用一元二次方程解决几何图形问题含答案
用一元二次方程解决几何图形问题含答案
用一元二次方程解决几何图形问题含答案用一元二次方程解决几何图形问题基础题知识点1：一般图形的问题1.绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米。
设绿地的宽为x米，根据题意，可列方程为x(x+10)=900.2.从一块正方形的木板上锯掉2m宽的长方形木条，剩下的面积是48平方米，则原来这块木板的面积是64平方米。
3.一个直角三角形的两条直角边相差5cm，面积是7平方厘米，则它的两条直角边长分别为2cm和7cm。
4.一块矩形菜地的面积是120平方米，如果它的长减少2米，那么菜地就变成正方形，则原菜地的长是12米。
5.一个矩形周长为56厘米。
1) 当矩形面积为180平方厘米时，长、宽分别为18厘米和10厘米。
2) 不能围成面积为200平方厘米的矩形，因为方程y^2-28y+200=0无实数根。
知识点2：边框与甬道问题6.公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花，原空地一边减少了1米，另一边减少了2米，剩余空地的面积为18平方米。
求原正方形空地的边长，设原正方形空地的边长为x米，则可列方程为(x-1)(x-2)=18.7.在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644平方米，则道路的宽应为22米，因为可列方程为100×80-100x-80x=7644.10.某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2.设道路的宽为x m，则草坪的面积为(32-2x)(20-x)，因此正确的方程是A：(32-2x)(20-x)=570.11.在长为70 m，宽为40 m的长方形花园中，欲修宽度相等的观赏路(阴影部分所示)，要使观赏路面积占总面积的1/8，则路宽x应满足的方程是C：(40-2x)(70-3x)=2450.。
北师版九年级数学上册 第二章 一元二次方程 应用一元二次方程 第1课时 利用一元二次方程解决几何问题
12．如图，已知一艘轮船以 20 海里/时的速度由西向东航行，途中接到台风警 报，台风中心正以 40 海里/时的速度由南向北移动，距台风中心 20 10 海里的 圆形区域(包括边界)都属台风区．当轮船航行到 A 处时，测得台风中心移到位 于点 A 正南方向的 B 处，且 AB＝100 海里，若这艘轮船自 A 处按原速度继续 航行，在途中会不会遇到台风？若会，试求经过多长时间轮船最初遇到台风； 若不会，＝90°，AB＝5 cm，BC＝7 cm，点P 从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，同时点Q从点B开始沿 BC边向点C以2 cm/s的速度移动，当其中一点到达终点时，另外一点也 随之停止． (1)几秒后，△PBQ的面积等于4 cm2? (2)几秒后，PQ的长度等于5 cm? (3)△PBQ的面积能否等于7 cm2?
4．(2020·西藏)列方程(组)解应用题 某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下， 围一块面积为600 m2的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶 园一面靠墙，墙长35 m，另外三面用69 m长的篱笆围成，其中一边开有一扇1 m宽的门(不包括篱笆).求这个茶园的长和宽．
知识点二：用一元二次方程解决动态几何图形问题 5．如图，AB⊥CB，AB＝10 cm，BC＝8 cm，一只螳螂从A点出发， 以2 cm/s的速度向B爬行，与此同时，一只蝉从C点出发，以1 cm/s的速 度向B爬行，当螳螂和蝉爬行x s后，它们分别到达了点M，N的位置， 此时，△MNB的面积恰好为24 cm2，根据题意可得方程( D )
A.2x·x＝24 B．(10－2x)(8－x)＝24 C．(10－x)(8－2x)＝24 D．(10－2x)(8－x)＝48
6．(教材 P53 习题 2.9T2 变式)如图，在矩形 ABCD 中，AB＝6 厘米，BC＝12 厘米，点 P 从点 A 开始沿 AB 边向点 B 以 1 厘米/秒的速度移动(到点 B 终止)， 点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以 2 厘米/秒的速度移动(到点 C 终止)，若两
2023年九年级数学中考复习一元二次方程的应用 几何图形变换 面积问题 常考题型专题训练
2022-2023学年九年级数学中考复习一元二次方程的应用《几何图形变换+面积问题》常考题型专题训练（附答案）1．如图，一个长为acm，宽为bcm的矩形铁片．（1）如果a＝30，b＝20，在矩形的中央挖掉一个200cm2的矩形后，成为一个各条边一样宽的铁框，求这个铁框的宽度；（2）如果a＝2b，在四个角上分别裁掉四个边长为4cm的正方形，把它制作成一个体积为4576cm3的无盖长方体，求原矩形的面积．2．如图，用一面足够长的墙为一边，其余三边用总长36米的围栏建两个面积相同的生态园，由于场地限制，垂直于墙的一边长不超过6米．（围栏宽忽略不计）（1）每个生态园的面积为48平方米，求每个生态园的边长；（2）每个生态园的面积能否达到60平方米？请说明理由．3．为庆祝中国共产党成立100周年，某市举办了“学党史感党恩跟党走”建党100周年文艺汇演主题活动，活动前，主办方工作人员准备利用一面墙（墙的最大可利用长度为26米）作为一边，用48米隔栏绳作为另三边，设立一个面积为300平方米的矩形表演区，如图，为了方便进出，在两边空出两个各为1米的出入口（出入口不用隔栏绳），那么围成的这个矩形ABCD的长与宽分别是多少米呢？4．将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？（2）两个正方形的面积之和是否存在最小值？若存在，请求出最小值及此时两段铁丝的长度；若不存在，请说明理由．5．如图，一个边长为8m的正方形花坛由4块全等的小正方形组成．在小正方形ABCD中，点G，E，F分别在CD，AD，AB上，且DG＝1m，AE＝AF＝x，在△AEF，△DEG，五边形EFBCG三个区域上种植不同的花卉，每平方米的种植成本分别是20元、20元、10元．（1）当x＝2时，小正方形ABCD种植花卉所需的费用；（2）试用含有x的代数式表示五边形EFBCG的面积；（3）当x为何值时，大正方形花坛种植花卉所需的总费用是715元？6．学校准备利用操场开元旦晚会，师生坐在足球场区域，已知足球场宽度为72m（观众席不一定要占满球场宽度），其他三边利用总长为140m的移动围栏围成一个矩形的观众席，并在观众席内按行、列，摆放单人座椅，要求每个座位占地面积为1m2（如图所示），且观众席内的区域恰好都安排了座位．（1）若观众席内有x行座椅，用含x的代数式表示每行的座椅数，并求x的最小值；（2）若全校师生共2400人，那么座位够坐吗？请说明理由．7．某牧场准备利用现成的一堵“7”字形的墙面（粗线A﹣B﹣C表示墙面）建饲养场，已知AB⊥BC，AB＝3米，BC＝15米，现计划用总长为38米的篱笆围建一个“日”字形的饲养场BDEF，并在每个区域开一个宽2米的门，如图（细线表示篱笆，饲养场中间用篱笆GH隔开），点F可能在线段BC上，也可能在线段BC的延长线上．（1）如图1，当点F在线段BC上时，①设EF的长为x米，则DE＝米；（用含x的代数式表示）②若围成的饲养场BDEF的面积为132平方米，求饲养场的宽EF的长；（2）如图2，当点F在线段BC延长线上，所围成的饲养场BDEF的面积能否为156平方米？如果能达到，求出EF的长；如果不能，请说明理由．8．如图①，某校进行校园改造，准备将一块正方形空地划出部分区域栽种鲜花，原空地一边减少了4m，另一边减少了5m，剩余部分面积为650m2．（1）求原正方形空地的边长；（2）在实际建造时，从校园美观和实用的角度考虑，按图②的方式进行改造，先在正方形空地一侧建成1m宽的画廊，再在余下地方建成宽度相等的两条小道后，其余地方栽种鲜花，如果栽种鲜花区域的面积为812m2，求小道的宽度．9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点D从点C开始沿CA边运动，速度为1cm/s，与此同时，点E从点B开始沿BC边运动，速度为2cm/s，当点E到达点C时，点D同时停止运动，连接AE，设运动时间为ts，△ADE的面积为S．（1）是否存在某一时刻t，使DE∥AB？若存在，请求出此时刻t的值，若不存在，请说明理由．（2）点D运动至何处时，S＝S△ABC？10．如图，在矩形ABCD中、AB＝15cm，AD＝5cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以2cm/s的速度向点D移动（点P停止移动时，点Q也停止移动）．设移动时间为t（s）．连接PQ，QB．（1）当t为何值时，P、Q两点间的距离为13cm？（2）四边形APQD的形状可能为矩形吗？若可能，求出t的值；若不可能，请说明理由．11沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动．如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动的时间为ts，求：（1）用含t的代数式表示Rt△CPQ的面积S；（2）当t＝3秒时，这时，P、Q两点之间的距离是多少？（3）当t为多少秒时，S＝S△ABC？12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动．（1）如果P，Q同时出发，几秒钟后，可使PQ的长为4厘米？（2）点P，Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半．若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由．13．如图A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B点为止，点Q以2m/s的速度向D点移动，当点P到达B点时点Q随之停止运动．（1）AP＝，BP＝，CQ＝，DQ＝（用含t的代数式表示）；（2）t为多少时，四边形PBCQ的面积为33cm2；（3）t为多少时，点P和点Q的距离为10cm．14．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6厘米，BC＝8厘米．点P从A点开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动（到达点B即停止运动），点Q从B点开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动（到达点C即停止运动）．（1）如果P、Q分别从A、B两点同时出发，经过几秒钟，△PBQ的面积等于△ABC的三分之一？（2）如果P、Q两点分别从A、B两点同时出发，而且动点P从A点出发，沿AB移动（到达点B即停止运动），动点Q从B出发，沿BC移动（到达点C即停止运动），几秒钟后，P、Q相距6厘米？15．已知：如图，△ABC是边长为3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间t（s），解答下列各问题：（1）经过秒时，求△PBQ的面积；（2）当t为何值时，△PBQ是直角三角形？（3）是否存在某一时刻t，使四边形APQC的面积是△ABC面积的三分之二？如果存在，求出t的值；不存在请说明理由．16．如图，已知矩形ABCD的边长AB＝3cm，BC＝6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s 的速度向A点匀速运动，问：（1）经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？（2）是否存在时间t，使△AMN的面积达到3.5cm2？若存在，求出时间t；若不存在，说明理由．17．在Rt△ABC中，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从A点出发以每秒1个单位长的速度向C 点移动，点Q从C点出发以每秒2个单位长的速度向点B移动，点P、Q分别从起点同时出发，移动到某一位置所用的时间为t秒（1）当时间t＝3时，求线段PQ的长；（2）当移动时间t等于何值时，△PCQ的面积为8cm2？（3）点D为AB的中点，连接CD，移动P、Q能否使PQ、CD互相平分？若能，求出点P、Q移动时间t的值；若不能，请说明理由．18．如图，AO＝BO＝6厘米，OC是一条射线，OC⊥AB．一动点P从点A以1厘米/秒的速度向点B爬行，另一动点Q从点O以2厘米/秒的速度沿射线OC方向爬行，它们同时出发，当点P到达B点时点Q也停止运动．设运动时间为t秒．（1）直接写出OQ＝（用t的代数式）．（2）经过多少秒，△POQ的面积为8平方厘米．（3）当t＝时，△PBQ为等腰三角形（直接写出答案）19．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，一动点P从点A出发沿边AC 向点C以1cm/s的速度运动，另一动点Q同时从点C出发沿CB边向点B以2cm/s的速度运动．问：（1）运动几秒时，△CPQ的面积是8cm2？（2）运动几秒时，△CPQ与△ABC相似？20．在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以1cm/秒的速度移动，同时，点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/秒的速度移动．如果P、Q 两点在分别到达B、C两点后就停止移动，回答下列问题：（1）运动开始后第几秒时，△PBQ的面积等于8cm2？（2）设运动开始后第t秒时，五边形APQCD的面积为Scm2，写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；写出t为何值时，s的值最小．（3）当t＝时，试判断△DPQ的形状．（4）计算四边形DPBQ的面积，并探索一个与计算结果有关的结论．参考答案1．解：（1）设这个铁框的宽度为xcm，根据题意可得：（30﹣2x）（20﹣2x）＝200，解得：x1＝5，x2＝20（不合题意舍去），答：这个铁框的宽度为5cm；（2）由题意可得：4（a﹣8）（b﹣8）＝4576，则4（2b﹣8）（b﹣8）＝4576，解得：b1＝30，b2＝﹣18（不合题意舍去），则a＝30×2＝60（cm），故ab＝30×60＝1800（cm2），答：原矩形的面积为1800cm2．2．解：（1）设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为米，根据题意得：x•＝48，整理得：x2﹣12x+32＝0，解得：x1＝4，x2＝8（不符合题意，舍去），∴＝＝12．答：每个生态园的长为12米，宽为4米．（2）每个生态园的面积不能达到60平方米，理由如下：设垂直于墙的一边长为y米，则平行于墙的一边长为米，根据题意得：y•＝60，整理得：y2﹣12y+40＝0，∵Δ＝（﹣12）2﹣4×1×40＝﹣16＜0，∴该方程没有实数根，即每个生态园的面积不能达到60平方米．3．解：设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为（48+2﹣2x）米，根据题意得：x（48+2﹣2x）＝300，整理得：x2﹣25x+150＝0，解得：x1＝10，x2＝15，当x＝10时，48+2﹣2x＝48+2﹣2×10＝30＞26，不符合题意，舍去；当x＝15时，48+2﹣2x＝48+2﹣2×15＝20＜26，符合题意．答：围成的这个矩形ABCD的长为20米，宽为15米．4．解：（1）设其中一段铁丝长为xcm（0＜x≤10），则另一段铁丝长为（20﹣x）cm，根据题意得：（）2+（）2＝17，整理得：x2﹣20x+64＝0，解得：x1＝4，x2＝16（不符合题意，舍去），∴20﹣x＝20﹣4＝16．答：这段铁丝剪成两段后的长度分别是4cm，16cm．（2）设其中一段铁丝长为acm（0＜a≤10），则另一段铁丝长为（20﹣a）cm，两个正方形的面积之和为wcm2，根据题意得：w＝（）2+（）2，即w＝（a﹣10）2+，∵＞0，∴当a＝10时，w取得最小值，此时20﹣a＝20﹣10＝10，答：两个正方形的面积之和存在最小值，此时两段铁丝的长度均为10cm．5．解：（1）若x＝2，则DE＝2，∴S△AEF＝AE×AF＝2，S△DFG＝DG×DF＝×1×2＝1，∴S五边形EFBCG＝S正方形ABCD﹣S△AEF﹣S△DFG＝16﹣×4﹣2+×1＝13．∴所需费用为：20×2+20×1+10×13＝190（元）；（2）设AE＝AF＝x米，则DF＝（4﹣x）米．∴S△AEF＝AE×AF＝x2，S△DFG＝DG×DF＝×1×（4﹣x）＝2﹣x，∴S五边形EFBCG＝S正方形ABCD﹣S△AEF﹣S△DFG＝16﹣x2﹣2+x＝﹣x2+x+14，（3）根据题意得4×[20×x2+20×（2﹣x）+10×（﹣x2+x+14）]＝715，整理得4x2﹣4x+1＝0，解得x1＝x2＝．答：当AE＝AF＝米时，正方形花坛种植花卉所需的总费用是715元．6．解：（1）∵移动围栏的总长为140m，且观众席内有x行座椅，∴每行的座椅数为（140﹣2x）个．∵140﹣2x≤72，∴x≥34，∴x的最小值为34．（2）座位够坐，理由如下：依题意得：x（140﹣2x）＝2400，整理得：x2﹣70x+1200＝0，解得：x1＝30（不符合题意，舍去），x2＝40，∴若全校师生共2400人，那么座位够坐．7．解：（1）①设EF的长为x米，则DE＝38+2+2﹣（3x﹣3）＝（45﹣3x）（米）．故答案为：（45﹣3x）．②依题意得：x（45﹣3x）＝132，整理得：x2﹣15x+44＝0，解得：x1＝4，x2＝11．当x＝4时，45﹣3x＝45﹣3×4＝33＞15，不合题意，舍去；当x＝11时，45﹣3x＝45﹣3×11＝12＜15，符合题意．答：饲养场的宽EF的长为11米．（2）不能达到，理由如下：设EF的长为y米，则DE＝＝米，依题意得：y•＝156，整理得：y2﹣20y+104＝0，∵Δ＝（﹣20）2﹣4×1×104＝﹣16＜0，∴该方程没有实数根，即当点F在线段BC延长线上，所围成的饲养场BDEF的面积不能达到156平方米．8．解：（1）设原正方形空地的边长为xm，则剩余部分长（x﹣4）m，宽（x﹣5）m，依题意得：（x﹣4）（x﹣5）＝650，整理得：x2﹣9x﹣630＝0，解得：x1＝30，x2＝﹣21（不合题意，舍去）．答：原正方形空地的边长为30m．（2）设小道的宽度为ym，则栽种鲜花的区域可合成长（30﹣y）m，宽（30﹣1﹣y）m 的矩形，依题意得：（30﹣y）（30﹣1﹣y）＝812，整理得：y2﹣59y+58＝0，解得：y1＝1，y2＝58（不合题意，舍去）．答：小道的宽度为1m．9．解：（1）存在，理由如下：假设存在某一时刻t，使DE∥AB，∴＝，∵AC＝6，BC＝8，CD＝t，CE＝8﹣2t，∴＝，∴t＝，符合题意（t最大为8÷2＝4秒），∴存在某一时刻t＝秒，使DE∥AB；（2）设运动t秒时，S＝S△ABC，根据图示可知，S＝S△ACE﹣S△DCE＝S△ABC，∵S△ABC＝AC•CB＝×6×8＝24平方厘米，S△ACE＝AC•CE＝×6×（8﹣2t）＝（24﹣6t）平方厘米，S△DCE＝CD•CE＝t（8﹣2t）＝（4t﹣t2）平方厘米，∴S＝（24﹣6t）﹣（4t﹣t2）＝24﹣6t﹣4t+t2＝（t2﹣10t+24）平方厘米，∴S＝S△ABC，∴t2﹣10t+24＝×24，解一元二次方程得：t1＝7，t2＝3，∵点E到达点C时，点D同时停止运动，在整个运动过程中0≤t≤4，∴t＝3秒符合题意，∴此时CD＝3（cm），∴CD＝3cm时，S＝S△ABC．10．解：（1）设出发t秒后P、Q两点间的距离是13cm．则AP＝3t，CQ＝2t，作QM⊥AB于M，则PM＝|15﹣2t﹣3t|＝|15﹣5t|，（15﹣5t）2+52＝132，解得：t＝0.6或t＝5.4，答：P、Q出发0.6和5.4秒时，P，Q间的距离是13cm；（2）四边形APDQ的形状有可能为矩形；理由：当四边形APQD为矩形，则AP＝DQ，即3t＝15﹣2t，解得：t＝3．答：当P、Q出发3秒时四边形APQD为矩形．11．解：（1）若运动的时间为ts，则CP＝（20﹣4t）cm，CQ＝2tcm，∴S＝CP•CQ＝（20﹣4t）×2t＝20t﹣4t2．又∵，∴0≤t≤5．∴Rt△CPQ的面积S＝20t﹣4t2（0≤t≤5）．（2）当t＝3时，CP＝20﹣4t＝20﹣4×3＝8（cm），CQ＝2t＝2×3＝6（cm），∴PQ＝＝＝10（cm）．（3）依题意得：20t﹣4t2＝××15×20，整理得：t2﹣5t+6＝0，解得：t1＝2，t2＝3．∴t为2或3时，S＝S△ABC．12．解：（1）设x秒钟后，可使PQ的长为4cm，由题意得：（6﹣x）2+（2x）2＝（4）2，解得：x＝2或x＝，答：P、Q同时出发2或秒钟后，可使PQ的长为4厘米；（2）不存在．理由：设y秒时，△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半，由题意得：（6﹣y）•2y＝×6×8，整理，得y2﹣6y+12＝0，∵Δ＝36﹣4×12＜0，∴方程无解，即：不存在．13．解：（1）当运动时间为ts时，AP＝3tcm，BP＝（16﹣3t）cm，CQ＝2tcm，DQ＝（16﹣2t）cm．故答案为：3tcm；（16﹣3t）cm；2tcm；（16﹣2t）cm．（2）依题意得：[（16﹣3t）+2t]×6＝33，整理得：16﹣t＝11，解得：t＝5.答：当t为5时，四边形PBCQ的面积为33cm2．（3）过点Q作QE⊥AB于点E，则PE＝|（16﹣3t）﹣2t|＝|16﹣5t|，如图所示．依题意得：|16﹣5t|2+62＝102，即（16﹣5t）2＝82，解得：t1＝，t2＝．答：当t为或时，点P和点Q的距离为10cm．14．解：（1）设t秒后，△PBQ的面积等于△ABC的三分之一，根据题意得：×2t（6﹣t）＝××6×8，解得：t＝2或4．答：2秒或4秒后，△PBQ的面积等于△ABC的三分之一．（2）设x秒时，P、Q相距6厘米，根据题意得：（6﹣x）2+（2x）2＝36，解得：x＝0（舍去）或x＝．答：秒时，P、Q相距6厘米．15．解：（1）经过秒时，AP＝cm，BQ＝cm，∵△ABC是边长为3cm的等边三角形，∴AB＝BC＝3cm，∠B＝60°，∴BP＝3﹣＝cm，∴△PBQ的面积＝BP•BQ•sin∠B＝×××＝；（2）设经过t秒△PBQ是直角三角形，则AP＝tcm，BQ＝tcm，△ABC中，AB＝BC＝3cm，∠B＝60°，∴BP＝（3﹣t）cm，△PBQ中，BP＝（3﹣t）cm，BQ＝tcm，若△PBQ是直角三角形，则∠BQP＝90°或∠BPQ＝90°，当∠BQP＝90°时，BQ＝BP，即t＝（3﹣t），t＝1（秒），当∠BPQ＝90°时，BP＝BQ，3﹣t＝t，t＝2（秒），答：当t＝1秒或t＝2秒时，△PBQ是直角三角形．（3）过P作PM⊥BC于M，△BPM中，sin∠B＝，∴PM＝PB•sin∠B＝（3﹣t），∴S△PBQ＝BQ•PM＝•t•（3﹣t），∴y＝S△ABC﹣S△PBQ＝×32×﹣×t×（3﹣t）＝t2﹣t+，∴y与t的关系式为y＝t2﹣t+，假设存在某一时刻t，使得四边形APQC的面积是△ABC面积的，则S四边形APQC＝S△ABC，∴t2﹣t+＝××32×，∴t2﹣3t+3＝0，∵（﹣3）2﹣4×1×3＜0，∴方程无解，∴无论t取何值，四边形APQC的面积都不可能是△ABC面积的．16．解：（1）设经过ts，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的，则DN＝2tcm，AM＝tcm，AN＝AD﹣DN＝（6﹣2t）cm，∴AN•AM＝AD•AB，即（6﹣2t）t＝×6×3，整理得：t2﹣3t+2＝0，即（t﹣1）（t﹣2）＝0，解得：t1＝1，t2＝2，则经过1s或2s，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的；（2）不存在，理由为：假设存在时间ts，使△AMN的面积达到3.5cm2，则AN•AM＝3.5，整理得：2t2﹣6t+7＝0，∵Δ＝36﹣56＝﹣20＜0，∴方程没有实数根，则△AMN的面积不能达到3.5cm2．17．解：（1）∵AP＝t，CQ＝2t，∴t＝3时，AP＝3，CQ＝6，∴PC＝6﹣3＝3在Rt△PCQ中，由勾股定理，得PQ＝＝3．答：PQ＝3；（2）∵AP＝t，CQ＝2t，∴PC＝6﹣t．∴（6﹣t）×2t＝8，解得：t1＝2，t2＝4．（3）PQ、CD不互相平分．当PQ、CD互相平分，∴四边形PCQD是平行四边形，∴PD∥CQ．PD＝CQ．∵点D为AB的中点，∴P是AC的中点，∴AP＝AC＝3，PD＝CQ＝BC＝4．∴t＝≠．∴PQ、CD不互相平分．18．解：（1）由函数图象，得OQ＝2t，故答案为：2t；（2）当P在AO上，，解得：t1＝2，t2＝4．∵t1＝2，t2＝4在0＜t＜6范围内，∴t1＝2，t2＝4．P在BO上，＝8，解得：t3＝3+，t4＝3﹣．∵t3＝3+在6＜t＜12范围内，∴t3＝3+；（3）在Rt△BOQ中，由勾股定理，得BQ2＝4t2+36，BP＝12﹣t，BP2＝144﹣24t+t2，∵△PBQ是等腰三角形，∴PB＝BQ，∴PB2＝BQ2，∴4t2+36＝144﹣24t+t2，解得：t1＝﹣4+2，t2＝﹣4﹣2（舍去）．当PB＝PQ时，BP2＝144﹣24t+t2，PQ2＝4t2+（6﹣t）2，t1＝，t2＝（舍去）．故答案为：﹣4+2或．19．解：（1）设x秒后，可使△CPQ的面积为8cm2．由题意得，AP＝xcm，PC＝（6﹣x）cm，CQ＝2xcm，则（6﹣x）•2x＝8，整理，得x2﹣6x+8＝0，解得x1＝2，x2＝4．则P、Q同时出发，2秒或4秒后可使△CPQ的面积为8cm2（2）设运动y秒时，△CPQ与△ABC相似．若△CPQ∽△CAB，则＝，即＝，解得y＝2.4秒；若△CPQ∽△CBA，则＝，即＝，解得y＝秒．综上所述，运动2.4秒或秒时，△CPQ与△ABC相似．20．解：（1）设经过t秒，△PBQ的面积等于8cm2则：BP＝6﹣t，BQ＝2t，所以S△PBQ＝×（6﹣t）×2t＝8，即t2﹣6t+8＝0，可得：t＝2或4，即经过2秒或4秒，△PBQ的面积等于8cm2．（2）根据（1）中所求出的S△PBQ＝PB•BQ＝×（6﹣t）×2t，整理得S△PBQ＝﹣t2+6t（0＜t＜6）．则S五边形APQCD＝S矩形ABCD﹣S△PBQ＝72﹣（﹣t2+6t）＝t2﹣6t+72＝（t﹣3）2+63（0＜t ＜6），当t＝﹣＝3时，S五边形APQCD＝63，故当t＝3秒，五边形APQCD的面积最小，最小值是63cm2，（3）当t＝1.5s时，AP＝1.5，BP＝4.5，CQ＝9，∴DP2＝146.25，PQ2＝29.25，DQ2＝117，∴PQ2+DQ2＝DP2，∴△DPQ为Rt△；（4）S DPBQ＝6×12﹣t×12﹣×6（12﹣2t），＝72﹣36，＝36，∴四边形DPBQ的面积是固定值36．。
一元二次方程解决几何图形问题
如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙 的最大可用长度a为10米），围成中间隔有一道 篱笆的长方形花圃。设花圃的宽AB为x米，面积 为S米2， （1）求S与x的函数关系式;（2）如果要围成面 积为45米2的花圃，AB的长是多少米？
解：(1)设宽AB为x米，则BC为(24-3x)米，
S=x(24-3x)=-3x2+24x (2)由题意得 -3x2+24x=45
解：(1)设AB长为x米，则BC为(40-2x)米，得
x (40-2x) = 128
解：(1)设AB长为x米，则BC为(40-2x)米，得
x (40-2x) = 128 2x2-40x+128=0
x2-20x+64=0 解得x1=4，x2=16 当x1=4 时，40-2x=32>15，（舍去） 当x2=16 时，40-2x=8<15。 答：花圃的宽AB为16米
要设计一本书的封面,封面长27 ㎝,宽21㎝,正中央是一个与整个封 面长宽比例相同的矩形,如果要使四 周的边衬所占面积是封面面积的四 分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬 等宽,应如何设计四周边衬的宽度?
解：设上、下边衬的宽均为9x cm，左、右边 衬的宽均为7x cm.则中央矩形的长为（27-18x) cm，宽为（21-14x）cm，由题意得
(27-18x)(21-14x)=
3 4
27 21
整理，得
16x2-48x+9=0
解得 x 1
63 4
3
（舍去3
上、下边衬的宽均为_____cm,左、右边衬的宽均为_____cm.
方程的哪一个根 更符合实际
意义？为什么？
如果换一种设 未知数的方法， 是否可以更简 单的解决上面
一元二次方程解决几何问题
一元二次方程解决几何问题
一元二次方程是一种形式为ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b和c是实数，而x是未知数。
它可以用于解决许多几何问题，如以下几个例子：
1. 高度和时间问题：假设一颗物体从一个高度h开始自由下落，利用物体的自由落体运动公式可以得到一个关于时间t的二次方程，通过解方程可以确定物体落地的时间点。
2. 路程和时间问题：假设一个物体以某个速度v在直线上运动，利用物体的匀速运动公式可以得到一个关于时间t的一次方程，通过解方程可以确定物体达到某个距离的时间点。
3. 面积问题：对于某些几何图形，如矩形、正方形和圆等，可以通过设定面积为某个值的条件，建立相应的二次方程来求解图形的尺寸。
这只是一些常见的例子，实际上，一元二次方程在几何问题中具有广泛的应用。
一元二次方程应用题(几何图形面积问题)
解题思路
假设长方形的长为l，宽为w， 通过列方程建立方程组，然后 求解得出面积。
解答与解析
通过解方程组，得出长方形的 长、宽和面积的具体数值，详 细解析计算过程和答案。
实例3 ：三角形面积问题
问题提出
已知直角三角形的斜边长度为c， 某一直角边的长度为a，求三角形 的面积。
解题思路
根据已知条件，利用勾股定理和三 角形面积公式建立方程，然后求解 得出面积。
一元二次方程应用题(几 何图形面积问题)
本演示将介绍一元二次方程的应用，特别是在解决几何图形面积问题时的应 用。通过精彩的实例和深入的讲解，帮助你全面理解和掌握这一知识点。
一元二次方程介绍
简要介绍一元二次方程的概念、形式和解法方法，以及元二次方程解决几何图形的面积问题，通过代入、求解方程， 计算各种图形的面积。
解答与解析
通过解方程和应用三角形面积公式， 得出三角形的面积的具体数值，详 细解析计算过程和答案。
总结与实践建议
总结一元二次方程在解决几何图形面积问题中的应用要点，并提供一些建议和实践步骤，以帮助你更好地掌握这一 知识。
实例1：正方形面积问题
1
问题提出
给定正方形的对角线长度为d，求正方形的面积。
2
解题思路
假设正方形的边长为x，利用勾股定理建立方程，然后求解得出面积。
3
解答与解析
通过解方程，得出正方形的边长和面积的具体数值，详细解析计算过程和答案。
实例2 ：长方形面积问题
问题提出
已知长方形的周长为P，求长方 形的面积。
列一元二次方程解几何图形问题
列一元二次方程解几何图形问题代数、几何的综合题一直是中考的热点，用代数方法解几何问题，是初中数学的一种重要思想.在解几何题时，如果能根据几何问题中的数量关系，恰当地建立一元二次方程模型，并借助一元二次方程的相关知识来求解，定能收到事半功倍的效果.下面举例说明.一、利用勾股定理建立一元二次方程模型例1.（深圳中考题）在△ABC 中，AB 边上的中线CD=3，AB=6，BC+AC=8，则△ABC 的面积为______________________.分析：对于本题，先画出图形，判断出△ABC 为直角三角形后，再利用勾股定理建立一元二次方程模型求边长.解：如图，在△ABC 中，CD 是AB 边上的中线，∵ CD=3，AB=6，∴AD=BD=3，∴CD=AD=BD.∴∠A=∠ACD ，∠B=∠BCD.∵∠A ＋∠B ＋∠ACD ＋∠BCD=180°.∴∠A ＋∠B=90°.∴△ABC 为直角三角形，∴AC 2＋BC 2=AB 2=36.又∵BC+AC=8，∴设BC 的长为x ，则8AC x =-.∴22(8)36x x -+=，整理，得28140x x -+=.解得4x =.∴4BC =，4AC =或4BC =，4AC =. ∴12ABC S BC ∆=·1(472AC =+=. 说明：本题主要考查直角三角形中线的有关性质、一元二次方程的相关知识以及综合分析、解答问题的能力.二、利用面积公式建立一元二次方程模型例2. （辽宁十一市中考题）如图，在宽为20m ，长为32m 的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为2540m ，求道路的宽．（部分参考数据：2321024=，2522704=，2482304=）分析：本题是一道典型的列一元二次方程解决的实际应用问题.下面从两个角度给出如下的解法.解法（1）：由题意转化为右图，设道路宽为x 米.根据题意，可列出方程为()()2032540x x --=.整理得2521000x x -+=.解得150x =（舍去），22x =.答：道路宽为2米.解法（2）：由题意转化为右图，设道路宽为x 米，根据题意列方程得： ()220322032540x x ⨯-++=.整理得：2521000x x -+=.解得：12x =，250x =（舍去）.答：道路宽应是2米.说明：把不规则的图形转化为规则的图形是解决这类问题的关键所在，同时整体代换的思想方法在解题中起着化难为易的作用，同学们应该既能理解它，又会应用它.。
一元二次方程应用题(几何图形面积问题)
(32 2x)(20 2x) 570 化简得，x2 36x 35 0
(x 35)(x 1) 0 x1 35, x2 1
其中的 x=35超出了原矩形的宽，应舍去.
答:道路的宽为1米.
例3. (2003年,舟山)如图，有长为24米的篱笆，一面 利用墙（墙的最大可用长度a为10米），围成中间隔 有一道篱笆的长方形花圃。设花圃的宽AB为x米， 面积为S米2， （1）求S与x的函数关系式;（2）如果要围成面积为 45米2的花圃，AB的长是多少米？
例1. 镜框有多宽?
一块四周镶有宽度相等的花边的镜框如下图，它的 长为8m，宽为5m．如果镜框中央长方形图案的面积为 18m2 ，则花边多宽? 解：设镜框的宽为xm ，则镜框中央长方形图案的长 为（8－2x）m, 宽为（5－2x） m,得
8
x
x
x
（8－2x）
5
１８m2
x
例1. 镜框有多宽?
一块四周镶有宽度相等的花边的镜框如下图，它的
例2：在一块长80米，宽60米的运动场 外围修筑了一条宽度相等的跑道，这 条跑道的面积是1500平方米，求这条 跑道的宽度。
列一元二次方程解应题
补充练习： 1、（98年北京市崇文区中考题）如图，有一面 积是150平方米的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙 （墙长18米），墙对面有一个2米宽的门，另三边 （门除外）用竹篱笆围成，篱笆总长33米．求鸡 场的长和宽各多少米？
例1 在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm, 点P从点A开始以1cm/s的速度沿AB边向点 B移动,点Q从点B开始以2cm/s的速度沿BC 边向点C移动,如果P、Q分别从A、B同时出 发，几秒后⊿ PBQ的面积等于8cm2？
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用一元二次方程解决几何图形问题
基础题
知识点1一般图形的问题
1．(衡阳中考)绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米．设绿地的宽为x米，根据题意，可列方程为(B)
A．x(x－10)＝900 B．x(x＋10)＝900
C．10(x＋10)＝900 D．2[x＋(x＋10)]＝900 2．(山西农业大学附中月考)从一块正方形的木板上锯掉2 m宽的长方形木条，剩下的面积是48 m2，则原来这块木板的面积是(B) A．100 m2B．64 m2
C．121 m2 D．144 m2
3．一个直角三角形的两条直角边相差5 cm，面积是7 cm2，则它的两条直角边长分别为2__cm，7__cm．
4．(宿迁中考)一块矩形菜地的面积是120 m2，如果它的长减少2 m，那么菜地就变成正方形，则原菜地的长是12m.
5．(深圳中考)一个矩形周长为56厘米．
(1)当矩形面积为180平方厘米时，长、宽分别为多少？
(2)能围成面积为200平方厘米的矩形吗？请说明理由．
解：(1)设矩形的长为x厘米，则宽为(28－x)厘米，依题意，有
x(28－x)＝180.
解得x1＝10(舍去)，x2＝18.
则28－x＝28－18＝10.
答：长为18厘米，宽为10厘米．
(2)设矩形的长为y厘米，则宽为(28－y)厘米，依题意，有
y(28－y)＝200.
化简，得y2－28y＋200＝0.
∴Δ＝282－4×200＝784－800＝－16＜0.
∴原方程无实数根．
故不能围成一个面积为200平方厘米的矩形．
知识点2边框与甬道问题
6．(兰州中考)公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花(如图)，原空地一边减少了1 m，另一边减少了2 m，剩余空地的面积为18 m2，求原正方形空地的边长，设原正方形空地的边长为x m，则可列方程为(C)
A．(x＋1)(x＋2)＝18
B．x2－3x＋16＝0
C．(x－1)(x－2)＝18
D．x2＋3x＋16＝0
7．如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等
且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7 644平方米，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为(C) A．100×80－100x－80x＝7 644
B．(100－x)(80－x)＋x2＝7 644
C．(100－x)(80－x)＝7 644
D．100x＋80x＝356
8．如图所示，相框长为10 cm，宽为6 cm，内有宽度相同的边缘木板，里面用来夹相片的面积为32 cm2，则相框的边缘宽为多少厘米？
解：设相框的边缘宽为x cm，根据题意，得(10－2x)(6－2x)＝32. 整理，得x2－8x＋7＝0，
解得x1＝1，x2＝7.
当x＝7时，6－2×7＝－8＜0，不合题意，舍去．
答：相框的边缘宽为1 cm.
易错点忽视根的合理性，忘记验根
9．(大同一中期末)如图，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊
圈的边长AB，BC各为多少米？
解：设AB＝x，则BC＝100－4x(BC≤25)．
根据题意，得x(100－4x)＝400，
解得x1＝5，x2＝20.
当x＝5时，100－4x＝80，不满足BC≤25，不合题意，舍去；
当x＝20时，100－4x＝20.
所以AB为20米，BC为20米．
中档题
10．(高平特力期中)如图，某小区计划在一块长为32 m，宽为20 m 的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570 m2.若设道路的宽为x m，则下面所列方程正确的是(A)
A．(32－2x)(20－x)＝570
B．32x＋2×20x＝32×20－570
C．(32－x)(20－x)＝32×20－570
D．32x＋2×20x－2x2＝570
11．(襄汾期末)如图，在长为70 m，宽为40 m的长方形花园中，欲
修宽度相等的观赏路(阴影部分所示)，要使观赏路面积占总面积的18，
则路宽x 应满足的方程是(C)
A ．(40－x)(70－x)＝2 450
B ．(40－x)(70－x)＝350
C ．(40－2x)(70－3x)＝2 450
D ．(40－2x)(70－3x)＝350
12．在一幅长50 cm ，宽30 cm 的风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示．如果要使整个矩形挂图的面积是1 800 cm 2，设金色纸边的宽为x cm ，那么x 满足的方程为x 2＋40x －75＝0．
13．某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2∶
1.在温室内，沿前侧内墙保留3 m 宽的空地，其他三侧内墙各保留1 m 宽的通道．当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是288 m 2?
解：设矩形温室的宽为x m ，则长为2x m ．根据题意，得 (x －2)(2x －4)＝288.
解得x 1＝－10(不合题意，舍去)，x 2＝14.
所以2x＝2×14＝28.
答：当矩形温室的长为28 m，宽为14 m时，蔬菜种植区域的面积是288 m2.
综合题
14．已知，如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5 cm，BC＝7 cm.点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B 开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动．
(1)如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4 cm2?
(2)如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5 cm?
(3)在问题(1)中，△PBQ的面积能否等于7 cm2说明理由．
解：(1)设x秒后，△PBQ的面积等于4 cm2.根据题意，得
x(5－x)＝4.
解得x1＝1，x2＝4.
∵当x＝4时，2x＝8>7，不合题意，舍去．
∴x＝1.
答：1 s后，△PBQ的面积等于4 cm2.
(2)设y秒后，PQ＝5 cm，则
(5－y)2＋(2y)2＝25.
解得y1＝0(舍去)，y2＝2.
∴y＝2.
答：2 s后，PQ的长度等于5 cm.
(3)设a秒后，△PBQ的面积等于7 cm2.根据题意，得a(5－a)＝7.
此方程无解．
∴△PBQ的面积不能等于7 cm2.。