高考圆锥曲线中的定点定值专题(附答案)
圆锥曲线中定点与定值问题
假设该直线过定点(t,0)， 设直线l的方程为y＝k(x－t)(k≠0)，
y＝kx－t， 联立x42＋y32＝1， 消去y，整理得 (3＋4k2)x2－8k2tx＋4k2t2－12＝0， 设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则 x1＋x2＝3＋8k42tk2，x1x2＝4k32＋t2－4k122，
思维升华
求解直线或曲线过定点问题的基本思路 (1)把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把方程一 端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都 成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关 于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲 线所过的定点.
思维升华
(2)由直线方程确定其过定点时，若得到了直线方程的点斜式 y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方 程的斜截式y＝kx＋m，则直线必过定点(0，m).
(2)设点Q是直线x＝－1(y≠0)上的任意一点，过点P(1,0)的直线l与抛物线 E交于A，B两点，记直线AQ，BQ，PQ的斜率分别为kAQ，kBQ，kPQ，证 明：kAQ＋kBQ为定值.
kPQ
设Q(－1，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 因为直线l的斜率显然不为0，故可设直线l的方程为x＝ty＋1.
＝
1＋12＋
22－02＋
22＝2
2，
即 a＝ 2，所以 b＝ a2－c2＝1，
故椭圆 C 的方程为x22＋y2＝1.
(2)若过点
Q－
36，0的直线
l
交
C
于
A，B
两点，证明：|A1Q|2＋|B1Q|2
为定值.
当直线AB的斜率为零时.点A，B为椭圆长轴的端点， 则|A1Q|2＋|B1Q|2
圆锥曲线中的定点、定值和定直线问题(解析)
圆锥曲线中的定点、定值和定直线问题一、椭圆定点问题1已知圆E ：x +1 2+y 2=16，点F 1,0 ，G 是圆E 上任意一点，线段GF 的垂直平分线和半径GE 相交于H(1)求动点H 的轨迹Γ的方程；(2)经过点F 和T 7,0 的圆与直线l ：x =4交于P ，Q ，已知点A 2,0 ，且AP 、AQ 分别与Γ交于M 、N .试探究直线MN 是否经过定点.如果有，请求出定点；如果没有，请说明理由.【答案】(1)x 24+y 23=1(2)经过定点，定点坐标为1,0 【分析】(1)利用椭圆的定义即可求出动点H 的轨迹Γ的方程；(2)设M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 ，直线MN 的方程为：x =my +n ，与椭圆方程联立，根据韦达定理列出x 1，y 1，x 2，y 2之间的关系，再利用两点式写出直线MA 的方程，求出点P 4,2y 1x 1-2 ，Q 4,2y 2x 2-2，再写出以PQ 为直径的圆的方程，根据圆的方程经过点T 7,0 ，得到关系式，进而求得n 为定值，从而得到直线MN 过定点.【详解】(1)如图所示，∵HE +HF =HE +HG =4，且EF =2<4，∴点H 的轨迹是以E ，F 为焦点的椭圆，设椭圆方程x 2a 2+y 2b2=1，则2a =4，c =1，∴a =2，b =a 2-c 2= 3.所以点H 的轨迹方程为：x 24+y 23=1.(2)设直线MN 的方程为：x =my +n ，由x 24+y 23=1x =my +n ，得3m 2+4 y 2+6mny +3n 2-12=0设M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 ，则y 1+y 2=-6mn 3m 2+4，y 1y 2=3n 2-123m 2+4.所以，x 1+x 2=m y 1+y 2 +2n =8n 3m 2+4，x 1x 2=my 1+n my 2+n =-12m 2+4n 23m 2+4因为直线MA 的方程为：y =y 1x 1-2x -2 ，令x =4，得y P =2y 1x 1-2，所以，P 4,2y 1x1-2 ，同理可得Q 4,2y 2x 2-2，以PQ 为直径的圆的方程为：x -4 2+y -2y 1x 1-2 y -2y 2x 2-2=0，即x -4 2+y 2-2y 1x 1-2+2y 2x 2-2y +2y 1x 1-2×2y 2x 2-2=0，因为圆过点7,0 ，所以，9+2y 1x 1-2×2y 2x 2-2=0，得9+4y 1y 2x 1x 2-2x 1+x 2 +4=0，代入得9+12n 2-483m 2+4-12m 2+4n 23m 2+4-16n3m 2+4+4=0，化简得，9+12n 2-484n 2-16n +16=04n 2-16n +16≠0,n ≠2 ，解得n =1或n =2(舍去)，所以直线MN 经过定点1,0 ，当直线MN 的斜率为0时，此时直线MN 与x 轴重合，直线MN 经过点1,0 ，综上所述，直线MN 经过定点1,0 .2已知点A (2,0)，B -65,-45 在椭圆M :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上.(1)求椭圆M 的方程；(2)直线l 与椭圆M 交于C ,D 两个不同的点(异于A ,B )，过C 作x 轴的垂线分别交直线AB ,AD 于点P ,Q ，当P 是CQ 中点时，证明．直线l 过定点.【答案】(1)x 24+y 2=1(2)证明见解析【分析】(1)根据椭圆所经过的点列方程求出其方程；(2)设出CD 方程，结合韦达定理和P 是CQ 中点的条件，找到直线CD 中两个参数的关系，从而求出定点.【详解】(1)由题知a =2，又椭圆经过B -65,-45 ，代入可得14-652+1b2-452=1，解得b 2=1，故椭圆的方程为：x 24+y 2=1(2)由题意知，当l ⊥x 轴时，不符合题意，故l 的斜率存在，设l 的方程为y =kx +m ，联立y =kx +m x 24+y 2=1消去y 得4k 2+1 x 2+8kmx +4m 2-4=0，则Δ=64k 2m 2-16m 2-1 4k 2+1 =164k 2-m 2+1 >0，即4k 2+1>m 2设C x 1,y 1 ，D x 2,y 2 ，x 1+x 2=-8km 4k 2+1，x 1x 2=4m 2-44k 2+1AB 的方程为y =14(x -2)，令x =x 1得P x 1,x 1-24 ，AD 的方程为y =y 2x 2-2(x -2)，令x =x 1得Q x 1,x 1-2x 2-2y 2，由P 是CQ 中点，得x 1-22=y 1+x 1-2x 2-2⋅y 2，即y 1x 1-2+y 2x 2-2=12，即kx 1+m x 2-2 +kx 2+m x 1-2 =12x 1x 2-2x 1+x 2 +4 ，即(1-4k )x 1x 2+(4k -2m -2)x 1+x 2 +4+8m =0，即4m 2+(16k +8)m +16k 2+16k =0，所以(m +2k )(m +2k +2)=0，得m =-2k -2或m =-2k ，当m =-2k -2，此时由Δ>0，得k <-38，符合题意；当m =-2k ，此时直线l 经过点A ，与题意不符，舍去.所以l 的方程为y =kx -2k -2，即y =k (x -2)-2，所以l 过定点(2,-2).3如图，椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ．左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为22，点M (2,1)在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)已知P ，Q 是椭圆C 上两动点，记直线AP 的斜率为k 1，直线BQ 的斜率为k 2，k 1=2k 2．过点B 作直线PQ 的垂线，垂足为H ．问：在平面内是否存在定点T ，使得TH 为定值，若存在，求出点T 的坐标；若不存在，试说明理由．【答案】(1)C :x 24+y 22=1；(2)存在定点T 23,0 使TH 为定值，理由见解析.【分析】(1)根据离心率，椭圆上点及参数关系列方程组求a ,b ,c ，即可得椭圆方程；(2)根据题意设BQ :y =k (x -2)，AP :y =2k (x +2)，联立椭圆方程求P ,Q 坐标，判断直线PQ 过定点，结合BH ⊥PQ 于H 确定H 轨迹，进而可得定点使得TH 为定值.【详解】(1)由题意c a =222a 2+1b 2=1a 2=b 2+c 2，可得a 2=4b 2=c 2=2 ，则椭圆方程为C :x 24+y 22=1；(2)若直线BQ 斜率为k ，则直线AP 斜率为2k ，而A (-2,0),B (2,0)，所以BQ :y =k (x -2)，AP :y =2k (x +2)，联立BQ 与椭圆C ，则x 2+2k 2(x -2)2=4，整理得(1+2k 2)x 2-8k 2x +8k 2-4=0，所以2x Q =8k 2-41+2k 2，则x Q =4k 2-21+2k 2，故y Q =-4k1+2k 2，联立AP 与椭圆C ，则x 2+8k 2(x +2)2=4，整理得(1+8k 2)x 2+32k 2x +32k 2-4=0，所以-2x P =32k 2-41+8k 2，则x P =2-16k 21+8k 2，故y P=8k 1+8k 2，综上，x Q -x P =4k 2-21+2k 2-2-16k 21+8k 2=64k 4-4(1+8k 2)(1+2k 2)，y Q -y P =-4k 1+2k 2-8k 1+8k 2=-12k +48k 31+8k 2 1+2k 2，当64k 4-4≠0，即k ≠±12时，k PQ =12k (1+4k 2)4(1-16k 4)=3k1-4k 2，此时PQ :y +4k 1+2k 2=3k 1-4k 2x +2-4k 21+2k 2=3k 1-4k 2x +6k -12k 3(1+2k 2)(1-4k 2)，所以PQ :y =3k 1-4k 2x +2k 1-4k 2=k 1-4k 2(3x +2)，即直线PQ 过定点-23,0 ；当64k 4-4=0，即k =±12时，若k =12，则x Q =-23且y Q =-43，x P =-23且y P =43，故直线PQ 过定点-23,0 ；若k =-12，则x Q =-23且y Q =43，x P =-23且y P =-43，故直线PQ 过定点-23,0 ；综上，直线PQ 过定点M -23,0 ，又BH ⊥PQ 于H ，易知H 轨迹是以BM 为直径的圆上，故BM 的中点23,0 到H 的距离为定值，所以，所求定点T 为23,0 .【点睛】关键点点睛：第二问，设直线BQ ，AP 联立椭圆，结合韦达定理求点P ,Q 坐标，再写出直线PQ 方程判断其过定点是关键.4已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，A ，B 分别是C 的右、上顶点，且AB =7，D 是C 上一点，△BF 2D 周长的最大值为8.(1)求C 的方程；(2)C 的弦DE 过F 1，直线AE ，AD 分别交直线x =-4于M ，N 两点，P 是线段MN 的中点，证明：以PD 为直径的圆过定点.【答案】(1)x 24+y 23=1；(2)证明见解析.【分析】(1)根据椭圆的定义结合三角形不等式求解即可；(2)设D x 1,y 1 ,E x 2,y 2 ，直线DE :x =my -1，联立直线与椭圆的方程，根据过两点圆的方程，结合图形的对称性可得定点在x 轴上，代入韦达定理求解即可.【详解】(1)依题意，a 2+b 2=7，△BF 2D 周长DB +DF 2 +a =DB +2a -DF 1 +a ≤BF 1 +3a =4a ，当且仅当B ,F 1,D 三点共线时等号成立，故4a =8，所以a 2=4,b 2=3，所以C 的方程x 24+y 23=1；(2)设D x 1,y 1 ,E x 2,y 2 ，直线DE :x =my -1，代入x 24+y 23=1，整理得3m 2+4 y 2-6my -9=0，Δ=36m 2+363m 2+4 >0，y 1+y 2=6m 3m 2+4,y 1y 2=-93m 2+4，易知AD :y =y 1x 1-2x -2 ，令x =-4，得N -4,-6y 1x 1-2 ，同得M -4,-6y 2x 2-2，从而中点P -4,-3y 1x 1-2+y 2x 2-2，以PD 为直径的圆为x +4 x -x 1 +y +3y 1x 1-2+y 2x 2-2y -y 1 =0，由对称性可知，定点必在x 轴上，令y =0得，x +4 x -x 1 -3y 1y 1x 1-2+y 2x 2-2=0，y 1x 1-2+y 2x 2-2=y 1my 1-3+y 2my 2-3=2my 1y 2-3y 1+y 2 m 2y 1y 2-3m y 1+y 2 +9=-18m3m 2+4-18m 3m 2+4-9m 23m 2+4-18m 23m 2+4+9=-36m36=-m ，所以x +4 x -x 1 +3my 1=0，即x 2+4-x 1 x -4x 1+3my 1=0，因为x 1=my 1-1，所以x 2+5-my 1 x -my 1+4=0，即x +1 x -my 1+4 =0，解得x =-1，所以圆过定点-1,0 .【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：(1)设直线方程，设交点坐标为x 1,y 1 ,x 2,y 2 ；(2)联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x (或y )的一元二次方程，必要时计算Δ；(3)列出韦达定理；(4)将所求问题或题中的关系转化为x 1+x 2，x 1x 2(或y 1+y 2，y 1y 2)的形式；(5)代入韦达定理求解.5已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左顶点为A ，过右焦点F 且平行于y 轴的弦PQ =AF =3．(1)求△APQ 的内心坐标；(2)是否存在定点D ，使过点D 的直线l 交C 于M ,N ，交PQ 于点R ，且满足MR ⋅ND =MD ⋅RN若存在，求出该定点坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)7-354,0 (2)存在定点D (4,0)【分析】(1)由题意，根据椭圆的定义以及a 2=b 2+c 2，列出等式即可求出椭圆C 的方程，判断△APQ 的内心在x 轴，设直线PT 平分∠APQ ，交x 轴于点T ，此时T 为△APQ 的内心，进行求解即可；(2)设直线l 方程为y =k (x -t )，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，将直线l 的方程与椭圆方程联立，得到根的判别式大于零，由点M 、R 、N 、D 均在直线l 上，得到MR ⋅ND =MD ⋅RN，此时2t -(1+t )(x 1+x 2)+2x 1x 2=0，结合韦达定理求出t =4，可得存在定点D (4,0)满足题意．【详解】(1)∵a 2=b 2+c 2,2b 2a=a +c =3∴a =2,b =3,c =1∴椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1，不妨取P 1,32 ,Q 1,-32 ,A (-2,0)，则AP =352,PF =32；因为△APQ 中，AP =AQ ，所以△APQ 的内心在x 轴，设直线PT 平分∠APQ ，交x 轴于T ，则T 为△APQ 的内心，且AT TF =AP PF =5=AT 3-AT ，所以AT =355+1，则T 7-354,0 ；(2)∵椭圆和弦PQ 均关于x 轴上下对称．若存在定点D ，则点D 必在x 轴上∴设D (t ,0)当直线l 斜率存在时，设方程为y =k (x -t ),M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，直线方程与椭圆方程联立y =k (x -t )x 24+y 23=1，消去y 得4k 2+3 x 2-8k 2tx +4k 2t 2-3 =0，则Δ=48k 2+3-k 2t 2>0,x 1+x 2=8k 2t4k 2+3,x 1x 2=4k 2t 2-3 4k 2+3①∵点R 的横坐标为1，M 、R 、N 、D 均在直线l 上，MR ⋅ND =MD ⋅RN∴1+k 2 1-x 1 t -x 2 =1+k 2 t -x 1 x 2-1∴2t -(1+t )x 1+x 2 +2x 1x 2=0∴2t -(1+t )8k 2t 4k 2+3+2×4k 2t 2-3 4k 2+3=0，整理得t =4，因为点D 在椭圆外，则直线l 的斜率必存在．∴存在定点D (4,0)满足题意【点睛】解决曲线过定点问题一般有两种方法：①探索曲线过定点时，可设出曲线方程，然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于曲线系的思想找出定点，或者利用方程恒成立列方程组求出定点坐标.②从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.二、双曲线定点问题1已知点P 4,3 为双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)上一点，E 的左焦点F 1到一条渐近线的距离为3.(1)求双曲线E 的标准方程；(2)不过点P 的直线y =kx +t 与双曲线E 交于A ,B 两点，若直线PA ，PB 的斜率和为1，证明：直线y =kx +t 过定点，并求该定点的坐标.【答案】(1)x 24-y 23=1(2)证明见解析，定点为(-2,3).【分析】(1)由点到直线的距离公式求出b =3，再将点P 4,3 代入双曲线方程求出a 2=4，可得双曲线E 的标准方程；(2)联立直线与双曲线方程，利用韦达定理得x 1+x 2、x 1x 2，再根据斜率和为1列式，推出t =2k +3，从而可得直线y =kx +t 过定点(-2,3).【详解】(1)设F 1(-c ,0)(c >0)到渐近线y =bax ，即bx -ay =0的距离为3，则3=|-bc |b 2+a2，结合a 2+b 2=c 2得b =3，又P (4,3)在双曲线x 2a 2-y 23=1上，所以16a2-93=1，得a 2=4，所以双曲线E 的标准方程为x 24-y 23=1.(2)联立y =kx +tx 24-y 23=1，消去y 并整理得3-4k 2 x 2-8ktx -4t 2-12=0，则3-4k 2≠0，Δ=64k 2t 2+4(3-4k 2)(4t 2+12)>0，即t 2+3>4k 2，设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，则x 1+x 2=8kt 3-4k 2，x 1x 2=-4t 2+123-4k 2，则k PA +k PB =y 1-3x 1-4+y 2-3x 2-4=kx 1+t -3x 1-4+kx 2+t -3x 2-4=kx 1+t -3 x 2-4 +kx 2+t -3 x 1-4 x 1-4 x 2-4=2kx 1x 2+t -4k -3 x 1+x 2 -8t +24x 1x 2-4(x 1+x 2)+16=1，所以2kx 1x 2+t -4k -3 x 1+x 2 -8t +24=x 1x 2-4(x 1+x 2)+16，所以2k -1 x 1x 2+t -4k +1 x 1+x 2 -8t +8=0，所以-2k -1 4t2+123-4k 2+t -4k +1 ⋅8kt3-4k2-8t +8=0，整理得t 2-6k +2kt -6t -8k 2+9=0，所以(t -3)2+2k (t -3)-8k 2=0，所以t -3-2k t -3+4k =0，因为直线y =kx +t 不过P (4,3)，即3≠4k +t ，t -3+4k ≠0，所以t -3-2k =0，即t =2k +3，所以直线y =kx +t =kx +2k +3，即y -3=k (x +2)过定点(-2,3).【点睛】关键点点睛：利用韦达定理和斜率公式推出t =2k +3是解题关键.2双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左顶点为A ，焦距为4，过右焦点F 作垂直于实轴的直线交C 于B 、D 两点，且△ABD 是直角三角形.(1)求双曲线C 的方程；(2)已知M ,N 是C 上不同的两点，MN 中点的横坐标为2，且MN 的中垂线为直线l ，是否存在半径为1的定圆E ，使得l 被圆E 截得的弦长为定值，若存在，求出圆E 的方程；若不存在，请说明理由.【答案】(1)x 2-y 23=1(2)存在，E :(x -8)2+y 2=1【分析】(1)根据双曲线的性质，结合△ABD 是等腰直角三角形的性质，列出关系式即可求解双曲线方程；(2)首先利用点差法求出直线l 所过的定点，即可求出定圆的方程.【详解】(1)依题意，∠BAD =90°，焦半径c =2，当x =c 时，c 2a 2-y 2b 2=1，得y 2=b 2c 2a 2-1=b 4a2，即y =±b 2a ，所以BF =b 2a ，由AF =BF ，得a +c =b 2a，得a 2+2a =22-a 2，解得：a =1(其中a =-2<0舍去)，所以b 2=c 2-a 2=4-1=3，故双曲线C 的方程为x 2-y 23=1；(2)设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ,MN 的中点为Q x 0,y 0 因为M ,N 是C 上不同的两点，MN 中点的横坐标为2.所以x 21-y 213=1,①x 22-y 223=1,②x 0=x 1+x 22=2,③y 0=y 1+y 22,④.①-②得x 1+x 2 x 1-x 2 -y 1+y 2 y 1-y 23=0，当k MN 存在时，k MN =y 1-y2x 1-x 2=3x 1+x 2 y 1+y 2=3×42y 0=6y 0，因为MN 的中垂线为直线l ，所以y -y 0=-y 06x -2 ，即l :y =-y 06x -8 ，所以l 过定点T 8,0 .当k MN 不存在时，M ,N 关于x 轴对称，MN 的中垂线l 为x 轴，此时l 也过T 8,0 ，所以存在以8,0 为圆心的定圆E :(x -8)2+y 2=1，使得l 被圆E 截得的弦长为定值2.【点睛】关键点点睛：本题考查直线与双曲线相交的综合应用，本题的关键是求得直线所过的定点，因为半径为1，所以定圆圆心为定点，弦长就是直径.3已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的右焦点，右顶点分别为F ，A ，B 0,b ，AF =1，点M 在线段AB 上，且满足BM =3MA ，直线OM 的斜率为1，O 为坐标原点.(1)求双曲线C 的方程.(2)过点F 的直线l 与双曲线C 的右支相交于P ，Q 两点，在x 轴上是否存在与F 不同的定点E ，使得EP ⋅FQ =EQ ⋅FP 恒成立？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)x 2-y 23=1(2)存在，E 12,0 【分析】(1)由AF =1，BM =3MA ，直线OM 的斜率为1，求得a ,b ,c 之间的关系式，解得a ,b 的值，进而求出双曲线的方程；(2)设直线PQ 的方程，与双曲线的方程联立，可得两根之和及两根之积，由等式成立，可得EF 为∠PEQ 的角平分线，可得直线EP ,EQ 的斜率之和为0，整理可得参数的值，即求出E 的坐标．【详解】(1)设c 2=a 2+b 2c >0 ，所以F c ,0 ，A a ,0 ，B 0,b ，因为点M 在线段AB 上，且满足BM =3MA ，所以点M 33+1a ,13+1b，因为直线OM 的斜率为1，所以13+1b 33+1a =1，所以ba=3，因为AF =1，所以c -a =1，解得a =1，b =3，c =2.所以双曲线C 的方程为x 2-y 23=1.(2)假设在x 轴上存在与F 不同的定点E ，使得EP ⋅FQ =EQ ⋅FP 恒成立，当直线l 的斜率不存在时，E 在x 轴上任意位置，都有EP ⋅FQ =EQ ⋅FP ；当直线l 的斜率存在且不为0时，设E t ,0 ，直线l 的方程为x =ky +2，直线l 与双曲线C 的右支相交于P ，Q 两点，则-33<k <33且k ≠0，设P x 1,y 1 ，Q x 2,y 2 ，由x 2-y 23=1x =ky +2 ，得3k 2-1 y 2+12ky +9=0，3k 2-1≠0，Δ=36k 2+36>0，所以y 1+y 2=-12k 3k 2-1，y 1y 2=93k 2-1，因为EP ⋅FQ =EQ ⋅FP ，即EP EQ=FP FQ，所以EF 平分∠PEQ ，k EP +k EQ =0，有y 1x 1-t +y 2x 2-t =0，即y 1ky 1+2-t +y 2ky 2+2-t=0，得2ky 1y 2+2-t y 1+y 2 =0，所以2k93k 2-1+2-t -12k 3k 2-1=0，由k ≠0，解得t =12.综上所述，存在与F 不同的定点E ，使得EP ⋅FQ =EQ ⋅FP 恒成立，且E 12,0.【点睛】方法点睛：解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，要强化有关直线与双曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．4已知双曲线C 与双曲线x 212-y 23=1有相同的渐近线，且过点A (22,-1).(1)求双曲线C 的标准方程；(2)已知点D (2,0)，E ，F 是双曲线C 上不同于D 的两点，且DE ·DF=0，DG ⊥EF 于点G ，证明:存在定点H ，使GH 为定值.【答案】(1)x 24-y 2=1；(2)证明见解析.【分析】(1)根据给定条件，设出双曲线C 的方程，再将点A 的坐标代入求解作答.(2)当直线EF 斜率存在时，设出其方程并与双曲线C 的方程联立，由给定的数量积关系结合韦达定理求得直线EF 过定点，再验证斜率不存在的情况，进而推理判断作答.【详解】(1)依题意，设双曲线C 的方程为x 212-y 23=λ(λ≠0)，而点A (22,-1)在双曲线C 上，于是λ=(22)212-(-1)23=13，双曲线C 的方程为x 212-y 23=13，即x 24-y 2=1，所以双曲线C 的标准方程为x24-y 2=1.(2)当直线EF 斜率存在时，设直线EF 的方程为：y =kx +m ，设E x 1,y 1 ,F x 2,y 2 ，由y =kx +mx 2-4y 2=4消去y 并整理得4k 2-1 x 2+8kmx +4m 2+1 =0，有4k 2-1≠0，且Δ=(8km )2-16(m 2+1)(4k 2-1)>0，即4k 2-1≠0且4k 2-m 2-1<0，有x 1+x 2=-8km 4k 2-1,x 1x 2=4m 2+44k 2-1，又y 1y 2=kx 1+m kx 2+m =k 2x 1x 2+km x 1+x 2 +m 2，DE =(x 1-2,y 1),DF =(x 2-2,y 2)，由DE ·DF =0，得x 1-2 x 2-2 +y 1y 2=0，整理得k 2+1 ⋅x 1x 2+(km -2)⋅x 1+x 2 +m 2+4=0，于是k 2+1 ⋅4m 2+44k 2-1+(km -2)⋅-8km 4k 2-1+m 2+4=0，化简得3m 2+16km +20k 2=0，即(3m +10k )(m +2k )=0，解得m =-2k 或m =-103k ，均满足条件，当m =-2k 时，直线EF 的方程为y =k (x -2)，直线EF 过定点(2,0)，与已知矛盾，当m =-103k 时，直线EF 的方程为y =k x -103 ，直线EF 过定点M 103,0 ；当直线EF 的斜率不存在时，由对称性不妨设直线DE 的方程为：y =x -2，由y =x -2x 2-4y 2=4解得x =2或x =103，因此点E ,F 的横坐标x E ,x F 有x E =x F =103，即直线EF 过定点M 103,0 ，综上得直线EF 过定点M 103,0 ，由于DG ⊥EF ，即点G 在以DM 为直径的圆上，H 为该圆圆心，GH 为该圆半径，所以存在定点H 83,0 ，使GH 为定值23.【点睛】思路点睛：与圆锥曲线相交的直线过定点问题，设出直线的斜截式方程，与圆锥曲线方程联立，借助韦达定理求出直线斜率与纵截距的关系即可解决问题.5已知双曲线C :x 2-y 2b2=1b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，A 是C 的左顶点，C 的离心率为2．设过F 2的直线l 交C 的右支于P 、Q 两点，其中P 在第一象限．(1)求C 的标准方程；(2)若直线AP 、AQ 分别交直线x =12于M 、N 两点，证明：MF 2 ⋅NF 2 为定值；(3)是否存在常数λ，使得∠PF 2A =λ∠PAF 2恒成立？若存在，求出λ的值；否则，说明理由．【答案】(1)x 2-y 23=1；(2)证明见解析；(3)存在λ=2，理由见解析.【分析】(1)根据离心率，以及a ，结合b 2=c 2-a 2，即可求得曲线C 方程；(2)设出直线PQ 的方程，联立双曲线方程，得到关于点P ,Q 坐标的韦达定理；再分别求得AP ,AQ 的方程，以及点M ,N 的坐标，利用数量积的坐标运算，即可证明；(3)求得直线PQ 不存在斜率时满足的λ，当斜率存在时，将所求问题，转化为直线PA ,PF 2斜率之间的关系，结合点P 的坐标满足曲线C 方程，求解即可.【详解】(1)由题可得a =1,ca =2，故可得c =2，则b 2=c 2-a 2=4-1=3，故C 的标准方程为x 2-y23=1.(2)由(1)中所求可得点A ，F 2的坐标分别为-1,0 ,(2,0)，又双曲线渐近线为y =±3x ，显然直线PQ 的斜率不为零，故设其方程为x =my +2，m ≠±33，联立双曲线方程x 2-y 23=1可得：3m 2-1 y 2+12my +9=0，设点P ,Q 的坐标分别为x 1,y 1 ,(x 2,y 2)，则y 1+y 2=-12m 3m 2-1,y 1y 2=93m 2-1，x 1+x 2=m y 1+y 2 +4=-43m 2-1，x 1x 2=m 2y 1y 2+2m y 1+y 2 +4=-3m 2-43m 2-1；又直线AP 方程为：y =y 1x 1+1(x +1)，令x =12，则y =32⋅y 1x 1+1，故点M 的坐标为12,32⋅y 1x 1+1；直线AQ 方程为：y =y 2x 2+1(x +1)，令x =12，则y =32⋅y 2x 2+1，故点N 的坐标为12,32⋅y 2x 2+1；则MF 2 ⋅NF 2 =32,-32⋅y 1x 1+1 ⋅32,-32⋅y 2x 2+1=94+94⋅y 1y 2x 1x 2+x 1+x 2+1=94+94⋅93m 2-1-3m 2-43m 2-1-43m 2-1+1=94+94⋅9-9=0故MF 2 ⋅NF 2为定值0.(3)当直线PQ 斜率不存在时，对曲线C :x 2-y 23=1，令x =2，解得y =±3，故点P 的坐标为(2,3)，此时∠PF 2A =90°，在三角形PF 2A 中，AF 2 =3,PF 2 =3，故可得∠PAF 2=45°，则存在常数λ=2，使得∠PF 2A =2∠PAF 2成立；当直线PQ 斜率存在时，不妨设点P 的坐标为(x ,y )，x ≠2，直线PF 2的倾斜角为α，直线PA 的倾斜角为β，则∠PF 2A =π-α，∠PAF 2=β，假设存在常数λ=2，使得∠PF 2A =2∠PAF 2成立，即π-α=2β，则一定有：tan π-α =-tan α=tan2β=2tan β1-tan 2β，也即-k PF2=2k PA 1-k 2PA；又-k PF 2=-yx -2；2k PA 1-k 2PA=2yx +11-y 2x +12=2y (x +1)x +1 2-y2；又点P 的坐标满足x 2-y 23=1，则y 2=3x 2-3，故2k PA1-k 2PA=2y x +1 x +1 2-y 2=2y x +1 x +1 2-3x 2+3=2y (x +1)-2x 2+2x +4=2y (x +1)-2(x -2)(x +1)=-y x -2=-k PF 2；故假设成立，存在实数常数λ=2，使得∠PF 2A =2∠PAF 2成立；综上所述，存在常数λ=2，使得∠PF 2A =2∠PAF 2恒成立.【点睛】关键点点睛：本题考察双曲线中定值以及存在常数满足条件的问题；其中第二问证明的关键是能够快速，准确的进行计算；第三问处理的关键是要投石问路，找到特殊情况下的参数值，再验证非特殊情况下依旧成立，同时还要注意本小题中把角度关系，转化为斜率关系；属综合困难题.三、抛物线定点问题1已知动圆M 恒过定点F 0,18 ，圆心M 到直线y =-14的距离为d ,d =MF +18．(1)求M 点的轨迹C 的方程；(2)过直线y =x -1上的动点Q 作C 的两条切线l 1,l 2，切点分别为A ,B ，证明：直线AB 恒过定点．【答案】(1)x 2=12y(2)证明见详解【分析】(1)设M x ,y ，由题意可得y +14=x 2+y -18 2+18，化简整理即可；(2)设A x 1,2x 21 ,B x 2,x 22 ,Q t ,t -1 ，结合导数的几何意义分析可得x 1,x 2为方程2x 2-4tx +t -1=0的两根，结合韦达定理求直线AB 的方程，即可得结果.【详解】(1)设M x ,y ，则MF =x 2+y -18 2,d =y +14 ，因为d =MF +18，即y +14 =x 2+y -18 2+18，当y +14≥0，即y ≥-14时，则y +14=x 2+y -18 2+18，整理得x 2=12y ；当y +14<0，即y <-14时，则-y -14=x 2+y -18 2+18，整理得x 2=y +18<0，不成立；综上所述：M 点的轨迹C 的方程x 2=12y .(2)由(1)可知：曲线C ：x 2=12y ，即y =2x 2，则y =4x ，设A x 1,2x 21 ,B x 2,x 22 ,Q t ,t -1 ，可知切线QA 的斜率为4x 1，所以切线QA ：y -2x 21=4x 1x -x 1 ，则t -1-2x 21=4x 1t -x 1 ，整理得2x 21-4tx 1+t -1=0，同理由切线QB 可得：2x 22-4tx 2+t -1=0，可知：x 1,x 2为方程2x 2-4tx +t -1=0的两根，则x 1+x 2=2t ,x 1x 2=t -12，可得直线AB 的斜率k AB =2x 21-2x 22x 1-x 2=2x 1+x 2 =4t ，设AB 的中点为N x 0,y 0 ，则x 0=x 1+x 22=t ,y 0=2x 21+2x 222=x 1+x 2 2-2x 1x 2=4t 2-t +1，即N t ,4t 2-t +1 ，所以直线AB ：y -4t 2-t +1 =4t x -t ，整理得y -1=4t x -14，所以直线AB 恒过定点P 14,1 .【点睛】方法点睛：过定点问题的两大类型及解法(1)动直线l 过定点问题．解法：设动直线方程(斜率存在)为y =kx +t ，由题设条件将t 用k 表示为t =mk +n ，得y =k x +m +n ，故动直线过定点-m ,n ；(2)动曲线C 过定点问题．解法：引入参变量建立曲线C 的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．2已知抛物线C 1:x 2=2py (p >0)和圆C 2:(x +1)2+y 2=2，倾斜角为45°的直线l 1过C 1焦点，且l 1与C 2相切.(1)求抛物线C 1的方程；(2)动点M 在C 1的准线上，动点A 在C 1上，若C 1在点A 处的切线l 2交y 轴于点B ，设MN =MA +MB，证明点N 在定直线上，并求该定直线的方程.【答案】(1)x 2=12y ；(2)证明见解析，y =3.【分析】(1)设直线l 1的方程为y =x +p2，再根据直线和圆相切求出p 的值得解；(2)依题意设M (m ,-3)，求出切线l 2的方程和B 点坐标，求出MN =x 1-2m ,6 ，ON=x 1-m ,3 即可求解作答.【详解】(1)依题意得，物线C 1:x 2=2py 的焦点坐标为0,p 2 ，设直线l 1的方程为y =x +p2，而圆C 2:x +1 2+y 2=2的圆心C 2(-1,0)，半径r =2，由直线l 1与圆C 2相切，得d =-1+p212+-12=2，又p >0，解得p =6，所以抛物线C 1的方程为x 2=12y .(2)由(1)知抛物线C 1：x 2=12y 的准线为y =-3，设M (m ,-3)，由y =x 212，求导得y =x6，设A (x 1,y 1)，则以A 为切点的切线l 2的斜率为k =x 16，于是切线l 2的方程为y =16x 1x -x 1 +y 1，令x =0，得y =-16x 21+y 1=-16×12y 1+y 1=-y 1，即l 2交y 轴于点B (0,-y 1)，因此MA =(x 1-m ，y 1+3),MB =-m ,-y 1+3 ，MN =MA +MB =x 1-2m ,6 ，则ON =OM +MN=x 1-m ,3 ，设N 点坐标为(x ,y )，从而y =3，所以点N 在定直线y =3上.3已知直线l 1:x -y +1=0过椭圆C :x 24+y 2b2=1(b >0)的左焦点，且与抛物线M :y 2=2px (p >0)相切.(1)求椭圆C 及抛物线M 的标准方程;(2)直线l 2过抛物线M 的焦点且与抛物线M 交于A ，B 两点，直线OA ，OB 与椭圆的过右顶点的切线交于M ，N 两点.判断以MN 为直径的圆与椭圆C 是否恒交于定点P ，若存在，求出定点P 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)x 24+y 23=1，y 2=4x(2)存在，-2,0【分析】(1)由直线l 1过椭圆C 的左焦点，求出c 得出椭圆方程，利用直线l 1与抛物线M 相切，联立两个方程，通过判别式为零进行求解；(2)分成直线l 2斜率存在与不存在两种情况进行讨论，斜率存在时可设直线方程y =k x -1 ，与椭圆方程联立得出韦达定理，表示M ,N 两点坐标，利用PM ⋅PN=0进行求解.【详解】(1)由y 2=2px x -y +1=0 ，得x 2+2-2p x +1=0，因为直线x -y +1=0与抛物线M 只有1个公共点，所以Δ=2-2p 2-4=0，解得p =2，故抛物线C 的方程为y 2=4x .由直线x -y +1=0过椭圆C 的左焦点得得c =1，所以，4-b 2=1，b 2=3，所以椭圆C 的方程为x 24+y 23=1.(2)如图1，设A x 1，y 1 ，B x 2，y 2 ，当直线l 2斜率存在时，可设直线方程：y =k x -1由y 2=4x y =k x -1 得k 2x 2-2k 2+4 x +k 2=0，所以Δ=2k 2+4 2-4k 4=16k 2+16>0，x 1+x 2=2k 2+4k2，x 1x 2=1. 所以y 1y 2=k 2x 1-1 x 2-1 =k 2x 1x 2-x 1+x 2 +1 =-4，x 2y 1+x 1y 2=kx 2x 1-1 +kx 1x 2-1 =k 2x 1x 2-x 1+x 2 =-4k，直线OA 的方程为y =y 1x 1x ，同理可得，直线OB 的方程为y =y 2x 2x ，令x =2得，M 2，2y 1x 1 ，N 2，2y 2x 2，假设椭圆C 上存在点P x 0,y 0 ，恒有PM ⊥PN .则PM ⋅PN =2-x 0，2y 1x 1-y 0 ⋅2-x 0，2y 2x 2-y 0=0即2-x 0 2+2y 1x 1-y 0 2y 2x 2-y 0=0，即2-x 0 2+y 20-2x 2y 1+2x 1y 2x 1x 2y 0+4y 1y 2x 1x 2=0，即2-x 0 2+y 20+8ky 0-16=0，令y 0=0，可得x 0=6或x 0=-2.由于点6，0 不在椭圆C 上，点-2，0 在椭圆D 上，所以椭圆C 上存在点P -2，0 ，使PM ⊥PN 恒成立如图2，当直线斜率不存在时，直线过抛物线的右焦点，则直线方程为x =1，与抛物线交于A 1,2 ，B 1,-2 ，则直线OA 方程为：y =2x ，直线OB 方程为：y =-2x ，椭圆的过右顶点的切线方程为x =2，切线方程x =2与直线OA 交于M 2,4 ，与直线OB 交于N 2,-4 ，由上面斜率存在可知恒过P -2,0 ，经验证满足PM ⋅PN=0，所以当斜率不存在时候也满足以MN 为直径的圆恒过定点-2,0 .4在平面直角坐标系中，已知圆心为点Q 的动圆恒过点F (0,1)，且与直线y =-1相切，设动圆的圆心Q 的轨迹为曲线Γ．(1)求曲线Γ的方程；(2)P 为直线l ：y =y 0y 0<0 上一个动点，过点P 作曲线Γ的切线，切点分别为A ，B ，过点P 作AB 的垂线，垂足为H ，是否存在实数y 0，使点P 在直线l 上移动时，垂足H 恒为定点？若不存在，说明理由；若存在，求出y 0的值，并求定点H 的坐标．【答案】(1)x 2=4y(2)存在这样的y 0，当y 0=-1时，H 坐标为(0,1)．【分析】(1)依题意，由几何法即可得出圆心的轨迹Γ是以F (0,1)为焦点，l ：y =-1为准线的抛物线．(2)设直线AP 的方程y -y 1=k x -x 1 ，对抛物线方程求导化简也可得直线AP 的方程，由恒等思想可得y 0+y 1=x 1x 02，y 0+y 2=x 2x 02，构造直线方程为y +y 0=x 0x2，故AB 两点代入化简可得恒过点0,-y 0 ，再由PH ⊥AB 得x =-x02y -y 0-2 ，PH 恒过点0,y 0+2 ，从而可得结论.。
圆锥曲线专题——定值定点问题(附解析)
第1页（共15页）圆锥曲线专题——定值定点问题1．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，以原点O 为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -+=相切．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A 、B 两点，且22OA OBb k k a=-，判断AOB ∆的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．【解答】解：（1）椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -=相切，∴b ==又222a b c =+，12c e a ==， 解得24a =，23b =，故椭圆的方程为22143x y +=．()II 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩化为222(34)84(3)0k x mkx m +++-=， △22226416(34)(3)0m k k m =-+->，化为22340k m +->．∴122834mkx x k +=-+，21224(3)34m x x k -=+．22221212121223(4)()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k-=++=+++=+， 34OA OB k k =-，第2页（共15页）∴121234y y x x =-，121234y y x x =-， 222223(4)34(3)34434m k m k k --=-++，化为22243m k -=，||AB==又11)4d==-=，1||2S AB d ===22342k +=== （1）求椭圆E 的标准方程；（2）过F 作直线l 与椭圆交于A 、B 两点，问：在x 轴上是否存在点P ，使PA PB 为定值，若存在，请求出P 点坐标，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由题意知1c =，过F 且与x 轴垂直的弦长为3，则223b a =，即222()3a c a -=，则2a =，b∴椭圆E 的标准方程为22143x y +=；（2）假设存在点P 满足条件，设其坐标为(,0)t ，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，当l 斜率存在时，设l 方程为(1)y k x =-，联立22(1)3412y k x x y =-⎧⎨+=⎩，整理得：2222(43)84120k x k x k +-+-=，△0>恒成立．第3页（共15页）2122843k x x k ∴+=+，212241243k x x k -=+． ∴1(PA x t =-，1)y ，2(PB x t =-，2)y ．∴222212121212()()(1)()()PA PB x t x t y y k x x k t x x k t =--+=+-++++22222222(1)(412)()8()(43)43k k k t k k t k k +--++++=+， 2222(485)3(12)43t t k t k --+-=+， 当PA PB 为定值时，2248531243t t t ---=，118t ∴=， 此时223121354364t PA PB t -==-=-． 当l 斜率不存在时，11(8P ，0)，3(1,)2A ，3(1,)2B -．3(8PA =-，3)2，3(8PB =-，3)2-，∴13564PA PB =-， ∴存在满足条件的点P ，其坐标为11(8，0)． 此时PA PB 的值为13564-． 3．已知点(2,1)M 在抛物线2:C y ax =上，A ，B 是抛物线上异于M 的两点，以AB 为直径的圆过点M ．（1）证明：直线AB 过定点；（2）过点M 作直线AB 的垂线，求垂足N 的轨迹方程． 【解答】证明：（Ⅰ）点(2,1)M 在抛物线2:C y ax =上，14a ∴=，解得14a =，第4页（共15页）∴抛物线的方程为24x y =，由题意知，故直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y kx m =+，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立得24x yy kx m⎧=⎨=+⎩，消y 可得2440x kx m --=，得124x x k +=，124x x m =，由于MA MB ⊥，∴0MA MB =，即1212(2)(2)(2)(2)0x x y y --+--=，即121212122()()50x x x x y y y y -++-++=，(*)1212()2y y k x x m +=++，22121212()y y k x x km x x m =+++，代入(*)式得224865k k m m +=-+，即22(22)(3)k m +=-， 223k m ∴+=-，或223k m +=-，即25m k =+，或21m k =-+，当25m k =+时，直线AB 方程为(2)5y k x =++，恒过定点(2,5)， 经验证，此时△0>，符合题意，当21m k =-+时，直线AB 方程为(2)5y k x =++，恒过定点(2,1)，不合题意，∴直线AB 恒过点(2,5)-，（Ⅱ）由（Ⅰ）设直线AB 恒过定点(2,5)R -，则点N 的轨迹是以MR 为直径的圆且去掉(2,1)±，方程为22(3)8x y +-=，1y ≠．第5页（共15页）4．如图已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为32，且过点(0,1)A ．（1）求椭圆的方程；（2）过点A 作两条互相垂直的直线分别交椭圆于M ，N 两点．求证：直线MN 恒过定点P ．并求点P 的坐标．【解答】解：（1）因为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>3，且过点(0,1)A ．所以1b =，3c a =， 所以2a =，1b =所以椭圆C 的方程为：2214x y +=⋯（3分）（2）直线MN 恒过定点3(0,)5P -，下面给予证明：设直线1l 的方程为1y kx =+，联立椭圆方程，消去y 得；22(41)80k x kx ++=，解得222814,4141M M k k x y k k -=-=++ 同理可得：22284,(844N N k k x y k k -==⋯++则直线MN 的斜率22222221441414885414k k k k k k k k k k k ----++'==--++，第6页（共15页）则直线MN 的方程为22221418()41541k k ky x k k k ---=+++，即22222141813()4154155k k k k y x x k k k k ---=++=-++，则直MN 过定点3(0,)5-．故直线MN 恒过定点P 3(0,)5-．⋯（12分）B ．（1）证明：直线AB 过定点；面积．【解答】解：（1）证明：22x y =的导数为y x '=，设切点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，即有2112x y =，2222x y =，切线DA 的方程为111()y y x x x -=-，即为2112x y x x =-，切线DB 的方程为2222x y x x =-，联立两切线方程可得121()2x x x =+，可得121122y x x ==-，即121x x =-， 直线AB 的方程为2112112()2x y y y x x x x --=--， 即为211211()()22x y x x x x -=+-，第7页（共15页）可化为1211()22y x x x =++，可得AB 恒过定点1(0,)2；（2）法一：设直线AB 的方程为12y kx =+， 由（1）可得122x x k +=，121x x =-， AB 中点21(,)2H k k +，由H 为切点可得E 到直线AB 的距离即为||EH ，15||-= 解得0k =或1k =±， 即有直线AB 的方程为12y =或12y x =±+， 由12y =可得||2AB =，四边形ADBE 的面积为12(12)32ABE ABD S S ∆∆+=⨯⨯+=； 由12y x =±+，可得||1444AB =+=，此时1(1,)2D ±-到直线AB11|1|++= 5(0,)2E到直线AB15||-= 则四边形ADBE的面积为142ABE ABD S S ∆∆+=⨯⨯=；法二：（2）由（1）得直线AB 的方程为12y tx =+．第8页（共15页）由2122y tx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得2210x tx --=． 于是122x x t +=，121x x =-，21212()121y y t x x t +=++=+，212|||2(1)AB x x t =-=+．设1d ，2d 分别为点D ，E 到直线AB的距离，则1d =2d =因此，四边形ADBE的面积2121||()(2S AB d d t =+=+． 设M 为线段AB 的中点，则21(,)2M t t +．由于EM AB ⊥，而2(,2)EM t t =-，AB 与向量(1,)t 平行，所以2(2)0t t t +-=．解得0t =或1t =±．当0t =时，3S =；当1t =±时，S =综上，四边形ADBE 的面积为3或（1）求椭圆方程；（2）过直线2y =上的点P 作椭圆的两条切线，切点分别为B ，C ①求证：直线BC 过定点； ②求OBC ∆面积的最大值；【解答】（1）解：椭圆22221(0)x y a b a b+=>>过点(2,1)A ，离心率e =，第9页（共15页）∴22411a b +=，c a = 28a ∴=，22b =，∴椭圆方程为22182x y +=；（2）①证明：设0(P x ，2)，1(B x ，1)y ，2(C x ，2)y ，则切线11:182x x y y PB +=，22:182x x y y PC +=， 0(P x ，2)代入，可得直线BC 的方程为018x xy +=， ∴直线BC 过定点(0,1)；②018x xy +=代入椭圆方程可得2200(1)4016x x x x +--=， 0122116x x x x∴+=+，12204116x x x -=+，1201||2OBCS x x ∆∴=-=， 令2016u x =+，则1216OBC S ∆=，OBC ∴∆面积的最大值为2．（1）求抛物线C 的方程；（2）动直线:1()l x my m R =+∈与抛物线C 相交于A ，B 两点，问：在x 轴上是否存在定点||||DA DBDA DB +与向量OD 共线（其中存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．第10页（共15页）【解答】解：（1）抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为(2p，0)， 准线方程为2px =-， 即有05||22p pPF x =+=，即02x p =， 则2164p =，解得2p =，则抛物线的方程为24y x =；（2）在x 轴上假设存在定点(,0)D t （其中0)t ≠，使得||||DA DB DA DB +与向量OD 共线， 由||DA DA ，||DBDB 均为单位向量，且它们的和向量与OD 共线， 可得x 轴平分ADB ∠， 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立1x my =+和24y x =，得2440y my --=，△216(1)0m =+>恒成立．124y y m +=，124y y =-．①设直线DA 、DB 的斜率分别为1k ，2k ， 则由ODA ODB ∠=∠得，第11页（共15页） 121221121212()()()()y y y x t y x t k k x t x t x t x t -+-+=+=---- 122112121212(1)(1)2(1)()()()()()y my t y my t my y t y y x t x t x t x t +-++-+-+==----， 12122(1)()0my y t y y ∴+-+=，②联立①②，得4(1)0m t -+=，故存在1t =-满足题意，综上，在x 轴上存在一点(1,0)D -，使得x 轴平分ADB ∠， 即||||DA DB DA DB +与向量OD 共线． 8．已知圆22:(2)1M x y ++=，圆22:(2)49N x y -+=，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；率均存在且斜率之和为2-，证明：直线l 过定点．【解答】解：（1）由圆22:(2)1M x y ++=，可知圆心(2,0)M -，半径1；圆22:(2)49N x y -+=，圆心(2,0)N ，半径7．设动圆的半径为R ，动圆P 与圆M 外切并与圆N 内切，||||1(7)8PM PN R R ∴+=++-=， 而||4NM =，由椭圆的定义可知：动点P 的轨迹是以M ，N 为焦点，4为半长轴长的椭圆， 4a ∴=，2c =，22212b a c =-=．∴曲线C 的方程为2211612x y +=．第12页（共15页）（2）证明：直线l 的斜率不存在时，设直线l 的方程为：x t =，(44)t -． 1(,)A t y ，2(,)B t y ，120y y +=．2AQ BQ k k +====-．解得t =此时直线l的方程为：x =．直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：y kx m =+，．设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ． 联立2211612y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，化为：222(34)84480k x kmx m +++-=． 则122834km x x k +=-+，212244834m x x k -=+，12122AQ BQ y y k k x x --+=+=-，11y kx m =+，22y kx m =+．化为：1212(22)()0k x x m x x ++-+=，代入化为：k =∴直线l的方程为：y m =+．第13页（共15页）令23x =，可得23y =-．可得直线l 过定点(23，23)-．9．如图，椭圆222:1(02)4x y E b b+=<<，点(0,1)P 在短轴CD 上，且2PC PD =- （Ⅰ）求椭圆E 的方程及离心率；（Ⅱ）设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于A ，B 两点．是否存在常数λ，使得OA OB PA PB λ+为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．第14页（共15页）【解答】解：（Ⅰ）由已知，点C ，D 的坐标分别为(0,)b -，(0,)b ． 又点P 的坐标为(0,1)，且2PC PD =-，即212b -=-， 解得23b =．∴椭圆E 方程为22143x y +=． 221c a b =-，∴离心率12e =； （Ⅱ）当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为1y kx =+，A ，B 的坐标分别为1(x ，1)y ，2(x ，2)y ．联立221431x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得22(43)880k x kx ++-=． 其判别式△0>，122843k x x k -+=+，122843x x k -=+． 从而，12121212[(1)(1)]OA OB PA PB x x y y x x y y λλ+=+++-- 21212(1)(1)()1k x x k x x λ=+++++22228(1)(1)4342234343k k k k λλλ-++-+-==--++，第15页（共15页）当2λ=时，24223743k λλ---=-+， 即7OA OB PA PB λ+=-为定值．当直线AB 斜率不存在时，直线AB 即为直线CD ， 此时2347OA OB PA PB OC OD PC PD λ+=+=--=-， 故存在常数2λ=，使得OA OB PA PB λ+为定值7-．。
高考数学二轮复习专题突破—圆锥曲线中的定点、定值、探索性问题(含解析)
高考数学二轮复习专题突破—圆锥曲线中的定点、定值、探索性问题1.(2021·重庆八中月考)已知椭圆C :x 24+y 23=1的右焦点为F ,过点M (4,0)的直线l 交椭圆C 于A ,B 两点,连接AF ,BF 并延长分别与椭圆交于异于A ,B 的两点P ,Q. (1)求直线l 的斜率的取值范围; (2)若PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λFA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,QF ⃗⃗⃗⃗⃗ =μFB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,证明:λμ为定值.2.(2021·河北张家口三模)已知抛物线C :y 2=4px (p>0)的焦点为F ,且点M (1,2)到点F 的距离比到y 轴的距离大p. (1)求抛物线C 的方程;(2)若直线l :x-m (y+2)-5=0与抛物线C 交于A ,B 两点,问是否存在实数m ,使|MA|·|MB|=64√2?若存在,求出m 的值;若不存在,请说明理由.3.(2021·江苏南通适应性联考)已知双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的两个焦点为F 1,F 2,一条渐近线方程为y=bx (b ∈N *),且双曲线C 经过点D (√2,1). (1)求双曲线C 的方程;(2)设点P 在直线x=m (y ≠±m ,0<m<1,且m 是常数)上,过点P 作双曲线C 的两条切线PA ,PB ,切点为A ,B ,求证:直线AB 过某一个定点.4.(2021·山东济南二模)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的离心率为√22,且经过点H (-2,1).(1)求椭圆C 的方程;(2)过点P (-3,0)的直线(不与x 轴重合)与椭圆C 相交于A ,B 两点,直线HA ,HB 分别交x 轴于M ,N 两点,点G (-2,0),若PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPG ⃗⃗⃗⃗⃗ ,PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μPG ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求证:1λ+1μ为定值.5.(2021·广东汕头三模)已知圆C :x 2+(y-2)2=1与定直线l :y=-1,且动圆M 与圆C 外切并与直线l 相切.(1)求动圆圆心M 的轨迹E 的方程;(2)已知点P 是直线l 1:y=-2上一个动点,过点P 作轨迹E 的两条切线,切点分别为A ,B.①求证:直线AB 过定点; ②求证:∠PCA=∠PCB.6.(2021·北京东城一模)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)过点D (-2,0),且焦距为2√3. (1)求椭圆C 的方程;(2)过点A (-4,0)的直线l (不与x 轴重合)与椭圆C 交于P ,Q 两点,点T 与点Q 关于x 轴对称,直线TP 与x 轴交于点H ,是否存在常数λ,使得|AD|·|DH|=λ(|AD|-|DH|)成立?若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由.答案及解析1.(1)解 由题意知直线l 的斜率不为零,故设其方程为x=ty+4,与椭圆方程联立,消去x 得(3t 2+4)y 2+24ty+36=0,Δ=144(t 2-4)>0,解得t<-2或t>2.故直线l 的斜率k=1t 的取值范围为(-12,0)∪(0,12).(2)证明 F (1,0),设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),P (x 3,y 3),Q (x 4,y 4),由(1)得y 1+y 2=-24t3t 2+4,y 1y 2=363t 2+4,所以ty 1y 2=-32(y 1+y 2).由PF⃗⃗⃗⃗⃗ =λFA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,得{1−x 3=λ(x 1-1),-y 3=λy 1,即{-x 3=λx 1-λ-1,-y 3=λy 1. 又点P 在椭圆上,即有3x 32+4y 32=12,代入上式得3(λx 1-λ-1)2+4λ2y 12=12,即λ2(3x 12+4y 12)-6λ(λ+1)x 1+3(λ+1)2=12, 又3x 12+4y 12=12,所以12(λ+1)(λ-1)-6λ(λ+1)x 1+3(λ+1)2=0.易知λ+1≠0,故λ=35−2x 1,同理可得μ=35−2x 2.又(5-2x 1)(5-2x 2)=25-10(x 1+x 2)+4x 1x 2 =25-10[t (y 1+y 2)+8]+4(ty 1+4)(ty 2+4)=9+6t (y 1+y 2)+4t 2y 1y 2=9+6t (y 1+y 2)+4t ·(-32)(y 1+y 2)=9, 所以λμ=9(5-2x1)(5-2x 2)=1.2.解 (1)由点M 到点F 的距离比到y 轴的距离大p ,得点M 到点F 的距离与到直线x=-p 的距离相等.由抛物线的定义,可知点M 在抛物线C 上,所以4=4p ,解得p=1. 所以抛物线C 的方程为y 2=4x.(2)存在满足题意的m ,其值为1或-3. 理由如下:由{y 2=4x,x-m(y +2)−5=0,得y 2-4my-8m-20=0. 因为Δ=16m 2+4(8m+20)>0恒成立,所以直线l 与抛物线C 恒有两个交点. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则y 1+y 2=4m ,y 1y 2=-4(2m+5).因为MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1-1)(x 2-1)+(y 1-2)(y 2-2)=(y 124-1)(y 224-1)+(y 1-2)(y 2-2)=y 12y 2216−(y 1+y 2)2-2y 1y 24+y 1y 2-2(y 1+y 2)+5=16(2m+5)216−(4m)2+8(2m+5)4-4(2m+5)-8m+5=0,所以MA ⊥MB ,即△MAB 为直角三角形.设d 为点M 到直线l 的距离,所以|MA|·|MB|=|AB|·d=√1+m 2·√(y 1+y 2)2-4y 1y 2·√1+m 2=4·|1+m|·√16m 2+16(2m +5)=16·|1+m|·√(m +1)2+4=64√2,所以(m+1)4+4(m+1)2-32=0, 解得(m+1)2=4或(m+1)2=-8(舍). 所以m=1或m=-3.所以当实数m=1或m=-3时,|MA|·|MB|=64√2.3.(1)解 由{ba =b,2a 2-1b 2=1,解得{a =1,b =1,故双曲线方程为x 2-y 2=1.(2)证明 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),直线PA 的斜率为k ,P (m ,y 0).则PA:y-y1=k(x-x1),联立方程组{y-y1=k(x-x1), x2-y2=1,消去y,可得x2-[kx+(-kx1+y1)]2=1,整理可得(1-k2)x2-2k(y1-kx1)x-(y1-kx1)2-1=0.因为PA与双曲线相切,所以Δ=4k2(y1-kx1)2+4(1-k2)·(y1-kx1)2+4(1-k2)=0,整理得4(y1-kx1)2+4(1-k2)=0.即k2x12-2kx1y1+y12+1-k2=0,即(x12-1)k2-2kx1y1+(y12+1)=0,因为x12−y12=1,所以x12-1=y12,y12+1=x12代入可得y12k2-2x1y1k+x12=0,即(y1k-x1)2=0,所以k=x1y1.故PA:y-y1=x1y1(x-x1),即y1y=x1x-1.同理,切线PB的方程为y2y=x2x-1.因为P(m,y0)在切线PA,PB上,所以有{y0y1=mx1-1, y0y2=mx2-1,A,B满足直线方程y0y=mx-1,而两点唯一确定一条直线,故AB:y0y=mx-1,所以当{x=1m,y=0时,无论y0为何值,等式均成立.故点(1m ,0)恒在直线AB上,故无论P在何处,AB恒过定点(1m,0).4.(1)解由题意知e=ca =√1−b2a2=√22,则a2=2b2.又椭圆C经过点H(2,1),所以4a2+1b2=1.联立解得a2=6,b2=3,所以椭圆C的方程为x 26+y23=1.(2)证明 设直线AB 的方程为x=my-3,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由{x =my-3,x 26+y 23=1联立消去x ,得(m 2+2)y 2-6my+3=0,所以Δ=36m 2-12(m 2+2)>0,y 1+y 2=6mm 2+2,y 1y 2=3m 2+2,由题意知,y 1,y 2均不为1.设M (x M ,0),N (x N ,0),由H ,M ,A 三点共线知AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与MH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线,所以x M -x 1=(-y 1)(-2-x M ),化简得x M =x 1+2y 11−y 1.由H ,N ,B 三点共线,同理可得x N =x 2+2y 21−y 2.由PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPG⃗⃗⃗⃗⃗ ,得(x M +3,0)=λ(1,0),即λ=x M +3. 由PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μPG ⃗⃗⃗⃗⃗ ,同理可得μ=x N +3. 所以1λ+1μ=1xM+3+1xN+3=1x 1+2y 11−y 1+3+1x 2+2y 21−y 2+3=1−y 1x1-y 1+3+1−y 2x 2-y 2+3=1−y1(m-1)y1+1−y 2(m-1)y 2=1m-11−y 1y 1+1−y 2y 2=1m-1(y 1+y 2y1y 2-2)=1m-1(6mm 2+23m 2+2-2)=2,所以1λ+1μ为定值.5.(1)解 依题意知:M 到C (0,2)的距离等于M 到直线y=-2的距离,故动点M 的轨迹是以C 为焦点,直线y=-2为准线的抛物线.设抛物线方程为x 2=2py (p>0),则p2=2,则p=4,即抛物线的方程为x 2=8y ,故动圆圆心M 的轨迹E 的方程为x 2=8y. (2)证明 ①由x 2=8y 得y=18x 2,y'=14x.设A (x 1,18x 12),B (x 2,18x 22),P (t ,-2),其中x 1≠x 2, 则切线PA 的方程为y-18x 12=x 14(x-x 1),即y=14x 1x-18x 12.同理,切线PB 的方程为y=14x 2x-18x 22. 由{y =14x 1x-18x 12,y =14x 2x-18x 22,解得{x =x 1+x22,y =x 1x 28, 故{t =x 1+x 22,-2=x 1x 28,即{x 1+x 2=2t,x 1x 2=−16.故直线AB 的方程为y-18x 12=18x 22-18x 12x 2-x 1(x-x 1),化简得y=x 1+x 28x-x 1x 28,即y=t4x+2,故直线AB 过定点(0,2).②由①知:直线AB 的斜率为k AB =t4,(i)当直线PC 的斜率不存在时,直线AB 的方程为y=2,∴PC ⊥AB ,∴∠PCA=∠PCB ;(ii)当直线PC 的斜率存在时,P (t ,-2),C (0,2),直线PC 的斜率k PC =-2-2t-0=-4t,k AB ·k PC =t 4×-4t =-1,故PC ⊥AB ,∠PCA=∠PCB. 综上所述,∠PCA=∠PCB 得证.6.解 (1)因为椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)过点D (-2,0),所以a=2,又2c=2√3,即c=√3,所以b 2=a 2-c 2=4-3=1,所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1.(2)存在常数λ=2,满足题意. 理由如下:显然直线l 的斜率存在且不为0,设直线l :y=k (x+4),联立{y =k(x +4),x 24+y 2=1,消去y 并整理,得(1+4k 2)x 2+32k 2x+64k 2-4=0, Δ=(32k 2)2-4(1+4k 2)(64k 2-4)>0,得0<k 2<112.设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),则T (x 2,-y 2),所以x 1+x 2=-32k 21+4k 2,x 1x 2=64k 2-41+4k 2,直线PT :y-y 1=y 1+y2x 1-x 2(x-x 1),令y=0,得x=x 1-y 1(x 1-x 2)y 1+y 2,所以H x 1-y 1(x 1-x 2)y 1+y 2,0,若存在常数λ,使得|AD|·|DH|=λ(|AD|-|DH|)成立, 所以1λ=|AD|-|DH||AD|·|DH|=1|DH|−1|AD|,又因为D (-2,0),A (-4,0),H (x 1-y 1(x 1-x 2)y 1+y 2,0),所以|AD|=2,|DH|=x 1-y 1(x 1-x 2)y 1+y 2+2 =x 1-k(x 1+4)(x 1-x 2)k(x 1+4)+k(x 2+4)+2=x 1-k(x 1+4)(x 1-x 2)k(x 1+x 2)+8k+2=kx 1(x 1+x 2)+8kx 1-k(x 1+4)(x 1-x 2)k(x 1+x 2)+8k+2=kx 12+kx 1x 2+8kx 1-kx 12+kx 1x 2-4kx 1+4kx 2k(x 1+x 2)+8k+2=4k(x 1+x 2)+2kx 1x 2k(x 1+x 2)+8k+2=4k·-32k 21+4k 2+2k·64k 2-41+4k 2k·-32k 21+4k 2+8k +2=-1+2=1,所以1λ=11−12,解得λ=2.所以存在常数λ=2,使得|AD|·|DH|=2(|AD|-|DH|)成立.。
圆锥曲线中的定点与定值问题
1
2
＋ 2 = 1，
2
4
2
2
2 = 3，
ቊ 2
故椭圆 E 的方程为 ＋ ＝1.
3
4
= 4，
法二：设椭圆 E 的方程为 mx 2＋ ny 2＝1( m ＞0， n ＞0且 m ≠ n ).由题意可
1
4 = 1，
＝ ，
2
2
4
得൝9
解得൞
故椭圆 E 的方程为 ＋ ＝1.
1
3
4
若直线 MN 与 x 轴不垂直，
设直线 MN 的方程为 y ＝ kx ＋ m ，代入
得(1＋2 k 2 ) x 2 ＋4 kmx ＋2 m 2 －6＝0.
于是 x 1 ＋ x 2 ＝－
4
1+2 2
， x 1 x 2＝
2 2 −6
1+2 2
2
6
＋
2
3
＝1，
.①
由 AM ⊥ AN ，得 · ＝0，
M ( x 1， y 1)， N ( x 2， y 2).
+ 2 = ( − 1),
联立ቐ 2 2
得(3 k 2＋4) x 2－6 k (2＋ k ) x ＋3 k ( k ＋4)＝0，
＋ = 1，
3
4
6(2+)
3(+4)
−8(2+)
则 x1＋ x 2＝ 2 ， x 1 x 2＝ 2 ， y 1＋ y 2＝ 2 ， y 1 y 2＝
，由 ＝ ，
− 6 + 3 − 1 = − (− 6 + 3),
＝ −
2 6
，
3
则 H −2 6 +
专题14 圆锥曲线中的定值定点问题(解析版)
专题14 圆锥曲线中的定值定点问题1．（2022·全国·高考真题（文））已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过()30,2,,12A B ⎛--⎫⎪⎝⎭两点．(1)求E 的方程；(2)设过点()1,2P -的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT TH =．证明：直线HN 过定点．【答案】(1)22143y x +=(2)(0,2)- 【解析】 【分析】（1）将给定点代入设出的方程求解即可；（2）设出直线方程，与椭圆C 的方程联立，分情况讨论斜率是否存在，即可得解. (1)解：设椭圆E 的方程为221mx ny +=，过()30,2,,12A B ⎛--⎫⎪⎝⎭，则41914n m n =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得13m =，14n =，所以椭圆E 的方程为：22143y x +=.(2)3(0,2),(,1)2A B --，所以2:23+=AB y x ，①若过点(1,2)P -的直线斜率不存在，直线1x =.代入22134x y+=，可得(1,M，N ，代入AB 方程223y x =-，可得(3,T ，由MT TH =得到(5,H -.求得HN 方程：(22y x =+-，过点(0,2)-. ①若过点(1,2)P -的直线斜率存在，设1122(2)0,(,),(,)kx y k M x y N x y --+=.联立22(2)0,134kx y k x y --+=⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(34)6(2)3(4)0k x k k x k k +-+++=， 可得1221226(2)343(4)34k k x x k k k x x k +⎧+=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，12222228(2)344(442)34k y y k k k y y k -+⎧+=⎪⎪+⎨+-⎪=⎪+⎩，且1221224(*)34kx y x y k -+=+联立1,223y y y x =⎧⎪⎨=-⎪⎩可得111113(3,),(36,).2y T y H y x y ++- 可求得此时1222112:()36y y HN y y x x y x x --=-+--，将(0,2)-，代入整理得12121221122()6()3120x x y y x y x y y y +-+++--=， 将(*)代入，得222241296482448482436480,k k k k k k k +++---+--= 显然成立，综上，可得直线HN 过定点(0,2).-2．（2021·全国·高考真题）已知椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，右焦点为F ，．（1）求椭圆C 的方程；（2）设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线222(0)x y b x +=>相切．证明：M ，N ，F 三点共线的充要条件是||MN =【答案】（1）2213x y +=；（2）证明见解析.【解析】 【分析】（1）由离心率公式可得a =2b ，即可得解；（2）必要性：由三点共线及直线与圆相切可得直线方程，联立直线与椭圆方程可证MN 充分性：设直线():,0MN y kx b kb =+<，由直线与圆相切得221b k =+，联立直线与椭圆方程结合弦长公=1k =±，即可得解. 【详解】（1）由题意，椭圆半焦距c =c e a ==a = 又2221b a c =-=，所以椭圆方程为2213x y +=；（2）由（1）得，曲线为221(0)x y x +=>，当直线MN 的斜率不存在时，直线:1MN x =，不合题意； 当直线MN 的斜率存在时，设()()1122,,,M x y N x y ， 必要性：若M ，N ，F三点共线，可设直线(:MN y k x =即0kx y -=， 由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>1=，解得1k =±，联立(2213y x x y ⎧=±⎪⎨⎪+=⎩可得2430x -+=，所以121234x x x x +=⋅=，所以MN所以必要性成立；充分性：设直线():,0MN y kx b kb =+<即0kx y b -+=， 由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>1=，所以221b k =+，联立2213y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()222136330k x kbx b +++-=， 所以2121222633,1313kb b x x x x k k -+=-⋅=++，所以MN化简得()22310k -=，所以1k =±，所以1k b =⎧⎪⎨=⎪⎩1k b =-⎧⎪⎨=⎪⎩:MN y x=y x =-所以直线MN 过点F ，M ，N ，F 三点共线，充分性成立； 所以M ，N ，F 三点共线的充要条件是||MN =3．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知椭圆M ：22221x y a b +=（a >b>0AB为过椭圆右焦点的一条弦，且AB 长度的最小值为2. (1)求椭圆M 的方程；(2)若直线l 与椭圆M 交于C ，D 两点，点()2,0P ，记直线PC 的斜率为1k ，直线PD 的斜率为2k ，当12111k k +=时，是否存在直线l 恒过一定点？若存在，请求出这个定点；若不存在，请说明理由.【答案】(1)22142x y += (2)存在，()2,4-- 【解析】 【分析】（1）由题意求出,,a b c ，即可求出椭圆M 的方程.（2）设直线l 的方程为m (x －2)+ny ＝1，()11,C x y ，()22,D x y ，联立直线l 的方程与椭圆方程()()222242x y x -+=--，得()22214420x x m n y y ⎛⎫--+++= ⎪⎝⎭，则12114114n k k m +=-=+，化简得14m n +=-，即可求出直线l 恒过的定点. (1)因为22221x y a b +=（a >b >0222b a =， 所以a ＝2，c =b M 的方程为22142x y +=.(2)设直线l 的方程为m (x －2)+ny ＝1，()11,C x y ，()22,D x y ， 由椭圆的方程2224x y +=，得()()222242x y x -+=--.联立直线l 的方程与椭圆方程，得()()()2222422x y x m x ny ⎡⎤⎣⎦-+=---+，即()()()221424220m x n x y y +-+-+=，()22214420x x m n y y ⎛⎫--+++= ⎪⎝⎭， 所以12121222114114x x nk k y y m--+=+=-=+， 化简得14m n +=-，代入直线l 的方程得()1214m x m y ⎛⎫-+--= ⎪⎝⎭， 即()1214m x y y ---=，解得x ＝－2，y ＝－4，即直线l 恒过定点()2,4--. 4．（2022·上海松江·二模）已知椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的右顶点坐标为(2,0)A ，左、右焦点分别为1F 、2F ，且122F F =，直线l 交椭圆Γ于不同的两点M 和N ． (1)求椭圆Γ的方程；(2)若直线l 的斜率为1，且以MN 为直径的圆经过点A ，求直线l 的方程； (3)若直线l 与椭圆Γ相切，求证：点1F 、2F 到直线l 的距离之积为定值．【答案】(1)22143x y +=；(2)2y x =-或27y x =-； (3)证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据焦距及椭圆的顶点求出,a b 即可得出；（2）设直线l 的方程为 y x b =+，联立方程，由根与系数的关系及0AM AN ⋅=求解即可；（3）分直线斜率存在与不存在讨论，当斜率不存在时直接计算可得，当斜率存在时，设直线l 的方程为y kx b =+，根据相切求出,b k 关系，再由点到直线的距离直接计算即可得解.(1)①1222F F c == ①1c =，①2a =，由222a b c =+ 得241=+b ，①22=34=b a ，所以椭圆Γ的方程：22143x y +=；(2)①直线l 的斜率为1，故可设直线l 的方程为 y x b =+， 设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y由22143y x bx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 可得22784120x bx b ++-=， 则1287b x x +=-，2124127b x x -=，①以MN 为直径的圆过右顶点A ，①0AM AN ⋅=，①1212(2)(2)0x x y y --+= ①21212122211))2()4((2(2)()4b b x x x x x x x x b x x b -+++=+-+++++2241282(2)4077b bb b -=⋅--⋅++=，整理可得271640b b ++=，①2b =-或27b =-，①2226447(412)16(213)b b b ∆=-⋅⋅-=⋅-， 当2b =-或27b =-时，均有0∆>所以直线l 的方程为2y x =-或27y x =-． (3)椭圆Γ左、右焦点分别为1(1,0)F -、2(1,0)F①当直线l 平行于y 轴时，①直线l 与椭圆Γ相切，①直线l 的方程为2x =±， 此时点1F 、2F 到直线l 的到距离分别为121,3d d ==，①123d d ⋅=． ①直线l 不平行于y 轴时，设直线l 的方程为 y kx b =+，联立2234120y kx b x y =+⎧⎨+-=⎩，整理得222(34)84120k x kbx b +++-=， 222222644(34)(412)16(9123)k b k b k b ∆=-+-=⋅+-，①直线l 与椭圆Γ相切，①0∆=，①2234b k =+ ①1(1,0)F -到直线l的距离为1d ，2(1,0)F -到直线l的距离为2=d①2222212222(34)33111k bk k k d d k k k --++⋅=====+++， ①点1F 、2F 到直线l 的距离之积为定值由3．5．（2022·上海浦东新·二模）已知12F F 、分别为椭圆E ：22143x y+=的左、右焦点， 过1F 的直线l 交椭圆E于,A B 两点．(1)当直线l 垂直于x 轴时，求弦长AB ； (2)当2OA OB ⋅=-时，求直线l 的方程；(3)记椭圆的右顶点为T ，直线AT 、BT 分别交直线6x =于C 、D 两点，求证：以CD 为直径的圆恒过定点，并求出定点坐标． 【答案】(1)3(2))1y x =+(3)证明见解析；定点()()4080，，，【解析】 【分析】（1）将1x =-代入椭圆方程求解即可；（2）由（1）知当直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为：()1y k x =+，联立直线与椭圆的方程，得出()22223484120k xk x k +++-=，设()()1122A x y B x y ，，，可得韦达定理，代入2OA OB ⋅=-计算可得斜率；（3）分析当直线l 的斜率不存在时，由椭圆的对称性知若以CD 为直径的圆恒过定点则定点在x 轴上，再以CD 为直径的圆的方程，令0y =，代入韦达定理化简可得定点 (1)由题知()110F -，，将1x =-代入椭圆方程得332y AB =±∴=， (2)由（1）知当直线l 的斜率不存在时，331122A B ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，此时14OA OB =，不符合题意，舍去∴直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为：()1y k x =+，联立()221431x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()22223484120k x k x k +++-=，设()()1122A x y B x y ，，，，则2122212283441234k x x k k x x k ⎧-+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， 由()()()()2222222221212121212122224128512111()1343434k k k OA OB x x y y x x k x k x k x xk x x k kk k k k k ----=+=+++=++++=+++=+++，解得22k k ==，∴直线l 的方程为)1y x =+．．(3)①当直线l 的斜率不存在时，()33112022A B T ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，直线AT 的方程为112y x =-+，C 点坐标为()62-，， 直线BT 的方程为112y x =-，D 点坐标为()62，，以CD 为直径的圆方程为()2264x y -+=，由椭圆的对称性知若以CD 为直径的圆恒过定点则定点在x 轴上，令0y =，得48x x ==，．即圆过点()()4080，，，． ①当直线l 的斜率存在时，同（2）联立，直线AT 的方程为()1122y y x x =--， C 点坐标为11462y x ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，，同理D 点坐标为22462y x ⎛⎫⎪-⎝⎭，，以CD 为直径的圆的方程为()()12124466022y y x x y y x x ⎛⎫⎛⎫--+--= ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭，令0y =，得()2121212161236024y y x x x x x x -++=-++，由()()()()22222121222121212122241281611611343416441282424243434k k k k x k x k k y y k k x x x x x x x x k k ⎛⎫--++ ⎪++++⎝⎭===----++-++-+++， 得212320x x -+=，解得48x x ==，，即圆过点()()4080，，，． 综上可得，以CD 为直径的圆恒过定点()()4080，，，． 6．（2022·上海长宁·二模）已知,A B 分别为椭圆222Γ:1(1)x y a a+=>的上、下顶点，F 是椭圆Γ的右焦点，M 是椭圆Γ上异于,A B 的点．(1)若π3AFB ∠=，求椭圆Γ的标准方程 (2)设直线:2l y =与y 轴交于点P ，与直线MA 交于点Q ，与直线MB 交于点R ，求证：PQ PR ⋅的值仅与a 有关(3)如图，在四边形MADB 中，MA AD ⊥，MB BD ⊥，若四边形MADB 面积S 的最大值为52，求a 的值．【答案】(1)2214x y +=(2)证明见解析 (3)2a = 【解析】 【分析】（1）根据已知判断AFB △形状，然后可得；（2）设()11,M x y ，表示出直线AM 、BM 的方程，然后求Q 、R 的坐标，直接表示出所求可证； （3）设()11,M x y ，()44,D x y ，根据已知列方程求解可得14,x x 之间关系，表示出面积，结合已知可得. (1)因为AF BF =，π3AFB ∠=，所以AFB △是等边三角形， 因为2AB =，AF a =，所以2a =，得椭圆的标准方程为2214x y +=．(2)设()11,M x y ，()2,2R x ，()3,2Q x ， 因为()0,1A ，()0,1B -所以直线AM 、BM 的方程分别为 111:1AM y l y x x -=+， 111:1BM y l y x x +=-， 所以12131x x y =+，1311x x y =-， 又221121x y a-=所以2211221331x PQ PR x x a y ⋅===-，所以PQ PR ⋅的值仅与a 有关． (3)设()11,M x y ，()44,D x y ， 因为MA DA ⊥，MB DB ⊥，所以()()1414110x x y y +--=，()()1414110x x y y +++= 两式相减得41y y =-，带回原式得214110x x y +-=，因为221121x y a+=，所以142x x a =-， 1412111MAB DABS SSx x x a a a ⎛⎫=+=+=+≤+ ⎪⎝⎭因为S 的最大值为52 ，所以152a a += ，得2a =．7．（2022·福建省福州格致中学模拟预测）圆O ：224x y +=与x 轴的两个交点分别为()12,0A -，()22,0A ，点M 为圆O 上一动点，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点R 满足12NR NM = (1)求点R 的轨迹方程；(2)设点R 的轨迹为曲线C ，直线1x my =+交C 于P ，Q 两点，直线1A P 与2A Q 交于点S ，试问：是否存在一个定点T ，当m 变化时，2A TS 为等腰三角形【答案】(1)2214x y +=(2)存在，证明见解析 【解析】 【分析】（1）设点()00,M x y 在圆224x y +=上，故有22004x y +=，设(),R x y ，根据题意得0x x =，012y y =，再代入圆224x y +=即可求解；（2）先判断斜率不存在的情况；再在斜率存在时，设直线l 的方程为1x my =+，与椭圆联立得：()224230m y my ++-=，12224m y y m -+=+，12234y y m -=+，再根据题意求解判断即可. (1)设点()00,M x y 在圆224x y +=上，故有22004x y +=，设(),R x y ，又12NR NM =，可得0x x =，012y y =， 即0x x =，02y y =代入22004x y +=可得()2224x y +=，化简得：2214x y +=，故点R 的轨迹方程为：2214x y +=.(2)根据题意，可设直线l 的方程为1x my =+， 取0m =，可得P ⎛ ⎝⎭，1,Q ⎛ ⎝⎭， 可得直线1A P的方程为y x =+，直线2A Q的方程为y x =-联立方程组，可得交点为(1S ；若1,P ⎛ ⎝⎭，Q ⎛ ⎝⎭，由对称性可知交点(24,S ， 若点S 在同一直线上，则直线只能为l ：4x =上，以下证明：对任意的m ，直线1A P 与直线2A Q 的交点S 均在直线l ：4x =上. 由22114x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()224230m y my ++-= 设()11,P x y ，()22,Q x y ，则12224m y y m -+=+，12234y y m -=+ 设1A P 与l 交于点()004,S y ，由011422y y x =++，可得10162y y x =+ 设2A Q 与l 交于点()004,S y '，由022422y y x '=--，可得20222y y x '=-，因为()()()()122112102126123622222y my y my y y y y x x x x --+'-=-=+-+- ()()()()()22121211121212464402222m mmy y y y m m x x x x ----+++===+-+-， 因为00y y '=，即0S 与0S '重合， 所以当m 变化时，点S 均在直线l ：4x =上，因为()22,0A ，()4,S y ，所以要使2A TS 恒为等腰三角形，只需要4x =为线段2A T 的垂直平分线即可，根据对称性知，点()6,0T . 故存在定点()6,0T 满足条件.8．（2022·全国·模拟预测）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12，椭圆C 的左､右顶点分别为A ，B ，上顶点为D ，1AD BD ⋅=-. (1)求椭圆C 的方程；(2)斜率为12的动直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，是否存在定点P （直线l 不经过点P ），使得直线PM 与直线PN 的倾斜角互补，若存在这样的点P ，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)22143x y +=(2)存在，点P 的坐标为31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭或31,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）利用数量积公式及离心率可得a ,b ,c 从而得到椭圆方程; （2）设直线l 的方程为12y x m =+，与椭圆方程联立，写出韦达定理，由题意可得直线PM 与直线PN 的斜率之和为零，利用韦达定理化简可得结果. (1)设椭圆C 的焦距为2c ，由题意知(),0A a -，(),0B a ，()0,D b ，所以(),AD a b =，(),BD a b =-，所以2221AD BD a b c ⋅=-+=-=-，解得1c =. 又椭圆C 的离心率为12，所以22a c ==，b故椭圆C 的方程为22143x y +=.(2)假设存在这样的点P ，设点P 的坐标为()00,x y ，点M ，N 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，设直线l 的方程为12y x m =+. 联立方程221,4312x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消去y 后整理得2230x mx m ++-=.()222431230m m m ∆=--=->，得22m -<<， 有12212,3.x x m x x m +=-⎧⎨=-⎩ 若直线PM 与直线PN 的倾斜角互补，则直线PM 与直线PN 的斜率之和为零，所以01020102010201021122y x m y x m y y y y x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭+=+---- ()()()()()()()()()()010*********0102010222222222222y m x x x y m x x x y m x y m x x x x x x x x x ---+---⎡⎤⎡⎤----⎣⎦⎣⎦=+=----()()()()()()()()()()20000012121200102010222223222222y m x m m mx y m x x x x x x x x x x x x x x x x -++-+--++-+⎡⎤⎣⎦==----()()()()()()()()0000000001020102462322323022x y y x m x y y x mx x x x x x x x -+--+-===----.所以0000230,230,x y y x -=⎧⎨-=⎩解得001,32x y =⎧⎪⎨=⎪⎩或001,3.2x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩故存在点P 符合条件，点P 的坐标为31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭或31,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭.9．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学模拟预测（文））已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的两个焦点分别为1F 和2F ，椭圆C 上一点到1F 和2F 的距离之和为4，且椭圆C(1)求椭圆C 的方程；(2)过左焦点1F 的直线l 交椭圆于A 、B 两点，线段AB 的中垂线交x 轴于点D （不与1F 重合），是否存在实数λ，使1AB DF λ=恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说出理由.【答案】(1)2214x y +=(2)存在，λ=【解析】 【分析】（1）由椭圆的定义可求得a 的值，根据椭圆的离心率求得c 的值，再求出b 的值，即可得出椭圆C 的方程； （2）分析可知，直线l 不与x 轴垂直，分两种情况讨论，一是直线l 与x 轴重合，二是直线l 的斜率存在且不为零，设出直线l 的方程，与椭圆方程联立，求出AB 、1DF ，即可求得λ的值. (1)解：由椭圆的定义可得24a =，则2a =，因为c ea ==c∴=1b ==， 因此，椭圆C 的方程为2214x y +=.(2)解：若直线l 与x 轴垂直，此时，线段AB 的垂直平分线为x 轴，不合乎题意； 若直线l 与x 轴重合，此时，线段AB 的垂直平分线为y 轴，则点D 与坐标原点重合，此时，143AB DF λ==若直线l 的斜率存在且不为零时，设直线l 的方程为)0x my m =≠，设点()11,A x y 、()22,B x y ， 联立2244x my x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩()22410m y +--=，()()22212441610m m m ∆=++=+>，由韦达定理可得12y y +=，12214y y m =-+， 则()121222m y y x x ++= 所以，线段AB的中点为M ⎛ ⎝⎭， 所以，线段AB的垂直平分线所在直线的方程为y m x ⎛=- ⎝⎭，在直线方程y m x ⎛=- ⎝⎭中，令0y =可得x =，故点D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以，)21214m DF m +==+，由弦长公式可得()22414m AB m +==+，因此，()2221414m ABDF m λ+===+综上所述，存在λ=1AB DF λ=恒成立. 10．（2022·河南安阳·模拟预测（文））已知椭圆2222:1(0)C b b x a a y +>>=上一个动点N 到椭圆焦点(0,)F c 的距离的最小值是2，且长轴的两个端点12,A A 与短轴的一个端点B 构成的12A A B △的面积为2．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)如图，过点4(0,)M -且斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点．证明：直线1A P 与直线2A Q 的交点T 在定直线上．【答案】(1)2214y x +=(2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意得到22221222a c ab a b c ⎧-=⎪⎪⨯=⎨⎪=+⎪⎩，再解方程组即可.（2）首先设直线:4l y kx =-，()11,P x y ，()22,Q x y ，与椭圆联立，利用韦达定理得到12284kx x k +=+，122124x x k =+.1112:2PA y l y x x ++=，2222:2QA y l y xx --=，根据2123y y +=--，即可得到1y =-，从而得到直线1A P 与直线2A Q 的交点T 在定直线1y =-上. (1)由题知：22221222a c ab a b c⎧-=⎪⎪⨯=⎨⎪=+⎪⎩，解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪⎩，即：椭圆22:14+=y C x(2)设直线:4l y kx =-，()11,P x y ，()22,Q x y ，()10,2A -，()20,2A ，()222214812044y x k x kx y kx ⎧+=⎪⇒+-+=⎨⎪=-⎩. 12284k x x k +=+，122124x x k =+. 则1112:2PA y l y x x ++=，2222:2QA y l y x x --=， 则()()()()1212122212112122222266y x kx x kx x x y y y x kx x kx x x +--+===----， 因为()1212212342k kx x x x k ==++， 所以()()12212121213232123293362x x x x x y y x x x x x +--+===---++-，解得1y =-. 所以直线1A P 与直线2A Q 的交点T 在定直线1y =-上.11．（2022·安徽省舒城中学三模（理））已知椭圆22:184x y Γ+=，过原点O 的直线交该椭圆Γ于A ，B 两点（点A 在x 轴上方），点()4,0E ，直线AE 与椭圆的另一交点为C ，直线BE 与椭圆的另一交点为D ．(1)若AB 是Γ短轴，求点C 坐标；(2)是否存在定点T ，使得直线CD 恒过点T ？若存在，求出T 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)82(,)33；(2)存在，8(,0)3T .【解析】 【分析】（1）两点式写出直线AE ，联立椭圆方程并结合韦达定理求出C 坐标； （2）设00(,)A x y 有00:(4)4=--y AE y x x ，联立椭圆求C 坐标，同理求D 坐标，讨论00x ≠、00x =，判断直线CD 恒过定点即可. (1)由题设，(0,2)A ，而()4,0E ，故直线AE 为240x y +-=，联立22:184x y Γ+=并整理得：23840y y -+=，故83A C y y +=，而2A y =，所以23C y =，代入直线AE 可得284233C x =-⨯=，故C 坐标为82(,)33.(2)设00(,)A x y ，则00:(4)4=--y AE y x x ， 由()00224428y y x x x y ⎧=-⎪-⎨⎪+=⎩，故2220202(4)8(4)+-=-y x x x ， 由韦达定理有20222222000000002220000020328(4)328(4)16(8)8(4)64242(4)22482481(4)C y x y x x x x x x x y x y x x x --------====-+--+-， 所以00833C x x x -=-，故003C y y x =-，同理得：00833D x x x +=+，003D y y x -=+，当00x ≠时，取8(,0)3T ，则0000003383833TCy x yk x x x -==----，同理003TD y k x =-， 故,,T C D 共线，此时CD 过定点8(,0)3T .当00x =时，83C D x x ==，此时CD 过定点8(,0)3T .综上，CD 过定点8(,0)3T .12．（2022·广东茂名·二模）已知圆O ：x 2+y 2＝4与x 轴交于点(2,0)A -，过圆上一动点M 作x 轴的垂线，垂足为H ，N 是MH 的中点，记N 的轨迹为曲线C ． (1)求曲线C 的方程；(2)过6(,0)5-作与x 轴不重合的直线l 交曲线C 于P ，Q 两点，设直线AP ，AS 的斜率分别为k 1，k 2.证明：k 1＝4k 2．【答案】(1)2212x y +=；(2)证明见解析. 【解析】 【分析】（1）运用相关点法即可求曲线C 的方程；( 2)首先对直线l 的斜率是否存在进行讨论,再根据几何关系分别求出P 、Q 、S 三点的坐标，进而表示出直线AP ， AS 的斜率12,k k ，再根据斜率的表达式进行化简运算,得出结论. (1)设N （x 0，y 0），则H （x 0，0）， ①N 是MH 的中点，①M （x 0，2y 0），又①M 在圆O 上，2200(2)4y x +=∴，即220014x y +=； ①曲线C 的方程为：2214x y +=；(2)①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为：65x =-，若点P 在轴上方，则点Q 在x 轴下方，则6464(,),(,)5555P Q ---，直线OQ 与曲线C 的另一交点为S ，则S 与Q 关于原点对称，①64(,)55S ，1244001551,,6642255APAS k k k k --======-++124k k ∴=；若点P 在x 轴下方，则点Q 在x 轴上方， 同理得：646464(,),(,),(,)555555P Q S ----，1244001551,6642255APAS k k k k ----===-∴===--++，①k 1＝4k 2；①当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：6,5x my =-，由6,5x my =-与2214x y +=联立可得221264(4)0525m m y y +--=， 其中22144644(4)02525m m ∆=+⨯+⨯>，设1122(,),(,)P x y Q x y ，则22(,)S x y --，则1212221264525,44m y y y y m m -+==++，①112212112200,,2222AP AS k y y y y k k k x x x x ---======++-+- 则121122121216()2542()5y my k y x k x y my y --=⋅=++121112212121112226464161616252554545444641216()4445525525454545my y y y y m m my y y y y m m y y m m m -----++====++---+⋅--+++，①k 1＝4k 2. 13．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（文））生活中，椭圆有很多光学性质，如从椭圆的一个焦点出发的光线射到椭圆镜面后反射，反射光线经过另一个焦点.现椭圆C 的焦点在y 轴上，中心在坐标原点，从下焦点1F 射出的光线经过椭圆镜面反射到上焦点2F ，这束光线的总长度为4，且反射点与焦点构成的三角e < (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若从椭圆C 中心O 出发的两束光线OM 、ON ，分别穿过椭圆上的A 、B 点后射到直线4y =上的M 、N两点，若AB 连线过椭圆的上焦点2F ，试问，直线BM 与直线AN 能交于一定点吗？若能，求出此定点：若不能，请说明理由.【答案】(1)22143y x +=(2)能，定点为（0，85）【解析】 【分析】（1）由条件列方程求,,a b c 可得椭圆方程； （2）联立方程组，利用设而不求法结论完成证明. (1)由已知可设椭圆方程为22221(0)y x a b a b+=>>，则24a =，122c b ⨯⨯222a b c =+又e <所以21a b c ===，，故椭圆C 的标准方程为22143y x +=(2)设AB 方程为1y kx =+，由221431y x y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得22(34)690k x kx ++-=， 222(6)36(34)1441440k k k ∆=++=+>设()()1122A x y B x y ，，，，则121222693434k x x x x k k --+==++，.. 由对称性知，若定点存在，则直线BM 与直线AN 交于y 轴上的定点，由114y y x x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩得1144x M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则直线BM 方程为211121444()4y x y x x y x y --=--， 令0x =，则 122114(4)44x y y x y x -=+-()()112211414114x x kx x kx x ⎡⎤-+=+⎢⎥+-⎢⎥⎣⎦112211234(1)4x kx x x x kx x -=+-+2121124()4x x x x kx x -=-+又12123()2x x kx x +=， 则21212112214()4()83554()()22x x x x y x x x x x x --===-++-，所以，直线BM 过定点（0，85），同理直线AN 也过定点8(0,)5.则点（0，85）即为所求点.14．（2022·全国·模拟预测）设椭圆()222:10416x y C b b+=<<的右焦点为F ，左顶点为A ．M 是C 上异于A的动点，过F 且与直线AM 平行的直线与C 交于P ，Q 两点（Q 在x 轴下方），且当M 为椭圆的下顶点时，2AM FQ =．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设点S ，T 满足PS SQ =，FS ST =，证明：平面上存在两个定点，使得T 到这两定点距离之和为定值． 【答案】(1)22116x = (2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）由向量的坐标运算用,b c 表示出Q 点坐标，代入椭圆方程求得参数b ，得椭圆方程； （2）设(), 0F c ，直线PQ 的斜率不为0，设其方程为 x m y c =+，设1122(,),(,)P x y Q x y ．直线方程代入椭圆方程应用韦达定理得12y y +，利用向量相等的坐标表示求得T 点坐标，得出T 点坐标满足一个椭圆方程，然后再由椭圆定义得两定点坐标． (1)当M 为椭圆的下顶点时，(4,)AM b =-，则12,22b FQ AM ⎛⎫==- ⎪⎝⎭． 设C 的焦距为2c ，则2,2b Q c ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，即2,2b Q ⎫-⎪⎭．因为Q 在C上，故)2211164+=，解得()22162b =-=则椭圆C的标准方程为22116x =． (2)设(), 0F c ，直线PQ 的斜率不为0，设其方程为 x m y c =+，设1122(,),(,)P x y Q x y ．联立直线PQ 和C 的方程，消x得()22220y +-．12y y +=1212()2x x m y y c +=++= 由PS SQ =得S 为弦PQ的中点，故S ⎛．由FS ST =得S 是线段FT的中点，故T ．设T 的坐标为(), x y，则x c =，y c =，故2211x y c c ⎛⎫⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即2221x c =， 这表明T 在中心为原点，(,0)c ±为长轴端点，0,⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭为短轴端点的椭圆上运动，故T到两焦点,0⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭的距离之和为定值．代入得两焦点坐标为(()4,0±-．综上所述，平面上存在两定点()4-，()4-+，使得T 到这两定点距离之和为定值．15．（2022·上海交大附中模拟预测）已知椭圆221214x y F F Γ+=：，，是左、右焦点．设M 是直线()2l x t t =>：上的一个动点，连结1MF ，交椭圆Γ于()0N N y ≥．直线l 与x 轴的交点为P ，且M 不与P 重合．(1)若M 的坐标为58⎫⎪⎪⎝⎭，，求四边形2PMNF 的面积； (2)若PN 与椭圆Γ相切于N 且1214NF NF ⋅=，求2tan PNF ∠的值； (3)作N 关于原点的对称点N '，是否存在直线2F N ，使得1F N '上的任一点到2F N求出直线2F N 的方程和N 的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(3)存在；y x =；126N ⎫⎪⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）根据点斜式方程可得1:MF l y x =，再联立椭圆方程得到12N ⎫⎪⎭，再根据2112PMNF PF M NF F S S S =-△△求解即可；（2）设:()PN l y k x t =-，根据相切可知，直线与椭圆方程联立后判别式为0，得到2214k t =-，再根据1214NF NF ⋅=，化简可得t =12N ⎫⎪⎭，再根据直角三角形中的关系求解2tan PNF ∠的值即可；（3）设()00,N x y ，表达出2NF l，再根据22O NF d -=列式化简可得2148k =，结合k =程即可求得N 和直线2F N 的方程 (1)由题意，()1F，故15MF k ==，所以1:MF l y x =与椭圆方程联立2214x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得：213450x +-=，即(130x x +=，又由题意N x >，故解得x =12N ⎫⎪⎭，故121122NF F S =⋅=△且11528PF M S ==△则2112PMNF PF M NF F S S S =-=△△(2)由于直线PN 的斜率必存在，则设:()PN l y k x t =-与椭圆方程联立2214()x y y k x t ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，可得：()22222148440k x k tx k t +-+-=由相切，()22216140k k t∆=+-=，则2214kt =-同时有韦达定理21228214N k t x x x k +==+，代入2214k t =-有2244414Nt t x t -=+-，化简得4N x t =，故2222414N Nx t y t-=-=而222122122134N Nt NF NF x y t -⋅=+-==，解得2t =>则12N ⎫⎪⎭，所以2NF x ⊥轴，故在直角三角形2PNF中，2223tan 12PF PNF NF ∠===(3)由于N 与N '，1F 与2F 是两组关于原点的对称点，由对称性知 四边形12F NF N '是平行四边形，则2NF 与1N F '是平行的， 故1F N '上的任一点到2F N 的距离均为两条平行线间的距离d ．设()00,N x y，其中0(x ∈，易验证，当0x 时，2NF 与1N F '之间的距离为k =2(:NF y l k x =，即0kx y -=，发现当0x22O NF d d -==221914k k =+，整理得2148k =代入k =(220048y x =，代入220014x y =-整理得20013450x --=，即(00130x x -=由于0(x ∈，所以0x =126N ⎫⎪⎪⎝⎭，故1k =， 则2F N l的直线方程为y x =16．（2022·全国·模拟预测（理））已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的右顶点为A ，上顶点为B ，直线AB的斜率为O 到直线AB(1)求C 的方程；(2)直线l 交C 于M ，N 两点，90MBN ∠=︒，证明：l 恒过定点.【答案】(1)22143x y +=(2)证明见解析【解析】 【分析】（1）题意得(,0),(0,)A a B b ，根据AB斜率，可得b a =AB 的方程，根据点到直线距离公式，可求得a 值，进而可得b 值，即可得答案.（2）分析得直线l 的斜率存在，设1122,(,),(,)y kx m M x y N x y =+，与椭圆联立，可得关于x 的一元二次方程，根据韦达定理，可得1212,x x x x +表达式，进而可得12y y 、12y y +的表达式，根据90MBN ∠=︒，可得0MB NB ⋅=，根据数量积公式，化简计算，可得m 值，分析即可得证(1)由题意得(,0),(0,)A a B b ， 所以直线AB的斜率为b a =-b a = 又直线AB的方程为)y x a =-20y +=， 所以原点O 到直线AB的距离d ==，解得2a =，所以b =22143x y +=.(2)由椭圆的对称性可得，直线l 的斜率一定存在，设直线l 的方程为1122,(,),(,)y kx m M x y N x y =+，联立方程22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 可得222(34)84120k x kmx m +++-=， 所以21212228412,3434km m x x x x k k --+==++， 所以22221212122312()34m k y y k x x km x x m k -=+++=+，121226()234m y y k x x m k +=++=+， 因为90MBN ∠=︒，所以MB BN ⊥，因为B，所以1122(,3),()MB x yNB x y =--=-，所以22212121222241263123)30343434m m m k MB NB x x y y y y k k k --⋅=+++=++=+++， 整理得2730m --=，解得m =或7m =-，因为B ，所以m舍去， 所以直线l 的方程为y kx =0,⎛ ⎝⎭，得证17．（2022·全国·模拟预测（理））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，1A ，2A 分别为左、右顶点，1B ，2B 分别为上、下顶点．若四边形1122B F B F212F F ，212B B ，212A A 成等差数列．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过椭圆外一点P (P 不在坐标轴上)连接1PA ，2PA ，分别与椭圆C 交于M ，N 两点，直线MN 交x 轴于点Q ．试问：P ，Q 两点横坐标之积是否为定值？若为定值，求出定值；若不是，说明理由． 【答案】(1)22132x y +=；(2)32P Q x x =为定值，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）应用菱形面积公式、等差中项的性质及椭圆参数关系求椭圆参数，写出椭圆标准方程.（2）由题意分析知1PA ，2PA 所在直线斜率均存在且不为0、斜率和差均不为0，设直线1PA ，2PA 联立椭圆求M ，N 的坐标及P 点横坐标，应用点斜式写出直线MN ，令0y =求Q 横坐标，即可得结论. (1)由题设知：2222222844bc b a c a b c ⎧=⎪⎪=+⎨⎪=+⎪⎩，可得22321a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 所以椭圆标准方程为22132x y +=. (2)由题意，1PA ，2PA 所在直线斜率均存在且不为0、斜率和差均不为0，设1PA为(y k x =，联立椭圆方程整理得：22229(23)302k k x x +++-=，所以1M A x x +=1A x =M x == 设2PA为(y m x =，联立椭圆方程整理得：22229(23)302m m x x +-+-=，所以2N A x x +=2A x =N x ==所以M y k =⋅=Ny m =⋅=， 联立直线1PA 、2PA可得：P x =，直线MN为2()[23m k y x km +=⋅-，令0y =，则Q x =，所以32P Q x x ==为定值.18．（2022·山西·太原五中二模（文））已知椭圆2221x y +=，过原点的两条直线1l 和2l 分别与椭圆交于A B ､和C D ､，记得到的平行四边形ACBD 的面积为S ．(1)设()()1122,,,A x y C x y ，用A C ､的坐标表示点C 到直线1l 的距离，并证明12212S x y x y =-； (2)请从①①两个问题中任选一个作答 ①设1l 与2l 的斜率之积12-，求面积S 的值．①设1l 与2l 的斜率之积为m ．求m 的值，使得无论1l 与2l 如何变动，面积S 保持不变． 【答案】(1)(2)见解析 【解析】 【分析】（1）讨论10x ≠和10x =，分别写出直线1l 的方程，由距离公式即可求得点C 到直线1l 的距离，由面积公式即可证明12212S x y x y =-；（2）若选①，设出直线1l 和2l 的方程，联立椭圆求出A C ､的坐标，结合（1）中面积公式求解即可；若选①，设出直线1l 和2l 的方程，联立椭圆求出A C ､的坐标，结合（1）中面积公式得到S 的表达式，平方整理，由含42,k k 的项系数为0即可求解. (1)当10x ≠时，直线1l 的方程为：11y y x x =，则点C 到直线1l的距离为d ==当10x =时，直线1l 的方程为：0x =，则点C 到直线1l 的距离为2d x =，也满足d则点C 到直线1l2AB AO ==则1212112222S AB d x y x x x y y y =⋅==--=；(2)若选①，设1122121:,:,2l y k x l y k x k k ===-，设()()1122,,,A x y C x y ，直线1l 与椭圆联立12221y k x x y =⎧⎨+=⎩可得()221121k x+=，同理直线2l 与椭圆联立可得()222121k x +=，不妨令120,0x x >>，则11x y =，22x y ===，则12212S x y x y ==-== 若选①，设12:,:m l y kx l y x k ==，设()()1122,,,A x y C x y ，直线1l 与椭圆联立2221y kx x y =⎧⎨+=⎩可得()22121k x +=，则212112x k =+，同理可得2222221212k x k m m k ==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则1221121221222m m x x x kx k x k S y x x k x y =-=-=-⋅⋅⋅1222m m k x x k k k ==-=-⋅，两边平方整理得()24222222224(48)240Sk S S m m k m S m -++++-=，由面积S 与k 无关，可得2222240480S S S m m ⎧-=⎨++=⎩，解得12S m ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，故12m =-时，无论1l 与2l 如何变动，面积S 保持不变．19．（2022·福建·厦门一中模拟预测）已知A ，B 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右顶点和上顶点，||AB =AB 的斜率为12-.(1)求椭圆的方程；(2)直线//l AB ，与x ，y 轴分别交于点M ，N ，与椭圆相交于点C ，D ．证明： （i ）OCM 的面积等于ODN △的面积；（ii ）22||||CM MD +为定值．【答案】(1)2214x y +=(2)（i ）证明见解析；（ii ）证明见解析 【解析】【分析】（1）根据(,0)A a ，(0,)B b，由||AB =AB 的斜率为12-求解；（2）设直线l 的方程为12y x m =-+，得到(2,0)M m ，(0,)N m ，与椭圆方程联立，根据11|2|||2=OCM S m y ，21||||2=ODN S m x ，2222221122||||(2)(2)CM MD x m y x m y ∴+=-++-+利用韦达定理求解. (1) 解：A 、B 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个顶点，且||AB =AB 的斜率为12-，由(,0)A a ，(0,)B b，得||AB == 又0102b b k a a -==-=--，解得2a =，1b =， ∴椭圆的方程为2214x y +=； (2)设直线l 的方程为12y x m =-+，则(2,0)M m ，(0,)N m ，联立方程221214y x m x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y ，整理得222220x mx m -+-=．22248(4)3240m m m ∆=--=->， 得28m <设1(C x ，1)y ，2(D x ，2)y ． 122x x m ∴+=，21222x x m =-．所以11|2|||2=OCM S m y ，21||||2=ODN S m x 则有112222|2||2|||1||||||-====OCMODNS y m x x Sx x x OCM ∴的面积等于ODN 的面积；2222221122||||(2)(2)CM MD x m y x m y ∴+=-++-+，2222221112221144()44()22x mx m x m x mx m x m =-++-++-++-+，()()221212125551042x x x x m x x m =+--++， ()2222552210102m m m m =---+5=. 20．（2022·北京市第十二中学三模）已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>过点(2,0)A(1)求椭圆M 的方程；(2)已知直线(3)y k x =+在x 轴上方交椭圆M 于B ，C （异于点A ）两个不同的点，直线AB ，AC 分别与y 轴交于点P ､Q ，O 为坐标原点，求()k OP OQ +的值.【答案】(1)22142x y +=(2)45【解析】 【分析】（1）直接由A 点坐标及离心率求得椭圆方程即可；（2）联立直线与椭圆求得2212122212184,2121k k x x x x k k --+==++，再表示出直线AB ，AC 的方程，求得P ､Q 坐标，再计算()k OP OQ +即可. (1)由题意知：2,c a a ==c =2222b a c =-=，则椭圆M 的方程为22142x y +=；(2)联立直线与椭圆22(3)142y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()222221121840k x k x k +++-=，()()422214442118440160k k k k ∆=-+-=-+>，即k <<(3)y k x =+在x 轴上方交椭圆M 于B ，C （异于点A）两点，则0k << 设1122(,),(,)B x y C x y ，则1222,22x x -<<-<<，2212122212184,2121k k x x x x k k --+==++，1122(3),(3)y k x y k x =+=+， 易得直线AB ，AC 斜率必然存在，则11:(2)2y AB y x x =--，令0x =，得11202y y x =>-，则112(0,)2y P x -，同理可得222(0,)2y Q x -，且22202y x >-， 则()()()()()112121212223222222()(32)22k x x y y x x x k x k x OP x OQ k k -++⎛⎫+==⋅ ⎪⎝⎭+-+----222212122212122218412422442()242121184122()4242121k k k k k kx x k x x k k k k k k k x x x x k k ---⋅-⋅+--++++=⋅=⋅---++-⋅+++45=.。
2023年高考数学热点专题解析几何模型通关圆锥曲线中的定点问题(解析版)
圆锥曲线中的定点问题思路引导处理圆锥曲线中定点问题的方法：(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为，然后利用条件建立,k m 等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点．(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关．母题呈现考法1参数法求证定点【例1】(2022·临沂、枣庄二模联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，其左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 为坐标平面内的一点，且|OP →|＝32PF 1→·PF 2→＝－34，O 为坐标原点．(1)求椭圆C 的方程；(2)设M 为椭圆C 的左顶点，A ，B 是椭圆C 上两个不同的点，直线MA ，MB 的倾斜角分别为α，β，且α＋β＝π2.证明：直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标．【解题指导】【解析】(1)设P 点坐标为(x 0，y 0)，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，则PF 1→＝(－c －x 0，－y 0)，PF 2→＝(c －x 0，－y 0)．由题意得x 20＋y 20＝94，x 0＋cx 0－c＋y 20＝－34，解得c 2＝3，∴c ＝ 3.又e ＝c a ＝32，∴a ＝2.∴b 2＝a 2－c 2＝1.∴所求椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设直线AB 方程为y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．y 2＝1，kx ＋m ，消去y 得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.∴x 1＋x 2＝－8km4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.又由α＋β＝π2，∴tan α·tan β＝1，设直线MA ，MB 斜率分别为k 1，k 2，则k 1k 2＝1，∴y 1x 1＋2·y 2x 2＋2＝1，即(x 1＋2)(x 2＋2)＝y 1y 2.∴(x 1＋2)(x 2＋2)＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )，∴(k 2－1)x 1x 2＋(km －2)(x 1＋x 2)＋m 2－4＝0，∴(k 2－1)4m 2－44k 2＋1＋(km －2)28()41kmk -+＋m 2－4＝0，化简得20k 2－16km ＋3m 2＝0，解得m ＝2k ，或m ＝103k .当m ＝2k 时，y ＝kx ＋2k ，过定点(－2,0)，不合题意(舍去)．当m ＝103k 时，y ＝kx ＋103k 10,0)3-，∴直线AB 恒过定点10(,0)3-【例2】（2022·福建·漳州三模）已知抛物线2:4C y x =的准线为l ，M 为l 上一动点，过点M 作抛物线C 的切线，切点分别为,A B .（1）求证：MAB ∆是直角三角形；（2）x 轴上是否存在一定点P ，使,,A P B 三点共线.【解题指导】【解析】（1）由已知得直线l 的方程为1x =-，设()1,M m -，切线斜率为k ，则切线方程为()1y m k x -=+，（2分）将其与24y x =联立消x 得244()0ky y m k -++=.所以1616()0k m k ∆=-+=，化简得210k mk +-=，（4分）所以121k k =-，所以MA MB ⊥.即MAB ∆是直角三角形.（6分）（2）由（1）知1616()0k m k ∆=-+=时，方程244()0ky y m k -++=的根为2y k=设切点221212,,,44y y A y B y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则121222,y y k k ==.因为121k k =-，所以121244y y k k ==-.（10分）设:AB l x ny t =+，【点拨】由M 点出发向抛物线作量条切线，则切点A,B 所在直线与抛物线有两个焦点且其斜率不为零与24y x =联立消x 得2440y ny t --=，则124y y t =-，所以44t -=-，解得1t =，所以直线AB 过定点()1,0P .即x 轴上存在一定点()1,0P ，使,,A P B 三点共线.（12分）【解题技法】圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.【跟踪训练】（2020·新课标Ⅰ卷理科）已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅= ，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．（1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点.【解析】（1）依据题意作出如下图象：由椭圆方程222:1(1)x E y a a+=>可得：(),0A a -，(),0B a ，()0,1G ∴(),1AG a = ，(),1GB a =-∴218AG GB a ⋅=-=，∴29a =∴椭圆方程为：2219x y +=（2）设()06,P y ，则直线AP 的方程为：()()00363y y x -=+--，即：()039y y x =+联立直线AP 的方程与椭圆方程可得：()2201939x y y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，整理得：()2222000969810y x y x y +++-=，解得：3x =-或20203279y x y -+=+将20203279y x y -+=+代入直线()039y y x =+可得：02069y y y =+所以点C 的坐标为20022003276,99y y y y ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭.同理可得：点D 的坐标为2002200332,11y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭当203y ≠时，∴直线CD 的方程为：0022200002222000022006291233327331191y y y y y y y x y y y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎛⎫⎛⎫--⎝⎭-=-⎪ ⎪-+-++⎝⎭⎝⎭-++，整理可得：()()()2220000002224200000832338331116963y y y y y y y x x y y y y y +⎛⎫⎛⎫--+=-=- ⎪ ⎪+++--⎝⎭⎝⎭整理得：()()0002220004243323333y y y y x x y y y ⎛⎫=+=- ⎪---⎝⎭所以直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭．当203y =时，直线CD ：32x =，直线过点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭．故直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭．考法2先求后证法求证定点【例4】（2022·全国乙T21）已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过()0,2,,12A B ⎛--⎫⎪⎝⎭两点．（1）求E 的方程；（2）设过点()1,2P -的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT TH =．证明：直线HN 过定点．【解题指导】（1）将给定点代入设出的方程求解即可；（2）斜率不存在时探究定点→设出直线方程→与椭圆C 的方程联立→求HN 的方程→是否过定点.【解析】（1）设椭圆E 的方程为221mx ny +=，过()30,2,,12A B ⎛--⎫ ⎪⎝⎭，则41914n m n =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得13m =，14n =，所以椭圆E 的方程为：22143y x +=.（2）3(0,2),(,1)2A B --，所以2:23+=AB y x ，①若过点(1,2)P -的直线斜率不存在，直线1x =.代入22134x y+=，可得26(1,)3M ，26(1,3N-，代入AB方程223y x=-，可得263,3T+，由MT TH=得到265,)3H.求得HN方程：(223y x=--，过点(0,2)-.②若过点(1,2)P-的直线斜率存在，设1122(2)0,(,),(,)kx y k M x y N x y--+=.联立22(2)0,134kx y kx y--+=⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(34)6(2)3(4)0k x k k x k k+-+++=，可得1221226(2)343(4)34k kx xkk kx xk+⎧+=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，12222228(2)344(442)34ky ykk ky yk-+⎧+=⎪⎪+⎨+-⎪=⎪+⎩，且1221224(*)34kx y x yk-+=+联立1,223y yy x=⎧⎪⎨=-⎪⎩可得111113(3,),(36,).2yT y H y x y++-可求得此时1222112:()36y yHN y y x xy x x--=-+--，将(0,2)-，代入整理得12121221122()6()3120x x y y x y x y y y+-+++--=，将(*)代入，得222241296482448482436480,k k k k k k k+++---+--=显然成立，综上，可得直线HN过定点(0,2).-【解题技法】(1)定点问题，先猜后证，可先考虑运动图形是否有对称性及特殊(或极端)位置猜想，如直线的水平位置、竖直位置，即k＝0或k不存在时.(2)以曲线上的点为参数，设点P(x1，y1)，利用点在曲线f(x，y)＝0上，即f(x1，y1)＝0消参.【跟踪训练】模拟训练（2）方法一：设PQ 方程为x my =()2222234433x my m y my x y =-⎧⇒-+⎨-=⎩以PQ 为直径的圆的方程为(1x x -()(22121212x x x x x x y y y -+++-+由对称性知以PQ 为直径的圆必过()21212120x x x x x x y y -+++=，而()21212212431m x x m y y m +=+-=-()()212121222x x my my m y y =--=22222434931313m x x m m m --∴-++---()()22313510m x m x ⎡⎤⇒-+--=⎣⎦∴以PQ 为直径的圆经过定点(1,0方法二：设PQ 方程为2,x my P =-()22222311233x my m y my x y =-⎧⇒--⎨-=⎩由对称性知以PQ 为直径的圆必过设以PQ 为直径的圆过(),0E t ，()()1210EP EQ x t x t y ∴⋅=⇒--+ 而()()21212122x x my my m y =--=2229122431313m m m m m -=⋅-⋅+=--【点睛】方法定睛：过定点问题的两大类型及解法（1）动直线l过定点问题．解法：设动直线方程得y＝k(x＋m)，故动直线过定点(－（2）动曲线C过定点问题．解法：引入参变量建立曲线等于零，得出定点．7．（2023·浙江·模拟预测）已知双曲线为双曲线E的左、右顶点，P为直线(1)求双曲线E的标准方程．(2)直线CD是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．理得1112,y y y y +（或1212,x x x x +），代入交点坐标后可得结论，如果是求动直线过定点，则可以引入参数求得动直线方程后，观察直线方程得定点．。
圆锥曲线专题(定值)
2、直接法解题步骤
第一步设变量：选择适的量当变量，一般情况先设出直线的方程：y=kx+b或x=my+n、点的坐标；
第二步表示函数：要把证明为定值的量表示成上述变量的函数，一般情况通过题干所给的已知条件，进行正确的运算，将需要用到的所有中间结果(如弦长、距离等)用引入的变量表示出来；
(三) 常见条件转化
1、对边平行：斜率相等，或向量平行；
2、两边垂直：斜率乘积为-1，或向量数量积为0；
3、两角相等：斜率成相反数或相等或利用角平分线性质；
4、直角三角形中线性质：两点的距离公式
5、点与圆的位置关系：(1)圆外：点到直径端点向量数量积为正数；(2)圆上：点到直径端点向量数量积为零；(3)圆内：点到直径端点向量数量积为负数．
第三步定值：将中间结果带入目标量，通过计算化简得出目标量与引入的变量无关，是一个常数．
(二) 常见定值问题的处理方法
1、处理较为复杂的问题，可先采用特殊位置(例如斜率不存在的直线等)求出定值，进而给后面一般情况的处理提供一个方向；
2、在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢；
3、巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算．
(四) 常用的弦长公式：
（1） 若直线AB的方程设为y=kx+b，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
|AB|=sqrt(1+k^(2))⋅|x1−x2|=sqrt(1+k^(2))⋅sqrt((x1+x2)^(2)−4x1x2)=sqrt(1+k^(2))⋅(sqrt(Δ))/(|a|)
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高考圆锥曲线中的定点定值问题定点问题是常见的考题形式，解决这类问题的关键就是引进变参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。
直线过定点问题通法，是设出直线方程，通过韦达定理和已知条件找出k 和b 的一次函数关系式，代入直线方程即可类型一：“手电筒”模型例题、已知椭圆C ：13422=+y x 若直线m kx y l +=：与椭圆C 相交于A ，B 两点（A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点。
求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标。
解：设1122(,),(,)A x y B x y ，由223412y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得222(34)84(3)0k x mkx m +++-=， 22226416(34)(3)0m k k m ∆=-+->，22340k m +->212122284(3),3434mk m x x x x k k-+=-⋅=++ 22221212121223(4)()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k-⋅=+⋅+=+++=+ 以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 且1AD BD k k ⋅=-， 1212122y yx x ∴⋅=---，1212122()40y y x x x x +-++=， 2222223(4)4(3)1640343434m k m mkk k k--+++=+++， 整理得：2271640m mk k ++=，解得：1222,7k m k m =-=-，且满足22340k m +-> 当2m k =-时，:(2)l y k x =-，直线过定点(2,0),与已知矛盾；当27k m =-时，2:()7l y k x =-，直线过定点2(,0)7综上可知，直线l 过定点，定点坐标为2(,0).7◆方法总结：本题为“弦对定点张直角”的一个例子：圆锥曲线如椭圆上任意一点P 做相互垂直的直线交圆锥曲线于AB ，则AB 必过定点))(,)((2222022220b a b a y b a b a x +-+-。
◆模型拓展：本题还可以拓展为“手电筒”模型：只要任意一个限定AP 与BP 条件（如=•BP AP k k 定值，=+BP AP k k 定值），直线AB 依然会过定点（因为三条直线形似手电筒，固名曰手电筒模型）。
Step1：设AB 直线m kx y +=，联立曲线方程得根与系数关系，∆求出参数范围； Step2：由AP 与BP 关系（如1-=•BP AP k k ），得一次函数)()(k f m m f k ==或者； Step3：将)()(k f m m f k ==或者代入m kx y +=，得定定y x x k y +-=)(。
◆类型题训练练习1：过抛物线M:px y 22=上一点P （1,2）作倾斜角互补的直线PA 与PB ，交M 于A 、B 两点，求证：直线AB 过定点。
（注：本题结论也适用于抛物线与双曲线）练习2：过抛物线M:x y 42=的顶点任意作两条互相垂直的弦OA 、OB ，求证：直线AB 过定点。
练习3：过1222=-y x 上的点作动弦AB 、AC 且3=•AC AB k k ，证明BC 恒过定点。
练习:4：设A 、B 是轨迹C ：22(0)y px P =>上异于原点O 的两个不同点，直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β，当,αβ变化且4παβ+=时，证明直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标。
【答案】设()()1122,,,A x y B x y ，由题意得12,0x x ≠，又直线OA,OB 的倾斜角,αβ满足4παβ+=，故0,4παβ<<，所以直线AB 的斜率存在，否则，OA,OB 直线的倾斜角之和为π从而设AB 方程为y kx b =+，显然221212,22y y x x p p ==， 将y kx b =+与22(0)y px P =>联立消去x ，得2220ky py pb -+=由韦达定理知121222,p pby y y y k k+=⋅=① 由4παβ+=，得1＝tan tan()4παβ=+=tan tan 1tan tan αβαβ+-=122122()4p y y y y p +-将①式代入上式整理化简可得：212pb pk=-，所以22b p pk =+， 此时，直线AB 的方程可表示为y kx =+22p pk +即()(2)20k x p y p +--=所以直线AB 恒过定点()2,2p p -.练习5：已知动圆过定点A (4,0), 且在y 轴上截得的弦MN 的长为8. (Ⅰ)求动圆圆心的轨迹C 的方程;(Ⅱ)已知点B (-1,0), 设不垂直于x 轴的直线与轨迹C 交于不同的两点P , Q , 若x 轴是的角平分线, 证明直线过定点.l PBQ ∠l【答案】解:(Ⅰ) A (4,0),设圆心C(Ⅱ) 点B (-1,0),.直线PQ 方程为:所以,直线PQ 过定点(1,0)练习6：已知点()()1,0,1,0,B C P -是平面上一动点，且满足||||PC BC PB CB ⋅=⋅（1）求点P 的轨迹C 对应的方程；（2）已知点(,2)A m 在曲线C 上，过点A 作曲线C 的两条弦AD 和AE ，且AD AE ⊥，判断：直线DE 是否过定点？试证明你的结论.【解】（1）设.4,1)1(||||),(222x y x y x CB PB BC PC y x P =+=+-⋅=⋅化简得得代入 （5分）).2,1(,14)2,()2(2的坐标为点得代入将A m x y m A ∴== ,044,422=--=+=t mt y x y t my x DE 得代入的方程为设直线）（（，则设*016)44,4),(),,(221212211>+-=∆-=⋅=+t m t y y m y y y x E y x D4)(21)()2)(2()1)(1(212121212121++-⋅+++-=--+--=⋅∴y y y y x x x x y y x x AE AD5)(2)44(44212122212221++-⋅++-⋅=y y y y y y y y 5)(242)(16)(212121221221++-⋅+⋅-+-⋅=y y y y y y y y y ym m t t m t t m t 845605)4(2)4(4)4(2)4(16)4(2222+=+-=+--+----=化简得)1(23)1(43484962222+±=-∴+=-++=+-m t m t m m t t ）即（即 0*,1252>∆+-=+=∴）式检验均满足代入（或m t m t 1)2(5)2(+-=++=∴y m x y m x DE 或的方程为直线 ）不满足题意，定点（（过定点直线21).2,5(-∴DE 2222,2),,(EC ME CM CA MNME E MN y x +===，由几何图像知线段的中点为x y x y x 84)422222=⇒+=+-⇒（222121212122118,8,00),,(),,(x y x y y y y y y x Q y x P ==<≠+，由题知设080)()(88811211221212222112211=+⇒=+++⇒+-=+⇒+-=+⇒y y y y y y y y y yy y x y x y )8(1)(21121112121y x y y y y x x x x y y y y -+=-⇒---=-1,088)(8)()(122112112==⇒=++⇒-=+-+⇒x y x y y y y x y y y y y y练习7：已知点A （－1，0），B （1，－1）和抛物线.x y C 4:2=，O 为坐标原点，过点A 的动直线l 交抛物线C 于M 、P ，直线MB 交抛物线C 于另一点Q ，如图.（I ）证明: OM OP ⋅为定值; （II ）若△POM 的面积为25，求向量OM 与OP 的夹角； （Ⅲ）证明直线PQ 恒过一个定点.解：（I ）设点P y y P y y M ),,4(),,4(222121、M 、A 三点共线， ,4414,222121211y y y y y y k k DM AM --=+=∴即 4,142121211=∴+=+y y y y y y 即 .544212221=+⋅=⋅∴y y y y OP OM(II)设∠POM =α，则.5cos ||||=⋅⋅αOP OM.5sin ||||,25=⋅⋅∴=∆αOP OM S ROM 由此可得tan α=1. 又.45,45),,0(︒︒=∴∈的夹角为与故向量OP OM απα(Ⅲ)设点M y y Q ),,4(323、B 、Q 三点共线，,QM BQ k k =∴ 3133222233131323133131311,,41444(1)()4,40.11y y y y y y y y y y y y y y y y y y -+==-++-∴++=-+++=即即即分,0444,4,432322121=+++⋅∴==y y y y y y y y 即即.(*)04)(43232=+++y y y y,44432232232y y y y y y k PQ +=--=)4(422322y x y y y y PQ -+=-∴的方程是直线即.4)(,4))((323222322x y y y y y y x y y y y =-+-=+-即由此可知直线PQ 过定点E （1，－4）.类型二：切点弦恒过定点例题：有如下结论：“圆222r y x =+上一点),(00y x P 处的切线方程为200r y y y x =+”，类比也有结论：“椭圆),()0(1002222y x P b a by a x 上一点>>=+处的切线方程为12020=+b y y a x x ”，过椭圆C ：1422=+y x 的右准线l 上任意一点M 引椭圆C 的两条切线，切点为 A 、B. （1）求证：直线AB 恒过一定点；（2）当点M 在的纵坐标为1时，求△ABM 的面积。
【解】（1）设M 14),,(),(),)(,334(11221,1=+∈y y x x MA y x B y x A R t t 的方程为则 ∵点M 在MA 上∴13311=+ty x ① 同理可得13322=+ty x ② 由①②知AB 的方程为)1(3,133ty x ty x -==+即 易知右焦点F （0,3）满足③式，故AB 恒过椭圆C 的右焦点F （0,3）（2）把AB 的方程0167,14)1(322=--=+-=y y y x y x 化简得代入 ∴7167283631||=+⋅+=AB 又M 到AB 的距离33231|334|=+=d ∴△ABM 的面积21316||21=⋅⋅=d AB S◆方法点评：切点弦的性质虽然可以当结论用，但是在正式的考试过程中直接不能直接引用，可以用本题的书写步骤替换之，大家注意过程。