【数学】2.1《合情推理与演绎证明》课件1(新人教A版选修1—2)1
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高中数学 人教A版 选修1-2 2.1.1合情推理
2
1
3
设 an为把 n 个圆环从1号针移到3号针的最少次数，则
n ＝1时，a1＝1 第1个圆环从1到3. n＝2时，a2＝3 前1个圆环从1到2;
第
3
设 an为把 n 个圆环从1号针移到3号针的最少次数，则
n ＝1时， a1 ＝1 第1个圆环从1到3. n ＝2时， a2 ＝3 前1个圆环从1到2;
例3：试根据等式的性质猜想不等式的性质. 解：等式与不等式有不少相似的属性，例如：
等式
猜想
(1) a=b a+c=b+c
(2) a=b ac=bc
猜想
(3) a=b a2=b2等等 猜想
不等式
a>b a+c>b+c a>b ac>bc a>b a2>b2
问：这样猜想出的结论是否一定正确？
例4：已知 ABC三边长为a, b, c,面积为S,则 ABC内切圆半径r= ____2_S______ .
以点(x0,y0,z0)为球心, r为半 径的球的方程为(x-x0)2+(yy0)2+(z-z0)2 = r2
16
在数学中,由已经解决的问题和已经获得的知 识出发,通过类比而提出新问题和作出新发现.
如:
立体几何与平面几何的类比
向量与数的类比 无限与有限的类比
不等与相等的类比
……
17
例1 类比实数的加法和乘法,列出它们相似的运 算性质.
地球
火星
行星、围绕太阳运行、绕 行星、围绕太阳运行、绕
轴自转
轴自转
有大气层
有大气层
一年中有四季的变更
一年中有四季的变更
温度适合生物的生存
人教A版高中数学选修1-2《2.1.1合情推理》课件
以上属于什么推理？
答案 推理.
答案
属于归纳推理 .符合归纳推理的定义特征，即由部分对
象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的
梳理
(1)定义：由某类事物的 部分对象 具有某些特征，推出该类事物的 全部 对象 都具有这些特征的推理，或者由个别事实 概括出 一般结论 的 推理，称为归纳推理. (2)特征：由 部分 到 整体 ，由个别到 一般 .
答案
梳理
(1)定义：由两类对象具有某些 类似 特征和其中一类对象的某些 已知 特征， 推出 另一类对象 也具有这些特征的推理称为类比推理. (2)特征：由 特殊 到 特殊 的推理.
知识点三
合情推理
思考1
归纳推理与类比推理有何区别与联系？ 答案 区别：归纳推理是由特殊到一般的推理；而类比推理是
由个别到个别的推理或是由特殊到特殊的推理.
1
2
3
4
5
解析
答案
规律与方法
1.合情推理主要包括归纳推理和类比推理 .数学研究中，在得到一个新结
论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合
情推理常常能为证明提供思路与方向.
2.合情推理的过程概括为
从具体问题出发 ― → 观察、分析、比较、联想 ― → 归纳、类比 ― → 提出猜想
跟踪训练 2
黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个
图案，则第n个图案中黑色地面砖的块数是________. 5n＋1
解析
观察图案知，从第一个图案起，每个图案中黑色地面砖的个数组
成首项为 6 ，公差为5 的等差数列，从而第n 个图案中黑色地面砖的块数
为6＋(n－1)×5＝5n＋1.
【数学】21《合情推理与演绎证明》课件2(新人教A版选修1—2).
量的两个值x1,x2,若x1 x2,则有fx1 fx2 .
小前提是fx x2 2x,x ,1满足增函数
的定义,这是证明本例的关键.
证明 任取x1,x2 ,1,且x1 x2,
fx1 fx2
x12 2x1
图2.1 3
而点M是RtΔABC的斜边AB的中点,DM
是斜边上的中线,
小前提
所以DM 1 AB.
结论
2
同理,EM 1 AB. 所以,DM EM. 2
大前提: M是P. "三段论"可以表是P.
我们还可以利用集合知识说明"三段论": 若集 合M的 所 有 元 素 都 具 有 性 质P, S是M的 一 个 子 集, 那 么S中 所 有 元 素 也 都 具 有 性质P.
上是增函数.
在演绎推理中,只要前提和推理形式是正确的, 结论必定是正确的.
思考 因为指数函数y ax是增函数,
而y
1
x
是
指数函数,
2
所以y
1
x
是增函数.
2
1上面的推理形式正确吗?
2推理的结论正确吗?为什么?
大前提 小前提
结论
上述推 理的形式正确, 但大前提是错误的
3在 一 个 标 准 大 气 压 下,水 的 沸 点 是1000 C,所
以在一个标准大气压下把水加热到1000 C时,水 会沸腾;
4一切奇数都不能被2整除, 2100 1 是奇数, 所以 2100 1不能被2整除;
5三角函数都是周期函数,tan α是三角函数,
因此tan α是周期函数;
高中数学第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.2演绎推理课件新人教A版选修22
[解析] (1)在一个标准大气压下，水的沸点是 100 ℃， 在一个标准大气压下把水加热到 100 ℃， 水会沸腾． (2)一切奇数都不能被 2 整除， 2100＋1 是奇数， 2100＋1 不能被 2 整除． (3)三角函数都是周期函数， y＝tan α 是三角函数， y＝tan α 是周期函数．
大前提 小前提 结论 大前提 小前提 结论 大前提 小前提 结论
用“三段论”表述演绎推理： 用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提．三段论中的大前提 提供了一个一般性的原理，小前提指出了一种特殊情况，两个命题结 合起来，揭示了一般原理与特殊情况的内在联系．有时可以省略小前 提，有时甚至也可以把大前提与小前提都省略．在寻找大前提时，可 找一个使结论成立的充分条件．
课时作业
一、演绎推理
[自主梳理]
定义 从一般性的原理出发，推出 某个特殊情况下 的结论的推理 特征 由 一般到特殊 的推理
二、三段论
一般模式
常用格式
大前提 已知的一般原理
M是P
小前提 所研究的特殊情况
S是M
根据一般原理，对特殊情况做
结论 出的判断
S是P
[双基自测]
1．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此 f(x)＝sin(x2＋1)是奇函
△ABC 和△CDA 的三边对应相等， 则这两个三角形全等．
小前提 结论
符号表示为：
AB＝CD BC＝DA⇒△ABC≌△CDA. CA＝AC
(3)由全等三角形的定义可知：全等三角形的对应角相等，这一性质相当于：对 于任意两个三角形，如果它们全等，则它们的对应角相等， 大前提
△ABC 和△CDA 全等， 则它们的对应角相等，
探究一 用“三段论”表述演绎推理
人教A版高中数学选修1-2课件《合情推理与演绎推理》ppt7.pptx
三、合情推理与演绎推理的区别
合情推理
归纳推理
类比推理
演绎推理
推理 由部分到整体、个 由特殊到特殊 由一般到特殊的
形式 别到一般的推理。 的推理。
推理。
区
别 推理
结论不一定正确，有待进一
在大前提、小前提 和推理形式都正确
结论 步证明。
的前提下，得到的
结论一定正确。
联系
合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演绎 推理的方向和思路一般是通过合情推理获得的。
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2.1.2 演绎推理
情境设置
问：合情推理的含义与特点是什么？
{ 合情推理
归纳推理：由部分到整体，由个别到一般的推理。
类比推理： 由特殊到特殊的推理。
从具体问题 出发
观察、分析、 比较、联想
归纳类比
提出猜想
新课
学习目标： 1、什么是演绎推理？ 2、什么是三段论？ 3、合情推理与演绎推理有哪些区别？ 4、能举出一些在生活和学习中有关演绎
则
{an}是等比数列。
在an
cqn中, an1 an
cq n 1 cq n
q
(q
0),
所以通项公式 an cqn (cq 0)为的数列 是等比数列。
练习1.在锐角三角形ABC中,AD⊥BC, BE⊥AC,D,E是垂足,用演绎推 理“三段论”格式证AB的中点M到D,E的距离相等.
证(1)明因:为有一个内角是直角的三角形
(x2 x1)(x2 x1 2). 因为x1 x2 , 所以x2 x1 0; 因为x1, x2 1, 所以x2 x1 2 0. 因此, f (x1) f (x2 ) 0,即f (x1) f (x2 ). 小前提 所以f (x) x2 2x在(,1)满足增函数定义， 于是，根据增函数的定义可知，
2.1.1 合情推理 课件(人教A选修1-2)
试计算a1，a2，a3，a4的值． 提示：由图知：a1＝OA1＝1， a2＝OA2＝ OA21＋A1A22＝ 12＋12＝ 2， a3＝OA3＝ OA22＋A2A32＝ 22＋12＝ 3， a4＝OA4＝ OA23＋A3A42＝ 32＋12＝ 4＝2. 问题2：由问题1中的结果，你能猜想出数列{an}的通项 公式an吗？ 提示：能猜想出 an＝ n.(n∈N*)
问题2：以上两个推理有什么共同特点？ 提示：根据三角形的特征，推出四面体的特征． 问题3：以上两个推理是归纳推理吗？ 提示：不是．归纳推理是从特殊到一般的推理，而 以上两个推理是从特殊到特殊的推理．
定义
由两类对象具有某些 类似特征和其
特征
中一类对象的某些 已知特，征推出 类比推理是 由特殊到特
另一类对象也具有
[例 2] 数一数图中的凸多面体的面数 F、顶点数 V 和棱数 E，然 后用归纳推理得出它们之间的关系．
[思路点拨] 先找出凸多面体的面数，顶点数 和棱数，观察它们之间有什么关系，再归纳出一般 性的结论．
推理，或者由 个别事实概括 由个别到一般 的推理
出 一般结论的推理，称为归
纳推理
已知三角形的如下性质 (1)三角形的两边之和大于第三边； (2)三角形的面积等于高与底积的12. 问题 1：试根据上述三角形的性质推测空间四面体的性质． 提示：(1)四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积． (2)四面体的体积等于底面积与高乘积的13.
理解 教材 新知
知识点一 知识点二 知识点三
第 二
2.1
把握
考点一
章
2.1.1 热点
考点二
考向
考点三
应用创新演练
2.1.1 合情推理
问题1：如图(甲)是第七届国际数学教育大会(简称 ICME－7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图(乙)的一 连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝ A7A8＝1，如果把图(乙)中的直角三角形依此规律继续作下 去，记OA1，OA2，…，OAn，的长度构成数列{an}，
高中数学第二章推理与证明2.1.1合情推理课件新人教A版选修1-2
到整体、由个别到
特征的推理，或者由 个别事实 概括出 一般 的推理
一般结论 的推理
类比推理
由两类对象具有某些 类似 特征和其 类比推理是 由特殊 中一类对象的某些 已知特征，推出另
到特殊 的推理 一类对象也具有这些特征的推理
教材整理 2 合情推理 阅读教材 P27～P29 的内容，完成下列问题． 1．含义 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过 观察 、 分析 、比较 、 联想 ，再进行 归纳 、 类比 ，然后提出 猜想 的推理，我们把它们统称为
[探究共研型] 类比推理在其他问题中的应用
探究 1 鲁班发明锯子的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的腿，“锯 子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的．因此，它们在形状上也应该类 似，“锯子”应该是齿形的．你认为该过程为归纳推理还是类比推理？
【提示】 类比推理．
1．我们把 1,4,9,16,25，…这些数称做正方形数，这是因为个数等于这些数 目的点可以分别排成一个正方形(如图 2-1-5)．
阶
阶
段
段
一
三
2．1 合情推理与演绎推理
2．1.1 合情推理
学
阶 段 二
业 分 层 测
评
[基础·初探]
教材整理 1 归纳推理和类比推理
阅读教材 P22～P26 例 4 以上内容，完成下列问题.
定义
特征
由某类事物的 部分对象 具有某些特征，
归纳推理是 由部分
推出该类事物的 全部对象 归纳推理
都具有这些
图 2-1-5
我还有这些不足： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________ 我的课下提升方案： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________
高中数学 2.1.1合情推理-类比推理课件 新人教A版选修1-2
例1、利用等差数列性质类比等比数列性质
等差数列
等比数列
定义 anan1d（ n2) an:an1q（ n2)
ana1(n1)d
通项公式
anam(nm )d
an a1qn1 an amqnm
前n项和
Sn
n(a1 an ) 2 n(n
na1 2
1)
d
Sn
na1
a1(1 q
1q
n
(q 1) ) (q 1)
探索新知 火星上是否有生命？
我国古代工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫 的牙齿,发明了锯；人们仿照鱼类的外型和它
们在水中沉浮的原理,发明了潜水艇.
仿生学中许多发明的最初构想
都是类比生物机制得到的.
苍蝇的楫翅（又叫平衡棒）是“天然导航仪”， 人们模仿它制成了“振动陀螺仪”.这种仪器目前已 经应用在火箭和高速飞机上，实现了自动驾驶。
圆的周长 S=2πR
圆的面积 S =πR2
圆心与弦(非直径)中点的连线 垂直于弦
球的表面积 S=4πR2
球的体积 V = 4 π R 3
3
球心与截面(不过球心的圆面) 的圆心的连线垂直于截面
与圆心距离相等的两弦相等 与球心距离相等的两截面面积相等
与圆心距离不相等的两弦不相 与球心距离不相等的两截面面积
通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理。
合情推理的应用
数学研究中，得到一个新结论之前，合 情推理常常能帮助我们猜测和发现结论.
证明一个数学结论之前，合情推理常常 能为我们提供证明的思路和方向.
(2005年全国)计算机中常用的十六进位制是逢16进 1的计算制，采用数字0-9和字母A-F共16个计数符 号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表；
高中数学 2.1.1《合情推理与演绎推理》课件 新人教选修2-2
A
Ｂ c2=a2+b2
a
c
s1 o s2
s3
Ｃb
Ａ
B
C
猜想: S2△ABC =S2△AOB+S2△AOC+S2△BOC
第十二页，共20页。
例3:(2001年上海)已知两个圆①x2+y2=1:与② x2+(y-3)2=1,则由①式减去②式可得上述两圆 的对称轴方程.将上述命题在曲线仍然为圆 的情况下加以推广,即要求得到一个更一般 的命题,而已知命题应成为所推广命题的一 个特例,推广的命题为----设--圆---的---方--程---为---①-------(b-x≠---a-d-)-)2-+,-(则-y---由-b-)①-2-=-r式-2-与减---②去--(②-x---式-c-)可-2-+-得(--y上---d述-)-2-两=-r-圆-2-（-的-a-≠对---称c-或-轴-----
第十九页，共20页。
谢谢大家
2023/5/16
生产计划部
第二十页，共20页。
统称为合情推理。
合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向
第十四页，共20页。
例:如图有三根针和套在一根针上的若干金属片. 按下
列规则,把金属片从一根针上全部移到另一根针上.
1.每次只能移动1个金属片;
2.较
大的金属片不能放在较小的金属片上面.试推测;把n个金属
片从1号针移到3号针,最少需要移动多少次?
归纳是立足于观察、经验、实验和对有限资料分析
的基础上.提出带有规律性的结论.
需证明
第三页，共20页。
练:数一数图中的凸多面体的面数F、顶点数V
和棱数E,然后用归纳法推理得出它们之间 的关系.
Ｂ c2=a2+b2
a
c
s1 o s2
s3
Ｃb
Ａ
B
C
猜想: S2△ABC =S2△AOB+S2△AOC+S2△BOC
第十二页，共20页。
例3:(2001年上海)已知两个圆①x2+y2=1:与② x2+(y-3)2=1,则由①式减去②式可得上述两圆 的对称轴方程.将上述命题在曲线仍然为圆 的情况下加以推广,即要求得到一个更一般 的命题,而已知命题应成为所推广命题的一 个特例,推广的命题为----设--圆---的---方--程---为---①-------(b-x≠---a-d-)-)2-+,-(则-y---由-b-)①-2-=-r式-2-与减---②去--(②-x---式-c-)可-2-+-得(--y上---d述-)-2-两=-r-圆-2-（-的-a-≠对---称c-或-轴-----
第十九页，共20页。
谢谢大家
2023/5/16
生产计划部
第二十页，共20页。
统称为合情推理。
合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向
第十四页，共20页。
例:如图有三根针和套在一根针上的若干金属片. 按下
列规则,把金属片从一根针上全部移到另一根针上.
1.每次只能移动1个金属片;
2.较
大的金属片不能放在较小的金属片上面.试推测;把n个金属
片从1号针移到3号针,最少需要移动多少次?
归纳是立足于观察、经验、实验和对有限资料分析
的基础上.提出带有规律性的结论.
需证明
第三页，共20页。
练:数一数图中的凸多面体的面数F、顶点数V
和棱数E,然后用归纳法推理得出它们之间 的关系.
高中数学第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理课件新人教A版选修2_2
x (2)已知 f(x)＝ ，设 f1(x)＝f(x)，fn(x)＝fn－1(fn－1(x))(n＞1， 1－x 且 n∈N*)，则 f3(x)的表达式为________，猜想 fn(x)(n∈N*)的表 达式为________．
[解析]
(1)利用归纳法：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝3
2．1.1
合情推理
预习课本 P70～77，思考并完成下列问题
(1)归纳推理的含义是什么？有怎样的特征？
(2)类比推理的含义是什么？有怎样的特征？
(3)合情推理的含义是什么？
[新知初探]
1．归纳推理和类比推理
[点睛]
(1)归纳推理与类比推理的共同点：都从具体事
实出发，推断猜想新的结论． (2)归纳推理的前提和结论之间的联系不是必然的，结论 不一定正确；而类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠，因 此不一定正确．
2．合情推理
[小试身手]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，这种 估计属于归纳推理． (2)类比推理得到的结论可以作为定理应用． (3)由个别到一般的推理为归纳推理． (√ ) ( ×) ( √ )
2．由“若 a＞b，则 a＋c＞b＋c”得到“若 a＞b，则 ac＞bc”采 用的是 A．归纳推理 C．类比推理
[活学活用]
1．观察下列等式：
sin sin sin sin
π－2 2π－2 4 sin 3 ＋ 3 ＝3×1×2； π－2 2π－2 3π－2 4π－2 4 ＋sin ＋sin ＋sin ＝ ×2×3； 5 5 5 5 3
1．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：