《数理金融理论与模型》习题解答

《数理金融理论与模型》习题解答第一章 金融市场第一章 练习题 解答1. 已知一家上市公司在下一年度分红为2元/股，该公司业绩年均增长率为5%，并且红利分配以同样的增长率增加，并且假设每年的贴现率都为10%，那么这家上市公司现在的股票在价值是多少？ 解答：()()111112401110%5%1n nnn n d i d i d IV i r r i r -∞∞==++⎛⎫===== ⎪++--⎝⎭+∑∑2. 下表给出了“2005年记账式(四期)国债”的基本信息，假设2010年3月19日观察到的到期收益率曲线为水平直线4%，则问这一天“2005年记账式(四期)国债”的价值应该是多少？()()()()()()140.07950.079515.07951140.07950.079515.079511100*1114.11% 4.11%104.11%100*106.251 3.8903%11n n n n c c c DirtyPrice r r r r r +=+=⎡⎤+=++⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦⎡⎤=++=⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦∑∑100**(10.0795)106.25 3.78102.47CleanPrice DirtyPrice c =--=-=3. 请简要叙述利用复制技术与无套利原理对金融衍生品定价的原理与步骤，认真体会为什么由这个方法定出来的价格称为无套利价格。

并仔细回顾本章中如何利用复制技术和无套利原理进行衍生品定价，以及推导期权的价格性质。

解答： 见第二节容4. 请利用构造股票和储蓄存款组合复制远期合约的方式，以及无套利原理证明股票远期的定价公式，请分别就股票不支付红利与支付红利的情形构造组合，并给出无套利定价公式。

解答：Case 1：无红利支付情形： 组合一：一个远期合约多头；组合二：一份不支付红利的标的股票多头和存款()·r T t K e ---（即借款()·r T t K e --）； 记两个组合的价值函数分别为1t ∏和2t ∏，则显然两个组合在T 时刻的价值为T S K -，即T 时刻的价值可以完全复制12T T ∏=∏。

由无套利原理可知对任意t T ≤，都有12t t ∏=∏，即：()·r T t t t f S K e --=-由于签订远期合约不需要支付任何成本，当时也没有任何收入，所以这个合约在当时的价值应该等于零，也就是说对于任意t T <，都有()·0r T t t t f S K e --=-=，从而可以得到远期执行价格的定价公式为：()·r T t t t K S e -=Case 2：支付连续红利q 情形：组合一：一个远期合约多头；组合二：()q T t e --份支付红利的标的股票多头和存款()·r T t K e ---（即借款()·r T t K e --）； 记两个组合的价值函数分别为1t ∏和2t ∏，则显然组合一在T 时刻的价值为T S K -。

由于股息连续累计，t 时刻的1份股票在T 时刻的价值为()q T t T e S -，从而组合二在T 时刻的价值为[]()()*q T t q T t T T e e S K S K ----=-，即T 时刻的价值可以完全复制12T T ∏=∏。

由无套利原理可知对任意t T ≤，都有12t t ∏=∏，即：()()·q T t r T t t t f e S K e ----=-由于签订远期合约不需要支付任何成本，当时也没有任何收入，所以这个合约在当时的价值应该等于零，也就是说对于任意t T <，都有()()·0q T t r T t t t f e S K e ----=-=，从而可以得到远期执行价格的定价公式为：()()·r q T t t t K S e --=5. 假设投资者在2010年3月12日签订一份股票远期合约，合约的到期日为2010年9月12日，标的股票当日价格为5元每股，若一年期银行存款利率为单利3%，则这份合约的执行价格应该是多少？若到2010年7月12日股票价格涨到了6元，而一年期银行存款利率仍然为3%，那么在这一天该远期合约多头的价值是多少？解答：2010年3月12日： 对应 t=0，此时S0=5，r=3%，T=0.5，从而这份远期合约的执行价格应该是：0.03*0.500·5 5.0756rT K S e e ==⨯=2010年7月12日：对应 t=1/12，此时St=6，r=3%，T-t=5/12，从而次远期合约多头价值为：()0.035/12·6 5.07560.9875r T t t t f S K e e ---⨯=-=-⨯=6. 假设2010年6月17日的半年期与一年期无风险利率分别为单利2.5%与3%，则这一天确定的3×6远期单利是多少？ 解答：以连续复利表示的两个即期利率为：()3121312ln 1 2.5% 2.4922%r +⨯=≈()6122612ln 13% 2.9777%r +⨯=≈则连续复利表示的3×6远期利率是：631212126312122.9777% 2.4922%3.4632%r ⨯-⨯=≈- 则3×6远期单利是：3123.4632%1231213.4782%e R ⨯-==7. 请利用复制技术和无套利原理证明欧式看涨期权与欧式看跌期权价格关于执行价格分别呈现单调递减与单调递增的关系。

解答：只证明看涨期权：不妨设12K K >组合一：一个执行价格为1K 看涨期权多头()1t C K ； 组合二：一个执行价格为2K 看涨期权多头()2t C K ；则()211T T S K ∏=-，()222T T S K ∏=-。

分一下三种情形：1T S K >，21T K S K ≤≤和2T S K <分别讨论，均可得：12T T ∏<∏即 {}121T T ∏<∏=P ，从而 12t t ∏<∏，即()()12t t C K C K <8. H 公司和L 公司都需要从银行B 借入期限为3年，本金为1000万人民币的贷款，银行B 向两家公司提供的贷款利率为：固定利率 浮动利率 H 公司 5.0％ SHIBOR+0.2% L 公司6.5％SHIBOR+0.7%H 公司需要的是浮动利率贷款，L 公司需要的是固定利率贷款。

请设计一个利率互换，其中银行B 作为中介获得的报酬是0.1％的利差，而且要求双方平分互换收益。

解答：H 公司需要的是浮动利率贷款，能够获得的浮动利率是SHIBOR+0.2% L 公司需要的是固定利率贷款，能够获得的固定利率是6.5％ 总的利率是(SHIBOR+0.2%)+6.5％=SHIBOR+6.7%如果两公司利用各自的比较优势，能够获得的总利率是： (SHIBOR+0.7%)+5.0％= SHIBOR+5.7%因此，利用比较优势，如果H 公司以固定利率借款，L 公司以浮动利率借款，然后二者进行利率互换，可以节省1%的总利率。

这个节省下来的成本0.1％留给银行B ，剩下的0.9%二者平分，即都获得0.45%的成本节省。

因此，利率互换合约设计如下：H 公司：以5.0％固定利率借款，并且向公司L 支付SHIBOR 的利率； L 公司：以SHIBOR+0.7%浮动利率借款，并且向公司H 支付x %的利率； 因此，对于公司H ，有：()0.1%2SHIBOR SHIB 0.5%2%O 45R %0.%x +-+--=--⎡⎤⎣⎦ ⇒ 对于公司L ，有：()0.1%2SHIBOR 0.7%SHIBO 6.5%0.45R %%x -+-=---+⎡⎤⎣⎦ ⇒ 其中，等式右边：粉色：做利率互换之前本来应该支付的 红色：做利率互换两公司享受的收益蓝色：做利率互换应该交给银行B 的收益（总共1%，两公司共同承担）9. H 公司希望以固定利率借入美元，而L 公司希望以固定利率借入欧元，而且本金用即期汇率计算价值很接近。

市场对这两个公司的报价如下：欧元 美元 H 公司 5.0％ 9.6% L 公司6.5％10.0%请设计一个货币互换，银行作为中介获得的报酬是50个基点，而且要求互换双方平分互换收益，汇率风险由银行承担。

解答：H 公司需要的是以固定利率借入美元，能够获得的固定利率是9.6%L公司需要的是以固定利率借入欧元，能够获得的固定利率是6.5％由于二者的本金在同一货币表示下相等，因此两公司能够获得的总利率是：9.6%+6.5％=16.1%如果两公司利用各自的比较优势，能够获得的总利率是：10%+5.0％=15%因此，利用比较优势，如果H公司以固定利率借入欧元，L公司以固定利率借入美元，然后二者进行货币互换，可以节省1.1%的总利率。

这个节省下来的成本0.5％留给银行，剩下的0.6%二者平分，即都获得0.3%的成本节省。

由于汇率风险不需要这两家公司承担，从而进行货币互换之后H公司支付9.3%的美元利率，L公司支付6.2%欧元利率。

因此，货币互换合约设计如下：H公司：以5.0％固定利率借入欧元，期初向L公司以欧元本金换取等值美元，期末再换回本金；L公司：以10％固定利率借入美元，期初向L公司以美元本金换取等值欧元，期末再换回本金；并且，H公司，L公司和银行（中介）之间作如下互换：注意：H公司和L公司分别都达到了各自的目的，并且都已需要的货币支付，没有汇率风向。

银行作为中介，赚取了0.5%的的收益，但是这是1.2%欧元利率减去0.7%美元利率，这0.5%的收益包含这汇率风险。

10.请比较CDS与CSO合约的不同，并且指出两种合约在对冲违约风险与利差风险方面各自的优势。

解答：信用违约互换CDS的标的是违约事件（Credit Events），只要规定的违约事件发生，CDS 合约的赔付机制就启动，同时合约终止。

而信用利差期权CSO的标的是信用利差（Credit Spread），当到期日标的利差达到执行利差时，就会有相应的支付。

因此，CDS保护的是违约事件所造成的风险，而CSO保护的是信用利差变动的风险。

11. 见下图：解答：1）直接可证； 2）直接可证；12. 见下图：解答：()()1110111i ii D g D P r gr -∞=+==-+∑13. 见下图：解答： 公司A ：P 0=24.25，D 0=1.1，r=8.5%，从而由()0101g D D P r g r g+==--可以解得 000024.258.5% 1.13.8%24.25 1.1P r D g P D -⨯-===++公司B ：g=3.8%，D 0=2，r=8.5%，从而由()0101g D D P r g r g+==--可以解得 ()()01011 3.8%244.178.5% 3.8%g D D P r g r g ++⨯====---元/股第二章效用理论1. 参考书本相关容。