0﹣1）×32+1≤244且（x0﹣1）×33+1＞244解得：10＜x0≤28故答案为：4，（10，28]三、解答题（本大题共5小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）=log a（x+1）﹣log a（1﹣x），a＞0且a≠1．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明．【考点】函数奇偶性的判断；函数的定义域及其求法．【分析】（1）使函数各部分都有意义的自变量的范围，即列出不等式组，解此不等式组求出x范围就是函数的定义域；（2）根据函数奇偶性的定义进行证明即可．【解答】解：（1）由题得，使解析式有意义的x范围是使不等式组成立的x范围，解得﹣1＜x＜1，所以函数f（x）的定义域为{x|﹣1＜x＜1}．（2）函数f（x）为奇函数，证明：由（1）知函数f（x）的定义域关于原点对称，且f（﹣x）=log a（﹣x+1）﹣log a（1+x）=﹣log a（1+x）+log a（1﹣x）=﹣[log a（1+x）﹣log a （1﹣x）]=﹣f（x）所以函数f（x）为奇函数．18．命题p方程：x2+mx+1=0有两个不等的实根，命题q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实根．若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求m的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】先将命题p，q分别化简，然后根据若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，判断出p，q一真一假，分类讨论即可．【解答】解：由题意命题P：x2+mx+1=0有两个不等的实根，则△=m2﹣4＞0，解得m＞2或m＜﹣2，命题Q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实根，则△＜0，解得﹣3＜m＜﹣1，若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，则p，q一真一假，（1）当P真q假时：，解得m≤﹣3，或m＞2，（2）当P假q真时：，解得﹣2≤m＜﹣1，综上所述：m的取值范围为m≤﹣3，或m＞2，或﹣2≤m＜﹣1．19．在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？【考点】函数模型的选择与应用；基本不等式在最值问题中的应用．【分析】先设箱底边长为xcm，则箱高cm，得箱子容积，再利用导数的方法解决，应注意函数的定义域．【解答】解：设箱底边长为xcm，则箱高cm，得箱子容积（0＜x＜60）．（0＜x＜60）令=0，解得x=0（舍去），x=40，并求得V（40）=16 000由题意可知，当x过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值答：当x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm320．已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）把a的值代入f（x）中，求出f（x）的导函数，把x=1代入导函数中求出的导函数值即为切线的斜率，可得曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求出f（x）的导函数，分a大于等于0和a小于0两种情况讨论导函数的正负，进而得到函数的单调区间；（Ⅲ）对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），等价于f（x）max＜g（x）max，分别求出相应的最大值，即可求得实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由已知，f'（1）=2+1=3，所以斜率k=3，又切点（1，2），所以切线方程为y﹣2=3（x﹣1）），即3x﹣y﹣1=0故曲线y=f（x）在x=1处切线的切线方程为3x﹣y﹣1=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）①当a≥0时，由于x＞0，故ax+1＞0，f'（x）＞0，所以f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣②当a＜0时，由f'（x）=0，得．在区间上，f'（x）＞0，在区间上，f'（x）＜0，所以，函数f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅲ）由已知，转化为f（x）max＜g（x）max．g（x）=（x﹣1）2+1，x∈[0，1]，所以g （x）max=2由（Ⅱ）知，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，值域为R，故不符合题意．（或者举出反例：存在f（e3）=ae3+3＞2，故不符合题意．）当a＜0时，f（x）在上单调递增，在上单调递减，故f（x）的极大值即为最大值，，所以2＞﹣1﹣ln（﹣a），解得．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣21．在无穷数列{a n}中，a1=1，对于任意n∈N*，都有a n∈N*，且a n＜a n+1．设集合A m={n|a n ≤m，m∈N*}，将集合A m中的元素的最大值记为b m，即b m是数列{a n}中满足不等式a n≤m的所有项的项数的最大值，我们称数列{b n}为数列{a n}的伴随数列．例如：数列{a n}是1，3，4，…，它的伴随数列{b n}是1，1，2，3，…．（I）设数列{a n}是1，4，5，…，请写出{a n}的伴随数列{b n}的前5项；（II）设a n=3n﹣1（n∈N*），求数列{a n}的伴随数列{b n}的前20项和．【考点】数列的求和；数列的应用．【分析】（I）由{a n}伴随数列{b n}的定义可得前5项为1，1，1，2，3．（II）由a n=3n﹣1≤m，可得n≤1+log3m，m∈N*，分类讨论：当1≤m≤2时，m∈N*，b1=b2=1；当3≤m≤8时，m∈N*，b3=b4=…=b8=2；当9≤m≤20时，m∈N*，b9=b10=…=3；即可得出数列{a n}的伴随数列{b n}的前20项和．【解答】解：（Ⅰ）数列1，4，5，…的伴随数列{b n}的前5项1，1，1，2，3；（Ⅱ）由，得n≤1+log3m（m∈N*）．∴当1≤m≤2，m∈N*时，b1=b2=1；当3≤m≤8，m∈N*时，b3=b4=…=b8=2；当9≤m≤20，m∈N*时，b9=b10=…=b20=3．∴b1+b2+…+b20=1×2+2×6+3×12=50．2016年9月9日。
山西省2019-2020学年高二上学期10月联合考试数学(理)试题(含答案)
2019~2020学年山西省高二上学期10月联合考试数学（理科）考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上．3．本试卷主要考试内容：人教A 版立体几何、空间向量．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知空间向量()1,0,1=r a ，()1,1,n =r b ，且3⋅=r r a b ，则向量a r 与b r 的夹角为()A.π6B.π3C.π3或2π3D.π6或5π6【答案】A2.下列说法中正确的是() A. 圆锥的轴截面是等边三角形B. 用一个平面去截棱锥，一定会得到一个棱锥和一个棱台C. 将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所围成的几何体是由一个圆台和两个圆锥组合而成D. 有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱 【答案】D3.已知圆柱的轴截面为正方形，且圆柱的体积为54π，则该圆柱的侧面积为() A. 27π B. 36πC. 54πD. 81π【答案】B4.如图，某四边形的斜二测直观图是上底为2，下底为4，高为1的等腰梯形，则原四边形的面积为()A. 4B. C. 6D. 【答案】D5.设α，β为两个不同的平面，m ，n 为两条不同的直线，则下列判断正确的是() A. 若n α⊥，m α⊥，则m n ⊥ B. 若αβ∥，m α⊥，则m β⊥C. 若αβ⊥，l αβ=I ，m l ⊥，则m β⊥D. 若m n P ，m αP ，则n αP 【答案】B6.设1e r ，2e r ，3r e 为空间的三个不同向量，如果112233λλλ++=0rr r r e e e 成立的等价条件为1230λλλ===，则称1e r ，2e r ，3re 线性无关，否则称它们线性相关．若()2,1,3=-r a ，()1,0,2=r b ，()1,1,m =-r c 线性相关，则m =() A. 9 B. 7C. 5D. 3【答案】A7.在三棱柱111ABC A B C -中，11111B ABCABC A B CV V --=()A.18B.12C. 13D.16【答案】C8.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为()A.3B.3C.323D.643【答案】C9.把边长为2的正ABC ∆沿BC 边上的高线AD 折成直二面角，则点A 到BC 的距离是()A. 1B.2C.2D.4【答案】C10.在四面体PABC 中，PC PA ⊥，PC PB ⊥，22AP BP AB PC ====，则四面体PABC 外接球的表面积是() A.17π12B.19π12C.19π3D.17π3【答案】C11.已知三棱锥D ABC -的体积为3，且AB BC ⊥，AB =AD BC +=则三棱锥D ABC - 的表面积为()A. 2+B. 2+C. 2+D. 2+【答案】A12.如图,正方形ABCD 中,E F 、分别是AB BC 、的中点将,,ADE CDF BEF ∆V V 分别沿DE DF EF 、、折起,使、、A B C 重合于点P .则下列结论正确的是（ ）A. PD EF ⊥B. 平面PDE PDF ⊥平面C. 二面角P EF D --的余弦值为13D. 点P 在平面DEF 上的投影是DEF ∆的外心 【答案】ABC第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡中的横线上． 13.在空间直角坐标系O xyz -中，点()5,3,1A -关于y 轴的对称点的坐标为______． 【答案】()5,3,1---14.如图，PA ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，且PA AD =，E ，F 分别是线段PA ，CD 的中点，则异面直线EF 与BD 所成角的余弦值为______．15.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，且PA =．E 为棱BC 上的动点，若PE DE +，则PB =______． 【答案】316.在四面体PABC 中，PC PA ⊥，PC PB ⊥，22AP BP AB PC ====，则四面体PABC 外接球的表面积是_______． 【答案】19π3三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.已知正方体1111ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点.求证：（1）1//C O 面11AB D ； （2）1A C ⊥面11AB D ． (1)连结，设连结，Q是正方体四边形11ACC A 是平行四边形 ． ,∴A1C1∥AC 且．又分别是的中点，∴11C O //AO 且,四边形11AOC O 是平行四边形 ．11C O //AO ,1AO ⊂面，面11AB D ,∴1C O ∥面．（2）在正方体中，AA1⊥平面A1B1C1D1，11D B ⊂平面A1B1C1D1，111D B AA ⊥ ．在平面A1B1C1D1内，1111D B A C ⊥,1111AA A C A ⋂=，111A C A C ⊂面，11AA A C 面⊂,111D B A C ⊥面 ． 1111D B AB D ⊂面,面A1C⊥面AB1D1 ． 18.已知函数3()21f x x =-，()1g x x =-. （1）求解不等式()()f x g x …； （2）若12x >，求3()2()y f x g x =+的最小值. 解：（1）当12x >时，()()(21)(1)3f x g x x x ⇔--厔，解得122x <„. 当12x <时，()()(21)(1)3f x g x x x ⇔--厖，解得12x -„. 所以不等式解集为122xx ⎧<⎨⎩„或12x ⎫-⎬⎭„.（2）3()2()f xg x +91211222x x ⎛⎫=+-- ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭15=…， 当且仅当21492x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即2x =时取等号.19.已知函数()()21f x x m x m =-++．（1）当3m =时，求不等式()0f x >的解集；（2）若函数()f x 的图象与x 轴有两个交点，且两交点之间的距离不超过5，求m 的取值范围． 解：（1）当3m =时，()243f x x x =-+，则()0f x >等价于2430x x -+>， 解得1x <或3x >，故不等式()0f x >的解集为()(),13,-∞⋃+∞．（2）设()f x 的图象与x 轴的两个交点的横坐标分别为1x ，2x ，则1x ，2x 是方程()210x m x m -++=的两个根，由根与系数的关系得121x x m +=+，12x x m =．由题意可得125,0,x x ⎧-≤⎨∆>⎩即()222240,10,m m m ⎧--≤⎪⎨->⎪⎩ 解得41m -≤<或16m <≤． 故m 的取值范围为[)(]4,11,6-⋃.20.如图，在四棱锥P ABCD -中，平面ABCD ⊥平面PCD ，AD DC ⊥，PC PD ⊥，2PC PD AD ===，M 为PA 的中点．（1）证明：PC MD ⊥．（2）求二面角C MD P --的余弦值．（1）证明：因为平面ABCD ⊥平面PCD ，且平面ABCD I 平面PCD =CD ，又AD DC ⊥， 所以AD ⊥平面PCD ， 所以AD PC ⊥．又因为PC PD ⊥，AD PD D =I ， 所以PC ⊥平面PAD ． 又因为MD ⊂平面PAD ， 所以PC MD ⊥．（2）解：如图，设CD 的中点为O ，作OE CD ⊥交AB 于E ，连接OP ． 因为AD ⊥平面PCD ，所以EO ⊥平面PCD ，由PC PD ⊥，且PC PD =，可得OP ，OD ，OE 两两垂直，所以分别以OP ，OD ，OE 所在的直线为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则()A，()0,C，)P，()D，,22M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．所以DM ⎫=⎪⎪⎝⎭u u u u r，()0,CD =u u ur，()PD =u u u r ．设平面CMD 的一个法向量为(),,m x y z r=，由0DM ⋅=u u u u r r m ，0CD ⋅=u u ur r m，得20,0,z +==⎪⎩令x，得)1=-r m ．平面PMD 的一个法向量)CP =u u u r，所以cos ,CP CP CP⋅==u u u r r u u u r r u u u r r m m m由图可知，二面角C MD P --21.如图，在三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，底面BCD 是以BD 为斜边的等腰直角三角形，AB BD =，E 是线段AC 上一点．（1）若E 为AC 的中点，求直线AC 与平面BDE 所成角的正弦值．（2）是否存在点E ，使得平面BDE ⊥平面ADC ？若存在，请指出点E 的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．解：不妨设2AB =，在平面BCD 中作BF BD ⊥，以BF ，BD ，BA 所在的直线为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -，则()0,0,0B ，()0,0,2A ，()0,2,0D，()1,1,0C ．（1）因为点E 是AC 的中点，所以点E 的坐标为11,,122⎛⎫⎪⎝⎭．所以()1,1,2CA =--u u u r ，11,,122BE ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r ，()0,2,0BD =u u u r ．设(),,x y z =rp 是平面BDE 的法向量，则0,0,p BE p BD ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v r u u u v r 即110,2220.x y z y ⎧++=⎪⎨⎪=⎩ 取2x =，则1z =-，所以平面BDE 的一个法向量为()2,0,1=-rp ．所以cos ,CA CA CA ⋅==u u u r ru u u r r u u u r r p p p1221-⨯+⨯-=所以直线CA 与平面BDE （2）假设存在点E 使得平面BDE ⊥平面ADC ，设AE EC λ=⋅u u u r u u u r．显然()1,1,0CD =-u u u r ，()1,1,2CA =--u u u r．设()111,,m x y z =r是平面ACD 的法向量，则0,0,m CD m CA ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u uv r u u uv r 即111110,20.x y x y z -+=⎧⎨--+=⎩ 取11x =，则11y =，11z =，所以平面ACD 的一个法向量为()1,1,1m =r．因为AE EC λ=⋅u u u r u u u r ，所以点E 的坐标为2,,111λλλλλ⎛⎫ ⎪+++⎝⎭． 所以2,,111BE λλλλλ⎛⎫= ⎪+++⎝⎭u u u r ，()0,2,0BD =u u ur ． 设()222,,n x y z =r是平面BDE 的法向量，则0,0,n BE n BD ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v r u u u v r 即222220,11120.x y z y λλλλλ⎧++=⎪+++⎨⎪=⎩ 取21x =，则22z λ=-，所以平面BDE 的一个法向量为1,0,2λ⎛⎫=-⎪⎝⎭rn ． 因为平面BDE ⊥平面ADC ，所以m n ⊥r r ，即0m n ⋅=r r ，102λ-=，解得2λ=．所以λ的值为2，即当2AEEC=u u u r u u u r 时，平面BDE ⊥平面ADC ．22.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，AB CD ∥，AB AD ⊥，PA ⊥平面ABCD ，E 是棱PC 上一点．（1）证明：平面ADE ⊥平面PAB ．（2）若4PE EC =，O 为点E 在平面PAB上的投影，AD =22AB AP CD ===，求四棱锥P ADEO -的体积．（1）证明：因为PA ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以PA AD ⊥． 又AB AD ⊥，PA AB A =I ，所以AD ⊥平面PAB ． 又AD ⊂平面ADE ，所以平面ADE ⊥平面PAB ． （2）解：取AB中点F ，所以CF AD P ，则CF AB ⊥．又PA CF ⊥，PA AB A =I ，所以CF ⊥平面PAB ， 则EO CF P ，即O 点在线段PF 上．又4PE EC =，所以4PO OF =，4455OE CF AD ==， 则9955P ADEO P AOD D AOP V V V ---==，4455PAO PAF S S ==V V ，的13D AOP AOP V AD S -=⋅=V ，P ADEO V -=。
山西省运城市2019-2020学年数学高二第二学期期末质量检测试题含解析
山西省运城市2019-2020学年数学高二第二学期期末质量检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．α是第四象限角，5tan 12α=-,，则sin α=（ ） A ．15B ．15- C ．513D ．513-2．已知点O 是ABC ∆的外接圆圆心, 3,4AB AC ==.若存在非零实数,x y 使得AO x AB y AC =+且21x y +=,则cos BAC ∠的值为 （ ）A ．13B ．23C ．33D ．233．已知函数21()()(,)2xx f x e a e e aex b a b R =+--+∈在1x =时取得极大值，则a 的取值范围是（ ） A ．(,)e -∞-B ．(,0)-∞C ．(,0)e -D ．[0,)+∞4．设随机变量 ()2~3,1.5X N ，()40.7P X ≤=，则()2P X ≤=（ ）A ．0.3B ．0.4C ．0.2D ．0.15．已知复数2a ii--+是纯虚数i 是虚数单位)，则实数a 等于（ ） A ．-2B ．2C ．12-D ．126．已知a ，b 是两个向量，则“0a b ⋅=”是“0a =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．等比数列的前n 项和，前2n 项和，前3n 项的和分别为A ，B ，C ，则( ) A ．A B C += B ．2B AC =C ．()2A B C B +-=D ．()22A B A B C +=+8．从1，2，3，4这4个数中，不放回地任意取两个数，两个数都是偶数的概率是（ ） A ．16B ．C ．13D ．9．命题:p x R ∃∈，31x ≤-，则p ⌝为（） A ．x R ∃∈，31x >- B ．x R ∀∈，31x ≤- C ．x R ∀∈，31x >- D ．x R ∀∈，31x ≥-10．复数1i i-+等于（ ）A ．2i -B ．12i C ．0 D ．2i11．如表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A 产品过程中的记录的产量x 与相应的生产能耗y 的几组对应数据如图：根据下表数据可得回归方程9.49.1y x =+，那么表中m 的值为（ ）x4 23 5 y49m3954A ．27.9B ．25.5C ．26.9D ．2612．已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围是 A ．()2,+∞B ．()1,+∞C ．(),2-∞-D ．(),1-∞-二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，若(2)()f x f x +=-，(1)3f =，则(2018)(2019)f f +的值为__________． 14．已知∈R，设命题P ：2,10x R mx mx ∀∈++>；命题Q ：函数32()31f x x x m =-+-只有一个零点.则使“PQ ”为假命题的实数的取值范围为______.15．如图，将标号为1，2，3，4，5的五块区域染上红、黄、绿三种颜色中的一种，使得相邻区域(有公共边)的颜色不同，则不同的染色方法有______种.16．化简022436201820182018201820181(3332C C C C -+-10082016100920182018201833)C C +⋅⋅⋅+-=__________． 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．在直角坐标系xOy 中，已知倾斜角为α的直线l 过点A （2，1）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sinθ，直线l 与曲线C 分别交于P ，Q 两点． （1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程． （2）求｜AP ｜•｜AQ ｜的值．18．已知函数2()x x f x e =（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数2()()()1g x f x kf x =-+恰有四个零点，求实数k 的取值范围。