符号法则单个折射球面成像
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光学——球面反射和折射-文档资料
于主轴上一点,该点称为反射球面的焦点(F’).
焦距:焦点到球面顶点的距离( f’= r/2 ).
它同样遵守符号法则.
11
所以，球面反射的成象公式又可以写成
111 s s f
球 面 反 射 物 像 公 式
说明：1、它是球面反射成像的基本公式,只在近轴条件 下成立；
2、式中各量必须严格遵从符号法则；
sin u' OA 代入s’表达式并整理，
s'
得
n' n n'n
s' s r
n— 物方介质折射率； n`— 象方介质折射率
17
讨论
n' n n'n s' s r
①当介质和球面一定时(n、n’、r 一定),S’与S一
② 一对应,即:
③ 在近轴光线条件下光束单心性得到保持.
②当介质和球面一定时(n、n’、r 一定)，
3、对凸球面反射同样适用；
4、当光线从右至左时同样适用.
12
[例] 一个点状物放在凹面镜前0.05m处,凹面镜的 曲率半径为0.20m,试确定像的位置和性质.
[解]：设光线从左至右
已知：s=-0.05m,r=-
0.20m
由球面反射成像公式：
P`
1 1 2 s s r
C
P -s O
-r
s’
得： s2sr sr2 0 0 .2 .0 5 0 .0 05 .2 0.1m
8
由图又可知：
sin u AO
(s)
-u P
sin
u
AO
s
代入 sr(rs) sin(u) 中， sin(u')
焦距:焦点到球面顶点的距离( f’= r/2 ).
它同样遵守符号法则.
11
所以，球面反射的成象公式又可以写成
111 s s f
球 面 反 射 物 像 公 式
说明：1、它是球面反射成像的基本公式,只在近轴条件 下成立；
2、式中各量必须严格遵从符号法则；
sin u' OA 代入s’表达式并整理，
s'
得
n' n n'n
s' s r
n— 物方介质折射率； n`— 象方介质折射率
17
讨论
n' n n'n s' s r
①当介质和球面一定时(n、n’、r 一定),S’与S一
② 一对应,即:
③ 在近轴光线条件下光束单心性得到保持.
②当介质和球面一定时(n、n’、r 一定)，
3、对凸球面反射同样适用；
4、当光线从右至左时同样适用.
12
[例] 一个点状物放在凹面镜前0.05m处,凹面镜的 曲率半径为0.20m,试确定像的位置和性质.
[解]：设光线从左至右
已知：s=-0.05m,r=-
0.20m
由球面反射成像公式：
P`
1 1 2 s s r
C
P -s O
-r
s’
得： s2sr sr2 0 0 .2 .0 5 0 .0 05 .2 0.1m
8
由图又可知：
sin u AO
(s)
-u P
sin
u
AO
s
代入 sr(rs) sin(u) 中， sin(u')
光在单球面上的折射和反射-四川大学
β =−
x′ f′
y′ f =− y x
从 Q 作 O 点的入射线 QO ，其折射线是 OQ′ 。由图可知，得
ny n′y′ =− −s s′
或 讨论：
β=
y′ ns′ = y n′s
(1) β > 0 时， y′ 与 y 同号。物正立时像也是正立的。即物是实物时，像必定是虚像，反之， 当物是虚物时，像必定是实像。 (2) 当 β < 0 时，物和像在主光轴的异侧，而且当物是实物时，生成的像也是实像，当物是虚 物时，生成的像也是虚像。 总之，当 β > 0 时，物和像一定是一实一虚； 当 β < 0 时，物和像的虚实相同。
n n’ P n n’
P’
P’ P
虚物成实像
虚物成虚像
n′ n n′ − n − = s′ s r f′ f + =1 s′ s xx′ = ff ′
1 1 2 + = s′ s r 1 1 1 + = s′ s f xx′ = f 2
φ=
f′=
n′ r n′ − n n f =− r n′ − n
n′ − n r
φ=
f′ n′ =− f n
β=
ns′ n′s
N
P
F
(e) 轴上物点成像作图法
图 作图法的几个例子
四川大学精品课程《光学》
六．球面反射镜 1．方法：将反射看作是折射的特殊情况 2．球面反射的物像距公式：
1 1 2 + = s′ s r
i = −i′ ； n′ = −n
3． 单球面折射饿球面反射镜公式对比
球面折射和球面反射公式对照表 球面折射成像 球面反射成像 公式 公式 物 像 距 焦距和光焦度 横向放 大率
x′ f′
y′ f =− y x
从 Q 作 O 点的入射线 QO ，其折射线是 OQ′ 。由图可知，得
ny n′y′ =− −s s′
或 讨论：
β=
y′ ns′ = y n′s
(1) β > 0 时， y′ 与 y 同号。物正立时像也是正立的。即物是实物时，像必定是虚像，反之， 当物是虚物时，像必定是实像。 (2) 当 β < 0 时，物和像在主光轴的异侧，而且当物是实物时，生成的像也是实像，当物是虚 物时，生成的像也是虚像。 总之，当 β > 0 时，物和像一定是一实一虚； 当 β < 0 时，物和像的虚实相同。
n n’ P n n’
P’
P’ P
虚物成实像
虚物成虚像
n′ n n′ − n − = s′ s r f′ f + =1 s′ s xx′ = ff ′
1 1 2 + = s′ s r 1 1 1 + = s′ s f xx′ = f 2
φ=
f′=
n′ r n′ − n n f =− r n′ − n
n′ − n r
φ=
f′ n′ =− f n
β=
ns′ n′s
N
P
F
(e) 轴上物点成像作图法
图 作图法的几个例子
四川大学精品课程《光学》
六．球面反射镜 1．方法：将反射看作是折射的特殊情况 2．球面反射的物像距公式：
1 1 2 + = s′ s r
i = −i′ ； n′ = −n
3． 单球面折射饿球面反射镜公式对比
球面折射和球面反射公式对照表 球面折射成像 球面反射成像 公式 公式 物 像 距 焦距和光焦度 横向放 大率
几何光学的基本原理3.3
利用几何知识可以得到单球面反射系统成像公式
1 l
1 l
1 r
(
s l
s l
)
考虑近轴光线,进一步得到
1 s
s：物距
1 s
2 r
r：曲率半径
s'：像距
它的成像规律与介质无关．
令 令
s ,
s Байду номын сангаас ,
2 r 得 f , 2
得 f
r
;
f f
r 2
因此球面镜物方焦点与像方焦点重合 . 凹面镜
3.3 光在球面上的反射和折射
1、球面的几个概念 符号法则
球面顶点：O 球面曲率中心：C 球面曲率半径：r 球面主轴(光轴)：连接O、C而得的直线。 主截面：通过主轴的平面。
C
r
O
主轴
光轴 ---光学系统的对称轴
光轴
近轴光线---与光轴夹角较小，并靠近光轴的光线
黄线—近轴光线
绿线—非近轴光线
1. 符号规则(sign convention)
-s = -x-f s’ = x’+f’
xx' ff '
牛顿成像公式
例1、一个折射率为1.5的玻璃球，半径R，置于空气 中。在近轴成像时，问： （1）无穷远处的物成像在何处？ （2）物在球前2R处，成像在何处？
n=1.5
P1’ O2
R s2 ’ s2 s1 ’ P’
P -s1
O1
n=1.5
解：
n' s' n s n' n r
-s1
O1 R
O2 P’ s2 ’ s2 s1 ’
1 l
1 l
1 r
(
s l
s l
)
考虑近轴光线,进一步得到
1 s
s：物距
1 s
2 r
r：曲率半径
s'：像距
它的成像规律与介质无关．
令 令
s ,
s Байду номын сангаас ,
2 r 得 f , 2
得 f
r
;
f f
r 2
因此球面镜物方焦点与像方焦点重合 . 凹面镜
3.3 光在球面上的反射和折射
1、球面的几个概念 符号法则
球面顶点：O 球面曲率中心：C 球面曲率半径：r 球面主轴(光轴)：连接O、C而得的直线。 主截面：通过主轴的平面。
C
r
O
主轴
光轴 ---光学系统的对称轴
光轴
近轴光线---与光轴夹角较小，并靠近光轴的光线
黄线—近轴光线
绿线—非近轴光线
1. 符号规则(sign convention)
-s = -x-f s’ = x’+f’
xx' ff '
牛顿成像公式
例1、一个折射率为1.5的玻璃球，半径R，置于空气 中。在近轴成像时，问： （1）无穷远处的物成像在何处？ （2）物在球前2R处，成像在何处？
n=1.5
P1’ O2
R s2 ’ s2 s1 ’ P’
P -s1
O1
n=1.5
解：
n' s' n s n' n r
-s1
O1 R
O2 P’ s2 ’ s2 s1 ’
应用光学第二章球面与共轴球面系统
sin I L r sinU r
n
IE
n′
I′
sin I n sin I n
h
-U
φ
U′
A
O
C
A′
U U I I r
L r r sin I
-L
L′
sinU
说明：
1）L′＝f (U、L、n、n′、r) 2）当L为定值时，L′随U变化而变化，象方光束失去同心性， 成不完善象，形成球差。
d）光线与法线夹角I、I′ 以光线转向法线成的锐角来度量，顺时针为“＋”
逆时针为“－” e）光轴与法线的夹角φ 以光轴转向法线成的锐角来度量，顺时针为“＋”
逆时针为“－” f）折射面的间隔d，一般取“＋” g）所有参量是含符号的量，但图示标为参量的大小。
二、 远轴光的计算公式（实际光线光路计算） 给定n、 n′、r，已知L、U，求解L′、 U′ 其中U、 U′较大，远轴光线成像（大光路）
1
4）三者关系：
nk 2 n1 1 n1 nk
4. 拉赫不变量： J n1u1 y1 nk uk yk
意义： J对整个光学系统的每个折射面的物象空间都是不变量，可用J来
校对光路计算是否正确。
例：厚透镜：
例：一玻璃棒（n=1.5），长500mm，两端面为半球 面，半径分别为50mm和100mm，一箭头高1mm，垂 直位于左端球面顶点之前200mm处的轴线上，求箭头 经玻璃棒成像后像的位置、大小、正倒、虚实。
§ 2－3 共轴球面系统
探讨方法— 将光线的光路计算公式及放大率公式反复应 用于各个折射面，分别求出各面的u、 u′、l 、 l′、 β、α、γ、y、y′J、J′、Q、 Q′。 转面公式— 前后相邻面之间的基本量的转化关系。
第四讲《光学》--几何光学的基本原理分解
第三章
3.3 光在球面上的反射和折射
1
一、符号法则：新笛卡尔符号规则
为了能够采用纯数学的方法来描述光学 系统的结构、光线的空间位置，以及物象的 相对位置和大小，引入符号法则。 由求出量的正负可判断像的虚、实、倒、正 等结果。
2
一、符号法则：新笛卡尔符号规则
n
n n
i
y
•
u
i
u
P• '
n n r
① 光焦度是系统的固有特征量，表征折射面的 聚光本领。
② 由其正负可判断系统的性质
> 0，会聚作用 < 0，发散作用
20
F’
O
Hale Waihona Puke n n’-f’f
O
F
n n’
-f
f’
n n r
F
n < n
< 0，
发散作用
n > n
> 0，
F’ 会聚作用
21
n ' n n ' n s' s r 五、近轴光线条件下球面折射的物像公式
l (r)2 (r s)2 2(r)(r s) cos s l (r)2 (s r)2 2(r)(s r) cos s
1 1 2
s s r
12
三、近轴光线条件下球面反射的物像公式
1 1 2 s s r
对于r一定的球面，只有一个s’与s对应，即存 在一个确定的像点，这个像点是一个理想的像 点---高斯像点
一、符号法则：新笛卡尔符号规则
n
n n
i
y
•
u
i
u
P• '
3.3 光在球面上的反射和折射
1
一、符号法则：新笛卡尔符号规则
为了能够采用纯数学的方法来描述光学 系统的结构、光线的空间位置，以及物象的 相对位置和大小，引入符号法则。 由求出量的正负可判断像的虚、实、倒、正 等结果。
2
一、符号法则：新笛卡尔符号规则
n
n n
i
y
•
u
i
u
P• '
n n r
① 光焦度是系统的固有特征量，表征折射面的 聚光本领。
② 由其正负可判断系统的性质
> 0，会聚作用 < 0，发散作用
20
F’
O
Hale Waihona Puke n n’-f’f
O
F
n n’
-f
f’
n n r
F
n < n
< 0，
发散作用
n > n
> 0，
F’ 会聚作用
21
n ' n n ' n s' s r 五、近轴光线条件下球面折射的物像公式
l (r)2 (r s)2 2(r)(r s) cos s l (r)2 (s r)2 2(r)(s r) cos s
1 1 2
s s r
12
三、近轴光线条件下球面反射的物像公式
1 1 2 s s r
对于r一定的球面，只有一个s’与s对应，即存 在一个确定的像点，这个像点是一个理想的像 点---高斯像点
一、符号法则：新笛卡尔符号规则
n
n n
i
y
•
u
i
u
P• '
难点单球面折射成像的原理
28
3、两节点 N1——厚透镜的第一节点； N2——厚透镜的第二节点。
只要知道厚透镜的三对基点在折射系统中 的位置，则可利用下列三条光线中的任意 两条就能求出经折射系统后所成的像：
①平行于主光轴的光线(1)在第一主平 面折射后通过第二主焦点F2。
②主通平过面第折一射主后焦平点行F于1的主光光线轴(射2)出在。第一
41
42
二、眼的调节 眼的焦度能在一定范围内自动改变， 这样才能将远近不同的物体成像在 视网膜上。
眼 的 调 节 —— 眼 睛 具 有 改 变 自 身 焦 度的本领。
眼的调节是通过睫状肌的收缩改 变晶状体表面的曲率半径来实现的， 但这种调节有一定的限度。
在观察不同距离的物体时，眼 的光学常数不相同。
n0 r1 r2
如果薄透镜周围的媒质为空气，即n0=1， 上式变为 ：
11
11
(n 1)( )
uv
r1 r2
公式中u、v、r1、r2的正、负号仍然 遵守式(1l-1)中的符号法则。
它们适用于各种形状的凸、凹
透镜。
18
当薄透镜前后的媒质相同时，其两 个焦距相等，其值为
f [ n n0 ( 1 1 )]1 n0 r1 r2
眼的分辨本领 —— 眼睛能分辨两物 点间最小距离的能力；
46
常用眼睛分辨的最小视角的倒数表 示其分辨本领，称为视力。
视力
1 能分辩的最小视角
应用上式计算视力时，最小视角应 以分(′)为单位。
47
四、眼的屈光不正及其矫正
屈光正常 —— 眼睛不调节时，若平 行光进入眼内经折射后刚好落在视 网膜上形成一清晰的像。
第十四章 几 何 光 学 重点：
1、掌握单球面折射成像的原理、计 算方法和符号规则。
3、两节点 N1——厚透镜的第一节点； N2——厚透镜的第二节点。
只要知道厚透镜的三对基点在折射系统中 的位置，则可利用下列三条光线中的任意 两条就能求出经折射系统后所成的像：
①平行于主光轴的光线(1)在第一主平 面折射后通过第二主焦点F2。
②主通平过面第折一射主后焦平点行F于1的主光光线轴(射2)出在。第一
41
42
二、眼的调节 眼的焦度能在一定范围内自动改变， 这样才能将远近不同的物体成像在 视网膜上。
眼 的 调 节 —— 眼 睛 具 有 改 变 自 身 焦 度的本领。
眼的调节是通过睫状肌的收缩改 变晶状体表面的曲率半径来实现的， 但这种调节有一定的限度。
在观察不同距离的物体时，眼 的光学常数不相同。
n0 r1 r2
如果薄透镜周围的媒质为空气，即n0=1， 上式变为 ：
11
11
(n 1)( )
uv
r1 r2
公式中u、v、r1、r2的正、负号仍然 遵守式(1l-1)中的符号法则。
它们适用于各种形状的凸、凹
透镜。
18
当薄透镜前后的媒质相同时，其两 个焦距相等，其值为
f [ n n0 ( 1 1 )]1 n0 r1 r2
眼的分辨本领 —— 眼睛能分辨两物 点间最小距离的能力；
46
常用眼睛分辨的最小视角的倒数表 示其分辨本领，称为视力。
视力
1 能分辩的最小视角
应用上式计算视力时，最小视角应 以分(′)为单位。
47
四、眼的屈光不正及其矫正
屈光正常 —— 眼睛不调节时，若平 行光进入眼内经折射后刚好落在视 网膜上形成一清晰的像。
第十四章 几 何 光 学 重点：
1、掌握单球面折射成像的原理、计 算方法和符号规则。
§3.3 光在球面上的反射和折射
r s s r 0 l l
或：
1 1 1 s s l l r l l
（2）
2、球面反射对光的单心的破坏
由式（2）可以看出，s 的值随 u亦即角 的变化而变化
如图3.3 3、近轴光线条件下球面反射的物象公式 （1）球面反射的物象公式。
2 2 2 2 1/2
l r (s r ) 2r (s r )cos
根据费马原理
1/2
d ( PAP) n n 2r (r s)sin 2r ( s r )sin d l l n(r s) n( s r ) 2r sin 0 l l
图3.6
f f f x ff xx f x 1 fx x f x f x f x f
xx ff
这种物像公式的形式称为牛顿公式。
（12）
nr nr n n n n 1 f f 1 s s s s
Ⅱ、牛顿公式： 物距和象距也可以分 别从物方和象方焦点 算起。并遵守同样的 符号法则，如图3.6从 上图得
（11）
s x ( f ), s f x
xs f x s f
§3.3 光在球面上的反射和折射
一、符号法则（新笛卡儿符号法则） 1、基本概念 顶点O 曲率半径 曲率中心C 主轴 CO
主平面：过主轴的平面 2、符号法则
光线的线段长度和角度的符号规定：
图3.1
（1）线段：光线和主轴交点的位置都从顶点算起， “上正下负，右正左负 ” （2）角度：取小于 / 2 的锐角，主轴（或球面法线）转向有关 光线时，“顺正逆负”
f n c、 f f 的关系： f n
第四讲《光学》--几何光学的基本原理解析
② 由其正负可判断系统的性质
> 0，会聚作用 < 0，发散作用
20
F’
O
n n’
-f’
f
O
F
n n’
-f
f’
n n r
F
n < n
< 0，
发散作用
n > n
> 0，
F’ 会聚作用
21
n ' n n ' n s' s r 五、近轴光线条件下球面折射的物像公式
像方焦点F’：与光轴上无穷远处物点对应的像点 像方焦距f’：与像方焦点对应的像距 像方焦平面：过F’点垂直于光轴的平面
l (r)2 (s r)2 2(r)(s r) cos s
18
五、近轴光线条件下球面折射的物像公式
在近轴条件下
n ' n n ' n s' s r n n —光焦度
r
r 单位为米时，光焦度的单位称为屈光度(D) 19
五、近轴光线条件下球面折射的物像公式
n n r
① 光焦度是系统的固有特征量，表征折射面的 聚光本领。
s
r s
O－顶点 C－曲率中心 CO －主轴
3
一、符号法则：新笛卡尔符号规则
n
n n
i
y
•
u
i
u
P• '
P
O
C y
s
r s
正方向的规定：光线从左侧进入，向右传播为正
4
一、符号法则：新笛卡尔符号规则
n
n n
i
y
•
u
i
u
P• '
P
O
C y
> 0，会聚作用 < 0，发散作用
20
F’
O
n n’
-f’
f
O
F
n n’
-f
f’
n n r
F
n < n
< 0，
发散作用
n > n
> 0，
F’ 会聚作用
21
n ' n n ' n s' s r 五、近轴光线条件下球面折射的物像公式
像方焦点F’：与光轴上无穷远处物点对应的像点 像方焦距f’：与像方焦点对应的像距 像方焦平面：过F’点垂直于光轴的平面
l (r)2 (s r)2 2(r)(s r) cos s
18
五、近轴光线条件下球面折射的物像公式
在近轴条件下
n ' n n ' n s' s r n n —光焦度
r
r 单位为米时，光焦度的单位称为屈光度(D) 19
五、近轴光线条件下球面折射的物像公式
n n r
① 光焦度是系统的固有特征量，表征折射面的 聚光本领。
s
r s
O－顶点 C－曲率中心 CO －主轴
3
一、符号法则：新笛卡尔符号规则
n
n n
i
y
•
u
i
u
P• '
P
O
C y
s
r s
正方向的规定：光线从左侧进入，向右传播为正
4
一、符号法则：新笛卡尔符号规则
n
n n
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y
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u
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P• '
P
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C y
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（4） 光线与折射面法线的夹角： 由光线经锐角转向法线，顺时针为 正，逆时针为负。
（5） 光轴与法线的夹角： 由光轴经锐角转向法线，顺时针为正 逆时针为负。
（6） 折射面间隔 ： d 由前一面顶点到后一面顶点方向，顺光 线方向为正，逆光线方向为负。
不同教材对符号有不同的规定，自成体系 只要按某种规则计算，就要始终如一，这 样才不致影响计算结果。
作业(1):一个折射率为1.5的玻璃哑铃，长为20cm，两端 的曲率半径为2.0cm．若在离哑铃左端５.0cm处 的轴上有一物点，试求象的位置和性质。
作业
习 题：
P277 5-7
预 习： P257---259 单个折射球面成像性质 P262---263 球面反射成像
再见
§5.5 单个折射球面近轴区成像性质 (放大率公式)
i lru r
i' n i
n'
(6)
u' i u i'
l' r r i'
当光线平行于光轴时，（5）式变为：
i h
(7)
r
由（6）式中可以看出，当u角改变k倍时， i,i´,
u´亦相应改变k倍，而l´表示式中的i´/u´保持不变，
即l´不随u角的改变而改变。即表明由物点发出的一
束细光束经折射后仍交于一点，其像是完善像，称
l' f ' n' r
(12)
n'n
同理有球面的第一主焦点F及第一主焦距f，且
f n r n'n
(13)
f ' n' fn
二.高斯公式和牛顿公式
f ' f 1 l l
(14)
x x f f
(15)
三.光焦度
n' n n'n l' l r
式右端仅与介质的折射率及球面曲率半径有关，因而对
第一章
几何光学基础
§1.3 光路计算
所谓成像过程，就是物光束经光学系统逐次折、反射 的结果。
光在各向同性、均匀介质中总是沿直线传播的改变方 向只有在界面上进行，所以，把单个折射球面的问题搞清 楚了，那么由多个球面组成的系统的问题亦就迎刃而解。
一、 基本概念与符号规则
设在空间存在如下一个折射球面：
为高斯像。高斯像的位置由l´决定，通过高斯像点
垂直于光轴的像面，称为高斯像面。构成物像关系
的这一对点，称为共轭点。
显然，对于近轴点，如下关系成立：
h lu lu
(8)
§1.4 单个折射球面近轴区成像
将（6）式中的第一、第四式i和i´代入第二式，并利用 （8）式，可以导出以下三个重要公式：
n 1 1 n' 1 1 Q
(9)
r l r l'
n'u'nu n'n h
(10)
r
n' n n'n
(11)
l' l r
一.物像公式
若物点位于轴上左方无限远处，即物距l=－∞，此时入 射光线平行于光轴，经球面折射后交光轴于F点，如图 所示。这个特殊点是轴上无限远物点的像点，称为球面 的像方主焦点或第二焦点。从顶点O到F´的距离称为第 二主焦距，用f´表示。将l=－∞代入（11）式可得
一、单折射球面近轴区成像光路图
B
n
n'
E
yHale Waihona Puke A uhoD
cu
A' y'
B'
r
l
l'
对B点的物点而言，BB´相当于其光轴（辅轴） ，那么 B一定成像于B´点。AB上每一点都如此，那么，A´B´就 是AB的完善像。
B
n
n'
E
y
1.垂轴放大率 定义 ＝y' / y
A u
h
oD
r
cu
A' y'
B'
l
l'
于一定的介质及一定形状的表面来说是一个不变量，它 表征球面的光学特征，称之为该面的光焦度，以表示：
n'n
(16)
r
当r以米为单位时， 的单位称为折光度，以字母D表 示。例如，n´=1.5，n=1.0，r=100mm的球面，= 5D.
单折射球面两焦距和光焦度之间的关系为
n' n
(17)
f f
在利用上式对光路进行计算时，若物体位于物 方光轴上无限远处，这时可认为由物体发出的 光束是平等于光轴的平等光束，即L=－∞，U=0， 如下图所示。此时，不能用（1）式计算入射角 I，而入射角应按下式计算
sin I h
(5)
r
h为光线的入射高度。
三.近轴光的光路计算公式
如果限制U角在一个很小的范围内，即从A点发出的 光线都离光轴很近，这样的光线称为近轴光。由于U 角很小，其相应的I、I´、U´等也很小，这时这些角 的正弦值可以用弧度来代替，用小写字母u,i,i´, u´来表示。近轴光的光路计算公式可直接由（1） 式～（4）式得到
光线光路的基本公式，可由已知的L和U 通过上 列四式依次求出U′和L′。由于折射面对称于 光轴，对于轴上点A 发出的任一条光线，可以
表示该光线绕轴一周所形成的锥面上全部光线 的光路，显然这些光线在像方应交于光轴上同 一点。
由公式可知，当L为定值时，L是角U的函数。 若A为轴上物点，发出同心光束，由于各光线 具有不同的U角值，所以光束经球面折射后， 将有不同的L值，也就是说，在像方的光束不 和光轴交于一点，即失去了同心性。因此，当 轴上点以宽光束经球面成像时，其像是不完善 的，这种成像缺陷为像差。
r : 折射球面曲率半径
o : 顶点
L : 物方截距
L' : 像方截距
U : 物方孔径角 U ' : 像方孔径角
符号规则：光线方向自左向右
（1） 沿轴线段： 以顶点O为原点，光线到光轴交点或 球心，顺光线为正，逆光线为负。
（2） 垂轴线端： 光轴以上为正，光轴以下为负
（3） 光线与光轴夹角： 由光轴转向光线锐角，顺时针为正， 逆时针为负。
r
rL
rL
Lr
或 sin I
s in U
(１)
由折射定律得
sin
r I
n
sin
I
(２)
n
由图可知
I U IU
所以
U I U I
(3)
同样，在△A′EC中应用正弦定理
sinU sin I r L r
化简后得 L r r sin I sinU
(4)
(1)式～（4）式就是计算含轴面（子午面）内
∵ ABC 相似于 A'B'C
∴ y' / y (l ' r) / r l
上－－正 顺－－正
下－－负 线段 逆－－负
光轴 光线 法线 角度
二、单个折射球面的光路计算公式
光线的单个折射球面的光路计算，是指在给定单个折射球面
的结构参量n、n′和r，由已入射光线坐标L 和U，计算折射后 出射光线的坐标L′和U′。
在△AEC中，应用正弦定理有
sin(U ) sin(180 I ) sin I
（5） 光轴与法线的夹角： 由光轴经锐角转向法线，顺时针为正 逆时针为负。
（6） 折射面间隔 ： d 由前一面顶点到后一面顶点方向，顺光 线方向为正，逆光线方向为负。
不同教材对符号有不同的规定，自成体系 只要按某种规则计算，就要始终如一，这 样才不致影响计算结果。
作业(1):一个折射率为1.5的玻璃哑铃，长为20cm，两端 的曲率半径为2.0cm．若在离哑铃左端５.0cm处 的轴上有一物点，试求象的位置和性质。
作业
习 题：
P277 5-7
预 习： P257---259 单个折射球面成像性质 P262---263 球面反射成像
再见
§5.5 单个折射球面近轴区成像性质 (放大率公式)
i lru r
i' n i
n'
(6)
u' i u i'
l' r r i'
当光线平行于光轴时，（5）式变为：
i h
(7)
r
由（6）式中可以看出，当u角改变k倍时， i,i´,
u´亦相应改变k倍，而l´表示式中的i´/u´保持不变，
即l´不随u角的改变而改变。即表明由物点发出的一
束细光束经折射后仍交于一点，其像是完善像，称
l' f ' n' r
(12)
n'n
同理有球面的第一主焦点F及第一主焦距f，且
f n r n'n
(13)
f ' n' fn
二.高斯公式和牛顿公式
f ' f 1 l l
(14)
x x f f
(15)
三.光焦度
n' n n'n l' l r
式右端仅与介质的折射率及球面曲率半径有关，因而对
第一章
几何光学基础
§1.3 光路计算
所谓成像过程，就是物光束经光学系统逐次折、反射 的结果。
光在各向同性、均匀介质中总是沿直线传播的改变方 向只有在界面上进行，所以，把单个折射球面的问题搞清 楚了，那么由多个球面组成的系统的问题亦就迎刃而解。
一、 基本概念与符号规则
设在空间存在如下一个折射球面：
为高斯像。高斯像的位置由l´决定，通过高斯像点
垂直于光轴的像面，称为高斯像面。构成物像关系
的这一对点，称为共轭点。
显然，对于近轴点，如下关系成立：
h lu lu
(8)
§1.4 单个折射球面近轴区成像
将（6）式中的第一、第四式i和i´代入第二式，并利用 （8）式，可以导出以下三个重要公式：
n 1 1 n' 1 1 Q
(9)
r l r l'
n'u'nu n'n h
(10)
r
n' n n'n
(11)
l' l r
一.物像公式
若物点位于轴上左方无限远处，即物距l=－∞，此时入 射光线平行于光轴，经球面折射后交光轴于F点，如图 所示。这个特殊点是轴上无限远物点的像点，称为球面 的像方主焦点或第二焦点。从顶点O到F´的距离称为第 二主焦距，用f´表示。将l=－∞代入（11）式可得
一、单折射球面近轴区成像光路图
B
n
n'
E
yHale Waihona Puke A uhoD
cu
A' y'
B'
r
l
l'
对B点的物点而言，BB´相当于其光轴（辅轴） ，那么 B一定成像于B´点。AB上每一点都如此，那么，A´B´就 是AB的完善像。
B
n
n'
E
y
1.垂轴放大率 定义 ＝y' / y
A u
h
oD
r
cu
A' y'
B'
l
l'
于一定的介质及一定形状的表面来说是一个不变量，它 表征球面的光学特征，称之为该面的光焦度，以表示：
n'n
(16)
r
当r以米为单位时， 的单位称为折光度，以字母D表 示。例如，n´=1.5，n=1.0，r=100mm的球面，= 5D.
单折射球面两焦距和光焦度之间的关系为
n' n
(17)
f f
在利用上式对光路进行计算时，若物体位于物 方光轴上无限远处，这时可认为由物体发出的 光束是平等于光轴的平等光束，即L=－∞，U=0， 如下图所示。此时，不能用（1）式计算入射角 I，而入射角应按下式计算
sin I h
(5)
r
h为光线的入射高度。
三.近轴光的光路计算公式
如果限制U角在一个很小的范围内，即从A点发出的 光线都离光轴很近，这样的光线称为近轴光。由于U 角很小，其相应的I、I´、U´等也很小，这时这些角 的正弦值可以用弧度来代替，用小写字母u,i,i´, u´来表示。近轴光的光路计算公式可直接由（1） 式～（4）式得到
光线光路的基本公式，可由已知的L和U 通过上 列四式依次求出U′和L′。由于折射面对称于 光轴，对于轴上点A 发出的任一条光线，可以
表示该光线绕轴一周所形成的锥面上全部光线 的光路，显然这些光线在像方应交于光轴上同 一点。
由公式可知，当L为定值时，L是角U的函数。 若A为轴上物点，发出同心光束，由于各光线 具有不同的U角值，所以光束经球面折射后， 将有不同的L值，也就是说，在像方的光束不 和光轴交于一点，即失去了同心性。因此，当 轴上点以宽光束经球面成像时，其像是不完善 的，这种成像缺陷为像差。
r : 折射球面曲率半径
o : 顶点
L : 物方截距
L' : 像方截距
U : 物方孔径角 U ' : 像方孔径角
符号规则：光线方向自左向右
（1） 沿轴线段： 以顶点O为原点，光线到光轴交点或 球心，顺光线为正，逆光线为负。
（2） 垂轴线端： 光轴以上为正，光轴以下为负
（3） 光线与光轴夹角： 由光轴转向光线锐角，顺时针为正， 逆时针为负。
r
rL
rL
Lr
或 sin I
s in U
(１)
由折射定律得
sin
r I
n
sin
I
(２)
n
由图可知
I U IU
所以
U I U I
(3)
同样，在△A′EC中应用正弦定理
sinU sin I r L r
化简后得 L r r sin I sinU
(4)
(1)式～（4）式就是计算含轴面（子午面）内
∵ ABC 相似于 A'B'C
∴ y' / y (l ' r) / r l
上－－正 顺－－正
下－－负 线段 逆－－负
光轴 光线 法线 角度
二、单个折射球面的光路计算公式
光线的单个折射球面的光路计算，是指在给定单个折射球面
的结构参量n、n′和r，由已入射光线坐标L 和U，计算折射后 出射光线的坐标L′和U′。
在△AEC中，应用正弦定理有
sin(U ) sin(180 I ) sin I