推荐生数学试题及答案
重点高中招收保送生考试数学试题及答案
B CFE 重点高中招收保送生考试数学试题一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列计算正确的是 （ ） A ．633x y x= B. 532)(m m =C. 22212x x=- D. 336)()(a a a -=-÷-2. 已知20082010+=x a ，20092010+=x b ，20102010+=x c ，则多项式ac bc ab c b a ---++222的值为 （ ）A. -3B. 3C. 2D. 13. 甲、乙、丙、丁四位同学参加校田径运动会4×100米接力跑比赛，如果任意安排四位同学的跑步顺序，那么恰好由甲将接力棒交给乙的概率是（ ） Ａ.41 Ｂ.61 Ｃ. 81Ｄ. 1214. 某工厂第二季度的产值比第一季度的产值增长了%x ，第三季度的产值又比第二季度的产值增长了%x ，则第三季度的产值比第一季度增长了 （ ） A ．%2x B ．%21x + C ．%%)1(x x ⋅+ D ．%%)2(x x ⋅+ 5. 在平面直角坐标系中，A(0,3)、B(4,1)、C(m,0).当△ABC 的周长最小时,m 的值为( )A. -3B. 3C. 2D. 1 6. 计算机是将信息转换顾二进制数进行处理的，二进制即“逢2进1”，如（1101）2表二进制数，将它换成十进制形式是132********123=⨯+⨯+⨯+⨯。
那么将二进制2)1111(转换成十进制形式是数（ ）A. 8B. 15C. 20D. 30 7. 如图，矩形ABCD 的周长是20cm ，以AB 、AD 为边向 外作正方开ABEF 和正方形ADGH 。
若正方形ABEF 和 正方形ADGH 的面积之和是682cm ，那么矩形ABCD 的面积是（ ）A. 221cmB. 162cmC. 224cmD. 92cm8. 如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 满足0=++c b a ，那么称这种方程为“凤凰方程”。
保研面试竞赛初中数学试卷
一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列数中，哪个是质数？A. 12B. 15C. 17D. 202. 已知一个数列的前三项分别为1，3，5，那么这个数列的第四项是多少？A. 7B. 9C. 11D. 133. 一个长方体的长、宽、高分别为3cm、4cm、5cm，那么它的体积是多少？A. 60cm³B. 72cm³C. 80cm³D. 90cm³4. 下列哪个图形是轴对称图形？A. 矩形B. 正方形C. 三角形D. 圆5. 下列哪个方程的解是x=2？A. 2x+3=7B. 3x-1=5C. 4x+2=8D. 5x-3=7二、填空题（每题5分，共20分）1. 两个连续奇数的和是18，那么这两个奇数分别是______和______。
2. 已知一个数的平方根是2，那么这个数是______。
3. 一个长方形的长是8cm，宽是4cm，那么它的周长是______cm。
4. 下列哪个数是负数？______。
5. 已知一个数的立方是64，那么这个数是______。
三、解答题（每题10分，共20分）1. 解下列方程：2x-3=7。
2. 一个梯形的上底是4cm，下底是8cm，高是5cm，求这个梯形的面积。
四、应用题（每题10分，共20分）1. 小明买了一本书，原价是60元，打八折后，小明付了48元。
请问这本书的现价是多少？2. 一个长方形的长是10cm，宽是6cm，将这个长方形分成两个完全相同的长方形，每个长方形的面积是多少？注意事项：1. 答题时，请将答案填写在试卷的指定位置。
2. 注意书写规范，字迹清晰。
3. 答题过程中，如有疑问，请举手询问监考老师。
4. 答题时间：60分钟。
浙江大学附属中学保送预选生素质测试数学试卷及答案真题版
浙江大学附属中学保送预选生素质测试数学试卷一、选择题（每题6分，共30分）1. 计算aa 1-等于 （ ▲ ）A.a -B.aC.a --D.a -2.计算︒-+︒︒30cos 245sin 260tan 的结果是 （ ▲ ）A.2B.2C.1D.33.A 地在河的上游,B 地在河的下游,若船从A 地开往B 地速度为v 1,从B 地返回A 地的速度为v 2,则A 、B 两地间往返一次的平均速度为 （ ▲ ） A. 221v v + B.21212v v v v + C.212v v + D.21212v v v v +4.如图,M 是△ABC 的边BC 的中点,AN 平分∠BAC,BN ⊥AN 于点N,且AB=10,BC=15,MN=3.则△ABC 的周长等于 （ ▲ ） A ．38B ．39C ．40D ．415.若a,b,c,m,n,p 均为非零实数，则关于x 的方程 m(ax 2+bx +c)+n(ax 2+bx +c ）+p=0的所有解的组成不可能是 （ ▲ ） A.{1,2}B.{1,2,3}C.{1,2,3,4}D.{1,2,4,8}二、填空题(每题6分,共36分)6.若n(n ≠0)是关于x 的方程x 2+mx+2n=0的根,则m+n 的值为________________.7.若2)2(45++=++x Bx A x x x ，则常数A=___________ ,B=_____________ .8.若(3x+1)4 =ax 4+bx 3+cx 2+dx+e ，则 a-b+c-d =______________.9.如图，E 、F 分别是▱ABCD 的边AB 、CD 上的点，AF 与DE 相 交于点P ，BF 与 CE 相交于点Q ，若S △APD =10cm 2，S △BQC =20cm 2， 则阴影部分的面积为________．10.若关于x ，y 方程组⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 的解为⎩⎨⎧==65y x ，则方程11.如图，在平面直角坐标系xOy 中，多边形OABCDE 的顶点坐标分别是O （0，0），A （0，6），B （4，6），C （4，4），D （6，4），E （6，0）．若直线l 经过点M （2，3），且将多边形OABCDE 分割成面积相等的两部分，则直线l 的函数表达式是.三、解答题(第12题16分,第13题18分,共34分)12.如图，AB 为⊙O 的直径，直线CD 与⊙O 相切于点D ，AC ⊥CD ，DE ⊥AB ，C 、E 为垂足，连接AD ，BD ．若AC=4，DE=3，求BD 的长．13.某公司计划投资A、B两种金融产品,根据市场调查与预测,A产品的利润W 与投资量x成正比例,其关系如图1,B产品的利润P与投资量x的算术平方根成正比例,其关系如图2,(注:利润与投资量单位:万元)( I )分别将A、B两产品的利润W,P表示为投资量x的函数关系式.（Ⅱ)该公司已有10万元资金,并全部投入A、B两种产品中,公司获得的总利润为y万元,问:怎样分配这10万元投资,才能使公司获得最大利润?其最大利润为多少万?浙江大学附属中学保送预选生素质测试6. -27.A=2，B=38. 15 9. 3010. ⎩⎨⎧==84y x11. 31131+-=x y12.【解答】解：因为CD 与⊙O 相切于点D ，所以∠CDA=∠DBA ，…（2分）又因为AB 为⊙O 的直径，所以∠ADB=90°． 又DE ⊥AB ，所以△EDA ∽△DBA ，所以∠EDA=∠DBA ，所以∠EDA=∠CDA ．…（4分） 又∠ACD=∠AED=90°，AD=AD ，所以△ACD ≌△AED ． 所以AE=AC=4，所以AD=5，…（6分）13.。
济南名校数学推荐生试题及答案
推荐生选拔测试数学试题一、选择题（每小题5分，共25分）1、下列图中阴影部分面积与算式2131242-⎛⎫-++ ⎪⎝⎭的结果相同的是（ ）2、一个长方体的三视图如图所示，若其俯视图为正方形，则这个长方体的高和底面边长分别为（ ）A ．3，22B ．2，22C ．3，2D ．2，33、如图，∠ACB ＝60○，半径为2的⊙O 切BC 于点C ，若将⊙O 在CB 上向右滚动，则当滚动到⊙O 与CA 也相切时，圆心O 移动的水平距离为（ ）A. 32B. πC. 2πD. 44、如果多项式212x px ++可以分解成两个一次因式的积，那么整数p 的值可取 （ ）个A ．4 B. 5 C. 8 D. 65、小明、小林和小颖共解出100道数学题，每人都解出了其中的60道，如果将其中只有1人解出的题叫做难题，2人解出的题叫做中档题，3人都解出的题叫做容易题，那么难题比容易题多（ ）道A. 15B. 20C. 25D. 30 二、填空题（每小题6分，共30分）第2题图主视图 左视图俯视图223OEDBAC· 6、计算：82-= .7、满足方程532=-++x x 的x 的取值范围是 . 8、设M 是ABC ∆的重心（即M 是中线AD 上一点，且AM=2MD ），过M 的直线分别交边AB 、AC 于 P 、Q 两点，且n QC AQ m PB AP ==,，则=+nm 11 . 9、在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都是整数的点（y x ,）称为整点，如果将二次函数43982-+-=x x y 的图像与x 轴所围成的封闭图形染成红色，则此红色区域内部及其边界上的整点个数有 个.10、已知：M （2，1），N （2，6）两点，反比例函数x k y =与线段MN 相交，过反比例函数xk y =上任意一点P 作y 轴的垂线PG,G 为垂足，O 为坐标原点，则△OGP 面积S 的取值范围是_______________.三、解答题（共45分，写出必要的文字说明。
山东省实验中学推荐生真题--带答案--汇编--山东中考
省实验推荐生真题解析一、选择题1.已知a为实数，且a3+a2﹣a+2＝0，则（a+1）2017+（a+1）2016+（a+1）2015的值是？【考点】此题考查高阶因式分解（因式定理），此题为竞赛试题难度大。
【分析】首先对a3+a2﹣a+2＝0进行因式分解，转化为（a+2）（a2﹣a+1）＝0，因而可得a+2＝0或a2﹣a+1＝0，分别针对这两个式子根据a是实数来讨论a的取值．进而求出（a+1）2017+（a+1）2016+（a+1）2015的值．【解答】解：∵a3+a2﹣a+2＝0，（a3+1）+（a2﹣a+1）＝0，（a+1）（a2﹣a+1）+（a2﹣a+1）＝0，（a+1+1）（a2﹣a+1）＝0（a+2）（a2﹣a+1）＝0∴a+2＝0或a2﹣a+1＝0①当a+2＝0时，即a+1＝﹣1，则（a+1）2017+（a+1）2016+（a+1）2015＝﹣1．②当a2﹣a+1＝0，因为a是实数，而△＝1﹣4＝﹣3＜0，所以a无解．2.3.【分析】欲求这样的点P，根据三角形面积公式，利用同底等高的面积相等即可求出这样的点，如下图所示．【解答】解：①做AB的中垂线DH，做直线BE，两线交于Q，＝S△BCD，根据利用等底同高的面积相等，S△QCD∵Q在AB的中垂线上，∴BQ＝AQ，则：Q点符合要求；②在CD的另一侧AB垂直平分线上可以找到一个到CD的距离等于B到CD的距离相等的点MS△MCD＝S△BCD，MA＝MB则：M点符合要求；③以B为圆心，以BA为半径画弧交直线BE于S、F，S△SCD＝S△BCD，S△BCD＝S△FCD，AB＝BS＝BF则：点S、F符合要求；④点E也符合要求：因为S△BCD＝S△ECD且AE＝AB；综上可得，点S、E、M、Q、F即为所求的点P的位置．故有5个这样的点P．故选：D．4.已知|1﹣x| 2x﹣5，求x的取值范围．【考点】此题考查绝对值以及二次根式的相关性质与应用，以及分类讨论的思想，此题为竞赛试题，难度大。
初中招生数学测试卷及答案
一、选择题（每题2分，共20分）1. 下列各数中，正整数是（）A. -2B. 0C. 3D. -1/22. 如果a > 0，b < 0，那么下列不等式中正确的是（）A. a > bB. a < bC. a ≥ bD. a ≤ b3. 下列各式中，正确的是（）A. 3a + 2b = 3a + b + 2bB. 2(a + b) = 2a + 2b + 2C. (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2D. (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^24. 下列各图中，三角形面积最大的是（）A. 三角形ABCB. 三角形DEFC. 三角形GHID. 三角形JKL5. 如果x^2 - 3x + 2 = 0，那么x的值是（）A. 1B. 2C. 1或2D. 无法确定6. 下列各数中，有理数是（）A. √3B. √2C. πD. -√57. 如果a、b、c是等差数列，那么下列各式中，正确的是（）A. a + b + c = 3aB. a + b + c = 2aC. a + b + c = 2bD. a + b + c = 2c8. 下列各图中，等腰三角形是（）A. 三角形ABCB. 三角形DEFC. 三角形GHID. 三角形JKL9. 如果x^2 - 4x + 4 = 0，那么x的值是（）A. 2B. 1C. 0D. 无法确定10. 下列各数中，无理数是（）A. √9B. √16C. √25D. √-1二、填空题（每题2分，共20分）11. （2分）若a、b、c成等差数列，且a + b + c = 12，那么a = __________，b = __________，c = __________。
12. （2分）如果x^2 - 5x + 6 = 0，那么x = __________。
13. （2分）如果a、b、c成等比数列，且a + b + c = 9，那么abc =__________。
20110521年推荐生考试试卷
虎门外语学校2011年六年级升初一年级推荐生考试数学试题（时间：90分钟 满分：150分）题号第一部分（100分） 第二部分 （50分） 总分 （150分）一 二三 四五六附加题得分第一部分 加深理解，打好基础(100分)一、填空题（每小题2分，共26分）1、一本书有120页，两天读完。
第二天读了全书的25，第二天从 页读起的。
2、a 和b 互为倒数，c 和d 互为倒数，用这四个数组成一个比例式： ∶ = ∶3、553335,,,,106251814这几个分数中,不能化成有限小数的有。
4、用最小的一位数、最小的质数、最小的合数和三个0组成六位数，一个“零”都不读出的最小六位数是___________。
5、45与56这两个数中，分数值比较大的是 ，分数单位比较小的是 。
6、一根绳子，如果剪去它的12，还剩5.2米；如果剪去12米，还剩 米。
7、一项工程,甲、乙合作6天完成；甲独做10天完成，乙独做 天完成。
8、学校合唱队人数在40至60人之间，男生与女生的人数比是7∶6，合唱队中男生有 人。
9、一本数学大辞典售价80元，利润是成本的25％，如果把利润提高到35％，那么应提高售价______元。
10、一个数的近似数是0.050这个数必须大于或等于__________且小于__________。
11、把自然数a 和b 分解质因数得到：a=2×5×7×m ，b=3×5×m,如果a 和b 的最小公倍数是2730，那么m=___________。
12、一种水生植物覆盖某湖的面积每天扩大一倍，18天覆盖了整个湖面，那么经过16天覆盖整个湖面的_________。
现所读学校 姓名 准考证号请 勿 在 装 订 线 内 答 题13、小明给姑姑家打电话，忘记了其中的一个号码，只记得是866※4586，他随意拨打，恰好拨通的可能性是______。
二、选择题（每小题2分，共10分）1.总是相等的两个量（）。
2014年九年级数学推荐生考试调研试卷及答案
1、如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(0,4)，点B的坐标为(4,0)，点C的坐标为(－4,0)，点P在射线AB上运动，连结CP与y轴交于点D，连结BD．过P、D、B三点作⊙Q，与y轴的另一个交点为E，延长DQ交⊙Q于F，连结EF、BF．（1）求直线AB的函数解析式；（2）当点P在线段AB（不包括A、B两点）上时．①求证：∠BDE＝∠ADP；②设DE＝x，DF＝y，请求出y关于x的函数解析式；（3）请你探究：点P在运动过程中，是否存在以B、D、F为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2∶1？如果存在，求出此时点P的坐标；如果不存在，请说明理由．答案（1）直线AB的函数解析式为y＝－x＋4．（2）①如图2，∠BDE＝∠CDE＝∠ADP；②如图3，∠ADP＝∠DEP＋∠DPE，如图4，∠BDE＝∠DBP＋∠A，因为∠DEP＝∠DBP，所以∠DPE＝∠A＝45°．所以∠DFE＝∠DPE＝45°．因此△DEF是等腰直角三角形．于是得到y=．图2 图3 图4（3）①如图5，当BD∶BF＝2∶1时，P(2,2)．思路如下：由△DMB∽△BNF，知122B N D M==．设OD＝2m，FN＝m，由DE＝EF，可得2m＋2＝4－m．解得23m=．因此4(0,)3D．再由直线CD与直线AB求得交点P(2,2)．②如图6，当BD∶BF＝1∶2时，P(8,－4)．思路同上．图5 图62、如图，菱形ABCD的边长为2厘米，∠DAB＝60°．点P从AAC 向C作匀速运动；与此同时，点Q也从点A出发，以每秒1厘米的速度沿射线作匀速运动．当点P到达点C时，P、Q都停止运动．设点P运动的时间为t秒．（1）当P异于A、C时，请说明PQ//BC；（2）以P为圆心、PQ长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t为怎样的值时，⊙P与边BC分别有1个公共点和2个公共点？答案（1）因为2AQ tAB=，2AP tAC==，所以AQ APAB AC=．因此P Q//BC．（2）如图2，由PQ＝PH＝12PC，得1)2t=．解得6t=．如图3，由PQ＝PB，得等边三角形PBQ．所以Q是A B的中点，t＝1．如图4，由PQ＝PC，得t=．解得3t=如图5，当P、C重合时，t＝2．因此，当6t=或1＜t≤3t＝2时，⊙P与边BC有1个公共点．当6＜t≤1时，⊙P与边BC有2个公共点．图2 图3 图4 图53、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，53sin =B ，⊙B 的半径长为1，⊙B 交边CB 于点P ，点O是边AB 上的动点．（1） 如图1，将⊙B 绕点P 旋转180°得到⊙M ，请判断⊙M 与直线AB 的位置关系； （2） 如图2，在（1）的条件下，当△OMP 是等腰三角形时，求OA 的长；（3）如图3，点N 是边BC 上的动点，如果以NB 为半径的⊙N 和以OA 为半径的⊙O 外切，设NB ＝y ，OA ＝x ，求y 关于x 的函数关系式及定义域．图1 图2 图3思路点拨1．∠B 的三角比反复用到，注意对应关系，防止错乱．2．分三种情况探究等腰△OMP ，各种情况都有各自特殊的位置关系，用几何说理的方法比较简单． 3．探求y 关于x 的函数关系式，作△OB N 的边OB 上的高，把△OBN 分割为两个具有公共直角边的直角三角形．满分解答（1） 在Rt △ABC 中，AC ＝6，53sin =B ， 所以AB ＝10，BC ＝8．过点M 作MD ⊥AB ，垂足为D ．在Rt △BMD 中，BM ＝2，3sin 5MD B BM ==，所以65MD =．因此MD ＞MP ，⊙M 与直线AB 相离．（2）①如图4，MO ≥MD ＞MP ，因此不存在MO ＝MP 的情况．②如图5，当PM ＝PO 时，又因为PB ＝PO ，因此△BOM 是直角三角形． 在Rt △BOM 中，BM ＝2，4cos 5BO B BM ==，所以85BO =．此时425OA =．③如图6，当OM ＝OP 时，设底边MP 对应的高为OE ．在Rt △BOE 中，BE ＝32，4cos 5BE B BO ==，所以158BO =．此时658OA =．（3）如图7，过点N 作NF ⊥AB ，垂足为F ．联结ON ．当两圆外切时，半径和等于圆心距，所以ON ＝x ＋y ．在Rt △BNF 中，BN ＝y ，3sin 5B =，4cos 5B =，所以35NF y =，45BF y =．在Rt △ONF 中，4105OF AB AO BF x y =--=--，由勾股定理得ON 2＝OF 2＋NF 2．于是得到22243()(10)()55x y x y y +=--+．整理，得2505040x y x -=+．定义域为0＜x ＜5．考点伸展第（2）题也可以这样思考：如图8，在Rt △BMF 中，BM ＝2，65MF =，85BF =．在Rt △OMF 中，OF ＝8421055x x --=-，所以222426()()55OM x =-+．在Rt △BPQ 中，BP ＝1，35PQ =，45BQ =．在Rt △OPQ 中，OF ＝4461055x x --=-，所以222463()()55OP x =-+．①当MO ＝MP ＝1时，方程22426()()155x -+=没有实数根．②当PO ＝PM ＝1时，解方程22463()()155x -+=，可得425x OA ==③当OM ＝OP 时，解方程22426()()55x -+22463()()55x =-+，可得658x OA ==．4、如图，A(－5,0)，B(－3,0)，点C在y轴的正半轴上，∠CBO＝45°，CD//AB，∠CDA＝90°．点P从点Q(4,0)出发，沿x轴向左以每秒1个单位长的速度运动，运动时间为t秒．（1）求点C的坐标；（2）当∠BCP＝15°时，求t的值；（3）以点P为圆心，PC为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．（1）点C的坐标为(0,3)．（2）如图2，当P在B的右侧，∠BCP＝15°时，∠PCO＝30°，4t=如图3，当P在B的左侧，∠BCP＝15°时，∠CPO＝30°，4t=+图2 图3 （3）如图4，当⊙P与直线BC相切时，t＝1；如图5，当⊙P与直线DC相切时，t＝4；如图6，当⊙P与直线AD相切时，t＝5.6．图4 图5 图65、如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点．（1）求直线AC的解析式及B、D两点的坐标；（2）点P是x轴上的一个动点，过P作直线l//AC交抛物线于点Q．试探究：随着点P的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以A、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（3）请在直线AC上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标．图1 思路点拨1．第（2）题探究平行四边形，按照AP为边或者对角线分两种情况讨论．2．第（3）题是典型的“牛喝水”问题，构造点B关于“河流”AC的对称点B′，那么M落在B′D 上时，MB＋MD最小，△MBD的周长最小．满分解答（1）由y＝－x2＋2x＋3＝－(x＋1)(x－3)＝－(x－1)2＋4，得A(－1, 0)、B(3, 0)、C(0, 3)、D(1, 4)．直线AC的解析式是y＝3x＋3．（2）Q1(2, 3)，Q2(13-)，Q3(13-)．（3）设点B关于直线AC的对称点为B′，联结BB′交AC于F．联结B′D，B′D与交AC的交点就是要探求的点M．作B′E⊥x轴于E，那么△BB′E∽△BAF∽△CAO．在Rt△BAF中，13AF BF==AB＝4，所以BF=．在Rt△BB′E中，'13B E BE=='2BB BF==，所以12'5B E=，365BE=．所以3621355OE BE OB=-=-=．所以点B′的坐标为2112(,)55-．因为点M在直线y＝3x＋3上，设点M的坐标为(x, 3x＋3)．由''''''DD MMB D B M=，得''''yD yB yM yBxD xB xM xB--=--．所以1212433552121155xx-+-=++．解得935x=．所以点M的坐标为9132(,)3535．图2 图3考点伸展第（2）题的解题思路是这样的：①如图4，当AP 是平行四边形的边时，CQ //AP ，所以点C 、Q 关于抛物线的对称轴对称，点Q 的坐标为(2, 3)．②如图5，当AP 是平行四边形的对角线时，点C 、Q 分居x 轴两侧，C 、Q 到x 轴的距离相等． 解方程－x 2＋2x ＋3＝－3，得1x =Q 的坐标为(13-)或(13-)．6、如图1，抛物线213922y xx =--与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，联结BC 、AC ． （1） 求AB 和OC 的长；（2） 点E 从点A 出发，沿x 轴向点B 运动（点E 与点A 、B 不重合），过点E 作BC 的平行线交AC 于点D ．设AE 的长为m ，△ADE 的面积为s ，求s 关于m 的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；（3）在（2）的条件下，联结CE ，求△CDE 面积的最大值；此时，求出以点E 为圆心，与BC 相切的圆的面积（结果保留π）．图1思路点拨1．△ADE 与△AC B 相似，面积比等于对应边的比的平方． 2．△CDE 与△ADE 是同高三角形，面积比等于对应底边的比．满分解答（1）由21319(3)(6)222y x x x x =--=+-，得A (－3,0)、B (6,0)、C (0,－9)． 所以AB ＝9，OC ＝9．（2）如图2，因为DE //CB ，所以△ADE ∽△ACB ．所以2()ADE ACB S AE S AB∆∆=．而18122ACB S AB OC ∆=⋅=，AE ＝m ，所以222811()()922ADE ACB AE m s S S m AB ∆∆==⨯=⨯=．m 的取值范围是0＜m ＜9．图2 图3（3）如图2，因为DE //CB ，所以9CD BE mAD AE m-==． 因为△C DE 与△ADE 是同高三角形，所以9CDE ADE S CD mS AD m∆∆-==．所以22291191981()222228CDE m S m m m m m ∆-=⨯=-+=--+． 当92m =时，△CDE 的面积最大，最大值为818．此时E 是AB 的中点，92BE =．如图3，作EH ⊥CB ，垂足为H ．在Rt △BOC 中，OB ＝6，OC ＝9，所以sin B =在Rt △BEH中，9sin 2EH BE B =⋅==． 当⊙E 与BC 相切时，r EH =．所以272952S r ππ==．考点伸展在本题中，△CDE 与△BEC 能否相似？如图2，虽然∠CED ＝∠BCE ，但是∠B ＞∠BCA ≥∠ECD ，所以△CDE 与△BEC 不能相似．7、已知抛物线y n＝－(x －a n )2＋a n（n 为正整数，且0＜a 1＜a 2＜…＜a n）与x 轴的交点为An －1(b n －1,0)和A n (b n ,0)．当n ＝1时，第1条抛物线y 1＝－(x －a 1)2＋a 1与x 轴的交点为A 0(0,0)和A 1(b 1,0)，其他依此类推（1） 求a 、b 的值及抛物线y 2的解析式； （2）抛物线y 3的顶点坐标为(_____，_____)；依此类推第n 条抛物线y n 的顶点坐标为(_____，_____)（用含n 的式子表示）； 所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是________________； （3）探究下列结论：①若用A n －1 A n 表示第n 条抛物线被x 轴截得的线段的长，直接写出A 0A 1的值，并求出A n －1 A n ； ②是否存在经过点A (2,0)的直线和所有抛物线都相交，且被每一条抛物线截得的线段的长度都相等？若存在，直接写出直线的表达式；若不存在，请说明理由．备用图（仅供草稿使用）思路点拨1．本题写在卷面的文字很少很少，可是卷外是大量的运算．2．最大的纠结莫过于对字母意义的理解，这道题的复杂性就体现在数形结合上． 3．这个备用图怎么用？边画边算，边算边画．满分解答（1）将A 0(0,0)代入y 1＝－(x －a 1)2＋a 1，得－a 12＋a 1＝0． 所以符合题意的a 1＝1．此时y 1＝－(x －1)2＋1＝－x (x －2)．所以A 1的坐标为(2,0)，b 1＝2． 将A 1(2,0)代入y 2＝－(x －a 2)2＋a 2，得－(2－a 2)2＋a 2＝0． 所以符合题意的a 2＝4．此时y 2＝－(x －4)2＋4＝－(x －2)(x －6)． （2）抛物线y 3的顶点坐标为(9，9)； 第n 条抛物线y n 的顶点坐标为(n 2，n 2)；所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是y ＝x ． （3）①如图1，A 0A 1＝2．由第（2）题得到，第n 条抛物线y n ＝－(x －a n )2＋a n 的顶点坐标为(n 2，n 2)． 所以y n ＝－(x －n 2)2＋n 2＝n 2－(x －n 2)2＝(n －x ＋n 2)(n ＋x －n 2)．所以第n 条抛物线与x 轴的交点坐标为A n －1(n 2－n ,0)和A n (n 2＋n ,0)． 所以A n －1 A n ＝(n 2＋n )－(n 2－n )＝2n ．②如图1，直线y ＝x －2和所有抛物线都相交，且被每一条抛物线截得的线段的长度都相等．图1考点伸展我们一起来梳理一下这道题目的备用图怎么用．第一步，由y n ＝－(x －a n )2＋a n ，得抛物线的顶点坐标为(a n , a n )．顶点的横坐标和纵坐标相等，而且已知a n ＞0，因此先画出顶点所在的射线y ＝x (x ＞0)．第二步，计算出y 1，画抛物线y 1的顶点、与x 轴的右交点． 第三步，计算出y 2，画抛物线y 2的顶点、与x 轴的右交点．8、如图1，图2，在△ABC 中，AB ＝13，BC ＝14，5cos 13ABC ∠=．探究 如图1，AH ⊥BC 于点H ，则AH ＝_____，AC ＝______，△ABC 的面积S △ABC ＝________．拓展 如图2，点D 在AC 上（可与点A 、C 重合），分别过点A 、C 作直线BD 的垂线，垂足为E 、F ．设BD ＝x ，AE ＝m ，CF ＝n ．（当点D 与点A 重合时，我们认为S △ABD ＝0）（1） 用含x ，m 或n 的代数式表示S △ABD 及S △CBD ；（2） 求(m ＋n )与x 的函数关系式，并求(m ＋n )的最大值和最小值；（3）对给定的一个x 值，有时只能确定唯一的点D ，指出这样的x 的取值范围．发现 请你确定一条直线，使得A 、B 、C 三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程），并写出这个最小值．图1 图2图3 图4答案 探究 AH ＝12，AC ＝15，S△ABC＝84．拓展 （1）S △ABD ＝12mx ，S △CBD ＝12nx ．（2）由S △ABC ＝S △ABD ＋S △CBD ，得118422mx nx +=．所以168m n x+=．由于AC 边上的高565BG =，所以x 的取值范围是565≤x ≤14．所以(m ＋n )的最大值为15，最小值为12．（3）x 的取值范围是x ＝565或13＜x ≤14．发现 A 、B 、C 三点到直线AC 的距离之和最小，最小值为565．9、某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：（1）操作发现：在等腰△ABC中，AB＝AC，分别以AB、AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连结MD和ME，则下列结论正确的是__________（填序号即可）．①AF＝AG＝12AB；②MD＝ME；③整个图形是轴对称图形；④MD⊥ME．（2）数学思考：在任意△ABC中，分别以AB、AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M 是BC的中点，连结MD和ME，则MD与ME有怎样的数量关系？请给出证明过程；（3）类比探究：在任意△ABC中，仍分别以AB、AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M 是BC的中点，连结MD和ME，试判断△MDE的形状．答：_________．图1 思路点拨1．本题图形中的线条错综复杂，怎样寻找数量关系和位置关系？最好的建议是按照题意把图形规范、准确地重新画一遍．2．三个中点M、F、G的作用重大，既能产生中位线，又是直角三角形斜边上的中线．3．两组中位线构成了平行四边形，由此相等的角都标注出来，还能组合出那些相等的角？满分解答（1）填写序号①②③④．（2）如图4，作DF⊥AB，EG⊥AC，垂足分别为F、G．因为DF、EG分别是等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE斜边上的高，所以F、G分别是AB、AC的中点．又已知M是BC的中点，所以MF、MG是△ABC的中位线．所以12MF AC=，12MG AB=，MF//AC，MG//AB．所以∠BFM＝∠BAC，∠MGC＝∠BAC．所以∠BFM＝∠MGC．所以∠DFM＝∠MGE．因为DF、EG分别是直角三角形ABD和直角三角形ACE斜边上的中线，所以12EG AC=，12DF AB=．所以MF＝EG，DF＝NG．所以△DFM≌△MGE．所以DM＝ME．（3）△MDE是等腰直角三角形．图4 图5考点伸展第（2）题和第（3）题证明△DFM ≌△MGE 的思路是相同的，不同的是证明∠DFM ＝∠MGE 的过程有一些不同．如图4，如图5，∠BFM ＝∠BAC ＝∠MGC ．如图4，∠DFM ＝90°＋∠BFM ，∠MGE ＝90°＋∠MGC ，所以∠DFM ＝∠MGE ． 如图5，∠DFM ＝90°－∠BFM ，∠MGE ＝90°－∠MGC ，所以∠DFM ＝∠MGE ．10如图1， △ABC 是以BC 为底边的等腰三角形，点A 、C 分别是一次函数334y x =-+的图像与y 轴、x 轴的交点，点B 在二次函数218y x bx c =++的图像上，且该二次函数图像上存在一点D 使四边形ABCD 能构成平行四边形．（1） 试求b 、c 的值，并写出该二次函数的解析式；（2）动点P 从A 到D ，同时动点Q 从C 到A 都以每秒1个单位的速度运动，问： ①当P 运动到何处时，由PQ ⊥AC ？②当P 运动到何处时，四边形PDCQ 的面积最小？此时四边形PDCQ 的面积是多少？图1思路点拨1．求抛物线的解析式需要代入B 、D 两点的坐标，点B 的坐标由点C 的坐标得到，点D 的坐标由AD ＝BC 可以得到．2．设点P 、Q 运动的时间为t ，用含有t 的式子把线段AP 、CQ 、AQ 的长表示出来． 3．四边形PDCQ 的面积最小，就是△APQ 的面积最大．满分解答（1）由334y x =-+，得A (0,3)，C (4,0)．由于B 、C 关于OA 对称，所以B (－4,0)，BC ＝8． 因为AD //BC ，AD ＝BC ，所以D (8,3)．将B (－4,0)、D (8,3)分别代入218y x bx c =++，得240,883.b c b c -+=⎧⎨++=⎩解得14b =-，c ＝－3．所以该二次函数的解析式为211384y x x =--．（2）①设点P 、Q 运动的时间为t ．如图2，在△APQ 中，AP ＝t ，AQ ＝AC －CQ ＝5－t ，cos ∠P AQ ＝cos ∠ACO ＝45． 当PQ ⊥AC 时，45AQ AP =．所以545t t -=．解得259AP t ==．11图2 图3②如图3，过点Q 作QH ⊥AD ，垂足为H ． 由于S △A PQ ＝2111333sin (5)2225102AP QH AP AQ PAQ t t t t ⋅=⋅∠=-⨯=-+， S △ACD ＝11831222AD OA ⋅=⨯⨯=，所以S 四边形PDCQ ＝S △ACD －S △APQ ＝2233358112()()1021028t t t --+=-+．所以当AP ＝52时，四边形PDCQ 的最小值是818． 考点伸展如果把第（2）①题改为“当P 运动到何处时，△APQ 是直角三角形？” 除了PQ ⊥AC 这种情况，还有QP ⊥AD 的情况． 这时45AP AQ =，所以455t t =-．解得209t =（如图4所示）．图4。
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2010年推荐生选拔测试数学试题
一、选择题（每小题5分，共25分）
1、下列图中阴影部分面积与算式2
131242-⎛⎫
-++ ⎪⎝⎭
的结果相同的是（ ）
2、一个长方体的三视图如图所示，若其俯视图为正方形，
则这个长方体的高和底面边长分别为（ ）
A ．3
， B ．2
， C ．3，2 D ．2，3
3、如图，∠ACB ＝60○，半径为2的⊙O 切BC 于点C ，若将⊙O 在CB 上向右滚动，则当滚动到⊙O 与CA 也相切时，圆心O 移动的水平距离为（ ）
A. 32
B. π
C. 2π
D. 4
4、如果多项式212x px ++可以分解成两个一次因式的积，那么整数p 的值可取 （ ）个
A ．4 B. 5 C. 8 D. 6
5、小明、小林和小颖共解出100道数学题，每人都解出了其中的60道，如果将其中只有1
人解出的题叫做难题，2人解出的题叫做中档题，3人都解出的题叫做容易题，那么难题比容易题多（ ）道
A. 15
B. 20
C. 25
D. 30 二、填空题（每小题6分，共30分）
第2题图
主视图 左视图
俯视图
O
E
D
B
A
C
· 6= .
7、满足方程532=-++x x 的x 的取值范围是 . 8、设M 是ABC ∆的重心（即M 是中线AD 上一点，
且AM=2MD ），过M 的直线分别交边AB 、AC 于 P 、Q 两点，且
n QC
AQ
m PB AP ==,，则=+n m 11 .
9、在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都是整数的点（y x ,）称为整点，如果将二次函数
4
39
82-
+-=x x y 的图像与x 轴所围成的封闭图形染成红色，则此红色区域内部及其边界上的整点个数有 个.
10、已知：M （2，1），N （2，6）两点，反比例函数x k y =
与线段MN 相交，过反比例函数x
k y =上任意一点P 作y 轴的垂线PG,G 为垂足，O 为坐标原点，则△OGP 面积S 的取值范围是
_______________.
三、解答题（共45分，写出必要的文字说明。
） 11、（本小题20分）
如图所示，△ABC 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，点D 在⊙O 上，过点C 的切线交AD 的延长线于点E ，且AE ⊥CE ，连接CD ． （1）求证：DC =BC ；
（2）若AB =5，AC =4，求tan ∠DCE 的值．
第8题图
12、（本小题25分）
已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB<OC）是方程x2－10x＋16＝0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x＝－2．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）求此抛物线的表达式；
（3）连接AC、BC，若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E作EF∥AC 交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（4）在（3）的基础上试说明S是否存在最大值，若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时△BCE的形状；若不存在，请说明理由．
数学试题答案
1-5 BCADB
6
7、23x -≤≤ 8、1 9、25 10、6S 1≤≤ 11. 解：（1）证明：连接OC ∵OA ＝OC
∴∠OAC ＝∠OCA ∵CE 是⊙O 的切线 ∴∠OCE ＝90° ∵AE ⊥CE
∴∠AEC ＝∠OCE ＝90° ∴OC ∥AE ∴∠OCA ＝∠CAD ∴∠CAD ＝∠BAC ∴弧DC ＝弧BC
∴DC ＝BC
（2）∵AB 是⊙O 的直径 ∴∠ACB ＝90° ∴3452222=-=-=
AC AB BC
∵∠CAE ＝∠BAC ∠AEC ＝∠ACB ＝90° ∴△ACE ∽△ABC ∴AB
AC
BC EC = ∴
543=EC 5
12
=EC ∵DC ＝BC ＝3 ∴5
9
)512(32222=-=-=
CE DC ED
∴4
3
5
1259
tan ===∠EC ED DCE
12．解：（1）解方程x 2－10x ＋16＝0得x 1＝2，x 2＝8 ∵点B 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，且OB ＜OC
O
E
D
B
A
C
·
∴点B 的坐标为（2，0），点C 的坐标为（0，8） 又∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴是直线x ＝－2 ∴由抛物线的对称性可得点A 的坐标为（－6，0） （2）∵点C （0，8）在抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象上 ∴c ＝8，将A （－6，0）、B （2，0）代入表达式，得
⎩
⎪⎨⎪⎧
0＝36a －6b ＋80＝4a ＋2b ＋8 解得⎩⎨⎧
a ＝－
23
b ＝－83
∴所求抛物线的表达式为y ＝－23x 2－8
3x ＋8
（3）依题意，AE ＝m ，则BE ＝8－m ， ∵OA ＝6，OC ＝8，∴AC ＝10 ∵EF ∥AC ∴△BEF ∽△BAC ∴
EF AC ＝BE AB 即EF 10＝8－m
8
∴EF ＝40－5m 4
过点F 作FG ⊥AB ，垂足为G ，则sin ∠FEG ＝sin ∠CAB ＝4
5
∴FG EF ＝45 ∴FG ＝45·40－5m 4
＝8－m ∴S ＝S △BCE －S △BFE ＝12（8－m ）×8－12（8－m ）（8－m ）
＝12（8－m ）（8－8＋m ）＝12（8－m ）m ＝－1
2m 2
＋4m
自变量m 的取值范围是0＜m ＜8 （4）存在．
理由：∵S ＝－12m 2＋4m ＝－1
2（m －4）2＋8 且
－1
2
＜0， ∴当m ＝4时，S 有最大值，S 最大值＝8 ∵m ＝4，∴点E 的坐标为（－2，0） ∴△BCE 为等腰三角形．。