2020年河南省新乡市高考数学模拟试卷(二)(3月份)(有答案解析)
2020年河南省新乡市高考数学模拟试卷（二）（3月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={0，1，2，3}，B={x∈N|ln x＜1}，则A∩B=（）A. {0，1}B. {1，2}C. {0，1，2}D. {0，1，2，3}2.设复数z满足，则|z|=（）A. 1B.C. 3D.3.已知双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为（）A. 2B.C. 3D.4.不喜欢喜欢男性青年观众3010女性青年观众3050现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取n人做进一步的调研，若在“不喜欢的男性青年观众”的人中抽取了6人，则n=（）A. 12B. 16C. 24D. 325.在△ABC中，若点D满足，点E为AC的中点，则=（）A. B. C. D.6.若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的B等于（）A. 4B. 13C. 40D. 417.将函数f（x）=sin x的图象向右平移个单位长度后得到函数y=g（x）的图象，则函数y=f（x）g（x）的最大值为（）A. B. C. 1 D.8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.9.在△ABC中，角A，B，C的对边分別为a，b，c，若，点G是△ABC的重心，且AG=，则△ABC 的面积为（）A. B. C. 或 D. 或10.函数f（x）=x sin2x+cos x的大致图象有可能是（）A. B.C. D.11.已知四棱锥S-ABCD，SA⊥平面ABCD，AB⊥BC，∠BCD＋∠DAB＝π，SA＝2，，二面角S-BC-A的大小为．若四面体SACD的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A. B. C. D.12.已知函数f（x）=e x-e-x，若对任意的x∈（0，+∞），f（x）＞mx恒成立，则m的取值范围为（）A. （-∞，1）B. （-∞，1]C. （-∞，2）D. （-∞，2]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.二项式的展开式中x-2的系数是______．14.设x，y满足约束条件，则的最大值是______．15.已知sin10°+m cos10°=2cos140°，则m=______．16.已知A，B是抛物线y2=2px（p＞0）上任意不同的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P（x0，0），则x0的取值范围是______．（用p表示）三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知正项数列{a n}的前n项和S n满足2S n=a n+2-2，n∈N*．（1）若数列{a n}为等比数列，求数列{a n}的公比q的值．（2）若a2=a1=1，b1=2，b n=a n-1+a n，求数列{b n}的通项公式．18.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点O是底面ABCD的中心，E是线段D1O的上一点．（1）若E为D1O的中点，求直线OD1与平面CDE所成角的正弦值；（2）能否存在点E使得平面CDE⊥平面CD1O，若能，请指出点E的位置关系，并加以证明；若不能，请说明理由．19.随着科技的发展，网购已经逐渐融入了人们的生活．在家里面不用出门就可以买到自己想要的东西，在网上付款即可，两三天就会送到自己的家门口，如果近的话当天买当天就能送到，或者第二天就能送到，所以网购是非常方便的购物方式．某公司组织统计了近五年来该公司网购的人数y i（单位：人）与时间t i（单位：年）的数据，列表如下：t i12345y i2427416479（1）依据表中给出的数据，是否可用线性回归模型拟合y与t的关系，请计算相关系数r并加以说明（计算结果精确到0.01）．（若|r|＞0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）附：相关系数公式，参考数据．（2）某网购专营店为吸引顾客，特推出两种促销方案．方案一：每满600元可减100元；方案二：金额超过600元可抽奖三次，每次中奖的概率都为，且每次抽奖互不影响，中奖1次打9折，中奖2次打8折，中奖3次打7折．①两位顾客都购买了1050元的产品，求至少有一名顾客选择方案二比选择方案一更优惠的概率；②如果你打算购买1000元的产品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析应该选择哪种优惠方案．20.顺次连接椭圆（a＞b＞0）的四个顶点恰好构成了一个边长为且面积为的菱形．（1）求椭圆C的方程；（2）A，B是椭圆C上的两个不同点，若直线OA，OB的斜率之积为（O为坐标原点），线段OA上有一点M满足，连接BM并延长椭圆C于点N，求的值．21.已知函数f（x）=x2-2x+2a ln x，若函数f（x）在定义域上有两个极值点x1，x2，且x1＜x2．（1）求实数a的取值范围；（2）证明：．22.在直角坐标系xOy中，曲线C1：（a＞0，t为参数）．在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：θ=（ρ∈R）．（1）说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（2）若直线C3的方程为y=-x，设C2与C1的交点为O，M，C3与C1的交点为O，N，若△OMN的面积为2，求a的值．23.已知函数f（x）=|4x-1|-|x+2|．（1）解不等式f（x）＜8；（2）若关于x的不等式f（x）+5|x+2|＜a2-8a的解集不是空集，求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：B={1，2}，A={0，1，2，3}，∴A∩B={1，2}．故选：B．可解出集合B，然后进行交集的运算即可．本题考查描述法、列举法的定义，对数函数的单调性，交集的运算．2.答案：D解析：【分析】本题考查了复数的运算性质、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用复数的运算性质、模的计算公式即可得出．【解答】解：∵复数z满足，∴z-i=2i+1，可得z=3i+1．则|z|==．故选D．3.答案：A解析：【分析】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率的求法，考查方程思想和运算能力，属于基础题．求得双曲线的渐近线方程，结合a，b，c的关系，再由离心率公式，计算可得所求值．【解答】解：双曲线（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，由题意可得=，即，即有双曲线的e====2．故选：A．4.答案：C解析：解：由分层抽样的性质得：，解得n=24．故选：C．由分层抽样的性质列方程能求出n的值．本题考查样本单元数的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.答案：B由平面向量基本定理及共线向量的运算得：==+=+（）=，得解．本题考查了平面向量基本定理及共线向量的运算，属简单题．【解答】解：==+=+（）=，故选B．6.答案：C解析：【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量B的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．【解答】解：模拟程序的运行，可得，A=1，B=0；满足条件A≤4，执行循环体，B=1，A=2；满足条件A≤4，执行循环体，B=4，A=3；满足条件A≤4，执行循环体，B=13，A=4；满足条件A≤4，执行循环体，B=40，A=5；此时，不满足条件A≤4，退出循环，输出B的值为40．故选C．7.答案：A解析：解：将函数f（x）=sin x的图象向右平移个单位长度后得到函数y=g（x）的图象，则g（x）=sin（x-），则y=f（x）g（x）=sin x•sin（x-）=-[cos（2x）-cos]=-cos（2x）+，又-1≤cos（2x）≤1，所以函数y=f（x）g（x）的最大值为，故选：A．由三角函数图象的平移得：g（x）=sin（x-），由积化和差公式得：y=f（x）g（x）=sin x•sin （x-）=-[cos（2x）-cos]=-cos（2x）+，由三角函数的有界性及最值得：因为-1≤cos（2x）≤1，所以函数y=f（x）g（x）的最大值为，得解．本题考查了三角函数图象的平移、积化和差公式、三角函数的有界性及最值，属中档题．8.答案：B本题考查几何体的体积的求法，考查几何体的三视图，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．由几何体的三视图得该几何体三棱锥S-ABC，其中底面△ABC是边长为2的等边三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2，由此能求出该几何体的体积．【解答】解：由几何体的三视图得该几何体是如图所示的三棱锥S-ABC，其中底面△ABC是边长为2的等边三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2，∴BO==3，SO==1，∴该几何体的体积为：V===．故选：B．9.答案：D解析：解：由题可知2sin A sin B-sin A cos C=sin C cos A，∴2sin A sin B=sin（A+C）=sin B，∴sin A=，∴A=或，又AG=，延长AG交BC于点D，∴AD=，∵=（+），∴2=（+）2=（b2+c2+2bc cos A），当A=时，c=3，∴△ABC的面积为bc sin A=，当A=时，c=4，∴△ABC的面积为bc sin A=故选：D．先根据正弦定理可求出A=或，再根据向量的运算和余弦定理即可求出c，根据三角形的面积公式计算即可本题考查了正弦定理，余弦定理在三角形中的应用，考查了运算求解能力，属于中档题10.答案：A解析：解：f（-x）=-x sin（-2x）+cos（-x）=x sin2x+cos x=f（x），则函数f（x）是偶函数，排除D，由f（x）=x2sin x cosx+cos x=0，得cos x（2x sinx+1）=0，得cos x=0，此时x=或，由2x sinx+1=0得sin x=-，作出函数y=sin x和y=-，在（0，2π）内的图象，由图象知两个函数此时有两个不同的交点，综上f（x）在（0，2π）有四个零点，排除B，C，故选：A．判断函数的奇偶性，判断函数零点个数进行判断即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性以及函数零点个数进行排除是解决本题的关键．11.答案：C解析：解：如下图所示，由于AB⊥BC，∠BCD+∠BAD=π，所以，，则A、B、C、D四点共圆．∵SA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴BC⊥SA．又BC⊥AB，且SA∩AB=A，∴BC⊥平面SAB，∵SB⊂平面SAB，∴BC⊥SB，则二面角S-BC-A的平面角为∠ABS，即．在Rt△ABS中，．所以，直角△ABC的外接圆直径为，即四边形ABCD的外接圆直径为AC=2．∵SA⊥平面ABCD，所以，四棱锥S-ABCD的外接球直径为，因此，该球的表面积为4πR2=π×（2R）2=8π．故选：C．先利用四边形ABCD的对角互补可得知A、B、C、D四点共圆，先证明BC⊥平面SAB，得出二面角S-BC-A的平面角为，可计算出AB，再利用勾股定理可得出四边形ABCD外接圆的直径AC，然后利用公式计算出外接球的半径R，最后利用球体表面积公式可得出的答案．本题考查球体表面积的计算，考查二面角的定义，同时也考查了直线与平面垂直的判定，考查推理能力与计算能力，属于中等题．12.答案：D解析：解：令g（x）=e x-e-x-mx，x∈（0，+∞），则g′（x）=e x+e-x-m，x∈（0，+∞），易得函数y=e x+e-x＞2在x∈（0，+∞）恒成立，故当m≤2时，g′（x）≥0在x∈（0，+∞）恒成立，故g（x）在（0，+∞）递增，又g（0）=0，故f（x）＜mx恒成立，当m＞2时，∵g′（x）在x∈（0，+∞）递增，故存在x0∈（0，+∞）恒成立，使得g′（x0）=0，故g（x）在（0，x0）递减，在（x0，+∞）递增，又g（0）=0，则g（x0）＜0，这与g（x）＞0恒成立矛盾，故m≤2，即m的范围是（-∞，2]，故选：D．求出函数的导数，通过讨论m的范围，结合函数的单调性确定m的范围即可．本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．13.答案：-10解析：解：二项式的展开式中通项公式：T r+1==（-1）r．令-=-2，解得r=3．x-2的系数=-=-10．故答案为：-10．利用通项公式即可得出．本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.答案：5解析：解：x，y满足约束条件，满足的可行域如图：则的几何意义是可行域内的点与（-3，-2）连线的斜率，经过A时，目标函数取得最大值．由，可得A（-2，3），则的最大值是：=5．故答案为：5．画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解最大值即可．本题考查线性规划的简单应用，画出可行域，判断目标函数的最值是解题的关键．15.答案：-解析：【分析】本题主要考查两角和与差的三角函数公式，属于基础题．由题意可得m=，再利用两角和与差的三角函数公式求得它的值．【解答】解：由题意可得m=====-，故答案为：-．16.答案：（p，+∞）解析：解：设A（x1，y1），B（x2，y2），∵线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P（x0，0），∴AB不平行于y轴．即x1≠x2，则|PA|=|PB|则=；整理得（x1-x2）（x1+x2-2x0）=y22-y12，∵A，B是抛物线上的两个点，∴y12=2px1，y22=2px2，代入上式得x0=p+，∵x1≥0，x2≥0，x1≠x2，∴x1+x2＞0，则得x0=p+＞p，即x0的取值范围是（p，+∞），故答案为：（p，+∞）．设出A，B坐标，结合线段AB垂直平分线的性质建立|PA|=|PB|，利用点在抛物线上利用消参法进行转化求解即可本题主要考查直线和抛物线的位置关系的应用，利用垂直平分线的性质以及消参法是解决本题的关键．17.答案：解：（1）由题意，可知：∵数列{a n}为等比数列，且数列{a n}满足2S n=a n+2-2，n∈N*．∴当n=1时，有：2S1=a3-2…①当n=2时，有：2S2=a4-2…②②-①，可得：2a2=a4-a3，化简整理，得：q2-q-2=0，解得：q=2，或q=-1，∵数列{a n}各项均为正项．∴q=-1舍去．∴q=2．（2）由题意，可知：∵当n≥2时，2a n=2S n-2S n-1=a n+2-2-a n+1-2=a n+2-a n+1．∵a n+2-a n=a n+a n+1．b n=a n-1+a n=S n-S n-2====，∴b n+1=2b n．∵b1=2，∴数列{b n}是以1为首项，2为公比的等比数列．∴，n∈N*．解析：（1）根据题意，由数列的递推公式可得2S1=a3-2，2S2=a4-2，两式相减，变形可得2a2=a4-a3，即q2-q-2=0，解可得q的值，即可得答案；（2）根据题意，可将b n=a n-1+a n，用递推公式反向代入，然后可找到b n与b n+1的关系，得出数列{b n}是一个等比数列，即可得答案；本题考查数列的递推公式的应用，注意对数列的递推公式的变形，属于基础题．18.答案：解：（1）不妨设正方体的棱长为2，以DA，DC，DD1分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，则D（0，0，0），D1（0，0，2），C（0，2，0），O（1，1，0）．因为点E是D1O的中点，所以点E的坐标为．所以，，．设是平面CDE的法向量，则即，取x=2，则z=-1，所以平面CDE的一个法向量为．所以．所以直线OD1与平面CDE所成角的正弦值为．（2）假设存在点E使得平面CDE⊥平面CD1O，设．显然，．设是平面CD1O的法向量，则，即．取x=1，则y=1，z=1，所以平面CD1O的一个法向量为．因为，所以点E的坐标为．所以，．设是平面CDE的法向量，则即．取x=1，则，所以平面CDE的一个法向量为．因为平面CDE⊥平面CD1O，所以，即，，解得λ=2．所以λ的值为2．即当时，平面CDE⊥平面CD1O．解析：（1）设正方体的棱长为2，以DA，DC，DD1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系D-xyz，利用向量法能求出直线OD1与平面CDE所成角的正弦值．（2）假设存在点E使得平面CDE⊥平面CD1O，设．求出平面CD1O的法向量，平面CD1O的一个法向量，利用向量法能求出结果．本题考查线面角的正弦值的求法，考查满足面面垂直的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19.答案：解：（1）由题知，，，，，则=．故y与t的线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合．（2）①选择方案二比方案一更优惠则需要至少中奖一次，设顾客没有中奖为事件A，则，故所求概率为．②若选择方案一，则需付款1000-100=900（元），若选择方案二，设付款X元，则X可能取值为700，800，900，1000.；；；．所以（元），因为850＜900，所以选择方案二更划算．解析：（1）利用公式求得相关系数r≈0.97＞0.75，说明可用线性回归模型拟合；（2）①至少有一名顾客选择方案二比选择方案一更优惠等价于顾客需要至少中奖一次；②分别求出两种方案中顾客付款金额的数学期望，比较期望的大小可作出选择．本题考查了线性回归方程，属中档题．20.答案：解：（1）由题可知，a2+b2=3，解得，b=1．所以椭圆C的方程为；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），．N（x3，y3），∵，∴，∴，．又∵，∴，即，．∵点N（x3，y3）在椭圆C上，∴，即．（*）∵A（x1，y1），B（x2，y2）在椭圆C上，∴，①，②又直线OA，OB斜率之积为，∴，即，③将①②③代入（*）得，解得．解析：（1）由菱形的面积公式可得2ab=2，由勾股定理可得a2+b2=3，解方程即可得到所求椭圆方程；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），．N（x3，y3），由向量的坐标表示和点满足椭圆方程，结合直线的斜率公式，化简变形，即可得到所求值．本题考查椭圆方程的求法，注意运用菱形的面积求法，考查点满足椭圆方程，以及化简变形能力，推理能力，属于难题．21.答案：（1）解：因为函数f（x）在定义域（0，+∞）上有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，所以在（0，+∞）上有两个根x1，x2，且x1＜x2，又，即x2-x+a=0在（0，+∞）上有两个不相等的根x1，x2．所以,解得;（2）证明：由题可知x1，x2（0＜x1＜x2）是方程x2-x+a=0的两个不等的实根，所以,其中,故=（x1+x2）2-2x1x2-2（x1+x2）+2a ln（x1x2）=2a lna-2a-1，令g（a）=2a lna-2a-1，其中,故g'（a）=2ln a＜0，所以g（a）在上单调递减，则，即．解析：本题考查了函数的单调性，极值，最值问题，考查导数的应用以及二次函数的性质，是一道较难题．（1）求出函数的导数，结合二次函数的性质，确定a的范围即可；（2）结合二次函数的性质，求出f（x1）+f（x2）的解析式，根据函数的单调性证明即可．22.答案：解：（1）曲线C1：（a＞0，t为参数）．转换为直角坐标方程为：（x-a）2+y2=a2，该曲线为以（a，0）为圆心a为半径的圆．圆的极坐标方程为ρ=2a cosθ．（2）直线C3的方程为y=-x，转换为极坐标方程为：．将代入ρ=2cosθ，解得：，则：=，解得：a=2．解析：（1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程进行转换．（2）利用极径建立方程组，进一步利用三角形的面积建立等量关系，求出参数的值．本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，三角函数关系式的恒等变变换，直线方程的求法及应用，主要考查学生的运算能力和转化能力．属于基础题型．23.答案：解：（1）由题意可得f（x）=，当x≤-2时，-3x+3＜8，得，无解；当时，-5x-1＜8，得，即；当时，3x-3＜8，得，即．所以不等式的解集为．（2）f（x）+5|x+2|=|4x-1|+|4x+8|≥9，则由题可得a2-8a＞9，解得a＜-1或a＞9．解析：（1）求出f（x）的分段函数的形式，解各个区间上的不等式的解集，取并集即可；（2）求出f（x）+5|x+2|的最小值，得到关于a的不等式，解出即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值不等式的性质以及分类讨论思想，转化思想，是一道常规题．。
2020年河南省新乡市高考数学三模试卷(理科)(有答案解析)
2020 年河南省新乡市高考数学三模试卷（理科）题号 得分一二三总分一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1. （1+i）（2+i）（3+i）=（ ）A. -10iB. 10iC. -10D. 102. 已知集合 A={x|x2-4x＜5}，则（ ）A. -1.2∈AB. 30.9∉AC. log230∈AD. A∩N={1，2，3，4}3. 设向量 ， 是平面内的一组基底，若向量 =-3 与 =共线，则 λ=（ ）A.B.C. -3D. 34. 若 f（x）=a-2+asin2x 为奇函数，则曲线 y=f（x）在 x=0 处的切线的斜率为（ ）A. -2B. -4C. 2D. 45. 已知函数 f（x）在（-∞，+∞）上单调递减，且当 x∈[-2，1]时，f（x）=x2-2x-4，则关于 x 的不等式 f（x）＜-1 的解集为（ ）A. （-∞，-1） B. （-∞，3）C. （-1，3）D. （-1，+∞）6. 某图形由一个等腰直角三角形，一个矩形（矩形中的阴影部分为半圆），一个半圆组成，从该图内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率为（）A.B.C.D.7. 如图，过双曲线 C： =1（a＞0，b＞0）的右焦点 F 作 x 轴的垂线交 C 于 A，B 两点（A 在 B 的上方），若 A，B 到 C 的一条渐 近线的距离分别为 d1，d2，且 d2=4d1，则 C 的离心率为（ ）A.B.C.第 1 页，共 15 页D.8. 若钝角 α 满足，则 tanα=（ ）A.B.C.D.9. 某几何体由一个棱柱与一个棱锥组合而成，其三视图如图所示，其中俯视图和侧视图中的正方形的边长为 2，正视图和俯视图中的三角形均为等腰直角三角形，则该几何体的体积为（ ）A.B. 或 6C.D. 或10. 设，，则（）A.B.C.D.11. 在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c．已知 a∈（ ， ），b=1，且 abcosC+ccosA=abc，则 cosB 的取值范围为（ ）A. （ ， ）B. （ ， ）C. （0， ）D. （0， ）12. 在直角坐标系 xOy 中，直线 y=kx+1 与抛物线 C：x2=4y 交于 A，B 两点，若∠AOB=120°，则 k= （）A.B.C.D.二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 13. 某校有高一学生 n 名，其中男生数与女生数之比为 6：5，为了解学生的视力情况，现要求按分层抽样的方法抽取一个样本容量为 的样本，若样本中男生比女生多 12 人，则 n=______．14. 一个球的内接正方体的表面积为 32，则该球的体积为______．15. 已知 a＞0，则当的展开式的常数项（即不含 x 的项）取得最小值时，a=______．16. 某农户计划种植莴笋和西红柿，种植面积不超过 30 亩，投入资金不超过 25 万元，假设种植莴 笋和西红柿的产量、成本和售价如下表：年产量/亩 年种植成本/亩 每吨售价莴笋 5 吨1 万元0.5 万元西红柿4.5 吨 0.5 万元0.4 万元那么，该农户一年种植总利润（总利润＝总销售收入-总种植成本）的最大值为__________．第 2 页，共 15 页三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分） 17. 在数列{an}中，a1=1，且 an，2n，an+1 成等比数列．（1）求 a2，a3，a4； （2）求数列{a2n}的前 n 项和 Sn．18. 以下是新兵训练时，某炮兵连 8 周中炮弹对同一目标的命中情况的柱状图：（1）计算该炮兵连这 8 周中总的命中频率 p0，并确定第几周的命中频率最高；（2）以（1）中的 p0 作为该炮兵连甲对同一目标的命中率，若每次发射相互独立，且炮兵甲发 射 5 次，记命中的次数为 X，求 X 的方差；（3）以（1）中的 p0 作为该炮兵连炮兵对同一目标的命中率，试问至少要用多少枚这样的炮弹 同时对该目标发射一次，才能使目标被击中的概率超过 0.99．(lg 0.4＝-0.398)19. 如图，在三棱锥 P-ABC 中，PA⊥平面 ABC，且 PA=AB=BC=2，．（1）证明：三棱锥 P-ABC 为鳖臑；（2）若 D 为棱 PB 的中点，求二面角 D-AC-P 的余弦值．注：在《九章算术》中鳖臑是指四面皆为直角三角形的棱锥．第 3 页，共 15 页20. 已知椭圆的短轴长为 2，且椭圆的一个焦点在圆(x-2)2+(y-3)2＝18 上．（1）求椭圆的方程；（2）已知椭圆的焦距小于 4，过椭圆的左焦点 F 的直线 l 与椭圆相交于 A，B 两点，若，求|AB|．21. 已知函数．（1）讨论函数在（1，+∞）上的单调性；（2）若 a≥0，不等式 x2f（x）+a≥2-e 对 x∈（0，+∞）恒成立，求 a 的取值范围．22. 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为，（α 为参数）．以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知点 A 的极坐标为．（1）求曲线 C 的极坐标方程；（2）过 A 作曲线 C 的切线，切点为 M，过 O 作曲线 C 的切线，切点为 N，求 ．第 4 页，共 15 页23. 已知函数 f（x）=| |+|x+2a|．（1）若 a=1，证明：f（|x|）≥5； （2）若 f（1）＜5a2，求 a 的取值范围．第 5 页，共 15 页1.答案：B-------- 答案与解析 --------解析：解：（1+i）（2+i）（3+i）=（1+3i）（3+i）=10i． 故选：B． 直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．2.答案：C解析：解：A={x|x2-4x＜5}={x|-1＜x＜5}， ∵0＜log230＜log232=5， ∴log230∈A 故选：C． 根据元素与集合的关系进行判断 本题主要考查元素与集合的关系，属于基础题．3.答案：B解析：【分析】 本题主要考查向量共线的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力，属基础题．由题得存在 μ∈R，使得，得到关于 μ，λ 的方程组，解之即得解．【解答】解：∵ 与 共线，∴存在实数 μ∈R，使得，即，故 μ=-3，-λμ=-1，∴．故选：B．4.答案：D解析：【分析】 本题考查函数的奇偶性的定义和导数的运用：求切线的斜率，属于基础题． 由奇函数的定义可得 f（0）=0，求得 a=2，求得 f（x）的导数，可得在 x=0 处的切线的斜率． 【解答】 解：f（x）=a-2+asin2x 为奇函数， 可得 f（0）=0，即 a-2=0，可得 a=2，第 6 页，共 15 页则 f（x）=2sin2x， ，为奇函数，符合题意， 其导数为 =4cos2x， 则曲线 y=f（x）在 x=0 处的切线的斜率为 k=4cos0=4． 故选：D．5.答案：D解析：【分析】 本题考查减函数的定义，已知函数求值的方法，根据函数单调性解不等式的方法．根据条件可得出 f（-1）=-1，根据 f（x）在（-∞，+∞）上单调递减，即可由 f（x）＜-1 得出 f（x）＜f（-1），从而 得到 x＞-1，即得出原不等式的解集． 【解答】 解：∵x∈[-2，1]时，f（x）=x2-2x-4； ∴f（-1）=-1； ∵f（x）在（-∞，+∞）上单调递减； ∴由 f（x）＜-1 得，f（x）＜f（-1）； ∴x＞-1； ∴不等式 f（x）＜-1 的解集为（-1，+∞）． 故选：D．6.答案：C解析：解：设矩形的长为 2a，则宽为 a，∴该图形的面积为．阴影部分的面积为．故该点取自阴影部分的概率为 P=．故选：C． 设矩形的长为 2a，则宽为 a，分别求出图形面积及阴影部分面积，再由测度比是面积比得答案． 本题考查几何概型概率的求法，正确求出阴影部分的面积是关键，是基础题．7.答案：B解析：【分析】 本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查双曲线的离心率的求法，意在考查学生对这些知识的理 解掌握水平和分析推理能力，属于简单题． 先求出 d1，d2，化简，即得离心率的值． 【解答】解：易知 A，B 的坐标分别为（c， ），（c，- ），图中对应的渐近线为 bx-ay=0，则 d1= ，d2= ， ∵d2=4d1，∴3c=5b，第 7 页，共 15 页∴9c2=25（c2-a2），5a=4c， ∴e= = ． 故选：B．8.答案：D解析：解：∵钝角 α 满足，∴tanα＜0，且=，求得 tanα=2- ， 故选：D． 由题意利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得 tanα 的值． 本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基 础题．9.答案：D解析：解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为组合体，左边为直三棱柱 ABC-EFG， 右边为四棱锥 P-BCGF（或三棱锥 P-CFG 或三棱锥 P-BCF），则或．故选：D． 由三视图还原原几何体，该几何体为组合体，左边为直三棱柱 ABC-EFG，右边为四棱锥 P-BCGF（或 三棱锥 P-CFG 或三棱锥 P-BCF），再由棱柱与棱锥的体积公式求解． 本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．10.答案：D解析：【分析】 本题考查对数值的求法，考查计算能力，属基础题． 把已知条件表示为，lg2，lg3 的方程，求解即可． 【解答】 解：∵a=lg6=lg2+lg3，b=lg20=1+lg2，∴，故选 D．第 8 页，共 15 页11.答案：A解析：解：∵b=1，且 abcosC+ccosA=abc，∴abcosC+bccosA=ac，即：ab•+bc•=ac，∴b2=ac=1，从而 c= ，∴cosB==，∵a∈（ ， ），∴当 a= 时，cosB= ；当 a= 时，cosB= ，又 f（x）=x+ 在（ ，2）上单调递增，故 cosb 的取值范围为（ ， ）． 故选：A． 利用余弦定理化简已知等式可得 c= ，可求 cosB==，结合范围 a∈（ ， ），根据 f（x）=x+ 在（ ，2）上单调递增，可求 cosb 的取值范围．本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了函数的单调性，考查了转化思想和函数思想， 属于中档题．12.答案：A解析：解：y=kx+1 与抛物线 C：x2=4y 联立，可得 x2-4kx-4=0， 设 A（x1，y1），B（x2，y2）， 可得 x1x2=-4，x1+x2=4k，kOA= = ，kOB= = ，由题意可得 tan60°=|=4| |= ，即有（x1+x2）2-4x1x2=27，可得 16k2+16=27，解得 k=± ．故选：A． 联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，以及两直线的夹角公式，化简整理， 计算可得所求值． 本题考查直线和抛物线方程联立，运用韦达定理和直线的斜率公式，以及两直线的夹角公式，考查 化简运算能力，属于中档题．第 9 页，共 15 页13.答案：1320解析：解：∵样本中男生比女生多 12 人，∴（ - ）× =12，即=12，得 n=1320， 故答案为：1320． 根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论． 本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．比较基础．14.答案：解析：解：设正方体棱长为 a，则 6a2=32，解得 a= ，故球的半径 R= =2，∴球的体积 V= = ．故答案为 ． 求出正方体的棱长，得出球的半径，再计算球的体积． 本题考查了棱柱与球的位置关系，几何体的面积与体积计算，属于中档题．15.答案：解析：解：已知 a＞0，则=（a3-x）[1+ + + • +…+ • ]的展开式的常数项为 a3-9a， 令 f（a）=a3-9a，则 f′（a）=3a2-9，则当 a= 时，f′（a）=0，f（a）=a3-9a 取得最小值， 故答案为： ． 利用二项展开式的通项公式，求得展开式的常数项为 f（a）=a3-9a，再利用导数求函数 f（a）的最 小值，可得结论． 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，利用导数求函数的最值，属于中档题．16.答案：43 万元解析：【分析】 本题主要考查了线性规划，解题的关键是得到约束条件和目标函数，同时考查了作图的能力，属于 基础题． 设种植莴笋和西红柿的种植面积分别为 x，y 亩，种植总利润为 z 万元，然后根据题意建立关于 x 与 y 的约束条件，得到目标函数，利用线性规划的知识求出最值时的 x 和 y 的值即可． 【解答】 解：设种植莴笋和西红柿的种植面积分别为 x， y 亩，种植总利润为 z 万元，由题意可知，第 10 页，共 15 页一年的种植总利润为z=0.5×5x+0.4×4.5y-x-0.5y=1.5x+1.3y，作出约束条件如下图阴影部分，由,解得A（20，10），平移直线1.5x+1.3y=0，当过点A（20，10）时，一年的种植总利润为z取最大值43万元．故答案为43万元．17.答案：解：（1）在数列{a n}中，a1=1，且a n，2n，a n+1成等比数列，可得4n=a n a n+1，即有a2=4；a3==4，a4==16；（2）由4n=a n a n+1，4n+1=a n+1a n+2，可得=4，即有数列{a n}的偶数项以4为首项，公比为4的等比数列，可得数列{a2n}的前n项和S n==（4n-1）．解析：（1）由等比数列中项性质，可令n=1，2，3，计算可得所求值；（2）由数列的递推式可得数列{a n}的偶数项以4为首项，公比为4的等比数列，由求和公式，计算可得所求和．本题考查等比数列中项性质和求和公式的运用，考查运算能力，属于基础题．18.答案：解：（1）这8周总命中炮数为40+45+46+49+47+49+53+52=381．总未命中炮数为32+34+30+32+35+33+30+28=254，∴p0==0.6．∵＞，∴根据表中数据易知第8周的命中率最高．（2）由题意可知X～B（5，0.6），则DX=5×0.6×（1-0.6）=1.2．（3）由1-（1-p0）n＞0.99，即1-0.4n＞0.99，得0.4n＜0.01，∴n＞log0.4 0.01==-=≈5.025，故至少要用6枚这样的炮弹同时对该目标发射一次，才能使目标被击中的概率超过0.99．解析：（1）根据古典概型概率公式可得；（2）由题意可知X～B（5，0.6），根据二项分布的方程公式可得．（3）由1-（1-p0）n＞0.99，解得．本题考查了离散型随机变量的期望与方差，属中档题．19.答案：（1）证明：∵AB=BC=2，，∴AB2+BC2=AC2，∴AB⊥BC，△ABC为直角三角形．∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，PA⊥AB，△PAB，△PAC均为直角三角形．∵AB∩PA=A，∴BC⊥平面PAB．又PB⊂平面PAB，∴BC⊥PB，△PBC为直角三角形．故三棱锥P-ABC为鳖臑．（2）解：以B为坐标原点，建立空间直角坐标系B-xyz，如图所示，则A（2，0，0），C（0，2，0），D（1，0，1），则，．设平面ACD的法向量为，则令x=1，则．易知平面PAC的一个法向量为，则．由图可知二面角D-AC-P为锐角，则二面角D-AC-P的余弦值为．解析：（1）证明AB⊥BC，PA⊥BC，PA⊥AB，即可证明BC⊥平面PAB．说明△PBC为直角三角形．推出三棱锥P-ABC为鳖臑．（2）以B为坐标原点，建立空间直角坐标系B-xyz，求出平面ACD的法向量，平面PAC的一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面角D-AC-P的余弦值．本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．20.答案：解：（1）由题意可得2b=2，即b=1，∵椭圆的一个焦点在圆（x-2）2+（y-3）2=18上，当y=0时，解得x=-1或x=5，∴c=1或c=5，当c=1时，a2=b2+c2=2，此时椭圆方程为+y2=1，当c=5时，a2=b2+c2=26，+y2=1，（2）椭圆的焦距小于4，则2c＜4，则c＜2，故c=1，此时椭圆方程为+y2=1，此时椭圆的左焦点F（-1，0），设直线l的方程为x=my-1，由，消x可得（m2+2）y2-2my-1=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），∴y1+y2=，①，y1y2=-，②∵，∴（-1-x1，-y1）=3（x2+1，y2），∴y1=-3y2，③，由①②③可得m2=1，∴|AB|=•=•=•=．解析：本题考查椭圆的定义、方程和性质，考查联立直线方程和椭圆方程，消去未知数，运用韦达定理和弦长公式，考查运算能力，属于中档题．（1）由题意可得b=1，再根据椭圆的一个焦点在圆（x-2）2+（y-3）2=18上可得c=1或c=5，分类讨论，即可求出椭圆方程，（2）由题意可得椭圆方程为+y2=1，此时椭圆的左焦点F（-1，0），设直线l的方程为x=my-1，根据韦达定理，以及向量的关系可得m2=1，再根据弦长公式即可求出．21.答案：解：（1）∵函数，∴x＞0，则g（x）=，．若a≤-，∵x＞1，∴ln x＞0，∴g′（x）＜0，∴g（x）在（1，+∞）上单调递减，若a＞-，令g′（x）=0，得x=，当1＜x＜时，g′（x）＞0，当x＞时，g′（x）＜0，∴g（x）的单调递减区间是（，+∞），单调递增区间为（1，）．（2）a≥0，不等式x2f（x）+a≥2-e对x∈（0，+∞）恒成立，∴x lnx-ax+a+e-2≥0对x∈（0，+∞）恒成立，设h（x）=x lnx-ax+a+e-2，则h′（x）=ln x+1-a，令h′（x）=0，得x=e a-1，当x∈（0，e a-1）时，h′（x）＜0，当x∈（e a-1，+∞）时，h′（x）＞0，∴h（x）的最小值为h（e a-1）=（a-1）e a-1+a+e-2-ae a-1=a+e-2-e a-1，令t（a）=a+e-2-e a-1，则t′（a）=1-e a-1，令t′（a）=0，得a=1，当a∈[0，1）时，t′（a）＞0，t（a）在[0，1）上单调递增，当a∈[1，+∞）时，t′（a）0，t（a）在[1，+∞）上单调递减，∴当a∈[0，1）时，h（x）的最小值为t（a）≥t（0）=e-2-，当a∈[1，+∞）时，h（x）的最小值为t（a）=a+e-2-e a-1≥0=t（2），∴a的取值范围是[0，2]．解析：本题考查导数的综合应用，考查推理能力和运算求解能力，考查化归与转化思想，是难题．（1）x＞0，．利用分类讨论思想结合导数性质能讨论函数在（1，+∞）上的单调性．（2）推导出x lnx-ax+a+e-2≥0对x∈（0，+∞）恒成立，设h（x）=x lnx-ax+a+e-2，则h′（x）=ln x+1-a，由此利用导数性质，结合分类讨论思想能求出a的取值范围．22.答案：解：（1）由消去α得曲线C的直角坐标方程为：（x-2）2+（y-3）2=1，即x2+y2-4x-6y+12=0，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2得曲线C的极坐标方程为：ρ2-4ρcosθ-6ρsinθ+12=0（2）点A的极坐标为．所以点A的极坐标为A（0，3），|AC|=2，|OC|==，∴|AM==，|ON|===2，∴==2．解析：（1）由消去α得曲线C的直角坐标方程为：（x-2）2+（y-3）2=1，即x2+y2-4x-6y+12=0，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2得曲线C的极坐标方程为：ρ2-4ρcosθ-6ρsinθ+12=0（2）利用勾股定理可得|AM|，|ON|，再求比值．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.答案：解：（1）证明：若a=1，则，f（|x|）=+1+|x|+2=+|x|+3≥2+3=5，当且仅当x=±1时，等号成立，从而f（|x|）≥5（2）由f（1）＜5a2，得|a+1|+|1+2a|＜5a2，当a≤1时，-3a-2＜5a2，即5a2+3a+2＞0恒成立，则a≤-1；当-1＜a＜-时，-a＜5a2，则-1＜a＜-；当a≥-时，3a+2＜5a2，则-≤a或a＞1，综上，a的取值范围为（-∞，-）∪（1，+∞）解析：（1）利用基本不等式证明f（|x|）≥5；（2）即解不等式|a+1|+|1+2a|＜5a2，再利用分类讨论法解不等式得解．本题主要考查基本不等式，考查利用零点分类讨论法解不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．属中档题．。
河南省新乡市2020届高三第二次模拟考试(强化版)数学(理)试卷
数学(理科)第I 卷一､选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分｡在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的｡1.设集合A={-1,0,1,2,32},{|20}B x x x =--<,则A ∩B= A.{x|-1<x<2}B.{-1,0,1,2}C.{0,1,2}D.{0,1}2.若复数z 满足z(2+i)=5i,则z= A.1-2iB.1+2iC.-1-2iD.-1+2i3.已知向量(2,23),(3,1)==a b ,则向量a ,b 的夹角为.6A π.3B π2.3C π5.6D π 4.已知0.21.23log 5,3,3a b c -===,则A.b<c<aB.b<a<cC.a<c<bD.a<b<c5.已知角α的终边上有一点(2,2),P -则3sin(2)2πα+= 1.3A -7.9B -1.3C7.9D 6.右图是甲､乙两个工厂的轮胎宽度的雷达图｡根据右图中的信息,下面说法错误的是A.甲厂轮胎宽度的平均数大于乙厂轮胎宽度的平均数B.甲厂轮胎宽度的众数大于乙厂轮胎宽度的众数C.甲厂轮胎宽度的中位数与乙厂轮胎宽度的中位数相同D.甲厂轮胎宽度的极差小于乙厂轮胎宽度的极差 7.函数2()(1)cos 1xf x e=--x 的部分图象大致为8.已知一个圆柱的侧面积等于表面积的一半,且其轴截面的周长是18,则该圆柱的体积是 A.54πB.36πC.27πD.18π9.在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知8,(sin 3)sin b c b B C c C +=-+=asinA,则△ABC 的面积的最大值是A.4.43BC.8.83D 10.已知函数f(x)=A cos(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的图象的一个最高点为(,3),12π-与之相邻的一个对称中心为(,0),6π将f(x)的图象向右平移6π个单位长度得到函数g(x)的图象,则 A.g(x)为偶函数.()B g x 的一个单调递增区间为5[,]1212ππ-C.g(x)为奇函数D.函数g(x)在[0,]2π上有两个零点11.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的虚轴的一个顶点为N(0,1),左顶点为M,双曲线C 的左､右焦点分别为12,,F F 点P 为线段MN 上的动点,当12PF PF ⋅取得最小值和最大值时12,PF F 的面积分别为12,,S S 若212,S S =则双曲线C 的离心率为.2.22B.23C.5D 12.在正方体1111ABCD A B C D -中,E,F 分别为线段11,A B AB 的中点,O 为四棱锥E-11C D DC 的外接球的球心,点M,N 分别是直线1,DD EF 上的动点,记直线OC 与MN 所成角为θ,则当θ最小时,tanθ=221A42B11205C1121D 第II 卷二､填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分｡将答案填在答题卡中的横线上｡ 13.已知点(1,2)在抛物线22y x =上,则该抛物线的焦点坐标为____.14.若实数x,y 满足约束条件2022033x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则z=x-3y 的最小值为____.15.祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家､天文学家｡他一生钻研自然科学,其主要贡献在数学､天文历法和机械制造三方面,特别是在探索圆周率π的精确度上,首次将“π”精确到小数点后第七位,即π=3.1415926...在此基础上,我们从“圆周率”第三到第八位有效数字中随机取两个数字a,b,则事件"|a-b|≤3"的概率为____16.已知函数4321()(),()2232x f x x m g x x x x x =-+=--++，若12,(0,1),x x ∀∈∃∈R 21()(),f x g x <则m 的取值范围为____三､解答题:共70分｡解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤｡第17~21题为必考题,每道试题考生都必须作答｡第22､23题为选考题,考生根据要求作答｡(一)必考题:共60分｡ 17.(12分)在数列{}n a 中,a 12111,3,320(n n n a a a a a n +-==-+=∈+N ,且n ≥2)｡ (1)证明:数列1{}n n a a +-是等比数列｡ (2)求数列{}n a 的通项公式｡ 18.(12分)如图1,在梯形ABCD 中,AB//CD,且AB=2CD,△ABC 是等腰直角三角形,其中BC 为斜边,若把△ACD 沿AC 边折叠到△ACP 的位置,使平面PAC ⊥平面ABC,如图2.(1)证明:AB ⊥PA.(2)若E 为棱BC 的中点,求二面角B-PA-E 的余弦值｡ 19.(12分)已知函数()().xf x ax e a =-∈R (1)讨论f(x)的单调性;(2)讨论f(x)在(0,+∞)上的零点个数｡ 20.(12分)某公司准备上市一款新型轿车零配件,上市之前拟在其一个下属4S 店进行连续30天的试销,定价为1000元/件｡(1)设日销售40个零件的概率为p,记5天中恰有2天销售40个零件的概率为z,写出z 关于p 的函数关系式,并求z 的极大值点p 0.(2)试销结束后统计得到该4S 店这30内的日销售量(单位:件)的数据如下表:其中,1000元,但生产公司对该款零件不零售,只提供零件的整箱批发,大箱每箱有55件,批发价为550元/件;小箱每箱有40件,批发价为600元/件,以这30天统计的各日销售量的频率作为试销后各日销售量发生的概率｡该4S 店决定每天批发两箱,若同时批发大箱和小箱,则先销售小箱内的零件,同时根据公司规定,当天没销售出的零件按批发价的9折转给该公司的另一下属4S 店,假设日销售量为80件的概率为2p ,其中P 0为(1)中z 的极大值点. (i)设该4S 店批发两大箱,当天这款零件的利润为随机变量X;批发两小箱,当天这款零件的利润为随机变量Y,求EX 和EY;(ii)以日利润的数学期望作为决策依据,该4S 店每天应该按什么方案批发零件? 21.(12分)已知椭圆C:22221(0x y a b a b+=>>)的离心率为,2且四个顶点构成的四边形的面积是(1)求椭圆C 的方程;(2)已知直线l 经过点P(-2,0),且不垂直于y 轴,直线l 与椭圆C 交于A,B 两点,M 为AB 的中点,直线OM 与椭圆C 交于E,F 两点(O 是坐标原点),求四边形AEBF 的面积的最小值.(二)选考题:共10分.请考生在第22､23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分. 22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分) 在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为3cos ,23sin x y αα=⎧⎨=+⎩(α为参数).以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为sin()4πρθ-=(1)求C 与l 的直角坐标方程;(2)若直线l 与曲线C 交于M,N 两点,点P(-2,2),求-11||||PM PN +的值.23.[选修4-5:不等式选讲](10分) 已知函数f(x)=|x+a|+|x-5|.(1)当a=3时,求不等式f(x)≤10的解集; (2)若f(x)≥1.求a 的取值范围.。
2020届河南省新乡市新乡一中高三二模数学(理)试题解析
绝密★启用前2020届河南省新乡市新乡一中高三二模数学（理）试题 注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．设集合{}|214A x x =<-<，{}2|4120B x x x =--…，则()A B =R U ð（ ） A ．()2,1--B ．()3,6-C ．(]3,6-D ．()6,2-答案：B 算出集合B ，求出B R ð，直接进行交集运算即可.解：因为{}|31A x x =-<<-，{}|26B x x =-<<R ð，所以(){}|36A B x x =-<<R U ð.故选：B点评：本题考查集合的并集、补集运算，属于基础题.2．已知复数1z i =-，z 为z 的共轭复数，则1z z +=（ ） A ．32i + B ．12i + C ．132i - D ．132i + 答案：C 求出z ，直接由复数的代数形式的乘除运算化简复数.解：121312z i i z i +--==+. 故选：C点评：本题考查复数的代数形式的四则运算，共轭复数，属于基础题.3．已知向量()0,2=r a ，()b x =r ，且a r 与b r 的夹角为3π，则x =（ ） A ．-2B ．2C ．1D ．-1答案：B a b π⋅r r解： 由题意21cos 32212a b a b x π⋅===+r r r r ， 所以0x >，且2212x x =+，解得2x =.故选：B.点评：本题考查了利用向量的数量积求向量的夹角，属于基础题. 4．若x ，y 满足约束条件0,2,10,x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则4z x y =+的取值范围为（ ）A ．[]5,1--B ．[]5,5-C ．[]1,5-D ．[]7,3- 答案：B根据约束条件作出可行域，找到使直线4y x z =-+的截距取最值得点，相应坐标代入4z x y =+即可求得取值范围.解：画出可行域，如图所示：由图可知，当直线4z x y =+经过点()1,1A --时，z 取得最小值－5；经过点()1,1B 时，z 取得最大值5，故55z -剟.故选：B点评：本题考查根据线性规划求范围，属于基础题.5．如图所示的程序框图，当其运行结果为31时，则图中判断框①处应填入的是（ ）A ．3?i ≤B ．4?i ≤C ．5?i ≤D ．6?i ≤答案：C 根据程序框图的运行，循环算出当31S =时，结束运行，总结分析即可得出答案. 解：由题可知，程序框图的运行结果为31，当1S =时，9i =；当1910S =+=时，8i =；当19818S =++=时，7i =；当198725S =+++=时，6i =；当1987631S =++++=时，5i =.此时输出31S =.故选：C.点评：本题考查根据程序框图的循环结构，已知输出结果求条件框，属于基础题.6．函数3()cos ln ||f x x x x x =+在[,0)(0,]ππ-U 的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．答案：B先考虑奇偶性，再考虑特殊值，用排除法即可得到正确答案.解：()f x 是奇函数，排除C ，D ；()2()ln 0f ππππ=-<，排除A . 故选：B.本题考查函数图象的判断，属于常考题.7．山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外.据统计，烟台苹果（把苹果近似看成球体）的直径（单位：mm ）服从正态分布()280,5N ，则直径在(]75,90内的概率为（ ）附：若()2~,X N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<+=„，()220.9544P X μσμσ-<+=„.A ．0.6826B ．0.8413C ．0.8185D ．0.9544答案：C根据服从的正态分布可得80μ=，5σ=，将所求概率转化为()2P X μσμσ-<≤+，结合正态分布曲线的性质可求得结果.解：由题意，80μ=，5σ=，则()75850.6826P X <=„，()70900.9544P X <=„， 所以()()185900.95440.68260.13592P X <=⨯-=„，()75900.68260.13590.8185P X <=+=„.故果实直径在(]75,90内的概率为0.8185.故选：C点评：本题考查根据正态分布求解待定区间的概率问题，考查了正态曲线的对称性，属于基础题.8．已知椭圆22y a +22x b=1(a >b >0)与直线1y a x b -=交于A ，B 两点，焦点F (0，-c )，其中c 为半焦距，若△ABF 是直角三角形，则该椭圆的离心率为（ ）A B C D 答案：A联立直线与椭圆方程求出交点A ，B 两点，利用平面向量垂直的坐标表示得到关于,,a b c 的关系式，解方程求解即可.联立方程222211y x a b y x a b⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解方程可得0x y a =⎧⎨=⎩或0x b y =-⎧⎨=⎩， 不妨设A (0，a )，B (-b ，0)，由题意可知，BA u u u r ·BF u u u r=0， 因为(),BA b a =u u u r ，(),BF b c =-u u u r ，由平面向量垂直的坐标表示可得，0b b ac ⋅-=，因为222b a c =-，所以a 2-c 2=ac ，两边同时除以2a 可得，210e e +-=，解得ee =，故选：A点评：本题考查椭圆方程及其性质、离心率的求解、平面向量垂直的坐标表示；考查运算求解能力和知识迁移能力；利用平面向量垂直的坐标表示得到关于,,a b c 的关系式是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.9．将函数f (x )=sin 3xcos 3x +1的图象向左平移6π个单位长度，得到函数g (x )的图象，给出下列关于g (x )的结论：①它的图象关于直线x =59π对称； ②它的最小正周期为23π； ③它的图象关于点(1118π，1)对称； ④它在[51939ππ，]上单调递增. 其中所有正确结论的编号是（ ）A ．①②B ．②③C ．①②④D ．②③④ 答案：B根据函数()sin y A ωx φ=+图象的平移变换公式求出函数()g x 的解析式，再利用正弦解：因为f (x )=sin 3x -3cos 3x +1=2sin (3x -3π)+1，由()sin y A ωx φ=+图象的平移变换公式知， 函数g (x )=2sin [3(x +6π)-3π]+1=2sin (3x +6π)+1，其最小正周期为23T π=，故②正确； 令3x +6π=k π+2π，得x =3k π+9π(k ∈Z )，所以x =59π不是对称轴，故①错误； 令3x +6π=k π，得x =3k π-18π(k ∈Z )，取k =2，得x =1118π，故函数g (x )的图象关于点(1118π，1)对称，故③正确； 令2k π-2π≤3x +6π≤2k π+2π，k ∈Z ，得23k π-29π≤x ≤23k π+9π，取k =2，得109π≤x ≤139π，取k =3，得169π≤x ≤199π，故④错误； 故选：B点评：本题考查()sin y A ωx φ=+图象的平移变换和正弦函数的对称性、单调性和最小正周期等性质；考查运算求解能力和整体代换思想；熟练掌握正弦函数的对称性、单调性和最小正周期等相关性质是求解本题的关键;属于中档题、常考题型10．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AB AA =，E F ，分别为AB BC ，的中点，异面直线1AB 与1C F 所成角的余弦值为m ，则( )A ．直线1A E 与直线1C F 异面，且2m =B ．直线1A E 与直线1C F 共面，且2m =C ．直线1A E 与直线1C F 异面，且3m =D ．直线1AE 与直线1CF 共面，且3m = 答案：B连接EF ，11A C ，1C D ，DF ，由正四棱柱的特征可知11EF AC P ，再由平面的基本性。
河南省新乡市2020届高三高考数学(理科)三模试题
抛物线
抛物线x2＝ay的准线为
则 与抛物线y＝﹣x2﹣2x+1相切，
所以 ，所以
故选：B
【点睛】
本题考查抛物线的准线方程，考查抛物线的切线，属于基础题.
4．D
【分析】
先判断函数的单调性，结合函数的特值可得结果.
【详解】
由 ，则
当 时， ，则 ，
所以函数 在 上单调递增，排除选项A，C
又 ，排除除选项B
（2）若 ，求数列 的前 项和 ．
18．在一次庙会上，有个“套圈游戏”，规则如下：每人3个竹环，向A，B两个目标投掷，先向目标A掷一次，套中得1分，没有套中不得分，再向目标B连续掷两次，每套中一次得2分，没套中不得分，根据最终得分发放奖品．已知小华每投掷一次，套中目标A的概率为 ，套中目标B的概率为 ，假设小华每次投掷的结果相互独立．
16．在直四棱柱 中，侧棱长为6，底面是边长为8的菱形，且 ，点 在边 上，且满足 ，动点 在该四棱柱的表面上运动，并且总保持 ，则动点 的轨迹围成的图形的面积为______；当 与平面 所成角最大时，异面直线 与 所成角的余弦值为_______．
四、解答题
17．已知数列 的前 项和为 ，且 ．
（1）求 的通项公式；
A．（﹣1，1）B．（﹣1， ）C．[﹣1，1）D．（﹣ ，1]
3．若抛物线x2＝ay的准线与抛物线y＝﹣x2﹣2x+1相切，则a＝（）
A．8B．﹣8C．﹣4D．4
4．函数 的部分图象大致为（）
A． B．
C． D．
5．执行如图所示的程序框图，则输出的 （）
A．5B．3C．6D．4
6．函数f（x）＝2sin2（ωx﹣ ）＞（ω＞0）的最小正周期为π．则f（x）在 上的最小值是（）
2020年河南省新乡市高考数学二模试卷(理科)(强化版) (含答案解析)
2020年河南省新乡市高考数学二模试卷(理科)(强化版)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若集合A={1,2，3}，B={x|x2−2x≥0}，则A∩B=()A. {2}B. {3}C. {1,2}D. {2,3}2.复数z=21−i+2+i的虚部是()A. 3B. 2C. 2iD. 3i3.已知向量a⃗=(−2,2，0)，b⃗ =(1,0，−1)，则它们的夹角是()A. 30°B. 45°C. 60°D. 120°4.设a=log32,b=log23,c=log125，则()A. c<b<aB. a<c<bC. c<a<bD. b<c<a5.已知角α的终边上有一点(−3,1)，则tan2α=()A. −2B. −3C. −13D. −346.下列说法错误的是()A. 平均数反映数据的集中趋势，方差反映数据分散程度的大小B. 一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据C. 平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势D. 众数是一组数据中出现次数最多的数7.f(x)=|x|cosxe x+e−x的部分图象大致为()A. B.C. D.8.已知圆柱的高为3，且其侧面积是18π，则该圆柱的体积为()A. 9πB. 18πC. 27πD. 54π9. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a b=b+√3c a，sinC =2√3sinB ，则tanA =( ) A. √3B. 1C. √33D. −√310. 将函数f(x)=2sin (ωx +π4)(ω>0)的图象向右平移π4ω个单位，得到函数y =g(x)的图象，若y =g(x)在[−π6,π3]上为增函数，则ω的最大值为( )．A. 54B. 32C. 2D. 311. 已知A 是双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左顶点，F 1、F 2分别为双曲线的左、右焦点，P 为双曲线上一点，G 是△PF 1F 2的重心，若GA ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则双曲线的离心率为( )A. 3B. 2C. 4D. 与λ的取值有关12. 如图，四面体ABCD 中，AB ，BC ，BD 两两垂直，BC =BD =2，点E 是CD的中点，异面直线AD 与BE 所成角的余弦值为√1010，则直线BE 与平面ACD 所成角的正弦值为( )A. √23B. 23C. 2√23D. 13二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 方程为y =−14x 2，则该抛物线的焦点坐标是______ ．14. 设x ，y 满足约束条件{x −2≥0y +2≥0x +2y −6≤0，则z =x +y 的最小值是________．15. 从数字1，2，3，4，5中任取两个数字相加，和是3的倍数的概率为________． 16. 已知函数f(x)=lnx x ，g(x)=13x 3−12x 2+m ，∀x 1∈(0,3]，∃x 2∈[−1,2]，使得f(x 1)<g(x 2)，则实数m 的取值范围是______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知等比数列{a n}中，a1+a3是a2与a4的等差中项，且以a3−2，a3，a3+2为边长的三角形是直角三角形．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)若数列{b n}满足b1=2，且b n+1=b n+a n+n，求数列{b n}的通项公式．18.如图，长方体ABCD−A1B1C1D1的侧面A1ADD1是正方形．(1)证明：A1D⊥平面ABD1；(2)若AD=2，AB=4，求二面角B1−AD1−C的余弦值．19.已知函数f(x)=e x−ax−ln2(a∈R)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当a=2时，求函数g(x)=f(x)+ln2−cosx在(−π2,+∞)上的零点个数．20.某糕点房推出一类新品蛋糕，该蛋糕的成本价为4元，售价为8元．受保质期的影响，当天没有销售完的部分只能销毁．经过长期的调研，统计了一下该新品的日需求量．现将近期一个月(30天)的需求量展示如下：(1)从这30天中任取两天，求两天的日需求量均为40个的概率；(2)以表中的频率作为概率，根据分布列求出该糕点房一天制作35个该类蛋糕时，对应的利润的期望值E(X)=3203；现有员工建议扩大生产一天45个，试列出生产45个时，利润Y的分布列并求出期望E(Y)，并以此判断此建议该不该被采纳．21.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，其中左焦点为F(−2,0)．(1)求椭圆C的方程；(2)若直线y=x+m与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点M在圆x2+y2=1上，求m的值．22.在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为{x=3+5cosθy=−4+5sinθ(θ为参数)，以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C的极坐标方程；(2)过点P(2,0)，倾斜角为π4的直线l与曲线C相交于M，N两点，求1|PM|+1|PN|的值．23.已知函数f(x)=|x|+|x−2|．(1)求关于x的不等式f(x)<3的解集；(2)如果关于x的不等式f(x)<a的解集不是空集，求实数a的取值范围．【答案与解析】1.答案：D解析：解：B={x|x≤0，或x≥2}；∴A∩B={2,3}．故选：D．可求出集合B，然后进行交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算．2.答案：B解析：解：∵z=21−i +2+i=2(1+i)(1−i)(1+i)+2+i=1+i+2+i=3+2i，∴复数z=21−i+2+i的虚部是2．故选：B．直接利用复数代数形式的四则运算化简得答案．本题考查复数代数形式的四则运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.答案：D解析：解：∵向量a⃗=(−2,2，0)，b⃗ =(1,0，−1)，∴|a⃗|=√(−2)2+22+02=2√2，|b⃗ |=√12+02+(−1)2=√2，a⃗⋅b⃗ =−2×1+2×0+0×(−1)=−2，∴cos<a⃗，b⃗ >=a⃗ ⋅b⃗|a⃗ ||b⃗|=2√2×√2=−12∴两向量的夹角<a⃗，b⃗ >=120°故选：D由题意可得向量的模长和数量积，代入夹角公式可得夹角余弦值，进而可得夹角．本题考查数量积与向量的夹角，属基础题．4.答案：C解析：本题考查比较大小，利用对数函数的图象和性质直接比较即可，属基础题．解：由对数函数的图象和性质可知：a=log32∈(0,1)，b=log23∈(1,+∞)，c=log125∈(−∞,0)，所以c<a<b．故选C．5.答案：D解析：本题考查三角函数的定义以及二倍角公式，属于基础题．由三角函数的定义求出tanα，再由二倍角公式求出tan2α．解：由三角函数的定义可得：tanα=1−3=−13，所以tan2α=2tanα1−tan2α=2×(−13)1−(−13)2=−34，故选D．6.答案：B解析：本题考查中位数、众数、平均数、等基本概念，解题时要认真审题，考查学生对概念的理解能力，是基础题．利用平均数不大于最大值，不小于最小值进行解题．解：平均数不大于最大值，不小于最小值．故选B．7.答案：A解析：本题主要考查函数图象的判断和识别，结合函数奇偶性和特殊值的符号是否一致是解决本题的关键．先判断函数的奇偶性，然后利用特殊点的函数值的符号进行排除即可．解：f(−x)=|−x|cos(−x)e−x+e x =|x|cosxe x+e−x=f(x)，定义域为R，则f(x)是偶函数，排除C，f(π)=|π|cosπeπ+e−π=−πeπ+e−π<0，排除B，D．故选A．8.答案：C解析：解：设该圆柱的底面圆的半径为r，则2πrℎ=6πr=18π，解得r=3，故该圆柱的体积为πr2ℎ=27π．故选：C．设出圆柱的底面半径，利用侧面积求出底面半径，然后求解圆柱的体积．本题考查的知识点：圆柱的侧面积以及体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．9.答案：C解析：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，属于基础题．利用正弦定理求出a2=7b2，c=2√3b，进而利用余弦定理求出A，即可求出结果．解：由题意得，ab =sinAsinB=sinB+√3sinCsinA=7sinBsinA=7ba,∴a2=7b2，又sinC=2√3sinB，故c=2√3b，cosA=b2+c2−a22bc =2224√3b2=√32，∵0<A<π，∴A=π6，∴tanA=√33，故选C．10.答案：B解析：本题主要考查了函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质，主要考查函数的图像变换和函数的单调性，根据题意列出式子即可求出结果．解：将f(x)的图象向右平移π4ω得g(x)=2sin[ω(x−π4ω)+π4]，即g(x)=2sinωx的图象．所以当y=g(x)满足ωx∈[−π2+2kπ,π2+2kπ](k∈Z)，即x∈[−π2ω+2kπω,π2ω+2kπω](k∈Z)时，y=g(x)单调递增．因为y=g(x)在[−π6,π3]上为增函数，所以{−π2ω≤−π6π2ω≥π3即ω≤32，故选B．11.答案：A解析：解：由题意，PG =2GO ，GA//PF 1， ∴2OA =AF 1，∴2a =c −a ，∴c =3a ， ∴e =c a=3．故选：A ．由题意，PG =2GO ，GA//PF 1，可得2OA =AF 1，即可求出双曲线的离心率． 本题考查双曲线的离心率，考查学生的计算能力，比较基础．12.答案：C解析：本题考查利用空间坐标系的方法研究异面直线所成角和直线与平面的夹角，属于一般题． 以BC 、BD 、BA 为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量数量积的公式结合AD 、BE 所成角的余弦值为√1010解出BA 的长度是4，可求直线BE 与平面ACD 所成角的正弦值．解：以BC 、BD 、BA 为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，由题意得D(0,2，0)，C(2,0，0)，E(1,1，0)， 设A 点的坐标为(0,0，z)(z >0)， 则BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1，0)，AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，−z)， ∴AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =√2⋅√4+z 2⋅cos <AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BE ⃗⃗⃗⃗⃗ >=2， ∵AD 与BE 所成的角的余弦值为√1010，可得24+z 2=110，解得z =4，即BA 的长度是4，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，−4)，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2,0)， 设平面ACD 的法向量为m⃗⃗⃗ =(a,b,c )， 则{2b −4c =0−2a +2b =0，令c =1，则m⃗⃗⃗ =(2,2,1)， 设直线BE 与平面ACD 所成的角为θ， 则sinθ=|BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·m ⃗⃗⃗ ||BE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |=3√2=2√23， 故选C ．13.答案：(0,−1)解析：解：∵抛物线方程为y =−14x 2，化为x 2=−4y 中，2p =4，解得p =2， ∴抛物线x 2=−4y 的焦点坐标为(0,−1)． 故答案为：(0,−1)．抛物线x 2=−2py(p >0)的焦点坐标为(0,−p2)本题考查抛物线的焦点坐标的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意抛物线的简单性质的灵活运用．14.答案：0解析：先画出可行域的边界，即三个直线方程对应的直线，再利用一元二次不等式表示平面区域的规律，确定可行域，将目标函数的函数值看做目标函数对应直线的纵截距，平移目标函数，数形结合找到最优解，即可求出结果．本题考查了线性规划的方法和思想，一元二次不等式表示平面区域的规律和区域的画法，利用可行域数形结合求目标函数最值的方法．解：依题意x ，y 满足约束条件{x −2≥0y +2≥0x +2y −6≤0，画图如下：当z=0时，有直线l1：x+y=0和直线l2：x−y=0，并分别在上图表示出来，当直线向x−y=0向下平移并过A点的时候，目标函数z=x+y有最小值，此时最优解就是A点，联立x−2=0和y+2=0，可解得点A的坐标是：A(2,−2)，所以目标函数z=x+y的最小值是0．故答案为0．15.答案：25解析：本题主要考查古典概型概率的求解，考查的核心素养是计算．先利用枚举法将基本事件逐一列出，然后找出“和是3的倍数”包含的基本事件，最后利用古典概型的概率计算公式进行求解．解：从数字1，2，3，4，5中任取两个数字的情况有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10种，其中“和是3的倍数”包含的情况有(1,2)，(1,5)，(2,4)，(4,5)，共4种，故所求概率P=410=25．16.答案：(1e −23,+∞)解析：本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值，考查恒成立问题与存在性问题的综合，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．∀x1∈(0,3]，∃x2∈[−1,2]，使得f(x1)<g(x2)，可得f(x1)max<g(x2)max，x∈[−1,2].利用以及函数f(x)，g(x)的单调性极值与最值即可得出．解：∀x1∈(0,3]，∃x2∈[−1,2]，使得f(x1)<g(x2)，∴f(x1)max<g(x2)max，函数f(x)=lnxx，x∈(0,3]，f′(x)=1−lnxx，可得x=e时函数f(x)取得极大值即最大值，∴f(x1)max=f(e)=1e．函数g(x)=13x3−12x2+m，x∈[−1,2]，g′(x)=x2−x=x(x−1)，易知g(x)在(−1,0)和(1,2)上递增，在[0,1]上递减，所以x=0时，函数g(x)取得极大值，g(0)=m．又g(2)=83−2+m=23+m．可得：g(x)max=23+m．∵f(x1)max<g(x)max，∴1e <23+m，解得m>1e−23．∴m的取值范围为：(1e −23,+∞)．故答案为：(1e −23,+∞)．17.答案：解：(Ⅰ)∵以a3−2，a3，a3+2为边长的三角形是直角三角形，∴(a3−2)2+a32=(a3+2)2，∵a3≠0，∴a3=8，∵a1+a3是a2与a4的等差中项，∴2(a1+a3)=a2+a4，∴2(8q2+8)=8q+8q，∴q=2，a1=822=2，∴a n=2n；(Ⅱ)∵b n+1=b n+a n+n，∴b n+1−b n=a n+n，∴b n−b1=(b n−b n−1)+(b n−1−b n−2)+⋯…+(b2−b1)(n≥2)=(2+22+⋯+2n−1)+(1+2+⋯+n−1)=2(1−2n−1)1−2+n(n−1)2，∴b n=2n+n(n−1)2(n≥2)，当n=1时，b1=2也成立．∴b n=2n+n(n−1)2．解析：本题考查等比数列的通项，考查数列的求和，确定数列的通项是关键．(Ⅰ)利用以a3−2，a3，a3+2为边长的三角形是直角三角形，求出a3，利用a1+a3是a2与a4的等差中项，求出公比，即可求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)利用叠加法，可求数列{b n}的通项公式．18.答案：解：(1)证明：如图1，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，∵AB⊥平面ADD1A1，又A1D在平面ADD1A1内，∴AB⊥A1D，∵四边形A1ADD1是正方形，∴AD1⊥A1D，又AB∩AD1=A，∴A 1D ⊥平面ABD 1；(2)如图2，以点D 为坐标原点，建立空间直角坐标系D −xyz ，则A(2,0，0)，C(0,4，0)，D 1(0,0，2)，B 1(2,4，2)，故AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,4,0),AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,2),AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4,2)， 设平面ACD 1的一个法向量为m ⃗⃗⃗ =(x,y,z)，则{m ⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x +4y =0m ⃗⃗⃗ ⋅AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x +2z =0，可取m⃗⃗⃗ =(2,1,2)， 同理可求平面AD 1B 1的一个法向量为n ⃗ =(2,−1,2)， ∴cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=√9×√9=79，观察可得二面角二面角B 1−AD 1−C 为锐角，其余弦值为79．解析：(1)由AB ⊥平面ADD 1A 1，可得AB ⊥A 1D ，由四边形A 1ADD 1是正方形，可得AD 1⊥A 1D ，进而得证；(2)建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，利用向量的夹角公式即可求得余弦值．本题考查线面垂直的判定以及利用空间向量求解二面角问题，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．19.答案：解：(1)，其定义域为，，①当时，因为，所以在上单调递增，②当时，令得，令得，所以在上单调递减，上单调递增，综上所述，当时，在上单调递增， 当时，在单调递减，单调递增．(2)方法一：由已知得，，则．①当时，因为，所以在单调递减，所以，所以在上无零点;②当时，因为单调递增，且，，所以存在，使，当时，，当时，，所以在递减，递增，且，所以，又因为，所以，所以在上存在一个零点，所以在上有两个零点;③当时，，所以在单调递增，因为，所以在上无零点;综上所述，在上的零点个数为2个．方法二：由已知得，，则．①当时，因为，所以在单调递增，所以，所以在上无零点;②当时，所以在单调递增，又因为，，所以使，当时，，当时，所以在单调递减，单调递增，且，所以，又因为，所以，所以在上存在唯一零点，在上存在两个零点，综上所述，在上的零点个数为2个．解析：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，以及利用导数研究函数的零点，是中档题．(1)先求出导函数f′(x)，再对a分情况讨论，利用导函数的正负即可得到函数f(x)的单调性；(2)由已知得g(x)=e x−2x−cosx，x∈(− π 2,+∞)，对x的范围分情况讨论，分别讨论函数g(x)的零点个数，从而得到g(x)在(− π 2,+∞)上的零点个数为2个．20.答案：解：(1)从这30天中任取2天，基本事件总数n=C302，2天的日需求量均为40个包含的基本事件个数m=C102，∴两天的日需求量均为40个的概率P=C102C302=329．(2)设该糕点房制作45个蛋糕对应的利润为y，P(y=−20)=16，P(y=60)=13，P(y=140)=13，P(y=180)=16，∴y的分布列为：y−2060 140180P16131316E(y)=−20×16+60×13+140×13+180×16=2803，∵该糕点房一天制作35个该类蛋糕时，对应的利润的期望值E(X)=3203，280 3<3203，∴此建议不该被采纳．解析：(1)从这30天中任取2天，基本事件总数n=C302，2天的日需求量均为40个包含的基本事件个数m=C102，由此能求出两天的日需求量均为40个的概率．(2)设该糕点房制作45个蛋糕对应的利润为y ，分虽求出相应的概率，能求出y 的分布列和E(y)=2803，由2803<3203，得到此建议不该被采纳．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法及应用，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21.答案：解：(1)解(1)由题意，得{ca=√22,c =2,a 2=b 2+c 2,解得{a =2√2,b =2.∴椭圆C 的方程为x 28+y 24=1．(2)设点A ，B 的坐标分别为(x 1,y 1)，(x 2,y 2)， 线段AB 的中点为M(x 0,y 0)，由{x 28+y 24=1,y =x +m,，消去y 得，3x 2+4mx +2m 2−8=0， △=16m 2−12(2m 2−8)=96−8m 2>0， ∴−2√3<m <2√3， ∵x 0=12(x 1+x 2)=−23m ，∴y 0=x 0+m =13m ，∵点M(x 0,y 0)在圆x 2+y 2=1上， ∴49m 2+19m 2=1，∴m =±3√55．解析：本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与圆锥曲线位置关系的应用，体现了“设而不求”的解题思想方法，是中档题．(1)直接由已知列关于a ，b ，c 的方程组，求解方程组得到a ，b 的值，则椭圆方程可求； (2)联立直线方程和椭圆方程，化为关于x 的一元二次方程，利用根与系数的关系求得线段AB 的中点M 的坐标，代入圆的方程求得m 的值．22.答案：解：(1)曲线C 的参数方程为{x =3+5cosθy =−4+5sinθ(θ为参数)，转换为直角坐标方程为(x −3)2+(y +4)2=25，转换为极坐标方程为ρ2+8ρsinθ−6ρcosθ=0，化简为ρ=6cosθ−8sinθ．(2)过点P(2,0)，倾斜角为π4的直线l ，整理得参数方程为{x =2+√22t y =√22t(t 为参数)，把直线的参数方程代入圆的直角坐标方程得：t 2+3√2t −8=0， 所以t 1+t 2=−3√2，t 1t 2=−8， 所以1|PM|+1|PN|=|t 1−t 2||t 1t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2|t 1t 2|=√18+328=5√28．解析：(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：(1)不等式f(x)<3，即|x|+|x −2|<3．当x ≤0时，−2x +2<3，∴x >−12，∴−12<x ≤0； 当0<x <2时，2<3，恒成立；当x ≥2时，2x −2<3，x <52，∴2≤x <52， 综上所述，不等式的解集为{x|−12<x <52}. (2)f(x)=|x|+|x −2|≥|x −(x −2)|=2， ∵关于x 的不等式f(x)<a 的解集不是空集， ∴a >2．故实数a 的取值范围是(2,+∞)．解析：(1)不等式f(x)<3，即|x|+|x −2|<3，分类讨论，即可求关于x 的不等式f(x)<3的解集； (2)如果关于x 的不等式f(x)<a 的解集不是空集，则a 大于函数的最小值，即可求实数a 的取值范围．本题考查绝对值不等式的解法，考查绝对值不等式的运用，属于中档题．。
河南省新乡市新乡一中2020届高三上学期第二次模拟考试数学(理)试题及答案
理科数学考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M ＝{x ｜0≤x ≤4}，N ＝{x ｜y ＝3－x ，y ∈M}，则M ∩N ＝A ．[0，3]B ．[0，4]C ．[－1，4]D ．[－1，3]2．若复数z 满足，则z ＝()211i i z ＋＝－ A ．1－i B ．1＋i C ．－1－i D ．－1＋i3．人体的体质指数（BMI ）的计算公式：BMI ＝体重÷身高2（体重单位为kg ，身高单位为m ）．其判定标准如下表：某小学生的身高为1．5 m ，在一次体检时，医生告诉他属于超标类，则此学生的体重可能是 A ．47 kg B ．51 kg C ．66 kg D ．70 kg4．若x ，y 满足约束条件则z ＝4x ＋3y 的最小值为1133x y x y x y ⎧⎪⎨⎪⎩＋≥，－≥－，＋≤，A ．9 B ．6．5 C ．4 D ．35．已知数列{}是等差数列，且＝3，则＋＋＝n a 9a 4a 8a 122a A ．12 B ．9 C ．6 D ．36．某种微生物的繁殖速度y 与生长环境中的营养物质浓度x 相关，在一定条件下可用回归模型y ＝2lg x 进行拟合．在这个条件下，要使y 增加2个单位，则应该A ．使x 增加1个单位B ．使x 增加2个单位C ．使x 增加到原来的2倍D ．使x 增加到原来的10倍7．已知O 是△ABC 的重心，且，则实数λ＝ 20OAOB BC λ ＋＋＝A ．3 B ．2 C ．1 D ． 128．某三棱柱的平面展开图如图，网格中的小正方形的边长均为1，K 是线段DI 上的点，则在原三棱柱中，AK ＋CK 的最小值为A B C ．D 9．已知函数f （x ）的定义域为R ，且f （x ＋1）是偶函数，f （x －1）是奇函数，则下列说法正确的个数为①f （7）＝0；②f （x ）的一个周期为8；③f （x ）图像的一个对称中心为（3，0）；④f （x ）图像的一条对称轴为x ＝2019．A ．1B ．2C ．3D ．410．将函数图像上所有的点按照向量m ＝（a ，0）（a ≠0）平移得到函()sin 3f x x π⎛⎫ ⎪⎝⎭＝＋数g （x ）的图像，若，则｜a ｜的最小值为 3355f g ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝ A ． B ． C ． D ． 415π1330π1315π1715π11．如图所示，直线l 与双曲线E ：（a ＞0，b ＞0）的两条渐近线分别交于A ，22221x y a b－＝B 两点，若·＝－4，且△AOB 的面积为，则E 的离心率为OA OBA B C ．2 D12．已知函数若f （a ）＝f （b ）（a ＜b ），则ab 的最小值为 ()1212log 18212x x x f x x ⎧⎪⎨⎪⎩＋，≤＜，＝，≤≤，A ．B ． CD ．1 1412二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．的展开式中x 2y 4项的系数为__________． 6122x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋14．曲线y ＝（x 2＋2）e x 在点（0，2）处的切线方程为__________．15．已知圆C ：（x －a ）2＋（y －2）2＝4，直线l ：x ＋ay －1＝0与圆C 交于A ，B 两点，且△ABC 为等腰直角三角形，则实数a ＝__________．16．已知数列{}是各项均为正数的等比数列，其前项和为，且＝1，＝7．若n a n n S 1a 3S 关于的不等式＜的解集中有6个正整数，则实数k 的取值范围是n n S 22log n k a ＋________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知． tan tan a A b B （Ⅰ）证明：△ABC 是等腰三角形；（Ⅱ）若a ：b ：c ＝1 ：x ：y ，且△ABC ，求y 的值．18．（12分）某包子店每天早晨会提前做好若干笼包子，以保证当天及时供应，每卖出一笼包子的利 润为40元，当天未卖出的包子作废料处理，每笼亏损20元．该包子店记录了60天包子的日需求量n （单位：笼，n ∈N ），整理得到如图所示的条形图，以这60天各需求量的 频率代替相应的概率．（Ⅰ）设X 为一天的包子需求量，求X 的数学期望．（Ⅱ）若该包子店想保证80％以上的天数能够足量供应，则每天至少要做多少笼包子? （Ⅲ）为了减少浪费，该包子店一天只做18笼包子，设Y 为当天的利润（单位：元），求Y 的分布列和数学期望．19．（12分）如图，已知四棱锥S －ABCD ，平面SAD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是菱形，SA ＝SD ．（Ⅰ）若∠BAD ＝120°，证明：SC ⊥BC ；（Ⅱ）若3BD ＝6AC ＝8SA ，求平面SAB 与平面SCD 所成锐二面角的余弦值．20．（12分）设椭圆C ：（a ＞1）的左顶点为A ，右焦点为F ，已知｜AF ｜＝ 2221x y a＋＝2（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）抛物线y 2＝2px （p ＞0）与直线x ＝2交于P ，Q 两点，直线AP 与椭圆C 交于点B （异于点A ），若直线BQ 与AP 垂直，求p 的值．21．（12分）已知函数f （x ）＝ax 2lnx （a ≠0）．（Ⅰ）讨论函数f （x ）的单调性；（Ⅱ）若存在a ∈（0，＋∞），对任意的x ∈（0，＋∞），不等式恒成 ()422x f x bx ≤＋立，求实数b 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为（t 为参数），曲线C的参82x ty ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝－，＝数方程为（s 为参数）．23x s y ⎧⎪⎨⎪⎩＝，＝（Ⅰ）求直线l 和曲线C 的普通方程；（Ⅱ）设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 距离的最小值及此时P 点的坐标．23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）已知a ，b ，c 为正数，且abc ＝1，证明：（Ⅰ）（2a ＋1）（2b ＋1）（2c ＋1）≥27； （Ⅱ）．()()()22211134a b c b a c c a b ＋≤＋＋＋理科数学·答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．1.［答案］A［命题意图］本题考查集合的表示以及集合运算，考查运算求解能力以及化归与转化思想．［解析］依题意得O罢王3-x罢王4，解得一l,;.;;x罢王3，即N=!xi -1,;.;;x，；二剖，所以M门N=i x l O，；三Z罢王3f.2. ［答案］D【命题意图］本题考查复数的基本运算．【解析】z＝电子＝呜±il＝一1+ i.3.［答案］C［命题意图］本题考查推理与证明，考查推理论证能力以及估算思想．［解析］由题意得，体重＝BMI×身高2，因为此人属于超标，所以BMI e [24 ,29. 9］，所以此学生的体重范围为[24 X 1. 52 ,29. 9×1. 52 J，即［54,67.275］，故正确答案为C.4.［答案］D［命题意图］本题考查线性规划，考查化归与转化能力以及数形结合思想．［解析］不等式组所表示的可行域为下图中的LABC，当目标函数对应的直线经过点B(O,l）时，z取得最小值3.y5.［答案］A［命题意图］本题考查等差数列的性质，考查运算求解能力以及函数与方程思想．［解析］因为I a. i是等差数列，所以a4+ a8 + 2a12 = 2a6 + 2a12 = 4a9 = 12.6.［答案］D［命题意图］本题考查回归模型的概念．［解析］y =2lg z，则y+ 2 = 21g X + 2 = 2 (lg X + 1 ) = 21g lOx，所以应该使z增加到原来的10倍．7. ［答案］C［命题意图］本题考查向量的线性运算，考查运算求解能力以及函数与方程思想．［解析］芮＋20主＋λ亘古二日＋2而＋λ（而－OB）二日＋(2 －λ）而＋λ苟＝0，因为0是LABC的重心，『2λ＝1.所以J’解得λ＝1.lλ＝ 1,8.［答案］B［命题意图］本题考查空间图形和平面图形的转化与计算，考查运算求解能力及空间想象能力．［解析］将展开图折成立体图形，如图①，然后再把空间最短距离问题转化为平面两点间的距离最短问题，如。
河南省新乡市2019-2020学年高考数学二模试卷含解析
河南省新乡市2019-2020学年高考数学二模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在明代程大位所著的《算法统宗》中有这样一首歌谣，“放牧人粗心大意，三畜偷偷吃苗青，苗主扣住牛马羊，要求赔偿五斗粮，三畜户主愿赔偿，牛马羊吃得异样．马吃了牛的一半，羊吃了马的一半．”请问各畜赔多少？它的大意是放牧人放牧时粗心大意，牛、马、羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、马、羊向其主人要求赔偿五斗粮食（1斗=10升），三畜的主人同意赔偿，但牛、马、羊吃的青苗量各不相同．马吃的青苗是牛的一半，羊吃的青苗是马的一半．问羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食？（ ） A ．2550100,,777B ．252550,,1477C ．100200400,,777 D ．50100200,,777【答案】D 【解析】 【分析】设羊户赔粮1a 升,马户赔粮2a 升,牛户赔粮3a 升,易知123,,a a a 成等比数列,1232,50q a a a =++=,结合等比数列的性质可求出答案. 【详解】设羊户赔粮1a 升,马户赔粮2a 升,牛户赔粮3a 升,则123,,a a a 成等比数列,且公比1232,50q a a a =++=,则1(1a q +)250q +=,故1250501227a ==++,2110027a a ==,23120027a a ==. 故选:D. 【点睛】本题考查数列与数学文化,考查了等比数列的性质,考查了学生的运算求解能力,属于基础题. 2．如图所示的程序框图，若输入4a =，3b =，则输出的结果是（ ）A ．6B ．7C ．5D ．8【答案】B 【解析】 【分析】列举出循环的每一步，可得出输出结果. 【详解】4i =，3S =，22S a b >不成立，239S ==，415i =+=；22S a b >不成立，2981S ==，516i =+=；22S a b >不成立，2816561S ==，617i =+=； 22S a b >成立，输出i 的值为7.故选：B. 【点睛】本题考查利用程序框图计算输出结果，一般要将算法的每一步列举出来，考查计算能力，属于基础题. 3．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】分析：根据离心率得a,c 关系，进而得a,b 关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果. 详解：因为渐近线方程为，所以渐近线方程为，选A.点睛：已知双曲线方程求渐近线方程：.4．设双曲线221x y a b+=的一条渐近线为2y x =-，且一个焦点与抛物线24x y =的焦点相同，则此双曲线的方程为（ ） A ．225514x y -= B ．225514y x -= C ．225514y x -= D ．225514x y -= 【答案】C 【解析】 【分析】求得抛物线的焦点坐标，可得双曲线方程221y x b a-=-的渐近线方程为b y x a =-，由题意可得4b a =-，又21c =，即1b a -=，解得a ，b ，即可得到所求双曲线的方程. 【详解】解：抛物线24x y =的焦点为()0,1可得双曲线()2210,0x y b a a b+=><即为221y x b a-=-的渐近线方程为y =2=，即4b a =- 又21c =，即1b a -= 解得15a =-，45b =. 即双曲线的方程为225514y x -=.故选：C 【点睛】本题主要考查了求双曲线的方程，属于中档题.5．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若495,81a S ==，则10a =（ ） A ．23 B ．25C ．28D ．29【答案】D 【解析】 【分析】由981S =可求59a =，再求公差，再求解即可. 【详解】解：{}n a Q 是等差数列95981S a ∴==59a ∴=，又45a =Q ， ∴公差为4d =，410629a a d ∴=+=，故选：D 【点睛】考查等差数列的有关性质、运算求解能力和推理论证能力，是基础题. 6．已知{}n a 为等比数列，583a a +=-，4918a a =-，则211a a +=（ ） A ．9 B ．－9C ．212D ．214-【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的下标和性质可求出58,a a ,便可得出等比数列的公比,再根据等比数列的性质即可求出211a a +.【详解】∵4958+=+,∴495818a a a a ==-,又583a a +=-,可解得5863a a =-⎧⎨=⎩或5836a a =⎧⎨=-⎩ 设等比数列{}n a 的公比为q ,则当5863a a =-⎧⎨=⎩时,38512a q a ==-, ∴3521183612131222a a a a q q -⎛⎫+=+=+⨯-= ⎪⎝⎭-； 当5836a a =⎧⎨=-⎩时, 3852a q a ==-,∴()()35211833216222a a a a q q +=+=+-⨯-=-. 故选：C ． 【点睛】本题主要考查等比数列的性质应用,意在考查学生的数学运算能力,属于基础题. 7．已知集合{}1,0,1,2A =-，{}|lg(1)B x y x ==-，则A B =I （ ） A ．{2} B ．{1,0}-C ．{}1-D ．{1,0,1}-【答案】B 【解析】 【分析】求出集合B ，利用集合的基本运算即可得到结论. 【详解】由10x ->，得1x <，则集合{}|1B x x =<， 所以，{}1,0A B ⋂=-. 故选：B. 【点睛】本题主要考查集合的基本运算，利用函数的性质求出集合B 是解决本题的关键，属于基础题. 8．已知直线2:0l x m y +=与直线:0n x y m ++=则“//l n ”是“1m =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】利用充分必要条件的定义可判断两个条件之间的关系. 【详解】若//l n ，则2111m ⨯=⨯，故1m =或1m =-，当1m =时，直线:0l x y +=，直线:10n x y ++= ，此时两条直线平行； 当1m =-时，直线:+0l x y =，直线:10n x y +-= ，此时两条直线平行. 所以当//l n 时，推不出1m =，故“//l n ”是“1m =”的不充分条件， 当1m =时，可以推出//l n ，故“//l n ”是“1m =”的必要条件， 故选：B. 【点睛】本题考查两条直线的位置关系以及必要不充分条件的判断，前者应根据系数关系来考虑，后者依据两个条件之间的推出关系，本题属于中档题.9．在区间[1,1]-上随机取一个数k ，使直线(3)y k x =+与圆221x y +=相交的概率为（ ）A ．12B ．13C D 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线与圆相交，可求出k 的取值范围，根据几何概型可求出相交的概率. 【详解】因为圆心(0,0)，半径1r =，直线与圆相交，所以1d =≤，解得44k -≤≤所以相交的概率224P ==,故选C.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，几何概型，属于中档题.10．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为1，4，8，14，23，36，54，则该数列的第19项为（ ）（注：2222(1)(21)1236n n n n ++++++=L ）A ．1624B ．1024C ．1198D ．1560【答案】B 【解析】 【分析】根据高阶等差数列的定义，求得等差数列{}n c 的通项公式和前n 项和，利用累加法求得数列{}n a 的通项公式，进而求得19a . 【详解】 依题意n a ：1，4，8，14，23，36，54，……两两作差得n b ：3，4，6，9，13，18，……两两作差得n c ：1，2，3，4，5，……设该数列为{}n a ，令1n n n b a a +=-，设{}n b 的前n 项和为n B ，又令1+=-n n n c b b ，设{}n c 的前n 项和为n C .易n c n =，22n n n C +=，进而得21332n n n n b C ++=+=+，所以2(1)133222n n n n b n -=+=-+，则(1)(1)36n n n n B n +-=+，所以11n n a B +=+，所以191024a =.故选：B 【点睛】本小题主要考查新定义数列的理解和运用，考查累加法求数列的通项公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.11．若函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，||)2πϕ<图象的一个对称中心为(3π，0)，其相邻一条对称轴方程为712x π=，该对称轴处所对应的函数值为1-，为了得到()cos2g x x =的图象，则只要将()f x 的图象( ) A ．向右平移6π个单位长度 B ．向左平移12π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向右平移12π个单位长度【答案】B 【解析】 【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，可得()f x 的解析式，再根据函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律，诱导公式，得出结论． 【详解】根据已知函数()()sin f x A x ωϕ=+(其中0A >，)2πϕ<的图象过点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，7,112π⎛⎫-⎪⎝⎭， 可得1A =，1274123πππω⋅=-， 解得：2ω=．再根据五点法作图可得23πϕπ⋅+=，可得：3πϕ=，可得函数解析式为：()sin 2.3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭故把()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移12π个单位长度， 可得sin 2cos236y x x ππ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭的图象， 故选B ． 【点睛】本题主要考查由函数()sin y A x ωϕ=+的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律，诱导公式的应用，属于中档题．12．若实数,x y 满足不等式组121210x y x y x y +≥-⎧⎪-≤-⎨⎪--≤⎩，则234x y -+的最大值为（ ）A ．1-B ．2-C ．3D ．2【答案】C 【解析】 【分析】作出可行域，直线目标函数对应的直线l ，平移该直线可得最优解． 【详解】作出可行域，如图由射线AB ，线段AC ，射线CD 围成的阴影部分（含边界），作直线:2340l x y -+=，平移直线l ，当l 过点(1,1)C 时，234z x y =-+取得最大值1． 故选：C ．【点睛】本题考查简单的线性规划问题，解题关键是作出可行域，本题要注意可行域不是一个封闭图形． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年河南省新乡一中高考数学二模试卷(理科) (含答案解析)
2020年河南省新乡一中高考数学二模试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={x|x2−x−12>0}，B={x|−2≤x≤6}，则(∁R A)∪B=()A. RB. [−3,6]C. [−2,4]D. (−3,6]2.设复数z=1+i1−i，则z·z−=()A. 1+iB. 1−iC. 1D. 23.已知向量a⃗=(3,4)，b⃗ =(−3,1)，a⃗与b⃗ 的夹角为θ，则tanθ等于()A. 13B. −13C. −3D. 34.若实数x，y满足约束条件{x+y≥0x−y≥−12x−y≤2，则目标函数z=x−2y的最小值是()A. −5B. −32C. 0D. 25.执行如程序框图所示的程序，若输出的值是5，则框图中①处可填入()A. S≥6B. S≥10C. S≥15D. S≥216.函数f(x)=sinx2+cosx(−π≤x≤π)的图象大致为()A. B.C. D.7.已知随机变量X服从正态分布N(1 , σ2)，若P(0<X⩽1)=0.3，则P(X⩾2)等于()A. 0.7B. 0.35C. 0.4D. 0.28.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1，过左焦点F1作斜率为1的直线l与C交于A，B两点，若线段AB的中垂线与x轴交于P(−c3,0)(c为椭圆的半焦距)，则椭圆的离心率为()A. 12B. √22C. √32D. √239.函数f(x)=2sin (2x+π6)的图像为M，则下列结论中正确的是()A. 图像M关于直线x=−π12对称B. 由y=2sin2x的图像向左平移π6得到MC. 图像M关于点(−π12,0)对称D. f(x)在区间(−π12,5π12)上递增10.已知正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AA1=4，AB=2，E是AA1的中点，则异面直线D1C与BE所成角的余弦值为()A. 15B. 3√1010C. √1010D. 3511.已知数列{a n}前项n和s n=n2+4n(n∈N∗)，数列{b n}为等比数列，首项b1=2，公比为q(q>0)，且满足b2，b3+4q，b4成等差数列．(1)求数列{a n}，{b n}的通项公式；(2)设c n=3(a n−3)⋅b n4，记数列{c n}的前n项和为T n，求T n．下列选项中正确的是()A. 2×3n−1；B. 2×3n−1；(n−1)3n+1+34C. 5×3n−1；(2n−1)3n+2+34D. 6×3n−1；E. 2×3n−1；(2n−1)32n+1+34F. 2×3n−1；(2n−1)3n+1+4412.已知函数f(x)=lnx+12ax2−2x有两个极值点，则a的取值范围是()A. B. (0,2) C. (0,1) D. (0,3)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若等比数列{a n}满足a1=2，a4=16，则a3=__________．14.抛物线y2=8x与双曲线上一点x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的有共同的焦点F，两曲线在第一象限的交点为P(x0,y0)，且P到焦点F的距离为5，则双曲线的离心率e=______ ．15.已知(2x+√2)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则(a0+a2+a4)2−(a1+a3)2=_______16.在三棱锥A−BCD中，AB=CD=√2，AD=BC=AC=BD=√5，则三棱锥A−BCD外接球的表面积为________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，sin2(B+C)=cos(B−C)−cos(B+C)．(1)若a=c，求cos A的值；(2)设A=90∘，且a=√2，求△ABC的面积．18.甲乙两个地区高三年级分别有33000人，30000人，为了了解两个地区全体高三年级学生在该地区二模考试的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两个地区一共抽取了105名学生的数学成绩，并作出了如下的频数分布统计表，规定考试成绩在[120,150]内为优秀．甲地区：乙地区：分组[70,80)[80,90)[90,100)[100,110)频数1298分组[110,120)[120,130)[130,140)[140,150]频数1010y3(Ⅰ)计算x，y的值；(Ⅱ)根据抽样结果分别估计甲地区和乙地区的优秀率；若将此优秀率作为概率，现从乙地区所有学生中随机抽取3人，求抽取出的优秀学生人数ξ的数学期望；(Ⅲ)根据抽样结果，从样本中优秀的学生中随机抽取3人，求抽取出的甲地区学生人数η的分布列及数学期望．19.如图，多面体ABCE中，平面AEC⊥平面ABC，AC⊥BC，AE⊥CD四边形BCDE为平行四边形．(Ⅰ)证明：AE⊥EC；(Ⅱ)若AE=EC=CB=√2，求二面角D−AC−E的余弦值．20.已知抛物线x2=2py(p>0)上一点M(32,m)到它的准线的距离为52．(1)求p的值；(2)在直线l上任意一点P(a,−2)作曲线C的切线，切点分别为M，N，求证：直线MN过定点．21.设函数f(x)=alnx+x2−1．(1)讨论f(x)的单调性；(2)当x∈[√2,+∞)时，f(x)≥0，求a的取值范围．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=2+√3cosθ(θ为参数)，以坐标原点O为y=√3sinθ极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P(ρ,θ)(ρ>0,0≤θ≤2π)是曲线C在极坐标中的任意一点．.(Ⅰ)证明：4cosθ=ρ+1ρ(Ⅱ)求θ的取值范围．23.已知函数f(x)=|x−4|+|1−x|，x∈R.(1)解不等式：f(x)≤5；(2)记f(x)的最小值为M，若实数ab满足a2+b2=M，试证明：1a2+2+1b2+1≥23．【答案与解析】1.答案：B解析：本题考查了集合并集和补集的运算，属于基础题． 先求出集合A 的补集，再根据并集定义求出结果． 解：∵A ={x|x 2−x −12>0}， ∴(∁R A)={x|x 2−x −12≤0}=[−3,4]，∵B ={x|−2≤x ≤6}=[−2,6] ∴(∁R A)∪B =[−3,6]故选：B ．2.答案：C解析：解：∵z =1+i1−i =(1+i)2(1−i)(1+i)=2i 2=i ，∴z ·z −=|z|2=1． 故选：C ．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由zz −=|z|2求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础的计算题．3.答案：C解析：本题考查了向量的数量积公式，属于基础题．首先由向量的数量积公式求出夹角的余弦值，根据夹角范围求出正弦值，最后求正切． 解：由已知得到cosθ=a ⃗ ⋅b⃗ |a ⃗ ||b ⃗ |=√32+42×√(−3)2+12=5√10=−√1010， 又θ∈[0,π]，所以sinθ=3√1010， 所以tanθ=sinθcosθ=−3； 故选C ．4.答案：A解析：本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，属于基础题． 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可． 解：由z =x −2y 得y =12x −z2作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分ABC)：平移直线y =12x ，由图象可知当直线y =12x −z2，过点B 时，直线y =12x −z2的截距最大，此时z 最小， 由{x −y =−12x −y =2，解得B(3,4)． 代入目标函数z =x −2y ， 得z =3−8=−5，∴目标函数z =x −2y 的最小值是−5， 故选：A ．5.答案：C解析：本题主要考查了程序框图的应用问题，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题． 模拟执行程序框图，可得该程序运行后是计算S 的值，满足条件后输出i =5，由此得出判断框中应填入的条件．解：第一次循环：S =1，不满足条件，i =2； 第二次循环：S =3，不满足条件，i =3；第三次循环：S=6，不满足条件，i=4；第四次循环：S=10，不满足条件，i=5；第五次循环：S=15，满足条件，输出的值为5．所以判断框中的条件可填写“S≥15”．故选C．6.答案：A解析：解：f(−x)=−sinx2+cosx=−f(x)则函数f(x)是奇函数，排除C，分母2+cosx>0，则当0<x<π时，sinx>0，则f(x)>0，排除D，f(π4)=√222+√22=√24+√2<f(π2)=12，则B不满足条件．故选：A．利用函数的奇偶性得到图象关于原点对称，利用f(π4)<f(π2)，进行排除即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性和函数值的对应性，利用排除法是解决本题的关键．7.答案：D解析：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查概率的性质，是一个基础题．随机变量X服从正态分布N(1,σ2)，得到曲线关于x=1对称，根据曲线的对称性得到结论．解：∵随机变量X服从正态分布N(1,σ2)，∴曲线关于x=1对称，∵P(0<X⩽1)=0.3，∴P(X≥2)=12−P(0<X≤1)=0.5−0.3=0.2，故选D．8.答案：B解析：本题考查椭圆的离心率，属于中档题．过左焦点F1作斜率为1的直线l方程为y=x+c，联立方程组利用韦达定理得到AB中点M(−a2ca2+b2,b2ca2+b2)，又P(−c3,0)，利用直线PM斜率为−1，即可求出椭圆的离心率．解：过左焦点F1作斜率为1的直线l方程为y=x+c，设A(x1,y1),B(x2,y2)，联立{x2a2+y2b2=1y=x+c，得到(a2+b2)x2+2a2cx+a2c2−a2b2=0，则x1+x2=−2a2ca2+b2，y1+y2=x1+x2+2c=2b2ca2+b2，设AB中点为点M，则M(−a 2ca2+b2,b2ca2+b2)，又P(−c3,0)，由题意可知弦AB中垂线PM的斜率为−1，即−b2ca2+b2−c3+a2ca2+b2=−1，整理得a2=2b2，又b2=a2−c2，所以a2=2(a2−c2)，即c2a2=12，所以离心率e=ca =√22．故选B．9.答案：C解析：本题考查了函数的图象与性质，属于基础题．利用正弦函数的图象和性质，函数的图象变换规律，逐一判断各个选项是否正确即可．解：因为函数的图象为M，令x=−π12，可得f(x)=0，可得图象M关于点(−π12,0)对称，故图象M不关于直线x=−π12对称，故C正确且A不正确；把y=2sin2x的图象向左平移π6，得到函数y=2sin[2(x+π6)]=2sin(2x+π3)的图象，故B不正确；在区间(−π12,5π12)上，2x+π6∈(0,π)，函数在区间(−π12,5π12)上先增后减，故D错误，故选：C．10.答案：B解析：解：在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，连结A1B，根据四棱柱的性质A1B//CD1∵AA1=4，AB=2，∴AE=2，A1B=2√5，BE=2√2在△A1BE中，利用余弦定理求得：cos∠A1BE=3√1010即异面直线BE与CD1所成角的余弦值为：3√1010．故选：B．首先把空间问题转化为平面问题，通过连结A1B得到：A1B//CD1进一步解三角形，利用余弦定理求出结果．本题考查的知识点：异面直线的夹角，余弦定理的应用，及相关的运算．11.答案：A解析：(1)利用已知条件和等量关系求出数列的通项公式．(2)利用(1)的结论，进一步求出数列的通项公式，利用乘公比错位相减法求数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，利用乘公比错位相减法求数列的和．属于基础题型．解(1)当n =1时，a 1=S 1=5．当n ≥2时，a n =S n −S n−1=2n +3，验证n =1时也成立．∴数的通项公式为：a n =2n +3，∵b 2，b 3+4q ，b 4成等差数列，b 1=2.所以2(b 3+4q)=b 2+b 4，即q 2−2q −3=0，因为q >0，∴q =3．∴{b 1=2q =3，∴数的通项公式为：b =2⋅3n−1.(2)∵c n =3(a n −3)b n4=n ·3n ∴T n =c 1+c 2+⋯+c n =1⋅31+2⋅32+⋯+n ⋅3n ①，3Tn =1⋅32+2⋅33+⋯+n ⋅3n +1②． ①−②得：T n =(2n−1)3n+1+34，故选A ．12.答案：C解析：本题考查了函数的极值问题，考查二次函数的性质，属于中档题．求出函数的导数，根据函数的极值的应用以及二次函数的性质得到关于a 的不等式组，解出即可． 解：f ′(x)=1x+ax −2=ax 2−2x+1x，(x >0)，若函数f(x)=lnx +12ax 2−2x 有两个极值点， 则方程ax 2−2x +1=0有2个不相等的正实数根，∴{2a >01a>0Δ=4−4a >0，解得：0<a <1， 故选：C ．13.答案：8解析：本题考查等比数列的通项公式，属于基础题．由已知条件，运用等比数列的通项公式，求出公比，进而求出a 3的值．解：设等比数列{a n }的公比为q ，由a 1=2，a 4=16，则a 1q 3=16，解得q =2，所以a3=a1q2=2×22=8．故答案为8．14.答案：2解析：解：抛物线y2=8x的焦点坐标F(2,0)，∵双曲线上一点x2a2−y2b2=1的有共同的焦点F，∴c=2，即a2+b2=4，∵P到焦点F的距离为5，∴|PF|=x0+p2=x0+2=5，∴x0=3,∴y02=24，∴{9a2−24b2=1a2+b2=4，∴a2=1，b2=3，∴e=ca=2，故答案为：2求出抛物线的焦点坐标，确定双曲线的c=2，结合抛物线的定义建立方程进行求解即可．本题主要考查双曲线离心率的计算，根据抛物线和双曲线的关系求出a，b，c是解决本题的关键，属于中档题．15.答案：16解析：本题考查了二项式定理的应用问题，是基础题．根据题意，分别令x=1和−1，求得a0+a1+a2+a3+a4与a0−a1+a2−a3+a4的值，再计算(a0+a2+a4)2−(a1+a3)2的值．解：(2x+√2)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4中，令x=1，得(2+√2)4=a0+a1+a2+a3+a4，令x=−1，得(−2+√2)4=a0−a1+a2−a3+a4，则(a0+a 2+a 4)2−(a 1+a 3)2=(a0+a1+a2+a3+a4)(a0−a1+a2−a3+a4)=(2+√2)4⋅(−2+√2)4=(2−4)4=16．故答案为16．16.答案：6π解析：【试题解析】本题考查球的表面积球内接多面体及其度量，考查空间想象能力，计算能力，是基础题．取AB的中点E，CD的中点F，连接AF，BF，EF，取EF的中点O，则O为外接球的球心，只需求出EF长，即可得外接球的半径R，结果可得．解：取AB的中点E，CD的中点F，连接AF，BF，EF，取EF的中点O，由题意可知AF⊥CD，BF⊥CD，所以AF=√AC2−CF2=√5−12=√92，同理BF=√92，因为E为AB的中点，所以EF⊥AB，所以EF=√BF2−BE2=√92−12=2，所以OA=OB=√OE2+AE2=√62，OC=OD=√OF2+DF2=√62，则O为外接球的球心，所以外接球的半径R=√62，所以三棱锥A−BCD外接球的表面积为：．故答案为6π．17.答案：解(1)根据题意，sin2(B+C)=cos(B−C)−cos(B+C)，则sin 2A =2sinBsinC ， 由正弦定理可得：a 2=2bc ， 又由a =c ，则a =c =2b ， 由余弦定理可得：cosA =b 2+c 2−a 22bc=14；(2)由(1)知a 2=2bc ，且b 2+c 2=a 2，a =√2， 解得b =c =1，．解析：本题考查三角形中的几何计算，涉及正弦定理、余弦定理的应用，关键是掌握正弦定理、余弦定理的形式，属于中档题．(1)将sin 2(B +C)=cos(B −C)−cos(B +C)变形可得sin 2A =2sinBsinC ，结合正弦定理可得a 2=2bc ，进而可得a =c =2b ，由余弦定理分析可得答案；(2)根据题意，分析可得a =√2，b =c =1，由三角形面积公式计算可得答案．18.答案：解：(Ⅰ)∵抽样比f =10533000+30000=1600，∴甲地区抽取人数=1600×33000=55人， 乙地区抽取人数=1600×30000=50人， ∴由频数分布表知：{2+3+10+15+15+x +3+1=551+2+9+8+10+10+y +3=50 解得x =6，y =7．(Ⅱ)由频数分布表知甲地区优秀率=6+3+155=211，乙地区优秀率=10+7+350=25，现从乙地区所有学生中随机抽取3人，抽取出的优秀学生人数ξ的可能取值为0，1，2，3， ξ～B(3,25)， ∴Eξ=3×25=65．(Ⅲ)从样本中优秀的学生中随机抽取3人，抽取出的甲地区学生人数η的可能取值为0，1，2，3，P(η=0)=C203C303=57203，P(η=1)=C101C202C303=95203，P(η=2)=C102C201C303=45203，P(η=3)=C103C303=6203，∴η的分布列为：η0 1 2 3P5720395203452036203Eη=0×57203+1×95203+2×45203+3×6203=1．解析：(Ⅰ)由已知条件先求出甲地区抽取人数和乙地区抽取人数，由此结合频数分布表能求出x=6，y=7．(Ⅱ)由频数分布表求出甲地区优秀率和乙地区优秀率，从而推导出ξ～B(3,25)，由此能求出Eξ．(Ⅲ)由已知条件得η的可能取值为0，1，2，3，分别求出P(η=0)，P(η=1)，P(η=2)，P(η=3)，由此能求出η的分布列和Eη．本题考查频数分布表的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型．19.答案：解：(Ⅰ)证明：因为平面AEC⊥平面ABC，交线为AC，又AC⊥BC，所以BC⊥平面AEC，BC⊥AE，又AE⊥CD，CD∩BC=C，则AE⊥平面BCDE，EC⊂平面BCDE，所以AE⊥EC；(Ⅱ)取AC的中点O，AB的中点F，连接OE，OF，则OE⊥平面ABC，OF⊥平面AEC，以点O为坐标原点，分别以OA，OF，OE为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示，已知AE =EC =CB =√2，则AC =2，OE =1.O(0,0，0)，A(1,0，0)，C(−1,0，0)，D(0,−√2,1)， 则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,0)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−√2,1)， 设平面DAE 的一个法向量m⃗⃗⃗ =(x,y,z)， 由{m ⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,m ⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0得{−2x =0,−x −√2y +z =0令y =√2，则x =0，z =2，即m ⃗⃗⃗ =(0,√2,2)，平面ECA 的一个法向量为n ⃗ =(0,1,0)， 由cos〈m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ 〉=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=√2√2+4=√33， 所以二面角D −AC −E 的余弦值为√33．解析：(I)先证明BC ⊥平面AEC ，AE ⊥平面BCDE ，利用线面垂直的性质证明出结论；(II)以点O 为坐标原点，分别以OA ，OF ，OE 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系如图所示，求出平面DAE 的一个法向量和平面ECA 的一个法向量，利用夹角公式求出即可．考查面面垂直的性质和线面垂直的判定与性质，考查向量法求平面的法向量，求二面角的余弦值等，中档题．20.答案：解：(1)抛物线E ：y 2=2px(p >0)的准线为x =−p2………………………………(2分)由已知得，M(32,m)到准线的距离为52，∴32+p2=52， ∴p =2，∴E 方程：y 2=4x ………………(4分)(2)证明：由已知可设，l 1：x =m 1y +2，l 2：x =m 2y +2 由{y 2=4x,x =m 1y +2得：y 2−4m 1y −8=0 设A(x 1,y 1)，C(x 2,y 2)，则y 1+y 2=4m 1……………………………………(6分)∴y M =2m 1，又x M =2m 12+2，即M(2m 12+2,2m 1)同理可得：N(2m 22+2,2m 2)…………………………………………………(8分)∴k MN =2m 2−2m 1(2+2m 22)−(2+2m 12)=1m 1+m 2(m 1+m 2≠0) ∴MN ：y −2m 1=1m 1+m 2(x −2m 12−2)，即y =1m1+m 2(x −2+2m 1m 2)……………………………………(10分)∵l1，l2的斜率之积为−2，∴1m1⋅1m2=−2即m1m2=−12∴MN：y=1m1+m2(x−3)即直线MN过定点(3,0).…………………(11分)当m1+m2=0时,不妨设m1>0,m2<0,则m1=√22,m2=−√22,MN也过点(3,0)，综上，即直线MN过定点(3,0).…………………(12分)解析：(1)利用已知条件列出方程求出p，即可得到抛物线方程．(2)设出直线方程，利用直线与抛物线的位置关系联立方程组，求出MN的坐标，利用斜率乘积转化证明即可．本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，抛物线的简单性质的应用，考查计算能能力．21.答案：解：(1)f(x)的定义域是(0,+∞)，f′(x)=ax +2x=2x2+ax，①a≥0时，f′(x)>0，f(x)在(0,+∞)递增，②a<0时，令f′(x)>0，解得：x>√−a2，令f′(x)<0，解得：0<x<√−a2，故f(x)在(0,√−a2)递减，在(√−a2,+∞)递增；综上所述，当a≥0时，f(x)在(0,+∞)递增，当a<0时，f(x)在(0,√−a2)递减，在(√−a2,+∞)递增；(2)由(1)a≥0时，f(x)在(0,+∞)递增，而f(1)=0，故x∈[1,+∞)时，f(x)≥0，故当x∈[√2,+∞)时，f(x)≥0成立，故a≥0符合题意，a<0时，f(x)在(0,√−a2)递减，在(√−a2,+∞)递增；令√−a2=√2，解得：a=−4，−4≤a<0时，√−a2≤√2，故f(x)在[√2,+∞)递增，故f(x)min=f(√2)=aln√2+1≥0，解得：−2ln2≤a<0，a<−4时，√−a2>√2，故f(x)在[√2,√−a2)递减，在(√−a2,+∞)递增，f(x)min=f(√−a2)=a2ln(−a2)−a2−1，当x∈[√2,+∞)时，f(x)≥0，只需a2ln(−a2)−a2−1≥0即可，令g(a)=a2ln(−a2)−a2−1，(a<−4)，g′(a)=12ln(−a2)>0，g(a)在(−∞,−4)递增，故g(a)<g(−4)=1−2ln2<0，不合题意；综上，a∈[−2ln2,+∞)．解析：(1)求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；(2)结合(1)通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最小值，得到关于a的不等式，解出即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．22.答案：(Ⅰ)证明：曲线C的参数方程为{x=2+√3cosθy=√3sinθ(θ为参数)，消去参数得到x2+y2−4x+1=0，根据ρ2=x2+y2，x=ρcosθ得到C的极坐标方程为ρ2−4ρcosθ+1=0，所以4cosθ=ρ+1ρ；(Ⅱ)由(Ⅰ)得4cosθ=ρ+1ρ≥2，当且仅当ρ=1时等号成立，所以cosθ≥12，又θ∈[0,2π]，所以θ∈[0,π3]∪[5π3,2π)．解析：本题考查曲线的参数方程以及极坐标方程和普通方程的互化；(Ⅰ)将曲线C 的参数方程为{x =2+√3cosθy =√3sinθ(θ为参数)，化为普通方程，然后根据ρ2=x 2+y 2，x =ρcosθ得到C 的极坐标方程为ρ2−4ρcosθ+1=0，解出4cosθ=ρ+1ρ；(Ⅱ)由(Ⅰ)得4cosθ=ρ+1ρ利用基本不等式得到cosθ≥12，结合θ∈[0,2π]，得到θ∈[0,π3]∪[5π3,2π)．23.答案：解：(1)f(x)=|x −4|+|1−x|={2x −5,x >43,1≤x ≤4−2x +5,x <1．∵f(x)≤5，∴{2x −5≤5x >4或1≤x ≤4或{−2x +5≤5x <1，∴4<x ≤5或1≤x ≤4或0≤x <1，∴0≤x ≤5， ∴不等式的解集为{x|0≤x ≤5}．(2)由(1)知，f(x)min =M =3，∴a 2+b 2=M =3，∴1a 2+2−1b 2+1=(1a 2+2+1b 2+1)[(a 2+2)+(b 2+1)]×16=(2+b 2+1a 2+2+a 2+2b 2+1)×16≥(2+2√b 2+1a 2+2⋅a 2+2b 2+1)×16=23，当且仅当a 2=1，b 2=2时等号成立， ∴1a +2+1b +1≥23．解析：(1)先将f(x)写为分段函数的形式，然后根据f(x)≤5，分别解不等式即可；(2)由(1)可得f(x)min =M =3，从而得到a 2+b 2=3，再由1a +2−1b +1=(1a +2+1b +1)[(a 2+2)+(b 2+1)]×16利用基本不等式求出1a 2+2+1b 2+1的最小值． 本题考查了绝对值不等式的解法和利用基本不等式求最值，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．。
2020年河南省新乡一中高考数学二模试卷(文科)(有答案解析)
2020年河南省新乡一中高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={x|−3<x<−1}，B={x|x2−4x−12≤0}，则A∩B=()A. [−2,−1)B. (−2,−1)C. (−1,6]D. (−3,−1)2.已知复数z=2−i，z−为z的共轭复数，则(1+z)⋅z−=()A. 5+iB. 5−iC. 7−iD. 7+i3.已知向量a⃗=(0,2)，b⃗ =(2√3,x)，且a⃗与b⃗ 的夹角为π3，则x=()A. −2B. 2C. 1D. −l4.若x，y满足约束条件{x−y≤0x+y≤2x+1≥0，则z=y+2x+3的最大值为()A. 12B. 34C. 52D. 35.如图所示的程序框图，当其运行结果为31时，则图中判断框①处应填入的是()A. i≤3?B. i≤4?C. i≤5?D. i≤6?6.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=3−2x，则不等式f(x)>0的解集为()A. (−32,32) B. (−∞,−32)∪(32,+∞)C. (−∞,−32)∪(0,32) D. (−32,0)∪(32,+∞)7.某班45名同学都参加了立定跳远和100米跑两项体育学业水平测试，立定跳远和100米跑合格的人数分别为30和35，两项都不合格的人数为5.现从这45名同学中按测试是否合格分层(分成两项都合格、仅立定跳远合格、仅100米跑合格、两项都不合格四种)抽出9人进行复测，那么抽出来复测的同学中两项都合格的有()A. 1人B. 2人C. 5人D. 6人8.已知椭圆y2a2+x2b2=1(a>b>0)与直线ya−xb=1交于A，B两点焦点P(0,−c)，其中c为半焦距，若△ABF是直角三角形，则该椭圆的离心率为()A. √5−12B. √3−12C. √3+14D. √5+149.将函数f(x)=sin3x−√3cos3x+1的图象向左平移π6个单位长度，得到函数g(x)的图象，给出下列关于g(x)的结论：①它的图象关于直线x=5π9对称；②它的最小正周期为2π3③它的图象关于点(11π18,1)对称；④它在[5π3,19π9]上单调递增．其中所有正确结论的编号是()A. ①②B. ②③C. ①②④D. ②③④10.如图，在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1,AB=√2AA1，E，F分别为AB，BC的中点，异面直线AB1与C1F所成角的余弦值为m，则()A. 直线A1E与直线C1F异面，且m=√23B. 直线A1E与直线C1F共面，且m=√23C. 直线A1E与直线C1F异面，且m=√33D. 直线A1E与直线C1F共面，且m=√3311.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为1，4，8，14，23，36，54，则该数列的第19项为()(注：12+22+32+⋯+n2= n(n+1)(2n+1)6)A. 1624B. 1198C. 1024D. 156012.已知函数f(x)=ae x(a>0)与g(x)=2x2−m(m>0)的图象在第一象限有公共点，且在该点处的切线相同，当实数m变化时，实数a的取值范围为()A. (4e2,+∞) B. (8e2,+∞) C. (0,4e2) D. (0,8e2)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知数列{a n}是等比数列，a1=1，a3=36，则a2=______．14.欧阳修《卖油翁》中写到：(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱入孔入，而钱不湿，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止，若铜钱是直径为2cm的圆，中间有边长为0.5cm的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油(油滴的大小忽略不计)正好落入孔中的概率为______．15.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>b>0)与抛物线y2=8x有一个共同的焦点F，两曲线的一个交点P，若|PF|=5，则点F到双曲线的渐近线的距离为______．16.如图，在三棱锥A−BCD中，点E在BD上，EA=EB=EC=ED，BD=√2CD，△ACD为正三角形，点M，N分别在AE，CD上运动(不含端点)，且AM=CN，则当四面体C−EMN的体积取得最大值23时，三棱锥A−BCD的外接球的表面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(sinA+sinB)(a−b)+bsinC=csinC.点D为边BC的中点，且AD=√7．(1)求A；(2)若b=2c，求△ABC的面积．18.某校高三(1)班在一次语文测试结束后，发现同学们在背诵内容方面失分较为严重．为了提升背诵效果，班主任倡议大家在早、晩读时间站起来大声诵读，为了解同学们对站起来大声诵读的态度，对全班50名同学进行调查，将调查结果进行整理后制成如表：(2)依据第1问的结果及样本数据研究是否赞成站起来大声诵读的态度与考试成绩是否优秀的关系，列出2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为赞成与否的态度与成绩是否优秀有关系．,n=a+b+c+d．参考公式及数据：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)19.如图，ABCD是正方形，点P在以BC为直径的半圆弧上(P不与B，C重合)，E为线段BC的中点，现将正方形ABCD沿BC折起，使得平面ABCD⊥平面BCP．(1)证明：BP⊥平面DCP．(2)若BC=2，当三棱锥D−BPC的体积最大时，求E到平面BDP的距离．20. 设抛物线C ：y 2=2px(p >0)的焦点为F ，准线为l ，AB 为过焦点F 且垂直于x 轴的抛物线C的弦，已知以AB 为直径的圆经过点(−1,0)． (1)求p 的值及该圆的方程；(2)设M 为l 上任意一点，过点M 作C 的切线，切点为N ，证明：MF ⊥NF ． 21. 已知函数f(x)=(x+1)(1+lnx)x−3m ，g(x)=−mx +lnx(m ∈R)．(1)求函数g(x)的单调区间与极值．(2)当m >0时，是否存在x 1，x 2∈[1,2]，使得f(x 1)>g(x 2)成立？若存在，求实数m 的取值范围，若不存在，请说明理由．22. 在直角坐标系xOy 中，已知点M(1,√32)，C 1的参数方程为{x =12+t y =√3t(t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为3ρ2=2+cos 2θ. (1)求C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)设曲线C 1与曲线C 2相交于A ，B 两点，求1|MA|+1|MB|的值．23.已知函数f(x)=|x−3|+|x−1|．(1)求不等式f(x)≤6的解集；(2)设f(x)的最小值为M，正数a，b满足a2+4b2=M，证明：a+2b≥4ab．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：∵集合B={x|x2−4x−12≤0}={x|−2≤x≤6}，集合A={x|−3<x<−1}，∴A∩B={x|−2≤x<−1}，故选：A．先求出集合B，再利用集合的交集运算即可求出A∩B．本题主要考查了集合的基本运算，是基础题．2.答案：D解析：解：∵z=2−i，z−=2+i，则(1+z)⋅z−=(3−i)(2+i)，=7+i．故选：D．直接利用复数代数形式的乘除运算及共轭复数的概念进行化简，即可求解．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．3.答案：B解析：解：∵向量a⃗=(0,2)，b⃗ =(2√3,x)，且a⃗与b⃗ 的夹角为π3，∴a⃗⋅b⃗ =0+2x=2⋅√12+x2⋅cosπ3，即2x=√12+x2，求得x=2，故选：B．由题意利用两个向量的数量积的定义和公式，求出x的值．本题主要考查两个向量的数量积的定义和公式，属于基础题．4.答案：C解析：解：因为z=y+2x+3表示经过点D(−3,−2)和可行域内的点(x,y)的直线的斜率；画出可行域；可知可行域的三个顶点分别为A(−1,3)，B(−1,−1)，C(1,1)；且K AD=52；故z≤52．即z=y+2x+3的最大值为52．故选：C．先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值即可．本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．5.答案：C解析：【分析】本题考查解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环的结果，找规律，属于基础题． 按照程序框图的流程写出前几次循环的结果判断出当i 为何值时输出，得到判断框中的条件． 【解答】解：初始值i =9，S =1模拟执行程序框图，可得S =10，i =8不满足条件，继续循环； S =18，i =7不满足条件，继续循环； S =25，i =6不满足条件，继续循环；S =31，i =5，此时，由题意，应该满足条件，退出循环，输出S 的值为31． 故判断框中应填入的关于i 的条件是i ≤5？ 故选C ． 6.答案：C解析：解：根据题意，f(x)是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f(x)=3−2x ，则其图象如图： 且f(32)=f(−32)=0，则不等式f(x)>0的解集为(−∞,−32)∪(0,32)；故选：C ．根据题意，结合函数的解析式以及奇偶性分析可得f(x)的图象，据此分析可得答案． 本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，以及函数的解析式，属于基础题． 7.答案：C解析：解：设这两项成绩均合格的人数为x ，则立定跳远合格100米跑不合格的人数为30−x ， 则30−x +35+5=45， 得x =25，即这两项成绩均合格的人数是25人，则抽出来复测的同学中两项都合格的有9×2545=5，故选：C ．设这两项成绩均合格的人数为x ，根据集合关系建立方程进行求解即可，再根据分层抽样即可求出． 本题主要考查集合关系的应用和分层抽样的问题，属于基础题． 8.答案：A解析：解：椭圆y 2a 2+x 2b 2=1(a >b >0)与直线y a −xb =1交于A ，B 两点焦点P(0,−c)，其中C 为半焦距，若△ABF 是直角三角形，不妨设A(0,a)，B(−b,0)， 则BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，解得b 2=ac ，即a 2−c 2=ac ，即e 2+e −1=0，e ∈(0,1)， 故e =√5−12．故选：A．利用已知条件求出A、B坐标，结合三角形是直角三角形，推出a、b、c关系，然后求解离心率即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．9.答案：B解析：解：将函数f(x)=sin3x−√3cos3x+1=2sin(3x−π3)+1的图象向左平移π6个单位长度，得到函数g(x)=2sin(3x+π2−π3)+1=2sin(3x+π6)+1的图象．令x=5π9，求得g(x)=2sin11π6+1=0，不是最值，故g(x)的图象不关于直线x=5π9对称，故①不正确；它的最小正周期为2π3，故②正确；当x=11π18时，g(x)=1，故g(x)的图象关于点(11π18,1)对称，故③正确；在[5π3,19π9]上，3x+π6∈[5π+π6,6π+π2]，g(x)没有单调性，故④错误，故选：B．由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，得出结论．本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的图象和性质，属于中档题．10.答案：B解析：解：连结EF，A1C1，C1D，DF，∵E，F分别为AB，BC的中点，∴EF//A1C1，∴直线A1E与直线C1F共面，由题意得AB1//C1D，∴异面直线AB1与C1F所成角为∠DC1F，设AA1=√2，则AB=√2AA1=2，则DF=√5，C1F=√3，C1D=√6，由余弦定理得异面直线AB1与C1F所成角的余弦值：m=cos∠DC1F=2×√3×√6=√23．综上：直线A1E与直线C1F共面，且m=√23．故选：B．连结EF，A1C1，C1D，DF，推导出EF//A1C1，从而直线A1E与直线C1F共面，由题意得AB1//C1D，得异面直线AB1与C1F所成角为∠DC1F，由此能推导出直线A1E与直线C1F共面，且m=√23．本题考查两直线的位置关系的判断，考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．11.答案：C解析：解：设该数列为{a n}，令b n=a n+1−a n，设{b n}的前n项和为B n，又令c n=b n+1−b n，设{c n}的前n项和为C n．易c n =n ，C n =n 2+n 2，进而得b n+1=3+C n =3+n 2+n 2，所以b n =3+n(n−1)2=n 22−12n +3，则B n =n(n+1)(n−1)6+3n ，所以a n+1=1+B n ，所以a 19=1024． 故选：C ．设该数列为{a n }，令b n =a n+1−a n ，设{b n }的前n 项和为B n ，又令c n =b n+1−b n ，设{c n }的前n 项和为C n .运用等差数列的通项公式和求和公式，以及前n 项自然数的平方和公式，计算可得所求． 本题考查数列的求和，注意运用等差数列的通项公式和求和公式，考查构造数列法，化简运算能力，属于中档题． 12.答案：D解析：解：设切点为A(x 0,y 0)，所以{ae x 0=2x 02−m ae x 0=4x 0，整理得{4x 0=2x 02−m x 0>0m >0，由m =2x 02−4x 0>0，解得x 0>2．由上可知a =4x 0e x 0，令ℎ(x)=4x e x ，则ℎ′(x)=4(1−x)e x ．因为x >2，所以ℎ′(x)=4(1−x)e x<0,ℎ(x)=4x e x在(2,+∞)上单调递减，所以0<ℎ(x)<8e 2，即a ∈(0,8e 2)．故选：D ．先设出切点，根据切点是公共点且切点处导数值相等构造方程，由此将m 用切点的横坐标x 0表示出来，根据m 的范围求出x 0的范围，再将a 表示成x 0的函数，利用导数求其值域即可．本题考查了利用导数研究切线问题和研究函数值域的基本思路，属于中档题．注意计算要准确． 13.答案：±6解析：解：设{a n }的公比为q ，由a 1=1，a 3=36，得q 2=36， 所以q =±6， 故a 2=±6． 故答案为：±6结合已知及等比数列的通项公式可求公比q ，进而可求本题主要考查了等比数列的》通项公式的简单应用，属于基础试题14.答案：14π解析：解：正方形的面积S =0.5×0.5=0.25，若铜钱的直径为2cm ，则半径是1，圆的面积S =π×12=π，则随机向铜钱上滴一滴油，则油(油滴的大小忽略不计)正好落入孔中的概率P =0.25π=14π，故答案为：14π．求出圆和正方形的面积，结合几何概型的概率公式进行计算即可．本题主要考查几何概型的概率的计算，求出对应圆和正方形的面积是解决本题的关键．比较基础．15.答案：√3解析：解：∵抛物线y2=8x的焦点坐标F(2,0)，p=4，抛物线的焦点和双曲线的焦点相同，∴p=2c，即c=2，∵设P(m,n)，由抛物线定义知：|PF|=m+p2=m+2=5，∴m=3．∴P点的坐标为(3,±2√6)∴{a2+b2=49a2−24b2=1解得：a=1，b=√3，则渐近线方程为y=±√3x，即有点F到双曲线的渐近线的距离为d=√3√3+1=√3，故答案为：√3．根据抛物线和双曲线有相同的焦点求得p和c的关系，根据抛物线的定义可以求出P的坐标，代入双曲线方程与p=2c，b2=c2−a2，解得a，b，得到渐近线方程，再由点到直线的距离公式计算即可得到．本题主要考查了双曲线，抛物线的简单性质．考查了学生综合分析问题和基本的运算能力．解答关键是利用性质列出方程组．16.答案：32π解析：解：设ED=a，则CD=√2a.可得CE2+DE2=CD2，∴CE⊥ED．当平面ABD⊥平面BCD时，当四面体C−EMN的体积才有可能取得最大值，设AM=x．则四面体C−EMN的体积=13×(a−x)×12×a×x×√22=√212ax(a−x)≤√212a(x+a−x2)2=23，当且仅当x=a2时取等号．解得a=2√2．此时三棱锥A−BCD的外接球的表面积=4πa2=32π．故答案为：32π．设ED=a，则CD=√2a.可得CE⊥ED.当平面ABD⊥平面BCD时，当四面体C−EMN的体积才有可能取得最大值，设AM=x.则四面体C−EMN的体积=13×(a−x)×12×a×x×√22=√212ax(a−x).利用基本不等式的性质可得最大值，进而得出结论．本题考查了直角三角形的性质、三棱锥的体积计算公式、基本不等式的性质、球的表面积，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.答案：解：(1)△ABC中，∵(sinA+sinB)(a−b)+bsinC=csinC；∴(sinA+sinB)(a−b)=(sinC−sinB)c，由正弦定理可得，(a+b)(a−b)=(c−b)c，化简可得，b2+c2−a2=bc，由余弦定理可得，cosA=b2+c2−a22bc =12，∵0<A<π，∴A=π3，(2)∵b2+c2−a2=bc，b=2c，∴a2=3c2=b2−c2，∴B=π2，C=π6；；∴在直角△BAD中，AD2=c2+(a2)2⇒7=c2+34c2⇒c=2，a=2√3；∴S△ABC=12ac=2√3．解析：(1)由已知结合正弦定理可得，b2+c2−a2=bc，然后结合余弦定理可求cos A，进而可求A；(2)先结合第一问的结论求出∴B=π2，C=π6；再在直角△BAD中求出边长即可求出结论．本题综合考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式等知识的综合应用，属于中档试题．18.答案：解：(1)因为测试的优秀率为30%，所以测试成绩优秀的人数为50×30%=15，由表中数据知，优秀分数线应定为125分．(2)由(1)知，测试成绩优秀的学生有50×0.3=15人，其中“赞成的”有10人；测试成绩不优秀的学生有50−15=35人，其中“赞成的”有22人；填写2×2列联表如下：赞成不赞成合计优秀10515不优秀221335合计321850计算K2=50×(10×13−5×22)232×18×15×35=25378≈0.066<2.706，因此，没有90%的把握认为赞成与否的态度与成绩是否优秀有关系．解析：(1)计算测试成绩优秀的人数，结合表中数据得出结论；(2)由题意计算并填写列联表，求出观测值，对照临界值得出结论．本题考查了列联表与独立性检验问题，是基础题．19.答案：(1)证明：因为平面ABCD⊥平面BPC，ABCD是正方形，所以DC⊥平面BPC．因为BP⊂平面BPC，所以BP⊥DC．因为点P在以BC为直径的半圆弧上，所以BP⊥PC．又DC∩PC=C，所以BP⊥平面DCP．(2)解：显然，当点P位于BC⏜的中点时，△BCP的面积最大，三棱锥D−BPC 的体积也最大．因为BC =2，所以PE =1，所以△BEP 的面积为12×1×1=12，所以三棱锥D −BEP 的体积为13×12×2=13．因为BP ⊥平面DCP ，所以BP ⊥DP ，DP =√(2√2)2−(√2)2=√6，△BDP 的面积为12×√2×√6=√3． 设E 到平面BDP 的距离为d ，由13×√3×d =13，得d =√33， 即E 到平面BDP 的距离为√33．解析：(1)先根据面面垂直得到DC ⊥平面BPC ⇒BP ⊥DC ；再结合BP ⊥PC 即可证明结论；(2)先分析何时最大，再结合体积相等即可求解本题主要考查线面垂直的证明以及点到面的距离求解；一般求点到面的距离常用体积相等． 20.答案：解：(1)易知A 点的坐标为(p 2,±p)，所以p =p 2−(−1)，解得p =2，又圆的圆心为F(1,0)，所以圆的方程为(x −1)2+y =4；(2)证明：易知直线MN 的斜率存在且不为0，设M(−1,y 0)，MN 的方程为y =k(x +1)+y 0，代入C 的方程得ky 2−4y +4(y 0+k)=0， 令△=16−16k(y 0+k)=0.得y 0+k =1k ，所以ky 2−4y +4(y 0+k)=k 2y 2−4ky+4k =0，解得y =2k ， 将y =2k 代入C 的方程，得x =1k 2，即N 点的坐标为(1k 2,2k )，所以FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,y 0)，FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1k 2−1,2k)， 所以FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2−2k 2+y 0⋅2k =2−2k 2+(1k −k)⋅2k=0 故MF ⊥NF ．解析：(1)易知A(p 2,±p)，所以p =p 2−(−1)，即可解得p 的值，得到圆心坐标为(1,0)，半径为2，从而求出改圆的方程；(2)设M(−1,y 0)，MN 的方程为y =k(x +1)+y 0，与抛物线方程联立，由△=0可得令△=0可得y 0+k =1k ，所以y =2k ，与抛物线方程联立可求出N 点的坐标，从而得到FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，故MF ⊥NF ． 本题主要考查了抛物线的方程，以及直线与抛物线的位置关系，考查了平面向量的基本知识，是中档题． 21.答案：解：(1)g′(x)=−m +1x ，x >0，当m≤0时，g′(x)>0恒成立，函数g(x)的单调增区间为(0,+∞)，无单调减区间，所以不存在极值，当m>0时，当0<x<1m 时，g′(x)>0此时函数单调递增，当x>1m时，g′(x)<0，此时函数，单调递减故函数g(x)的单调增区间为(0,1m )，单调减区间为(1m,+∞)，此时函数g(x)在x=1m 处取得极大值，极大值为g(1m)=−1−lnm，无极小值，综上，当m≤0时，函数g(x)的单调增区间为(0,+∞)，无单调减区间，不存在极值．当m>0时，函数g(x)的单调增区间为(0,1m )，单调减区间为(1m,+∞)，极大值为−1−lnm，无极小值，(2)当m>0时，假设存在x1，x2∈[1,2]，使得f(x1)>g(x2)成立则对x∈[1,2]，满足f(x)max>g(x)min，∵f′(x)=x−lnxx2x∈[1,2]，令ℎ(x)=x−lnx，x∈[1,2]，则ℎ′(x)=1−1x≥0，所以ℎ(x)在[1,2]上单调递增，所以ℎ(x)≥ℎ(1)=1，所以f′(x)>0，所以f(x)在[1,2]上单调递增，所以f(x)max=f(2)=3(1+ln2)2−3m，由(1)可知，①当0<1m≤1时，即m≥1时，函数g(x)在[1,2]上单调递减，所以g(x)的最小值是g(2)=−2m+ln2，②当1m ≥2，即0<m≤12时，函数g(x)在[1,2]上单调递增，所以g(x)的最小值是g(1)=−m，③当1<1m <2时，即12<m<1时，函数g(x)在[1,1m]上单调递增，在[1m,2]上单调递减．又g(2)−g(1)=ln2−m，，所以当12<m<ln2时，g(x)在[1,2]上的最小值是g(1)=−m．当ln2≤m<1时，g(x)在1，2]上的最小值是g(2)=ln2−2m，所以当0<m<ln2时，g(x)在[1,2]上的最小值是g(1)=−m，故3(1+ln2)2−3m>−m，解得3(1+ln2)4>m，所以ln2>m>0，当ln2≤m时，函数g(x)在[1,2]上的最小值是g(2)=ln2−2m，故3(1+ln2)2−3m>ln2−2m，解得m<3+ln22，所以ln2≤m <3+ln22．故实数m 的取值范围是(0,3+ln22).解析：(1)先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系即可求解函数的单调区间与极值，(2)由题意可得，对x ∈[1,2]，满足f(x)max >g(x)min ，结合导数及单调性关系可求．本题综合考查了导数与单调性的关系及函数的存在性问题的求解，属于难题．22.答案：解：(1)由C 1的参数方程{x =12+t y =√3t(t 为参数)，消去参数t ，可得y =√3x −√32， 由曲线C 2的极坐标方程3ρ2=2+cos 2θ，得2ρ2+ρ2cos 2θ=3，由x =ρcosθ，x 2+y 2=ρ2，所以C 2的直角坐方程为3x 2+2y 2=3，即x 2+2y 23=1．(2)因为M(1,√32)在曲线C 1上， 故可设曲线C 1的参数方程为{x =1+12t y =√32+√32t(t 为参数)， 代入3x 2+2y 2=3，化简可得3t 2+8t +2=0，设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则△=64−4×3×2>0，且t 1+t 2=−83，t 1t 2=23，所以1|MA|+1|MB|=1|t 1|+1|t 2|=|t 1+t 2||t 1||t 2|=4．解析：(1)由代入消元法，消去t 可得C 1的普通方程；由x =ρcosθ，x 2+y 2=ρ2，代入计算可得C 2的直角坐标方程；(2)判断M 在C 2上，设出曲线C 1的参数的标准方程，代入曲线C 2的直角坐标方程，再由韦达定理和参数的几何意义，计算可得所求值．本题考查参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查直线的参数方程的运用，注意参数的几何意义，考查方程思想和运算能力，属于中档题．23.答案：解：(1)f(x)=|x −3|+|x −1|={4−2x,x ≤12,1<x <32x −4,x ≥3．∵f(x)≤6，∴{x ≤14−2x ≤6或{x ≥32x −4≤6或{1<x <32≤6， 即以−1≤x ≤1或3≤x ≤5或1<x <3，∴不等式的解集为[−1,5]．(2)∵(x)=|x +3|+|x −1|≥|x −3−x +1|=2，∴M =2，∵a >0，b >0，∴要证a +2b ≥4ab ，只需证(a +2b)2≥16a 2b 2，即证a 2+4b 2+4ab ≥16a 2b 2，∵a2+4b2=2，∴只要证2+4ab≥16a2b2，即证8(ab)2−2ab−1≤0，即证(4ab+1)(2ab−1)≤0，∵4ab+1>0，∴只需证ab≤1，2∵2=a2+4b2≥4ab，∴ab≤1成立，2∴a+2b≥4ab．解析：(1)先将f(x)写为分段函数的形式，然后根据f(x)≤6利用零点分段法解不等式即可；(2)先利用绝对值三角不等式求出f(x)的最小值M，然后利用分析法证明不等式即可．本题考查了绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式和利用分析法证明不等式，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．。
河南省新乡市2020届高三数学第三次模拟测试试卷 文
新乡市2020届高三第三次模拟测试数学试卷（文科）考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．2．请将各题答案填写在答题卡上．3．本试卷主要考试内容：高考全部内容．第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．231i ii（＋）（＋）＋＝A．5 B．5i C．6 D．6i2．已知集合A＝{x｜x2－4x＜5），B＝{x x＜2}，则下列判断正确的是 A．－1．2∈A B15∉BC．B⊆A D．A∪B＝{x｜－5＜x＜4}3．某超市抽取13袋袋装食用盐，对其质量（单位：g）进行统计，得到如下茎叶图，若从这13袋食用盐中随机选取1袋，则该袋食用盐的质量在[499，501]内的概率为A．513B．613C．713D．8134．设向量e l，e2是平面内的一组基底，若向量a＝－3e l－e2与b＝e l－λe2共线，则λ＝A．13B．－13C．－3 D．35．已知函数f（x）为偶函数，当x＞0时，f（x）＝x2－3x，则A．f（tan70°）＞f（1．4）＞f（－1．5）B．f（tan70°）＞f（－1．5）＞f（1．4）C．f（1．4）＞f（tan70°）＞f（－1．5）D．f（－1．5）＞f（1．4）＞f（tan70°）6．若曲线n x x y e ＝在点（1，1e ）处的切线的斜率为4e ，则n ＝ A ．2 B ．3 C ．4 D ．57．如图，过双曲线C ：22221x y a b－＝（a ＞0，b ＞0）的右 焦点F 作x 轴的垂线交C 于A ，B 两点（A 在B 的上方），若A ，B 到C 的一条渐近线的距离分别为d l ，d 2，且d 2＝4d l ，则C 的离心率为A ．2B ．54C ．3D ．43 8．已知函数f （x ）＝sin （2ωx ＋ϕ）＋cos （2ωx ＋ϕ）（ω＞0，0＜ϕ＜π），若f （x ）的最小正周期为π，且f （－x ）＝－f （x ），则f （x ）的解析式为A ．2sin 2f x x （）＝－ B ．2sin 2f x x （）＝ C ．2cos 2f x x （）＝－ D ．2cos 2f x x （）＝ 9．已知等比数列{n a }的前n 项和为n S ，且5S ＝5，10S ＝30，则15S ＝A ．90B ．125C ．155D ．18010．若圆C ：x 2＋（y －4）2＝18与圆D ：（x －1）2＋（y －1）2＝R 2的公共弦长为62，则圆D 的半径为A ．5B ．25C ．26D ．2711．某几何体由一个棱柱与一个棱锥组合而成，其三视图如图所示，其中俯视图和侧视图中的正方形的边长为2，正视图和俯视图中的三角形均为等腰直角三角形，则该几何体的体积为A．163B．163或203C．203D．203或612．已知函数2log0x xf xx x⎧⎨⎩1－，≤0，（），＞，若关于x的方程f（f（x））＝m只有两个不同的实根，则m 的取值范围为A．[1，2] B．[1，2） C．[0，1] D．[0，1）第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．在样本的频率分布直方图中，共有9个小长方形，若中间一个长方形的面积等于其他8个小长方形面积的和的13，且样本容量为200，则中间一组的频数为___________．14．记等差数列{na}的前n项和为nS．若5a＝3，13S＝91，则1a＋11a＝___________．15．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CD上一点，且CE＝2DE，F为棱AA1的中点，且平面BEF与DD1交于点G，则B1G与平面ABCD所成角的正切值为___________．16．某农户计划种植莴笋和西红柿，种植面积不超过30亩，投入资金不超过25万元，假设种植莴笋和西红柿的产量、成本和售价如下表：那么，该农户一年种植总利润（总利润＝总销售收入－总种植成本）的最大值为__________万元．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每道试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）在平面四边形ABCD中，∠A＝60°，AB＝2，AD＝3，AB⊥BC．（1）求BD；（2）若∠BCD＝150°，求CD．18．（12分）《最强大脑》是江苏卫视引进德国节目《Super Brain》而推出的大型科学竞技真人秀节目．节目筹备组透露挑选选手的方式：不但要对空间感知、照相式记忆进行考核，而且要让选手经过名校最权威的脑力测试，120分以上才有机会入围．某重点高校准备调查脑力测试成绩是否与性别有关，在该高校随机抽取男、女学生各100名，然后对这200名学生进行脑力测试．规定：分数不小于120分为“入围学生”，分数小于120分为“未入围学生”．已知男生入围24人，女生未入围80人．（1）根据题意，填写下面的2×2列联表，并根据列联表判断是否有90％以上的把握认为脑力测试后是否为“入围学生”与性别有关．（2）用分层抽样的方法从“入围学生”中随机抽取11名学生．（i）求这11名学生中女生的人数；（ii）若抽取的女生的脑力测试分数各不相同（每个人的分数都是整数），求这11名学生中女生测试分数的平均分的最小值．19．（12分）如图，三棱柱ABC－A1B1C1各条棱长均为4，且AA1⊥平面ABC，D为AA1的中点，M，N分别在线段BB1和线段CC1上，且B1M＝3BM，CN＝3C1N．（1）证明：平面DMN ⊥平面BB 1C 1C ；（2）求三棱锥B 1－DMN 的体积．20．（12分）已知直线l 1：y ＝kx ＋2与椭圆C ：22182x y ＋＝交于A ，B 两点，l 1与直线l 2：x ＋2y －4＝0交于点M ．（1）证明：l 2与C 相切．（2）设线段AB 的中点为N ，且｜AB ｜＝｜MN ｜，求l 1的方程．21．（12分）已知函数f （x ）＝12x 2－（a ＋1）x ＋alnx ． （1）当a ＝－4时，求f （x ）的单调区间； （2）已知a ∈（1，2]，b ∈R ，函数g （x ）＝x 3＋bx 2－（2b ＋4）x ＋lnx ．若f （x ）的极小值点与g （x ）的极小值点相等，证明：g （x ）的极大值不大于54． （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 3sin x y ⎧⎨⎩＝＋α，＝＋α（α为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知点A 的极坐标为（3，2π）． （1）求曲线C 的极坐标方程； （2）过A 作曲线C 的切线，切点为M ，过O 作曲线C 的切线，切点为N ，求ON AM ｜｜｜｜．23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）已知函数1af x x a x（）＝｜＋｜＋｜＋2｜．（1）若a＝1，证明：f（｜x｜）≥5．（2）若f（1）＜5a2，求a的取值范围．。