04高数B上答案A卷
04年4月全国自学考试高等数学(工本)统一考试试题及答案
-第 1 页 共 6 页-2004年上半年高等教育自学考试全国统一命题考试高等数学（工本）试题（课程代码 0023）一、单项选择题（本大题共20小题，每小题2分，共40分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．函数f(x)=xx1x 37-+-的定义域是（ ） A ．⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-37,B ．⎥⎦⎤⎝⎛-∞37,0)0,(C ．)37,0()0,( -∞D ．)37,(-∞2．设是，则数列}a {1n 2n1a n n +-=（ ） A ．单调减而下有界 B ．单调减而下无界 C ．单调增而下有界 D ．单调增而下无界3．极限=---→21x )1x ()1x cos(1lim （ ） A ．21- B ．0 C ．1D ．21 4．函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=≠-0x ,20x 22x1，在x=0处（ ）A ．左连续B ．右连续C ．连续D ．前三个均不成立5．设函数f(x)在x 0处可导，则极限=--+→h)h x (f )h x (f lim000h （ ） A ．)x (f 20' B ．)x (f 210'C ．)x (f 0'D ．06．设函数=''+-=⎰)(,11)(x f xxx 则（ ） A ．3)x 1(4+B ．2)x 1(4+--第 2 页 共 6 页-C ．3)x 1(x 2+- D ．3)x 1(x 2+7．下列结论正确的是（ ） A ．函数y=x 2在[)+∞,0上是单调减函数B ．x=0是曲线y=x 3的拐点C ．直线y=0是曲线y=|x|在点（0，0）处的切线D ．.x=0是函数y=x 3的驻点8．不定积分⎰=-dx x311（ ） A ．C x 31+-- B ．C x 31+- C ．C x 3123+--D ．C x 3132+--9．定积分⎰=+10dx x11（ ） A ．2+22lnB ．2lnC ．2-ln 4D ．1-ln 210．曲线2y 2x -=和x=|y|所围成的平面图形面积为（ ） A ．4πB ．2π C ．πD ．23π 11．在下列方程中其图形是圆柱面的方程是（ ） A ．x 2+y 2-3=0 B ．x 2+y 2+z 2-3=0 C ．x 2+y 2-z 2-3=0 D ．x 2+y 2-z-3=0 12．与平面3x-4y-5z=0平行的平面方程为（ ） A ．6x-8y+10z-9=0 B ．3x+4y-5z-8=0 C ．6x-8y-10z-7=0 D ．3x-4y+5z-10=0 13．设z=f(x,y)在（x 0,y 0）处的偏导数存在，则=∂∂)y ,x (00xz（ ）A ．x)y ,x (f )y y ,x x (f lim00000x ∆-∆+∆+→∆B ．x)y ,x (f )y ,x x (f lim 000x ∆-∆+→∆C ．x)y ,x (f )y ,x x (f lim 0x ∆-∆+→∆D ．x)y ,x (f )y ,x x (f lim 00000x ∆-∆+→∆14．函数z=(6x-x 2)(4y-y 2)的驻点个数为（ ）-第 3 页 共 6 页-A ．2B ．3C ．4D ．515．设积分区域B 是连结三点（1,1）,（4,1），（4,2）的线段所围成的三角形，则⎰⎰=σBd 4（ ） A ．4B ．6C ．8D ．1216．设G 是由坐标面和平面x+y+z=1所围成的区域，则三重积分⎰⎰⎰Gdv 化为累积分为（ ） A ．⎰⎰⎰11010dz dy dxB ．⎰⎰⎰--yx 101010dz dxdy C ．⎰⎰⎰---yx 10x 101dz dydxD ．⎰⎰⎰---xy 10z 1010dz dxdy17．微分方程是x sin xydx dy =+（ ） A ．可分离变量的微分方程 B ．齐次微分方程 C ．一阶线性齐次微分方程 D ．一阶线性非齐次微分方程 18．下列函数中，是微分方程0y 3y =-'的通解的是（ ） A ．y=e -3x+CB ．y=Ce 3xC ．y=Ce -3xD ．y=Ce x+319．设a 是非零常数，则当|q|<1时，级数∑∞=-0n n naq )1(收敛于（ ） A ．q 11- B ．q 11+ C ．q1a +D ．q1a - 20．幂级数∑∞=-1n nn )1x (的收敛区间是（ ）A ．（-1,1）B ．[)2,0C ．[)1,1-D ．(0,2)二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
2004年天津市高考理科数学真题及答案
2004年天津市高考理科数学真题及答案一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1．（5分）是虚数单位， i 3(1)(2)(i i i -++=)A ． B ．C ．D ．1i +1i --13i +13i --2．（5分）若不等式的解集为 213x x-…()A ．， B ．， [1-0)[1-)+∞C ．，D ．，(-∞1]-(-∞1](0,)-+∞3．（5分）若平面向量与向量的夹角是，且，则 b (1,2)a =-180︒||b = (b = )A ．B ．C ．D ．(3,6)-(3,6)-(6,3)-(6,3)-4．（5分）设是双曲线上一点，该双曲线的一条渐近线方程是，，分别是双P 22219x y a -=340x y +=1F 2F 曲线的左、右焦点，若，则等于 1||10PF =2||PF ()A ．2B ．18C ．2或18D ．165．（5分）若函数在区间，上的最大值是最小值的3倍，则等于 ()log (01)a f x x a =<<[a 2]a a ()A B C ．D ．14126．（5分）如图，在棱长为2的正方体中，是底面的中心，、分别是、1111ABCD A B C D -O ABCD E F 1CC 的中点，那么异面直线和所成的角的余弦值等于 AD OE 1FD ()A B C ．D ．45237．（5分）点为圆的弦的中点，则直线的方程为 (2,1)P -22(1)25x y -+=AB AB ()A ．B ．C ．D ．10x y +-=230x y +-=30x y --=250x y --=8．（5分）已知数列，那么“对任意的，点都在直线上”是“为等差数列”{}n a *n N ∈(,)n n P n a 21y x =+{}n a 的 ()A ．必要而不充分条件 B ．充分而不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．（5分）函数，，为增函数的区间是 2sin(2)6y x π=-[0x ∈])π()A ．，B ．，C ．，D ．，[0]3π[12π7]12π[3π5]6π5[6π]π10．（5分）如图，在长方体中，，，，分别过、的两个平1111ABCD A B C D -6AB =4AD =13AA =BC 11A D 行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为，．若，则截111AEA DFD V V -=11113B E B C F C V V ==123::1:4:1V V V =面的面积为 11A EFD ()A ．B ．C ．D ．1611．（5分）函数的反函数是 213(10)xy x -=-<…()A ．B ．1)3y x = (1))3y x =…C ．D ．1(1)3y x =< (1)(1)3y x =<…12．（5分）定义在上的函数既是偶函数又是周期函数．若的最小正周期是，且当，R ()f x ()f x π[0x ∈2π时，，则的值为 ()sin f x x =5()3f π()A ．B ．C ．D 12-12二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）某工厂生产、、三种不同型号的产品，产品数量之比依次为，现用分层抽样方法A B C 2:3:5抽出一个容量为的样本，样本中种型号产品有16件．那么此样本的容量 ．n A n =14．（4分）如果过两点和的直线与抛物线没有交点，那么实数的取值范围(,0)A a (0,)B a 223y x x =--a是 ． 15．（4分）若，则2004220040122004(12)()x a a x a x a x x R -=+++⋯+∈ ．（用数字作答） 010********()()()()a a a a a a a a ++++++⋯++=16．（4分）从1，3，5，7中任取2个数字，从0，2，4，6，8中任取2个数字组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有 个．（用数字作答） 三、解答题（共6小题，满分74分） 17．（12分）已知． 1tan()42πα+=（Ⅰ）求的值；tan α（Ⅱ）求的值．2sin 2cos 1cos 2ααα-+18．（12分）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量表示所选3人中女生的人ξ数．（1）求的分布列和的数学期望；ξξ（2）求“所选3人中女生人数”的概率．1ξ…19．（12分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，P ABCD -ABCD PD ⊥ABCD PD DC =E 是的中点，作交于点． PC EF PB ⊥PB F （1）证明平面； //PA EDB （2）证明平面； PB ⊥EFD （3）求二面角的大小．C PBD --20．（12分）已知函数在处取得极值． 32()3f x ax bx x =+-1x =±（Ⅰ）讨论（1）和是函数的极大值还是极小值；f (1)f -()f x（Ⅱ）过点作曲线的切线，求此切线方程．(0,16)A ()y f x =21．（12分）掷一个骰子，观察向上一面的点数，求下列事件的概率： （1）点数为偶数； （2）点数大于2且小于5．22．（14分）椭圆的中心是原点，它的短轴长为，的准线与轴相交于O (F c 0)(0)c >l x 点，，过点的直线与椭圆相交于、两点． A ||2||OF FA =A P Q （1）求椭圆的方程及离心率；（2）若，求直线的方程；0OP OQ =PQ （3）设，过点且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点，证明． (1)AP AQ λλ=> P l M FM FQ λ=-2004年天津市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1．（5分）是虚数单位， i 3(1)(2)(i i i -++=)A ． B ． C ． D ．1i +1i --13i +13i --【解答】解：，3(1)(2)3i i ii i i-++-+==-(3)13i i -+=--故选：． D 2．（5分）若不等式的解集为 213x x-…()A ．， B ．， [1-0)[1-)+∞C ．， D ．，(-∞1]-(-∞1](0,)-+∞ 【解答】解： 21211330010x x x x x x x--+⇒-⇒⇒-<…………故选：．A3．（5分）若平面向量与向量的夹角是，且，则 b (1,2)a =-180︒||b = (b = )A ．B ．C ．D ．(3,6)-(3,6)-(6,3)-(6,3)-【解答】解向量与向量的夹角是， b (1,2)a =-180︒向量与向量反向，∴b a令（则， (,2)b a λλλ==-0)λ<又， ||b =∴=解得3λ=-故 (3,6)b =-故选：．A 4．（5分）设是双曲线上一点，该双曲线的一条渐近线方程是，，分别是双P 22219x y a -=340x y +=1F 2F 曲线的左、右焦点，若，则等于 1||10PF =2||PF ()A ．2B ．18C ．2或18D ．16【解答】解：整理准线方程得，34y x =-，， ∴334a =4a =或 12||||28PF PF a ∴-==21||||28PF PF a -==或18，2||2PF ∴=故选：．C 5．（5分）若函数在区间，上的最大值是最小值的3倍，则等于 ()log (01)a f x x a =<<[a 2]a a ()A B C ．D ．1412【解答】解：， 01a << 是减函数． ()log a f x x ∴=．log 3log 2a a a a ∴= ．1log 23a a ∴=． 11log 23a ∴+=． 2log 23a ∴=-． a ∴=故选：．A 6．（5分）如图，在棱长为2的正方体中，是底面的中心，、分别是、1111ABCD A B C D -O ABCD E F 1CC 的中点，那么异面直线和所成的角的余弦值等于 AD OE 1FD ()A B C ．D ．4523【解答】解：取的中点．连接，再取的中点，连接、，则为异面直BC G 11//GC FD GC H HE OH OEH ∠线所成的角．在中，，． OEH ∆OE =HE =OH =由余弦定理，可得． cos OEH ∠=故选：．B 7．（5分）点为圆的弦的中点，则直线的方程为 (2,1)P -22(1)25x y -+=AB AB ()A ．B ．C ．D ．10x y +-=230x y +-=30x y --=250x y --=【解答】解：是圆的弦，圆心为 AB 22(1)25x y -+=(1,0)C 设的中点是满足∴AB (2,1)P -AB CP ⊥因此，的斜率 AB 1110112CP k k --===+-可得直线的方程是，化简得 AB 12y x +=-30x y --=故选：．C 8．（5分）已知数列，那么“对任意的，点都在直线上”是“为等差数列”{}n a *n N ∈(,)n n P n a 21y x =+{}n a 的 ()A ．必要而不充分条件 B ．充分而不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：点都在直线上 (,)n n P n a 21y x =+， 21n a n ∴=+ “为等差数列，∴{}n a 若“为等差数列，可设，则点都不在直线上，{}n a 22n a n =+(,)n n P n a 21y x =+对任意的，点都在直线上”是“为等差数列”的充分而不必要条件，∴*n N ∈(,)n n P n a 21y x =+{}n a 故选：．B 9．（5分）函数，，为增函数的区间是 2sin(2)6y x π=-[0x ∈])π()A ．，B ．，C ．，D ．，[0]3π[12π7]12π[3π5]6π5[6π]π【解答】解：由其增区间可由的减区间得到，2sin(2)2sin(266y x x ππ=-=--2sin(26y x π=-即， 3222262k x k πππππ+-+……k Z ∈，． 536k x k ππππ∴++……k Z ∈令，， 0k =536x ππ……故选：．C 10．（5分）如图，在长方体中，，，，分别过、的两个平1111ABCD A B C D -6AB =4AD =13AA =BC 11A D 行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为，．若，则截111AEA DFD V V -=11113BE B CF C V V ==123::1:4:1V V V =面的面积为11A EFD ()A ．B ．C ．D ．16【解答】解：由题意知，在长方体中，平面平面， 1111ABCD A B C D -11//A D EF 1111B C E F 截面是一个矩形，并且长方体的体积，∴64372V =⨯⨯=，， 123::1:4:1V V V = ∴111172126AEA DFD V V -==⨯=则，解得， 11122AE A A AD =⨯⨯⨯2AE =在直角中， 1AEA ∆1EA ==故截面的面积是 1EF EA ⨯=故选：．C 11．（5分）函数的反函数是 213(10)xy x -=-<…()A ．B ．1)3y x = (1))3y x =…C ．D ．1(1)3y x =< (1)(1)3y x =<…【解答】解：函数，可得213xy -=231log x y -=，， 231log x y =+10x -< …∴x =所以函数的反函数是：213(10)x y x -=-< (1)(1)3y x =<…故选：．D 12．（5分）定义在上的函数既是偶函数又是周期函数．若的最小正周期是，且当，R ()f x ()f x π[0x ∈2π时，，则的值为 ()sin f x x =5()3f π()A ．B ．C ．D 12-12【解答】解：的最小正周期是 ()f x π 55()(2)(333f f f ππππ∴=-=-函数是偶函数 ()f x5()(sin 333f f πππ∴===故选：．D 二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）某工厂生产、、三种不同型号的产品，产品数量之比依次为，现用分层抽样方法A B C 2:3:5抽出一个容量为的样本，样本中种型号产品有16件．那么此样本的容量 80 ． n A n =【解答】解：216235n ⨯=++80n ∴=故答案是8014．（4分）如果过两点和的直线与抛物线没有交点，那么实数的取值范围是 (,0)A a (0,)B a 223y x x =--a ． 13(,4-∞-【解答】解：过、两点的直线为：与抛物线联立得：． A B x y a +=223y x x =--230x x a ---=因为直线与抛物线没有交点，则方程无解． 即△， 14(3)0a =++<解之得． 134a <-故答案为： 13(,)4-∞-15．（4分）若，则2004220040122004(12)()x a a x a x a x x R -=+++⋯+∈ 2004 ．（用数字作答） 010********()()()()a a a a a a a a ++++++⋯++=【解答】解：令，得； 0x =01a =令，得，1x =01220041a a a a =+++⋯+故． 0102030200400122004()()()()20032004a a a a a a a a a a a a a ++++++++=++++⋯+=故答案为：200416．（4分）从1，3，5，7中任取2个数字，从0，2，4，6，8中任取2个数字组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有 300 个．（用数字作答） 【解答】解：①四位数中包含5和0的情况：．1131234322()120C C A A A += ②四位数中包含5，不含0的情况：．123343108C C A = ③四位数中包含0，不含5的情况：．21334372C C A =四位数总数为．∴12010872300++=故答案为：300．三、解答题（共6小题，满分74分） 17．（12分）已知． 1tan()42πα+=（Ⅰ）求的值；tan α（Ⅱ）求的值．2sin 2cos 1cos 2ααα-+【解答】解：（Ⅰ）解：，tantan 1tan 4tan()41tan 1tantan 4παπααπαα+++==--由，有，解得； 1tan()42πα+=1tan 11tan 2αα+=-1tan 3α=-（Ⅱ）解法一： 222sin 2cos 2sin cos cos 1cos 212cos 1ααααααα--=++-． 2sin cos 1115tan 2cos 2326αααα-==-=--=-解法二：由（1），，得 1tan 3α=-1sin cos 3αα=-， ∴222211sin cos 1cos cos 99αααα=-=∴29cos 10α=于是， 24cos 22cos 15αα=-= 223sin 22sin cos cos 35αααα==-=-代入得． 239sin 2cos 551041cos 2615ααα---==-++18．（12分）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量表示所选3人中女生的人ξ数．（1）求的分布列和的数学期望；ξξ（2）求“所选3人中女生人数”的概率．1ξ…【解答】解：（1）由题意知本题是一个超几何分步，随机变量表示所选3人中女生的人数，可能取的值为0，1，2．ξξ． 32436(),0,1,2k k C C P k k C ξ-=== 的分布列为ξ∴ξ0 1 2 P 15 35 15的数学期望为 ξ∴1310121555E ξ=⨯+⨯+⨯=（2）由（1）知“所选3人中女生人数”的概率为 1ξ…4(1)(0)(1)5P P P ξξξ==+==…19．（12分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，P ABCD -ABCD PD ⊥ABCD PD DC =E 是的中点，作交于点．PC EF PB ⊥PB F （1）证明平面；//PA EDB（2）证明平面；PB ⊥EFD （3）求二面角的大小．C PBD --【解答】解：方法一：（1）证明：连接，交于，连接．AC AC BD O EO 底面是正方形，点是的中点ABCD ∴O AC 在中，是中位线，PAC ∆EO //PA EO ∴而平面且平面，EO ⊂EDB PA ⊂/EDB 所以，平面//PA EDB（2）证明：底面且底面，PD ⊥ ABCD DC ⊂ABCD PD DC ∴⊥，可知是等腰直角三角形，而是斜边的中线，PD DC = PDC ∆DE PC ．①DE PC ∴⊥同样由底面，得．PD ⊥ABCD PD BC ⊥底面是正方形，有，平面．ABCD DC BC ⊥BC ∴⊥PDC 而平面，．②DE ⊂PDC BC DE ∴⊥由①和②推得平面．DE ⊥PBC 而平面，PB ⊂PBC DE PB ∴⊥又且，所以平面．EF PB ⊥DE EF E = PB ⊥EFD（3）解：由（2）知，，故是二面角的平面角．PB DF ⊥EFD ∠C PB D --由（2）知，，．DE EF ⊥PD DB ⊥设正方形的边长为，ABCD a则，．,PD DC a BD =====12PC PC ====在中，． Rt PDB∆PD BD DF PB == 在中，，． Rt EFD ∆sin DE EFD DF ===∴3EFD π∠=所以，二面角的大小为．C PBD --3π方法二：如图所示建立空间直角坐标系，为坐标原点，设．D DC a =（1）证明：连接，交于，连接．AC AC BD G EG 依题意得． (,0,0),(0,0,),(0,,22a a A a P a E 底面是正方形，是此正方形的中心，故点的坐标为且 ABCD G ∴G (,,0)22a a ． (,0,),(,0,)22a a PA a a EG =-=- ，这表明．∴2PA EG = //PA EG 而平面且平面，平面．EG ⊂EDB PA ⊂/EDB //PA ∴EDB（2）证明；依题意得，，，．(B a a 0)(,,)PB a a a =- 又，故． (0,,)22a a DE = 220022a a PB DE =+-= ．PB DE ∴⊥由已知，且，所以平面．EF PB ⊥EF DE E = PB ⊥EFD（3）解：设点的坐标为，，，，则，，，，．F 0(x 0y 0)z PF PB λ= 0(x 0y 0)(z a a λ-=a )a -从而，，．所以． 0x a λ=0y a λ=0(1)z a λ=-00011(,,)(,(),())2222a a FE x y z a a a λλλ=---=--- 由条件知，，即，解得 EF PB ⊥0FE PB = 22211()()022a a a λλλ-+---=13λ=点的坐标为，且， ∴F 2(,,)333a a a (,,)366a a a FE =-- 2(,,333a a a FD =--- ∴22220333a a a PB FD =--+=即，故是二面角的平面角．PB FD ⊥EFD ∠C PB D --，且，， 222291896a a a a FE FD =-+=||FE ==||FD == ．∴21cos 2||||FE FD EFD FE FD ===． ∴3EFD π∠=所以，二面角的大小为．CPB D --3π20．（12分）已知函数在处取得极值．32()3f x ax bx x =+-1x =±（Ⅰ）讨论（1）和是函数的极大值还是极小值；f (1)f -()f x （Ⅱ）过点作曲线的切线，求此切线方程．(0,16)A ()y f x =【解答】（Ⅰ）解：，依2()323f x ax bx '=+-题意，（1），f '(1)0f '=-=即 32303230.a b a b +-=⎧⎨--=⎩解得，．1a =0b =，．3()3f x x x ∴=-2()333(1)(1)f x x x x '=-=+-令，得，．()0f x '=1x =-1x =若，，，(x ∈-∞1)(1-⋃)+∞则，()0f x '>故在上是增函数，在上是增函数．()f x (,1)-∞-()f x (1,)+∞若，(1,1)x ∈-则，故在上是减函数．()0f x '<()f x (1,1)-所以，是极大值；（1）是极小值．(1)2f -=f 2=-（Ⅱ）解：曲线方程为，点不在曲线上．33y x x =-(0,16)A 设切点为，，0(M x 0)y 则点的坐标满足． M 30003y x x =-因， 200()3(1)f x x '=-故切线的方程为 20003(1)()y y x x x -=--注意到点在切线上，有 (0,16)A 32000016(3)3(1)(0)x x x x --=--化简得， 308x =-解得．02x =-所以，切点为，切线方程为．(2,2)M --9160x y -+=21．（12分）掷一个骰子，观察向上一面的点数，求下列事件的概率：（1）点数为偶数；（2）点数大于2且小于5．【解答】解：掷一个骰子，向上一面的点数可能为1，2，3，4，5，6，共6种．这些点数出现的可能性相等．（1）点数为偶数有3种可能，即点数为2，4，6，（点数为偶数）；（3分） P ∴3162==（2）点数大于2且小于5有2种可能，即点数为3，4，（点数大于2且小于．（6分） P ∴215)63=22．（14分）椭圆的中心是原点，它的短轴长为，的准线与轴相交于O (F c 0)(0)c >l x 点，，过点的直线与椭圆相交于、两点．A ||2||OF FA =A P Q （1）求椭圆的方程及离心率；（2）若，求直线的方程；0OP OQ = PQ （3）设，过点且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点，证明．(1)AP AQ λλ=> P l M FM FQ λ=- 【解答】（1）解：由题意，可设椭圆的方程为． 2221(2x y a a +=>由已知得 22222().a c a c c c ⎧-=⎪⎨=-⎪⎩解得 2a c ==所以椭圆的方程为，离心率． 22162x y +=e =（2）解：由（1）可得．(3,0)A 设直线的方程为．由方程组 PQ (3)y k x =-22162(3)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222(31)182760k x k x k +-+-=依题意△，得． 212(23)0k =->k <<设，，，，则，① 1(P x 1)y 2(Q x 2)y 21221831k x x k +=+．② 212227631k x x k -=+由直线的方程得，．于是．③ PQ 11(3)y k x =-22(3)y k x =-2212121212(3)(3)[3()9]y y k x x k x x x x =--=-++，．④0OP OQ = 12120x x y y ∴+=由①②③④得，从而． 251k=(k =所以直线的方程为或PQ 30x -=30x -=（3）证明：．1122(3,),(3,)AP x y AQ x y =-=- 由已知得方程组 1212221122223(3)162 1.62x x y y x y x y λλ-=-⎧⎪=⎪⎪⎨+=⎪⎪⎪+=⎩注意，解得 1λ>2512x λλ-=因，，，故． (2,0)F 1(M x 1)y -11211211(2,)((3)1,)(,)(,)22FM x y x y y y λλλλλ--=--=-+-=-=- 而，所以． 2221(2,)(,)2FQ x y y λλ-=-= FM FQ λ=-。
高中数学B版 必修4 教科书 课后习题 参考答案
新课标人教A高一数学必修1测试题第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共60分)1.已知A={x|y=x,x∈R},B={y|y=x2,x∈R},则A∩B等于A.{x|x∈R}B.{y|y≥0}C.{(0,0),(1,1)}D.2.方程x2-px+6=0的解集为M,方程x2+6x-q=0的解集为N,且M∩N={2},那么p+q等于A.21B.8C.6D.73. 下列四个函数中,在(0,+∞)上为增函数的是A.f(x)=3-xB.f(x)=x2-3xC.f(x)=-D.f(x)=-|x|4.函数f(x)=x2+2(a－1)x+2在区间(-∞,4〕上递减,则a的取值范围是A.〔-3,+∞〕B.(-∞,-3)C.(-∞,5〕D.〔3,+∞)5. 下列四个函数中,与y=x表示同一函数的是A.y=( )2B.y=C.y=D.y=6. 函数y= +1(x≥1)的反函数是A.y=x2-2x+2(x＜1)B.y=x2-2x+2(x≥1)C.y=x2-2x(x＜1)D.y=x2-2x(x≥1)7. 已知函数f(x)= 的定义域是一切实数,则m的取值范围是A.0<m≤4B.0≤m≤1C.m≥4D.0≤m≤48.某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：(1)如果不超过200元，则不给予优惠；(2)如果超过200元但不超过500元，则按标价给予9折优惠；(3)如果超过500元，其500元内的按第(2)条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠.某人两次去购物，分别付款168元和423元，假设他一次性购买上述两次同样的商品，则应付款是A.413.7元B.513.7元C.546.6元D.548.7元9. 二次函数y=ax2+bx与指数函数y=( )x的图象只可能是10. 已知函数f(n)= 其中n∈N，则f(8)等于A.2B.4C.6D.711．如图，设a,b,c,d>0，且不等于1，y=ax , y=bx , y=cx ,y=dx 在同一坐标系中的图象如图，则a,b,c,d的大小顺序（）A、a<b<c<dB、a<b<d<cC、b<a<d<cD、b<a<c<d12．.已知0<a<1,b<-1,函数f(x)=ax+b的图象不经过:（）A.第一象限;B.第二象限;C.第三象限;D.第四象限第Ⅱ卷(非选择题共70分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知f(x)=x2－1(x<0)，则f－1(3)=_______.14．函数的定义域为______________15.某工厂8年来某产品产量y与时间t年的函数关系如下图，则：①前3年总产量增长速度增长速度越来越快；②前3年中总产量增长速度越来越慢；③第3年后，这种产品停止生产；④第3年后，这种产品年产量保持不变.以上说法中正确的是_______.16. 函数y= 的最大值是_______.三、解答题17. 求函数y= 在区间〔2,6〕上的最大值和最小值.（10分）18.(本小题满分10分) 试讨论函数f(x)=loga (a＞0且a≠1)在(1,+∞)上的单调性,并予以证明.答案一. BACCB BDCAD BA 二。
高数试题A卷试题及答案
４．若在区间（ａ，ｂ）内恒有ｆ'（ｘ）〈０，ｆ"（ｘ）〉０，则在（ａ，ｂ）
内曲线弧ｙ＝ｆ（ｘ）为 （ ）
①上升的凸弧 ②下降的凸弧 ③上升的凹弧 ④下降的凹弧
５．设Ｆ'(x) ＝ Ｇ'(x)，则 （ ）
① Ｆ(X)＋Ｇ(X) 为常数
ｄｐ
② 设ｙ'＝ｐ，则 ｙ"＝ ───
ｄｙ
ｄｐ
③ 设ｙ'＝ｐ，则 ｙ"＝ｐ───
３．下列说法正确的是 （ ）
①若ｆ（ X ）在 X＝Xo连续， 则ｆ（ X ）在X＝Xo可导
②若ｆ（ X ）在 X＝Xo不可导，则ｆ（ X ）在X＝Xo不连续
③若ｆ（ X ）在 X＝Xo不可微，则ｆ（ X ）在X＝Xo极限不存在
④若ｆ（ X ）在 X＝Xo不连续，则ｆ（ X ）在X＝Xo不可导
_______
R √R2－ｘ2
８．累次积分∫ ｄｘ ∫ ｆ（Ｘ2 ＋ Ｙ2 ）ｄｙ 化为极坐标下的累次积分为
____________。
0 0
n=1 n=1000
二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的（ ）内，
１～１０每小题１分，１１～２０每小题２分，共３０分）
（一）每小题１分，共１０分
１
高数试题 A卷
一、填空题（每小题１分，共１０分）
________ １
１．函数ｙ＝ａｒｃｓｉｎ√１－ｘ2 ＋ ────── 的定义域为
_________
３
ｘｙ
１７．ｌｉｍ ｘｙｓｉｎ ───── ＝ （ ）
x→0 ｘ2＋ｙ2
2004年广东高考数学考试(附答案)
2004年全国普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数 学一、选择题（共12小题，每题5分，计60分）1．已知平面向量a =（3，1），b =（x ，–3），且a b ⊥，则x= （ ）A ．－3B ．－1C ．1D ．32．已知{}{}2||1|3,|6,A x x B x x x =+>=+≤则AB =（ ）A ．[)(]3,21,2--B ．(]()3,21,--+∞C ． (][)3,21,2--D ．(](],31,2-∞-3．设函数322,(2)()(2)x x f x x x a x +⎧->⎪=--⎨⎪≤⎩在x=2处连续,则a=（ ）A ．12- B ．14-C ．14 D ．134．123212lim 12311n n nn n n n n →∞--+-+-+++++（）的值为 （ ）A ．－1B ．0C ．12D ．15．函数f(x)22sin sin 44f x x x ππ=+--（）（）（）是 （ ） A ．周期为π的偶函数 B ．周期为π的奇函数 C ． 周期为2π的偶函数 D ．.周期为2π的奇函数6．一台X 型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8000,有四台这中型号的自动机床各自独立工作,则在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是 （ ） A ．0.1536 B ． 0.1808 C ． 0.5632 D ． 0.97287．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去8个三棱锥后,剩下的凸多面体的体积是 （ ） A ．23B ．76 C ． 45D ．568．若双曲线2220)x y k k -=>（的焦点到它相对应的准线的距离是2，则k= （ ）A ． 6B ． 8C ． 1D ． 49．当04x π<<时,函数22cos ()cos sin sin xf x x x x=-的最小值是 （ ）A ． 4B ．12C ．2D ．1410．变量x 、y 满足下列条件：212,2936,2324,0,0.x y x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎪⎨+=⎪⎪≥≥⎩ 则使z=3x+2y 的值最小的（x ，y ）是（ ）A ． ( 4.5 ,3 )B ． ( 3,6 )C ． ( 9, 2 )D ． ( 6, 4 ) 11．若tan 4f x x π=+（）（），则（ ）A ． 1f -（）>f (0)>f (1)B ． f （0）>f (1)>f (-1)C ． 1f （）>f (0)>f (-1)D ． f （0）>f (-1)>f (1)12．如右下图,定圆半径为 ( b ,c ), 则直线ax+by+c=0 与直线 x –y+1=0的交点在( ) A ． 第四象限 B ． 第三象限 C ．第二象限 D ． 第一象限二、填空题(共4小题，每题4分，计16分) 13．某班委会由4名男生与3名女生组成,现从中选出2人担任正副班长,其中至少有1名女生当选的概率是 (用分数作答)14．已知复数z 与 (z +2)2-8i 均是纯虚数,则 z = . 15．由图(1)有面积关系: PA B PAB S PA PB S PA PB ''∆∆''⋅=⋅，则由(2) 有体积关系:.P A B C P ABCV V '''--=16．函数10)f x In x =>（））（的反函数1().f x -=图(2)图(1)三、解答题(共6小题,74分)17． (12分)已知αβγ，，成公比为2的等比数列([]02απαβγ∈，），且s i n ，s i n ，s i n 也成等比数列. 求αβγ，，的值.18．如右下图,在长方体ABCD—A1B1C1D1中,已知AB= 4, AD =3, AA1= 2. E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB= FB=1.(1) 求二面角C—DE—C1的正切值;(2) 求直线EC1与FD1所成的余弦值.DC A19． (12分)设函数110,f x x x=->（），(1) 证明: 当0< a < b ,且()()f a f b =时,ab >1;(2) 点P (x 0, y 0 ) (0< x 0 <1 )在曲线()y f x =上,求曲线在点P 处的切线与x 轴和y 轴的正向所围成的三角形面积表达式(用x 0表达).20． (12分)某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/ s :相关各点均在同一平面上)21． (12分)设函数f x x In x m =-+（）（）， 其中常数m 为整数.(1) 当m 为何值时,0f x ≥（）；(2) 定理: 若函数g(x) 在[a, b ]上连续,且g(a) 与g(b)异号,则至少存在一点x 0∈(a,b),使g(x 0)=0.试用上述定理证明:当整数m>1时,方程f(x)= 0,在[e -ｍ-m ,e 2ｍ-m ]内有两个实根.22．(14分)设直线与椭圆2212516x y+=相交于A、B两点，又与双曲线x2–y2=1相交于C、D两点， C、D三等分线段AB．求直线的方程.2004年普通高等学校招生全国统一考试广东数学标准答案一、选择题：二、填空题：（13）75 （14）－2i (15)PCPB PA PC PB PA ⋅⋅⋅⋅''' (16))(22R x ee xx ∈+三、解答题17．解：∵α,β,γ成公比为2的等比数列，∴β=2α，γ=4α∵sin α,sin β,sin γ成等比数列21cos ,1cos 01cos cos 21cos 2cos 2sin 4sin sin 2sin sin sin sin sin 22-===---=⇒=⇔=∴ααααααααααβγαβ或解得即当cos α=1时，sin α=0,与等比数列的首项不为零，故cos α=1应舍去，316,38,3438,34,32,3432,]2,0[,21cos πγπβπαπγπβπαπαπαπαα========∈-=或所以或时当 18．解：（I ）以A 为原点，1,,AA AD AB 分别为x 轴，y 轴,z 轴的正向建立空间直角坐标系，则有D(0,3,0)、D 1(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、C 1(4,3,2)于是，)2,2,4(),2,3,1(),0,3,3(11-==-=FD EC设向量),,(z y x n =与平面C 1DE 垂直，则有22tan 36400411220101||||cos ,)2,0,0(,),2,1,1(0),2,1,1(2),2,2(21023033101011011001=∴=++⨯++⨯+⨯-⨯-=⨯=--∴=--=>--=--=∴-==⇒⎭⎬⎫=++=-⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊥⊥θθθAA n C DE C AA n CDE AA DE C n n z zz z z n z y x z y x y x EC DE n 的平面角为二面角所成的角垂直与平面向量垂直的向量是一个与平面则取其中（II ）设EC 1与FD 1所成角为β，则142122)4(2312223)4(1cos 2222221111=++-⨯++⨯+⨯+-⨯==β 19．证明：（I ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∞∈-∈-=-=),1(,11]1,0(,11|11|)(x xx xx x f 故f(x)在（0，1]上是减函数，而在（1，+∞）上是增函数，由0<a<b 且f(a)=f(b)得0<a<1<b 和ab b a ab ba b a 22211,1111>+=⇒=+-=-即 故1,1>>ab ab 即 （II ）0<x<1时，10,1)(,11|11|)(0200'<<-=∴-=-==x x f xx x f y x 曲线y=f(x)在点P （x 0，y 0）处的切线方程为：020202),(1x x xy x x y y x x -+-=--=-即∴切线与x 轴、y 轴正向的交点为)2(1,0()0),2((0000x x x x --和 故所求三角形面积听表达式为：2000000)2(21)2(1)2(21)(x x x x x x A -=-⋅-=20．解：如图，y xoABC P以接报中心为原点O ，正东、正北方向为x 轴、y 轴正向，建立直角坐标系.设A 、B 、C分别是西、东、北观测点，则A （－1020，0），B （1020，0），C （0，1020）设P （x,y ）为巨响为生点，由A 、C 同时听到巨响声，得|PA|=|PB|，故P 在AC 的垂直平分线PO 上，PO 的方程为y=－x ，因B 点比A 点晚4s 听到爆炸声，故|PB|－ |PA|=340×4=1360 由双曲线定义知P 点在以A 、B 为焦点的双曲线12222=-by a x 上， 依题意得a=680, c=1020，13405680340568010202222222222=⨯-⨯=-=-=∴y x a c b 故双曲线方程为用y=－x 代入上式，得5680±=x ，∵|PB|>|PA|,10680),5680,5680(,5680,5680=-=-=∴PO P y x 故即答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心m 10680处.21．（I ）解：函数f(x)=x-ln(x+m),x ∈(-m,+∞)连续，且m x x f mx x f -==+-=1,0)(,11)(''得令 当x ∈(-m,1-m)时,f ’（x ）<0,f(x)为减函数,f(x)>f(1-m)当x ∈(1-m, +∞)时,f ’（x ）>0,f(x)为增函数,f(x)>f(1-m) 根据函数极值判别方法，f(1-m)=1-m 为极小值，而且 对x ∈(-m, +∞)都有f(x)≥f(1-m)=1-m 故当整数m ≤1时，f(x) ≥1-m ≥0(II)证明：由（I ）知，当整数m>1时，f(1-m)=1-m<0,函数f(x)=x-ln(x+m),在]1,[m m e m --- 上为连续减函数.,)1()(,10)ln()(异号与时当整数m f m ef m e m m e m e m e f mm m m m -->>=+---=------由所给定理知，存在唯一的0)(),1,(11=--∈-x f m m e x m 使而当整数m>1时，),1121(032)12(2213)11(3)(222归纳法证明上述不等式也可用数学>-⇒>>--++>-+>-=-m m m m m m m m e m e f m m m 类似地，当整数m>1时，函数f(x)=x-ln(x+m),在],1[m e m m --- 上为连续增函数且 f(1-m)与)(2m e f m -异号，由所给定理知，存在唯一的0)(],,,1[22=--∈-x f m e m x m 使故当m>1时，方程f(x)=0在],[2m e m e m m ---内有两个实根。
2004年高考理科数学全国卷(word版含答案)
2004年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅱ）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分. 共150分. 考试时间120分钟.第I 卷（选择题 共60分）参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ） 如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P n (k)=C k n P k(1－P)n －k一、选择题 ：本大题共12小题，每小题6分，共60。
1．(1－i)2·i= （ ）A ．2－2iB ．2+2iC ．－2D ．2 2．已知函数=-=+-=)(.)(.11lg )(a f b a f xxx f 则若 （ ）A ．bB ．－bC ．b1D ．－b1 3．已知a 、b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a +3b |= （ ）A ．7B ．10C ．13D ．4 4．函数)1(11≥+-=x x y 的反函数是（ ）A ．y=x 2－2x +2(x <1) B ．y=x 2－2x +2(x ≥1)C ．y=x 2－2x (x <1)D ．y=x 2－2x (x ≥1) 5．73)12(xx -的展开式中常数项是（ ）A ．14B ．－14C ．42D ．－42 6．设A 、B 、I 均为非空集合，且满足A ⊆B ⊆I ，则下列各式中错误．．的是 （ ）A ．( IA)∪B=IB ．( IA)∪( I B)=I C ．A ∩( IB)=φD ．( I A)∪( I B)=I B 7．椭圆1422=+y x 的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点 球的表面积公式S=42R π其中R 表示球的半径， 球的体积公式V=334R π， 其中R 表示球的半径为P ，则||2PF = （ ）A ．23 B ．3C ．27 D ．48．设抛物线y 2=8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（ ）A ．[－21，21] B ．[－2，2]C ．[－1，1]D ．[－4，4]9．为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象 （ ）A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度C ．向左平移6π个单位长度D ．向左平移3π个单位长度10．已知正四面体ABCD 的表面积为S ，其四个面的中心分别为E 、F 、G 、H.设四面体EFGH 的表面积为T ，则S T等于（ ）A ．91B ．94 C ．41 D ．31 11．从数字1，2，3，4，5，中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为 （ ）A ．12513 B ．12516 C ．12518 D ．12519 12．ca bc ab a c c b b a ++=+=+=+则,2,2,1222222的最小值为 （ ）A ．3－21 B ．21－3 C ．－21－3 D ．21+3第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．不等式|x +2|≥|x |的解集是 .14．由动点P 向圆x 2+y 2=1引两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，∠APB=60°，则动点P 的轨迹方程为 .15．已知数列{a n}，满足a1=1，a n=a1+2a2+3a3+…+(n－1)a n－1(n≥2)，则{a n}的通项1, n=1,a n= ,n≥2.16．已知a、b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a、b在α上的射影有可能是 .①两条平行直线②两条互相垂直的直线③同一条直线④一条直线及其外一点在一面结论中，正确结论的编号是（写出所有正确结论的编号）.三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）求函数xx xxxxf2sin2cossincossin)(2 24 4-++=的最小正周期、最大值和最小值.18．（本小题满分12分）一接待中心有A、B、C、D四部热线电话，已知某一时刻电话A、B占线的概率均为0.5，电话C、D 占线的概率均为0.4，各部电话是否占线相互之间没有影响.假设该时刻有ξ部电话占线.试求随机变量ξ的概率分布和它的期望.19．（本小题满分12分）已知,R a ∈求函数axe x xf 2)(=的单调区间.20．（本小题满分12分）如图，已知四棱锥 P—ABCD，PB⊥AD侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD 与底面ABCD所成的二面角为120°.（I）求点P到平面ABCD的距离，Array（II）求面APB与面CPB所成二面角的大小.21．（本小题满分12分）设双曲线C ：1:)0(1222=+>=-y x l a y ax 与直线相交于两个不同的点A 、B.（I ）求双曲线C 的离心率e 的取值范围： （II ）设直线l 与y 轴的交点为P ，且.125=求a 的值.22．（本小题满分14分）已知数列1}{1 a a n 中，且 a 2k =a 2k －1+(－1)K,a 2k+1=a 2k +3k, 其中k=1,2,3,……. （I ）求a 3, a 5；（II ）求{ a n }的通项公式.2004年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修I ）参考答案一、选择题DBCBABCCBADB二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．{x |x ≥－1} 14．x 2+y 2=4 15．2!n 16．①②④ 三、解答题17．本小题主要考查三角函数基本公式和简单的变形，以及三角函娄的有关性质.满分12分.解：xx xx x x x f cos sin 22cos sin )cos (sin )(22222--+=212sin 41)cos sin 1(21)cos sin 1(2cos sin 122+=+=--=x x x x x x x所以函数f (x )的最小正周期是π，最大值是43，最小值是41. 18．本小题主要考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念.考查运用概率知识解决实际问题的能力.满分12分.解：P(ξ=0)=0.52×0.62=0.09.P(ξ=1)=12C ×0.52×0.62+12C ×0.52×0.4×0.6=0.3P(ξ=2)= 22C ×0.52×0.62+12C 12C ×0.52×0.4×0.6+22C ×0.52×0.42=0.37.P(ξ=3)= 22C 12C ×0.52×0.4×0.6+12C 22C ×0.52×0.42=0.2P(ξ=4)= 0.52×0.42=0.04于是得到随机变量ξ的概率分布列为：19．本小题主要考查导数的概率和计算，应用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论的数学思想.满分12分.解：函数f (x )的导数：.)2(2)(22ax ax ax e ax x e ax xe x f ++=+='（I ）当a =0时，若x <0，则)(x f '<0，若x >0,则)(x f '>0.（II ）当,02,02,02>-<>+>x ax ax x a 或解得由时 由.02,022<<-<+x aax x 解得 所以，当a >0时，函数f (x )在区间（－∞，－a 2）内为增函数，在区间（－a2，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数；（III ）当a <0时，由2x +ax 2>0，解得0<x <－a2, 由2x +ax 2<0，解得x <0或x >－a2. 所以当a <0时，函数f (x )在区间（－∞，0）内为减函数，在区间（0，－a2）内为增函数，在区间（－a2，+∞）内为减函数. 20．本小题主要考查棱锥，二面角和线面关系等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力.满分12分.（I ）解：如图，作PO ⊥平面ABCD ，垂足为点O.连结OB 、OA 、OD 、OB 与AD 交于点E ，连结PE. ∵AD ⊥PB ，∴AD ⊥OB ，∵PA=PD ，∴OA=OD ，于是OB 平分AD ，点E 为AD 的中点，所以PE ⊥AD.由此知∠PEB 为面PAD 与面ABCD 所成二面角的平面角， ∴∠PEB=120°，∠PEO=60°由已知可求得PE=3∴PO=PE ·sin60°=23233=⨯， 即点P 到平面ABCD 的距离为23. （II ）解法一：如图建立直角坐标系，其中O 为坐标原点，x 轴平行于DA.)43,433,0(),0,233,0(),23,0,0(的坐标为中点G PB B P .连结AG.又知).0,233,2(),0,23,1(-C A 由此得到： 0,0).0,0,2(),23,233,0(),43,43,1(=⋅=⋅-=-=--=GA 于是有所以θ的夹角BC GA PB BC PB GA ,.⊥⋅⊥于是,772||||cos -=⋅=BC GA θ 所以所求二面角的大小为772arccos-π . 解法二：如图，取PB 的中点G ，PC 的中点F ，连结EG 、AG 、GF ，则AG ⊥PB ，FG//BC ，FG=21BC. ∵AD ⊥PB ，∴BC ⊥PB ，FG ⊥PB ， ∴∠AGF 是所求二面角的平面角. ∵AD ⊥面POB ，∴AD ⊥EG.又∵PE=BE ，∴EG ⊥PB ，且∠PEG=60°. 在Rt △PEG 中，EG=PE ·cos60°=23. 在Rt △PEG 中，EG=21AD=1.于是tan ∠GAE=AE EG =23, 又∠AGF=π－∠GAE.所以所求二面角的大小为π－arctan23. 21．（本小题主要考查直线和双曲线的概念和性质，平面向量的运算等解析几何的基本思想和综合解题能力.满分12分. 解：（I ）由C 与t 相交于两个不同的点，故知方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-.1,1222y x y ax 有两个不同的实数解.消去y 并整理得（1－a 2）x 2+2a 2x －2a 2=0. ①.120.0)1(84.012242≠<<⎪⎩⎪⎨⎧>-+≠-a a a a a a 且解得所以双曲线的离心率).,2()2,26(226,120.11122+∞≠>∴≠<<+=+= 的取值范围为即离心率且且e e e a a a a a e （II ）设)1,0(),,(),,(2211P y x B y x A.125).1,(125)1,(,125212211x x y x y x PB PA =-=-∴=由此得 由于x 1+x 2都是方程①的根，且1－a 2≠0，1317,06028912,,.12125.1212172222222222=>=----=--=a a aa x a a x a a x 所以由得消去所以22．本小题主要考查数列，等比数列的概念和基本知识，考查运算能力以及分析、归纳和推理能力.满分14分.解：（I ）a 2=a 1+(－1)1=0,a 3=a 2+31=3.a 4=a 3+(－1)2=4,a 5=a 4+32=13,所以，a 3=3,a 5=13.(II) a 2k+1=a 2k +3k= a 2k －1+(－1)k +3k ,所以a 2k+1－a 2k －1=3k +(－1)k ,同理a 2k －1－a 2k －3=3k －1+(－1)k －1,……a 3－a 1=3+(－1).所以(a 2k+1－a 2k －1)+(a 2k －1－a 2k －3)+…+(a 3－a 1)=(3k +3k －1+…+3)+[(－1)k +(－1)k －1+…+(－1)],由此得a 2k+1－a 1=23(3k －1)+21[(－1)k －1], 于是a 2k+1=.1)1(21231--++k ka 2k = a 2k －1+(－1)k=2123+k (－1)k －1－1+(－1)k =2123+k (－1)k =1. {a n }的通项公式为： 当n 为奇数时，a n =;121)1(232121-⨯-+-+n n 当n 为偶数时，.121)1(2322-⨯-+=nnn a。
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2004年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学第I 卷（选择题共60分）一、选择题(5分×12=60分)1．设集合{1,2,3,4}P =，{}2,Q x x x R =≤∈，则P Q I 等于 （ ）A ．{1，2}B ． {3，4}C ． {1}D ． {-2，-1，0，1，2}2．函数22cos 1y x =+(x R ∈)的最小正周期为 （ ）A ．2πB ．πC ．π2D ．π43．从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有 （ ） A ．140种 B ．120种 C ．35种 D ．34种4．一平面截一球得到直径是6cm 的圆面，球心到这个平面的距离是4cm ，则该球的体积是 （ ） A ．33π100cm B ．33π208cmC ．33π500cmD ．33π3416cm 5．若双曲线22218x y b-=的一条准线与抛物线x y 82=的准线重合，则双曲线的离心率为 （ ）A ．2B ．22C ． 4D ．246．某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用右侧的条形图表示. 根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为 （ ） A ．0.6小时 B ．0.9小时 C ．1.0小时 D ．1.5小时7．4(2x +的展开式中3x 的系数是（ ）A ．6B ．12C ．24D ．48时间(小时)8．若函数log ()(0,1)a y x b a a =+>≠的图象过两点(1,0)-和(0,1)，则 （ ）A ．a =2，b =2B ．ab =2 C ．a =2，b =1 D ．a，b9．将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数1，2，3，4，5，6的正方体玩具）先后抛掷3次，至少出现一次6点向上的概率是（ ）A ．5216 B ．25216 C ．31216 D ．9121610．函数3()31f x x x =-+在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是 （ ）A ．1，-1B ．1，-17C ．3，-17D ．9，-1911．设1k >，()(1)f x k x =-(x R ∈) . 在平面直角坐标系xOy 中，函数()y f x =的图象与x 轴交于A 点，它的反函数1()y fx -=的图象与y 轴交于B 点，并且这两个函数的图象交于P 点. 已知四边形OAPB 的面积是3，则k 等于 （ ）A ．3B ．32 C ．43 D ．6512．设函数()()1xf x x R x=-∈+，区间M =[a ，b ](a <b )，集合N ={(),y y f x x M =∈}，则使M =N 成立的实数对(a ，b )有 （ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数多个第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题(4分×4=16分)13．二次函数2y ax bx c =++(x R ∈)的部分对应值如下表：则不等式20ax bx c ++>的解集是_______________________.14．以点(1,2)为圆心，与直线43350x y +-=相切的圆的方程是________________.15．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，1(31)2n n a S -=(对于所有1n ≥)，且454a =，则1a 的数值是_______________________.16．平面向量a ，b 中，已知a =(4，-3)，b =1，且a ·b =5，则向量b =__________. 三、解答题(12分×5+14分=74分)17．已知0<α<2π，tan 2α+cot 2α=25，求sin()3πα-的值.18．在棱长为4的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 是正方形A 1B 1C 1D 1的中心，点P 在棱CC 1上，且CC 1=4CP .(Ⅰ)求直线AP 与平面BCC 1B 1所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）； (Ⅱ)设O 点在平面D 1AP 上的射影是H ，求证：D 1H ⊥AP ；(Ⅲ)求点P 到平面ABD 1的距离.19．制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目. 根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100﹪和50﹪，可能的最大亏损率分别为30﹪和10﹪. 投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元. 问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？· B 1P A C D A 1C 1D 1 B O H·20．设无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S .(Ⅰ)若首项=1a 32 ，公差1=d ，求满足2)(2k k S S =的正整数k ；(Ⅱ)求所有的无穷等差数列{}n a ，使得对于一切正整数k 都有2)(2k k S S =成立.21．已知椭圆的中心在原点，离心率为12 ，一个焦点是F （-m ,0）(m 是大于0的常数).(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)设Q 是椭圆上的一点，且过点F 、Q 的直线l 与y 轴交于点M . 若2MQ QF =u u u u r u u u r，求直线l 的斜率.22．已知函数()()f x x R ∈满足下列条件：对任意的实数x 1，x 2都有2121212()()[()()]x x x x f x f x λ-≤--和1212()()f x f x x x -≤-，其中λ是大于0的常数. 设实数a 0，a ，b 满足0()0f a =和()b a f a λ=- (Ⅰ)证明1λ≤，并且不存在00b a ≠，使得0()0f b =；(Ⅱ)证明22200()(1)()b a a a λ-≤--；(Ⅲ)证明222[()](1)[()]f b f a λ≤-.参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分. 1．A 2．B 3．D 4．C 5．A 6．B 7．C 8．A 9．D 10．C 11．B 12．A二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分. 13．),3()2,(+∞--∞Y 14．25)2()1(22=-+-y x 15．216．)53,54(-三、解答题 17．本小题主要考查三角函数的基本公式和三角函数的恒等变换等基本知识，以及推理能力和运算能力.满分12分.解：由已知25tancot22sin 2ααα+==，得4sin 5α=..53sin 1cos ,202=-=∴<<ααπαΘ从而 3sincos 3cos sin )3sin(παπαπα⋅-⋅=-)334(10123532154-=⨯-⨯=. 18．本小题主要考查线面关系和正方体性质等基本知识，考查空间想象能力和推理论证能力.满分12分. 解法一：（I ）连结BP .∵AB ⊥平面BCC 1B 1， ∴AP 与平面BCC 1B 1所成的角就是∠APB , ∵CC 1=4CP ,CC 1=4，∴CP =I .在Rt △PBC 中，∠PCB 为直角，BC =4，CP =1，故BP =17.在Rt △APB 中，∠ABP 为直角，tan ∠APB =,17174=BP AB∴∠APB =.17174arctan19．本小题主要考查简单线性规划的基本知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力.满分12分.解：设投资人分别用x 万元、y 万元投资甲、乙两个项目.由题意知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+.0,0,8.11.03.0,10y x y x y x目标函数z =x +0.5y .上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分（含边界）即可行域. 作直线05.0:0=+y x l ，并作平行于直线0l 的一组直线,,5.0R z z y x ∈=+ 与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M 点，且 与直线05.0=+y x 的距离最大，这里M 点是直线10=+y x和8.11.03.0=+y x 的交点.解方程组⎩⎨⎧=+=+,8.11.03.0,10y x y x 得x =4，y =6此时765.041=⨯+⨯=z （万元）.07>Θ ∴当x =4，y =6时z 取得最大值.答：投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大. 20．本小题主要考查数列的基本知识，以及运用数学知识分析和解决问题的能力.满分12分. 解：（I ）当1,231==d a 时， n n n n n d n n na S n +=-+=-+=21212)1(232)1(由22()k k S S =，得422211()22k k k k +=+，即 0)141(3=-k k 又0k ≠，所以4k =.（II ）设数列{}n a 的公差为d ，则在2)(2n n S S =中分别取k =1,2,得211242()()S S S S ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即211211,43214(2)22a a a d a d ⎧=⎪⎨⨯⨯+=+⎪⎩ 由（1）得 10a =或1 1.a =当10a =时，代入（2）得0d =或6,d =若10,0a d ==，则0,0n n a S ==，从而2()k k S S =成立若10,6a d ==，则6(1)n a n =-，由23318,()324,216n S S S ===知 293(),S S ≠故所得数列不符合题意.当11a =时，代入（2）得246(2)d d +=+，解得0d =或2d =（1） （2）若11,0a d ==，则1,n n a S n ==，从而22()k k S S =成立；若11,2a d ==，则221,13(21)n n a n S n n =-=+++-=L ，从而2()n S S =成立.综上，共有3个满足条件的无穷等差数列： ①{a n } : a n =0，即0，0，0，…； ②{a n } : a n =1，即1，1，1，…； ③{a n } : a n =2n －1，即1，3，5，…，21．本小题主要考查直线、椭圆和向量等基本知识，以及推理能力和运算能力.满分12分.解：（I ）设所求椭圆方程是).0(12222>>=+b a by a x由已知，得 ,21,==a c m c 所以m b m a 3,2==. 故所求的椭圆方程是1342222=+m y m x （II ）设Q （Q Q y x ,），直线:()l y k x m =+，则点(0,)M km当2MQ QF =u u u u r u u u r时，由于(,0),(0,),F m M km -由定比分点坐标公式，得02201,.123123Q Q m m km x y km -+==-==++ 又点2(,)33m kmQ -在椭圆上，所以22222499 1.43m k m m m +=解得k =±.当2MQ QF =-u u u u r u u u r 时，0(2)()2,1212Q Q m kmx m y km +-⨯-==-==---于是222224143m k m m m+=，解得0k =．故直线l 的斜率是0，62±. 22．本小题主要考查函数、不等式等基本知识，以及综合运用数学知识解决问题的能力.满分14分. 证明：（I ）任取1212,,x x R x x ⊂≠，则由)]()()[()(2121221x f x f x x x x --≤-λ和|||)()(|2121x x x f x f -≤- ②可知 22121212121221|||)()(|||)]()()[()(x x x f x f x x x f x f x x x x -≤-⋅-≤--≤-λ，从而1≤λ. 假设有00b a ≠，使得0()0f b =，则由①式知20000000()()[()()]0a b a b f a f b λ<-≤--=矛盾．∴不存在00b a ≠，使得0()0.f b =（II ）由)(a f a b λ-= ③可知 220202020)]([)()(2)()]([)(a f a f a a a a a f a a a b λλλ+---=--=- ④ 由和0)(0=a f ①式，得20000)()]()()[()()(a a a f a f a a a f a a -≥--=-λ ⑤ 由0)(0=a f 和②式知，20202)()]()([)]([a a a f a f a f -≤-= ⑥ 由⑤、⑥代入④式，得 2022022020)()(2)()(a a a a a a a b -+---≤-λλ202))(1(a a --=λ（III ）由③式可知22)]()()([)]([a f a f b f b f +-=22)]([)]()()[(2)]()([a f a f b f a f a f b f +-+-=22)]([)]()([2)(a f a f b f ab a b +--⋅--≤λ（用②式）222)]([)]()()[(2)]([a f a f b f a b a f +---=λλ2222)]([)(2)([a f a b a f +-⋅⋅-≤λλλ （用①式）2222222)]()[1()]([)]([2)]([a f a f a f a f λλλ-=+-=2005年高考数学（江苏卷）试题及答案一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的1.设集合{}2,1=A ，{}3,2,1=B ，{}4,3,2=C ，则()C B A Y I =（ ） A ．{}3,2,1 B ．{}4,2,1 C ．{}4,3,2 D ．{}4,3,2,1 2.函数)(321R x y x∈+=-的反函数的解析表达式为 （ ）A ．32log 2-=x y B ．23log 2-=x y C ．23log 2x y -= D ．xy -=32log 2 3.在各项都为正数的等比数列{}n a 中，首项31=a ，前三项和为21，则543a a a ++=（ ）A ．33B ．72C ．84D ．1894.在正三棱柱111C B A ABC -中，若AB=2，11AA =则点A 到平面BC A 1的距离为（ ）A ．43 B ．23 C ．433 D ．3 5.ABC ∆中，3π=A ，BC=3，则ABC ∆的周长为 （ ）A ．33sin 34+⎪⎭⎫⎝⎛+πB B ．36sin 34+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB C ．33sin 6+⎪⎭⎫⎝⎛+πB D ．36sin 6+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB 6.抛物线24x y =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是（ ） A ．1617 B ．1615 C ．87D ．07.在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：7.9,4.9,6.9,9.9,4.9,4.8,4.9，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为 （ ）A ．484.0,4.9B ．016.0,4.9C ．04.0,5.9D ．016.0,5.9 8.设γβα,,为两两不重合的平面，n m l ,,为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①若γα⊥，γβ⊥，则βα||；②若α⊂m ，α⊂n ，β||m ，β||n ，则βα||；③若βα||，α⊂l ，则β||l ；④若l =βαI ，m =γβI ，n =αγI ，γ||l ，则m ||其中真命题的个数是 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 9.设5,4,3,2,1=k ，则5)2(+x 的展开式中kx 的系数不可能是 （ ） A ．10 B ．40 C ．50 D ．80 10.若316sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ，则⎪⎭⎫⎝⎛+απ232cos = （ ） A ．97-B ．31- C ．31 D ．9711.点)1,3(-P 在椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左准线上，过点P 且方向为)5,2(-=a 的光线经直线2-=y 反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ）A ．33 B ．31 C ．22 D ．2112.四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品，有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共顶点的两条棱所代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为①.②.③.④的4个仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同方法种数为（ ）A ．96B ．48C ．24D ．0 二.填写题：本大题共6小题，每小题4分，共24分把答案填在答题卡相应位置13.命题“若b a >，则122->ba ”的否命题为__________14.曲线13++=x x y 在点)3,1(处的切线方程是__________15.函数)34(log 25.0x x y -=的定义域为__________16.若[)1,,618.03+∈=k k a a，()k Z ∈,则k =__________17.已知b a ,为常数，若34)(2++=x x x f ，2410)(2++=+x x b ax f ，则b a -5=__________18.在ABC ∆中，O 为中线AM 上一个动点，若AM=2，则)(OC OB OA +•的最小值是__________三.解答题：本大题共5小题，共66分.证明过程或演算步骤19.（本小题满分12分）如图，圆1O 与圆2O 的半径都是1，421=O O ，过动点P 分别作圆1O .圆2O 的切线PM 、PN （M.N 分别为切点），使得PN PM 2=试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程20.（本小题满分12分，每小问满分4分）甲.乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是324假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响⑴求甲射击4次，至少1次未击中．．．目标的概率； ⑵求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率； ⑶假设某人连续2次未击中．．．目标，则停止射击问：乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？21.（本小题满分14分，第一小问满分6分，第二.第三小问满分各4分）如图，在五棱锥S —ABCDE 中，SA ⊥底面ABCDE ，SA=AB=AE=2，3==DE BC ，=∠=∠=∠120CDE BCD BAE⑴求异面直线CD 与SB 所成的角（用反三角函数值表示）； ⑵证明：BC ⊥平面SAB ；⑶用反三角函数值表示二面角B —SC —D 的大小（本小问不必写出解答过程）22.（本小题满分14分，第一小问满分4分，第二小问满分10分）已知R a ∈，函数|)(2a x x x f -=⑴当2=a 时，求使x x f =)(成立的x 的集合； ⑵求函数)(x f y =在区间]2,1[上的最小值23.（本小题满分14分，第一小问满分2分，第二.第三小问满分各6分） 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11,6,1321===a a a ，且Λ,3,2,1,)25()85(1=+=+--+n B An S n S n n n ，其中A.B 为常数⑴求A 与B 的值；⑵证明：数列{}n a 为等差数列；⑶证明：不等式15>-n m mn a a a 对任何正整数n m ,都成立参考答案(1)D (2)A (3)C (4)B (5)D (6)B (7)D (8)B (9)C (10)A (11)A (12)B （13）若b a >，则122->b a （14）014=--y x （15）]1,43()0,41[Y -（16）-1 （17）2 （18）-2 （19）以1O 2O 的中点O 为原点，1O 2O 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则1O （-2，0），2O （2，0），由已知PN 2PM =，得22PN PM =因为两圆的半径均为1，所以1(212221-=-PO PO设),(y x P ，则]1)2[(21)2(2222-+-=-++y x y x ， 即33)6(22=+-y x ，所以所求轨迹方程为)6(22=+-y x （或031222=+-+x y x ）（20）（Ⅰ）记“甲连续射击4次，至少1次未击中目标”为事件A 1，由题意，射击4次，相当于4次独立重复试验，故P （A 1）=1- P （1A ）=1-4)32(81答：甲射击4次，至少1次未击中目标的概率为8165； (Ⅱ) 记“甲射击4次，恰好击中目标2次”为事件A 2，“乙射击4次，恰好击中目标3次”为事件B 2，则278)321()32()(242242=-=-C A P ，6427)431()43()(143342=-=-C B P ， 由于甲、乙设计相互独立，故86427278)()()(2222=⋅==B P A P B A P 答：两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率为81； （Ⅲ）记“乙恰好射击5次后，被中止射击”为事件A 3，“乙第i 次射击为击中” 为事件D i ，（i=1，2，3，4，5），则A 3=D 5D 4)(123D D D ，且P （D i ）=41，由于各事件相互独立，故P （A 3）= P （D 5）P （D 4）P （)(123D D D ）=41×41×43×（1-41×41）=102445，答：乙恰好射击51024（21）（Ⅰ）连结BE ，延长BC 、ED 交于点F ，则∠DCF=∠CDF=600，∴△CDF 为正三角形，∴CF=DF又BC=DE ，∴BF=EF 因此，△BFE 为正三角形，∴∠FBE=∠FCD=600，∴BE//CD所以∠SBE （或其补角）就是异面直线CD 与SB 所成的角 ∵SA ⊥底面ABCDE ，SA=AB=AE=2，∴SB=22，同理SE=22，又∠BAE=1200，所以BE=32，从而，cos ∠SBE=46， ∴∠46 所以异面直线CD 与SB 所成的角是46 (Ⅱ) 由题意，△ABE 为等腰三角形，∠BAE=1200，∴∠ABE=300，又∠FBE =600，∴∠ABC=900，∴BC ⊥BA∵SA ⊥底面ABCDE ，BC ⊂底面ABCDE ， ∴SA ⊥BC ，又SA I BA=A ，∴BC ⊥平面SAB（Ⅲ）二面角B-SC-D 的大小8282-π （22）（Ⅰ）由题意，|2|)(2-=x x x f当2<x 时，由x x x x f =-=)2()(2，解得0=x 或1=x ； 当2≥x 时，由x x x x f =-=)2()(2，解得1+=x 综上，所求解集为}21,1,0{+(Ⅱ)设此最小值为m①当1≤a 时，在区间[1，2]上，23)(ax x x f -=， 因为0)32(323)('2>-=-=a x x ax x x f ，)2,1(∈x ， 则)(x f 是区间[1，2]上的增函数，所以f m -==1)1(②当21≤<a 时，在区间[1，2]上，0||)(2≥-=a x x x f ，由0)(=a f 知)(==a f m③当2>a 时，在区间[1，2]上，32)(x ax x f -=)32(332)('2x a x x ax x f -=-=若3≥a ，在区间（1，2）上，0)('>x f ，则)(x f 是区间[1，2]上的增函数， 所以)1(-==a f m若32<<a ，则2321<<a 当a x 321<<时，0)('>x f ，则)(x f 是区间[1，a 32]上的增函数， 当232<<x a 时，0)('<x f ，则)(x f 是区间[a 32，2]上的减函数， 因此当32<<a 时，1)1(-==a f m 或2(4)2(-==a f m当372≤<a 时，1)2(4-≤-a a ，故)2(4)2(-==a f m ， 当337<<a 时，1)2(4-<-a a ，故1)1(-==a f m 总上所述，所求函数的最小值⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-≤<-≤<≤-=37172)2(421011a a a a a a a m（23）（Ⅰ）由已知，得111==a S ，7212=+=a a S ，183213=++=a a a S 由B An S n S n n n +=+--+)25()85(1，知⎩⎨⎧+=-+=--BA S SB A S S 2122732312，即⎩⎨⎧-+-=+48228B A B A 解得8,20-=-=B A .(Ⅱ) 由（Ⅰ）得820)25()85(1--=+--+n S n S n n n ①所以 2820)75()35(12--=+--++n S n S n n n ② ②-①得 20)25()110()35(12-=++---++n n n S n S n S n ③ 所以 20)75()910()25(123-=+++-++++n n n S n S n S n ④ ④-③得 )25()615()615()25(123=+-+++-++++n n n n S n S n S n S n因为 n n n S S a -=++11所以 0)75()410()25(123=+++-++++n n n a n a n a n 因为 0)25(≠+n所以 02123=+-+++n n n a a a所以 1223++++-=-n n n n a a a a ，1≥n 又 51223=-=-a a a a 所以数列}{n a 为等差数列（Ⅲ）由(Ⅱ) 可知，45)1(51-=-+=n n a n ， 要证15>-n m mn a a a只要证 n m n m mn a a a a a 215++>， 因为 45-=mn a mn ，16)(2025)45)(45(++-=--=n m mn n m a a n m ，故只要证 >-)45(5mn n m a a n m mn 216)(20251+++-+， 即只要证 n m a a n m 2372020>-+，因为 372020)291515(8558552-+=-++-+<-+=+≤n m n m n m n m a a a a n m n m 所以命题得证2006年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数 学参考公式：一组数据的方差 ])()()[(1222212x x x x x x nS n -++-+-=Λ其中x 为这组数据的平均数一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
2004年高考.全国卷Ⅱ.理科数学试题及答案(四川、吉林、黑龙江、云南等地区)
2004年高考试题全国卷Ⅱ理科数学（必修＋选修Ⅱ）(四川、吉林、黑龙江、云南等地区)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． （1）已知集合M ＝{x |x 2＜4}，N ＝{x |x 2－2x －3＜0}，则集合M ∩N ＝（A ）{x |x ＜－2} （B ）{x |x ＞3} （C ）{x |－1＜x ＜2} （D ）{x |2＜x ＜3}（2）542lim 221-+-+→x x x x n ＝（A ）21 （B ）1 （C ）52 （D ）41 （3）设复数ω＝－21＋23i ，则1＋ω＝（A ）–ω （B ）ω2 （C ）ω1-（D ）21ω（4）已知圆C 与圆(x －1)2＋y 2＝1关于直线y ＝－x 对称，则圆C 的方程为（A ）(x ＋1)2＋y 2＝1 （B ）x 2＋y 2＝1 （C ）x 2＋(y ＋1)2＝1 （D ）x 2＋(y －1)2＝1 （5）已知函数y ＝tan(2x ＋φ)的图象过点(12π,0)，则φ可以是 （A ）－6π （B ）6π （C ）－12π （D ）12π（6）函数y ＝－e x 的图象（A ）与y ＝e x 的图象关于y 轴对称 （B ）与y ＝e x 的图象关于坐标原点对称（C ）与y ＝e －x 的图象关于y 轴对称 （D ）与y ＝e －x 的图象关于坐标原点对称 （7）已知球O 的半径为1，A 、B 、C 三点都在球面上，且每两点间的球面距离为2π，则球心O 到平面ABC 的距离为 （A ）31 （B ）33 （C ）32 （D ）36 （8）在坐标平面内，与点A (1，2)距离为1，且与点B (3，1)距离为2的直线共有（A ）1条 （B ）2条 （C ）3条 （D ）4条（9）已知平面上直线L 的方向向量e ＝(－54，53)，点O (0，0)和A (1，－2)在L 上的射影分别是O 1和A 1，则11A O ＝λe ，其中λ＝ （A ）511 （B ）－511（C ）2 （D ）－2 （10）函数y ＝x cos x －sin x 在下面哪个区间内是增函数（A ）(2π，23π) （B ）(π，2π) （C ）(23π，25π) （D ）(2π，3π)（11）函数y ＝sin 4x ＋cos 2x 的最小正周期为（A ）4π （B ）2π（C ）π （D ）2π （12）在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有（A ）56个 （B ）57个 （C ）58个 （D ）60个二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．（13）从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有ξ个红球，则随机变量ξ的概率分布为（14）设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≥，y x y ，x ，x 120 则z ＝3x ＋2y 的最大值是 ． （15）设中心在原点的椭圆与双曲线2x 2－2y 2＝1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是 ． （16）下面是关于四棱柱的四个命题：①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 ③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱 其中，真命题的编号是 (写出所有真命题的编号)．三、解答题：本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17） (本小题满分12分)已知锐角三角形ABC 中，sin(A ＋B )＝53，sin(A －B )＝51． (Ⅰ)求证：tan A ＝2tan B ；(Ⅱ)设AB ＝3，求AB 边上的高．（18）(本小题满分12分)已知8支球队中有3支弱队，以抽签方式将这8支球队分为A 、B 两组，每组4支．求 (Ⅰ)A 、B 两组中有一组恰有两支弱队的概率； (Ⅱ)A 组中至少有两支弱队的概率．（19）(本小题满分12分)数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝nn 2S n （n ＝1，2，3，…）．证明： (Ⅰ)数列{nS n}是等比数列； (Ⅱ)S n ＋1＝4a n ．（20）(本小题满分12分) ．如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90o ，AC ＝1，CB ＝2，侧棱AA 1＝1，侧面AA1B1B的两条对角线交点为D，B1C1的中点为M．(Ⅰ)求证：CD⊥平面BDM；(Ⅱ)求面B1BD与面CBD所成二面角的大小．（21）(本小题满分12分)给定抛物线C：y2＝4x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点．(Ⅰ)设l的斜率为1，求与夹角的大小；(Ⅱ)设＝AFλ，若λ∈[4，9]，求l在y轴上截距的变化范围．(22)(本小题满分14分)已知函数f(x)＝ln(1＋x)－x，g(x)＝x ln x．(1)求函数f(x)的最大值；(2)设0＜a＜b，证明：0＜g(a)＋g(b)－2g(2ba+)＜(b－a)ln2．2004年高考试题全国卷2理科数学（必修＋选修Ⅱ）(四川、吉林、黑龙江、云南等地区)答案：一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．（1）C （2）A （3）C （4）C （5）A （6）D （7）B （8）B （9）D （10）B （11）B （12）C二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． （13）0.1，0.6，0.3 （14）5 （15）21x 2＋y 2＝1 （16）②④ 解题思路：1、 已知集合M={x|x 2<4}，N={x|x 2-2x-3<0},则集合M ∩N=( C )A {x|x<-2}B {x|x>3}C {x|-1<x<2}D {x|2<x<3} 解法一：(直接求解)由M={x|x 2<4}={x|-2<x<2}，N={x|x 2-2x-3<0}={x|-1<x<3} 则：M ∩N={x|-2<x<2}∩{x|-1<x<3}={x|-1<x<2}。
2004年高考数学试题(全国4理)及答案
2004年高考试题全国卷Ⅳ理科数学（必修+选修Ⅱ）第I 卷参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ） 如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P n (k)=C kn P k (1－P)n －k一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1．已知集合},2|{},2,1,0{M a a x x N M ∈===，则集合N M ⋂= （ ）A ．{0}B ．{0，1}C ．{1，2}D ．{0，2} 2．函数)(2R x e y x∈=的反函数为（ ）A ．)0(ln 2>=x x yB ．)0)(2ln(>=x x yC ．)0(ln 21>=x x y D ．)0(2ln 21>=x x y 3．过点（－1，3）且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（ ）A ．012=-+y xB ．052=-+y xC ．052=-+y xD ．072=+-y x 4．)1)31(2ii +-=（ ）A ．i +3B ．i --3C ．i -3D ．i +-3 5．不等式03)2(<-+x x x 的解集为（ ）A ．}30,2|{<<-<x x x 或B ．}3,22|{><<-x x x 或C ．}0,2|{>-<x x x 或D ．}3,0|{<<x x x 或6．等差数列}{n a 中，78,24201918321=++-=++a a a a a a ，则此数列前20项和等于 （ ）A ．160B ．180C ．200D ．220 7．对于直线m 、n 和平面α，下面命题中的真命题是（ ）A ．如果m n m ,,αα⊄⊂、n 是异面直线，那么α//n ；B ．如果m n m ,,αα⊄⊂、n 是异面直线，那么α与n 相交C ．如果m n m ,//,αα⊂、n 共面，那么n m //；D ．如果m n m ,//,//αα、n 共面，那么n m //8．已知椭圆的中心在原点，离心率21=e ，且它的一个焦点与抛物线x y 42-=的焦点重合， 则此椭圆方程为（ ）球的表面积公式S=42R π其中R 表示球的半径， 球的体积公式V=334R π 其中R 表示球的半径A ．13422=+y x B ．16822=+y x C ．1222=+y x D ．1422=+y x 9．从5位男教师和4位女教师中选出3位教师，派到3个班担任班主任（每班1位班主任），要求这3位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有（ ）A ．210种B ．420种C ．630种D ．840种10．已知球的表面积为20π，球面上有A 、B 、C 三点.如果AB=AC=2，BC=32，则球心 到平面ABC 的距离为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．211．△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边.如果a 、b 、c 成等差数列，∠B=30°，△ABC 的面积为23，那么b = （ ）A ．231+ B ．31+C ．232+ D ．32+12．设函数))((R x x f ∈为奇函数，),2()()2(,21)1(f x f x f f +=+=则=)5(f （ ）A ．0B ．1C ．25 D ．5第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．8)1(xx -展开式中5x 的系数为 .14．向量a 、b 满足（a －b ）·（2a +b ）=－4，且|a |=2，|b |=4，则a 与b夹角的余弦值等于 .15．函数)(2cos 21cos )(R x x x x f ∈-=的最大值等于 . 16．设y x ,满足约束条件：⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤+,0,,1y x y y x 则y x z +=2的最大值是 .三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知α为第二象限角，且 sin α=,415求12cos 2sin )4sin(+++ααπα的值. 18．（本小题满分12分）求函数241)1ln()(x x x f -+=在[0，2]上的最大值和最小值.C19．（本小题满分12分） 某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题.竞赛规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分.假设这名同学每题回答正确的概率均为0.8，且各题回答正确与否相互之间没有影响. （Ⅰ）求这名同学回答这三个问题的总得分ξ的概率分布和数学期望； （Ⅱ）求这名同学总得分不为负分（即ξ≥0）的概率. 20．（本小题满分12分）如图，四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为矩形，AB=8，AD=43，侧面PAD 为等边三角形，并且与底面所成二面角为60°.（Ⅰ）求四棱锥P —ABCD 的体积； （Ⅱ）证明PA ⊥BD. 21．（本小题满分12分）双曲线)0,1(12222>>=-b a by a x 的焦点距为2c ，直线l 过点（a ，0）和（0，b ），且点（1，0）到直线l 的距离与点（－1，0）到直线l 的距离之和.54c s ≥求双曲线的离心率e 的取值范围. 22．（本小题满分14分）已知函数0)(),sin (cos )(='+=-x f x x ex f x将满足的所有正数x 从小到大排成数列}.{n x（Ⅰ）证明数列{}{n x f }为等比数列；（Ⅱ）记n S 是数列{}{n n x f x }的前n 项和，求.lim 21nS S S nn +++∞→2004年高考试题全国卷4理科数学（必修+选修Ⅱ）参考答案一、选择题1—12 D C A D A B C A B A B C二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．28 14．21-15．43 16．2三、解答题17．本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，二倍角公式以及三角函数式的恒等变形等 基础知识和基本技能.满分12分.解：αααααααπα2cos 2cos sin 2)cos (sin 2212cos 2sin )4sin(++=+++.)cos (sin cos 4)cos (sin 2ααααα++= 当α为第二象限角，且415sin =α时41cos ,0cos sin -=≠+ααα， 所以12cos 2sin )4sin(+++ααπα=.2cos 42-=α18．本小题主要考查函数的导数计算，利用导数讨论函数的性质，判断函数的最大值、最小 值以及综合运算能力.满分12分. 解：,2111)(x x x f -+=' 令 ,02111=-+x x 化简为,022=-+x x 解得.1),(221=-=x x 舍去当)(,0)(,10x f x f x >'<≤时单调增加； 当)(,0)(,21x f x f x <'≤<时单调减少. 所以412ln )1(-=f 为函数)(x f 的极大值. 又因为 ),2()1(,013ln )2(,0)0(f f f f >>-==所以 0)0(=f 为函数)(x f 在[0，2]上的最小值，412ln )1(-=f 为函数)(x f 在[0，2]上的最大值.19．本小题主要考查离散型随机变量的分布列、数学期望等概念，以及运用概率统计知识解 决实际问题的能力.满分12分. 解：（Ⅰ）ξ的可能值为－300，－100，100，300.P （ξ=－300）=0.23=0.008, P （ξ=－100）=3×0.22×0.8=0.096, P （ξ=100）=3×0.2×0.82=0.384, P （ξ=300）=0.83=0.512, 所以ξ的概率分布为图2Cy图1根据ξ的概率分布，可得ξ的期望E ξ=（－300）×0.08+（－100）×0.096+100×0.384+300×0.512=180.（Ⅱ）这名同学总得分不为负分的概率为P （ξ≥0）=0.384+0.512=0.896.20．本小题主要考查棱锥的体积、二面角、异面直线所成的角等知识和空间想象能力、分析问题能力.满分12分. 解：（Ⅰ）如图1，取AD 的中点E ，连结PE ，则PE ⊥AD.作PO ⊥平面在ABCD ，垂足为O ，连结OE. 根据三垂线定理的逆定理得OE ⊥AD ， 所以∠PEO 为侧面PAD 与底面所成的二面角的平面角， 由已知条件可知∠PEO=60°，PE=6， 所以PO=33，四棱锥P —ABCD 的体积 V P —ABCD =.963334831=⨯⨯⨯ （Ⅱ）解法一：如图1，以O 为原点建立空间直角坐标系.通过计算可得P （0，0，33），A （23，－3，0），B （23，5，0），D （－23，－3，0） 所以).0,8,34(),33,3,32(--=--= 因为,002424=++-=⋅BD PA 所以PA ⊥BD.解法二：如图2，连结AO ，延长AO 交BD 于点F.通过计算可得EO=3，AE=23知AD=43，AB=8，得.ABADAE EO = 所以 Rt △AEO ∽Rt △BAD. 得∠EAO=∠ABD.所以∠EAO+∠ADF=90° 所以 AF ⊥BD.因为 直线AF 为直线PA 在平面ABCD 内的身影，所以PA ⊥BD.21．本小题主要考查点到直线距离公式，双曲线的基本性质以及综合运算能力.满分12分. 解：直线l 的方程为1=+bya x ，即 .0=-+ab a y b x 由点到直线的距离公式，且1>a ，得到点（1，0）到直线l 的距离221)1(ba ab d +-=，同理得到点（－1，0）到直线l 的距离222)1(ba ab d ++=.222221cabb a ab d d s =+=+=由,542,54c c ab c s ≥≥得 即 .25222c a c a ≥- 于是得 .025254,2152422≤+-≥-e e e e 即解不等式，得.5452≤≤e 由于,01>>e 所以e 的取值范围是.525≤≤e 22．本小题主要考查函数的导数，三角函数的性质，等差数列与等比数列的概念和性质，以及综合运用的能力.满分14分.（Ⅰ）证明：.sin 2)cos sin ()sin (cos )(x e x x e x x e x f xx x ----=+-++-='由,0)(='x f 得.0sin 2=--x ex解出n n x ,π=为整数，从而,3,2,1,==n n x n π .)1()(πn n n e x f --=.)()(1π-+-=e x f x f n n所以数列)}({n x f 是公比π--=eq 的等比数列，且首项.)(1q x f =（Ⅱ）解：)()()(2211n n n x f x x f x x f x S +++= ),21(1-+++=n nq q q π),11()21(),2(122n nnn n n n n nq qq q nq qq q qS S nq q q q qS ---=-+++=-+++=-πππ 而).11(1n nn nq qq q q S ----=πnS S S n+++ 21.)1()1()1(2)1()11()1(11)1()1()21()1()1()1()1(2232222222121222q q q q n q q qnq qq q n q q q q n q q q nq q q n q qq q n q q qn nnn n n n -+----=----------=+++--+++---=+--πππππππππ因为0lim .1||=<=∞→-n n q eq π，所以.)1()1(lim 2221+-=-=+++∞→ππππe e q q n S S S n n。
2004年高考数学试题(江苏)及答案-精编解析版
复兰高考名师在线，把全球名师带回家 k6kt_翻转课堂（ ）)2004年普通高等学校招生江苏卷数学试题在做试卷之前，给大家推荐一个视频学习网站，我之前很长时间一直是做试卷之后，再到这上面去找一些相关的学习视频再复习一遍，效果要比只做试题要好很多，真不是打广告。
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◆高考语文类在线听课地址：/yuwen◆高考数学类在线听课地址：/shuxue◆高考英语类在线听课地址：/yingyu◆高考化学类在线听课地址：/huaxue◆高考物理类在线听课地址：/wuli 其他学科的大家自己去找吧！◆高考在线题库：/exams一、选择题(5分×12=60分)1.设集合P={1，2，3，4}，Q={R x x x ∈≤,2}，则P ∩Q 等于 ( )(A){1，2} (B) {3，4} (C) {1} (D) {-2，-1，0，1，2}2.函数y=2cos 2x+1(x ∈R )的最小正周期为 ( )(A)2π(B)π (C)π2 (D)π43.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有 ( )(A)140种 (B)120种 (C)35种 (D)34种4.一平面截一球得到直径是6cm 的圆面，球心到这个平面的距离是4cm ，则该球的体积是 ( )(A)33π100cm (B) 33π208cm (C) 33π500cm (D) 33π3416cm5.若双曲线18222=-by x 的一条准线与抛物线x y 82=的准线重合，则双曲线离心率为 ( ) (A)2 (B)22 (C) 4 (D)246.某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用右侧的条形图表示. 根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为 ( ) (A)0.6小时 (B)0.9小时 (C)1.0小时 (D)1.5小时7.4)2(x x +的展开式中x 3的系数是 ( )(A)6 (B)12 (C)24 (D)488.若函数)1,0)((log ≠>+=a a b x y a 的图象过两点(-1，0)和(0，1)，则 (A)a=2,b=2 (B)a= 2 ,b=2 (C)a=2,b=1 (D)a= 2复兰高考名师在线，把全球名师带回家 k6kt_翻转课堂（ ）9.将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数1，2，3，4，5，6的正方体玩具）先后抛掷3次，至少出现一次6点向上和概率是 ( )(A)5216 (B)25216 (C)31216 (D)9121610.函数13)(3+-=x x x f 在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是 ( ) (A)1，-1 (B)1，-17 (C)3，-17 (D)9，-1911.设k>1，f(x)=k(x-1)(x ∈R ) . 在平面直角坐标系xOy 中，函数y=f(x)的图象与x 轴交于A 点，它的反函数y=f -1(x)的图象与y 轴交于B 点，并且这两个函数的图象交于P 点. 已知四边形OAPB 的面积是3，则k 等于 ( )(A)3 (B)32 (C)43 (D)6512.设函数)(1)(R x xxx f ∈+-=，区间M=[a ，b](a<b)，集合N={M x x f y y ∈=),(}，则使M=N 成立的实数对(a ，b)有 ( )(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)无数多个 二、填空题(4分×4=16分)13.二次函数y=ax 2+bx+c(x ∈R )的部分对应值如右表：则不等式ax 2+bx+c>0的解集是_____________________.14.以点(1，2)为圆心，与直线4x+3y-35=0相切的圆的方程是________________.15.设数列{a n }的前n 项和为S n ，S n =)13(1-n a (对于所有n ≥1)，且a 4=54，则a 1的数值是_______________________.16.平面向量,中，已知=(4，-3)=1，且⋅=5，则向量=__________.三、解答题(12分×5+14分=74分)17.已知0<α<2π，tan 2α+cot 2α=25，求sin(3πα-)的值.18.在棱长为4的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，O 是正方形A 1B 1C 1D 1的中心，点P 在棱CC 1上，且CC 1=4CP.(Ⅰ)求直线AP 与平面BCC 1B 1所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）； (Ⅱ)设O 点在平面D 1AP 上的射影是H ，求证：D 1H ⊥AP ； (Ⅲ)求点P 到平面ABD 1的距离.19.制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目.根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100﹪和50﹪，可能的最大亏损分别为30﹪和10﹪. 投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元. 问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？ 20.设无穷等差数列{a n }的前n 项和为S n .(Ⅰ)若首项=1a 32 ，公差1=d ，求满足2)(2k kS S =的正整数k ；(Ⅱ)求所有的无穷等差数列{a n }，使得对于一切正整数k 都有2)(2k kS S =成立.21.已知椭圆的中心在原点，离心率为12 ，一个焦点是F （-m,0）(m 是大于0的常数). (Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)设Q 是椭圆上的一点，且过点F 、Q 的直线l 与y 轴交于点M. =，求直线l 的斜率. 22.已知函数))((R x x f ∈满足下列条件：对任意的实数x 1，x 2都有)]()()[()(λ2121221x f x f x x x x --≤-和2121)()(x x x f x f -≤-，其中λ是大于0的常数.设实数a 0，a ，b 满足0)(0=a f 和)(λa f a b -=(Ⅰ)证明1λ≤，并且不存在00a b ≠，使得0)(0=b f ；· B 1P A C D A 1 C 1D 1 BO H·复兰高考名师在线，把全球名师带回家 k6kt_翻转课堂（ ）(Ⅱ)证明20220))(λ1()(a a a b --≤-； (Ⅲ)证明222)]()[λ1()]([a f b f -≤.复兰高考名师在线，把全球名师带回家 k6kt_翻转课堂（ ）2004年普通高等学校招生江苏卷数学试题参考答案一、选择题：ABDCA BCADC BA 二、填空题；13、{2x x <-或3}x >； 14、22(1)(1)25x y -+-=； 15、2； 16、43(,)55b =-。
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1 Q = 0 ，得 Q = 5000 ，----------------------(5 分) (5 500 1 又 L' ' ( x ) = − < 0 ,----------------------------------------------(7 分) (7 500
∴当 x = 5000 时，获得最大利润 L(5000) = 15000 .-----------(8 分) (8
小, sin 2 x ≤ 1 为有界变量，-------(2 分) 无穷小 x →∞ x + 1 x sin 2 x = 0.-------------------------------------------(5 分) ∴ lim 2 (5 x →∞ x + 1
八、证明 设 x = 1 − y ，则 dx = − dy , 1 − x = y .-------------------------------(1 分) (1
∫ x [ f ( x ) + f (1 − x )] dx
1 0
= ∫ (1 − y )[ f (1 − y ) + f ( y )](− dy ) -----------------------------------(2 分) (2
η=
＝
Q' EQ ＝ P -------------------------------------------------(3 分) (3 Q EP
100000e −4 P ⋅ ( −4) P ＝ 4 P .----------------------------------(6 分) (6 100000e −4 P
1 1 0 0
1 (4 ∫ x [ f ( x ) + f (1 − x )] dx = 2 ∫ [ f ( x ) + f (1 − x )] dx .--------------------(4 分)
1 1 0 0
(
)
−
1 dy = 2 x arctan − 1 dx .-----------------------------------------(6 分) (6 x （ 2） 解 dy = 2 xf ' ( x 2 ) ,-----------------------------------------------------(3 分) (3 dx
∫
4 0
16 − x dx = ∫ 2 16 cos 2 tdt -------------------------------------(3 分) (3
2 0
π
= ∫ 2 8(1 + cos 2t )dt ---------------------------------------(4 分) (4
2
ex −1− x ex −1 1 1 ＝ lim x ---------(3 分) （2）解 lim − x (3 ＝ lim x →1 xe + e x − 1 x →1 x e − 1 x →1 x e x − 1
(
)
ex 1 ＝ lim x ＝ .-------------------------(5 分) (5 x →1 xe + 2e x 2
d2y = 4 x 2 f ' ' ( x 2 ) − 2 f ' ( x 2 ) .--------------------------------------(6 分) (6 2 dx （3）解 各项关于 x 求导,得, 1 − dy dy (4 = e x + y 1 + = 0 ,----------------(4 分) dx dx
1
= ln 2 − [ x − ln(1 + x )] 0 -----------------------------------(5 分) (5
1
= 2 ln 2 − 1 .-------------------------------------------------(6 分) (6 （2）解令 x = 4 sin t (0 ≤ t ≤ π ) , 2 则 dx = 4 cos tdt , 16 − x 2 = 4 cos t ,------------------------------- (2 分) --------------------------------(2
= =
1 1 (4 ∫ 1 − t dt ---------------------------------------------(4 分) 2
1 (t + ln t ) + C -------------------------------------------(5 分) (5 2 1 = 1 + 4 x + ln 1 + 4 x + C .-------------------------(6 分) (6 2
0
π
= [8t + 4 sin 2t ] 02 -----------------------------------------(5 分) (5 = 4π .-------------------------------------------------------(6 分) (6
π
（ 七 、 1） 解
dy 1 − e x + y 1 − x + y = = .----------------------------------------- (6 分) dx 1 + e x + y 1 + x − y
（ 五、 1）解 ∫ xe 2 x dx =
1 2x (3 ∫ xd e -----------------------------------------------(3 分) 2 1 x = e 2 x − ∫ e 2 x dx ---------------------------------------(4 分) (4 2 2 1 x = e 2 x − e 2 x + C ---------------------------------------(6 分) (6 2 4
1 1 Q 2 − 10000 − 8Q − Q 2 − 3Q （2）解 利润 L(Q ) = 21Q − 500 1001
＝ 10Q − 令 L' (Q ) = 10 −
1 Q 2 − 10000 ，--------------------------(3 分) (3 1000
( )
（ 2） 解 令 t = 1 + 4 x , 则 x =
(t − 1)2 , dx = t − 1 dt ,-------------------(2 分) (2
4 2
∫1+
dx 4x
=∫
t −1 dt ------------------------------------------------(3 分) (3 2t
0 1
= ∫ (1 − y )[ f (1 − y ) + f ( y )] dy
1 0
= ∫ (1 − x )[ f (1 − x ) + f ( x )] dx
1 0
= ∫ 1[ f (1 − x ) + f ( x )] dx − ∫ x [ f (1 − x ) + f ( x )] dx .------------(3 分) (3
武汉理工大学 2004 级经济各专业
试题（ 高等数学 B（上）试题（A 卷）答案及评分标准
（ 一、 1）A; （2）C; （3）B; （4）D; （5）A .
nπ （ 二、 1） e 2 ;（2） 3 n sin 3 x + ;（3） 1 − x ;（4） − f (cos x ) + C ;（5） 1 . 2
(
)
（ 六、 1）解 ∫ ln(1 + x )dx = [ x ln(1 + x )]0 − ∫ xd [ln(1 + x )] -------------------(2 分) (2
1 1 1 0 0
= ln 2 − ∫
x dx ----------------------------------------(4 分) (4 01+ x
1 1 dy x 2 -------------------------------(3 分) 四 、 1） 解 （ = 2 x arctan + 1 + x 2 (3 1 dx x 1+ 2 x 1 = 2 x arctan − 1 ,----------------------------(4 分) (4 x