符号法则单个折射球面成像
光学——球面反射和折射-文档资料
焦距:焦点到球面顶点的距离( f’= r/2 ).
它同样遵守符号法则.
11
所以，球面反射的成象公式又可以写成
111 s s f
球 面 反 射 物 像 公 式
说明：1、它是球面反射成像的基本公式,只在近轴条件 下成立；
2、式中各量必须严格遵从符号法则；
sin u' OA 代入s’表达式并整理，
s'
得
n' n n'n
s' s r
n— 物方介质折射率； n`— 象方介质折射率
17
讨论
n' n n'n s' s r
①当介质和球面一定时(n、n’、r 一定),S’与S一
② 一对应,即:
③ 在近轴光线条件下光束单心性得到保持.
②当介质和球面一定时(n、n’、r 一定)，
3、对凸球面反射同样适用；
4、当光线从右至左时同样适用.
12
[例] 一个点状物放在凹面镜前0.05m处,凹面镜的 曲率半径为0.20m,试确定像的位置和性质.
[解]：设光线从左至右
已知：s=-0.05m,r=-
0.20m
由球面反射成像公式：
P`
1 1 2 s s r
C
P -s O
-r
s’
得： s2sr sr2 0 0 .2 .0 5 0 .0 05 .2 0.1m
8
由图又可知：
sin u AO
(s)
-u P
sin
u
AO
s
代入 sr(rs) sin(u) 中， sin(u')
光在单球面上的折射和反射-四川大学
x′ f′
y′ f =− y x
从 Q 作 O 点的入射线 QO ，其折射线是 OQ′ 。由图可知，得
ny n′y′ =− −s s′
或 讨论：
β=
y′ ns′ = y n′s
(1) β > 0 时， y′ 与 y 同号。物正立时像也是正立的。即物是实物时，像必定是虚像，反之， 当物是虚物时，像必定是实像。 (2) 当 β < 0 时，物和像在主光轴的异侧，而且当物是实物时，生成的像也是实像，当物是虚 物时，生成的像也是虚像。 总之，当 β > 0 时，物和像一定是一实一虚； 当 β < 0 时，物和像的虚实相同。
n n’ P n n’
P’
P’ P
虚物成实像
虚物成虚像
n′ n n′ − n − = s′ s r f′ f + =1 s′ s xx′ = ff ′
1 1 2 + = s′ s r 1 1 1 + = s′ s f xx′ = f 2
φ=
f′=
n′ r n′ − n n f =− r n′ − n
n′ − n r
φ=
f′ n′ =− f n
β=
ns′ n′s
N
P
F
(e) 轴上物点成像作图法
图 作图法的几个例子
四川大学精品课程《光学》
六．球面反射镜 1．方法：将反射看作是折射的特殊情况 2．球面反射的物像距公式：
1 1 2 + = s′ s r
i = −i′ ； n′ = −n
3． 单球面折射饿球面反射镜公式对比
球面折射和球面反射公式对照表 球面折射成像 球面反射成像 公式 公式 物 像 距 焦距和光焦度 横向放 大率
几何光学的基本原理3.3
1 l
1 l
1 r
(
s l
s l
)
考虑近轴光线,进一步得到
1 s
s：物距
1 s
2 r
r：曲率半径
s'：像距
它的成像规律与介质无关．
令 令
s ,
s Байду номын сангаас ,
2 r 得 f , 2
得 f
r
;
f f
r 2
因此球面镜物方焦点与像方焦点重合 . 凹面镜
3.3 光在球面上的反射和折射
1、球面的几个概念 符号法则
球面顶点：O 球面曲率中心：C 球面曲率半径：r 球面主轴(光轴)：连接O、C而得的直线。 主截面：通过主轴的平面。
C
r
O
主轴
光轴 ---光学系统的对称轴
光轴
近轴光线---与光轴夹角较小，并靠近光轴的光线
黄线—近轴光线
绿线—非近轴光线
1. 符号规则(sign convention)
-s = -x-f s’ = x’+f’
xx' ff '
牛顿成像公式
例1、一个折射率为1.5的玻璃球，半径R，置于空气 中。在近轴成像时，问： （1）无穷远处的物成像在何处？ （2）物在球前2R处，成像在何处？
n=1.5
P1’ O2
R s2 ’ s2 s1 ’ P’
P -s1
O1
n=1.5
解：
n' s' n s n' n r
-s1
O1 R
O2 P’ s2 ’ s2 s1 ’
应用光学第二章球面与共轴球面系统
sin I L r sinU r
n
IE
n′
I′
sin I n sin I n
h
-U
φ
U′
A
O
C
A′
U U I I r
L r r sin I
-L
L′
sinU
说明：
1）L′＝f (U、L、n、n′、r) 2）当L为定值时，L′随U变化而变化，象方光束失去同心性， 成不完善象，形成球差。
d）光线与法线夹角I、I′ 以光线转向法线成的锐角来度量，顺时针为“＋”
逆时针为“－” e）光轴与法线的夹角φ 以光轴转向法线成的锐角来度量，顺时针为“＋”
逆时针为“－” f）折射面的间隔d，一般取“＋” g）所有参量是含符号的量，但图示标为参量的大小。
二、 远轴光的计算公式（实际光线光路计算） 给定n、 n′、r，已知L、U，求解L′、 U′ 其中U、 U′较大，远轴光线成像（大光路）
1
4）三者关系：
nk 2 n1 1 n1 nk
4. 拉赫不变量： J n1u1 y1 nk uk yk
意义： J对整个光学系统的每个折射面的物象空间都是不变量，可用J来
校对光路计算是否正确。
例：厚透镜：
例：一玻璃棒（n=1.5），长500mm，两端面为半球 面，半径分别为50mm和100mm，一箭头高1mm，垂 直位于左端球面顶点之前200mm处的轴线上，求箭头 经玻璃棒成像后像的位置、大小、正倒、虚实。
§ 2－3 共轴球面系统
探讨方法— 将光线的光路计算公式及放大率公式反复应 用于各个折射面，分别求出各面的u、 u′、l 、 l′、 β、α、γ、y、y′J、J′、Q、 Q′。 转面公式— 前后相邻面之间的基本量的转化关系。
第四讲《光学》--几何光学的基本原理分解
3.3 光在球面上的反射和折射
1
一、符号法则：新笛卡尔符号规则
为了能够采用纯数学的方法来描述光学 系统的结构、光线的空间位置，以及物象的 相对位置和大小，引入符号法则。 由求出量的正负可判断像的虚、实、倒、正 等结果。
2
一、符号法则：新笛卡尔符号规则
n
n n
i
y
•
u
i
u
P• '
n n r
① 光焦度是系统的固有特征量，表征折射面的 聚光本领。
② 由其正负可判断系统的性质
> 0，会聚作用 < 0，发散作用
20
F’
O
Hale Waihona Puke n n’-f’f
O
F
n n’
-f
f’
n n r
F
n < n
< 0，
发散作用
n > n
> 0，
F’ 会聚作用
21
n ' n n ' n s' s r 五、近轴光线条件下球面折射的物像公式
l (r)2 (r s)2 2(r)(r s) cos s l (r)2 (s r)2 2(r)(s r) cos s
1 1 2
s s r
12
三、近轴光线条件下球面反射的物像公式
1 1 2 s s r
对于r一定的球面，只有一个s’与s对应，即存 在一个确定的像点，这个像点是一个理想的像 点---高斯像点
一、符号法则：新笛卡尔符号规则
n
n n
i
y
•
u
i
u
P• '
难点单球面折射成像的原理
3、两节点 N1——厚透镜的第一节点； N2——厚透镜的第二节点。
只要知道厚透镜的三对基点在折射系统中 的位置，则可利用下列三条光线中的任意 两条就能求出经折射系统后所成的像：
①平行于主光轴的光线(1)在第一主平 面折射后通过第二主焦点F2。
②主通平过面第折一射主后焦平点行F于1的主光光线轴(射2)出在。第一
41
42
二、眼的调节 眼的焦度能在一定范围内自动改变， 这样才能将远近不同的物体成像在 视网膜上。
眼 的 调 节 —— 眼 睛 具 有 改 变 自 身 焦 度的本领。
眼的调节是通过睫状肌的收缩改 变晶状体表面的曲率半径来实现的， 但这种调节有一定的限度。
在观察不同距离的物体时，眼 的光学常数不相同。
n0 r1 r2
如果薄透镜周围的媒质为空气，即n0=1， 上式变为 ：
11
11
(n 1)( )
uv
r1 r2
公式中u、v、r1、r2的正、负号仍然 遵守式(1l-1)中的符号法则。
它们适用于各种形状的凸、凹
透镜。
18
当薄透镜前后的媒质相同时，其两 个焦距相等，其值为
f [ n n0 ( 1 1 )]1 n0 r1 r2
眼的分辨本领 —— 眼睛能分辨两物 点间最小距离的能力；
46
常用眼睛分辨的最小视角的倒数表 示其分辨本领，称为视力。
视力
1 能分辩的最小视角
应用上式计算视力时，最小视角应 以分(′)为单位。
47
四、眼的屈光不正及其矫正
屈光正常 —— 眼睛不调节时，若平 行光进入眼内经折射后刚好落在视 网膜上形成一清晰的像。
第十四章 几 何 光 学 重点：
1、掌握单球面折射成像的原理、计 算方法和符号规则。
§3.3 光在球面上的反射和折射
r s s r 0 l l
或：
1 1 1 s s l l r l l
（2）
2、球面反射对光的单心的破坏
由式（2）可以看出，s 的值随 u亦即角 的变化而变化
如图3.3 3、近轴光线条件下球面反射的物象公式 （1）球面反射的物象公式。
2 2 2 2 1/2
l r (s r ) 2r (s r )cos
根据费马原理
1/2
d ( PAP) n n 2r (r s)sin 2r ( s r )sin d l l n(r s) n( s r ) 2r sin 0 l l
图3.6
f f f x ff xx f x 1 fx x f x f x f x f
xx ff
这种物像公式的形式称为牛顿公式。
（12）
nr nr n n n n 1 f f 1 s s s s
Ⅱ、牛顿公式： 物距和象距也可以分 别从物方和象方焦点 算起。并遵守同样的 符号法则，如图3.6从 上图得
（11）
s x ( f ), s f x
xs f x s f
§3.3 光在球面上的反射和折射
一、符号法则（新笛卡儿符号法则） 1、基本概念 顶点O 曲率半径 曲率中心C 主轴 CO
主平面：过主轴的平面 2、符号法则
光线的线段长度和角度的符号规定：
图3.1
（1）线段：光线和主轴交点的位置都从顶点算起， “上正下负，右正左负 ” （2）角度：取小于 / 2 的锐角，主轴（或球面法线）转向有关 光线时，“顺正逆负”
f n c、 f f 的关系： f n
第四讲《光学》--几何光学的基本原理解析
> 0，会聚作用 < 0，发散作用
20
F’
O
n n’
-f’
f
O
F
n n’
-f
f’
n n r
F
n < n
< 0，
发散作用
n > n
> 0，
F’ 会聚作用
21
n ' n n ' n s' s r 五、近轴光线条件下球面折射的物像公式
像方焦点F’：与光轴上无穷远处物点对应的像点 像方焦距f’：与像方焦点对应的像距 像方焦平面：过F’点垂直于光轴的平面
l (r)2 (s r)2 2(r)(s r) cos s
18
五、近轴光线条件下球面折射的物像公式
在近轴条件下
n ' n n ' n s' s r n n —光焦度
r
r 单位为米时，光焦度的单位称为屈光度(D) 19
五、近轴光线条件下球面折射的物像公式
n n r
① 光焦度是系统的固有特征量，表征折射面的 聚光本领。
s
r s
O－顶点 C－曲率中心 CO －主轴
3
一、符号法则：新笛卡尔符号规则
n
n n
i
y
•
u
i
u
P• '
P
O
C y
s
r s
正方向的规定：光线从左侧进入，向右传播为正
4
一、符号法则：新笛卡尔符号规则
n
n n
i
y
•
u
i
u
P• '
P
O
C y
符号法则、单个折射球面成像
随着计算机技术的发展，符号法 则的计算效率和精度将得到提升， 为更精确的光学设计提供支持。
符号法则的理论研究将进一步深 入，为解决更复杂的光学问题提
供理论支持。
单个折射球面成像的改进方向
提高成像质量
01
通过优化光学设计和制造工艺，提高单个折射球面成像的清晰
度和分辨率。
扩大应用范围
符号法则的原理
基于几何光学和波动光学的原理，当 光线通过折射球面时，像点的位置和 符号可以通过光线在入射和出射介质 中的速度比值来确定。
符号法则的应用
01
02
03
透镜设计
符号法则是透镜设计中的 基础，用于确定透镜的焦 距、光心位置等参数。
光学仪器制造
符号法则在光学仪器制造 中用于校准和调整光学系 统，确保成像质量。
单个折射球面成像在科学实验中的应用
光学实验
单个折射球面成像在光学实验中 具有重要应用，如透镜成像、光
波导等。
生物显微镜
在生物显微镜中，折射球面成像用 于将微小物体放大以便观察。
天文学观测
在天文学观测中，折射球面成像用 于将遥远星体的光线聚焦并成像。
符号法则与单个折射球面成像在工业生产中的应用
自动化生产线
03
符号法则与单个折射球面 成像的关系
符号法则对单个折射球面成像的影响
确定折射方向
符号法则可以用来判断折射后光 线的方向，从而确定折射球面的 成像位置。
提高成像质量
符号法则有助于理解光线在折射 过程中的变化规律，优化折射球 面的设计，提高成像质量。
单个折射球面成像对符号法则的补充
实际应用验证
单个折射球面成像可以作为符号法则在实际光学系统中的应用实例，验证其正确 性和实用性。
单球面物象折射公式及其应用
引言（绪论）光学中以光线概念为基础研究光的传播和成像规律的一个重要分支是几何光学.在几何光学中，折射定律的发现标志着光线传播定律的最终确立，费马原理即是解释、证明和概括光线传播实验定律的途径之一. 本文依据费马原理，推导出了近轴光线条件下的单球面物像折射公式.应用近轴光线条件下的单球面物像折射公式，可以推导出多种情况下的成像公式，为研究复杂的光学系统成像提供了基础性的理论依据，以说明单球面物像折射公式在几何光学中的基础重要性.1 符号法则为了研究光线经由球面反射和折射后的光路，必须先说明一些概念以及规定适当的符号法则，以便使所得的结果能普遍适用，方便读者阅读.图1 主平面内的球面反射图1中的AOB表示球面的一部分.这部分球面的中心点O称为顶点，球面的球心C 称为曲率中心，球面的半径称为曲率半径，连接顶点和曲率中心的直线CO称为主轴，通过主轴的平面称为主平面.主轴对于所有的主平面具有对称性.因此只需讨论一个主平面内光线的反射情况.图1表示球面的一个主平面.在计算任一条光线的线段长度和角度时，对符号作如下规定：（1）线段长度都从顶点算起，凡光线和主轴的交点在顶点右方的，线段长度的数值为正；凡光线和主轴的交点在顶点左方的，线段长度的数值负.物点或像点至主轴的距离，在主轴上方的为正，下方的为负.（2）光线方向的倾斜角度都从主轴（或球面法线）转向有关光线时，若沿顺时针方向移动，则该角度为正；若沿逆时针方向转动，则该角度为负（再考虑角度的符号时，不必考虑组成该角的线段的符号）.（3）在图中出现的长度和角度（几何量）只用正值.例如s表示的某线来表示该线段的几何长度.下讨论都假定光线自左向右传段的值是负的，则应用s播.（4）特俗情况下的，文中均在相应位置另有特殊解释说明.2 单球面物象折射公式的推导2.1 球面折射的一般分析设有两种透明均匀的各向同性的介质，界面∑为球面的一部分，两侧介质折射率分别为n 和'n 且n<'n ，如图2所示，折射球面∑的曲率中心C 与顶点O 的连线为主光轴，简称主轴（∑面关于主轴的旋转对称面）.图2 光在单球面上的折射设主光轴上面顶点O 的左方有一真实发光点P ，他发出的同心光束的任意一条光线自左向右入射到∑面上的M 点，相应的折射与主轴交与'P 点.以球面顶点O 为计量原点，记球面曲率半径,'',,OC s OP s OP r ===,l PM =''l MP =ϕ=∠MOC . 则PMP’的光程为∆'PMP =''l n nl +在PMC ∆和'MCP ∆中应用余弦定理，并注意()ϕπϕ--=c o s c o s()r s PC +-= r s CP -=''可得 ()()ϕcos 222s r r r s r l --+-=()()ϕcos '2''22r s r r r s l -++-=因此，光线PMP 的光程可写成∆'P M P =ϕϕcos )'(2)'('cos )(2)(2222r s r r s r n s r r s r r n -+-++---+ 式（2-1）根据费马原理，光程变化率应为0，即0d d =ϕl 式（2-2） 代入∆'PMP 的表达式进行求导，有ϕϕϕϕcos )'(2)'(sin )'(2'cos )(2)(sin )(22222r s r r s r r s r n s r r s r r s r r n -+-+--=---+-经计算整理后可得到⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+---=---)'('1)(1)cos 1(2)'('')(22222222r s n s r n r r s n s s r n s ϕ 式（2-3） 给定s 和ϕ可由式(2-3)定出.一般来说，'s 与ϕ有关，这意味着由同一P 点发出的同心光束中的各条光线，经∑面折射后，不再汇交与一点，即球面折射破坏了光束的同心性，使轴上发光点不能成像.有两种特殊情况值得注意.其一，令式(2-3)两端同时等于零，即222222)'('')(s r s n s s r n ---=0 式（2-4))'('1)(122r s n s r n -+-=0 式（2-5）求解这组联立方程的解，从而把s 和s’同时确定下来，它们均与ϕ无关，此时的P 和'P 是一对特殊的共轭点，称为球面折射的齐明点或不晕点.对一对齐明点，宽光束经球面折射后仍能成像.其二是把光束限制在近轴区域内，即1cos ≈ϕ，此种的讨论，详见下文.2.2 近轴光线的单球面折射2.2.1 物象距公式在近轴光线的条件下，ϕ值很小，在一级近似下，1cos ≈ϕ，因此式(2-3)中的0)cos 1(≈-ϕ,'s 与ϕ近似无关，则有 222222)'('')(r s n s r s n s -=- 式（2-6）将上面等式两端同时开放，经数学处理后，可得如下简单关系式： rn n s n s n -=-''' 式（2-7） 上式表明，在n 、'n 和r 给定的条件下，在近轴区，轴上物点P 经球面∑折射后可在轴上得一相应的像点'P .从球面顶点O 到像点'P 的距离's 称为像距；从球面顶点O 到P 的距离s 称为物距；'n 和n 分别称为像方折射率和物方折射率，式(2-7)称为球面折射近轴成像的物象距公式.此式对凹球面同样成立.2.2.2 焦距公式如果位于主轴上的物点位置改变，则与之共轭的像点在主轴上的位置必有相应改变.轴上无限远处物点的共轭像点称为折射面的像方焦点，记作'F ；面顶点O 到像方焦点'F 的距离称为像方焦距，记作'f ,轴上无限远处像点的共轭物点称为折射球面的物方焦点，记作F ；球面顶点O 到物方焦点F 的距离称为物方焦距，记作f .由前文关于物距、像距的的符号规则可知：当'F 在O 点右方时'f >0,在O 点左方时'f <0；当F 在O 点左方时f>0,在O 点右方时f<0.根据式(2-7)及上述焦点的定义，可知：当 -∞=s 时nn r n s f -=='''' 式(2-8） 当 ∞='s 时 n n nr s f --==' 式(2-9） 可见，折射球面的两个焦距与它的几何形状（r ）及其两侧介质折射率（n ,'n ）有关，由式(2-8)和式(2-9)可得两个焦距之比为 nn f f ''-= 式(2-10) 上式表明，折射球面的两个焦距数值一般不等，但符号相反，因此，相应的两个焦点必定分居球面顶点两侧不等距离处.2.2.3 球面折射近轴物点近轴成像如图2所示，主轴上的P 、'P 是一对共轭点.设想将主轴绕折射球面曲率中心C 并在图面内沿顺时针方向旋转一小角度θ，主轴变成副轴，P 、'P 点分别转到Q 、'Q 点.由于球对称性，Q 、'Q 必然也是一对共轭点，这就证明了近轴物点可以成像.由于θ角很小（在近轴区），可以认为弧PQ ≈PQ ，弧''Q P ≈''Q P ,且''P Q QP 和近似地垂直于主轴，P 、'P 点分别是Q 、'Q 点在主轴上的的垂足，所以s 和's 分别为近轴物点Q 的物距和像点'Q 的像距，它们满足式(2-7).近轴物点及其共轭像点到主轴的距离分别为物高和像高，用y 和'y 表示.引入横向放大率β,其定义为像高和物高之比，即 yy '≡β 式（2-11）在近轴区的条件下，i i =sin ，又由折射定律，可得''i n ni = 式（2-12）图3 单球面折射近轴物点成像即有 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-'''s y n s y n 式（2-13） 由式(2-11)，可以得到横向放大率公式 sn ns ''=β 式（2-14） 3.单球面物像折射公式的应用3.1 高斯公式的推导把式(2-8)和式(2-9)代入式(2-7)可得，''''f n f n s n s n =-=- 或 1''=+sf s f 式（3-1） 此式便是普遍的物像公式，称为高斯物像公式.3.2 牛顿公式的推导如图4，在确定物点P 和像点'P 的位置后，我们把物距和像距分别从物方焦距和像方焦距算起.物点在F 之左的，物距FP 用x -表示；像点在'F 之右的，像距P F '用'x +表示.反之亦然.这样就有()()f x s -+-=- ()()'''x f s +++=图4 顶点为物方和像方焦点时的物距和像距示意图代入式(3-1)可得1'''=+++fx f f x f 即有''ff xx = 式（3-2） 此式便是牛顿公式.3.3 近轴光线单球面反射公式的推导对于反射情况，这里利用焦距和折射率的关系，从两方面入手进行讨论与推导.下面先就焦距与折射率的关系开始进行讨论.关于焦距和折射率的关系，已在上文中给出了具体的关系式，即式（2-10）. 在球面反射的情况中，物空间与像空间重合，且反射光线与入射光线的传播方向恰恰相反.这一情况，在数学处理上可以认为像方介质的折射率'n 等于物方介质折射率n 的负值，即nn -='（这仅在数学上有意义）。
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（5） 光轴与法线的夹角： 由光轴经锐角转向法线，顺时针为正 逆时针为负。
（6） 折射面间隔 ： d 由前一面顶点到后一面顶点方向，顺光 线方向为正，逆光线方向为负。
不同教材对符号有不同的规定，自成体系 只要按某种规则计算，就要始终如一，这 样才不致影响计算结果。
作业(1):一个折射率为1.5的玻璃哑铃，长为20cm，两端 的曲率半径为2.0cm．若在离哑铃左端５.0cm处 的轴上有一物点，试求象的位置和性质。
作业
习 题：
P277 5-7
预 习： P257---259 单个折射球面成像性质 P262---263 球面反射成像
再见
§5.5 单个折射球面近轴区成像性质 (放大率公式)
i lru r
i' n i
n'
(6)
u' i u i'
l' r r i'
当光线平行于光轴时，（5）式变为：
i h
(7)
r
由（6）式中可以看出，当u角改变k倍时， i,i´,
u´亦相应改变k倍，而l´表示式中的i´/u´保持不变，
即l´不随u角的改变而改变。即表明由物点发出的一
束细光束经折射后仍交于一点，其像是完善像，称
l' f ' n' r
(12)
n'n
同理有球面的第一主焦点F及第一主焦距f，且
f n r n'n
(13)
f ' n' fn
二.高斯公式和牛顿公式
f ' f 1 l l
(14)
x x f f
(15)
三.光焦度
n' n n'n l' l r
式右端仅与介质的折射率及球面曲率半径有关，因而对
第一章
几何光学基础
§1.3 光路计算
所谓成像过程，就是物光束经光学系统逐次折、反射 的结果。
光在各向同性、均匀介质中总是沿直线传播的改变方 向只有在界面上进行，所以，把单个折射球面的问题搞清 楚了，那么由多个球面组成的系统的问题亦就迎刃而解。
一、 基本概念与符号规则
设在空间存在如下一个折射球面：
为高斯像。高斯像的位置由l´决定，通过高斯像点
垂直于光轴的像面，称为高斯像面。构成物像关系
的这一对点，称为共轭点。
显然，对于近轴点，如下关系成立：
h lu lu
(8)
§1.4 单个折射球面近轴区成像
将（6）式中的第一、第四式i和i´代入第二式，并利用 （8）式，可以导出以下三个重要公式：
n 1 1 n' 1 1 Q
(9)
r l r l'
n'u'nu n'n h
(10)
r
n' n n'n
(11)
l' l r
一.物像公式
若物点位于轴上左方无限远处，即物距l=－∞，此时入 射光线平行于光轴，经球面折射后交光轴于F点，如图 所示。这个特殊点是轴上无限远物点的像点，称为球面 的像方主焦点或第二焦点。从顶点O到F´的距离称为第 二主焦距，用f´表示。将l=－∞代入（11）式可得
一、单折射球面近轴区成像光路图
B
n
n'
E
yHale Waihona Puke A uhoD
cu
A' y'
B'
r
l
l'
对B点的物点而言，BB´相当于其光轴（辅轴） ，那么 B一定成像于B´点。AB上每一点都如此，那么，A´B´就 是AB的完善像。
B
n
n'
E
y
1.垂轴放大率 定义 ＝y' / y
A u
h
oD
r
cu
A' y'
B'
l
l'
于一定的介质及一定形状的表面来说是一个不变量，它 表征球面的光学特征，称之为该面的光焦度，以表示：
n'n
(16)
r
当r以米为单位时， 的单位称为折光度，以字母D表 示。例如，n´=1.5，n=1.0，r=100mm的球面，= 5D.
单折射球面两焦距和光焦度之间的关系为
n' n
(17)
f f
在利用上式对光路进行计算时，若物体位于物 方光轴上无限远处，这时可认为由物体发出的 光束是平等于光轴的平等光束，即L=－∞，U=0， 如下图所示。此时，不能用（1）式计算入射角 I，而入射角应按下式计算
sin I h
(5)
r
h为光线的入射高度。
三.近轴光的光路计算公式
如果限制U角在一个很小的范围内，即从A点发出的 光线都离光轴很近，这样的光线称为近轴光。由于U 角很小，其相应的I、I´、U´等也很小，这时这些角 的正弦值可以用弧度来代替，用小写字母u,i,i´, u´来表示。近轴光的光路计算公式可直接由（1） 式～（4）式得到
光线光路的基本公式，可由已知的L和U 通过上 列四式依次求出U′和L′。由于折射面对称于 光轴，对于轴上点A 发出的任一条光线，可以
表示该光线绕轴一周所形成的锥面上全部光线 的光路，显然这些光线在像方应交于光轴上同 一点。
由公式可知，当L为定值时，L是角U的函数。 若A为轴上物点，发出同心光束，由于各光线 具有不同的U角值，所以光束经球面折射后， 将有不同的L值，也就是说，在像方的光束不 和光轴交于一点，即失去了同心性。因此，当 轴上点以宽光束经球面成像时，其像是不完善 的，这种成像缺陷为像差。
r : 折射球面曲率半径
o : 顶点
L : 物方截距
L' : 像方截距
U : 物方孔径角 U ' : 像方孔径角
符号规则：光线方向自左向右
（1） 沿轴线段： 以顶点O为原点，光线到光轴交点或 球心，顺光线为正，逆光线为负。
（2） 垂轴线端： 光轴以上为正，光轴以下为负
（3） 光线与光轴夹角： 由光轴转向光线锐角，顺时针为正， 逆时针为负。
r
rL
rL
Lr
或 sin I
s in U
(１)
由折射定律得
sin
r I
n
sin
I
(２)
n
由图可知
I U IU
所以
U I U I
(3)
同样，在△A′EC中应用正弦定理
sinU sin I r L r
化简后得 L r r sin I sinU
(4)
(1)式～（4）式就是计算含轴面（子午面）内
∵ ABC 相似于 A'B'C
∴ y' / y (l ' r) / r l
上－－正 顺－－正
下－－负 线段 逆－－负
光轴 光线 法线 角度
二、单个折射球面的光路计算公式
光线的单个折射球面的光路计算，是指在给定单个折射球面
的结构参量n、n′和r，由已入射光线坐标L 和U，计算折射后 出射光线的坐标L′和U′。
在△AEC中，应用正弦定理有
sin(U ) sin(180 I ) sin I