第一节导数的概念与计算答案

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高中导数的概念、运算及应用知识点+例题+练习含答案

教学过程【例3】(2013·新课标全国Ⅰ卷改编)设函数f(x)＝e x(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.求a，b的值．规律方法已知曲线在某点处的切线方程求参数，是利用导数的几何意义求曲线的切线方程的逆用，解题的关键是这个点不仅在曲线上也在切线上.【训练3】(2013·福建卷改编)设函数f(x)＝x－1＋ae x(a∈R，e为自然对数的底数)．曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值．1．在对导数的概念进行理解时，特别要注意f′(x0)与(f(x0))′是不一样的，f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值，不一定为0；而(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，而函数值f(x0)是一个常量，其导数一定为0，即(f(x0))′＝0.2．对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．第2讲导数的应用(一)教学效果分析【例3】(2012·重庆卷)已知函数f(x)＝ax3＋bx＋c在点x＝2处取得极值c－16.(1)求a，b的值；(2)若f(x)有极大值28，求f(x)在[－3,3]上的最小值．规律方法在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别．求解函数的最值时，要先求函数y＝f(x)在[a，b]内所有使f′(x)＝0的点，再计算函数y＝f(x)在区间内所有使f′(x)＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得.【训练3】设函数f(x)＝x＋ax2＋b ln x，曲线y＝f(x)过P(1,0)，且在P点处的切线斜率为2.(1)求a，b的值；(2)令g(x)＝f(x)－2x＋2，求g(x)在定义域上的最值．1．求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全，区分极值点与导数为0的点；含参数时，要讨论参数的大小．2．求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论．一个函数在其定义域内最值是唯一的，可以在区间的端点取得．。

2021新高考2版数学一轮课件：第三章第一节导数的概念及运算

(5)y'=
sin cos
x x
'=
(
sin
x)'
cos x-sin cos2 x
x(
cos
x)'
= cos x cos x-sin x(-sin x) = 1 .
cos2 x
cos2 x
(6)y'=(
x
1 2
)'=
1
-1
x2
=
1
.
2 2x
方法技巧 1.求导数的总原则:先化简函数的解析式,再求导.
y=
1 x2
1·x+ln(x2+1)-
x2 x2
1
,
所以
k
b
1 x1
ln
x1
1 ,
x2 1 1 ln
(x2
1)-
x2 , x2 1
解得
x1 x2
1, 2 -1
2
于是b=ln
,
x1+1=1-ln
2.
规律总结导数的几何意义的应用及求解思路 (1)求切线方程时,注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线,曲线y =f(x)在点P(x0, f(x0))处的切线方程是y-f(x0)=f '(x0)(x-x0);求过某点的切线方程, 需先设出切点坐标,再依据已知点在切线上求解. (2)已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数,然后让导数等于切线的斜率,从而求出切点的横坐标,将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标. (3)已知切线方程(或斜率)求参数值的关键就是列出函数的导数等于切线斜
'+
x
1 ln
2

导数的概念与运用含答案

导数1、导函数的概念：如果函数()f x 在开区间（a,b ）内可导，对于开区间（a,b ）内的每一个0x ，都对应着一个导数 ()0fx '，这样()f x 在开区间（a,b ）内构成一个新的函数，这一新的函数叫做()f x 在开区间（a,b ）内的导函数，记作 ()0limx y f x y x∆→∆'='=∆()()limx f x x f x x∆→+∆-=∆，导函数也简称为导数。

2、求()y f x =在0x 处的导数的步骤：（1）求函数的改变量()()00y f x x f x ∆=+∆-；（2）求平均变化率()()00f x x f x y xx +∆-∆=∆ ；（3）取极限，得导数()00lim x yf x x→∆'=∆ 。

3、导数的几何意义：曲线()y f x =在点()()0,0P x f x 处的切线的斜率，即曲线()y f x =在点()()0,0P x f x 处的切线的斜率是()0f x '，相应地切线的方程是()()000y y f x x x -='-。

特别提醒：（1）在求曲线的切线方程时，要注意区分所求切线是曲线上某点处的切线，还是过某点的切线：曲线上某点处的切线只有一条，而过某点的切线不一定只有一条，即使此点在曲线上也不一定只有一条；4、导数的运算公式及法则：（1）常数函数的导数为0，即0C '=（C 为常数）；（2）()()1n n x nx n Q -'=∈，与此有关的如下：()()1122111,2x x x x x x ''-⎛⎫⎛⎫='=-'== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）若(),()f x g x 有导数，则①[()()]()()f x g x f x g x '''±=±；②[()]()C f x Cf x ''= 。

导数的概念及运算含答案

【高二数学学案】导数的概念及运算一、学习目标：1.了解导数概念的实际背景，理解函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念.了解曲线的切线的概念.2.熟记基本初等函数的导数公式(c ，x m (m 为有理数)，sin x ，cos x ，e x ，a x ，ln x ，log a x 的导数)，能利用基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则求简单函数的导数．二、自主学习1．函数的平均变化率2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数(1)定义 (2)几何意义3．函数f (x )的导函数45(1)[f (x )±g (x )]′＝_____ _；(2)[f (x )g (x )]′＝_________；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝_________ [g (x )≠0]．三、尝试练习A1.在曲线y ＝x 2＋1的图象上取一点(1,2)及附近一点(1＋Δx ，2＋Δy )，则ΔyΔx 为 ( ) A ．Δx ＋1Δx ＋2 B ．Δx －1Δx －2 C ．Δx ＋2 D ．2＋Δx －1ΔxA2.设y ＝x 2·e x，则y ′等于( )A ．x 2e x ＋2xB ．2x e xC ．(2x ＋x 2)e xD ．(x ＋x 2)·e xA3.下列结论正确的是①ln 2y =,则12y '=;②21y x=,则3227x y ='=-; ③2x y =,则2ln 2xy '=; ④2log y x =,则1ln 2y x '=.B4.已知函数f (x )＝2f ′(13-)cos x ＋x 2，则f ′(13-)＝________.A5.求下列函数的导数：(1)y ＝(1－x )⎝⎛⎭⎫1＋1x ；(2)y ＝ln x x ；(3) y ＝tan x ； (4)y ＝x 2sin x ;(5)y ＝3x e x －2x ＋e ；(6)y ＝ln x x 2＋1;B6.已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P (2,4)的切线方程；(3)求满足斜率为1的曲线的切线方程．四、巩固提升A1．设函数()y f x =在x=1处存在导数，则0(1)(1)limx f f x x∆→--∆=∆（）A ．(1)f 'B ．-(1)f ' C.(1)f D. -(1)fB2．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为 ( )A ．4x －y －3＝0B ．x ＋4y －5＝0C ．4x －y ＋3＝0D ．x ＋4y ＋3＝0C3．如图是函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的部分图象，则函数g (x )＝ln x ＋f ′(x ) 的零点所在的区间是A.⎝⎛⎭⎫14，12 B ．(1,2) C.⎝⎛⎭⎫12，1 D ．(2,3) C4．在下列四个函数中，满足性质：“对于区间(1,2)上的任意x 1，x 2 (x 1≠x 2)，|f (x 2)－f (x 1)|<|x 2－x 1|恒成立”的只有 ( )A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝|x |C ．f (x )＝2xD ．f (x )＝x 2B5．设点P 是曲线y ＝x 33－x 2－3x －3上的一个动点，则以P 为切点的切线中，斜率取得最小值时的切线方程是__________________．B6．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，求α的取值范围.B7．已知函数f (x )＝12x 2－a ln x (a ∈R)．(1)若函数f (x )的图象在x ＝2处的切线方程为y ＝x ＋b ，求a ，b 的值； (2)若函数f (x )在(1，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围．导数的概念及运算参考答案三、尝试练习：C C 3. ②③④ 4.32 5.解 (1)∵y ＝(1－x )⎝⎛⎭⎫1＋1x ＝1x－x ＝1122x x --，∴y ′＝1122()'()'x x --＝31221122x x ----.(2)y ′＝⎝⎛⎭⎫ln x x ′＝(ln x )′x －x ′ln x x 2＝221ln 1ln x x x x x x --= . (3)y ′＝⎝⎛⎭⎫sin x cos x ′＝(sin x )′cos x －sin x (cos x )′cos 2x ＝cos x cos x －sin x (－sin x )cos 2x ＝1cos 2x . (4)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x .(5)y ′＝(3x e x )′－(2x )′＋(e)′＝(3x )′e x ＋3x (e x )′－(2x )′＝3x ln 3·e x ＋3x e x －2x ln 2＝(ln 3＋1)(3e)x －2x ln 2.(6)y ′＝(ln x )′(x 2＋1)－ln x (x 2＋1)′(x 2＋1)2＝1x (x 2＋1)－ln x ·2x (x 2＋1)2＝x 2＋1－2x 2ln xx (x 2＋1)26. 解 (1)∵y ′＝x 2，∴在点P (2,4)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝2＝4.∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0. (2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎫x 0，13x 30＋43，则切线的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝x 20.∴切线方程为y －⎝⎛⎭⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20x －23x 30＋43. ∵点P (2,4)在切线上，∴4＝2x 20－23x 30＋43，即x 30－3x 20＋4＝0，∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0， ∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0. (3)设切点为(x 0，y 0)，则切线的斜率为k ＝x 20＝1，解得x 0＝±1，故切点为⎝⎛⎭⎫1，53，(－1,1)．故所求切线方程为y －53＝x －1和y －1＝x ＋1，即3x －3y ＋2＝0和x －y ＋2＝0.四、巩固提升AACA 5. 12x ＋3y ＋8＝0 6.解：()2244412112xx x xxx e e y e e ee e ---'===+++++ 因为12xx e e+≥，所以10y '-≤< 所以角α的取值范围是.⎣⎡⎭⎫3π4，π7. 解 (1)因为f ′(x )＝x －ax(x >0)，又f(x )在x ＝2处的切线方程为y ＝x ＋b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2－a ln 2＝2＋b ，2－a2＝1，解得a ＝2，b ＝－2ln 2(2)若函数f (x)在(1，＋∞)上为增函数，则f ′(x )＝x －ax ≥0在(1，＋∞)上恒成立，即a ≤x 2在(1，＋∞)上恒成立．所以有a ≤1.。

导数的概念及运算--附答案

3.1导数的概念及运算(学案）姓名【一.导数的意义】1.函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率 0000()()limlimx x f x x f x yx x∆→∆→+∆-∆=∆∆ 称为函数()y f x =在0x x =处的导数.其几何意义为：【二.导数的运算公式】①()c '= ；②()nx '= ；③(sin )x '= ；④(cos )x '= ；⑤()xa '= ；⑥()x e '= ;⑦(log )a x '= ；⑧(ln )x '= ；⑨1()x'=；⑩'= ；【三.导数的运算法则】①.和差的导数：[()()]f x g x '±= ；②.[()]C f x '⋅= ；其中C 为常数。

③.积的导数：[()()]f x g x '= ；④.商的导数：()()f x g x '⎛⎫ ⎪⎝⎭=(()0)g x ≠。

【四.复合函数的导数】设函数()u g x =在点x 处有导数x u '，函数()y f u =在点x 的对应点u 处有导数u y '，则复合函数(())y f g x =在点x 处也有导数，且x y '＝__ ______，【五.求导】1.求导：①)5'⋅xa x （=5x 4·a x ＋x 5·a x ln a；② sin(2)3x π'⎛⎫+ ⎪⎝⎭=③2ln 1x x '⎛⎫ ⎪+⎝⎭=2．已知 f (x )＝x 2＋3x (2)f '，则(2)f '＝__-2___.3.求函数y ＝(x －1)(x －2)·…·(x －100) (x >100)的导数.解析：两边取对数得ln y ＝ln(x －1)＋ln(x －2)＋…＋ln(x －100)．两边对x 求导：y ′y ＝1x －1＋1x －2＋…＋1x －100.∴y ′＝⎝⎛⎭⎫1x －1＋1x －2＋…＋1x －100·(x －1)(x －2)·…·(x －100)．【六.导数的几何意义】4.已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点(2,4)的切线方程．解 (1)∵y ＝13x 3＋43，∴y ′＝x 2，∴曲线在点(2,4)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝2＝4 由y －4＝4(x －2)，得4x －y －4＝0.∴曲线在点(2,4)处的切线方程为 4x －y －4＝0(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎫x 0，13x 30＋43 则切线的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝x 20. ∴切线方程为y －⎝⎛⎭⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20x －23x 30＋43∵点P (2,4)在切线上，∴4＝2x 20－23x 30＋43即x 30－3x 20＋4＝0，∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0， ∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0， ∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝05.在平面直角坐标系xOy 中，已知P 是函数f (x )＝e x (x >0)的图象上的动点，该图象在点P 处的切线l 交y 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值是___max 11()2t e e=+_____．解析：设00(,),xP x e 则00000:(),(0,(1))x x x l y ee x x M x e -=-∴-，过点P 作l 的垂线000000(),(0,)x x x x y e e x x N e x e ---=--+，00000000011[(1)]()22x x x x x x t x e e x e e x e e --=-++=+-00'01()(1)2x x t e e x -=+-，所以，t 在(0,1)上单调增，在(1,)+∞单调减，max 11()2t e e=+。

导数知识点总结及答案

导数知识点总结及答案一、导数的定义在数学中，函数f(x)在某一点x=a处的导数定义为：f'(a) = lim (h→0) [f(a+h) - f(a)] / h其中，f'(a)表示函数f(x)在x=a处的导数，lim表示极限运算，h表示自变量x的增量。

导数的定义可以理解为当自变量x在x=a处发生一个很小的变化h时，函数f(x)在此点的增量f(a+h) - f(a)与自变量的增量h的比值。

当h趋向于0时，这个比值就是函数f(x)在x=a处的导数。

二、导数的性质1. 可加性：如果函数f(x)和g(x)在某一点x=a处有导数，那么它们的和、差、积、商函数在此点处也有导数，并且导数的值可以进行相应的运算。

2. 连续性：如果函数f(x)在某一点x=a处有导数，那么函数f(x)在该点处是连续的。

3. 导数与函数的关系：如果函数f(x)在某一点x=a处有导数，那么函数f(x)在该点处是可微的，反之亦然。

4. 导数与函数的图像关系：函数f'(x)在某一点x=a处的导数值，可以描述函数f(x)在该点处的切线的斜率。

5. 高阶导数：如果函数f(x)在某一点x=a处有导数，那么它的导数f'(x)也可以求导，进而得到f''(x)，称为函数f(x)的二阶导数，依此类推，可以求得函数f(x)的任意阶导数。

三、常见函数的导数1. 幂函数：f(x) = x^n，其导数为f'(x) = nx^(n-1)。

2. 指数函数：f(x) = a^x，其中a为常数且a>0，a≠1，其导数为f'(x) = a^x*ln(a)。

3. 对数函数：f(x) = ln(x)，其导数为f'(x) = 1/x。

4. 三角函数：f(x) = sin(x)，其导数为f'(x) = cos(x)；f(x) = cos(x)，其导数为f'(x) = -sin(x)。

5. 反三角函数：f(x) = arcsin(x)，其导数为f'(x) = 1/√(1-x^2)；f(x) = arccos(x)，其导数为f'(x) = -1/√(1-x^2)。

【新高考数学】导数的概念及计算导数的概念及计算(含答案)

【新高考数学】导数的概念及计算【套路秘籍】一.函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数(1)定义：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率0lim x ∆→ f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx ＝ 0lim x ∆→ ΔyΔx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝0lim x ∆→ΔyΔx ＝0limx ∆→f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx . (2)几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率.相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0). 二.函数y ＝f (x )的导函数如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的每一点处都有导数，其导数值在(a ，b )内构成一个新函数，函3.基本初等函数的导数公式三.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有： (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2(g (x )≠0). 四.复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′. 数f ′(x )＝0lim x ∆→ f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx 称为函数y ＝f (x )在开区间内的导函数. 【套路修炼】考向一导数的概念【例1】设)(x f 是可导函数，且3)2()(lim 000=∆∆+-∆-→∆xx x f x x f x ，则=')(0x f 。

导数的概念及运算、几何意义

导数的概念及运算、几何意义1．导数的概念(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或，即f′(x0)＝＝.y′|x＝x(2)导数的几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)·(x－x0)．(3)函数f(x)的导函数称函数f′(x)＝为f(x)的导函数．2．导数公式及运算法则(1)基本初等函数的导数公式(2)导数的运算法则①[f (x )±g (x )]′＝)(x f '±g ′(x )；②[f (x )·g (x )]′＝)(x f 'g (x )＋f (x )g ′(x )； ③])()(['x g x f ＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x ) [g (x )]2(g (x )≠0)．特殊情况[c ·f (x )]′＝c ·)(x f '．(3)复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y ′x ＝y ′u ·u ′x ，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．3．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1))(0x f '与[f (x 0)]′表示的意义相同．(×)(2))(0x f '是导函数)(x f '在x ＝x 0处的函数值．(√)(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．(√) (4))3sin('π＝cos π3.(×)(5)若(ln x )′＝1x ，则)1('x ＝ln x ．(×)(6)函数f (x )＝sin(－x )的导数为f ′(x )＝cos x ．(×)(7)函数f (x )＝，由于f ′(0)无意义，则说明f (x )＝在x ＝0处无切线．(×)(8)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(×)(9)若f (a )＝－x 2＋2ax ＋a 3，则f ′(a )＝2x ＋3a 2.(√)(10)过点P 作y ＝f (x )的切线，且P 在y ＝f (x )上，则P 一定为切点．(×)考点一导数的运算[例1] (1)函数y ＝(1－x ))1(x +，则y ′＝________.解析：∵y ＝(1－x ))11(x +＝1x －x ＝2121x x --，='y 21232121----x x答案：21232121----x x (2)函数y ＝ln x x ，则y ′＝________.解析：y ′＝)ln ('xx ＝(ln x )′x －x ′ln x x 2＝1x ·x －ln x x 2＝1－ln x x 2. 答案：1－ln x x 2(3)y ＝ln(2x ＋5)，则y ′＝________.解析：设y ＝ln u ，u ＝2x ＋5，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ，因此y ′＝12x ＋5·(2x ＋5)′＝22x ＋5. 答案：22x ＋5 (4)已知函数f (x )的导函数f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，则f ′(1)＝________.解析：f ′(x )＝2f ′(1)＋1x令x ＝1，得f ′(1)＝2f ′(1)＋1，∴f ′(1)＝－1.答案：－1 [方法引航] (1)总原则：先化简解析式，再求导.(2)具体方法：①连乘积的形式：先展开化为多项式形式，再求导.②根式形式：先化为分数指数幂，再求导.③复杂分式：化为简单分式的和、差，再求导.(3)区分f ′(x )与f ′(x 0)f ′(x )表示导函数，f ′(x 0)是导函数值.1．若函数y ＝tan x ，则y ′＝________.解析：y ′＝)cos sin ('xx ＝(sin x )′cos x －sin x (cos x )′cos 2x ＝cos x cos x －sin x (－sin x )cos 2x ＝1cos 2x . 答案：1cos 2x2．设f (x )＝x ln x ，若)(0x f '＝2，则x 0的值为( )A ．e 2B ．e C.ln 22 D ．ln 2 解析：选B.由f (x )＝x ln x 得f ′(x )＝ln x ＋1.根据题意知ln x 0＋1＝2，所以ln x 0＝1，因此x 0＝e.考点二导数的几何意义[例2] (1)求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程；(2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程．解：∵f ′(x )＝3x 2－8x ＋5，∴f ′(2)＝1，又f (2)＝－2，∴曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －(－2)＝x －2，即x －y －4＝0.(2)设切点坐标为(x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，∵f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5，∴切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)(x －2)，又切线过点(x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，∴x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)(x 0－2)，整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0，解得x 0＝2或x 0＝1，∴经过A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为x －y －4＝0，或y ＋2＝0.[方法引航] 导数几何意义的应用，需注意以下两点：(1)当曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线垂直于x 轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是x ＝x 0；(2)注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线.曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f(x 0))处的切线方程是y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解.1．在本例中，若f (x )在P 点处的切线平行x 轴，求P 点坐标．解：∵f ′(x )＝3x 2－8x ＋5，令3x 2－8x ＋5＝0得x ＝1或x ＝53，∴f (1)＝1－4＋5－4＝－2，f (53)＝－5827，∴P (1，－2)或P )2758,35(-. 2．在本例中，若f (x )不变，求f (x )过点(1，－2)的切线方程．解：设过点P (1，－2)的直线与y ＝f (x )切于点M (x 0，y 0)，∴其切线斜率k ＝f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5，y 0＝x 30－4x 20＋5x 0－4，其切线方程为y －(x 30－4x 20＋5x 0－4)＝(3x 20－8x 0＋5)(x －x 0)过点(1，－2)，即－2－(x 30－4x 20＋5x 0－4)＝(3x 20－8x 0＋5)(1－x 0)，即(x 0－1)2(2x 0－3)＝0∴x 0＝1或x 0＝32.∴切点为(1，－2)或)817,23(-，∴k 1＝0或k 2＝－14. ∴所求切线方程分别为y ＝－2.或y ＋178＝－14)23(-x ，即y ＝－14x －74.[易错警示]借问“切点”何处有——求曲线的切线方程时切点易错[典例] (2017·浙江杭州模拟)若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 等于( )A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或7[正解] 设过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)，所以切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30，又点(1,0)在切线上，则x 0＝0或x 0＝32，当x 0＝0时，由y ＝0与y ＝ax 2＋154x－9相切可得a ＝－2564；当x 0＝32时，由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－1，所以选A.[答案] A[易误] (1)审题不仔细，未对点(1,0)的位置进行判断，误认为(1,0)是切点；(2)当所给点不是切点时，无法与导数的几何意义联系．[警示] ①“曲线y ＝f (x )在P 点处的切线”与“曲线过P 点的切线”不同，前者P 为切点，后者P 不一定为切点．②此类题首先确定点是否为曲线的切点．当不是切点时．应先设出切点．[高考真题体验]1．(2016·高考全国丙卷)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，x e x f x -=--1)(，则曲线y ＝f (x )在点(1,2)处的切线方程是________．解析：当x ＞0时，－x ＜0，f (－x )＝e x －1＋x ，而f (－x )＝f (x )，所以f (x )＝e x －1＋x (x ＞0)，点(1,2)在曲线y ＝f (x )上，易知f ′(1)＝2，故曲线y ＝f (x )在点(1,2)处的切线方程是y －2＝f ′(1)·(x －1)，即y ＝2x .答案：y ＝2x2．(2015·高考课标卷Ⅰ)已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2,7)，则a ＝________.解析：由题意可得f ′(x )＝3ax 2＋1，∴f ′(1)＝3a ＋1，又f (1)＝a ＋2，∴f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1)，又此切线过点(2,7)，∴7－(a ＋2)＝(3a ＋1)(2－1)，解得a ＝1.答案：13．(2012·高考课标全国卷)曲线y ＝x (3ln x ＋1)在点(1,1)处的切线方程为________．解析：y ′＝3ln x ＋1＋x ·3x ＝3ln x ＋4，k ＝y ′|x ＝1＝4，切线方程为y －1＝4(x －1)，即y ＝4x －3.答案：y ＝4x －34．(2016·高考天津卷)已知函数f (x )＝(2x ＋1)e x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则)0(f '的值为________．解析：∵f ′(x )＝2e x ＋(2x ＋1)e x ＝(2x ＋3)·e x ，∴f ′(0)＝3.答案：35．(2015·高考天津卷)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，)(x f '为f (x )的导函数．若)1(f '＝3，则a 的值为________．解析：∵f ′(x )＝a ln x ＋a ，∴f ′(1)＝a ln 1＋a ＝3，解得a ＝3.答案：36．(2016·高考山东卷)若函数y ＝f (x )的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y ＝f (x )具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝ln xC ．y ＝e xD ．y ＝x 3解析：选A.对于A ，y ′＝cos x ，存在x 1，x 2，若cos x 1cos x 2＝－1，如x 1＝π，x 2＝2π，可满足，对于B ，其导数为f ′(x )＝1x ，f ′(x 1)·f ′(x 2)＝1x 1x 2＞0，故B 不满足；y ＝f (x )＝e x 的导函数为f ′(x )＝e x ，f ′(x 1)·f ′(x 2)＝e x 1＋x 2＞0，故C 不满足；y ＝f (x )＝x 3的导函数为f ′(x )＝3x 2，f ′(x 1)·f ′(x 2)＝9x 21x 22≥0，故D 不满足．故选A.课时规范训练A 组基础演练1．若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足2)1(='f ，则)1(-'f 等于( )A ．－1B ．－2C ．2D ．0解析：选B.f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，∵f ′(x )为奇函数且2)1(='f ，∴)1(-'f ＝－2.2．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( )A ．4x －y －3＝0B ．x ＋4y －5＝0C ．4x －y ＋3＝0D ．x ＋4y ＋3＝0解析：选A.切线l 的斜率k ＝4，设y ＝x 4的切点的坐标为(x 0，y 0)，则k ＝4x 30＝4，∴x 0＝1，∴切点为(1,1)，即y －1＝4(x －1)，整理得l 的方程为4x －y －3＝0.3．直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x ＞0)的一条切线，则实数b 的值为( ) A ．2 B ．ln 2＋1 C ．ln 2－1 D ．ln 2解析：选C.∵y ＝ln x 的导数为y ′＝1x ，∴1x ＝12，解得x ＝2，∴切点为(2，ln 2)．将其代入直线y ＝12x ＋b ，得b ＝ln 2－1.4．曲线y ＝3ln x ＋x ＋2在点P 0处的切线方程为4x －y －1＝0，则点P 0的坐标是( )A ．(0,1)B ．(1，－1)C ．(1,3)D ．(1,0)解析：选C.y ′＝3x＋1，令y ′＝4，解得x ＝1，此时4×1－y －1＝0，解得y ＝3，∴点P 0的坐标是(1,3)．5．直线y ＝kx ＋b 与曲线y ＝ax 2＋2＋ln x 相切于点P (1,4)，则b 的值为( )A ．3B ．1C ．－1D ．－3解析：选C.由点P (1,4)在曲线上可得a ×12＋2＋ln 1＝4，解得a ＝2，故y ＝2x 2＋2＋ln x ，所以y ′＝4x ＋1x ，所以曲线在点P 处切线的斜率1|='=x y k ＝4×1＋11＝5.所以直线的方程为y ＝5x ＋b .由点P 在直线上得4＝5×1＋b ，解得b ＝－1，故选C.6．曲线y ＝x e x －1在点(1,1)处切线的斜率等于( )A ．2eB ．eC ．2D ．1解析：选C.y ′＝e x －1＋x e x －1＝(x ＋1)e x －1，故曲线在点(1,1)处的切线斜率为2|1='==x y k7．若曲线f (x )＝a cos x 与曲线g (x )＝x 2＋bx ＋1在交点(0，m )处有公切线，则a ＋b ＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：选C.依题意得，f ′(x )＝－a sin x ，g ′(x )＝2x ＋b ，于是有f ′(0)＝g ′(0)，即－a sin 0＝2×0＋b ，b ＝0，m ＝f (0)＝g (0)，即m ＝a ＝1，因此a ＋b ＝1.8．在函数y ＝x 3－9x 的图象上，满足在该点处的切线的倾斜角小于π4，且横、纵坐标都为整数的点的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选A.依题意得，y ′＝3x 2－9，令0≤y '＜1得3≤x 2＜103，显然满足该不等式的整数x不存在，因此在函数y ＝x 3－9x 的图象上，满足在该点处的切线的倾斜角小于π4，且横、纵坐标都为整数的点的个数是0，选A.9．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，则f ′(0)＝( )A ．26B ．29C ．212D ．215解析：选C.依题意，记g (x )＝(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，则f (x )＝xg (x )，)(x f '＝g (x )＋xg ′(x )，f ′(0)＝g (0)＝a 1a 2…a 8＝(a 1a 8)4＝212，故选C.10．已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝)(1x f '，f 3(x )＝)(2x f '，…，f n ＋1(x )＝)(x f n '，n ∈N *，则f 2 019(x )等于( )A ．－sin x －cos xB ．sin x －cos xC ．－sin x ＋cos xD ．sin x ＋cos x解析：选A.∵f 1(x )＝sin x ＋cos x ，∴f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ，∴f 3(x )＝f 2′(x )＝－sin x －cos x ，∴f 4(x )＝f 3′(x )＝－cos x ＋sin x ，∴f 5(x )＝f 4′(x )＝sin x ＋cos x ，∴f n (x )是以4为周期的函数，∴f 2 019(x )＝f 3(x )＝－sin x －cos x ，故选A.B 组能力突破1．已知函数f (x )在R 上满足f (2－x )＝2x 2－7x ＋6，则曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程是( )A ．y ＝2x －1B ．y ＝xC ．y ＝3x －2D ．y ＝－2x ＋3解析：选C.法一：令x ＝1得f (1)＝1，令2－x ＝t ，可得x ＝2－t ，代入f (2－x )＝2x 2－7x ＋6得f (t )＝2(2－t )2－7(2－t )＋6，化简整理得f (t )＝2t 2－t ，即f (x )＝2x 2－x ，∴f ′(x )＝4x －1，∴f ′(1)＝3.∴所求切线方程为y －1＝3(x －1)，即y ＝3x －2.法二：令x ＝1得f (1)＝1, 由f (2－x )＝2x 2－7x ＋6，两边求导可得f ′(2－x )·(2－x )′＝4x －7，令x ＝1可得－f ′(1)＝－3，即f ′(1)＝3.∴所求切线方程为y－1＝3(x－1)，即y＝3x－2.2．已知函数f(x)＝a sin x＋bx3＋4(a∈R，b∈R)，)(xf'为f(x)的导函数，则f(2 017)＋f(－2 017)＋)2018(f'－)2018(-'f＝()A．0 B．2 017 C．2 018 D．8解析：选D.设g(x)＝a sin x＋bx3，∴f(x)＝g(x)＋4，且g(－x)＝－g(x)，所以f(2 017)＋f(－2 017)＝g(2 017)＋4＋g(－2 017)＋4＝8，又因为f′(x)＝a cos x＋3bx2，所以f′(x)为R上的偶函数，则f′(2 018)－f′(－2 018)＝0，所以f(2 017)＋f(－2 017)＋f′(2 018)－f′(－2 018)＝8，故选D.3．已知函数y＝f(x)及其导函数y＝)(xf'的图象如图所示，则曲线y＝f(x)在点P处的切线方程是________．解析：根据导数的几何意义及图象可知，曲线y＝f(x)在点P处的切线的斜率k＝f′(2)＝1，又过点P(2,0)，所以切线方程为x－y－2＝0.答案：x－y－2＝04．已知函数f(x)的导函数为)(xf'，且满足f(x)＝3x2＋2x·)2(f'，则)5(f'＝________.解析：对f(x)＝3x2＋2x)2(f'求导，得f′(x)＝6x＋2)2(f'．令x＝2，得)2(f'＝－12.再令x＝5，得f′(5)＝6×5＋2)2(f'＝6.答案：65．设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(e x)＝x＋e x，则f′(1)＝________.解析：设e x＝t，则x＝ln t(t＞0)，∴f(t)＝ln t＋t，∴f′(t)＝1t＋1，∴f′(1)＝2.答案：26．若函数f(x)＝12x2－ax＋ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．解析：∵f(x)＝12x2－ax＋ln x，∴f′(x)＝x－a＋1x.∵f(x)存在垂直于y轴的切线，∴f′(x)存在零点，x＋1x－a＝0，∴a＝x＋1x≥2.答案：[2，＋∞)。

浙江省2020版高考数学第四章导数及其应用第1节导数的概念与导数的计算习题(含解析)

第1节导数的概念与导数的计算考试要求 1.了解导数概念的实际背景；2.通过函数图象直观理解导数的几何意义；3.能根据导数的定义求函数y ＝c (c 为常数)，y ＝x ，y ＝1x，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 的导数；4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单复合函数(仅限于形如y ＝f (ax ＋b )的复合函数)的导数.知识梳理1.函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数(1)定义：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx＝ΔyΔx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝ Δy Δx＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx.(2)几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率.相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0). 2.函数y ＝f (x )的导函数如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的每一点处都有导数，其导数值在(a ，b )内构成一个新函数，这个函数称为函数y ＝f (x )在开区间内的导函数.记作f ′(x )或y ′. 3.基本初等函数的导数公式4.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有： (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2(g (x )≠0).5.复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积. [常用结论与易错提醒]1.f ′(x 0)与x 0的值有关，不同的x 0，其导数值一般也不同.2.f ′(x 0)不一定为0，但[f (x 0)]′一定为0.3.奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数.4.函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.基础自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)f ′(x 0)与(f (x 0))′表示的意义相同.( ) (2)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点.( ) (3)(2x )′＝x ·2x －1.( )(4)若f (x )＝e 2x，则f ′(x )＝e 2x.( )解析 (1)f ′(x 0)是函数f (x )在x 0处的导数，(f (x 0))′是常数f (x 0)的导数即(f (x 0))′＝0；(3)(2x )′＝2xln 2； (4)(e 2x)′＝2e 2x.答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× 2.函数y ＝x cos x －sin x 的导数为( ) A.x sin x B.－x sin x C.x cos xD.－x cos x解析 y ′＝(x cos x )′－(sin x )′＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x . 答案 B3.(2018·全国Ⅱ卷)曲线y ＝2ln(x ＋1)在点(0，0)处的切线方程为________________. 解析 ∵y ＝2ln(x ＋1)，∴y ′＝2x ＋1.当x ＝0时，y ′＝2，∴曲线y ＝2ln(x ＋1)在点(0，0)处的切线方程为y －0＝2(x －0)，即y ＝2x . 答案 y ＝2x4.(2019·南通一调)若曲线y ＝x ln x 在x ＝1与x ＝t 处的切线互相垂直，则正数t 的值为________.解析因为y ′＝ln x ＋1，所以(ln 1＋1)(ln t ＋1)＝－1， ∴ln t ＝－2，t ＝e －2. 答案 e －25.定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝12f ′(1)e 2x －2＋x 2－2f (0)x ，则f (0)＝________；f (x )＝________.解析 ∵f (x )＝12f ′(1)e 2x －2＋x 2－2f (0)x ，∴f ′(x )＝f ′(1)e2x －2＋2x －2f (0)，∴f ′(1)＝f ′(1)＋2－2f (0)，∴f (0)＝1，即1＝12f ′(1)e －2，∴f ′(1)＝2e 2，∴f (x )＝e 2x＋x 2－2x . 答案 1 e 2x＋x 2－2x6.已知曲线y ＝e －x，则其图象上各点处的切线斜率的取值范围为________；该曲线在点(0，1)处的切线方程为________.解析由题意得y ′＝－e －x，则由指数函数的性质易得y ′＝－e －x∈(－∞，0)，即曲线y ＝e －x的图象上各点处的切线斜率的取值范围为(－∞，0).当x ＝0时，y ′＝－e －0＝－1，则曲线y ＝e －x在(0，1)处的切线的斜率为－1，则切线的方程为y －1＝－1·(x －0)，即x ＋y －1＝0.答案 (－∞，0) x ＋y －1＝0考点一导数的运算【例1】求下列函数的导数： (1)y ＝x 2sin x ； (2)y ＝cos x ex ；(3)y ＝x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2； (4)y ＝ln(2x －5).解 (1)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x .(2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x e x ′＝（cos x ）′e x－cos x （e x）′（e x ）2＝－sin x ＋cos x e x. (3)∵y ＝x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝12x sin(4x ＋π)＝－12x sin 4x ， ∴y ′＝－12sin 4x －12x ·4cos 4x＝－12sin 4x －2x cos 4x .(4)令u ＝2x －5，y ＝ln u .则y ′＝(ln u )′u ′＝12x －5·2＝22x －5，即y ′＝22x －5.规律方法求导一般对函数式先化简再求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错，常用求导技巧有：(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导； (3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导； (4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导； (6)复合函数：由外向内，层层求导. 【训练1】分别求下列函数的导数：(1)y ＝e xln x ；(2)y ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3；(3)y ＝x －sin x 2cos x2；(4)y ＝ln 1＋2x .解 (1)y ′＝(e x )′ln x ＋e x (ln x )′＝e x ln x ＋e x·1x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x e x .(2)∵y ＝x 3＋1＋1x 2，∴y ′＝3x 2－2x3.(3)∵y ＝x －12sin x ，∴y ′＝1－12cos x .(4)∵y ＝ln 1＋2x ＝12ln(1＋2x )，∴y ′＝12·11＋2x ·(1＋2x )′＝11＋2x .考点二导数的几何意义多维探究角度1 求切线的方程【例2－1】 (1)(2019·绍兴一中模拟)已知函数f (x )＝e x＋2sin x ，则f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为( ) A.x ＋y －1＝0 B.x ＋y ＋1＝0 C.3x －y ＋1＝0D.3x －y －1＝0(2)已知曲线y ＝13x 3上一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，83，则过点P 的切线方程为________.解析 (1)因为f (x )＝e x＋2sin x ，所以f ′(x )＝e x＋2cos x .所以f ′(0)＝3，f (0)＝1.由导数的几何意义可知，函数f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y －1＝3x ，即为3x －y ＋1＝0，故选C.(2)设切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，13x 30，由y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3′＝x 2，得y ′|x ＝x 0＝x 20，即过点P 的切线的斜率为x 20，又切线过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，83，若x 0≠2，则x 20＝13x 30－83x 0－2，解得x 0＝－1，此时切线的斜率为1；若x 0＝2，则切线的斜率为4. 故所求的切线方程是y －83＝x －2或y －83＝4(x －2)，即3x －3y ＋2＝0或12x －3y －16＝0.答案 (1)C (2)3x －3y ＋2＝0或12x －3y －16＝0 角度2 求参数的值【例2－2】 (1)(2019·嘉兴检测)函数y ＝x 3－x 的图象与直线y ＝ax ＋2相切，则实数a ＝( ) A.－1 B.1 C.2D.4(2)(2019·杭州质检)若直线y ＝x 与曲线y ＝e x ＋m(m ∈R ，e 为自然对数的底数)相切，则m ＝( ) A.1 B.2 C.－1D.－2解析 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧y ′＝3x 2－1＝a ①，y ＝x 3－x ＝ax ＋2 ②，将①代入②，消去a 得x 3－x ＝(3x 2－1)x ＋2，解得x ＝－1，则a ＝2，故选C. (2)设切点坐标为(x 0，e x 0＋m).由y ＝ex ＋m，得y ′＝ex ＋m，则切线的方程为y －e x 0＋m ＝e x 0＋m(x－x 0) ①，又因为切线y ＝x 过点(0，0)，代入①得x 0＝1，则切点坐标为(1，1)，将(1，1)代入y ＝ex ＋m中，解得m ＝－1，故选C.答案 (1)C (2)C 角度3 公切线问题【例2－3】 (一题多解)已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________. 解析法一 ∵y ＝x ＋ln x ， ∴y ′＝1＋1x，y ′|x ＝1＝2.∴曲线y ＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.∵y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切， ∴a ≠0(当a ＝0时曲线变为y ＝2x ＋1与已知直线平行). 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝ax 2＋（a ＋2）x ＋1消去y ，得ax 2＋ax ＋2＝0. 由Δ＝a 2－8a ＝0，解得a ＝8. 法二同法一得切线方程为y ＝2x －1.设y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切于点(x 0，ax 20＋(a ＋2)x 0＋1).∵y ′＝2ax ＋(a ＋2)，∴y ′|x ＝x 0＝2ax 0＋(a ＋2).由⎩⎪⎨⎪⎧2ax 0＋（a ＋2）＝2，ax 20＋（a ＋2）x 0＋1＝2x 0－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－12，a ＝8.答案 8规律方法 (1)求切线方程的方法：①求曲线在点P 处的切线，则表明P 点是切点，只需求出函数在点P 处的导数，然后利用点斜式写出切线方程；②求曲线过点P 的切线，则P 点不一定是切点，应先设出切点坐标，然后列出切点坐标的方程解出切点坐标，进而写出切线方程.(2)处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.【训练2】 (1)(2019·苏州调研)已知曲线f (x )＝ax 3＋ln x 在(1，f (1))处的切线的斜率为2，则实数a 的值是________.(2)若存在过点(1，0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9(a ≠0)都相切，则a 的值为( ) A.－1或－2564B.－1或214C.－74或－2564D.－74或7解析 (1)f ′(x )＝3ax 2＋1x，则f ′(1)＝3a ＋1＝2，解得a ＝13.(2)由y ＝x 3得y ′＝3x 2，设曲线y ＝x 3上任意一点(x 0，x 30)处的切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，将(1，0)代入得x 0＝0或x 0＝32.①当x 0＝0时，切线方程为y ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，y ＝ax 2＋154x －9得ax 2＋154x －9＝0，Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1542＋4·a ·9＝0得a ＝－2564. ②当x 0＝32时，切线方程为y ＝274x －274，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝274x －274，y ＝ax 2＋154x －9得ax 2－3x －94＝0，Δ＝32＋4·a ·94＝0得a ＝－1.综上①②知，a ＝－1或a ＝－2564.答案 (1)13(2)A基础巩固题组一、选择题1.若f (x )＝2xf ′(1)＋x 2，则f ′(0)等于( ) A.2 B.0 C.－2D.－4解析 ∵f ′(x )＝2f ′(1)＋2x ，∴令x ＝1，得f ′(1)＝－2， ∴f ′(0)＝2f ′(1)＝－4. 答案 D2.设曲线y ＝e ax－ln(x ＋1)在x ＝0处的切线方程为2x －y ＋1＝0，则a ＝( ) A.0 B.1 C.2D.3解析 ∵y ＝e ax－ln(x ＋1)，∴y ′＝a e ax－1x ＋1，∴当x ＝0时，y ′＝a －1.∵曲线y ＝e ax－ln(x ＋1)在x ＝0处的切线方程为2x －y ＋1＝0，∴a －1＝2，即a ＝3.故选D. 答案 D3.曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线平行于直线y ＝2x －1，则P 点的坐标为( ) A.(1，3)B.(－1，3)C.(1，3)或(－1，3)D.(1，－3)解析 f ′(x )＝3x 2－1，令f ′(x )＝2，则3x 2－1＝2，解得x ＝1或x ＝－1，∴P (1，3)或(－1，3)，经检验，点(1，3)，(－1，3)均不在直线y ＝2x －1上，故选C. 答案 C4.(2019·诸暨统考)已知f (x )的导函数为f ′(x )，若满足xf ′(x )－f (x )＝x 2＋x ，且f (1)≥1，则f (x )的解析式可能是( )A.x 2－x ln x ＋x B.x 2－x ln x －x C.x 2＋x ln x ＋xD.x 2＋2x ln x ＋x解析由选项知f (x )的定义域为(0，＋∞)，由题意得xf ′（x ）－f （x ）x 2＝1＋1x，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）x ′＝1＋1x ，故f （x ）x ＝x ＋ln x ＋c (c 为待定常数)，即f (x )＝x 2＋(ln x ＋c )x .又f (1)≥1，则c ≥0，故选C.答案 C5.(一题多解)(2018·全国Ⅰ卷)设函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax .若f (x )为奇函数，则曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为( )A.y ＝－2xB.y ＝－xC.y ＝2xD.y ＝x解析法一因为函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax 为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，所以(－x )3＋(a －1)(－x )2＋a (－x )＝－[x 3＋(a －1)x 2＋ax ]，所以2(a －1)x 2＝0.因为x ∈R ，所以a ＝1，所以f (x )＝x 3＋x ，所以f ′(x )＝3x 2＋1，所以f ′(0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为y ＝x .故选D.法二因为函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax 为奇函数，所以f (－1)＋f (1)＝0，所以－1＋a －1－a ＋(1＋a －1＋a )＝0，解得a ＝1，此时f (x )＝x 3＋x (经检验，f (x )为奇函数)，所以f ′(x )＝3x 2＋1，所以f ′(0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为y ＝x .故选D.法三易知f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ＝x [x 2＋(a －1)x ＋a ]，因为f (x )为奇函数，所以函数g (x )＝x 2＋(a －1)x ＋a 为偶函数，所以a －1＝0，解得a ＝1，所以f (x )＝x 3＋x ，所以f ′(x )＝3x 2＋1，所以f ′(0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为y ＝x .故选D. 答案 D6.已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A.－1B.0C.2D.4解析由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，∴f ′(3)＝－13.∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，又由题图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0.答案 B 二、填空题7.(2018·天津卷)已知函数f (x )＝e xln x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(1)的值为________.解析由题意得f ′(x )＝e x ln x ＋e x·1x，则f ′(1)＝e.答案 e8.(2018·全国Ⅲ卷)曲线y ＝(ax ＋1)e x在点(0，1)处的切线的斜率为－2，则a ＝________. 解析 y ′＝(ax ＋1＋a )e x，由曲线在点(0，1)处的切线的斜率为－2，得y ′|x ＝0＝(ax ＋1＋a )e x|x ＝0＝1＋a ＝－2，所以a ＝－3. 答案－39.(2018·台州调考)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数，若f ′(1)＝3，则a 的值为__________；f (x )在x ＝1处的切线方程为________. 解析 f ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x )，由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ，又f ′(1)＝3，所以a ＝3.f (x )＝3x ln x ，f (1)＝0，∴f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝3(x －1)，即为3x －y －3＝0.答案 3 3x －y －3＝010.设曲线y ＝e x在点(0，1)处的切线与曲线y ＝1x(x ＞0)在点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________.解析 y ′＝e x ，曲线y ＝e x 在点(0，1) 处的切线的斜率k 1＝e 0＝1.设P (m ，n )，y ＝1x(x ＞0)的导数为y ′＝－1x 2(x ＞0)，曲线y ＝1x (x ＞0)在点P 处的切线斜率k 2＝－1m2(m ＞0)，因为两切线垂直，所以k 1k 2＝－1，所以m ＝1，n ＝1，则点P 的坐标为(1，1). 答案 (1，1) 三、解答题11.已知点M 是曲线y ＝13x 3－2x 2＋3x ＋1上任意一点，曲线在M 处的切线为l ，求： (1)斜率最小的切线方程；(2)切线l 的倾斜角α的取值范围.解 (1)y ′＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1≥－1，∴当x ＝2时，y ′min ＝－1，y ＝53， ∴斜率最小的切线过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，53，斜率k ＝－1， ∴切线方程为3x ＋3y －11＝0.(2)由(1)得k ≥－1，∴tan α≥－1，又∵α∈[0，π)，∴α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 故α的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 12.已知曲线y ＝13x 3＋43. (1)求曲线在点P (2，4)处的切线方程；(2)求曲线过点P (2，4)的切线方程.解 (1)∵P (2，4)在曲线y ＝13x 3＋43上，且y ′＝x 2， ∴在点P (2，4)处的切线的斜率为y ′|x ＝2＝4.∴曲线在点P (2，4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2，4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎪⎫x 0，13x 30＋43，则切线的斜率为y ′|x ＝x 0＝x 20.∴切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20·x －23x 30＋43.∵点P (2，4)在切线上，∴4＝2x 20－23x 30＋43，即x 30－3x 20＋4＝0，∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0， ∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为x －y ＋2＝0或4x －y －4＝0.能力提升题组13.(2018·萧山月考)已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f ′2(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N *，则f 2 018(x )等于( )A.－sin x －cos xB.sin x －cos xC.－sin x ＋cos xD.sin x ＋cos x解析 ∵f 1(x )＝sin x ＋cos x ，∴f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ，∴f 3(x )＝f 2′(x )＝－sin x －cos x ，∴f 4(x )＝f 3′(x )＝－cos x ＋sin x ，∴f 5(x )＝f 4′(x )＝sin x ＋cos x ，∴f n (x )是以4为周期的函数，∴f 2 018(x )＝f 2(x )＝－sin x ＋cos x ，故选C.答案 C14.(2019·无锡模拟)关于x 的方程2|x ＋a |＝e x有3个不同的实数解，则实数a 的取值范围为________.解析由题意，临界情况为y ＝2(x ＋a )与y ＝e x 相切的情况，y ′＝e x ＝2，则x ＝ln 2，所以切点坐标为(ln 2，2)，则此时a ＝1－ln 2，所以只要y ＝2|x ＋a |图象向左移动，都会产生3个交点，所以a >1－ln 2，即a ∈(1－ln 2，＋∞).答案 (1－ln 2，＋∞)15.若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln(x ＋1)的切线，则b ＝________.解析 y ＝ln x ＋2的切线为：y ＝1x 1·x ＋ln x 1＋1(设切点横坐标为x 1). y ＝ln(x ＋1)的切线为：y ＝1x 2＋1x ＋ln(x 2＋1)－x 2x 2＋1(设切点横坐标为x 2). ∴⎩⎪⎨⎪⎧1x 1＝1x 2＋1，ln x 1＋1＝ln （x 2＋1）－x 2x 2＋1，解得x 1＝12，x 2＝－12，∴b ＝ln x 1＋1＝1－ln 2. 答案 1－ln 216.(2019·湖州适应性考试)已知函数f (x )＝|x 3＋ax ＋b |(a ，b ∈R )，若对任意的x 1，x 2∈[0，1]，f (x 1)－f (x 2)≤2|x 1－x 2|恒成立，则实数a 的取值范围是________.解析当x 1＝x 2时，f (x 1)－f (x 2)≤2|x 1－x 2|恒成立；当x 1≠x 2时，由f (x 1)－f (x 2)≤2|x 1－x 2|得f （x 1）－f （x 2）|x 1－x 2|≤2，故函数f (x )在(0，1)上的导函数f ′(x )满足|f ′(x )|≤2，函数y ＝x 3＋ax ＋b 的导函数为y ′＝3x 2＋a ，其中[0，1]上的值域为[a ，a ＋3]，则有⎩⎪⎨⎪⎧|a |≤2，|a ＋3|≤2，解得－2≤a ≤－1.综上所述，实数a 的取值范围为[－2，－1]. 答案 [－2，－1]17.设函数f (x )＝ax －b x，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明曲线f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值.解 (1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3，当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋b x 2，于是⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x . (2)设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)，即y －⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0).令x ＝0，得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－6x 0.令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0，2x 0).所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为S ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为定值，且此定值为6.18.如图，从点P 1(0，0)作x 轴的垂线交曲线y ＝e x于点Q 1(0，1)，曲线在Q 1点处的切线与x 轴交于点P 2.再从P 2作x 轴的垂线交曲线于点Q 2，依次重复上述过程得到一系列点：P 1，Q 1；P 2，Q 2；…；P n ，Q n ，记P k 点的坐标为(x k ，0)(k ＝1，2，…，n ).(1)试求x k 与x k －1的关系(k ＝2，…，n )；(2)求|P 1Q 1|＋|P 2Q 2|＋|P 3Q 3|＋…＋|P n Q n |. 解 (1)设点P k －1的坐标是(x k －1，0)， ∵y ＝e x ，∴y ′＝e x， ∴Q k －1(x k －1，e x k －1)，在点Q k －1(x k －1，e x k －1)处的切线方程是y －e x k －1 ＝e x k －11(x －x k －1)，令y ＝0，则 x k ＝x k －1－1(k ＝2，…，n ).(2)∵x 1＝0，x k －x k －1＝－1， ∴x k ＝－(k －1)，∴|P k Q k |＝e xk ＝e －(k －1)，于是有|P 1Q 1|＋|P 2Q 2|＋|P 3Q 3|＋…＋|P n Q n | ＝1＋e －1＋e －2＋…＋e －(n －1) ＝1－e －n 1－e －1＝e －e 1－n e －1，即|P 1Q 1|＋|P 2Q 2|＋|P 3Q 3|＋…＋|P n Q n |＝e －e 1－n e －1.。

第1课时导数的概念及运算习题和答案详解

1．y ＝ln 1x 的导函数为( )A ．y ′＝－1xB ．y′＝1xC ．y ′＝lnxD ．y′＝－ln(－x)答案 A解析 y ＝ln 1x ＝－lnx ，∴y ′＝－1x .2．(2019·人大附中月考)曲线y ＝x ＋1x －1在点(3，2)处的切线的斜率是( ) A ．2 B ．－2 C.12 D ．－12答案 D 解析 y′＝（x ＋1）′（x －1）－（x ＋1）（x －1）′（x －1）2＝－2（x －1）2，故曲线在(3，2)处的切线的斜率k ＝y′|x ＝3＝－2（3－1）2＝－12，故选D. 3．(2019·沈阳一中模拟)曲线f(x)＝2e x sinx 在点(0，f(0))处的切线方程为( ) A ．y ＝0 B ．y ＝2x C ．y ＝x D ．y ＝－2x答案 B解析 ∵f(x)＝2e x sinx ，∴f(0)＝0，f ′(x)＝2e x (sinx ＋cosx)，∴f ′(0)＝2，∴所求切线方程为y ＝2x.4．(2019·沧州七校联考)过点(－1，1)的直线l 与曲线y ＝x 3－x 2－2x ＋1相切，且(－1，1)不是切点，则直线l 的斜率是( ) A ．2 B ．1 C ．－1 D ．－2 答案 C解析设切点为(a ，b)，∵f(x)＝x 3－x 2－2x ＋1，∴b ＝a 3－a 2－2a ＋1.∴f′(x)＝3x 2－2x －2，则直线l 的斜率k ＝f′(a)＝3a 2－2a －2，则切线方程为y －(a 3－a 2－2a ＋1)＝(3a 2－2a －2)(x －a)，∵点(－1，1)在切线上，∴1－(a 3－a 2－2a ＋1)＝(3a 2－2a －2)(－1－a)．整理，得(a －1)·(a 2－1)＝0⇒a ＝1或a ＝－1. 当a ＝1时，b ＝－1，此时切点为(1，－1)；当a ＝－1时，b ＝1，此时切点为(－1，1)不合题意； ∴a ＝1，此时直线l 的斜率k ＝f′(1)＝－1，故选C.5．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为s ＝13t 3－32t 2＋2t ，那么速度为零的时刻是( ) A ．0秒 B ．1秒末C ．2秒末D ．1秒末和2秒末答案 D解析 ∵s ＝13t 3－32t 2＋2t ，∴v ＝s′(t)＝t 2－3t ＋2.令v ＝0，得t 2－3t ＋2＝0，t 1＝1或t 2＝2.6．(2019·《高考调研》原创题)设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(e x )＝x ＋e x ，则f′(2 019)＝( ) A ．1 B ．2 C.12 019 D.2 0202 019 答案 D解析令e x ＝t ，则x ＝lnt ，所以f(t)＝lnt ＋t ，故f(x)＝lnx ＋x. 求导得f′(x)＝1x ＋1，故f′(2 019)＝12 019＋1＝2 0202 019.故选D.7．(2019·山西名校联考)若函数f(x)的导函数的图像关于y 轴对称，则f(x)的解析式可能为( )A ．f(x)＝3cosxB ．f(x)＝x 3＋x 2C ．f(x)＝1＋sin2xD ．f(x)＝e x ＋x 答案 C解析 A 项中，f ′(x)＝－3sinx 是奇函数，图像关于原点对称，不关于y 轴对称；B 项中，f ′(x)＝3x 2＋2x ＝3(x ＋13)2－13，其图像关于直线x ＝－13对称；C 项中，f ′(x)＝2cos2x 是偶函数，图像关于y 轴对称；D 项中，f ′(x)＝e x ＋1，由指数函数的图像可知该函数的图像不关于y 轴对称．故选C.8．(2019·安徽百校论坛联考)已知曲线f(x)＝ax 2x ＋1在点(1，f(1))处切线的斜率为1，则实数a的值为( ) A.32 B ．－32C ．－34D.43答案 D解析由f′(x)＝2ax （x ＋1）－ax 2（x ＋1）2＝ax 2＋2ax （x ＋1）2，得f ′(1)＝3a 4＝1，解得a ＝43.故选D.9．(2019·衡水中学调研卷)已知函数f(x)＝12x 2·sinx ＋xcosx ，则其导函数f′(x)的图像大致是( )答案 C解析由f(x)＝12x 2sinx ＋xcosx ，得f′(x)＝xsinx ＋12x 2cosx ＋cosx －xsinx ＝12x 2cosx ＋cosx.由此可知，f ′(x)是偶函数，其图像关于y 轴对称，排除选项A ，B.又f′(0)＝1，故选C. 10．设a ∈R ，函数f(x)＝e x ＋a·e －x的导函数是f′(x)，且f′(x)是奇函数，则a 的值为( )A ．1B ．－12C.12 D ．－1答案 A解析因为f′(x)＝e x －ae －x ，由奇函数的性质可得f′(0)＝1－a ＝0，解得a ＝1.故选A.11．(2019·河南息县高中月考)若点P 是曲线y ＝x 2－lnx 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2距离的最小值为( ) A ．1 B. 2 C.22D. 3答案 B解析当过点P 的直线平行于直线y ＝x －2且与曲线y ＝x 2－lnx 相切时，切点P 到直线y ＝x －2的距离最小．对函数y ＝x 2－lnx 求导，得y′＝2x －1x .由2x －1x ＝1，可得切点坐标为(1，1)，故点(1，1)到直线y ＝x －2的距离为2，即为所求的最小值．故选B. 12．(2019·重庆一中期中)已知函数f(x)＝e x ＋ae －x为偶函数，若曲线y ＝f(x)的一条切线的斜率为32，则切点的横坐标等于( )A ．ln2B ．2ln2C ．2 D. 2答案 A解析因为f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(－x)，即e x ＋ae －x ＝e －x ＋ae－(－x)，解得a ＝1，所以f(x)＝e x ＋e －x ，所以f′(x)＝e x －e －x .设切点的横坐标为x 0，则f′(x 0)＝ex 0－e －x 0＝32.设t ＝ex 0(t>0)，则t －1t ＝32，解得t ＝2，即ex 0＝2，所以x 0＝ln2.故选A.13．已知y ＝13x 3－x －1＋1，则其导函数的值域为________．答案 [2，＋∞)14．已知函数f(x)＝x(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)，则f′(0)＝________．答案－120解析 f′(x)＝(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)＋x[(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)]′，所以f ′(0)＝(－1)×(－2)×(－3)×(－4)×(－5)＝－120.15．(2019·重庆巴蜀期中)曲线f(x)＝lnx ＋12x 2＋ax 存在与直线3x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是________．答案 (－∞，1]解析由题意，得f′(x)＝1x ＋x ＋a ，故存在切点P(t ，f(t))，使得1t ＋t ＋a ＝3，所以3－a ＝1t ＋t 有解．因为t>0，所以3－a ≥2(当且仅当t ＝1时取等号)，即a ≤1.16．(2016·课标全国Ⅲ，理)已知f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)＝ln(－x)＋3x ，则曲线y ＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程是________．答案 y ＝－2x －1解析由题意可得当x>0时，f(x)＝lnx －3x ，则f′(x)＝1x －3，f ′(1)＝－2，则在点(1，－3)处的切线方程为y ＋3＝－2(x －1)，即y ＝－2x －1.17．设f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f(x)＝2x 2. (1)求x<0时，f(x)的表达式；(2)令g(x)＝lnx ，问是否存在x 0，使得f(x)，g(x)在x ＝x 0处的切线互相平行？若存在，求出x 0的值；若不存在，请说明理由．答案 (1)f(x)＝－2x 2(x<0) (2)存在，x 0＝12解析 (1)当x<0时，－x>0，f(x)＝－f(－x)＝－2(－x)2＝－2x 2. ∴当x<0时，f(x)的表达式为f(x)＝－2x 2.(2)若f(x)，g(x)在x 0处的切线互相平行，则f′(x 0)＝g′(x 0)，当x>0时，f ′(x 0)＝4x 0＝g′(x 0)＝1x 0，解得，x 0＝±12.故存在x 0＝12满足条件． 18．(2019·河北卓越联盟月考)已知函数f(x)＝x 3＋x －16. (1)求曲线y ＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程；(2)直线l 为曲线y ＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标．答案 (1)y ＝13x －32(2)直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26) 解析 (1)根据题意，得f′(x)＝3x 2＋1.所以曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率k＝f′(2)＝13，所以要求的切线的方程为y＝13x－32.(2)设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f′(x0)＝3x02＋1，所以直线l的方程为y＝(3x02＋1)(x－x0)＋x03＋x0－16.又直线l过点(0，0)，则(3x02＋1)(0－x0)＋x03＋x0－16＝0，整理得x03＝－8，解得x0＝－2，所以y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，l的斜率k＝13，所以直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．。

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第一章导数及其应用
第一节导数的概念与计算答案
课后练习与提高答案：1.C 2.B 3.B 4. 310x y -+= 5. （-2,15）
6.由函数32()f x x bx cx d =+++的图像过点P （0,2），知2d =，所以32()2f x x bx cx =+++，
/2()32f x x bx c =++
由在点(1,(1))M f --处的切线方程为670x y -+=知：
/(1)1(1)6
f f -=⎧⎨-=⎩所以321126b c b c -+=⎧⎨-+-+=⎩解得：3b c ==- 故所求函数的解析式是32()332f x x x x =--+
7．分析：导数反映了函数在某点处的变化率，它的几何意义就是相应曲线在该点处切线的斜率，由于切线的斜率已知，只要确定切点的坐标，先利用导数求出切点的横坐标，再根据切点在曲线上确定切点的纵坐标，从而可求出切线方程．
解：设切点为),(00y x P ，则
x x y 4)12(2='-='，∴40='=x x y ，即440=x ，∴10=x
当10=x 时，10=y ，故切点P 的坐标为（1，1）．
∴所求切线方程为)1(41-=-x y
即.034=--y x
8．解：x y cos = ，∴.sin x y -=' 曲线在点⎪⎭⎫ ⎝⎛21,3πP 处的切线斜率是.233sin 3
-=-='=ππx y ∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率为
32， ∴所求的直线方程为⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=-33221πx y ，即02
33232=+--πy x ． 9．解：1．解法一：设43,12u y x x x u =+
-=，则
).116()12(4)116(42
233223--+-=--⋅='⋅'='x x x x x x x u u y y x u x 解法二：'⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-='⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-='x x x x x x x x x y 121241233343 .116124223⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+
-=x x x x x 2．解法一：设221
21,x u u y -=='-，则
()()
()().
21)21(2 212 42121 4212223223223x x x x
x x x x u u y y x u x ---=---=-⋅⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-='⋅'='---＝解法二：()'⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-='-212221211x x y ()
.21)21(2)
21(2)4()21(2121)21(2
1222322322
232x
x x x x x x x x --=-=-⋅--='-⋅--=--- 3．解法一：设32,sin ,2π
+===x v v u u y ，则
.324sin 2 232cos 32sin 2 2
cos 2⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=⋅⎪⎭⎫ ⎝
⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⋅⋅='⋅'⋅'='πππx x x v u v u y y x v u x 解法二：'⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+='⎥⎦⎤⎢⎣
⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+='32sin 32sin 232sin 2πππx x x y
.324sin 2 232cos 32sin 2 3232cos 32sin 2 ⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=⋅⎪⎭⎫ ⎝
⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+='⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝
⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ππππππx x x x x x 4．解法一：.1422x x x x y +=+=设422
1,x x u u y +==，则 .1211)21(2 )42()(2
1 )42(2
122
2242332142321
x
x x x x x x x x x x x x x x x u u y y x u x ++=++=++=+⋅+=+⋅='⋅'='-- 解法二：)1(1)1(222'+++⋅'='+='x x x x x x y
.12111 2222
2x x x x x ++=+++=
10．分析：仔细观察和分析各函数的结构规律，紧扣求导运算法则，联系基本函数求导公式，不具备求导法则条件的可适当进行恒等变形，步步为营，使解决问题水到渠成．
解：1．)653(2
4'+--='x x x y
.564)6(5)(3)(324--='+'-'-'=x x x x x 2．x x x x x x x x x x x x y 2cos )(cos sin cos )sin (cos sin )tan ('⋅-⋅'='⎪⎭
⎫ ⎝⎛⋅='⋅=' x
x x x x x x x x x x x x 22222c o s )s i n (c o s c o s s i n c o s s i n c o s )c o s (s i n ⋅+⋅=+⋅+= .c o s 222s i n c o s s i n c o s 2s i n 212222x
x x x x x x x x +=++= 3．解法一：)3)(2)(1()3(])2)(1[('+++++'++='x x x x x x y
)2)(1()3]()2)(1()2()1[(++++'++++'+=x x x x x x x
)2)(1()3)(12(+++++++=x x x x x
)2)(1()3)(32(+++++=x x x x
.111232++=x x
解法二：611623+++=x x x y ，
∴ .111232++='x x y
4．解法一：2)1()1)(1()1()1(11+'+--+'-='⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-='x x x x x x x y .)1(2)1()1()1(2
2+=+--+=x x x x 解法二：1
21+-
=x y ， 2)1()1(2)1()2()12(121+'+-+'-='+-='⎪⎭⎫ ⎝⎛+-='x x x x x y .)1(22
+=x 11．分析：解决问题，关键在于理解题意，转化、沟通条件与结论，将二者统一起来．题中涉及三个未知参数，题设中有三个独立的条件，因此，通过解方程组来确定参数a 、b 、c 的值是可行的途径．
解：∵曲线c bx ax y ++=2
过)1,1(P 点，
∴1=++c b a ① b ax y +='2 ，∴b a y x +='=42
∴14=+b a ②
又曲线过)1,2(-Q 点，∴124-=++c b a ③．
联立解①、②、③得.9,11,3=-==c b a。